3.1-3.3 位置与坐标 讲义 -2026-2027学年北师大版八年级数学上册

3.1-3.3 位置与坐标（知识解读） 【北师大版2024】 题型归纳 【题型·1·用有序数对表示位置】 3 【题型·2·用有序数对表示路线】 5 【题型·3·用方向角和距离确定物体的位置】 8 【题型·4·判断点所在的象限】 10 【题型·5·已知点所在的象限求参数】 11 【题型·6·求点到坐标轴的距离】 12 【题型·7·已知两点坐标求两点距离】 14 【题型·8·点的平移与坐标】 15 【题型·9·点关于轴对称的坐标变化规律】 17 【题型·10·轴对称的性质作图】 18 【题型·11·点坐标的规律】 21 【随堂检测】 24 知识点1 确定位置 1.平面内确定物体位置，需要 2 个数据(两个数据有顺序，不能互换) 2.常见定位方式 行列定位:如(第3排，第5列) 方向 +距离:如北偏东 30°，距离 100 米 经纬度定位:地理上确定地球上点的位置。 易错:只有1个数据无法确定平面内点的位置。 知识点2 平面直角坐标 1.平面直角坐标系有两个坐标轴，其中横轴为x轴(x-axis)，取向右方向为正方向；纵轴为y轴（y-axis)，取向上为正方向。坐标系所在平面叫做坐标平面，两坐标轴的公共原点叫做平面直角坐标系的原点。 2. x轴y轴将坐标平面分成了四个象限（quadrant），右上方的部分叫做第一象限，其他三个部分按逆时针方向依次叫做第二象限、第三象限和第四象限。 3. 点坐标 （1）x轴上的点的纵坐标为零；y轴上的点的横坐标为零。 （2）在任意的两点中，如果两点的横坐标相同，则两点的连线平行于纵轴（两点的横坐标不为零）；如果两点的纵坐标相同，则两点的连线平行于横轴（两点的纵坐标不为零）。 （3）点到轴及原点的距离： 点到x轴的距离为|y|； 点到y轴的距离为|x|；点到原点的距离为x的平方加y的平方的算术平方根。 4. 象限 第一、三象限角平分线上的点横、纵坐标相等；第二、四象限角平分线上的点横、纵坐标互为相反数 5.坐标与图形性质 （1） 一三象限角平分线上的点横纵坐标相等。 （2）二四象限角平分线上的点横纵坐标互为相反数。 （3）一点上下平移，横坐标不变，即平行于y轴的直线上的点横坐标相同。 （4）y轴上的点，横坐标都为0。 （5）x轴上的点，纵坐标都为0。 6.关于x、y轴、原点对称的点坐标 （1）与x轴做轴对称变换时，x不变，y变为相反数。 （2）与y轴做轴对称变换时，y不变，x变为相反数。 （3）与原点做轴对称变换时，y与x都变为相反数。 知识点3 点平移的规律 在平面直角坐标系内，把一个图形各个点的横坐标都加上（或减去）一个整数a，相应的新图形就是把原图形向右（或向左）平移a个单位长度；如果把它各个点的纵坐标都加（或减去）一个整数a，相应的新图形就是把原图形向上（或向下）平移a个单位长度．（即：横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减．） 【题型·1·用有序数对表示位置】 【例1】如图，雷达探测器在一次探测中，发现两个目标，，若目标的位置可以用来表达，那么目标B的位置可以表示为______．    【答案】 【分析】根据题意可知表示一个点，距离是自内向外的环数，角度是所在列的度数，据此进行判断即可得解． 【详解】解：由图可得目标在自内向外第4环上，角度为， 因此目标的位置可以表示为． 【变式1-1】大年初一，圆圆和方方去电影院观看春节档科幻片，圆圆的座位是5排7座，如果用表示，那么方方坐在7排8座可表示为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查有序数对的实际应用，关键是确定有序数对中两个数分别代表的含义． 根据题意可知“有序数对的第一个数表示排，第二个数表示座”，然后用坐标表示出方方的位置即可． 【详解】∵圆圆的座位是5排7座，用表示， ∴有序数对中第一个数表示排数，第二个数表示座位号， ∵方方坐在7排8座， ∴方方的座位可表示为． 故选：B． 【变式1-2】根据下列表述，能确定具体位置的是（     ） A．横店电影城1号厅6排 B．曲靖市罗平县 C．北纬，东经 D．南偏西 【答案】C 【分析】根据平面内确定一个具体位置需要两个独立的有序数据逐项进行判断． 【详解】解：平面内确定具体位置需要两个有序的唯一数据， A 选项，横店电影城1号厅6排，缺少具体座位号，无法确定具体位置； B 选项，曲靖市罗平县是一个大范围区域，无法确定具体位置； C 选项，北纬，东经，两个数据可以唯一确定具体位置； D 选项，南偏西，缺少距离信息，无法确定具体位置． 【变式1-3】小明在教室的座位是第3列第5行，若用有序数对表示为，那么小华坐在第5列第2行应表示为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是有序数对的含义，根据有序数对的定义，第一个数表示列，第二个数表示行，小华的位置是第5列第2行，因此对应有序数对． 【详解】解：∵小明的位置表示第3列第5行， ∴有序数对的第一个数为列，第二个数为行， ∵小华在第5列第2行， ∴应表示为． 故选：A 【题型·2·用有序数对表示路线】 【例2】如图，一只甲虫在的方格（每小格边长为1）上沿着网格线运动．它从A处出发去看望B、C、D处的其它甲虫，规定：向上向右走为正，向下向左走为负．如果从A到B记为：A→B（，），从B到A记为：B→A（，），其中第一个数表示左右方向，第二个数表示上下方向，那么图中： (1)A→C（______，______），B→D（______，______）； (2)若这只甲虫从A处出发去甲虫N处的行走路线依次为，，，，请在图中标出依次行走停留点E、F、M、N的位置． 【答案】(1)， (2) 如图： ； 【分析】本题主要考查了用有序实数对表示路线．读懂题目信息，正确理解行走路线的记录方法是解题的关键． （1）根据向上向右走为正，向下向左走为负，可得答案； （2）根据向上向右走为正，向下向左走为负，可得答案； 【详解】（1）解：A→C，B→D， 故答案为：，； （2）略 【变式2-1】如图，在的方格（每小格边长为1）内有1只甲虫，它爬行的规律是先左右，再上下．规定：向右与向上为正，向左与向下为负．从点到点的爬行路线记为，从点到点的爬行路线记为，其中第一个数表示左右爬行信息，第二个数表示上下爬行信息． (1)填空：（（__________，________），_______（，________）． (2)若甲虫从点开始，爬行路线依次为，，，最终到达点处．请在图中标出甲虫的爬行路线示意图及最终点P的位置． 【答案】(1)，，D， (2)如图： 【分析】（1）根据方格中两点的位置关系，确定左右和上下移动的格数，从而得到相应的表示数. （2）根据给定的一系列数，在方格中描出爬行路线并确定最终位置.. 【详解】（1）解：：先向右移动3个单位，所以左右方向的数是+3， 再向下移动2个单位，所以上下方向的数是 ：先向右移动1个单位，所以左右方向的数是+1 再向下移动个单位，所以上下方向的数是 故答案为：，，D，. （2）解：甲虫从点开始，第一个爬行路线为：先向右1个单位，再向上3个单位； 接着(−1,+1)：先向左1个单位，再向上1个单位； 然后(+3,−5)：先向右移动3个单位，再向下移动5个单位； 最后：先向左4个单位，再向上2个单位，从而确定点P的位置. 【变式2-2】如图是中国象棋棋盘示意图，部分黑棋的棋子摆在这些交叉点上，每个交叉点的位置按照先列后行的顺序都可以用一对数来表示如：． (1)分别用两对数表示“马”“炮”所在的位置． (2)两对数和分别表示哪两枚棋子的位置． (3)象棋规则规定：“车”只能沿直线行走，一次可以走任意格．请你用三对数来描述“车”的行走路线：． 【答案】(1)马，炮 (2)表示象，表示卒 (3) 【分析】本题考查用坐标表示实际位置，解题的关键是： （1）观察棋盘结合“马”“炮”所在的位置即可求解； （2）观察棋盘判断即可； （3）根据车的行走规则，进行判断即可． 【详解】（1）解：根据题意，得马所在的位置用表示，炮所在的位置用表示； （2）解：根据题意，得表示象的位置，表示卒的位置； （3）解：根据题意，得可以用表示． 【变式2-3】如图，在的方格（每小格边长为1）内有1只甲虫，它爬行规律总是先左右，再上下．规定：向右与向上为正，向左与向下为负．从A到B的爬行路线记为：，从B到A的爬行路线为：，其中第一个数表示左右爬行信息，第二个数表示上下爬行信息． (1)图中（________，________）； (2)若甲虫的爬行路线为，计算甲虫爬行的路程； (3)若甲虫从点A出发，爬行路线依次为，，，，最终到达点P，请在图中标出点P的位置． 【答案】(1)， (2)10 (3) 点P如图所示． 【分析】本题考查坐标确定位置；理解正数与负数在实际问题中的意义是解题的关键. （1）B到D向右走3个格，向下走2个格； （2）先确定A到B，B到C，C到D的行走路线，再将所有路线长度相加即可； （3）根据题意，画出路线图即可. 【详解】（1）解：根据题意，B到D的路线为， 故答案为：，， （2）解：，， 甲虫爬行的路程为； （3）略 【题型·3·用方向角和距离确定物体的位置】 【例3】如图，用方向和距离描述图书馆相对于小青家的位置，下列选项中正确的是（     ） A．北偏东方向，距离小青家 B．北偏东方向，距离小青家 C．东偏北方向 D．东偏北方向，距离小青家 【答案】B 【分析】根据方位角的定义，结合图中位置可得答案． 【详解】解：由图知， ∴图书馆相对于小青家的位置是北偏东方向，距离小青家． 【变式3-1】一艘渔船在点看到小岛在它的南偏西方向，距离海里，那么小岛看渔船在_________方向，距离为_________海里． 【答案】 北偏东 【分析】考查方位角的有关知识点，掌握两点间互相观测时，方向相反、角度相等、距离不变是解题的关键． 【详解】解：两个观测点互相观测时，方向是相反的，南北方向对应反转，东西方向对应反转，偏转的角度保持不变，已知在点看是南偏西，那么从点看，方向从南偏西转为北偏东，角度依然是．两点间的距离是唯一的，不会因为观测点的改变而发生变化，因此到的距离是海里，那么到的距离也同样是海里． 【变式3-2】据古籍《鹖（hé）冠子》记载：“斗柄东指，天下皆春；斗柄南指，天下皆夏；斗柄西指，天下皆秋；斗柄北指，天下皆冬．”古人通过观察北斗七星斗柄的不同指向就可以确定季节．如图是北斗七星的部分平面模型图． 天玑在天璇的______偏__________方向______处． 【答案】 南 西 3 【分析】根据方向角的定义，以天璇为观测点建立方向坐标系，结合图形中的角度标注确定天玑相对于天璇的方向，根据比例尺和线段上的刻度确定两点间的距离． 【详解】解：由图可知，方向标指示向上为北，则向下为南，向左为西，向右为东， 以天璇为观测点，天玑位于天璇的左下方，即南偏西方向， 图中标注的角表示天璇与天玑连线与正南方向的夹角， ∴方向为南偏西， 观察天璇与天玑之间的线段，该线段被短竖线分为段，根据右下角比例尺可知每段长度为， ∴天璇与天玑之间的距离为， 综上所述，天玑在天璇的南偏西方向处． 故答案为：南，西，3． 【变式3-3】如图，小明家相对于学校的位置，下列描述最准确的是（     ） A．北偏东，处 B．南偏西，处 C．北偏东，处 D．距离学校处 【答案】B 【分析】确定观测点为学校，明确上北下南左西右东的方位规则，根据学校处正西与正北方向夹角为，进而计算出正北方向与小明家所在方向的夹角，结合已给出的两点距离，匹配对应的方位描述选项即可． 【详解】解：由图可知，小明家在学校的南偏西方向，小明家所在方向与正南方向向西的夹角为， 因此，小明家在学校南偏西，处． 【题型·4·判断点所在的象限】 【例4】点在（     ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【分析】坐标系中各象限的符号特征为第一象限：正，正；第二象限：负，正；第三象限：负，负；第四象限：正，负． 【详解】解：∵点的横坐标，纵坐标． ∴点在第四象限． 【变式4-1】在平面直角坐标系中，点一定在（     ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】A 【详解】解：∵点，， ∴点一定在第一象限. 【变式4-2】在平面直角坐标系中，点落在（     ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】C 【详解】解：∵点的横坐标小于0，纵坐标也小于0， ∴点在第三象限． 【变式4-3】在平面直角坐标系中，点所在的象限是（     ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【分析】分别分析点横、纵坐标的符号，再结合平面直角坐标系中各象限符号特征判断． 【详解】解：对于任意实数，有， ，即， 点的横坐标为正． ， 点的纵坐标为负． 结合平面直角坐标系中各象限的符号特征：第一象限，第二象限，第三象限，第四象限，可以判断点所在象限为第四象限． 【题型·5·已知点所在的象限求参数】 【例5】点在x轴上，则a的值为（     ） A． B．1 C． D．3 【答案】D 【分析】根据轴上点的纵坐标是0即可得到答案． 【详解】解：∵点在轴上， ∴， 解得 ． 【变式5-1】已知点在轴上，那么点的坐标是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据轴上的点的横坐标为列方程求出的值，进而即可求解． 【详解】解：∵在轴上， ∴， 解得， ∴点的坐标为． 【变式5-2】若点的坐标为，且点在轴上，则点的坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵点在轴上， ∴，解得， ∴， ∴点的坐标为． 【变式5-3】在平面直角坐标系中，点在第二象限内，则的取值可以是（     ） A． B．0 C．3 D．4或 【答案】A 【分析】由第二象限内点的横坐标符号确定的取值范围即可． 【详解】解：∵点在第二象限内， ∴， ∴选项A的满足条件． 【题型·6·求点到坐标轴的距离】 【例6】若点在第三象限，且点到轴、轴的距离分别为3，2，则点的坐标是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：点在第三象限， 点的横坐标为负，纵坐标为负， 点到轴的距离为3，到轴的距离为2， 点的纵坐标为，横坐标为，即坐标为． 【变式6-1】在平面直角坐标系中，已知点在第四象限，且点到轴的距离是4，到轴的距离是3，则点的坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵点到轴的距离是，到轴的距离是， ∴点横坐标的绝对值为，纵坐标的绝对值为， ∵点在第四象限， ∴点的横坐标为正，纵坐标为负， ∴点的坐标为． 【变式6-2】点在第二象限，距离轴6个单位长度，距离轴2个单位长度，则点的坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据点所在的象限，确定其横坐标、纵坐标的正负值以及大小，即可确定点的坐标． 【详解】解：∵点M在第二象限， ∴点M的横坐标为负，纵坐标为正， ∵点M距离x轴6个单位长度， ∴点M的纵坐标为6， ∵点M距离y轴2个单位长度， ∴点M的横坐标为， ∴点M的坐标为． 【变式6-3】在平面直角坐标系中，点到y轴的距离为1，则m的值为（     ） A．1 B． C．1或3 D．2或3 【答案】C 【详解】解：∵点到轴的距离为1， ∴， ∴或， 解得或. 【题型·7·已知两点坐标求两点距离】 【例7】如图，已知点，的坐标分别为，，连接，则的长度为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了两点之间的距离公式，熟练掌握两点之间的距离公式是解题关键．根据两点之间的距离公式求解即可． 【详解】解：点，的坐标分别为，， ． 故选：B． 【变式7-1】点C在第二象限，距离y轴3个单位长度，距离原点个单位长度，则点C的坐标为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了点的坐标，勾股定理．先确定点的横纵坐标的正负号，再根据距坐标轴的距离确定点的坐标． 【详解】解：∵点C在第二象限， ∴点的横坐标为负数，纵坐标为正数， ∵点距离y轴3个单位长度，距离原点个单位长度， ∴点距离x轴个单位长度， ∴点的坐标为． 故选：B． 【变式7-2】已知点，点，点在轴上，并且满足，则点的坐标为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查坐标系中两点距离，掌握坐标系中两点的距离公式是解题的关键． 点在轴上，设其坐标为，根据，利用距离公式建立方程求解即可． 【详解】解：设， ∵， ∴=， 两边平方得， 化简得， 解得， 故点的坐标为， 故选B． 【变式7-3】点与点两点之间的距离为（　　） A．5 B．6 C．8 D．10 【答案】D 【分析】本题主要考查坐标系中两点间距离计算，掌握坐标系中理由勾股定理求解两点之间的距离是解题的关键． 根据题意理由勾股定理求解即可． 【详解】解：点与点， 所以A、B两点的之间的距离为： 故选：D． 【题型·8·点的平移与坐标】 【例8】若点向左平移2个单位长度，再向下平移4个单位长度，得到点B的坐标为（     ） A．（2，－1） B．（－1，0） C．（－1，－1） D．（－2，0） 【答案】C 【分析】本题考查点的平移规律，解题关键是熟练掌握：点的平移，左右平移只改变点的横坐标，左减右加；上下平移只改变点的纵坐标，上加下减． 将点的横坐标减2，纵坐标减4，即可得到平移后点B的坐标． 【详解】将点向左平移2个单位后坐标变为， 向下平移4个单位后坐标变为， 即B点坐标为． 故选：C． 【变式8-1】已知平面直角坐标系中一点，若将点A向下平移，再向右平移，则可能移动到下列哪一点（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据平移方向判断平移后点的横纵坐标范围，即可筛选出正确选项． 【详解】解：点向下平移，再向右平移， 平移后所得点的横坐标大于，纵坐标小于2， 只有符合要求． 【变式8-2】线段是由线段平移得到， 的对应点为，则点 的对应点D的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查点的平移与坐标．熟练掌握点平移坐标变化规律“左减右加，上加下减”是解题的关键． 先根据点A与点C的坐标判断出平移方式 ，再根据平移方式 ，结合点平移坐标变化规律，求出点D坐标即可． 【详解】解：因为线段是由线段平移得到， 的对应点为 ， 所以线段向右平移4个单位，向上平移2个单位，得到线段， 所以点的横坐标加4，纵坐标加2， 所以点 的对应点D的坐标为，即， 故选：C． 【变式8-3】点向左平移3个单位，再向上平移4个单位到点B，则点B的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查点的平移，掌握相关知识是解题的关键． 根据点的平移规律，左右平移，横坐标左减右加，纵坐标不变；上下平移，纵坐标上加下减，横坐标不变，即可解答． 【详解】解：点向左平移3个单位，再向上平移4个单位到点． 故选C． 【题型·9·点关于轴对称的坐标变化规律】 【例9】若点关于轴的对称点为，则的坐标是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先明确点关于x轴对称的坐标变化规则，再将已知点的横坐标直接保留，纵坐标取相反数，即可得到对称点的坐标． 【详解】解：∵点与关于轴对称， ∴的坐标为． 【变式9-1】已知点 M 的坐标为，则它关于x 轴对称的点的坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用关于轴对称的点横坐标相等、纵坐标互为相反数的规律求解． 【详解】解：∵点的坐标为， ∴它关于轴对称的点的坐标为． 【变式9-2】点关于轴对称点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据“关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数”进行求解即可． 【详解】解：点关于轴对称点的坐标是． 【变式9-3】在平面直角坐标系中，点与点关于轴对称，则（    ）． A． B．13 C．3 D． 【答案】D 【分析】本题考查平面直角坐标系中关于轴对称的点的坐标规律. 利用规律求出和的值. 再代入计算即可得到结果． 【详解】解：在平面直角坐标系中，关于轴对称的点的坐标特征为：横坐标互为相反数，纵坐标相等， 又点与点关于轴对称， ，， ． 【题型·10·轴对称的性质作图】 【例10】如图，在平面直角坐标系中，，，．过点作轴的垂线． (1)画出关于轴的轴对称图形； (2)直接写出（______，______），（______，______），（______，______）； (3)在内有一点，则点关于直线的对称点的坐标为（______，______）（结果用含，的式子表示）． 【答案】(1)如图，为所画； (2)，，； (3)点关于直线的对称点的坐标为 【分析】（1）根据轴对称的性质作图即可； （2）写出，，的坐标即可； （3）根据轴对称的性质即可得点P关于直线l的对称点的坐标． 【详解】（1）略 （2）解：根据图形可得，，； （3）解：点的坐标为，即． 【变式10-1】如图，在平面直角坐标系中，有A，B，C三点． (1)若与关于y轴对称．请在图中画出； (2)依次写出，，坐标，______，______，______； (3)______． 【答案】(1)如图，即为所求； (2)，， (3)4 【分析】（1）确定关于y轴对称的对称点即可； （2）根据图形可得，，的坐标； （3）利用割补法求解面积即可. 【详解】（1）略 （2）解：根据图形可得：，，. （3）解：的面积． 【变式10-2】如图，已知的三个顶点的坐标分别是． (1)画出与关于轴对称的，并写出点的坐标； (2)求的面积． 【答案】(1) 解：如图，即为所求，点的坐标为； (2)5 【分析】（1）作点A，B，C关于x轴对称的点，再依次连接即可； （2）利用割补法求解． 【详解】（1）略 （2）解：由题意得，． 【变式10-3】如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为、、． (1)画出关于轴对称的，点、、的对应点分别是点、、； (2)在（1）的条件下，点、之间的距离为___________． 【答案】(1) 解：如图所示，即为所求． (2)10 【分析】（1）根据轴对称的性质作图即可； （2）由图象可得，结合，计算即可得出结果． 【详解】（1）略 （2）解：由图象可得，， ∴． 【题型·11·点坐标的规律】 【例11】找规律，如图：在平面直角坐标系中，各点坐标分别为， ，，则依图中所示规律，点的坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：由图可知：每隔四个点在一条射线上， ∵， ∴点的坐标与 在一条射线上，即在轴负半轴上， ∵， ，…… 点的坐标为，即． 【变式11-1】如图，在平面直角坐标系中，从点，…，依次扩展下去，则的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据各个点的位置关系，可得出下标为4的倍数的点在第一象限，被4除余1的点在第二象限，被4除余2的点在第三象限，被4除余3的点在第四象限，点在第二象限，再根据第二象限点的规律即可得出结论． 【详解】解：由题意可得规律坐标四个一循环，下标为4的倍数的点在第一象限，被4除余1的点在第二象限，被4除余2的点在第三象限，被4除余3的点在第四象限， ， 点在第二象限， 点，点，点， 故可知位于第二象限的点， 点，即． 【变式11-2】在平面直角坐标系中，若干个等腰直角三角形按如图所示的规律摆放．已知，，，，，⋯，则点的坐标是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】观察已知点坐标，发现横坐标等于下标，纵坐标呈现周期性变化规律，根据周期性求解即可． 【详解】解：由，，，，及图形可知， 点的横坐标为， 纵坐标依次为， ∴纵坐标每6个数为一个循环周期， ∵， ∴的纵坐标与的纵坐标相同，即为0， ∴的坐标为． 【变式11-3】如图，在平面直角坐标系中，已知点，按照此规律，点的坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】观察图形与坐标，发现偶数下标点的坐标呈现规律性变化，每两个点之间横坐标增加3，纵坐标增加1，归纳出点的规律公式求解.． 【详解】解：观察已知点坐标， ，，， ， 偶数项点 的坐标规律为 ． ， 令 ， 点 的横坐标为 ． 纵坐标为 ． ． 随堂检测 【随堂检测】 1．在平面直角坐标系中，点一定在（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】A 【详解】解：在平面直角坐标系中，点一定在第一象限． 2．在平面直角坐标系中，点关于轴对称的点的坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据关于轴对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标不变即可得出结果． 【详解】解：∵点关于轴对称， ∴对称点的横坐标为，纵坐标为，即对称点的坐标为． 3．在平面直角坐标系中，点的横坐标乘，纵坐标不变，得到点，则与的关系是（     ） A．关于轴对称 B．关于轴对称 C．将点向轴负方向平移两个单位长度 D．将点向轴负方向平移一个单位长度 【答案】B 【详解】解：∵点的横坐标乘，纵坐标不变， ∴点的坐标为， ∵与的纵坐标相同，横坐标互为相反数， ∴两点关于轴对称． 4．如图，在方格纸上建立适当的平面直角坐标系，“自”“贸”“港”三个字均在格点上，若“自”的坐标为，“贸”的坐标为，则“港”的坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据已知坐标建立坐标系，再进行判断即可． 【详解】解：∵“自”的坐标为，“贸”的坐标为， ∴可建立坐标系如下： ∴“港”的坐标为． 5．如图，是红军长征路线图，若表示瑞金的点的坐标为，则表示吴起镇会师的点的坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据表示瑞金的点的坐标确定原点和坐标轴的位置，据此画出平面直角坐标系即可得到答案． 【详解】解：根据题意可建立如下平面直角坐标系，则表示吴起镇会师的点的坐标为． 6．如图，在平面直角坐标系中，动点P按图中箭头所示方向从原点出发，第1次运动到点，第2次接着运动到点，第3次接着运动到点，第4次接着运动到点，…，按这样的运动规律，点的坐标是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意得到点P的横，纵坐标的规律，然后结合求解即可． 【详解】解：由图象得，、、、，， ∴横坐标和序号相同，纵坐标的变化是以1，0，，0，4个数为一组循环变化， ∵， ∴点的纵坐标和的纵坐标相同， ∴的坐标为． 7．点在y轴上，则点P的坐标是________． 【答案】 【详解】解：∵点在y轴上， ∴ 解得， ∴， ∴点P的坐标为． 8．如图，在象棋盘上建立平面直角坐标系，若“将”位于点，“象”位于点， （I）则“炮”位于点的坐标是_________； （II）如果“象”再走一步，那么“象”的新位置位于点的坐标是_________． 【答案】 或 【分析】利用“将”和“象”确定平面直角坐标系的原点与坐标轴，读出炮的坐标；结合中国象棋 “象走田” 的规则，计算“象”下一步的坐标即可． 【详解】解：由“将”和“象”可建立如图所示平面直角坐标系： ①“炮”位于点的坐标是； ②根据中国象棋规则，如果“象”再走一步，那么“象”的新位置位于点的坐标是或． 9．在平面直角坐标系中，点的坐标为，若轴，且，则点坐标为___________． 【答案】或 【分析】由轴可得点横坐标与点相同，再分点在点上方、下方两种情况，结合计算纵坐标即可． 【详解】解：∵轴，点的坐标为， ∴B的横坐标为． ， 当点在点上方时，点的纵坐标为， 此时点坐标为； 当点在点下方时，点的纵坐标为，此时点坐标为， ∴点B的坐标为或． 10．如图，动点在平面直角坐标系中按图中所示方向运动，第一次从原点运动到点，第二次运动到点，第三次运动到点，第四次运动到点，第五次运动到点，第六次运动到点，按这样的运动规律，点的坐标是________． 【答案】 【分析】根据图象可以得出规律，运动后的点的坐标特点可以发现规律，横坐标与次数相等，纵坐标每7次运动组成一个循环，再根据规律直接求解即可． 【详解】解：由图可知，，，，，，，，，， 可以发现规律：横坐标与运动次数相等， 纵坐标每次运动组成一个循环：； ， 点的纵坐标是， ∴点的坐标是． 11．在平面直角坐标系中，已知点的坐标为． (1)若点在轴上，求点的坐标； (2)若点的坐标为，且轴，求点的坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据位于纵轴上的点的横坐标为零，列一元一次方程求解； （2）根据平行于横轴的点的纵坐标相等，列出一元一次方程求解． 【详解】（1）解：点在轴上， ， 解得． ． 点的坐标为； （2）解：点的坐标为，且轴， ， 解得． ． 点的坐标为． 12．如图，的顶点均在格点上： (1)直接写出的顶点坐标； (2)顶点关于轴对称的点的坐标为__________； (3)求的面积． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了坐标与图形，坐标与图形变化—轴对称，利用数形结合的思想求解是解题的关键． （1）根据顶点的位置，直接写出顶点坐标即可； （2）根据关于y轴对称的点的坐标特征“纵坐标不变，横坐标互为相反数”即可求解； （3）利用割补法求解即可． 【详解】（1）解：由题意得，； （2）解：∵点A的坐标为， ∴顶点关于轴对称的点的坐标为； （3）解：由题意得 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 3.1-3.3 位置与坐标（知识解读） 【北师大版2024】 题型归纳 【题型·1·用有序数对表示位置】 3 【题型·2·用有序数对表示路线】 4 【题型·3·用方向角和距离确定物体的位置】 6 【题型·4·判断点所在的象限】 7 【题型·5·已知点所在的象限求参数】 7 【题型·6·求点到坐标轴的距离】 7 【题型·7·已知两点坐标求两点距离】 8 【题型·8·点的平移与坐标】 8 【题型·9·点关于轴对称的坐标变化规律】 9 【题型·10·轴对称的性质作图】 9 【题型·11·点坐标的规律】 11 【随堂检测】 12 知识点1 确定位置 1.平面内确定物体位置，需要 2 个数据(两个数据有顺序，不能互换) 2.常见定位方式 行列定位:如(第3排，第5列) 方向 +距离:如北偏东 30°，距离 100 米 经纬度定位:地理上确定地球上点的位置。 易错:只有1个数据无法确定平面内点的位置。 知识点2 平面直角坐标 1.平面直角坐标系有两个坐标轴，其中横轴为x轴(x-axis)，取向右方向为正方向；纵轴为y轴（y-axis)，取向上为正方向。坐标系所在平面叫做坐标平面，两坐标轴的公共原点叫做平面直角坐标系的原点。 2. x轴y轴将坐标平面分成了四个象限（quadrant），右上方的部分叫做第一象限，其他三个部分按逆时针方向依次叫做第二象限、第三象限和第四象限。 3. 点坐标 （1）x轴上的点的纵坐标为零；y轴上的点的横坐标为零。 （2）在任意的两点中，如果两点的横坐标相同，则两点的连线平行于纵轴（两点的横坐标不为零）；如果两点的纵坐标相同，则两点的连线平行于横轴（两点的纵坐标不为零）。 （3）点到轴及原点的距离： 点到x轴的距离为|y|； 点到y轴的距离为|x|；点到原点的距离为x的平方加y的平方的算术平方根。 4. 象限 第一、三象限角平分线上的点横、纵坐标相等；第二、四象限角平分线上的点横、纵坐标互为相反数 5.坐标与图形性质 （1） 一三象限角平分线上的点横纵坐标相等。 （2）二四象限角平分线上的点横纵坐标互为相反数。 （3）一点上下平移，横坐标不变，即平行于y轴的直线上的点横坐标相同。 （4）y轴上的点，横坐标都为0。 （5）x轴上的点，纵坐标都为0。 6.关于x、y轴、原点对称的点坐标 （1）与x轴做轴对称变换时，x不变，y变为相反数。 （2）与y轴做轴对称变换时，y不变，x变为相反数。 （3）与原点做轴对称变换时，y与x都变为相反数。 知识点3 点平移的规律 在平面直角坐标系内，把一个图形各个点的横坐标都加上（或减去）一个整数a，相应的新图形就是把原图形向右（或向左）平移a个单位长度；如果把它各个点的纵坐标都加（或减去）一个整数a，相应的新图形就是把原图形向上（或向下）平移a个单位长度．（即：横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减．） 【题型·1·用有序数对表示位置】 【例1】如图，雷达探测器在一次探测中，发现两个目标，，若目标的位置可以用来表达，那么目标B的位置可以表示为______．    【变式1-1】大年初一，圆圆和方方去电影院观看春节档科幻片，圆圆的座位是5排7座，如果用表示，那么方方坐在7排8座可表示为（　　） A． B． C． D． 【变式1-2】根据下列表述，能确定具体位置的是（     ） A．横店电影城1号厅6排 B．曲靖市罗平县 C．北纬，东经 D．南偏西 【变式1-3】小明在教室的座位是第3列第5行，若用有序数对表示为，那么小华坐在第5列第2行应表示为（　　） A． B． C． D． 【题型·2·用有序数对表示路线】 【例2】如图，一只甲虫在的方格（每小格边长为1）上沿着网格线运动．它从A处出发去看望B、C、D处的其它甲虫，规定：向上向右走为正，向下向左走为负．如果从A到B记为：A→B（，），从B到A记为：B→A（，），其中第一个数表示左右方向，第二个数表示上下方向，那么图中： (1)A→C（______，______），B→D（______，______）； (2)若这只甲虫从A处出发去甲虫N处的行走路线依次为，，，，请在图中标出依次行走停留点E、F、M、N的位置． 【变式2-1】如图，在的方格（每小格边长为1）内有1只甲虫，它爬行的规律是先左右，再上下．规定：向右与向上为正，向左与向下为负．从点到点的爬行路线记为，从点到点的爬行路线记为，其中第一个数表示左右爬行信息，第二个数表示上下爬行信息． (1)填空：（（__________，________），_______（，________）． (2)若甲虫从点开始，爬行路线依次为，，，最终到达点处．请在图中标出甲虫的爬行路线示意图及最终点P的位置． 【变式2-2】如图是中国象棋棋盘示意图，部分黑棋的棋子摆在这些交叉点上，每个交叉点的位置按照先列后行的顺序都可以用一对数来表示如：． (1)分别用两对数表示“马”“炮”所在的位置． (2)两对数和分别表示哪两枚棋子的位置． (3)象棋规则规定：“车”只能沿直线行走，一次可以走任意格．请你用三对数来描述“车”的行走路线：． 【变式2-3】如图，在的方格（每小格边长为1）内有1只甲虫，它爬行规律总是先左右，再上下．规定：向右与向上为正，向左与向下为负．从A到B的爬行路线记为：，从B到A的爬行路线为：，其中第一个数表示左右爬行信息，第二个数表示上下爬行信息． (1)图中（________，________）； (2)若甲虫的爬行路线为，计算甲虫爬行的路程； (3)若甲虫从点A出发，爬行路线依次为，，，，最终到达点P，请在图中标出点P的位置． 【题型·3·用方向角和距离确定物体的位置】 【例3】如图，用方向和距离描述图书馆相对于小青家的位置，下列选项中正确的是（     ） A．北偏东方向，距离小青家 B．北偏东方向，距离小青家 C．东偏北方向 D．东偏北方向，距离小青家 【变式3-1】一艘渔船在点看到小岛在它的南偏西方向，距离海里，那么小岛看渔船在_________方向，距离为_________海里． 【变式3-2】据古籍《鹖（hé）冠子》记载：“斗柄东指，天下皆春；斗柄南指，天下皆夏；斗柄西指，天下皆秋；斗柄北指，天下皆冬．”古人通过观察北斗七星斗柄的不同指向就可以确定季节．如图是北斗七星的部分平面模型图． 天玑在天璇的______偏__________方向______处． 【变式3-3】如图，小明家相对于学校的位置，下列描述最准确的是（     ） A．北偏东，处 B．南偏西，处 C．北偏东，处 D．距离学校处 【题型·4·判断点所在的象限】 【例4】点在（     ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【变式4-1】在平面直角坐标系中，点一定在（     ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【变式4-2】在平面直角坐标系中，点落在（     ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【变式4-3】在平面直角坐标系中，点所在的象限是（     ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【题型·5·已知点所在的象限求参数】 【例5】点在x轴上，则a的值为（     ） A． B．1 C． D．3 【变式5-1】已知点在轴上，那么点的坐标是（     ） A． B． C． D． 【变式5-2】若点的坐标为，且点在轴上，则点的坐标为（     ） A． B． C． D． 【变式5-3】在平面直角坐标系中，点在第二象限内，则的取值可以是（     ） A． B．0 C．3 D．4或 【题型·6·求点到坐标轴的距离】 【例6】若点在第三象限，且点到轴、轴的距离分别为3，2，则点的坐标是（     ） A． B． C． D． 【变式6-1】在平面直角坐标系中，已知点在第四象限，且点到轴的距离是4，到轴的距离是3，则点的坐标为（     ） A． B． C． D． 【变式6-2】点在第二象限，距离轴6个单位长度，距离轴2个单位长度，则点的坐标为（     ） A． B． C． D． 【变式6-3】在平面直角坐标系中，点到y轴的距离为1，则m的值为（     ） A．1 B． C．1或3 D．2或3 【题型·7·已知两点坐标求两点距离】 【例7】如图，已知点，的坐标分别为，，连接，则的长度为（   ） A． B． C． D． 【变式7-1】点C在第二象限，距离y轴3个单位长度，距离原点个单位长度，则点C的坐标为（ ） A． B． C． D． 【变式7-2】已知点，点，点在轴上，并且满足，则点的坐标为（　　） A． B． C． D． 【变式7-3】点与点两点之间的距离为（　　） A．5 B．6 C．8 D．10 【题型·8·点的平移与坐标】 【例8】若点向左平移2个单位长度，再向下平移4个单位长度，得到点B的坐标为（     ） A．（2，－1） B．（－1，0） C．（－1，－1） D．（－2，0） 【变式8-1】已知平面直角坐标系中一点，若将点A向下平移，再向右平移，则可能移动到下列哪一点（    ） A． B． C． D． 【变式8-2】线段是由线段平移得到， 的对应点为，则点 的对应点D的坐标为（    ） A． B． C． D． 【变式8-3】点向左平移3个单位，再向上平移4个单位到点B，则点B的坐标为（    ） A． B． C． D． 【题型·9·点关于轴对称的坐标变化规律】 【例9】若点关于轴的对称点为，则的坐标是（     ） A． B． C． D． 【变式9-1】已知点 M 的坐标为，则它关于x 轴对称的点的坐标为（     ） A． B． C． D． 【变式9-2】点关于轴对称点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【变式9-3】在平面直角坐标系中，点与点关于轴对称，则（    ）． A． B．13 C．3 D． 【题型·10·轴对称的性质作图】 【例10】如图，在平面直角坐标系中，，，．过点作轴的垂线． (1)画出关于轴的轴对称图形； (2)直接写出（______，______），（______，______），（______，______）； (3)在内有一点，则点关于直线的对称点的坐标为（______，______）（结果用含，的式子表示）． 【变式10-1】如图，在平面直角坐标系中，有A，B，C三点． (1)若与关于y轴对称．请在图中画出； (2)依次写出，，坐标，______，______，______； (3)______． 【变式10-2】如图，已知的三个顶点的坐标分别是． (1)画出与关于轴对称的，并写出点的坐标； (2)求的面积． 【变式10-3】如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为、、． (1)画出关于轴对称的，点、、的对应点分别是点、、； (2)在（1）的条件下，点、之间的距离为___________． 【题型·11·点坐标的规律】 【例11】找规律，如图：在平面直角坐标系中，各点坐标分别为， ，，则依图中所示规律，点的坐标为（     ） A． B． C． D． 【变式11-1】如图，在平面直角坐标系中，从点，…，依次扩展下去，则的坐标为（    ） A． B． C． D． 【变式11-2】在平面直角坐标系中，若干个等腰直角三角形按如图所示的规律摆放．已知，，，，，⋯，则点的坐标是（     ） A． B． C． D． 【变式11-3】如图，在平面直角坐标系中，已知点，按照此规律，点的坐标为（     ） A． B． C． D． 随堂检测 【随堂检测】 1．在平面直角坐标系中，点一定在（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2．在平面直角坐标系中，点关于轴对称的点的坐标为（     ） A． B． C． D． 3．在平面直角坐标系中，点的横坐标乘，纵坐标不变，得到点，则与的关系是（     ） A．关于轴对称 B．关于轴对称 C．将点向轴负方向平移两个单位长度 D．将点向轴负方向平移一个单位长度 4．如图，在方格纸上建立适当的平面直角坐标系，“自”“贸”“港”三个字均在格点上，若“自”的坐标为，“贸”的坐标为，则“港”的坐标为（     ） A． B． C． D． 5．如图，是红军长征路线图，若表示瑞金的点的坐标为，则表示吴起镇会师的点的坐标为（     ） A． B． C． D． 6．如图，在平面直角坐标系中，动点P按图中箭头所示方向从原点出发，第1次运动到点，第2次接着运动到点，第3次接着运动到点，第4次接着运动到点，…，按这样的运动规律，点的坐标是（     ） A． B． C． D． 7．点在y轴上，则点P的坐标是________． 8．如图，在象棋盘上建立平面直角坐标系，若“将”位于点，“象”位于点， （I）则“炮”位于点的坐标是_________； （II）如果“象”再走一步，那么“象”的新位置位于点的坐标是_________． 9．在平面直角坐标系中，点的坐标为，若轴，且，则点坐标为___________． 10．如图，动点在平面直角坐标系中按图中所示方向运动，第一次从原点运动到点，第二次运动到点，第三次运动到点，第四次运动到点，第五次运动到点，第六次运动到点，按这样的运动规律，点的坐标是________． 11．在平面直角坐标系中，已知点的坐标为． (1)若点在轴上，求点的坐标； (2)若点的坐标为，且轴，求点的坐标． 12．如图，的顶点均在格点上： (1)直接写出的顶点坐标； (2)顶点关于轴对称的点的坐标为__________； (3)求的面积． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $