1.1 反比例函数（题型专练，3基础2能力提升题型+培优）数学新教材苏科版九年级上册

**基本信息** 初中数学反比例函数新授课同步练，以“概念理解—运算应用—综合拓展”为分层路径，通过基础辨析、中档计算到跨情境探究的梯度设计，强化抽象能力与模型意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础|反比例关系判断、定义辨析|选择题（如判断身高与体重关系）结合表格补全（装订本数问题），夯实抽象能力| |中档|函数值计算、参数求解|坐标点代入（如点在图像上求参数）与取值范围分析，提升运算能力与推理意识| |综合|跨情境应用与拓展|创设“关联数”新定义、杠杆平衡实验情境，培养模型意识与创新思维|

1.1 反比例函数 题型一 用反比例函数描述数量关系 1．下列各种关系中，成反比例关系的是（   ） A．商品的进价一定，利润与售价的关系 B．同学的年龄一定，他的身高与体重的关系 C．路程一定，速度与时间的关系 D．工作效率一定，工作总量与工作时间的关系 2．下面各组变量的关系中，成反比例关系的是（   ） A．人的身高和年龄 B．三角形的面积为6，它的一条边与这条边上的高 C．购买荧光笔和中性笔的总费用一定，荧光笔的费用和中性笔的费用 D．小明每小时可以制作120朵小红花，他制作的小红花朵数与制作时间 3．用一批纸装订同样大小的练习本，每本的页数和可以装订的本数如下表： 每本的页数 16 20 25 30 60 可以装订的本数 225 180 60 (1)将表格补充完整． (2)判断每本的页数和可以装订的本数是否成反比例，并说明理由． (3)如果现在需要用这批纸装订本同样大小的练习本，那么每本练习本有多少页？ 4．给一间教室铺地砖，每块地砖的面积与所需地砖的数量如下． 每块地砖的面积 0.2 0.3 0.6 0.8 … 所需地砖数量/块 300 200 100 75 … (1)从表格中得到： ①这间教室有_____； ②分别用（单位：平方米）和（单位：块）表示每块地砖的面积和所需地砖的数量，用式子表示与的关系为_____，与成_____比例关系； (2)如果采用边长为5分米的方砖铺这间教室，需要多少块？ 题型二 反比例函数定义 1．函数是（   ） A．正比例函数 B．一次函数 C．二次函数 D．反比例函数 2．下列函数中，是反比例函数的是（   ） A． B． C． D． 3．为了给学生们创建更好的学习和生活环境，某学校利用假期时间进行了装修改造，以下相关情境中，y是x的反比例函数的是（   ） A．在校园的绿化带内重新栽种绿植，一个工人每小时栽种6平方米，栽种时间为x小时，栽种的总面积为y平方米 B．用长为80米的栅栏围一个矩形劳动实践基地，矩形长x米，宽y米 C．修建一个圆形花坛，花坛半径为x米，面积为y平方米 D．对教学楼2000平方米的外墙重新粉刷，每天粉刷x平方米，需要粉刷y天 4．下列关于的函数中，哪些一定是反比例函数？把一定是反比例函数的关系式改写成的形式，并指出的值． ①；②；③；④． 题型三 根据反比例函数定义求参数的值 1．若x和y成反比例关系，则的值是（   ） x 2 a y 6 b A．7 B．8 C．9 D．10 2．若点在反比例函数 y =的图像上，则______． 3．在平面直角坐标系中，已知点，，若反比例函数的图象经过这两点，则的值为______． 4．在平面直角坐标系中，点，，分别位于三个不同的象限，若反比例函数的图象经过其中两点，则的值为_____． 题型一 求反比例函数的值 1．当时，反比例函数的函数值为（   ） A． B．4 C． D． 2．已知点在反比例函数上，则化简的结果是（    ） A． B． C． D． 3．已知点A在反比例函数的图象上，点A关于y轴对称的点在反比例函数的图象上，且，则的值为（    ） A． B．3 C． D．6 4．若反比例函数的图象经过点和，则的值为__________． 题型二 由反比例函数值求自变量 1．在平面直角坐标系中，若点与点在函数的图象上，则的值为______． 2．函数，当时，y的范围是________；时，x的范围是________． 3．如图所示的是一面墙（可利用的最大长度为），现打算沿墙围一个面积为的矩形花圃．设花圃的长为，宽为，则关于的函数表达式是_________，自变量的取值范围是_________． 4．已知． (1)当为何值时，是的正比例函数？ (2)当为何值时，是的反比例函数？当时，求的值． 1．定义：[a，b]为反比例函数（ab≠0，a，b为实数）的“关联数”．反比例函数的“关联数”为[m，m+2]，反比例函数的“关联数”为[m+1，m+3]，若m＞0，则（　　） A．k1＝k2 B．k1＞k2 C．k1＜k2 D．无法比较 2．已知函数y＝y1+y2，y1与x成正比例，y2与x成反比例，且当x＝1时，y＝4；当x＝2时，y＝5． y与x之间的函数关系式　 ，当x＝4时，求y＝　 ． 3．已知函数 y＝（5m﹣3）x2﹣n+（n+m）， （1）当m，n为何值时是一次函数？ （2）当m，n为何值时，为正比例函数？ （3）当m，n为何值时，为反比例函数？ 4．在直尺中央的点O处拴上细绳，把它吊在空中，左边挂一重物M，右边挂三个钩码，钩码悬挂处为点A（如图①所示），重物M到直尺中央的距离不变，此时杠杆平衡． 若把图①中右边的钩码向左移动一格则必须加上三个钩码才能平衡（如图②所示）． 若把图①中右边的钩码向右移一格，则必须去掉一个钩码才能保持平衡（如图③所示）． 根据上述实验填写下表： 点A到点O的距离/格 1 2 3 4 5 6 … 钩码个数 　　 　　 　　 　　 　　 　　 … 观察所填表格你发现了哪些规律？ 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 1.1反比例函数 题型一 用反比例函数描述数量关系 基础达标题 题型二反比例函数定义 题型三根据反比例函数定义求参数的值 反比例函数 题型一求反比例函数的值 能力提升题 题型二由反比例函数值求自变量 拓展培优题 基础达标题 题型一用反比例函数描述数量关系 1.C 2.B 3. (1)见解析；(2)成反比例，理由见解析；(3)45页 4. (1①60：②y=9，反；(2240块 题型二反比例函数定义 1.D 2.B 3.D 4.见解析 题型三根据反比例函数定义求参数的值 1.C 2.5 3.-1 4.-2 1/2 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 B 能力提升题 题型一求反比例函数的值 1.B 2.A 3.B 4.-1 题型二由反比例函数值求自变量 1.0 2.-4<y<0 x≤-2或x>0 3.y=,0<x≤100 4. (1m=±V6；(2m=-2:x=-支 拓展培优题 1.C 2.y=2x+最：8时 3.(1)n=1且m≠寻；(2)n=1,m=-1;(3)n=3,m=-3. 4.6,3,2,1.5,1.2,1;钩码个数与点A到点O的距离成反比例关系，点A到点O的距离与钩码个数 的乘积都是6. 2/2 1.1 反比例函数 题型一 用反比例函数描述数量关系 1．下列各种关系中，成反比例关系的是（   ） A．商品的进价一定，利润与售价的关系 B．同学的年龄一定，他的身高与体重的关系 C．路程一定，速度与时间的关系 D．工作效率一定，工作总量与工作时间的关系 【答案】C 【分析】本题考查反比例关系的判断，需依据“两个相关联的量乘积一定则成反比例关系”的知识点，逐项分析各选项的数量关系即可求解． 【详解】解：A：设进价为定值，售价为，利润为，则，是差的数量关系，乘积非定值，不成反比例关系； B：身高与体重无固定的乘积或比值关系，不成比例关系； C：设路程为定值，速度为，时间为，则，为定值，即与的乘积一定，与成反比例关系； D：设工作效率为定值，工作总量为，工作时间为，则，为定值，即与的比值一定，成正比例关系； 故选：C． 2．下面各组变量的关系中，成反比例关系的是（   ） A．人的身高和年龄 B．三角形的面积为6，它的一条边与这条边上的高 C．购买荧光笔和中性笔的总费用一定，荧光笔的费用和中性笔的费用 D．小明每小时可以制作120朵小红花，他制作的小红花朵数与制作时间 【答案】B 【分析】本题考查反比例关系的量．根据题意逐一对选项进行分析即可得到本题答案． 【详解】解：∵人的身高与年龄不一定有关系，即身高与年龄不成反比例，故A不符合题意， ∵三角形面积一定时，底边与其高乘积为定值，符合反比例关系，故B符合题意， ∵购买荧光笔和中性笔的总费用一定，荧光笔的费用和中性笔的费用之和为定值，它们的乘积不为定值，故C不符合题意， ∵小明每小时可以制作120朵小红花，他制作的小红花朵数与制作时间成正比，故D选项不符合题意， 故选：B． 3．用一批纸装订同样大小的练习本，每本的页数和可以装订的本数如下表： 每本的页数 16 20 25 30 60 可以装订的本数 225 180 60 (1)将表格补充完整． (2)判断每本的页数和可以装订的本数是否成反比例，并说明理由． (3)如果现在需要用这批纸装订本同样大小的练习本，那么每本练习本有多少页？ 【答案】(1)见解析 (2)成反比例，理由见解析 (3) 页 【分析】本题考查了反比例函数，（1）先根据已知的每本页数和装订本数算出总页数，再用总页数除以对应页数得到装订本数；（2）根据反比例函数的定义判断即可；（3）用（1）中得到的总页数除以本，即可得到每本的页数. 【详解】（1）解：总页数为：（页）； 当页数为页时，本数为：（本）； 当页数为页时，本数为：（本）； 故表格如下： 每本的页数 16 20 25 30 60 可以装订的本数 225 180 144 120 60 （2）解：每本的页数和可以装订的本数成反比例；理由如下： 根据表中的数据可知，每本的页数随装订本数的变化而变化，总页数一定，即每本的页数和装订的本数的积一定，所以成反比例. （3）解：（页）． 故每本练习本有页． 4．给一间教室铺地砖，每块地砖的面积与所需地砖的数量如下． 每块地砖的面积 0.2 0.3 0.6 0.8 … 所需地砖数量/块 300 200 100 75 … (1)从表格中得到： ①这间教室有_____； ②分别用（单位：平方米）和（单位：块）表示每块地砖的面积和所需地砖的数量，用式子表示与的关系为_____，与成_____比例关系； (2)如果采用边长为5分米的方砖铺这间教室，需要多少块？ 【答案】(1)①60；②，反 (2)240块 【分析】（1）根据教室的面积等于每块地砖的面积乘以所需地砖的数量，可得与成反比例关系，再根据表格中的数据可得对应的关系式； （2）根据正方形面积计算公式可求出的值，再将其代入解析式即可得到答案． 【详解】（1）解：①∵教室的面积一定，且教室的面积等于每块地砖的面积乘以所需地砖的数量， ∴这间教室有； ②∵教室的面积一定，且教室的面积等于每块地砖的面积乘以所需地砖的数量， ∴与成反比例关系，由表格中的数据可得，即，与成反比例关系． （2）解：5分米米， 每块方砖面积． 又， 当时，． 答：需要240块． 题型二 反比例函数定义 1．函数是（   ） A．正比例函数 B．一次函数 C．二次函数 D．反比例函数 【答案】D 【分析】本题考查了反比例函数的定义，解题的关键是掌握反比例函数的一般形式．函数符合反比例函数的形式，其中． 【详解】解：∵正比例函数一般形式为，一次函数一般形式为，二次函数一般形式为，反比例函数一般形式为， 又∵题目给出的函数符合反比例函数的定义，不符合其余三类函数的定义， ∴该函数是反比例函数， 故选：D． 2．下列函数中，是反比例函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据反比例函数的一般形式，逐一分析选项即可． 【详解】解：A选项是正比例函数，不是反比例函数，不符合题意； B选项符合的形式，是反比例函数，符合题意； C选项是一次函数，不是反比例函数，不符合题意； D选项不是反比例函数，不符合题意． 3．为了给学生们创建更好的学习和生活环境，某学校利用假期时间进行了装修改造，以下相关情境中，y是x的反比例函数的是（   ） A．在校园的绿化带内重新栽种绿植，一个工人每小时栽种6平方米，栽种时间为x小时，栽种的总面积为y平方米 B．用长为80米的栅栏围一个矩形劳动实践基地，矩形长x米，宽y米 C．修建一个圆形花坛，花坛半径为x米，面积为y平方米 D．对教学楼2000平方米的外墙重新粉刷，每天粉刷x平方米，需要粉刷y天 【答案】D 【分析】本题主要考查了反比例函数的定义，根据反比例函数定义（k 为常数，），逐一分析各选项中的函数关系． 【详解】解：A．栽种总面积，为正比例函数，故A不符合题意； B．栅栏周长，得，为一次函数，故B不符合题意； C．圆面积，为二次函数，故C不符合题意； D．总工作量，得，符合反比例函数，故D符合题意． 故选：D． 4．下列关于的函数中，哪些一定是反比例函数？把一定是反比例函数的关系式改写成的形式，并指出的值． ①；②；③；④． 【答案】见解析 【详解】解：②一定是反比例函数，，的值是； ③一定是反比例函数，，的值是． 题型三 根据反比例函数定义求参数的值 1．若x和y成反比例关系，则的值是（   ） x 2 a y 6 b A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】C 【分析】根据反比例关系得到求解即可； 【详解】 x和y成反比例关系，，， ， ，， ，， ． 2．若点在反比例函数 y =的图像上，则______． 【答案】5 【分析】根据反比例函数图象上点的坐标特征，点在函数图象上则点的坐标满足函数解析式，将点的坐标代入解析式即可求解． 【详解】解：因为点在反比例函数的图象上， 将，代入解析式得：， 等式两边同乘得：， 解得． 3．在平面直角坐标系中，已知点，，若反比例函数的图象经过这两点，则的值为______． 【答案】 【详解】解：反比例函数的图象经过，两点，可得， ， 整理得， 解得． 4．在平面直角坐标系中，点，，分别位于三个不同的象限，若反比例函数的图象经过其中两点，则的值为_____． 【答案】 【分析】根据三个点在不同象限确定点的象限，再结合反比例函数的性质确定反比例经过的两个点，利用反比例函数图象上点的横纵坐标乘积等于计算的值． 【详解】解：点在第一象限， 点在第四象限， 点纵坐标为正，因此点在第一象限或第二象限， 点，，分别在三个不同的象限， 点不在第一象限，即点在第二象限，， 反比例函数的图象两支分别位于两个象限，当时，两支在第一，三象限；当时，两支在第二，四象限，本题三个点中无第三象限的点，因此反比例经过第二象限的和第四象限的， 反比例函数图象上点的横纵坐标乘积等于， ， 即， 解得． 题型一 求反比例函数的值 1．当时，反比例函数的函数值为（   ） A． B．4 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了求反比例函数值． 直接将代入反比例函数计算即可． 【详解】解：当时，． 故选：B． 2．已知点在反比例函数上，则化简的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查反比例函数图像上点的坐标特征，积的乘方的逆运算，首先得到，然后将变形后整体代入求解即可． 【详解】∵点在反比例函数上， ∴，即 ∴ ． 故选：A． 3．已知点A在反比例函数的图象上，点A关于y轴对称的点在反比例函数的图象上，且，则的值为（    ） A． B．3 C． D．6 【答案】B 【分析】本题考查了反比例函数的性质以及关于轴对称的点的坐标特征，解题的关键是根据点的坐标与反比例函数的关系列出等式． 先设出点的坐标，根据反比例函数的性质表示出，再根据关于轴对称的点的坐标特征得到对称点坐标，进而表示出，最后结合求解． 【详解】解：设点A坐标为，则， 点A关于y轴对称后的坐标为，代入第二个反比例函数得， 由，得： ，则， ， 因此，，对应选项B． 故选：B． 4．若反比例函数的图象经过点和，则的值为__________． 【答案】 【详解】解：依题意， 解得： 题型二 由反比例函数值求自变量 1．在平面直角坐标系中，若点与点在函数的图象上，则的值为______． 【答案】 0 【分析】根据点在反比例函数图象上，点的坐标满足函数解析式，得到与，与的关系，再推导计算的值即可． 【详解】解：∵点和点都在函数的图象上， ∴将两点坐标代入函数解析式，可得 ，， 整理得 ，， ∴，即 ， ∴． 2．函数，当时，y的范围是________；时，x的范围是________． 【答案】 或 【分析】本题考查了反比例函数图象的性质以及反比例函数图象上点的坐标特征．数形结合是解题的关键．对于第一部分，根据反比例函数的性质，当时，x为负数，因此y为负数，求出y的范围；对于第二部分，解不等式由，得，再求解即可． 【详解】解：函数为， 当时，x为负数，因此y为负数， 当时，，⁻ 所以y的取值范围是， 由，得， 解得：或， 故答案为：；或． 3．如图所示的是一面墙（可利用的最大长度为），现打算沿墙围一个面积为的矩形花圃．设花圃的长为，宽为，则关于的函数表达式是_________，自变量的取值范围是_________． 【答案】， 【分析】此题考查根据实际问题列函数关系式，理解题意掌握长方形的面积公式是解题的关键．根据长方形的面积长宽，可得，进而得出y关于x的函数表达式，再根据围墙可利用的最大长度为求得x的取值范围． 【详解】解：解：由题意得，即． ∵围墙可利用的最大长度为， ∴， 故答案为：，． 4．已知． (1)当为何值时，是的正比例函数？ (2)当为何值时，是的反比例函数？当时，求的值． 【答案】(1) (2)； 【分析】本题主要考查了正比例函数与反比例函数的定义： （1）根据正比例函数的定义可得且，即可求解； （2）根据反比例函数的定义可得且，即可求解． 【详解】（1）解：∵是正比例函数， ∴且， 解得：； （2）解：∵是反比例函数， ∴且， 解得：； ∴该反比例函数的解析式为， 当时，， 解得：． 1．定义：[a，b]为反比例函数（ab≠0，a，b为实数）的“关联数”．反比例函数的“关联数”为[m，m+2]，反比例函数的“关联数”为[m+1，m+3]，若m＞0，则（　　） A．k1＝k2 B．k1＞k2 C．k1＜k2 D．无法比较 【答案】C 【解答】解：根据题意得：， ∵m＞0， ∴k1﹣k20， 则k1＜k2． 故选：C． 2．已知函数y＝y1+y2，y1与x成正比例，y2与x成反比例，且当x＝1时，y＝4；当x＝2时，y＝5． y与x之间的函数关系式　 ，当x＝4时，求y＝　 ． 【答案】； 【解答】解：y1与x成正比例，则可以设y1＝mx， y2与x成反比例则可以设y2， 因而y与x的函数关系式是y＝mx， 当x＝1时，y＝4； 当x＝2时，y＝5． 就可以得到方程组：， 解得：， 因而y与x之间的函数关系式y＝y1+y2＝2x， 当x＝4时，代入得到y＝8． 3．已知函数 y＝（5m﹣3）x2﹣n+（n+m）， （1）当m，n为何值时是一次函数？ （2）当m，n为何值时，为正比例函数？ （3）当m，n为何值时，为反比例函数？ 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）当函数y＝（5m﹣3）x2﹣n+（m+n）是一次函数时， 2﹣n＝1，且5m﹣3≠0， 解得：n＝1且m； （2）当函数y＝（5m﹣3）x2﹣n+（m+n）是正比例函数时，， 解得：n＝1，m＝﹣1． （3）当函数y＝（5m﹣3）x2﹣n+（m+n）是反比例函数时，， 解得：n＝3，m＝﹣3． 4．在直尺中央的点O处拴上细绳，把它吊在空中，左边挂一重物M，右边挂三个钩码，钩码悬挂处为点A（如图①所示），重物M到直尺中央的距离不变，此时杠杆平衡． 若把图①中右边的钩码向左移动一格则必须加上三个钩码才能平衡（如图②所示）． 若把图①中右边的钩码向右移一格，则必须去掉一个钩码才能保持平衡（如图③所示）． 根据上述实验填写下表： 点A到点O的距离/格 1 2 3 4 5 6 … 钩码个数 　　 　　 　　 　　 　　 　　 … 观察所填表格你发现了哪些规律？ 【答案】6，3，2，1.5，1.2，1；钩码个数与点A到点O的距离成反比例关系，点A到点O的距离与钩码个数的乘积都是6． 【解答】解：由题目中的实验可得： 点A到点O的距离/格 1 2 3 4 5 6 … 钩码个数 6 3 2 1.5 1.2 1 … 故答案为：6，3，2，1.5，1.2，1； 观察所填表格中的数据可以发现钩码个数与点A到点O的距离成反比例关系，点A到点O的距离与钩码个数的乘积都是6． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $