第三章 位置与坐标复习讲义2026-2027学年北师大版数学八年级上册

该初中数学第三章“位置与坐标”复习讲义通过知识框架系统梳理了确定位置、平面直角坐标系、轴对称与坐标变化三大模块，以“核心目标-生活实例-概念辨析”递进结构呈现，用对比表格归纳行列定位、方位角+距离定位等不同方式的关键点，突出“两个独立数据确定位置”“坐标平面内点的特征”等重难点，构建清晰的知识内在联系。 讲义亮点在于“情境化问题解决”的练习设计，如典例1-3通过军舰位置示意图考查方位角+距离定位，典例2-2结合四边形顶点坐标判断形状并计算面积，培养学生用数学眼光观察现实世界的抽象能力和空间观念。每个题型配有“易错点提醒”和规律总结，基础学生可掌握方法，优秀学生能探究运动规律，助力教师实施分层教学，提升复习效率。

暑季研思・八年级上册数学暑期培优专项讲义 第三章 位置与坐标 知识归纳与题型总结 题型01 确定位置 一、确定位置 1． 核心目标： 1.感受确定位置的多种现实方法； 2.掌握有序数对确定平面内点的位置； 3.区分不同定位方式：行列定位、方位角 + 距离定位、经纬度定位。 2． 生活中常见确定位置的方式 1. 行列定位（座位、教室座位、电影院座位） · 例子：第 3 排第 4 座；两组数据才能确定平面内一个位置 · 关键点：顺序不能随便调换 · 例：(3,4)≠(4,3)，含义不同。 结论：平面上确定一个位置，一般需要两个独立数据。 2. 方位角 + 距离定位（航海、雷达、方位图） 格式：北偏东（西）×°，距离 × 米 / 南偏东（西）×°，距离 × 千米 ⚠️注意：① 必须以观测点为中心；② 只有角度没有距离，只能确定一条射线，不能确定唯一位置；③ 只有距离没有角度，是以观测点为圆心的圆，无数个点。 👉方位角 + 距离两组数据，才能唯一确定位置。 3. 经纬度定位（地球上地点） 经度、纬度两个数据确定地球上一点，本质也是两组数据。 3． 有序数对 1.定义：有顺序的两个数 a 与 b 组成的数对，记作 (a,b)。 2.“有序” 含义：(a,b) 和 (b,a) 一般不表示同一个位置。 【典例1-1】恺撒密码是世界上最古老的加密技术之一，采用位移加密方法：明文中的所有字母都按照一个固定数值在字母表上向后（或向前）进行移位后形成密文．例如，向前移动3位（密钥）的恺撒密码，如上图所示：解密：已知密钥，密文所对应的明文是__________． 【典例1-2】若将正整数按图所示的规律排列．若用有序数对表示第a排，从左至右第b个数，例如表示的数是9，则表示的数是______． 【典例1-3】如图是三艘军舰的位置示意图，已知C舰到A舰的图上距离为4cm，实际A舰在C舰的正东方向40千米处，B舰到C舰的图上距离为2cm，请通过计算，用方向和距离描述B舰相对于C舰的实际位置：______． 题型02 平面直角坐标系 一、平面直角坐标系 1．定义：在平面内，两条互相垂直且有公共原点的数轴组成平面直角坐标系． 2．坐标轴：通常，两条数轴分别置于水平位置与竖直位置，取向右与向上的方向分别为两条数轴的正方向．水平的数轴称为轴或横轴，竖直的数轴称为轴或纵轴，轴和轴统称坐标轴，它们的公共原点O称为平面直角坐标系的原点． 二、坐标平面内点的坐标特征 1．点的坐标: 如下图，对于平面内任意一点P，过点P分别向轴、轴作垂线，垂足在轴、y轴上对应的数，b分别称为点P的横坐标、纵坐标，有序实数对（，b）称为点P的坐标． 2．坐标平面内点的坐标特征：如下图． ①坐标原点O的坐标为（0，0）； ②第一象限内的点，、同号，均为正； ③第二象限内的点，、异号，为负，为正； ④第三象限内的点，、同号，均为负； ⑤第四象限内的点，、异号，为正，为负； ⑥横轴（轴）上的点，纵坐标为0，即（，0）； ⑦纵轴（轴）上的点，横坐标为0，即（0，）． 【典例2-1】如图，在平面直角坐标系上有点，点A第一次跳动至点，第二次向右跳动3个单位至点，第三次跳动至点，第四次向右跳动5个单位至点，……依此规律跳动下去，点A第2026次跳动至的坐标是（） A． B． C． D． 【典例2-2】在平面直角坐标系中，点构成一个四边形． (1)请在坐标系中画出这个四边形，并判断其形状； (2)求四边形的面积； (3)若点P在x轴上，且，求点P的坐标． 【典例2-3】中国象棋中的“马”沿“日”字形对角线走，俗称“马走日”，现有三个棋子的位置如图所示，若建立平面直角坐标系，使帅、相所在点的坐标分别为，则马直接走到第一象限时，对应点的坐标是______． 题型03 轴对称与坐标变化 1、 轴对称中的坐标变化 1．关于轴对称：关于轴对称的两个点的坐标，横坐标相同，纵坐标互为相反数；反过来，横坐标相同、纵坐标互为相反数的两个点关于轴对称． 2．关于轴对称：关于轴对称的两个点的坐标，纵坐标相同，横坐标互为相反数；反过来，纵坐标相同、横坐标互为相反数的两个点关于轴对称． 【典例3-1】在平面直角坐标系中，的位置如图所示． (1)分别写出各个顶点的坐标； (2)分别写出顶点A关于x轴对称的点的坐标和顶点B关于y轴对称的点的坐标； (3)求的面积． 【典例3-2】如图，在平面直角坐标系中，已知点，，，，一智能机器人从点A出发，以每秒1个单位长度的速度，沿方向匀速循环前行．当机器人前行了秒时，其所在位置的点的坐标是___________． 【典例3-3】如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点位于第三象限，且到轴的距离为1，到轴的距离为3． (1)写出图中点的坐标，找到点的位置，并在图中画出． (2)将各顶点的横坐标保持不变，纵坐标分别乘，得到新的三角形的坐标分别是多少？画出新图形，并直接写出所得图形与原的位置有怎样的关系？ (3)若，且，直接写出点的坐标． 一、选择题 1．《望天门山》一诗通过对天门山景色的描绘，不仅展现了大自然的神奇壮丽，更体现了李白诗歌中情景交融的艺术境界，诗的前两句为“天门中断楚江开，碧水东流至此回”．小冉将“碧”“水”“东”“流”写在如图所示的网格中．若建立平面直角坐标系，使“碧”“水”的坐标分别为，，则“流”的坐标为（     ） A． B． C． D． 2．利用平移，人们可以设计出美丽的图案，如图所示的是小明利用甲骨文“山”字在平面直角坐标系中通过平移设计的图案，已知点，点，点，点，点，点，点若继续平移，则点的坐标为（     ） A． B． C． D． 3．如图，在平面直角坐标系中，，，，，把一条长为2026个单位长度且没有弹性的细线（线的粗细忽略不计）的一端固定在点处，并按…的规律绕在四边形的边上，则细线另一端所在位置的点的坐标是（    ） A．（10，10） B． C． D． 4．已知平面直角坐标系中有和两点，且点在第四象限，，直线轴，则的值为（    ） A．或 B． C． D．2或12 5．如图是一片树叶标本，将其放在平面直角坐标系中，若叶片上两点的坐标分别表示为，则叶片基部点的坐标为（    ） A． B． C． D． 6．某公园部分景点位置示意图如图所示，其中景点都在正方形网格的格点上．如果分别以正东、正北方向为x轴、y轴的正方向建立平面直角坐标系，表示望春亭的点的坐标为，表示中心广场的点的坐标为，那么表示玫瑰园的点的坐标为（     ） A． B． C． D． 7．在平面直角坐标系中，一只青蛙从原点出发，按向上、向右、向下、向右的方向依次跳动，每次跳动个单位长度，其坐标为：，，，，，，其行走路线如图所示，则点的坐标为（     ） A． B． C． D． 8．如图，在平面直角坐标系中，三角形，三角形，三角形，三角形都是等边三角形，且点的坐标分别是，依据图形所反映的规律，则的坐标是（     ） A． B． C． D． 9．在平面直角坐标系中，有一动点从处向上运动1个单位至，然后向左运动2个单位至处，再向下运动3个单位至处，再向右运动4个单位至处，再向上运动5个单位至处，如此继续运动下去．设，，2，3…，则的坐标是（     ） A． B． C． D． 10．如图，在平面直角坐标系中，四边形的四个顶点坐标分别是，，，，动点从出发，以每秒1个单位长度的速度按逆时针方向沿四边形的边做环绕运动，同时动点从出发，以每秒4个单位长度的速度按顺时针方向沿四边形的边做环绕运动，则动点，第次相遇时的点的坐标是（     ） A． B． C． D． 二、填空题 11．如果点在第一象限且到x轴，y轴的距离相等，那么点P的坐标是______． 12．如果点在坐标轴上，那么点P的坐标为________________． 13．如图是某公园部分景点位置的示意图，其中景点都在正方形网格的格点上．如果分别以正东、正北方向为x轴、y轴的正方向建立平面直角坐标系，规定一个单位长度代表长．表示牡丹园的点的坐标为，表示游乐园的点的坐标为，那么表示喷水池的点的坐标为____________ ；如果经过西门的道路a与x轴平行，那么从牡丹园到道路a的距离是_____ ． 14．春天到了，七（2）班组织同学到公园春游，张明、李华对着景区示意图，张明描述牡丹亭位置为（图中小正方形边长代表长）“牡丹亭坐标”；根据张明描述在图中建立适当的平面直角坐标系，则望春亭的坐标为________． 15．如图，在平面直角坐标系中，四边形是正方形，点A的坐标为，弧是以点B为圆心，为半径的圆弧；弧是以点O为圆心，为半径的圆弧；弧是以点C为圆心，为半径的圆弧；弧是以点A为圆心，为半径的圆弧，继续以点B，O，C，A为圆心，按上述作法得到的曲线，称为正方形的“渐开线”，则点的坐标是__________． 三、解答题 16．如图所示，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，． (1)在图中画出关于x轴对称的图形，并写出，，的坐标； (2)在图中，若与点B关于一条直线成轴对称，则这条对称轴是_________，此时C点关于这条直线的对称点的坐标为_________； (3)求的面积； 17．已知点，根据下列条件求点P的坐标． (1)点P在x轴上； (2)点P的横坐标比纵坐标小4； (3)点P到坐标轴的距离相等． 18．已知平面直角坐标系中有一点． (1)若点N在x轴上，求此时点N的坐标； (2)若点N在过点且与y轴平行的直线上，求此时n的值； (3)若点N到x轴的距离与到y轴的距离相等，求点N的坐标． 19．先阅读下列一段文字，再回答后面的问题． 已知平面内两点，这两点间的距离，同时，当两点所在的直线在坐标轴上或平行于坐标轴或垂直于坐标轴时，两点间距离公式可简化为或． (1)已知，试求A，B两点间的距离； (2)已知A，B在平行于y轴的直线上，点A的纵坐标为5，点B的纵坐标为，试求A，B两点间的距离． 20．在平面直角坐标系中，已知点，，，且满足，线段交y轴于点F，点D是y轴正半轴上的一点． (1)求出点A，B的坐标； (2)如图2，若，，且分别平分，，求的度数；（用含的式子表示） (3)如图3，若F点坐标为，坐标轴上是否存在一点P（不与点C重合），使得三角形的面积与三角形的面积相等？若存在，直接写出P点坐标；若不存在，请说明理由． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $暑季研思・八年级上册数学暑期培优专项讲义 第三章 位置与坐标 知识归纳与题型总结 题型01 确定位置 一、确定位置 1． 核心目标： 1.感受确定位置的多种现实方法； 2.掌握有序数对确定平面内点的位置； 3.区分不同定位方式：行列定位、方位角 + 距离定位、经纬度定位。 2． 生活中常见确定位置的方式 1. 行列定位（座位、教室座位、电影院座位） · 例子：第 3 排第 4 座；两组数据才能确定平面内一个位置 · 关键点：顺序不能随便调换 · 例：(3,4)≠(4,3)，含义不同。 结论：平面上确定一个位置，一般需要两个独立数据。 2. 方位角 + 距离定位（航海、雷达、方位图） 格式：北偏东（西）×°，距离 × 米 / 南偏东（西）×°，距离 × 千米 ⚠️注意：① 必须以观测点为中心；② 只有角度没有距离，只能确定一条射线，不能确定唯一位置；③ 只有距离没有角度，是以观测点为圆心的圆，无数个点。 👉方位角 + 距离两组数据，才能唯一确定位置。 3. 经纬度定位（地球上地点） 经度、纬度两个数据确定地球上一点，本质也是两组数据。 3． 有序数对 1.定义：有顺序的两个数 a 与 b 组成的数对，记作 (a,b)。 2.“有序” 含义：(a,b) 和 (b,a) 一般不表示同一个位置。 【典例1-1】恺撒密码是世界上最古老的加密技术之一，采用位移加密方法：明文中的所有字母都按照一个固定数值在字母表上向后（或向前）进行移位后形成密文．例如，向前移动3位（密钥）的恺撒密码，如上图所示：解密：已知密钥，密文所对应的明文是__________． 【答案】 【分析】根据规则分别确定密文中每个字母对应的明文中的字母，进一步可得答案． 【详解】解：由题意可得：向前移动3位对应的是， 向前移动3位对应的是， 向前移动3位对应的是， 向前移动3位对应的是， 结合循环可得：向前移动3位对应的是， ∴当密钥，密文所对应的明文是． 【典例1-2】若将正整数按图所示的规律排列．若用有序数对表示第a排，从左至右第b个数，例如表示的数是9，则表示的数是______． 【答案】 【分析】由图可知前n排的正整数总个数就是，求出前排的总个数，即可求出第32排第14个数． 【详解】解：观察排列规律可得：第排有个正整数， 前n排的正整数总个数就是 则前排的总个数：， 那么第32排第14个数就是． 【典例1-3】如图是三艘军舰的位置示意图，已知C舰到A舰的图上距离为4cm，实际A舰在C舰的正东方向40千米处，B舰到C舰的图上距离为2cm，请通过计算，用方向和距离描述B舰相对于C舰的实际位置：______． 【答案】北偏东方向，距离C舰20千米处 【分析】根据题意可得之间的距离为千米，且在的北偏东方向，求解即可． 【详解】解：根据已知C舰到A舰的图上距离为4cm，实际A舰在C舰的正东方向40千米处可得，代表的距离为千米， B舰到C舰的图上距离为2cm，则之间的距离为千米， 根据图形可得，在的北偏东方向， 则B舰相对于C舰的实际位置为北偏东方向，距离C舰20千米处． 题型02 平面直角坐标系 一、平面直角坐标系 1．定义：在平面内，两条互相垂直且有公共原点的数轴组成平面直角坐标系． 2．坐标轴：通常，两条数轴分别置于水平位置与竖直位置，取向右与向上的方向分别为两条数轴的正方向．水平的数轴称为轴或横轴，竖直的数轴称为轴或纵轴，轴和轴统称坐标轴，它们的公共原点O称为平面直角坐标系的原点． 二、坐标平面内点的坐标特征 1．点的坐标: 如下图，对于平面内任意一点P，过点P分别向轴、轴作垂线，垂足在轴、y轴上对应的数，b分别称为点P的横坐标、纵坐标，有序实数对（，b）称为点P的坐标． 2．坐标平面内点的坐标特征：如下图． ①坐标原点O的坐标为（0，0）； ②第一象限内的点，、同号，均为正； ③第二象限内的点，、异号，为负，为正； ④第三象限内的点，、同号，均为负； ⑤第四象限内的点，、异号，为正，为负； ⑥横轴（轴）上的点，纵坐标为0，即（，0）； ⑦纵轴（轴）上的点，横坐标为0，即（0，）． 【典例2-1】如图，在平面直角坐标系上有点，点A第一次跳动至点，第二次向右跳动3个单位至点，第三次跳动至点，第四次向右跳动5个单位至点，……依此规律跳动下去，点A第2026次跳动至的坐标是（） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】观察图形及已知点坐标，分别找出下标为奇数和偶数时点的坐标规律，即可求解． 【详解】解：由题意得：，，，，，，， 归纳可得：当为正整数时，点的坐标为，点的坐标为， ， 点的坐标符合的规律，其中， 点的横坐标为，纵坐标为， 即 ． 【典例2-2】在平面直角坐标系中，点构成一个四边形． (1)请在坐标系中画出这个四边形，并判断其形状； (2)求四边形的面积； (3)若点P在x轴上，且，求点P的坐标． 【答案】(1)如下图，四边形即为所求，该四边形为长方形 (2)12 (3)或 【分析】（1）根据四点坐标在坐标系中画出该四边形，然后判断其形状即可； （2）根据矩形的面积公式求解即可； （3）设点P的坐标为，设与轴交于点，则点坐标为，易得，然后根据三角形面积公式求得的值，即可获得答案． 【详解】（1）略 （2）∵， ∴， ∴四边形的面积； （3）设点P的坐标为，如下图，设与轴交于点，则点坐标为， ∴， ∵， ∴， ∴，解得或， ∴点P的坐标为或． 【典例2-3】中国象棋中的“马”沿“日”字形对角线走，俗称“马走日”，现有三个棋子的位置如图所示，若建立平面直角坐标系，使帅、相所在点的坐标分别为，则马直接走到第一象限时，对应点的坐标是______． 【答案】 【分析】直接利用已知点得出平面直角坐标系，进而得出马直接走到第一象限时所在点的坐标． 【详解】解：直角坐标系如图所示： 马直接走到第一象限时所在点的坐标是． 题型03 轴对称与坐标变化 1、 轴对称中的坐标变化 1．关于轴对称：关于轴对称的两个点的坐标，横坐标相同，纵坐标互为相反数；反过来，横坐标相同、纵坐标互为相反数的两个点关于轴对称． 2．关于轴对称：关于轴对称的两个点的坐标，纵坐标相同，横坐标互为相反数；反过来，纵坐标相同、横坐标互为相反数的两个点关于轴对称． 【典例3-1】在平面直角坐标系中，的位置如图所示． (1)分别写出各个顶点的坐标； (2)分别写出顶点A关于x轴对称的点的坐标和顶点B关于y轴对称的点的坐标； (3)求的面积． 【答案】(1) (2)， (3) 【详解】（1）观察网格：； （2）关于轴对称点， 关于轴对称点： （3）用框住三角形的最小矩形减去周围3个直角三角形面积， ． 【典例3-2】如图，在平面直角坐标系中，已知点，，，，一智能机器人从点A出发，以每秒1个单位长度的速度，沿方向匀速循环前行．当机器人前行了秒时，其所在位置的点的坐标是___________． 【答案】 【分析】根据点坐标求出矩形周长，计算出循环一周时间，再进行判断秒循环的次数，即可确定坐标． 【详解】解：∵，，，， ∴，，，， ∴矩形周长为， ∵机器人从点A出发，以每秒1个单位长度的速度移动， ∴机器人每秒完成一次循环， ∴， ∴机器人处于第圈的第秒的位置， ∴点沿着到达点时，用时秒， 点沿着到达点，用时秒， 点沿着运动时，第秒位置是点向左平移个单位，到达， ∴当机器人前行了秒时，其所在位置的点的坐标是． 【典例3-3】如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点位于第三象限，且到轴的距离为1，到轴的距离为3． (1)写出图中点的坐标，找到点的位置，并在图中画出． (2)将各顶点的横坐标保持不变，纵坐标分别乘，得到新的三角形的坐标分别是多少？画出新图形，并直接写出所得图形与原的位置有怎样的关系？ (3)若，且，直接写出点的坐标． 【答案】(1)点的坐标为，如图，点的位置，即为所求； (2)； ； 所得图形与原的位置关于x轴对称 (3)或 【分析】（1）求出点A的坐标，即可解答； （2）设点A，B，C的对应点分别为点，可得，即可求解； （3）过点A作，且，即可求解． 【详解】（1）解：∵点位于第三象限，且到轴的距离为1，到轴的距离为3． ∴点， （2）解：设点A，B，C的对应点分别为点， ∵，将各顶点的横坐标保持不变，纵坐标分别乘， ∴新的三角形的坐标分别是， 画出新图形略； 所得图形与原的位置关于x轴对称； （3）解：如图，过点A作，且， ∴点D的坐标为或． 一、选择题 1．《望天门山》一诗通过对天门山景色的描绘，不仅展现了大自然的神奇壮丽，更体现了李白诗歌中情景交融的艺术境界，诗的前两句为“天门中断楚江开，碧水东流至此回”．小冉将“碧”“水”“东”“流”写在如图所示的网格中．若建立平面直角坐标系，使“碧”“水”的坐标分别为，，则“流”的坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据已知的坐标确定坐标原点，建立平面直角坐标系，再找到“流”的坐标即可． 【详解】∵“碧”，“水”， ∴平面直角坐标系中，向右为轴正方向，向上为轴正方向，每个网格边长为1个单位长度， ∵在轴上，往下数一行为轴，如图所示， ∴“流”的坐标为． 2．利用平移，人们可以设计出美丽的图案，如图所示的是小明利用甲骨文“山”字在平面直角坐标系中通过平移设计的图案，已知点，点，点，点，点，点，点若继续平移，则点的坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意可得每6个点为一个循环，每个循环内横坐标增加6，纵坐标依次为2，1，3，1，2，0，求出2026除以6的商和余数即可得到答案． 【详解】解：点，点，点，点，点，点，点， 以此类推可知，每6个点为一个循环，每个循环内横坐标增加6，纵坐标依次为2，1，3，1，2，0， ∵， ∴点的横坐标为，纵坐标为1， ∴点的坐标为． 3．如图，在平面直角坐标系中，，，，，把一条长为2026个单位长度且没有弹性的细线（线的粗细忽略不计）的一端固定在点处，并按…的规律绕在四边形的边上，则细线另一端所在位置的点的坐标是（    ） A．（10，10） B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据点的坐标求出四边形各边的长度及周长，再用细线总长度除以周长求出余数，根据余数确定细线另一端在四边形边上的具体位置，进而求出坐标． 【详解】解：∵，，，， ∴，，，， ∴四边形的周长为， ∵， ∴细线另一端在绕四边形第21圈的第26个单位长度的位置， ∵从点出发，按的方向绕行，且， ∴细线另一端落在边上，且距离点为26个单位长度， ∴该点的横坐标为，纵坐标为， 即细线另一端所在位置的点的坐标是． 4．已知平面直角坐标系中有和两点，且点在第四象限，，直线轴，则的值为（    ） A．或 B． C． D．2或12 【答案】C 【分析】先根据平行于轴的直线上点的坐标特征得到的值，再根据的长度得到的所有可能值，结合点在第四象限的条件确定的取值，最后代入计算即可． 【详解】解：直线轴， 、两点的横坐标相等， ， ， ， 解得或， 点在第四象限，第四象限内点的纵坐标为负数， ， ． 5．如图是一片树叶标本，将其放在平面直角坐标系中，若叶片上两点的坐标分别表示为，则叶片基部点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据A，B两点的坐标建立好坐标系，即可确定点C的坐标． 【详解】解：∵A，B两点的坐标分别为，， ∴建立坐标系如图所示： ∴叶片基部点C的坐标为． 6．某公园部分景点位置示意图如图所示，其中景点都在正方形网格的格点上．如果分别以正东、正北方向为x轴、y轴的正方向建立平面直角坐标系，表示望春亭的点的坐标为，表示中心广场的点的坐标为，那么表示玫瑰园的点的坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据表示望春亭的点的坐标为，建立平面直角坐标系，结合坐标系即可得出结果． 【详解】解：∵表示望春亭的点的坐标为， ∴建立平面直角坐标系如图所示： 由图可得：表示玫瑰园的点的坐标为． 7．在平面直角坐标系中，一只青蛙从原点出发，按向上、向右、向下、向右的方向依次跳动，每次跳动个单位长度，其坐标为：，，，，，，其行走路线如图所示，则点的坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】观察可得，每4个点为一个循环，纵坐标依次为2，2，0，0，每个循环横坐标增加4，计算出的商和余数即可得到答案． 【详解】解：点，，，，，，，，，…， ∴每4个点为一个循环，纵坐标依次为2，2，0，0，每个循环横坐标增加4， ∵， ∴点纵坐标为2，横坐标为， 点的坐标为． 8．如图，在平面直角坐标系中，三角形，三角形，三角形，三角形都是等边三角形，且点的坐标分别是，依据图形所反映的规律，则的坐标是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】观察图形可以得到，每4个为一组，据此可以得到在x轴正半轴上，纵坐标为0，根据，……得到横坐标为，据此即可求解． 【详解】解：观察图形可以看出，…，每4个为一组， ∵， ∴在x轴正半轴上，纵坐标为0， ∵， ……， ∴当时，的横坐标为4， 当时，的横坐标为5， 当时，的横坐标为6， ……， 当时，横坐标为， ∵， ∴， 则， ∴的坐标是． 9．在平面直角坐标系中，有一动点从处向上运动1个单位至，然后向左运动2个单位至处，再向下运动3个单位至处，再向右运动4个单位至处，再向上运动5个单位至处，如此继续运动下去．设，，2，3…，则的坐标是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由图知从开始每经过4次变换回到第一象限，则落在第一象限，然后找到第一象限点坐标的规律，从而解决题目. 【详解】解：由图知从开始每经过4次变换回到第一象限， ， ∴落在第一象限； 由题意落在第一象限的点，，，， ∴， ∴． 10．如图，在平面直角坐标系中，四边形的四个顶点坐标分别是，，，，动点从出发，以每秒1个单位长度的速度按逆时针方向沿四边形的边做环绕运动，同时动点从出发，以每秒4个单位长度的速度按顺时针方向沿四边形的边做环绕运动，则动点，第次相遇时的点的坐标是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】计算长方形的周长及两点初始距离，利用相遇问题公式求出第次相遇时点运动的总路程，结合周期性确定最终坐标． 【详解】解：由点，，，可知，， ∴四边形的周长为； ∵ 点从出发逆时针运动，点从出发顺时针运动， ∴两点初始沿运动方向的路程和为， ∴第一次相遇用时秒； ∵第一次相遇后每次相遇需合走一圈，用时秒， ∴第次相遇时，点运动的总时间为秒， ∴点运动的总路程为； ∵， ∴点回到起点后又逆时针运动了个单位长度.， ∵起点逆时针运动个单位长度到达点， ∴第次相遇时的点的坐标是 ． 二、填空题 11．如果点在第一象限且到x轴，y轴的距离相等，那么点P的坐标是______． 【答案】 【分析】根据点在第一象限的坐标特征，可知点的横纵坐标均为正数，结合点到轴、轴的距离相等，可得横纵坐标相等，据此列方程求解，再代入计算得到点的坐标． 【详解】解：∵点在第一象限， ∴，， ∵点到轴，轴的距离相等，点到轴的距离等于纵坐标的绝对值，点到轴的距离等于横坐标的绝对值， ∴， ∴， 移项，合并同类项得， 解得， ∴，， ∴点的坐标为． 12．如果点在坐标轴上，那么点P的坐标为________________． 【答案】或或 【分析】根据坐标轴上点的坐标特征，分两种情况：点在轴上和点在轴上，分别列方程求出的值，再代入计算得到点的坐标． 【详解】解：点在坐标轴上， 分两种情况讨论： ①当点在轴上时，轴上点的纵坐标为，可得 ， 解得或， 当时，，此时点的坐标为， 当时，，此时点的坐标为； ②当点在轴上时，轴上点的横坐标为，可得 ， 解得， 当时，，此时点的坐标为． 综上所述，点的坐标为或或． 13．如图是某公园部分景点位置的示意图，其中景点都在正方形网格的格点上．如果分别以正东、正北方向为x轴、y轴的正方向建立平面直角坐标系，规定一个单位长度代表长．表示牡丹园的点的坐标为，表示游乐园的点的坐标为，那么表示喷水池的点的坐标为____________ ；如果经过西门的道路a与x轴平行，那么从牡丹园到道路a的距离是_____ ． 【答案】 3 【详解】解：根据表示牡丹园和游乐园的点的坐标建立平面直角坐标系如下： 表示喷水池的点的坐标为； 由平面直角坐标系可知，表示西门的点的坐标为， 经过西门的道路a与x轴平行，牡丹园的点的坐标为， 牡丹园到道路a的距离是． 14．春天到了，七（2）班组织同学到公园春游，张明、李华对着景区示意图，张明描述牡丹亭位置为（图中小正方形边长代表长）“牡丹亭坐标”；根据张明描述在图中建立适当的平面直角坐标系，则望春亭的坐标为________． 【答案】 【分析】根据题意建立直角坐标系，然后写出望春亭的坐标即可． 【详解】解：根据题意建立直角坐标系如下： 则望春亭的坐标为． 15．如图，在平面直角坐标系中，四边形是正方形，点A的坐标为，弧是以点B为圆心，为半径的圆弧；弧是以点O为圆心，为半径的圆弧；弧是以点C为圆心，为半径的圆弧；弧是以点A为圆心，为半径的圆弧，继续以点B，O，C，A为圆心，按上述作法得到的曲线，称为正方形的“渐开线”，则点的坐标是__________． 【答案】 【分析】根据题意得出点到点的坐标，进而可得（n为非负整数），据此规律可得答案． 【详解】解：由题意得，，，，……， 以此类推，可知，（n为非负整数）， ∵， ∴点的坐标是，即． 三、解答题 16．如图所示，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，． (1)在图中画出关于x轴对称的图形，并写出，，的坐标； (2)在图中，若与点B关于一条直线成轴对称，则这条对称轴是_________，此时C点关于这条直线的对称点的坐标为_________； (3)求的面积； 【答案】(1)解：即为所求作的三角形，如图所示：    由图可知：． (2)y轴； (3) 【分析】（1）根据轴对称的性质作出点A、B、C关于x轴的对称点，再顺次连接即可； （2）利用轴对称的性质解决问题即可； （3）根据割补法求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：在图中，若与点关于一条直线成轴对称，则这条对称轴是直线，即y轴，此时C点关于这条直线的对称点的坐标为； （3）解：． 17．已知点，根据下列条件求点P的坐标． (1)点P在x轴上； (2)点P的横坐标比纵坐标小4； (3)点P到坐标轴的距离相等． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）根据x轴上的点纵坐标为0求解即可； （2）根据横坐标比纵坐标小4列方程求解即可； （3）根据到坐标轴距离相等的点横纵坐标的绝对值相等．求解即可 【详解】（1）解：点在x轴上， ， 解得：，则， 点P的坐标为； （2）解：点的横坐标比纵坐标小4， ， 解得：， ，， 点P的坐标为； （3）解：点到坐标轴的距离相等， ， 解得：或， 当时，，， 当时，，， 点P的坐标为或． 18．已知平面直角坐标系中有一点． (1)若点N在x轴上，求此时点N的坐标； (2)若点N在过点且与y轴平行的直线上，求此时n的值； (3)若点N到x轴的距离与到y轴的距离相等，求点N的坐标． 【答案】(1)； (2)； (3)或 【分析】（1）根据轴上的点纵坐标为，得到，解方程求出的值，根据的值求出点的坐标即可； （2）根据平行于轴的直线上的点的横坐标相同，得到，解方程求出的值，根据的值求出点的坐标即可； （3）根据点到坐标轴的距离分别等于其横、纵坐标的绝对值，分两种情况进行求解即可． 【详解】（1）解：当点在轴上时，点的纵坐标为， ， 解得：， ， 点的坐标是； （2）解：点在过点且与轴平行的直线上， ， 解得：； （3）解：点到轴的距离与到轴的距离相等， 或， 解得：或， 当时，， 当时，，， 点的坐标为或． 19．先阅读下列一段文字，再回答后面的问题． 已知平面内两点，这两点间的距离，同时，当两点所在的直线在坐标轴上或平行于坐标轴或垂直于坐标轴时，两点间距离公式可简化为或． (1)已知，试求A，B两点间的距离； (2)已知A，B在平行于y轴的直线上，点A的纵坐标为5，点B的纵坐标为，试求A，B两点间的距离． 【答案】(1)13 (2)8 【分析】（1）将点A、B的坐标代入两点间的距离公式进行解答即可； （2）点A、B两点间的距离为，进行计算即可． 【详解】（1）解：A，B两点间的距离； （2）解：由题意，得：A，B两点间的距离． 20．在平面直角坐标系中，已知点，，，且满足，线段交y轴于点F，点D是y轴正半轴上的一点． (1)求出点A，B的坐标； (2)如图2，若，，且分别平分，，求的度数；（用含的式子表示） (3)如图3，若F点坐标为，坐标轴上是否存在一点P（不与点C重合），使得三角形的面积与三角形的面积相等？若存在，直接写出P点坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2) (3)存在，或或 【分析】（1）根据非负数的性质得到关于a，b的二元一次方程组，然后求解即可； （2）过点M作，交y轴于点N，根据平行线的性质易证，再根据角平分线的定义整理即可得解； （3）存在，分点在y轴上，与x轴上两种情况进行讨论即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， 解得：， ∵点，， ∴点，； （2）解：如图，过点M作， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴轴，即， ∵分别平分，，， ∴， ∴； （3）解：∵，，， ∴， ∴， 当点P在y轴上时，设点， ∵F点坐标为， ∴， ∴， ∵三角形的面积与三角形的面积相等， ∴， 解得：或5， ∴点P的坐标为或； 当点P在x轴上时，设点，则， ∴， ∵三角形的面积与三角形的面积相等， ∴， 解得：或4（舍去）， ∴点P的坐标为； 综上所述，点P的坐标为或或． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $