第3章 圆 单元测试卷 2026～2027学年苏科版九年级数学上册

第3章 圆 单元测试卷（2026~2027学年） 第3章 圆 单元测试卷 苏科版（2024）九上数学上册 参考答案与解析 1．（3分）下列说法中正确的是（　　） A．弦是直径 B．弧是半圆 C．半圆是圆中最长的弧 D．直径是圆中最长的弦 【答案】D 【解答】解：A、错误．弦不一定是直径．B、错误．弧是圆上两点间的部分．C、错误．优弧大于半圆．D、正确．直径是圆中最长的弦．故选：D． （来源：2024秋•元阳县期末） 2．（3分）同一圆中，半圆的直径（　　）整圆的直径． A．大于 B．小于 C．等于 D．不确定 【答案】C 【解答】解：半径决定圆的大小，同一圆中，半圆、扇形和整圆对应的半径都相等，则直径也相等．故选：C． （来源：2024秋•宝山区校级月考） 3．（3分）已知圆锥的底面圆半径为3，母线长为4，则圆锥的侧面积为（　　） A．6π B．12π C．15π D．24π 【答案】B 【解答】解：S侧＝πrl＝π×3×4＝12π，故选：B． （来源：2024•无锡） 4．（3分）半径为5的四个圆按如图所示位置摆放，若其中有一个圆的圆心到直线l的距离为4，则这个圆可以是（　　） A．⊙O1 B．⊙O2 C．⊙O3 D．⊙O4 【答案】C 【解答】解： ∵⊙O1、⊙O2、⊙O3、⊙O4是四个半径为5的等圆， ∴圆心到直线l的距离为4是⊙O3，故选：C． （来源：2024秋•阜平县期末） 5．（3分）如图，AB为半圆O的直径，C是半圆上一点，且∠COA＝60°，设扇形AOC、△COB、弓形BmC的面积为S1、S2、S3，则它们之间的关系是（　　） A．S1＜S2＜S3 B．S2＜S1＜S3 C．S1＜S3＜S2 D．S3＜S2＜S1 【答案】B 【解答】解：作OD⊥BC交BC与点D， ∵∠COA＝60°， ∴∠COB＝120°，则∠COD＝60°． ∴S扇形AOC==；S扇形BOC==．在三角形OCD中，∠OCD＝30°， ∴OD=，CD=，BC=R， ∴S△OBC=，S弓形=-=，＞＞， ∴S2＜S1＜S3．故选：B． （来源：2021•福田区校级自主招生） 6．（3分）如图，在正方形方格中，A，B，C，D，E，P均在格点处，则点P是下列哪个三角形的外心（　　） A．△ACE B．△ABD C．△ACD D．△BCE 【答案】D 【解答】解：由勾股定理得：PC＝PE＝PB==， ∴P到B、C、E的距离相等， ∴P是△BCE的外心．故选：D． （来源：2024•龙口市一模） 7．（3分）如图，点A是优弧BC的中点，过点B作AC的垂线交AC于点E，与圆交于点D．若∠BDC＝60°，且AE＝3，则圆的半径为（　　） A．2 B．3 C．3 D．3 【答案】A 【解答】解：如图所示，连接BC， ∴∠A＝∠D＝60°， ∵BD⊥AC， ∴∠ABE＝30°， ∴AB＝2AE＝6， ∵点A是优弧BC的中点， ∴AB＝AC， ∴AC＝2AE＝6， ∴AE＝CE， ∵∠AEB＝∠CEB＝90°，BE＝BE， ∴△ABE≌△CBE（SAS）， ∴∠ABE＝∠CBE＝30°，BC＝AB＝6， ∵∠BDC＝60°， ∴∠BCD＝90°， ∴BD是圆的直径， ∵BD＝2CD，BC2+CD2＝BD2， ∴62+CD2＝（2CD）2， ∴CD=2， ∴BD=2CD=4， ∴圆的直径为4， ∴圆的半径为2．故选：A． （来源：2025•郯城县一模） 8．（3分）设边长为a的等边三角形的高、内切圆的半径、外接圆的半径分别为h、r、R，则下列结论不正确的是（　　） A．h＝R+r B．R＝2r C．r=a D．R=a 【答案】C 【解答】解：如图， ∵△ABC是等边三角形， ∴△ABC的内切圆和外接圆是同心圆，圆心为O，设OE＝r，AO＝R，AD＝h， ∴h＝R+r，故A正确； ∵AD⊥BC， ∴∠DAC=∠BAC=×60°＝30°，在Rt△AOE中， ∴R＝2r，故B正确； ∵OD＝OE＝r， ∵AB＝AC＝BC＝a， ∴AE=AC=a， ∴（a）2+r2＝（2r）2，（a）2+（R）2＝R2， ∴r=，R=a，故C错误，D正确；故选：C． （来源：2020•随州） 9．（3分）一个圆内最长的弦长是12cm，则此圆的半径是 cm． 【答案】6 【解答】解：因为直径是圆中最长的弦，而圆的最长弦长为12cm，所以直径是12cm，半径是6cm．故答案为：6． （来源：2024秋•西乡塘区校级月考） 10．（3分）如图，已知四边形ABCD是圆O的内接四边形，∠BOD＝80°，则∠BCD＝ ． 【答案】140° 【解答】解： ∵∠BAD为BD所对的圆周角且∠BOD＝80°， ∴∠BAD=∠BOD=×80°=40°，又 ∵四边形ABCD是圆O的内接四边形， ∴∠BAD+∠BCD＝180°， ∴∠BCD＝180°﹣∠BAD＝180°﹣40°＝140°，故答案为：140°． （来源：2021•常德） 11．（3分）早在2000多年前的战国时期，《墨经》一书中就给出了圆的描述性定义：“圜（这里读yuan），一中同长也”这就是说，圆是平面内到定点的距离等于定长的点的集合．其中定点是 ． 【答案】圆心 【解答】解：定点是圆心，定长是半径．故答案为：圆心． （来源：2024秋•襄都区校级月考） 12．（3分）如图，圆O是四边形ABCD的内切圆，连接AO、BO、CO、DO，记△AOD、△AOB、△COB、△DOC的面积分别为S1、S2、S3、S4，则S1、S2、S3、S4的数量关系为 ． 【答案】S1+S3＝S2+S4 【解答】解：如图设切点分别为E、F、G、H，由切线性质可知，OE⊥AD，OF⊥CD，OG⊥BCOH⊥AB，OE＝OF＝OG＝OH＝r，设DE＝DF＝a，AE＝AH＝b，BH＝BG＝c，CG＝CF＝d，S1=r（a+b），S2=r （b+c），S3= r（c+d），S4=r（a+d）， ∴S1+S3=r（a+b）+ r（c+d）=r（a+b+c+d），S2+S4=r（a+d）+r （b+c）=r（a+b+c+d）， ∴S1+S3＝S2+S4．故答案为S1+S3＝S2+S4． （来源：2021•雁塔区校级模拟） 13．（3分）学校的铅球场地，由投掷区、抵趾板和落地区组成．如图所示，运动员推出的铅球着地后会留下痕迹．裁判员会按照如下步骤测量并给出成绩：①将皮尺的零刻度线拉至铅球落点；②将皮尺的另一端拉长并经过投掷区的圆心；③将皮尺拉直，读取皮尺上落在投掷区抵趾板内沿处的数值，作为运动员的成绩．确定铅球比赛成绩的数学公理是 ． 【答案】圆上的点到圆心的距离相等 【解答】解：由题意可知，用到的数学公理是：圆上的点到圆心的距离相等．故答案为：圆上的点到圆心的距离相等． （来源：2025春•宝山区校级期末） 14．（3分）一条弦把圆分成1：5两部分，则这条弦所对的圆周角的度数是 ． 【答案】30°或150° 【解答】解：连接OA、OB， ∵一条弦AB把圆分成1：5两部分，如图， ∴弧AC′B的度数是×360°＝60°，弧ACB的度数是360°﹣60°＝300°， ∴∠AOB＝60°， ∴∠ACB=∠AOB＝30°， ∴∠AC′B＝180°﹣30°＝150°，故答案为：30°或150°． （来源：2023•襄阳模拟） 15．（3分）如图，将扇形AOB沿OB方向平移，使点O移到OB的中点O′处，得到扇形A′O′B′．若∠O＝90°，OA＝2，则阴影部分的面积为 ． 【答案】π3+32 【解答】解：如图，设O′A′交AB于点T，连接OT． ∵OT＝OB，OO′＝O′B， ∴OT＝2OO′， ∵∠OO′T＝90°， ∴∠O′TO＝30°，∠TOO′＝60°， ∴S阴＝S扇形O′A′B′﹣（S扇形OTB﹣S△OTO′）=-（-×1×）=+．故答案为：+． （来源：2022•河南） 16．（3分）如图，正方形ABCD中，AB＝4，M是CD边上一个动点，以CM为直径的圆与BM相交于点Q，P为CD上另一个动点，连接AP，PQ，则AP+PQ的最小值是 ． 【答案】213-2 【解答】解：连接CQ，以CD为一条边在右侧作正方形CDEF，则∠MQC＝90°， ∴∠BQC＝90°， ∴点Q在以BC为直径的圆上运动， ∵AD＝DE，∠ADP＝∠EDP，DP＝DP， ∴△ADP≌△EDP（SAS）， ∴AP＝EP， ∴AP+PQ＝EP+PQ≥EQ≥EO﹣ON=-2=-2=2-2， ∴AP+PQ的最小值为2-2，故答案为：2-2． （来源：2025•龙马潭区一模） 17．（6分）珠海市斗门区周伯伯家稻谷丰收，收割的稻谷堆放成近似于一个圆锥，把这堆稻谷装入高为2米、底面直径为4米的粮仓中，能装多高？ 【答案】见解析 【解答】解：能装x米，由题意得：π×（）2×1.2＝π×（）2•x，解得：x＝0.9，答：能装0.9米． （来源：2024•灞桥区校级模拟） 18．（6分）已知：P＝（a+b）2﹣（a+b）（a﹣b）﹣2b2． （1）化简P； （2）若某圆锥的底面半径为a，母线长为b，且侧面积为2π，求P的值． 【答案】见解析 【解答】解：（1）P＝（a+b）2﹣（a+b）（a﹣b）﹣2b2＝a2+2ab+b2﹣a2+b2﹣2b2＝2ab； （2）由题意得：•2πa•b＝2π，则ab＝2， ∴P＝2ab＝4． （来源：2023•花都区二模） 19．（6分）如图，用一个圆心角为120°的扇形围成一个无底的圆锥， （1）若圆锥的母线长为3cm，求圆锥的侧面积． （2）若圆锥底面圆的半径为2cm，求扇形的半径． 【答案】见解析 【解答】解：（1） ∵圆锥的母线长为3cm， ∴扇形的半径为3cm， ∴扇形面积为：=3π（cm2）， ∴圆锥的侧面积为3πcm2； （2）设扇形的半径为rcm， ∵圆锥底面圆的半径为2cm， ∴圆锥底面圆的周长为4πcm， ∴扇形弧长为4πcm，则=4π，解得：r＝6，答：扇形的半径为6cm． （来源：2024•西湖区校级开学） 20．（6分）已知∠MAN，按要求完成下列尺规作图（不写作法，保留作图痕迹）． （1）如图①，B，C分别在射线AM、AN上，求作▱ABDC； （2）如图②，点O是∠MAN内一点，求作线段PQ，使P、Q分别在射线AM、AN上，且点O是PQ的中点． 【答案】见解析 【解答】解：（1）如图①，平行四边形ABDC为所作； （2）如图②，PQ为所作． （来源：2024春•秦淮区期末） 21．（6分）填补下列证明过程．如图，△ABC中，D是边BC的中点，延长AD到点E，且CE∥AB． （1）求证：△ABD≌△ECD．证明：∵CE∥AB（已知），∴∠B＝∠DCE（ ）．∵D是边BC的中点（已知），∴ ．在△ABD和△ECD中，，∴△ABD≌△ECD（ ）． （2）如果AB＝8，AC＝6，则AD的取值范围是 ． 【答案】两直线平行，内错角相等 【解答】（1）证明： ∵CE∥AB（已知）， ∴∠B＝∠DCE （两直线平行，内错角相等）． ∵D是边BC的中点（已知）， ∴BD＝CD； ∵AB、BC相交， ∴∠ADB＝∠EDC （对顶角相等）．在△ABD和△ECD中，， ∴△ABD≌△ECD （ ASA）．故答案为：两直线平行，内错角相等；ASA； （2）解：在△ACE中，AB＝8，AC＝68﹣6＜AE＜8+6 ∴2＜2AD＜14 ∴1＜AD＜7，故答案为：1＜AD＜7， （来源：2024秋•新华区校级期中） 22．（6分）如图，在圆O中，弦AB＝8，点C在圆O上（C与A，B不重合），连接CA、CB，过点O分别作OD⊥AC，OE⊥BC，垂足分别是点D、E． （1）求线段DE的长； （2）点O到AB的距离为3，求圆O的半径． 【答案】见解析 【解答】解：（1） ∵OD经过圆心O，OD⊥AC， ∴AD＝DC，同理：CE＝EB， ∴DE是△ABC的中位线， ∴DE=AB， ∵AB＝8， ∴DE＝4． （2）过点O作OH⊥AB，垂足为点H，OH＝3，连接OA， ∵OH经过圆心O， ∴AH＝BH=AB， ∵AB＝8， ∴AH＝4，在Rt△AHO中，AH2+OH2＝AO2， ∴AO＝5，即圆O的半径为5． （来源：2020•安徽模拟） 23．（8分）如图，在圆内接四边形ABCD中，AD＜AC，∠ADC＜∠BAD，延长AD至点E，使AE＝AC，延长BA至点F，连结EF，使∠AFE＝∠ADC． （1）若∠AFE＝60°，CD为直径，求∠ABD的度数． （2）求证：①EF∥BC；②EF＝BD． 【答案】见解析 【解答】（1）解： ∵CD为直径， ∴∠CAD＝90°， ∵∠AFE＝∠ADC＝60°， ∴∠ACD＝90°﹣60°＝30°， ∴∠ABD＝∠ACD＝30°； （2）证明：①如图，延长AB， ∵四边形ABCD是圆内接四边形， ∴∠CBM＝∠ADC，又 ∵∠AFE＝∠ADC， ∴∠AFE＝∠CBM， ∴EF∥BC；②过点D作DG∥BC交⊙O于点G，连接AG，CG，DG， ∵DG∥BC， ∴BD=CG， ∴BD＝CG， ∵四边形ACGD是圆内接四边形， ∴∠GDE＝∠ACG， ∵EF∥DG， ∴∠DEF＝∠GDE， ∴∠DEF＝∠ACG， ∵∠AFE＝∠ADC，∠ADC＝∠AGC， ∴∠AFE＝∠AGC， ∵AE＝AC， ∴△AEF≌△ACG（AAS）， ∴EF＝CG， ∴EF＝BD． （来源：2024•浙江） 24．（8分）综合与实践主题：装饰锥形草帽．素材：母线长为25cm、高为20cm的锥形草帽（如图（1））和五张颜色不同（红、橙、黄、蓝、紫）、足够大的卡纸．步骤1：将红、橙、黄、蓝、紫卡纸依次按照圆心角1：2：1：2：3的比例剪成半径为25cm的扇形．步骤2：将剪下的扇形卡纸依次粘贴在草帽外表面，彩色卡纸恰好覆盖草帽外表而且卡纸连接处均无缝隙、不重叠，便可得到五彩草帽．计算与探究：（1）计算红色扇形卡纸的圆心角的度数； （2）如图（2），根据（1）的计算过程，直接写出圆锥的高h、母线长a与侧面展开图的圆心角度数n°之间的数量关系： ． 【答案】n=360a2-h2a 【解答】解：（1）圆锥的底面半径为=15（cm），设侧面展开图的圆心角为n°，则=2π×15，解得n＝216°， ∴216°×=24°答：红色扇形卡纸的圆心角的度数为24°； （2） ∵圆锥的底面半径为， ∴=2π， ∴n=．故答案为：n=． （来源：2024•潍坊模拟） 25．（10分）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠BAC＝30°，点D是AC的中点，过点A作BD的垂线，与BD延长线交于点E． （1）如图，若DE＝1，求AB的长； （2）点F在线段DC上，连接BF，将射线BF绕点B逆时针旋转30°，与射线AE交于点G．①探究线段AB，AF，AG之间的数量关系，请写出结论并说明理由；②若BC＝2，M，N为AB，BD的中点，延长GM，FN交于点H，求△MNH面积最大值． 【答案】见解析 【解答】解：（1） ∵D是AC中点，∠ABC＝90°， ∴AD＝BD＝CD， ∵∠BAC＝30°， ∴∠DBA＝30°， ∴∠ADE＝60°，∠DAE＝30°， ∵DE＝1， ∴AD＝2， ∴AC＝2AD＝4， ∴AB＝AC•cos30°＝2； （2）AB+AG=AF，证明如下：延长AG，在延长线上取一点P，使AF＝PF，则∠GAF＝∠BAC＝∠APF＝30°， ∴∠AFP＝120°， ∴AP=AF， ∵∠GAF＝∠GBF＝30°， ∴A、G、B、F四点共圆， ∴∠PGF+∠AGF＝∠ABF+∠AGF＝180°， ∴∠PGF＝∠ABF， ∵∠P＝∠BAF＝30°，PF＝AF， ∴△PGF≌△ABF（AAS）， ∴PG＝AB， ∴AP＝AG+PG＝AG+AB=AF，即AB+AG=AF； （3）如图，连接MN、GF， ∵M、N为AB、DB中点， ∴MN是△ABD中位线， ∴MN∥AD， ∴△BMN∽△BAD，由（2）可知A、G、B、F四点共圆， ∴∠BGF＝∠BAD＝30°， ∴∠BGF＝∠BAD＝30°＝∠FBG＝∠ABD， ∴△BDA∽△BFG， ∴△BNM∽△BFG， ∴=，又 ∵∠FBN＝∠GBM， ∴△BFN∽△BGM， ∴∠BFN＝∠BGM， ∴∠H＝∠FBG＝30°， ∵BC＝2， ∴AC＝4， ∴AD＝2， ∴MN=AD=1，根据定弦定角模型可知点H、M、N三点共圆，作△MNH的外接圆⊙O，则∠MON＝2∠H＝60°， ∴△MON为等边三角形， ∴OM＝ON＝MN＝1，过O作OK⊥MN于点K，并延长KO交⊙O，过H作HL⊥MN于点L，则OT+OK≥HL， ∴当点H与T重合时，此时△MNH的高最大，即△MNH的面积最大， ∵OK＝OM•sin60°=， ∴TK＝OT+OK=，此时S△MNH=MN•HK=， ∴△MNH面积最大值为． （来源：2025•成都模拟） 26．（10分）如图1，点B在直线l上，过点B构建等腰直角三角形ABC，使∠BAC＝90°，且AB＝AC，过点C作CD⊥直线l于点D，连接AD． （1）小亮在研究这个图形时发现，∠BAC＝∠BDC＝90°，点A，D应该在以BC为直径的圆上，则∠ADB的度数为 °，将射线AD顺时针旋转90°交直线l于点E，可求出线段AD，BD，CD的数量关系为 ； （2）小亮将等腰直角三角形ABC绕点B在平面内旋转，当旋转到图2位置时，线段AD，BD，CD的数量关系是否变化，请说明理由； （3）在旋转过程中，若CD长为1，当△ABD面积取得最大值时，请直接写AD的长． 【答案】45°，CD+DB=2AD 【解答】解：（1）①如图，在图1中． ∵∠BAC＝90°，且AB＝AC， ∴∠ACB＝∠ABC＝45°， ∵∠BAC＝∠BDC＝90°， ∴A、B、C、D四点共圆， ∴∠ADB＝∠ACB＝45°；②由题意可知，∠EAD＝∠BAC＝90°， ∴∠EAB＝∠DAC，又AE＝AD，AB＝AC， ∴△EAB≌△DAC（SAS）， ∴BE＝CD， ∵AE＝AD，∠EAD＝90°， ∴△ADE是等腰直角三角形， ∴DE=AD， ∵CD+DB＝EB+BD＝DE， ∴CD+DB=AD；故答案为45°，CD+DB=AD； （2）线段AD，BD，CD的数量关系会变化，数量关系为BD﹣CD=AD．理由如下：如图2，将AD绕点A顺时针旋转90°交直线l于点E．则∠DAE＝∠CAB＝90°， ∴∠DAC＝∠EAB，又AD＝AE，AC＝AB， ∴△EAB≌△DAC（SAS）， ∴BE＝CD， ∵AE＝AD，∠EAD＝90°， ∴△ADE是等腰直角三角形， ∴DE=AD， ∵BD﹣CD＝BD﹣BE＝DE， ∴BD﹣CD=AD； （3）由（2）知，△CDA≌△BEA， ∴∠CDA＝∠AEB， ∵∠DEA＝45°， ∴∠AEB＝180°﹣45°＝135°， ∴∠CDA＝∠AEB＝135°， ∴∠CDA+∠ABC＝135°+45°＝180°， ∴A、B、C、D四点共圆，于是作A、B、C、D外接圆⊙O，如图，当点D在线段AB的垂直平分线上且在AB的左侧时，DG经过圆心，此时DG最长，因此△ABD的面积最大．作DG⊥AB，则DG平分∠ADB，DB＝DA，在BD上截取一点H，使得CD＝DH＝1， ∵∠ADB＝∠ACB＝45°， ∴∠GDB＝22.5°，∠DBG＝67.5°， ∴∠DBC＝67.5°﹣45°＝22.5°，∠HCB＝∠DHC﹣∠HBC＝45°﹣22.5°＝22.5°， ∴∠HCB＝∠HBC， ∴HB＝CH=， ∴AD＝BD＝DH+BH＝1+． （来源：2025•鲁山县三模） 27．（10分）【问题提出】（1）如图1，在△ABC中，BC＝2AB，点D是BC边上一点，且AB＝2BD，连接AD，若AD＝3，则AC的长为 ；【问题探究】（2）如图2，点E是菱形ABCD内一动点，AB＝4，∠B＝60°，连接AE、CE、DE，若∠CED＝90°，求线段AE的最小值；【问题解决】（3）如图3，某游乐园有一块矩形空地ABCD，现要将其进行规划，沿对角线AC修建一条长廊，将△ABC区域修建成水上乐园，在△ACD区域内修建公共卫生间E和凉亭F（大小均忽略不计），再分别沿DE、CF，DF铺设三条小路，并沿AE铺设地下水管，为节省铺设地下水管的成本，要求水管的长度AE尽可能的小．已知AB＝60m，CF＝2DE，∠BAC＝2∠ACB，∠ADE＝∠ACF＝∠CDF．求水管长度AE的最小值． 【答案】6 【解答】解：（1） ∵AB＝2BD，BC＝2AB， ∴==， ∵∠B＝∠B， ∴△ABD∽△CBA， ∴=， ∴AC＝6；故答案为：6； （2） ∵∠CED＝90°， ∴点E在以CD为直径的圆上，且在菱形ABCD内部．以CD为直径作⊙O，连接AC、OE、OA，OA交⊙O于点E'， ∵四边形ABCD是菱形，AB＝4，∠B＝60°， ∴CD＝AD＝AB＝4，∠ADC＝60°，△ACD是等边三角形． ∵点O是CD的中点， ∴AO⊥CD，OD＝OC＝OE＝OE'＝2， ∴OA==2． ∵AE+OE≥OA，即AE+OE≥AE'+OE'， ∴当点E与点E'重合时，AE最小，此时AE=AE′=OA-OE′=2-2， ∴AE的最小值为2-2； （3） ∵四边形ABCD是矩形，∠BAC＝2∠ACB， ∴∠ABC＝90°，∠ACB＝30°，∠ACD＝∠BAC＝60°，CD＝AB＝60m， ∴AD=CD⋅tan∠ACD=60m． ∵∠ACD＝∠ACF+∠DCF＝60°，∠ACF＝∠CDF， ∴∠CDF+∠DCF＝60°，则∠CFD＝120°，作△CDF的外接圆⊙O，则点F在矩形ABCD内部的⊙O上，连接OC，OD、OF， ∴∠COD＝2（180°﹣∠CDF）＝120°， ∴∠OCD＝∠ODC＝30°，则∠OCA＝∠ACD+∠OCD＝90°．过点O作OH⊥CD于点H，则DH＝CH＝30m，OF=OD=OC==20m．延长CA至点G，使得CG=2AD=120m，连接GF、OG，OG交⊙O于点F′． ∴CF＝2DE，CG＝2DA，∠GCF＝∠ADE， ∴△CGF∽△DAE， ∴==2，即GF＝2AE， ∴当GF最小时，AE取得最小值． ∵GF+OF≥OG，OG＝OF'+GF'， ∴当点F与点F'重合时，GF最小，GF的最小值＝OG﹣OF'，在Rt△OCG中，OC=20m，CG=120m， ∴OG==20， ∴GF最小=(20-20)m， ∴水管长度AE的最小值是(10-10)m． （来源：2025•渭城区一模） 第 1 页 / 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $第3章 圆 单元测试卷（2026~2027学年） 第3章 圆 单元测试卷 苏科版（2024）九上数学上册 （2026~2027学年）　考试时间：120分钟　满分：130分 学校：__________　　班级：__________　　姓名：__________ 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共27小题，满分130分，考试时间120分钟。 2．答卷前，考生务必将自己的学校、班级、姓名、准考证号填写在左侧密封线内。 3．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，将答案字母填在「选择题答题栏」对应题号下；如需改动，擦净后重填。 4．回答第Ⅱ卷时，用黑色签字笔将答案写在题目相应位置；作图题用2B铅笔作答，并保留作图痕迹。 5．考试结束后，将本试卷一并交回。 第Ⅰ卷（选择题） 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 选择题答题栏 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 1．（3分）下列说法中正确的是（　　） A．弦是直径 B．弧是半圆 C．半圆是圆中最长的弧 D．直径是圆中最长的弦 2．（3分）同一圆中，半圆的直径（　　）整圆的直径． A．大于 B．小于 C．等于 D．不确定 3．（3分）已知圆锥的底面圆半径为3，母线长为4，则圆锥的侧面积为（　　） A．6π B．12π C．15π D．24π 4．（3分）半径为5的四个圆按如图所示位置摆放，若其中有一个圆的圆心到直线l的距离为4，则这个圆可以是（　　） A．⊙O1 B．⊙O2 C．⊙O3 D．⊙O4 5．（3分）如图，AB为半圆O的直径，C是半圆上一点，且∠COA＝60°，设扇形AOC、△COB、弓形BmC的面积为S1、S2、S3，则它们之间的关系是（　　） A．S1＜S2＜S3 B．S2＜S1＜S3 C．S1＜S3＜S2 D．S3＜S2＜S1 6．（3分）如图，在正方形方格中，A，B，C，D，E，P均在格点处，则点P是下列哪个三角形的外心（　　） A．△ACE B．△ABD C．△ACD D．△BCE 7．（3分）如图，点A是优弧BC的中点，过点B作AC的垂线交AC于点E，与圆交于点D．若∠BDC＝60°，且AE＝3，则圆的半径为（　　） A．2 B．3 C．3 D．3 8．（3分）设边长为a的等边三角形的高、内切圆的半径、外接圆的半径分别为h、r、R，则下列结论不正确的是（　　） A．h＝R+r B．R＝2r C．r=a D．R=a 第Ⅱ卷（非选择题） 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 9．（3分）一个圆内最长的弦长是12cm，则此圆的半径是 　　　　 cm． 10．（3分）如图，已知四边形ABCD是圆O的内接四边形，∠BOD＝80°，则∠BCD＝　　　　 ． 11．（3分）早在2000多年前的战国时期，《墨经》一书中就给出了圆的描述性定义：“圜（这里读yuan），一中同长也”这就是说，圆是平面内到定点的距离等于定长的点的集合．其中定点是　　　　 ． 12．（3分）如图，圆O是四边形ABCD的内切圆，连接AO、BO、CO、DO，记△AOD、△AOB、△COB、△DOC的面积分别为S1、S2、S3、S4，则S1、S2、S3、S4的数量关系为 　　　　 ． 13．（3分）学校的铅球场地，由投掷区、抵趾板和落地区组成．如图所示，运动员推出的铅球着地后会留下痕迹．裁判员会按照如下步骤测量并给出成绩：①将皮尺的零刻度线拉至铅球落点；②将皮尺的另一端拉长并经过投掷区的圆心；③将皮尺拉直，读取皮尺上落在投掷区抵趾板内沿处的数值，作为运动员的成绩．确定铅球比赛成绩的数学公理是 　　　　 ． 14．（3分）一条弦把圆分成1：5两部分，则这条弦所对的圆周角的度数是　　　　 ． 15．（3分）如图，将扇形AOB沿OB方向平移，使点O移到OB的中点O′处，得到扇形A′O′B′．若∠O＝90°，OA＝2，则阴影部分的面积为 　　　　 ． 16．（3分）如图，正方形ABCD中，AB＝4，M是CD边上一个动点，以CM为直径的圆与BM相交于点Q，P为CD上另一个动点，连接AP，PQ，则AP+PQ的最小值是 　　　　 ． 三、解答题（本大题共11小题，共82分） 17．（6分）珠海市斗门区周伯伯家稻谷丰收，收割的稻谷堆放成近似于一个圆锥，把这堆稻谷装入高为2米、底面直径为4米的粮仓中，能装多高？ 18．（6分）已知：P＝（a+b）2﹣（a+b）（a﹣b）﹣2b2． （1）化简P； （2）若某圆锥的底面半径为a，母线长为b，且侧面积为2π，求P的值． 19．（6分）如图，用一个圆心角为120°的扇形围成一个无底的圆锥， （1）若圆锥的母线长为3cm，求圆锥的侧面积． （2）若圆锥底面圆的半径为2cm，求扇形的半径． 20．（6分）已知∠MAN，按要求完成下列尺规作图（不写作法，保留作图痕迹）． （1）如图①，B，C分别在射线AM、AN上，求作▱ABDC； （2）如图②，点O是∠MAN内一点，求作线段PQ，使P、Q分别在射线AM、AN上，且点O是PQ的中点． 21．（6分）填补下列证明过程．如图，△ABC中，D是边BC的中点，延长AD到点E，且CE∥AB． （1）求证：△ABD≌△ECD．证明：∵CE∥AB（已知），∴∠B＝∠DCE（　　　　 ）．∵D是边BC的中点（已知），∴　　　　 ．在△ABD和△ECD中，，∴△ABD≌△ECD（　　　　 ）． （2）如果AB＝8，AC＝6，则AD的取值范围是　　　　 ． 22．（6分）如图，在圆O中，弦AB＝8，点C在圆O上（C与A，B不重合），连接CA、CB，过点O分别作OD⊥AC，OE⊥BC，垂足分别是点D、E． （1）求线段DE的长； （2）点O到AB的距离为3，求圆O的半径． 23．（8分）如图，在圆内接四边形ABCD中，AD＜AC，∠ADC＜∠BAD，延长AD至点E，使AE＝AC，延长BA至点F，连结EF，使∠AFE＝∠ADC． （1）若∠AFE＝60°，CD为直径，求∠ABD的度数． （2）求证：①EF∥BC；②EF＝BD． 24．（8分）综合与实践主题：装饰锥形草帽．素材：母线长为25cm、高为20cm的锥形草帽（如图（1））和五张颜色不同（红、橙、黄、蓝、紫）、足够大的卡纸．步骤1：将红、橙、黄、蓝、紫卡纸依次按照圆心角1：2：1：2：3的比例剪成半径为25cm的扇形．步骤2：将剪下的扇形卡纸依次粘贴在草帽外表面，彩色卡纸恰好覆盖草帽外表而且卡纸连接处均无缝隙、不重叠，便可得到五彩草帽．计算与探究：（1）计算红色扇形卡纸的圆心角的度数； （2）如图（2），根据（1）的计算过程，直接写出圆锥的高h、母线长a与侧面展开图的圆心角度数n°之间的数量关系：　　　　 ． 25．（10分）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠BAC＝30°，点D是AC的中点，过点A作BD的垂线，与BD延长线交于点E． （1）如图，若DE＝1，求AB的长； （2）点F在线段DC上，连接BF，将射线BF绕点B逆时针旋转30°，与射线AE交于点G．①探究线段AB，AF，AG之间的数量关系，请写出结论并说明理由；②若BC＝2，M，N为AB，BD的中点，延长GM，FN交于点H，求△MNH面积最大值． 26．（10分）如图1，点B在直线l上，过点B构建等腰直角三角形ABC，使∠BAC＝90°，且AB＝AC，过点C作CD⊥直线l于点D，连接AD． （1）小亮在研究这个图形时发现，∠BAC＝∠BDC＝90°，点A，D应该在以BC为直径的圆上，则∠ADB的度数为 　　　　 °，将射线AD顺时针旋转90°交直线l于点E，可求出线段AD，BD，CD的数量关系为 　　　　 ； （2）小亮将等腰直角三角形ABC绕点B在平面内旋转，当旋转到图2位置时，线段AD，BD，CD的数量关系是否变化，请说明理由； （3）在旋转过程中，若CD长为1，当△ABD面积取得最大值时，请直接写AD的长． 27．（10分）【问题提出】（1）如图1，在△ABC中，BC＝2AB，点D是BC边上一点，且AB＝2BD，连接AD，若AD＝3，则AC的长为　　　　 ；【问题探究】（2）如图2，点E是菱形ABCD内一动点，AB＝4，∠B＝60°，连接AE、CE、DE，若∠CED＝90°，求线段AE的最小值；【问题解决】（3）如图3，某游乐园有一块矩形空地ABCD，现要将其进行规划，沿对角线AC修建一条长廊，将△ABC区域修建成水上乐园，在△ACD区域内修建公共卫生间E和凉亭F（大小均忽略不计），再分别沿DE、CF，DF铺设三条小路，并沿AE铺设地下水管，为节省铺设地下水管的成本，要求水管的长度AE尽可能的小．已知AB＝60m，CF＝2DE，∠BAC＝2∠ACB，∠ADE＝∠ACF＝∠CDF．求水管长度AE的最小值． 第 1 页 / 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $第3章 圆 单元测试卷（2026~2027学年） 第3章 圆 单元测试卷 苏科版（2024）九上数学上册 （2026~2027学年）　考试时间：120分钟　满分：130分 答 题 卷 （选择题用2B铅笔填涂，其余用黑色签字笔作答） 学校：＿＿＿＿＿＿＿＿＿　姓名：＿＿＿＿＿＿＿　　考场号：＿＿＿＿＿　座位号：＿＿＿＿＿ 注意事项： 1. 答题前，考生先填写自己的学校、姓名、考场号、座位号、准考证号。准考证号必须用2B铅笔填涂，修改时用橡皮擦干净。 2. 选择题必须用2B铅笔填涂，如需修改，请用橡皮擦干净；非选择题必须用0.5 mm黑色签字笔作答。 3. 请按照题号在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效。 4. 保持卡面清洁，不要折叠、弄皱、弄破。 准考证号填涂区 (0) (0) (0) (0) (0) (0) (0) (0) (0) (0) (1) (1) (1) (1) (1) (1) (1) (1) (1) (1) (2) (2) (2) (2) (2) (2) (2) (2) (2) (2) (3) (3) (3) (3) (3) (3) (3) (3) (3) (3) (4) (4) (4) (4) (4) (4) (4) (4) (4) (4) (5) (5) (5) (5) (5) (5) (5) (5) (5) (5) (6) (6) (6) (6) (6) (6) (6) (6) (6) (6) (7) (7) (7) (7) (7) (7) (7) (7) (7) (7) (8) (8) (8) (8) (8) (8) (8) (8) (8) (8) (9) (9) (9) (9) (9) (9) (9) (9) (9) (9) 正确填涂： 缺考： 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 1． A B C D 2． A B C D 3． A B C D 4． A B C D 5． A B C D 6． A B C D 7． A B C D 8． A B C D 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 题号 答案 题号 答案 9．（3分） 10．（3分） 11．（3分） 12．（3分） 13．（3分） 14．（3分） 15．（3分） 16．（3分） 三、解答题（本大题共11小题，共82分） 17．（6分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 18．（6分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 19．（6分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 20．（6分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 21．（6分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 22．（6分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 23．（8分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 24．（8分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 25．（10分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 26．（10分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 27．（10分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 第 1 页 / 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $第3章 圆 单元测试卷（2026~2027学年） 第3章 圆 单元测试卷 苏科版（2024）九上数学上册 （2026~2027学年）　考试时间：120分钟　满分：130分 答 题 卷 （选择题用2B铅笔填涂，其余用黑色签字笔作答） 学校：＿＿＿＿＿＿＿＿＿　姓名：＿＿＿＿＿＿＿　　考场号：＿＿＿＿＿　座位号：＿＿＿＿＿ 注意事项： 1. 答题前，考生先填写自己的学校、姓名、考场号、座位号、准考证号。准考证号必须用2B铅笔填涂，修改时用橡皮擦干净。 2. 选择题必须用2B铅笔填涂，如需修改，请用橡皮擦干净；非选择题必须用0.5 mm黑色签字笔作答。 3. 请按照题号在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效。 4. 保持卡面清洁，不要折叠、弄皱、弄破。 准考证号填涂区 (0) (0) (0) (0) (0) (0) (0) (0) (0) (0) (1) (1) (1) (1) (1) (1) (1) (1) (1) (1) (2) (2) (2) (2) (2) (2) (2) (2) (2) (2) (3) (3) (3) (3) (3) (3) (3) (3) (3) (3) (4) (4) (4) (4) (4) (4) (4) (4) (4) (4) (5) (5) (5) (5) (5) (5) (5) (5) (5) (5) (6) (6) (6) (6) (6) (6) (6) (6) (6) (6) (7) (7) (7) (7) (7) (7) (7) (7) (7) (7) (8) (8) (8) (8) (8) (8) (8) (8) (8) (8) (9) (9) (9) (9) (9) (9) (9) (9) (9) (9) 正确填涂： 缺考： 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 1． A B C D 2． A B C D 3． A B C D 4． A B C D 5． A B C D 6． A B C D 7． A B C D 8． A B C D 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 题号 答案 题号 答案 题号 答案 9．（3分） 10．（3分） 11．（3分） 12．（3分） 13．（3分） 14．（3分） 15．（3分） 16．（3分） 三、解答题（本大题共11小题，共82分） 17．（6分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 18．（6分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 19．（6分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 20．（6分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 21．（6分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 22．（6分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 23．（8分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 24．（8分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 25．（10分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 26．（10分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 27．（10分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 第 1 页 / 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $第3章 圆 单元测试卷（2026~2027学年） 第3章 圆 单元测试卷 苏科版（2024）九上数学上册 （2026~2027学年）　考试时间：120分钟　满分：130分 学校：__________　　班级：__________　　姓名：__________ 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共27小题，满分130分，考试时间120分钟。 2．答卷前，考生务必将自己的学校、班级、姓名、准考证号填写在左侧密封线内。 3．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，将答案字母填在「选择题答题栏」对应题号下；如需改动，擦净后重填。 4．回答第Ⅱ卷时，用黑色签字笔将答案写在题目相应位置；作图题用2B铅笔作答，并保留作图痕迹。 5．考试结束后，将本试卷一并交回。 第Ⅰ卷（选择题） 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 选择题答题栏 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 1．（3分）下列说法中正确的是（　　） A．弦是直径 B．弧是半圆 C．半圆是圆中最长的弧 D．直径是圆中最长的弦 2．（3分）同一圆中，半圆的直径（　　）整圆的直径． A．大于 B．小于 C．等于 D．不确定 3．（3分）已知圆锥的底面圆半径为3，母线长为4，则圆锥的侧面积为（　　） A．6π B．12π C．15π D．24π 4．（3分）半径为5的四个圆按如图所示位置摆放，若其中有一个圆的圆心到直线l的距离为4，则这个圆可以是（　　） A．⊙O1 B．⊙O2 C．⊙O3 D．⊙O4 5．（3分）如图，AB为半圆O的直径，C是半圆上一点，且∠COA＝60°，设扇形AOC、△COB、弓形BmC的面积为S1、S2、S3，则它们之间的关系是（　　） A．S1＜S2＜S3 B．S2＜S1＜S3 C．S1＜S3＜S2 D．S3＜S2＜S1 6．（3分）如图，在正方形方格中，A，B，C，D，E，P均在格点处，则点P是下列哪个三角形的外心（　　） A．△ACE B．△ABD C．△ACD D．△BCE 7．（3分）如图，点A是优弧BC的中点，过点B作AC的垂线交AC于点E，与圆交于点D．若∠BDC＝60°，且AE＝3，则圆的半径为（　　） A．2 B．3 C．3 D．3 8．（3分）设边长为a的等边三角形的高、内切圆的半径、外接圆的半径分别为h、r、R，则下列结论不正确的是（　　） A．h＝R+r B．R＝2r C．r=a D．R=a 第Ⅱ卷（非选择题） 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 9．（3分）一个圆内最长的弦长是12cm，则此圆的半径是 　　　　 cm． 10．（3分）如图，已知四边形ABCD是圆O的内接四边形，∠BOD＝80°，则∠BCD＝　　　　 ． 11．（3分）早在2000多年前的战国时期，《墨经》一书中就给出了圆的描述性定义：“圜（这里读yuan），一中同长也”这就是说，圆是平面内到定点的距离等于定长的点的集合．其中定点是　　　　 ． 12．（3分）如图，圆O是四边形ABCD的内切圆，连接AO、BO、CO、DO，记△AOD、△AOB、△COB、△DOC的面积分别为S1、S2、S3、S4，则S1、S2、S3、S4的数量关系为 　　　　 ． 13．（3分）学校的铅球场地，由投掷区、抵趾板和落地区组成．如图所示，运动员推出的铅球着地后会留下痕迹．裁判员会按照如下步骤测量并给出成绩：①将皮尺的零刻度线拉至铅球落点；②将皮尺的另一端拉长并经过投掷区的圆心；③将皮尺拉直，读取皮尺上落在投掷区抵趾板内沿处的数值，作为运动员的成绩．确定铅球比赛成绩的数学公理是 　　　　 ． 14．（3分）一条弦把圆分成1：5两部分，则这条弦所对的圆周角的度数是　　　　 ． 15．（3分）如图，将扇形AOB沿OB方向平移，使点O移到OB的中点O′处，得到扇形A′O′B′．若∠O＝90°，OA＝2，则阴影部分的面积为 　　　　 ． 16．（3分）如图，正方形ABCD中，AB＝4，M是CD边上一个动点，以CM为直径的圆与BM相交于点Q，P为CD上另一个动点，连接AP，PQ，则AP+PQ的最小值是 　　　　 ． 三、解答题（本大题共11小题，共82分） 17．（6分）珠海市斗门区周伯伯家稻谷丰收，收割的稻谷堆放成近似于一个圆锥，把这堆稻谷装入高为2米、底面直径为4米的粮仓中，能装多高？ 18．（6分）已知：P＝（a+b）2﹣（a+b）（a﹣b）﹣2b2． （1）化简P； （2）若某圆锥的底面半径为a，母线长为b，且侧面积为2π，求P的值． 19．（6分）如图，用一个圆心角为120°的扇形围成一个无底的圆锥， （1）若圆锥的母线长为3cm，求圆锥的侧面积． （2）若圆锥底面圆的半径为2cm，求扇形的半径． 20．（6分）已知∠MAN，按要求完成下列尺规作图（不写作法，保留作图痕迹）． （1）如图①，B，C分别在射线AM、AN上，求作▱ABDC； （2）如图②，点O是∠MAN内一点，求作线段PQ，使P、Q分别在射线AM、AN上，且点O是PQ的中点． 21．（6分）填补下列证明过程．如图，△ABC中，D是边BC的中点，延长AD到点E，且CE∥AB． （1）求证：△ABD≌△ECD．证明：∵CE∥AB（已知），∴∠B＝∠DCE（　　　　 ）．∵D是边BC的中点（已知），∴　　　　 ．在△ABD和△ECD中，，∴△ABD≌△ECD（　　　　 ）． （2）如果AB＝8，AC＝6，则AD的取值范围是　　　　 ． 22．（6分）如图，在圆O中，弦AB＝8，点C在圆O上（C与A，B不重合），连接CA、CB，过点O分别作OD⊥AC，OE⊥BC，垂足分别是点D、E． （1）求线段DE的长； （2）点O到AB的距离为3，求圆O的半径． 23．（8分）如图，在圆内接四边形ABCD中，AD＜AC，∠ADC＜∠BAD，延长AD至点E，使AE＝AC，延长BA至点F，连结EF，使∠AFE＝∠ADC． （1）若∠AFE＝60°，CD为直径，求∠ABD的度数． （2）求证：①EF∥BC；②EF＝BD． 24．（8分）综合与实践主题：装饰锥形草帽．素材：母线长为25cm、高为20cm的锥形草帽（如图（1））和五张颜色不同（红、橙、黄、蓝、紫）、足够大的卡纸．步骤1：将红、橙、黄、蓝、紫卡纸依次按照圆心角1：2：1：2：3的比例剪成半径为25cm的扇形．步骤2：将剪下的扇形卡纸依次粘贴在草帽外表面，彩色卡纸恰好覆盖草帽外表而且卡纸连接处均无缝隙、不重叠，便可得到五彩草帽．计算与探究：（1）计算红色扇形卡纸的圆心角的度数； （2）如图（2），根据（1）的计算过程，直接写出圆锥的高h、母线长a与侧面展开图的圆心角度数n°之间的数量关系：　　　　 ． 25．（10分）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠BAC＝30°，点D是AC的中点，过点A作BD的垂线，与BD延长线交于点E． （1）如图，若DE＝1，求AB的长； （2）点F在线段DC上，连接BF，将射线BF绕点B逆时针旋转30°，与射线AE交于点G．①探究线段AB，AF，AG之间的数量关系，请写出结论并说明理由；②若BC＝2，M，N为AB，BD的中点，延长GM，FN交于点H，求△MNH面积最大值． 26．（10分）如图1，点B在直线l上，过点B构建等腰直角三角形ABC，使∠BAC＝90°，且AB＝AC，过点C作CD⊥直线l于点D，连接AD． （1）小亮在研究这个图形时发现，∠BAC＝∠BDC＝90°，点A，D应该在以BC为直径的圆上，则∠ADB的度数为 　　　　 °，将射线AD顺时针旋转90°交直线l于点E，可求出线段AD，BD，CD的数量关系为 　　　　 ； （2）小亮将等腰直角三角形ABC绕点B在平面内旋转，当旋转到图2位置时，线段AD，BD，CD的数量关系是否变化，请说明理由； （3）在旋转过程中，若CD长为1，当△ABD面积取得最大值时，请直接写AD的长． 27．（10分）【问题提出】（1）如图1，在△ABC中，BC＝2AB，点D是BC边上一点，且AB＝2BD，连接AD，若AD＝3，则AC的长为　　　　 ；【问题探究】（2）如图2，点E是菱形ABCD内一动点，AB＝4，∠B＝60°，连接AE、CE、DE，若∠CED＝90°，求线段AE的最小值；【问题解决】（3）如图3，某游乐园有一块矩形空地ABCD，现要将其进行规划，沿对角线AC修建一条长廊，将△ABC区域修建成水上乐园，在△ACD区域内修建公共卫生间E和凉亭F（大小均忽略不计），再分别沿DE、CF，DF铺设三条小路，并沿AE铺设地下水管，为节省铺设地下水管的成本，要求水管的长度AE尽可能的小．已知AB＝60m，CF＝2DE，∠BAC＝2∠ACB，∠ADE＝∠ACF＝∠CDF．求水管长度AE的最小值． 第 1 页 / 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $第3章 圆 单元测试卷（2026~2027学年） 第3章 圆 单元测试卷 苏科版（2024）九上数学上册 参考答案与解析 1．（3分）下列说法中正确的是（　　） A．弦是直径 B．弧是半圆 C．半圆是圆中最长的弧 D．直径是圆中最长的弦 【答案】D 【解答】解：A、错误．弦不一定是直径．B、错误．弧是圆上两点间的部分．C、错误．优弧大于半圆．D、正确．直径是圆中最长的弦．故选：D． （来源：2024秋•元阳县期末） 2．（3分）同一圆中，半圆的直径（　　）整圆的直径． A．大于 B．小于 C．等于 D．不确定 【答案】C 【解答】解：半径决定圆的大小，同一圆中，半圆、扇形和整圆对应的半径都相等，则直径也相等．故选：C． （来源：2024秋•宝山区校级月考） 3．（3分）已知圆锥的底面圆半径为3，母线长为4，则圆锥的侧面积为（　　） A．6π B．12π C．15π D．24π 【答案】B 【解答】解：S侧＝πrl＝π×3×4＝12π，故选：B． （来源：2024•无锡） 4．（3分）半径为5的四个圆按如图所示位置摆放，若其中有一个圆的圆心到直线l的距离为4，则这个圆可以是（　　） A．⊙O1 B．⊙O2 C．⊙O3 D．⊙O4 【答案】C 【解答】解： ∵⊙O1、⊙O2、⊙O3、⊙O4是四个半径为5的等圆， ∴圆心到直线l的距离为4是⊙O3，故选：C． （来源：2024秋•阜平县期末） 5．（3分）如图，AB为半圆O的直径，C是半圆上一点，且∠COA＝60°，设扇形AOC、△COB、弓形BmC的面积为S1、S2、S3，则它们之间的关系是（　　） A．S1＜S2＜S3 B．S2＜S1＜S3 C．S1＜S3＜S2 D．S3＜S2＜S1 【答案】B 【解答】解：作OD⊥BC交BC与点D， ∵∠COA＝60°， ∴∠COB＝120°，则∠COD＝60°． ∴S扇形AOC==；S扇形BOC==．在三角形OCD中，∠OCD＝30°， ∴OD=，CD=，BC=R， ∴S△OBC=，S弓形=-=，＞＞， ∴S2＜S1＜S3．故选：B． （来源：2021•福田区校级自主招生） 6．（3分）如图，在正方形方格中，A，B，C，D，E，P均在格点处，则点P是下列哪个三角形的外心（　　） A．△ACE B．△ABD C．△ACD D．△BCE 【答案】D 【解答】解：由勾股定理得：PC＝PE＝PB==， ∴P到B、C、E的距离相等， ∴P是△BCE的外心．故选：D． （来源：2024•龙口市一模） 7．（3分）如图，点A是优弧BC的中点，过点B作AC的垂线交AC于点E，与圆交于点D．若∠BDC＝60°，且AE＝3，则圆的半径为（　　） A．2 B．3 C．3 D．3 【答案】A 【解答】解：如图所示，连接BC， ∴∠A＝∠D＝60°， ∵BD⊥AC， ∴∠ABE＝30°， ∴AB＝2AE＝6， ∵点A是优弧BC的中点， ∴AB＝AC， ∴AC＝2AE＝6， ∴AE＝CE， ∵∠AEB＝∠CEB＝90°，BE＝BE， ∴△ABE≌△CBE（SAS）， ∴∠ABE＝∠CBE＝30°，BC＝AB＝6， ∵∠BDC＝60°， ∴∠BCD＝90°， ∴BD是圆的直径， ∵BD＝2CD，BC2+CD2＝BD2， ∴62+CD2＝（2CD）2， ∴CD=2， ∴BD=2CD=4， ∴圆的直径为4， ∴圆的半径为2．故选：A． （来源：2025•郯城县一模） 8．（3分）设边长为a的等边三角形的高、内切圆的半径、外接圆的半径分别为h、r、R，则下列结论不正确的是（　　） A．h＝R+r B．R＝2r C．r=a D．R=a 【答案】C 【解答】解：如图， ∵△ABC是等边三角形， ∴△ABC的内切圆和外接圆是同心圆，圆心为O，设OE＝r，AO＝R，AD＝h， ∴h＝R+r，故A正确； ∵AD⊥BC， ∴∠DAC=∠BAC=×60°＝30°，在Rt△AOE中， ∴R＝2r，故B正确； ∵OD＝OE＝r， ∵AB＝AC＝BC＝a， ∴AE=AC=a， ∴（a）2+r2＝（2r）2，（a）2+（R）2＝R2， ∴r=，R=a，故C错误，D正确；故选：C． （来源：2020•随州） 9．（3分）一个圆内最长的弦长是12cm，则此圆的半径是 cm． 【答案】6 【解答】解：因为直径是圆中最长的弦，而圆的最长弦长为12cm，所以直径是12cm，半径是6cm．故答案为：6． （来源：2024秋•西乡塘区校级月考） 10．（3分）如图，已知四边形ABCD是圆O的内接四边形，∠BOD＝80°，则∠BCD＝ ． 【答案】140° 【解答】解： ∵∠BAD为BD所对的圆周角且∠BOD＝80°， ∴∠BAD=∠BOD=×80°=40°，又 ∵四边形ABCD是圆O的内接四边形， ∴∠BAD+∠BCD＝180°， ∴∠BCD＝180°﹣∠BAD＝180°﹣40°＝140°，故答案为：140°． （来源：2021•常德） 11．（3分）早在2000多年前的战国时期，《墨经》一书中就给出了圆的描述性定义：“圜（这里读yuan），一中同长也”这就是说，圆是平面内到定点的距离等于定长的点的集合．其中定点是 ． 【答案】圆心 【解答】解：定点是圆心，定长是半径．故答案为：圆心． （来源：2024秋•襄都区校级月考） 12．（3分）如图，圆O是四边形ABCD的内切圆，连接AO、BO、CO、DO，记△AOD、△AOB、△COB、△DOC的面积分别为S1、S2、S3、S4，则S1、S2、S3、S4的数量关系为 ． 【答案】S1+S3＝S2+S4 【解答】解：如图设切点分别为E、F、G、H，由切线性质可知，OE⊥AD，OF⊥CD，OG⊥BCOH⊥AB，OE＝OF＝OG＝OH＝r，设DE＝DF＝a，AE＝AH＝b，BH＝BG＝c，CG＝CF＝d，S1=r（a+b），S2=r （b+c），S3= r（c+d），S4=r（a+d）， ∴S1+S3=r（a+b）+ r（c+d）=r（a+b+c+d），S2+S4=r（a+d）+r （b+c）=r（a+b+c+d）， ∴S1+S3＝S2+S4．故答案为S1+S3＝S2+S4． （来源：2021•雁塔区校级模拟） 13．（3分）学校的铅球场地，由投掷区、抵趾板和落地区组成．如图所示，运动员推出的铅球着地后会留下痕迹．裁判员会按照如下步骤测量并给出成绩：①将皮尺的零刻度线拉至铅球落点；②将皮尺的另一端拉长并经过投掷区的圆心；③将皮尺拉直，读取皮尺上落在投掷区抵趾板内沿处的数值，作为运动员的成绩．确定铅球比赛成绩的数学公理是 ． 【答案】圆上的点到圆心的距离相等 【解答】解：由题意可知，用到的数学公理是：圆上的点到圆心的距离相等．故答案为：圆上的点到圆心的距离相等． （来源：2025春•宝山区校级期末） 14．（3分）一条弦把圆分成1：5两部分，则这条弦所对的圆周角的度数是 ． 【答案】30°或150° 【解答】解：连接OA、OB， ∵一条弦AB把圆分成1：5两部分，如图， ∴弧AC′B的度数是×360°＝60°，弧ACB的度数是360°﹣60°＝300°， ∴∠AOB＝60°， ∴∠ACB=∠AOB＝30°， ∴∠AC′B＝180°﹣30°＝150°，故答案为：30°或150°． （来源：2023•襄阳模拟） 15．（3分）如图，将扇形AOB沿OB方向平移，使点O移到OB的中点O′处，得到扇形A′O′B′．若∠O＝90°，OA＝2，则阴影部分的面积为 ． 【答案】π3+32 【解答】解：如图，设O′A′交AB于点T，连接OT． ∵OT＝OB，OO′＝O′B， ∴OT＝2OO′， ∵∠OO′T＝90°， ∴∠O′TO＝30°，∠TOO′＝60°， ∴S阴＝S扇形O′A′B′﹣（S扇形OTB﹣S△OTO′）=-（-×1×）=+．故答案为：+． （来源：2022•河南） 16．（3分）如图，正方形ABCD中，AB＝4，M是CD边上一个动点，以CM为直径的圆与BM相交于点Q，P为CD上另一个动点，连接AP，PQ，则AP+PQ的最小值是 ． 【答案】213-2 【解答】解：连接CQ，以CD为一条边在右侧作正方形CDEF，则∠MQC＝90°， ∴∠BQC＝90°， ∴点Q在以BC为直径的圆上运动， ∵AD＝DE，∠ADP＝∠EDP，DP＝DP， ∴△ADP≌△EDP（SAS）， ∴AP＝EP， ∴AP+PQ＝EP+PQ≥EQ≥EO﹣ON=-2=-2=2-2， ∴AP+PQ的最小值为2-2，故答案为：2-2． （来源：2025•龙马潭区一模） 17．（6分）珠海市斗门区周伯伯家稻谷丰收，收割的稻谷堆放成近似于一个圆锥，把这堆稻谷装入高为2米、底面直径为4米的粮仓中，能装多高？ 【答案】见解析 【解答】解：能装x米，由题意得：π×（）2×1.2＝π×（）2•x，解得：x＝0.9，答：能装0.9米． （来源：2024•灞桥区校级模拟） 18．（6分）已知：P＝（a+b）2﹣（a+b）（a﹣b）﹣2b2． （1）化简P； （2）若某圆锥的底面半径为a，母线长为b，且侧面积为2π，求P的值． 【答案】见解析 【解答】解：（1）P＝（a+b）2﹣（a+b）（a﹣b）﹣2b2＝a2+2ab+b2﹣a2+b2﹣2b2＝2ab； （2）由题意得：•2πa•b＝2π，则ab＝2， ∴P＝2ab＝4． （来源：2023•花都区二模） 19．（6分）如图，用一个圆心角为120°的扇形围成一个无底的圆锥， （1）若圆锥的母线长为3cm，求圆锥的侧面积． （2）若圆锥底面圆的半径为2cm，求扇形的半径． 【答案】见解析 【解答】解：（1） ∵圆锥的母线长为3cm， ∴扇形的半径为3cm， ∴扇形面积为：=3π（cm2）， ∴圆锥的侧面积为3πcm2； （2）设扇形的半径为rcm， ∵圆锥底面圆的半径为2cm， ∴圆锥底面圆的周长为4πcm， ∴扇形弧长为4πcm，则=4π，解得：r＝6，答：扇形的半径为6cm． （来源：2024•西湖区校级开学） 20．（6分）已知∠MAN，按要求完成下列尺规作图（不写作法，保留作图痕迹）． （1）如图①，B，C分别在射线AM、AN上，求作▱ABDC； （2）如图②，点O是∠MAN内一点，求作线段PQ，使P、Q分别在射线AM、AN上，且点O是PQ的中点． 【答案】见解析 【解答】解：（1）如图①，平行四边形ABDC为所作； （2）如图②，PQ为所作． （来源：2024春•秦淮区期末） 21．（6分）填补下列证明过程．如图，△ABC中，D是边BC的中点，延长AD到点E，且CE∥AB． （1）求证：△ABD≌△ECD．证明：∵CE∥AB（已知），∴∠B＝∠DCE（ ）．∵D是边BC的中点（已知），∴ ．在△ABD和△ECD中，，∴△ABD≌△ECD（ ）． （2）如果AB＝8，AC＝6，则AD的取值范围是 ． 【答案】两直线平行，内错角相等 【解答】（1）证明： ∵CE∥AB（已知）， ∴∠B＝∠DCE （两直线平行，内错角相等）． ∵D是边BC的中点（已知）， ∴BD＝CD； ∵AB、BC相交， ∴∠ADB＝∠EDC （对顶角相等）．在△ABD和△ECD中，， ∴△ABD≌△ECD （ ASA）．故答案为：两直线平行，内错角相等；ASA； （2）解：在△ACE中，AB＝8，AC＝68﹣6＜AE＜8+6 ∴2＜2AD＜14 ∴1＜AD＜7，故答案为：1＜AD＜7， （来源：2024秋•新华区校级期中） 22．（6分）如图，在圆O中，弦AB＝8，点C在圆O上（C与A，B不重合），连接CA、CB，过点O分别作OD⊥AC，OE⊥BC，垂足分别是点D、E． （1）求线段DE的长； （2）点O到AB的距离为3，求圆O的半径． 【答案】见解析 【解答】解：（1） ∵OD经过圆心O，OD⊥AC， ∴AD＝DC，同理：CE＝EB， ∴DE是△ABC的中位线， ∴DE=AB， ∵AB＝8， ∴DE＝4． （2）过点O作OH⊥AB，垂足为点H，OH＝3，连接OA， ∵OH经过圆心O， ∴AH＝BH=AB， ∵AB＝8， ∴AH＝4，在Rt△AHO中，AH2+OH2＝AO2， ∴AO＝5，即圆O的半径为5． （来源：2020•安徽模拟） 23．（8分）如图，在圆内接四边形ABCD中，AD＜AC，∠ADC＜∠BAD，延长AD至点E，使AE＝AC，延长BA至点F，连结EF，使∠AFE＝∠ADC． （1）若∠AFE＝60°，CD为直径，求∠ABD的度数． （2）求证：①EF∥BC；②EF＝BD． 【答案】见解析 【解答】（1）解： ∵CD为直径， ∴∠CAD＝90°， ∵∠AFE＝∠ADC＝60°， ∴∠ACD＝90°﹣60°＝30°， ∴∠ABD＝∠ACD＝30°； （2）证明：①如图，延长AB， ∵四边形ABCD是圆内接四边形， ∴∠CBM＝∠ADC，又 ∵∠AFE＝∠ADC， ∴∠AFE＝∠CBM， ∴EF∥BC；②过点D作DG∥BC交⊙O于点G，连接AG，CG，DG， ∵DG∥BC， ∴BD=CG， ∴BD＝CG， ∵四边形ACGD是圆内接四边形， ∴∠GDE＝∠ACG， ∵EF∥DG， ∴∠DEF＝∠GDE， ∴∠DEF＝∠ACG， ∵∠AFE＝∠ADC，∠ADC＝∠AGC， ∴∠AFE＝∠AGC， ∵AE＝AC， ∴△AEF≌△ACG（AAS）， ∴EF＝CG， ∴EF＝BD． （来源：2024•浙江） 24．（8分）综合与实践主题：装饰锥形草帽．素材：母线长为25cm、高为20cm的锥形草帽（如图（1））和五张颜色不同（红、橙、黄、蓝、紫）、足够大的卡纸．步骤1：将红、橙、黄、蓝、紫卡纸依次按照圆心角1：2：1：2：3的比例剪成半径为25cm的扇形．步骤2：将剪下的扇形卡纸依次粘贴在草帽外表面，彩色卡纸恰好覆盖草帽外表而且卡纸连接处均无缝隙、不重叠，便可得到五彩草帽．计算与探究：（1）计算红色扇形卡纸的圆心角的度数； （2）如图（2），根据（1）的计算过程，直接写出圆锥的高h、母线长a与侧面展开图的圆心角度数n°之间的数量关系： ． 【答案】n=360a2-h2a 【解答】解：（1）圆锥的底面半径为=15（cm），设侧面展开图的圆心角为n°，则=2π×15，解得n＝216°， ∴216°×=24°答：红色扇形卡纸的圆心角的度数为24°； （2） ∵圆锥的底面半径为， ∴=2π， ∴n=．故答案为：n=． （来源：2024•潍坊模拟） 25．（10分）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠BAC＝30°，点D是AC的中点，过点A作BD的垂线，与BD延长线交于点E． （1）如图，若DE＝1，求AB的长； （2）点F在线段DC上，连接BF，将射线BF绕点B逆时针旋转30°，与射线AE交于点G．①探究线段AB，AF，AG之间的数量关系，请写出结论并说明理由；②若BC＝2，M，N为AB，BD的中点，延长GM，FN交于点H，求△MNH面积最大值． 【答案】见解析 【解答】解：（1） ∵D是AC中点，∠ABC＝90°， ∴AD＝BD＝CD， ∵∠BAC＝30°， ∴∠DBA＝30°， ∴∠ADE＝60°，∠DAE＝30°， ∵DE＝1， ∴AD＝2， ∴AC＝2AD＝4， ∴AB＝AC•cos30°＝2； （2）AB+AG=AF，证明如下：延长AG，在延长线上取一点P，使AF＝PF，则∠GAF＝∠BAC＝∠APF＝30°， ∴∠AFP＝120°， ∴AP=AF， ∵∠GAF＝∠GBF＝30°， ∴A、G、B、F四点共圆， ∴∠PGF+∠AGF＝∠ABF+∠AGF＝180°， ∴∠PGF＝∠ABF， ∵∠P＝∠BAF＝30°，PF＝AF， ∴△PGF≌△ABF（AAS）， ∴PG＝AB， ∴AP＝AG+PG＝AG+AB=AF，即AB+AG=AF； （3）如图，连接MN、GF， ∵M、N为AB、DB中点， ∴MN是△ABD中位线， ∴MN∥AD， ∴△BMN∽△BAD，由（2）可知A、G、B、F四点共圆， ∴∠BGF＝∠BAD＝30°， ∴∠BGF＝∠BAD＝30°＝∠FBG＝∠ABD， ∴△BDA∽△BFG， ∴△BNM∽△BFG， ∴=，又 ∵∠FBN＝∠GBM， ∴△BFN∽△BGM， ∴∠BFN＝∠BGM， ∴∠H＝∠FBG＝30°， ∵BC＝2， ∴AC＝4， ∴AD＝2， ∴MN=AD=1，根据定弦定角模型可知点H、M、N三点共圆，作△MNH的外接圆⊙O，则∠MON＝2∠H＝60°， ∴△MON为等边三角形， ∴OM＝ON＝MN＝1，过O作OK⊥MN于点K，并延长KO交⊙O，过H作HL⊥MN于点L，则OT+OK≥HL， ∴当点H与T重合时，此时△MNH的高最大，即△MNH的面积最大， ∵OK＝OM•sin60°=， ∴TK＝OT+OK=，此时S△MNH=MN•HK=， ∴△MNH面积最大值为． （来源：2025•成都模拟） 26．（10分）如图1，点B在直线l上，过点B构建等腰直角三角形ABC，使∠BAC＝90°，且AB＝AC，过点C作CD⊥直线l于点D，连接AD． （1）小亮在研究这个图形时发现，∠BAC＝∠BDC＝90°，点A，D应该在以BC为直径的圆上，则∠ADB的度数为 °，将射线AD顺时针旋转90°交直线l于点E，可求出线段AD，BD，CD的数量关系为 ； （2）小亮将等腰直角三角形ABC绕点B在平面内旋转，当旋转到图2位置时，线段AD，BD，CD的数量关系是否变化，请说明理由； （3）在旋转过程中，若CD长为1，当△ABD面积取得最大值时，请直接写AD的长． 【答案】45°，CD+DB=2AD 【解答】解：（1）①如图，在图1中． ∵∠BAC＝90°，且AB＝AC， ∴∠ACB＝∠ABC＝45°， ∵∠BAC＝∠BDC＝90°， ∴A、B、C、D四点共圆， ∴∠ADB＝∠ACB＝45°；②由题意可知，∠EAD＝∠BAC＝90°， ∴∠EAB＝∠DAC，又AE＝AD，AB＝AC， ∴△EAB≌△DAC（SAS）， ∴BE＝CD， ∵AE＝AD，∠EAD＝90°， ∴△ADE是等腰直角三角形， ∴DE=AD， ∵CD+DB＝EB+BD＝DE， ∴CD+DB=AD；故答案为45°，CD+DB=AD； （2）线段AD，BD，CD的数量关系会变化，数量关系为BD﹣CD=AD．理由如下：如图2，将AD绕点A顺时针旋转90°交直线l于点E．则∠DAE＝∠CAB＝90°， ∴∠DAC＝∠EAB，又AD＝AE，AC＝AB， ∴△EAB≌△DAC（SAS）， ∴BE＝CD， ∵AE＝AD，∠EAD＝90°， ∴△ADE是等腰直角三角形， ∴DE=AD， ∵BD﹣CD＝BD﹣BE＝DE， ∴BD﹣CD=AD； （3）由（2）知，△CDA≌△BEA， ∴∠CDA＝∠AEB， ∵∠DEA＝45°， ∴∠AEB＝180°﹣45°＝135°， ∴∠CDA＝∠AEB＝135°， ∴∠CDA+∠ABC＝135°+45°＝180°， ∴A、B、C、D四点共圆，于是作A、B、C、D外接圆⊙O，如图，当点D在线段AB的垂直平分线上且在AB的左侧时，DG经过圆心，此时DG最长，因此△ABD的面积最大．作DG⊥AB，则DG平分∠ADB，DB＝DA，在BD上截取一点H，使得CD＝DH＝1， ∵∠ADB＝∠ACB＝45°， ∴∠GDB＝22.5°，∠DBG＝67.5°， ∴∠DBC＝67.5°﹣45°＝22.5°，∠HCB＝∠DHC﹣∠HBC＝45°﹣22.5°＝22.5°， ∴∠HCB＝∠HBC， ∴HB＝CH=， ∴AD＝BD＝DH+BH＝1+． （来源：2025•鲁山县三模） 27．（10分）【问题提出】（1）如图1，在△ABC中，BC＝2AB，点D是BC边上一点，且AB＝2BD，连接AD，若AD＝3，则AC的长为 ；【问题探究】（2）如图2，点E是菱形ABCD内一动点，AB＝4，∠B＝60°，连接AE、CE、DE，若∠CED＝90°，求线段AE的最小值；【问题解决】（3）如图3，某游乐园有一块矩形空地ABCD，现要将其进行规划，沿对角线AC修建一条长廊，将△ABC区域修建成水上乐园，在△ACD区域内修建公共卫生间E和凉亭F（大小均忽略不计），再分别沿DE、CF，DF铺设三条小路，并沿AE铺设地下水管，为节省铺设地下水管的成本，要求水管的长度AE尽可能的小．已知AB＝60m，CF＝2DE，∠BAC＝2∠ACB，∠ADE＝∠ACF＝∠CDF．求水管长度AE的最小值． 【答案】6 【解答】解：（1） ∵AB＝2BD，BC＝2AB， ∴==， ∵∠B＝∠B， ∴△ABD∽△CBA， ∴=， ∴AC＝6；故答案为：6； （2） ∵∠CED＝90°， ∴点E在以CD为直径的圆上，且在菱形ABCD内部．以CD为直径作⊙O，连接AC、OE、OA，OA交⊙O于点E'， ∵四边形ABCD是菱形，AB＝4，∠B＝60°， ∴CD＝AD＝AB＝4，∠ADC＝60°，△ACD是等边三角形． ∵点O是CD的中点， ∴AO⊥CD，OD＝OC＝OE＝OE'＝2， ∴OA==2． ∵AE+OE≥OA，即AE+OE≥AE'+OE'， ∴当点E与点E'重合时，AE最小，此时AE=AE′=OA-OE′=2-2， ∴AE的最小值为2-2； （3） ∵四边形ABCD是矩形，∠BAC＝2∠ACB， ∴∠ABC＝90°，∠ACB＝30°，∠ACD＝∠BAC＝60°，CD＝AB＝60m， ∴AD=CD⋅tan∠ACD=60m． ∵∠ACD＝∠ACF+∠DCF＝60°，∠ACF＝∠CDF， ∴∠CDF+∠DCF＝60°，则∠CFD＝120°，作△CDF的外接圆⊙O，则点F在矩形ABCD内部的⊙O上，连接OC，OD、OF， ∴∠COD＝2（180°﹣∠CDF）＝120°， ∴∠OCD＝∠ODC＝30°，则∠OCA＝∠ACD+∠OCD＝90°．过点O作OH⊥CD于点H，则DH＝CH＝30m，OF=OD=OC==20m．延长CA至点G，使得CG=2AD=120m，连接GF、OG，OG交⊙O于点F′． ∴CF＝2DE，CG＝2DA，∠GCF＝∠ADE， ∴△CGF∽△DAE， ∴==2，即GF＝2AE， ∴当GF最小时，AE取得最小值． ∵GF+OF≥OG，OG＝OF'+GF'， ∴当点F与点F'重合时，GF最小，GF的最小值＝OG﹣OF'，在Rt△OCG中，OC=20m，CG=120m， ∴OG==20， ∴GF最小=(20-20)m， ∴水管长度AE的最小值是(10-10)m． （来源：2025•渭城区一模） 第 1 页 / 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $