第3章 一次方程与方程组 单元练习题 2026--2027学年沪科版七年级数学上册

沪科版七年级数学上册第3章 一次方程与方程组单元练习题 一、单选题 1．下列方程是二元一次方程的是（　　） A． B． C． D． 2．下列方程组的解为的是（ ） A． B． C． D． 3．元朝朱世杰所著的《算学启蒙》中记载了一道题，其大意为：快马每天走240里，慢马每天走150里，慢马先走12天，快马几天可追上慢马？若设快马x天可追上慢马，由题意得 （　　） A． B． C． D． 4．下列各组是二元一次方程的解的是（　　） A． B． C． D． 5．已知，满足方程组，则的值为（　　） A． B． C． D． 6．将方程组中的x消去后得到的方程是（　　） A．y=8 B．7y=10 C．﹣7y=8 D．﹣7y=10 7．已知x=﹣2是方程ax=3的解，则a值是（　　） A． B． C．﹣ D．﹣ 8．《九章算术》是我国古代数学的经典著作，书中有一个问题：“今有醇酒一斗，值钱五十；行酒一斗，值钱一十；今将钱三十，得酒二斗，问醇、行酒各得几何?”意思是：今有醇酒(优质酒)1斗，价值50钱；行酒(劣质酒)1斗，价值10钱；现用30钱，买得2斗酒，问分别能买到多少醇酒与行酒?设用30钱能买得的2斗酒里，买到醇酒x斗，买到行酒y斗，根据题意可列方程组为(　　) A． B． C． D． 9．《算法统宗》中有一道题：原文是：“牧童分杏各争竞，不知人数不知杏．三人五个多十枚，四人八枚两个剩．问：有几个牧童几个杏？”题目大意：牧童们要分一堆杏，不知道人数也不知道有多少个杏．若3人一组，每组5个杏，则多10个杏；若4人一组，每组8个杏，则多2个杏．有多少个牧童、多少个杏？设共有个杏，可列方程是（　　） A． B． C． D． 10．如图，8块相同的长方形地砖拼成一个长方形，每块长方形地砖的长和宽分别是厘米和厘米，下列方程组不正确的是（　　） A． B． C． D． 二、填空题 11．某商品的成本为100元，若以标价的8折出售，仍可获利，则该商品的标价为　 　元． 12．科学研究表明：树叶在光合作用后产生的分泌物能够吸附空气中的悬浮颗粒物，具有滞尘净化空气的作用．已知一片银杏树叶一年的平均滞尘量比一片国槐树叶一年的平均滞尘量的2倍少4毫克，两片银杏树叶与三片国槐树叶一年的平均滞尘总量为146毫克．设一片银杏树叶一年的平均滞尘量为毫克，一片国槐树叶一年的平均滞尘量为毫克．依据题意，可列方程组为　 　． 13．若和都是方程y＝kx＋b的解，则k＝　 　. 14．已知方程的解和关于的方程 的解互为相反数则的值为　 　． 三、解答题 15．解方程： （1）3x-1=4-2x； （2）2（x-3）-（3x-1）=1 16．解方程组： （1）； （2）． 17．某银行设立大学生助学贷款，分3~4年期与5~7年期两种．贷款年利率分别为6.03%和6.21%，贷款利息的50%由国家财政贴补．某大学生预计6年后能一次性偿还1.8万元，问他现在大约可以贷款多少？（精确到0.1万元） 18．算盘是我国优秀文化遗产．它以排列成串的算珠作为计算工具，中间横梁把算珠分为上、下两部分，每个上珠代表5，每个下珠代表1．如图，小华在百位拨了一颗上珠和一颗下珠，然后对小明说：我将要拨的三位数，个位数字与十位数字之和是百位数字的2倍；个位数字减2等于十位数字加2，请求出这个三位数． 19．为了增强公民的节水意识，某市鼓励居民合理利用水资源，对自来水的水费实行阶梯水价，并实行“一户一表”计费，规定如下 每户年用水量 水价/ (元/m3) 180m3及以下 2 超过180m3但不超过260m3的部分 4 超过260m3的部分 6 （1）若该市某个家庭一年用水 a(m3)，其中a不超过180m3，他家应交水费　 　元， （2）该市小红家一年用水250m3，他家应交水费　 　元， （3）该市小明家一年总共交水费920元，他家用了多少m3水? 20．某牛肉干有五香味和麻辣味两种类型，小新打算购买若干袋五香味和麻辣味牛肉干． （1）小新花费4300元购买了40袋五香味牛肉干和50袋麻辣味牛肉干，已知10袋五香味牛肉干和9袋麻辣味牛肉干的售价相同，求每袋五香味牛肉干和麻辣味牛肉干的售价分别是多少元？ （2）由于市场供不应求，五香味和麻辣味牛肉干的价格均有上涨，其中每袋麻辣味牛肉干的售价是每袋五香味牛肉干售价的1.2倍，小新分别花费了1800元和3500元购买麻辣味牛肉干和五香味牛肉干，一共购买了100袋，求每袋五香味牛肉干的售价． 21．五一假期商场促销，推出赠送“优惠券”活动，其中优惠券分为三种类型．A型：满298元减100元；B型：满198元减68元；C型：满68元减20元． （1）顾客甲使用三种不同类型的优惠券消费，共优惠640元，已知该顾客用了2张A型优惠券，5张C型优惠券，则还用了________张B型优惠券． （2）顾客乙用了A，B型优惠券共6张，优惠了536元，求该顾客使用A，B优惠券各几张； （3）小丽共领到三种不同类型的优惠券各15张，她同时使用A，B，C中两种不同类型的优惠券消费（部分未使用），共优惠了708元，她可能用了哪几种优惠券组合方法？每种方法中不同类型的优惠券各几张？（请写出具体解答过程） 22．根据以下素材，探索完成任务． 【驱动问题】如何安排废水处理方案费用最省？ 【问题情境】为了响应国家环保政策，某工厂需要对废水进行处理．现有三种方式：（1）自己建造废水处理车间处理；（2）交给第三方处理；（3）一部分自己建造废水处理车间处理，剩余部分交给第三方处理． 素材1：建造一个废水处理车间需要费用5万元，可以处理废水6000吨，并且每处理一吨废水还需费用5元． 素材2：第三方处理废水费用15元/吨． 素材3：工厂生产产生的废水量少于10000吨． 【问题解决】任务1：当工厂需要处理废水多少吨时，方式（1）和（2）两种处理方式的费用相等． 任务2：若工厂需处理废水8000吨，如何安排废水处理方案，废水处理费用最省． 任务3：直接写出工厂生产产生不同废水量的处理方案，使废水处理费用最省． 23．据以下素材，探索完成任务． 如何设计销售方案？ 素材1 互联网时代，越来越多大山里的农产品，能够通过丰富多元的网络渠道走出大山、远销全国各地．直播助销就是运用“互联网”的一种销售方式．小明为当地特色花生与茶叶两种产品助销．已知每千克花生的售价比每千克茶叶的售价低40元． 素材2 销售50千克花生与销售10千克茶叶的总售价相同． 素材3 花生的成本为6元/千克，茶叶的成本为36元/千克，小明计划两种产品共助销60千克，总成本不高于1260元，且花生的数量不高于茶叶数量的2倍． 问题解决 任务1 假设每千克茶叶的售价为元/千克，每千克花生的售价为元/千克，请协助解决右边问题． 问题： （用含的代数式表示） 任务2 基于任务1的假设和素材2的条件，请尝试求出茶叶和花生的售价． 任务3 【拟定设计方案】请结合素材3中的信息，求出在此次助销活动中，哪种方案（分别销售花生、茶叶多少千克）可使商家获得最大利润． 答案解析部分 1．【答案】C 【解析】【解答】解：A x+2y 不是二元一次方程，故A项不符合题意； B x+y-z=1含有三个未知数，不是二元一次方程，故B项不符合题意； C 2x+y-1=0是二元一次方程，故C项符合题意； D 不是二元一次方程，故D项不符合题意. 故答案为：C. 【分析】根据二元一次方程的定义：含有两个未知数的整式方程，即可求得. 2．【答案】D 【解析】【解答】解：把代入第2个方程不成立，A错误； 把代入第2个方程不成立，B错误； 把代入第1个方程不成立，C错误； 把代入两个方程均成立，D正确； 故答案为：D. 【分析】将方程的解逐一代入各个方程验证即可. 3．【答案】C 4．【答案】A 5．【答案】A 6．【答案】D 【解析】解：， ①﹣②，得﹣7y=10． 故选：D． 【分析】根据加减消元法，可得答案． 7．【答案】C 8．【答案】A 【解析】【解答】解：由题意，得 故答案为：A. 【分析】设醇酒为x斗，行酒为y斗，根据两种酒共用30钱，共2斗的等量关系列出方程组即可. 9．【答案】C 10．【答案】B 11．【答案】 12．【答案】 【解析】【解答】解：设一片银杏树叶一年的平均滞尘量为毫克，一片国槐树叶一年的平均滞尘量为毫克，由题意，得： ； 故答案为：． 【分析】题目中给出两个关键等量关系：一是一片银杏树叶一年的平均滞尘量，比一片国槐树叶一年平均滞尘量的2倍还要少4毫克；二是2片银杏树叶与3片国槐树叶一年的平均滞尘总量一共是146毫克，根据这两个等量关系就可以列出对应的方程组. 13．【答案】2 【解析】【解答】把和代入方程y＝kx＋b得， 解得， 故答案为：2. 【分析】将两组解分别代入方程，利用代入消元法求出k的值解答即可. 14．【答案】 15．【答案】（1）解：3x-1=4-2x， 移项得3x+2x=4+1， 合并同类项得5x=5， 系数化为1得x=1； （2）解：2(x-3)-(3x-1)=1， 去括号得2x-6-3x+1=1， 移项得2x-3x=1-1+6， 合并同类项得-x=6， 系数化为1得x=-6. 【解析】【分析】(1)把含x的项移到方程左边，常数项移到右边，再合并同类项，最后把x的系数化成1即可； (2)先去括号，再移项，合并同类项，最后把x的系数化成1即可. 16．【答案】（1）解：， 得：， 把代入①得：， 解得：， ∴原方程组的解为： （2）解：， 原方程组可变为， 得：， 解得：， 把代入①得：， 解得：， ∴原方程组的解为： 【解析】【分析】（1）解二元一次方程组时，若两个方程中某一未知数的系数存在整数倍数关系，可利用等式的性质给其中一个变形，使该未知数的系数相等或互为相反数，再用加减消元法求解即可； （2）先去括号，再移项合并同类项对原方程组进行变形，可发现其中一个未知数可用含另一个未知数的代数式表示，此时再利用代入消元法求解即可． 17．【答案】他现在大约可以贷款1.5万元 18．【答案】这个三位数是648 19．【答案】（1）2a （2）640 （3）解：∵180×2=360(元) (260-180)×4=320(元) 920-360-320=240(元) 240÷6=40m3 ∴260+40=300(m3) ∴他家用了300m3水. 【解析】【解答】解：(1)∵一年的用水量为am3，a不超过180，水价是2元/m3， ∴该家庭一年的水费是2a元 故答案为：2a. (2)∵一年的用水量为250m3，超过180m3但不超过260m3的部分， ∴180×2+(250-180)×4=640(元) 故答案为：640. 【分析】(1)一年的用水量不超过180m3，由此即可计算； (2)一年的用水量超过180m3但不超过260m3，由此即可计算； (3)先计算180m3收费多少，然后计算(260-180)m3收费多少，再计算超过260m3的钱数，由此计算用水量. 20．【答案】（1）每袋五香味牛肉干和香辣味牛肉干的售价分别是元、元 （2）每袋五香味牛肉干的售价为元 21．【答案】（1）5； （2）顾客乙用了4张A型，2张B型优惠券； （3）小丽可能用了两种优惠券组合方法，方法1：A型3张，B型6张；方法2：B型6张，C型15张． 22．【答案】解：（1）当工厂需要处理废水吨时，方式（1）和（2）两种处理方式的费用相等，由题意，得：， 解得：； 答：当工厂需要处理废水5000吨时，方式（1）和（2）两种处理方式的费用相等； （2）∵只能利用（2）（3）方案进行处理； 当利用（2）方案处理时，（元）； 当利用（3）方案处理时：（元）； ∵， ∴按照方案（3）处理废水更省； （3）由（1）（2）可知： 当处理废水小于5000吨时，选择方案（2）更省钱； 当处理废水等于5000吨时，选择方案（1）和方案（2）所需费用一样； 当处理废水大于5000吨小于等于6000吨时，选择方案（1）更省钱， 当处理废水大于6000吨且小于10000吨时，选择方案（3）更省钱． 【解析】【解答】解：（3）当废水量小于5000吨，方式（2）费用15x小于方式（1）费用50000+5x，选方式（2）； 当废水量等于5000吨，方式（1）和（2）费用相等； 当废水量大于5000吨且小于等于6000吨，方式（1）费用50000+5x小于方式（2）费用15x，选方式（1）； 当废水量大于6000吨且小于10000吨，自己处理6000吨，第三方处理剩余部分，即方式（3）费用最省. 【分析】（1）设当工厂需要处理废水吨时，方式（1）需要的总费用为(5000+5x)元，方式（2）需要的总费用为15x元，由方式（1）和（2）两种处理方式的费用相等，列出方程进行求解即可； （2）由于8000＞6000可得只能利用（2）（3）两种方式，分别求出两种方式所需费用，进行比较即可； （3）根据（1）（2）的结果，分①当处理废水小于5000吨时，②当处理废水等于5000吨时，③当处理废水大于5000吨小于等于6000吨时，④当处理废水大于6000吨且小于10000吨时四种情况，根据各种方式计费方式，即可得出结论. 23．【答案】任务1：（） 任务2：根据题意得：， 解得：， （）（元）， 答：每千克茶叶50元，每千克花生10元； 任务3：设花生销售千克，茶叶销售（60－m）千克获利最大，利润元， 由题意得：， 解得：， ， ， 随的增大而减小， 当时，利润最大， 此时花生销售30千克，茶叶销售60－30千克， 当花生销售30千克，茶叶销售30千克时利润最大 【解析】【分析】 （1）利用花生的售价=茶叶的售价-40，即可用含x的代数式表示出y值； （2）由（1）的结论，结合销售50千克花生与销售10千克茶叶的总售价相同，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （3）设小明助销m千克茶叶，则助销（60-m）千克花生，根据“总成本不高于1260元，且花生的数量不高于茶叶数量的2倍”，可列出关于m的一元一次不等式组，解之可得出m的取值范围，设在此次助销活动中商家获得的总利润为w元，利用总利润=每千克的销售利润×销售数量，可找出w关于m的函数关系式，再利用一次函数的性质，即可解决最值问题. 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $