广东东莞市第十三高级中学2026-2027学年高三上学期数学国庆作业（二）

东莞市第十三高级中学2026-2027学年高三上学期数学国庆作业（二） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 2．已知为两条不同的直线，为两个不同的平面，且，则下列说法正确的是（    ） A．“//”是“”的充分不必要条件 B．“”是“”的必要不充分条件 C．若异面，则有公共点 D．若有公共点，则有公共点 3．曲线：如何变换得到曲线： A．向左平移个单位 B．向右平移个单位 C．向左平移个单位 D．向右平移个单位 4．设函数，是公差为的等差数列，，则的值为（   ） A．0 B． C． D． 5．连续抛掷一枚质地均匀的骰子两次，分别标记两次骰子正面朝上的点数，表示事件“第一次正面朝上的点数为1”，表示事件“第二次正面朝上的点数为3”，表示事件“两次正面朝上的点数之和为8”，表示事件“两次正面朝上的点数之和为7”，则下列说法错误的是（    ） A．与相互独立 B．与互斥 C． D． 6．设函数的定义域为，且，当时，，若对于，都有恒成立，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 7．某校高二年级羽毛球社团为了解喜欢羽毛球运动是否与性别有关，随机在高二年级抽取了若干人进行调查.已知抽取的女生人数是男生人数的3倍，其中女生喜爱羽毛球运动的人数占女生人数的，男生喜爱羽毛球运动的人数占男生人数的.若本次调查得出“在犯错误的概率不超过0.05的前提下，认为喜爱羽毛球运动与性别有关”的结论，则被调查的男生至少有（    ） 参考公式及数据：. 0.10 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 A．35人 B．32人 C．31人 D．30人 8．已知定义域为的函数满足：对任意的，有，且当时，，则（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 二、多选题 9．“立定跳远”是《国家学生体质健康标准》测试项目中的一项，已知某地区高中男生的立定跳远测试数据（单位：）服从正态分布，且，现从该地区高中男生中随机抽取3人，并记不在的人数为，则（      ） A． B． C． D． 10．已知函数，，若方程恰有2个不同的实数根，则实数可能的取值为（   ） A． B．1 C． D．2 11．已知一个数列共有8项，分别为：1，3，5，7，9，11，13，15，将这8个数分为4组，每组2个数，使得每组的2个数之和构成一个项数为4且公差为的等差数列，则的值不可能是（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 三、填空题 12．已知是等比数列的前项和，且，，则________． 13．记Sn为等比数列{an}的前n项和.若，则S4=___________． 14．已知关于的不等式恒成立，则的取值范围是___________． 四、解答题 15．已知函数在点处的切线与直线垂直． (1)求； (2)求的单调区间和极值． 16．已知数列的前项和为. (1)求； (2)求出的通项公式. 17．如图所示，在所有棱长都为2的三棱柱中，点是棱的中点，． (1)求证：平面平面； (2)若，点是线段上的一个动点，若直线与平面所成角的正弦值为，求线段的长度． 18．在近期的中东冲突中，某武装力量的一种精准制导导弹的命中率为，各枚导弹是否命中相互独立． (1)若对某一处军事设施同时发射3枚导弹，记事件A为“恰有两枚导弹命中目标”，事件B为“第二枚导弹命中目标”，判断A与B是否相互独立； (2)若对某一处军事设施同时发射10枚导弹，记随机变量X为导弹命中的数量，求使取最大值时k的值； (3)现有一个敌方高防御目标需要两枚导弹命中才可以被击毁，若某指挥官制定了如下战略：恰好击毁目标即停止行动，且发射导弹总数不超过枚，记停止行动时发射的导弹数为Y，求． 19．设整数．某同学用一个球进行投篮练习，至多投篮次.当且仅当投中1次时或次均未投中时，停止练习．设该同学每次投中的概率为，各次投中与否相互独立．记为停止练习时该同学的投篮次数． (1)当，时，求的分布列； (2)设，均为自然数． （i）当时，求； （ii）当时，证明：． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 东莞市第十三高级中学2026-2027学年高三上学期数学国庆作业（二）参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B C B D D A A A ABD BD 题号 11 答案 AC 1．B 【分析】首先求解集合，再求交集. 【详解】由题可知，又因为，故． 故选：B 2．C 【分析】对于A，推理说明“//”是“”的必要条件即可判断；对于B，推理说明“”是“”的充分条件即可判断；对于C，通过反证法易判断命题正确；对于D，由有公共点和题设条件，易得可相交或异面即可判断. 【详解】对于A，由，可得，又，故得，即“//”是“”的必要条件，故A项错误； 对于B，由，可得或，当时，因，则， 当时，经过和平面内一点可确定平面，且，则，由可得，同理可得， 即“”是“”的充分条件，故B项错误； 对于C，运用反证法说明，假设没有公共点，则，又由可得，这与异面矛盾，故假设不成立，即C项正确； 对于D，由有公共点可得相交，因，则相交或异面，故D项错误. 故选：C. 3．B 【详解】分析：先化为正弦型函数，根据图象平移法则即可得出结论． 详解：曲线C1：= 所以曲线：图象向右平移个单位即可得到曲线：. 故答案为：B 点睛：（1）本题主要考查三角恒等变换和三角函数图像的变换，意在考查学生对这些基础知识的掌握能力和转化能力. (2) 平移变换口诀：左加右减，上加下减，把函数向左平移个单位，得到函数的图像，把函数向右平移个单位，得到函数的图像. 4．D 【分析】由题中条件及等差数列的性质可得，由两角和与差的余弦公式可得.记，求导可得函数在上为增函数，有唯一零点，故，代入即可求解. 【详解】因为是公差为的等差数列，且， 所以， 即， 由等差数列的性质可得， 即. 记，则， 所以在上为增函数，且， 所以有唯一零点，所以. 所以. 故选：D. 5．D 【分析】利用列举法与古典概型的概率公式求得各事件的概率，再结合独立事件、互斥事件与条件概率公式即可得解. 【详解】连续抛掷一枚质地均匀的骰子两次的结果用有序数对表示，其中第一次在前，第二次在后，不同结果如下： ，共36个． 依题意，易得， 事件包括，共5个，， 事件包括，共6个，， 对于A，事件只有结果，则，A与D相互独立，故A正确； 对于B，由事件的基本事件可知，其中不包含“第一次正面朝上的点数为1”的事件，故与互斥，故B正确； 对于C，事件表示“第二次正面朝上的点数不为3”，事件同时发生的有，共4件， 所以，，故C正确； 对于D，事件同时发生的有，共1件，所以， ，故D错误. 故选：D. 【点睛】关键点睛：本题解决的关键是利用古典概型的概率公式求得各事件的概率，从而得解. 6．A 【分析】由和当时可以逐次推出，，上的解析式，根据每个区间上的函数最小值的规律，应求时，函数值等于时的自变量的值，得到满足的的范围，即得t的取值范围. 【详解】当时，，； 因，即x每增大，对应的纵坐标都变原来的倍. 当时，，故， 则，； 当时，，故， 则，； 当时，，故， 则，. 当时，由，可得，解得或， 如下图所示： 由图可知，当时，恒成立，故实数的取值范围是. 故选：A. 【点睛】关键点点睛：本题主要考查与递推倍减函数的恒成立问题.对于递推倍减函数的恒成立问题，解题关键在于根据恒成立条件，分别求得在对应区间上的函数解析式，结合函数图象的理解，求得参变量的范围. 7．A 【分析】设出人数，列出列联表，由独立性检验的思想求解即可. 【详解】设男生人数为，则女生人数为， 所以其中女生喜爱羽毛球运动的人数为， 男生喜爱羽毛球运动的人数为， 所以得到的列联表为： 男生 女生 合计 喜爱羽毛球运动 不喜爱羽毛球运动 合计 解得：，再结合二联表中人数均应为整数，故被调查的男生至少有人. 故选：A. 8．A 【分析】由题意可得函数是周期为4的周期函数，所以，令有，即可求出答案. 【详解】，用代换，有恒成立， 所以函数是周期为4的周期函数. 所以. 令有，所以. 故选：A 9．ABD 【分析】根据正态分布求得特定区间的概率，不在的概率为，则，从而求得期望，方差及概率. 【详解】由，则， 则，故A正确； 不在的概率为，则， 则，故B正确； ，故C错误； ，故D正确. 故选：ABD. 10．BD 【分析】解法1，结合的图象，对进行讨论可得答案；解法2，对取特殊值，利用排除法可得答案. 【详解】解法1：由关于对称，最高点为， 令得，或， 令得，或，由得，由得， ①当时，， 函数的图象与的图象无交点； ②当时，函数的图象与的图象有一个交点； ③当时，函数的图象与的图象有2个交点； ④当时，函数的图象与的图象有3个交点； ⑤直线与曲线相切时， 联立可得：，由可得：， 当时，由上函数的图象与的图象有3个交点； ⑥当时，函数的图象与的图象有4个交点； ⑦当时，函数的图象与的图象有2个交点. 综上，的取值范围为或，所以实数可能的取值为1和2. 故选：BD. 解法2：当时，函数的图象与的图象仅交于点，A错误； 当时，函数的图象与的图象有2个交点，B正确； 当时，函数的图象与的图象在上有1个交点， 且都过和，共3个交点，C错误； 当时，函数的图象与的图象有2个交点，D正确. 故选：BD. 11．AC 【分析】根据原数列的和与新数列的和相等，得出新数列的首项与公差的关系，再将各选项的值代入检验判断. 【详解】原数列各项和为. 设新数列首项为，公差为，项数为4， 所以新数列的各项和为， 化简得. 因为原数列各项均为奇数，所以每组的2个数之和一定是偶数，所以必为偶数. 将各选项代入逐一验证： 若 ，，不可能，故选项A正确； 若 ，，满足题意，故选项B错误； 若，，不可能，故选项C正确； 若，，满足题意，故选项D错误. 12． 【分析】计算出公比后使用等比数列前项和公式求解. 【详解】等比数列的公比为：， 则. 13．. 【分析】本题根据已知条件，列出关于等比数列公比的方程，应用等比数列的求和公式，计算得到．题目的难度不大，注重了基础知识、基本计算能力的考查． 【详解】详解：设等比数列的公比为，由已知 ，即 解得， 所以． 【点睛】准确计算，是解答此类问题的基本要求．本题由于涉及幂的乘方运算、繁分式分式计算，部分考生易出现运算错误． 一题多解：本题在求得数列的公比后，可利用已知计算，避免繁分式计算． 14． 【分析】先将不等式变形构造得到恒成立，构造函数，利用单调性可得，再构造函数，利用导数研究函数的最大值. 【详解】因为且， 所以，即， 令，易知恒成立，则单调递增． 因为， 所以， 则，即， 设，则， 当时，单调递减， 当时，单调递增，所以， 所以，则的取值范围为． 故答案为： 15．(1) (2)单调递增区间为、，单调递减区间为，极大值，极小值 【分析】（1）结合导数的几何意义及直线垂直的性质计算即可得； （2）借助导数可讨论单调性，即可得极值. 【详解】（1），则， 由题意可得，解得； （2）由，故， 则，， 故当时，，当时，，当时，， 故的单调递增区间为、，的单调递减区间为， 故有极大值， 有极小值. 16．(1) (2) 【分析】（1）代入前项和公式求出； （2）列出与的关系式，再结合已知条件计算求解． 【详解】（1）时，， 时，． （2）因，， 当时，， ， 当时，， 故． 17．(1) 取的中点，连接，，，因为为中点，为中点， 所以，在三棱柱中，， 则四边形是菱形，得，则，又， ，，平面，所以平面， 又因为，平面，所以，因为是等边三角形，为中点，所以， 又因为，，平面，所以平面，又因为平面， 所以，平面平面. (2) 【分析】（1）如图，由题意可得，根据线面垂直的判定定理可得平面，结合面面垂直的判定定理即可证明； （2）建立空间直角坐标系，利用空间向量法求解即可. 【详解】（1）略 （2）连接，因为，，所以是等边三角形，所以，又平面平面， 平面平面，平面，所以平面，得，，又， 如图，以为原点，以，，所在直线分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系， 则，，，，， 设，则， ，易知平面的一个法向量，设直线与平面所成角为， 则，令，解得， 此时，所以线段. 18．(1)与不相互独立 (2)8 (3) 【分析】（1）先分别计算，再验证是否满足； （2）利用二项分布的概率公式列出与的比值，通过判断比值与1的大小关系确定的最大值点； （3）先确定的所有可能取值，再分和两种情况计算，最后利用期望公式计算期望. 【详解】（1）由题意得， 因为，， 所以，所以与不相互独立． （2）由题意可得，，所以， 令， 即，解得， 所以， 又因为且 所以当时，有最大值． （3）由题意可知，， ①当时，实际情况为前次发射的导弹恰有一枚击中目标，且第次发射的导弹击中目标，； ②当时，实际情况为两种，第一种为前次发射的导弹都没击中目标，第二种为前次发射的导弹恰有一枚击中目标， 所以， 所以， 记，记， 不妨令， 可设， 对比系数得，解得，所以， 故， 所以. 19．(1)的分布列如下图所示： 1 2 3 4 (2)（i）； （ii）由题意及（2）（i）证明如下： 即. 【分析】（1）求出的可能取值，计算出不同取值下的概率，即可得出分布列. （2）（i）等价于前次投篮全部未中，利用各次投篮的独立性，可求出. （ii）利用条件概率公式，结合（i）的结论与事件的包含关系即可证明结论. 【详解】（1）由题意知，整数，某同学进行投篮练习，至多投篮次，当且仅当投中1次时或次均未投中时，停止练习， ∴的可能取值为1，2，3，4. 当时，表示第一次就投进球，， 当时，表示第2次投进球，第1次没有投进，， 当时，表示第3次投进球，前两次没有投进，， 当时，此事件等价于前次投篮均未投中，， 作出的分布列，如下图所示： 1 2 3 4 （2）（i）由题意及（1）得，整数，某同学进行投篮练习，至多投篮次， 当且仅当投中1次时或次均未投中时，停止练习， 当时，表示前次均未投中， ∴. （ii）略. 答案第1页（共2页） 答案第1页（共2页） 学科网（北京）股份有限公司 $