广东东莞市第十三高级中学2026-2027学年高三上学期数学周测试卷三（10.18）

广东东莞市第十三高级中学2026-2027学年高三上学期数学周测试卷三（10.18） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．命题“，”的否定是（    ） A．， B．， C．， D．， 2．已知全集，则下图中阴影部分表示的集合为（   ） A． B． B． C．{3} D． 3．已知双曲线：（，）的一条渐近线的倾斜角为，则的离心率为（   ） A． B． C．2 D． 4．下列函数中，在定义域内既是奇函数又单调递增的是（   ） A． B． C． D． 5．已知函数是偶函数，对且时，恒成立，设，，，则，，的大小关系为（   ） A． B． C． D． 6．若将函数的图象向左平移个单位后得到的图象关于轴对称，则函数在上的最大值为（    ） A．2 B． C．1 D． 7．已知展开式中项的系数为，则（    ） A．2 B． C．4 D． 8．若，则（   ） A． B． C． D． 二、多选题 9．已知离散型随机变量的分布列为 1 2 4 6 0.2 0.1 则下列选项正确的是（    ） A． B．若，则 C．若，则 D． 10．在中，内角，，的对边分别为，，，已知，且，则（   ） A．，，成等比数列 B．为钝角三角形 C．，，成等差数列 D．若，则 11．已知函数，在R上的导函数分别为，，若为偶函数，是奇函数，且，则下列结论正确的是（    ） A． B． C．是R上的奇函数 D．是R上的奇函数 三、填空题 12．设曲线在点处的切线方程为，则_________． 13．在中，为线段的中点，点在线段上端点不重合，若，则的最大值为__________. 14．已知函数，则不等式的解集为_________________. 四、解答题 15．在中，，，分别是角，，所对的边，且满足. (1)求角的大小； (2)若为边上的一点，平分且，求面积的最小值. 16．已知函数的最小值为． (1)求的值； (2)求的最小正周期和单调增区间： (3)若，，求的值． 17．如图，在直三棱柱中，，，且，，直线与交于点F. (1)证明：平面. (2)求二面角的正弦值. 18．某智能制造工厂有甲、乙、丙三条生产线生产同款精密零件，其中甲生产线产能占总产量的，乙占，丙占；三条生产线的次品率分别为、、，所有零件外观无差异，随机混装入库． (1)随机抽取1件入库零件，求该零件为次品的概率； (2)若抽检发现该零件为次品，求该次品来自甲生产线的概率； (3)现从入库产品中随机独立抽取（，）件产品，记次品数量为，若，求正整数的最大值与最小值． 19．已知． (1)讨论的单调性； (2)若在有两个零点，求的取值范围； (3)若在上恒成立，求的取值范围． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D A C D C A B C BD ABD 题号 11 答案 AD 1．D 【详解】否定全称命题时，应将全称量词改为存在量词，并否定量词后的结论，变量的取值范围不变． 因为的否定为，所以原命题的否定为“，”． 2．A 【分析】根据集合的交集和补集的定义进行求解即可. 【详解】图中阴影部分表示的集合为集合与集合的交集相对于集合的补集， 即. 因为， 所以. 3．C 【分析】借助渐近线定义与离心率定义计算即可得. 【详解】由题意知的倾斜角为，所以， 则. 4．D 【分析】分别验证各个选项中函数的奇偶性和单调性即可得出结果. 【详解】A选项，函数定义域为， ，函数为奇函数， 在上单调递减，且在上单调递增，所以函数在上单调递减，不符合题意； B选项，，即，函数定义域为， ，函数为奇函数， ∵在上单调递减，在上单调递增，∴在上单调递减，不符合题意； C选项，函数定义域为，为偶函数，不符合题意； D选项，函数定义域为，，函数为奇函数， ，因为函数在上单调递增，所以在上单调递减，所以在上单调递增，符合题意. 故选：D. 5．C 【分析】由是偶函数，得到的图像关于对称，由且时，，得到在单调递增，由，结合单调性即可判断. 【详解】因为函数是偶函数， 所以，即的图像关于对称， 又且时，， 可得在单调递增， 所以， 所以， 故选：C 6．A 【分析】利用三角函数图象的变化规律求得：，利用对称性求得，由时，可得，由正弦函数的单调性可得结果. 【详解】函数的图象向左平移个单位长度后， 图象所对应解析式为：， 由关于轴对称，则， 可得，，又，所以， 即， 当时，， 所以当时，即时，. 故选：A． 【点睛】本题考查了三角函数图象的对称性、平移变换及三角函数在区间上的最值，属中档题．本题解题的关键在于能否正确处理先周期变换后相位变换这种情况下图象的平移问题，反映学生对所学知识理解的深度. 7．B 【详解】由题设，， 令，得，故项的系数为， 所以. 8．C 【分析】通过构造辅助函数，，利用导数判断函数在区间上的单调性，结合单调性比较函数值大小即可判断选项正误 【详解】对AB选项，构造函数，，求导得：， 令，则，所以在上单调递增， 且，，故存在使得， 即在上单调递减，在上单调递增. 因为不能判断与函数的单调区间的位置关系，因此不能判断的大小关系. 即不能确定与的大小关系，故不能确定与的大小， 对CD选项，构造函数，，求导得： ， 令，，求导： ， 当时，，，故，即在上单调递减，， 因此对任意，，即，故在上单调递减， 因为，所以，即，所以， 因此C正确，D错误. 9．BD 【分析】根据分布列的性质，以及概率的定义与互斥事件概率的加法公式，逐项判定，即可求解． 【详解】对于A中，由分布列的性质，可得，解得，所以A不正确； 对于B中，若，可得，则，故B正确； 对于C中，由概率的定义知，所以C不正确： 对于D中，由，则，所以D正确． 10．ABD 【分析】由正弦定理可判断A；利用正弦定理、三角形的性质可判断B；根据，，成等差数列求出，再由余弦定理可判断C；求出可判断D. 【详解】对于A，，由正弦定理可得，且， 则，，成等比数列，故A正确； 对于B，将，利用正弦定理化简得：， 即，，利用正弦定理化简得：， ，，，所以角最大， 由得角为钝角，故B正确； 对于C，若，，成等差数列，则，且，可得， 则由余弦定理可得，故C错误； 对于D，若，可得，，则，由，， 可得，所以，故D正确. 故选：ABD． 11．AD 【分析】利用函数的奇偶性、周期性、对称性，以及原函数与导函数的奇偶性，即可判断各选项正误. 【详解】解：已知为偶函数，可知关于对称， 所以关于对称， 因为是奇函数，可知关于对称， 所以关于对称， 又因为，则，即， 所以与关于对称， 因为关于对称的点为，直线关于对称的直线为， 所以关于对称，关于直线对称，是偶函数， 而关于对称，，又， 则，，， 即是周期为4的偶函数，故C选项错误； 由关于直线对称，，关于对称，， 则，， 所以，即是周期为4的偶函数， 由于是周期为4的偶函数，则， 等号两边同时求导，可得，所以是周期为4的奇函数， 同理，由于是周期为4的偶函数，则， 等号两边同时求导，可得，是周期为4的奇函数， 所以与均是周期为4的奇函数，故D选项正确； 由于关于对称，，，则， 所以，故A选项正确； ，故B选项错误； 故选：AD. 【点睛】关键点点睛：本题的关键是根据函数的对称性得到函数的奇偶性及周期性，再利用复合函数的导数可得导函数的性质进而即得. 12．3 【分析】利用导数的几何意义即可求解. 【详解】由， 则， 根据题意可得，即， 解得. 13． 【分析】先根据中点的性质将转化为与有关的向量，再利用三点共线得到与的关系，最后根据均值不等式求出的最大值. 【详解】因为，所以. 因为点在线段上（端点不重合），所以三点共线， 所以，且，​. 由均值不等式，可得， 化简得，即. 当且仅当时等号成立，结合，可得，时等号成立. 故答案为：. 14． 【分析】要先证明函数的中心对称性，即，这样原不等式就可以化为，再用求导来证明单调递增，从而就可以解出结果. 【详解】由已知得：， 所以，即 则不等式等价于， 再由， 可得在上单调递增，所以，解得， 故答案为：. 15．(1) (2) 【分析】（1）利用正弦定理边化角可得，化简并结合同角的三角函数关系即可求得答案； （2）根据等面积法可推出，利用基本不等式可得，即可求得答案. 【详解】（1）由可知，得，于是， 即，所以 （2） 即得， ， ，当且仅当时取等号， ，故面积的最小值为 16．(1)， (2)，增区间为 (3) 【分析】（1）利用倍角公式及辅助角公式，得到，再结合条件，即可求解； （2）利用（1）中结果及正弦函数的性质，即可求解； （3）根据条件，利用平方关系，求出，再由倍角公式及诱导公式，即可求解. 【详解】（1）因为 ， 所以，，解得. （2）由（1）知，所以， 由，得到， 所以函数的增区间为. （3）因为，且，则， 所以，， 则， 又，所以. 17．(1) 由题意可以为原点，和分别为轴、轴和轴建立 如图所示的空间直角坐标系， 因为，且，， 所以， 所以，，， 设是平面的一个法向量， 则，所以，取得， 所以，即，所以平面. (2) 【分析】（1）由题意建立空间直角坐标系，接着求出和平面的法向量，进而得，进而得证. （2）由（1）得平面的法向量并求出平面的一个法向量，接着计算即可进一步求出二面角的正弦值. 【详解】（1）略 （2）由（1）得，，平面的一个法向量为， 设是平面的一个法向量， 则，所以，取得， 设二面角的大小为，， 则， 所以二面角的正弦值为. 18．(1)； (2)； (3)最小值为，最大值为. 【分析】（1）利用全概率公式整合不同生产线的次品率，计算整体次品概率； （2）利用贝叶斯公式，结合全概率结果计算次品来自甲生产线的条件概率； （3）通过二项分布的相邻概率比值分析，确定使最大的的取值范围，进而得到最值. 【详解】（1）设表示“零件来自第条生产线”（，对应甲、乙、丙），表示“零件为次品”. 由题意，，，，，，. 由全概率公式，. （2）由贝叶斯公式，. （3）由题意，，故（）. 要使最大，需满足且. 由，得， 化简得，解得，故. 由，得， 化简得，解得，故. 综上，正整数的最小值为，最大值为. 19．(1) 当时，在上递减，当时，在上递减，在上递增． (2) (3) 【分析】（1）先求导，再对进行分类讨论，利用函数的单调性与导数的关系即可确定的单调性； （2）通过分类讨论结合零点存在性定理即得结论； （3）由题意得在上恒成立，令，通过两次求导结合分类讨论分析的单调性可得结论. 【详解】（1）∵，∴， 当时，恒成立，在上递减， 当时，令得，，∴在上递减， 令得，，∴在上递增． （2）由（1）可知时，不合题意； 时，在上递减，在上递增， 若在有两个零点，则定有，解得， 此时，所以在上一定有一个零点， 当时，在上一定有一个零点， 综上：． （3）由，得， 故在上恒成立， 设， 则， 设，则， 当时，单调递增； ∴在上单调递增. 所以在上，，且， 当，即时，在上单调递减， 则，不符合题意，舍去， 当，即时， （i）若，即， ，使得，当时，，在内单调递减， ，不符合题意，舍去， （ii）若，即恒成立， 在上单调递增，则，符合题意， 综上，实数的取值范围为． 答案第1页（共2页） 答案第1页（共2页） 学科网（北京）股份有限公司 $