辽宁省营口市普通高中2026-2027学年高三上学期10月阶段检测数学试题

高三年级巩固训练 数学 本卷满分150分，考试时间120分钟。 ☆注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答 题卡的指定位置。考试结束后，将答题卡交回。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改 动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。 3.回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题所给的四个选项中，有且只有一项 是符合题目要求的) 1.半径为2，圆心角为1rad的扇形面积为 A.1 B.2 C.4 D.8 2.复数z满足之十z=z2=2,则(z一1)2= A.-1 B.1 C.-i D,i 3.设集合A=(x∈R|x2=x),B=(x∈R|2r+x=1),则A∩B= A.0 B.(0) C.(1) D.(0,1) 4.命题“所有函数在定义域内均存在零点”的否定为 A.所有函数在其定义域内处处为0 B.所有函数在其定义域内均没有零点 C.存在一个函数在其定义域内处处为0 D.存在一个函数在其定义域内没有零点 5.设函数f(x)=sin(xx2-1nx,则曲线y=f(x)在点(1，f(1)处的切线与坐标轴围成的三 角形面积为 A晋 B段 c 晋 6.设函数f(x)=x2的定义域为[0，十∞).已知存在函数g(x)满足g(f(x)=3x,则f(g(4)= A.3 B.9 C.36 D.72 7.设函数f(x)=sin(x十a)十cos(2x十)，a,∈R,则“B=2a”是“f(-a)=1”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D,既不充分也不必要条件 高三数学第1页（共4页） 8.平面直角坐标系xOy内，两射线OA,OB的夹角为60°，点P,Q分别在射线OA,OB上，且 12O妒-40成-PQ1=√5.则1PQ1的最大值为 A告 B号 c D 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题所给的四个选项中，有多项符合题 目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9.设函数f(x)=x3(1nx一1)，则 A.f(x)有且仅有2个零点 B.f(x)有且仅有1个极值点 C.不等式f(x)≥一1恒成立 D.f(x)在(0,1)上单调递减 10,在以O为原点的平面直角坐标系中，A(0,1),B(x,0),C(y,0),其中0<x<y,若A言·AC= 2,则 A.△ABC为钝角三角形 B.△ABC的面积为tanA C.△ABC外接圆的半径大于1 D.△ABC的周长大于4 11.设等差数列(an的前n项和为Sn.当且仅当n=5时，Sn取得最大值.若(bn}为公比为q的正 项等比数列，记数列(an十bn)的前立项和为Tn,则 A.数列(Tn)存在最小项，当且仅当q>1 B.数列(Tn}存在最大项，当且仅当0<q<1 C.对任意数列(bn),均不存在整数m<5,使得Tn在n=m处取得最大值 D.对任意整数m≥5，均存在数列(bn),使得Tn在n=m或n=m十1处取得最大值 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12.已知平面向量a=(2,2)与b=(k,k2)的夹角为60°，则= 13.若对任意a>0,存在x∈[1,3]使得x2-alnx<k,则k的取值范围是 14.若sinx,siny,sin(x+y)成等比数列，则cosy的最小值为 四、解答题（本大题共5小题，共77分。解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15.(本小题满分13分) 已知函数f(x)=sin wx十√3 COS wx(w>0)的最小正周期为元. (1)求ω； (2)在△ABC中，B=否，BC-f(A),当BC取得最大值时，求AC的长度. 高三数学第2页（共4页） 16.(本小题满分15分) 已知数列(a,)满足a,=2,且侵}为首项与公差相等的等差数列。 (1)求(an)的通项公式； (2)记(an)的前n项和为Sn,求Sn 17.（本小题满分15分) 已知函数f(x)=(x3十ax2十x)e. (1)证明：曲线y=f(x)过定点； (2)当a=0时，证明：f(x)>f(x)十ex. 高三数学第3页（共4页） 18.(本小题满分17分) 已知在△ABC中，sinB<sinA+sinC=cos22B. (1)证明：0°<B<30°或150°<B<180°； (2)若AB+BC=9,AC=4√2. (I)求sinB; (I)求△ABC的面积. 19.(本小题满分17分) 设函数f(x)的定义域为D,若存在非零实数x。∈D,对任意不等实数x1,x2∈D都有 fx)一fx<f）,则称f(x)具有性质P. x1一x2 (1)判断函数g(x)=x2是否具有性质P,并证明； (2)已知D=(0,十∞)，f(x)在D上可导，且在D上无零点 (I)若f(x)具有性质P,证明：存在x∈D,使得xof(x)≤f(xo); ()记A()=若了（✉）✉)=1，证明：f)具有性质卫. 高三数学第4页（共4页）高三年级巩固训练 数学 命题要素一览表 注： 1.能力要求： I.抽象概括能力Ⅱ，推理论证能力Ⅲ.运算求解能力V,空间想象能力V,数据处理能力 Ⅵ.应用意识和创新意识 2.核心素养： ①数学抽象 ②逻辑推理③数学建模④直观想象 ⑤数学运算⑥数据分析 分 知识点 能力要求 核心素养 预估难度 题号 题型 值 (主题内容) IⅢNVM①②③④⑤⑥ 档次 系数 1 单选题 5 扇形面积的计算 / 易 0.95 2 单选题 5 复数的计算 易 0.92 3 单选题 5 集合的运算 L 易 0.87 4 单选题 命题的否定 易 0.80 5 单选题 5 导数的几何意义 易 0.75 6 单选题 函数性质 √W 中 0.65 三角恒等变换与充要条件的 7 单选题 5 0.55 结合 8 单选题 5 平面向量与不等式综合 难 0.35 9 多选题 6 函数导数综合 易 0.85 10 多选题 平面向量与解三角形综合 中 0.55 11 多选题 6 数列综合 难 0.25 12 填空题 5 平面向量综合 易 0.70 13 填空题 函数导数中的存在性问题 中 0.65 三角恒等变换与等比数列 14 填空题 5 难 0.35 综合 15 解答题 13 三角函数与解三角形综合 L 中 0.65 16 解答题 15 数列综合 中 0.55 17 解答题 15 函数导数综合 中 0.45 18 解答题 17 解三角形综合 难 0.25 19 解答题 17 抽象函数与导数综合 难 0.15 ·%1 参考答案及解析 ·高三数学· 参考答案及解析 高三数学 一、单选题 =0d-02,故20D-40d-P6=30币-500 1.B【解析】扇形面积S=合r0=号×2×1=2.故 =√3，平方得9.x2十25y2-15xy=3.又|PQ12=x2十 选B. y2-xy,而3(9x2+25y2-15xy)-25(x2十y2-xy) 2.A【解析】设x=a十bi(a,b∈R),则由z十=2得a =2(x-5)≥0，故25PQ≤9，即PQ≤号，当x =1,由g=2得a2+b2=2,故b2=1,于是（之-1）2= =5y时，9.x2十25y2-15xy=175y=3,等号可以取 (b)2=-b2=-1.故选A 3.B【解析】由x2=x得x=0或x=1,故A={0,1}; 得，故P咬的最大值为号故选C. 当x=0时，2+x=1,当x>0时，2十x>1,当x<0 二、多选题 时，2十x<1,故B={0},从而A∩B={0.故选B. 9.BD【解析】函数f(x)=x3(lnx-1)的定义域为 4.D【解析】“所有函数在定义域内均存在零点”的否 (0,十∞).由f(x)=0,得x3(lnx-1)=0,又x>0, 定为“存在函数在定义域内不存在零点”，也等价于D 故lnx-1=0,解得x=e,所以f(.x)有且仅有1个零 选项的表述.故选D, 点，故A错误；f(x)=3.x2(lnx-1)十x2=x2(3lnx 5.D【解析】求导得了(x)=(2xx-恶）· -2),令f(x)=0,得x=e,当0<x<e京时，f(x) <0,f(x)单调递减；当x>e子时，f(x)>0,f(x)单 os(r-吾n）f0=asx=-g, 6 调递增，所以f(x)在x=e处取得极小值，且仅有1 =sin元=0，可得切线方程为y=-11严(x-1),当y 6 个极值点，故B正确；因为f(1)=-1,且1<é号，而 f(x)在(0，e)上单调递减，所以当1<x<e时， =0时，x=1:当x=0时，y=,可得三角形面积S 6 f(x)<f1)=-1,故不等式f(x)≥-1不恒成立， =×1X号-竖故选D, 2 故C错误；当0<x<1时，因为1<e,所以0<x<1 6.C【解析】因为(2)=4，所以由g(f(x)=3x得 <e,从而f(x)<0,故f(x)在区间(0,1)上单调递 g(4)=g(f(2)=6,从而f(g(4)=f(6)=36.故 减，故D正确.故选BD. 选C. 10,ABC【解析】因为0<x<y,所以BA·BC=一x(y 7.A【解析】f(-a)=cos(g-2a),若B=2a,则f(一a) -x)<0,则∠B为钝角，故A正确；记BC=a,AC= =1,故充分性成立：取B=2a十2π，仍有f(-a)=1, b,AB=c,则△ABC的面积S=号，则esin A=y 但B≠2a,故必要性不成立，因此“B=2a”是“f(一a) 1”的充分不必要条件.故选A. -x,因为A市.A花-bce0sA=2,所以1anA= 8.C【解析】设O币=x,O0=y,则x,y≥0，且P戒 =S,故B正确：因为0<cosA<1,由bccos A=2,得 ·%1 ·高三数学· 参考答案及解析 c>2,由S=号=合esin A,得a=灰sinA,再由正 √5.故答案为-2-√5， 13.(1,十∞) 【解析】当x=1时，即存在x∈[1,3]使 弦定理得2R=品=c>2,故R>1,故C正确：由 得x2<k,此时取x=1即得k>1,而当1<x≤3时， 题意可得AB·AC=xy十1=2，则xy=1,取x= 问题转化成-6a山，即对任意0>0，品士气 子y=号此时△AC的周长为是+号+正= 3 7 a,即≤0，x≤k,此时由存在性知取>1符合 In x <4,故D错误，故选ABC 题意，故答案为(1，十∞). 11.ACD【解析】由S>S1及S>S,得a,>0>as, 故公差d=a6-a5<0,从而an>0(n≤5)，an<0(n 14.2 【解析】由条件得siny=sin xsin(x十y)= ≥6).设cn=an十bn,则Tn一T-1=cn.对A,当0<q sin (sin rcos ycos xsin y)-cosy.I-cos 2 2 ≤1时，bn≤b1,又an=a1十(n-1)d,可取整数N使 1 av十b1<-1,则n≥N时cn<-1,故T,不断下降 siny·zsin2x,可得2sin'y-cosy=-sin ysin2x 且不存在最小项：当q>1时，令r=q一1>0，D= cos ycos2x=-cos(2x+y)≤1，即2-2cos2y 一d>0,K=,>0,由二项式定理知n≥3时b.= cosy-1≤0,2cos2y十cosy-1≥0，可得cosy≤-1 2 b(1十r)-1≥K(n-1)(n-2),取整数N使K(N 或cos≥2，当cosy=-1时，siny=0,与题干中 2)>D十a,则n≥N时bn>-an,故cn>0,于是 等比数列矛盾，故可得osy的最小值为号，当 T,从某项起递增，最小项必在前面有限项中取得， 故A正确：对B,取q=1,则cn=an十b仍为公差d c0s(2x十y)=-1时等号成立.故答案为子 <0的等差数列，可取整数N使n≥N时cm<0,于 四、解答题 是T。从某项起递减，故必有最大项，故B错误；对 15,解：1)由辅助角公式得f()=2sin(x十号)， C,n≤5时am>0且bn>0,故cm>0,于是Ti<T2< (2分) T<T1<T,任意m<5均不可能为最大值点，故C 正确：对D,任取整数m≥5，取q=1并令b. 于是T=元=2红，w=2. (4分) -am+1>0,则cn=an-am+1,故n≤时cn>0,cm+l (2)此时BC=2sin(2A+S)≤2， =0,nm十2时cn<0,于是T1<…<Tm=Tm+i> Tm+2>…,故D正确.故选ACD. 由A∈(o,)得2A+号∈（受，2x): 三、填空题 结合正弦函数图象可知当且仅当2A十受=受， 12.-25【解析】由题意，k≠0，且、2k+2兰 2√2√+ 即A=时，等号成立， (7分) 之则21+)=1十6，即2+十1=0，解得及 故此时BC=2,A=立 (8分) 一2士√3.又夹角为60°，故a·b>0,即(1十k)>0. 由于1<3<2，k=-2十√5不满足，故k=-2 面如是-如（任一吾）-62 (9分) ·%2· 参考答案及解析 ·高三数学· 由正弦定理有 BC AC 所以(1-2x2)2-x=(1-x)(1-4x2-4x3)<0, sin A sin B' 即(1-2x2)2<x,与x<(1-2x2)2矛盾， 于是AC 2 2 =√6+√2. (13分) 6-2 所以0°<B<30°或150°<B<180° (6分) 4 (2)()a=BC,b=CA,c=AB, 16.解：(1D由4=2，得数列{径}的首项为受=1， 则a十c=9,b=4√2， 又其首项与公差相等，故公差为1， (2分) 由正弦定理可得a十c_sinA十sinC=os'2B b sin B sin B' 所以2=1十(n-1)=n,故a,=n·2, (5分) 所以9 cos22B (8分) √2 sin B' (2)由(1)得Sn=1·2十2·22+3·23+…+n·2. (8分) 1 设x=sinB.由(1)知，0<x<2: 则2Sn=1·2+2·23+3·21十…十(n-1)·2m十 故1-2x)2=9 n·2m+1. (11分) 42 两式相减，得Sn=n·2m+1-(2十22十…十2) 记f(x)=1-2.x2) =n·2m+1-(2m+1-2)=(n-1)2m+1+2. (15分) 17.解：(1)注意到f(0)=0,可得曲线y=f(x)过定点 对任意0K<<号，有0K1-2<1-2, (0,0). (3分) 从而f(x2)= 1-2x)21-2z)2(1-2x) (2)此时f(x)=(x3+x)e,f(x)=(x3+3.x2十x十 1)e, (5分) =f(x1), 故只要证(3.x2十1)e>ex,而(3.x2十1)e≥e,故只 所以f(x)在(0，)上单调递减， (10分) 要证e≥ex, (9分) g(x)=e*-ex,g(r)=e-e, (11分) x∈(-o∞，1)时，g'(x)<0,g(x)单调递减； 42 x∈(1，十∞)时，g'(x)>0,g(x)单调递增，(13分) 可得g(x)≥g(1)=0,即e≥ex, (12分) 于是f(x)≥f(x)十e≥f(x)十ex, (i)由余弦定理，b2=a2十c2-2 accos B=(a十c)2- 易知等号无法连续成立，得证. (15分) 2ac(1十cosB). 18.解：(1)由题得sinB<cos22B=1-sin2B 代入a十c=9,b=4√2，得32=81-2ac(1+cosB), =1-4sin Bcos B=1-4sin B-+4sinB 所以2ac(1十cosB)=49. (13分) =(1-2sinB)2, (2分) 若150°<B<180°，则c0sB<0, 设x=sinB,则0<x≤1，且x<(1-2x2). 于是49=2ac(1+cosB)<2ac. 假设30≤B<150,则号≤x≤1. 又由(a-c)≥0，得4ac≤(a十c)2=81, 此时4x+4x≥4（分）”+4（分）广'=多>1， 所以2ac<<49,矛盾。 ·3· ·高三数学· 参考答案及解析 因此0<B<30,从而cosB=√个-simB=☑ 即xf(x1)-x1f(xo)≤xwf(x)-x2f(xo), 4 则y=xf(x)一xf(x)在(0，十oo)上单调递减， (15分) 可得[xf(x)-xf(xo)]'≤0， (7分) 将cosB=厘代入2ac(1十cosB)=49, 于是可得x0f(x)≤f(xo). (8分) 4 得ac= 98 =49(4-√14). ()计算得'(x)=2zf)-x∫( (10分) f(x) 4十√/14 所以Sc=方asin B=子X49(4-Vm)×层 注意到f(x)(x)=2x))-[xDP-P(x） f(x) 4 -22E-7. (13分) (17分) +1=[@]+11 当且仅当f(x)-xf(x)=0时，等号成立.(14分) 19.解：(1)由题得8）-g》=1十，）=， x一x 于是ff@=0,即[四]-0， (2分) 取x1=xo,x2=1时可得矛盾，故g(x)不具有性质 可知四=C,其中C为常数， (16分) P. (4分) 此时f）-f）-】=C,符合条件， XI-T2 (2)(1)不妨设x1>x2>0, 故f(x)具有性质P. (17分) 则x[f(x1)-f(x2)]≤(x1-x2)f(xo),(5分) ·4