精品解析：山东省济南市平阴县翠屏中学2026-2027学年八年级上学期数学10月学情自测题

2026—2027学年第一学期质量检测 八年级数学试卷（2026.10） 一、选择题（本题共10个小题，每小题4分，共40分.每小题只有一个选项符合题目要求．） 1. 下列实数中，属于无理数的是（ ）． A. B. 2025 C. D. 2. 下列二次根式中，最简二次根式是（ ）． A. B. C. D. 3. 下列各图能表示y是x的函数的是( ) A. B. C. D. 4. 下列各点位于第四象限的是（ ） A. B. C. D. 5. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 点在第二、四象限的平分线上，则的坐标为（ ） A. B. C. （-2，2） D. 7. 关于一次函数，下列说法正确的是( ) A. 图象与轴交于点 B. 其图象可由的图象向左平移个单位长度得到 C. 图象与坐标轴围成的三角形面积为 D. 图象经过第一、二、四象限 8. 下列选项中，表示一次函数与正比例函数（，为常数，且）图像的是（ ） A. B. C. D. 9. 一次函数的图象如图，则当时，函数值的范围是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，直线与x轴和y轴分别交于A、B两点，射线于点A．若点C是射线上的一个动点，点D是x轴上的一个动点，且以C，D，A为顶点的三角形与全等，则的长为（ ）． A. 4或 B. 4或 C. 4或 D. 3或 二、填空题（本题共5个小题，每小题4分，共20分.直接填写答案．） 11. 如果用有序数对表示第一单元4号的住户，那么第三单元8号的住户用有序数对表示为______． 12. 若点，都在一次函数的图象上，则______． 13. 若二次根式有意义，则的值可以是______．（写出一个即可） 14. 一个正数的平方根是和，则的值是______． 15. 如图，函数与函数的图象交于点P，关于x的方程的解是______ 三、解答题（本题共10个小题，共90分.解答写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 16. 计算： （1） （2） （3） （4） 17. 勾股定理是人类早期发现并证明的重要数学定理之一，它不但因证明方法层出不穷吸引着人们，更因为应用广泛而使人着迷． （1）如图，在数轴上找出表示的点，过点作直线垂直于，在上取点，使，以原点为圆心，的长为半径作弧，则弧与数轴的交点表示的数是          ； （2）如图，有一个小朋友拿着一根竹竿要通过一个长方形的门，如果把竹竿竖放就比门高出尺，斜放就恰好等于门的对角线（），已知门宽尺，求竹竿长． 18. 已知的平方根是，的立方根是3，求： （1）a和b； （2）的算术平方根． 19. 已知点，分别根据下列条件求出点的坐标． （1）点的坐标为，直线轴； （2）点到轴、轴的距离相等． 20. 已知，如图，方格纸中每个小方格都是边长为个单位长度的正方形，现有，，三点，其中点坐标为，点坐标为． （1）请根据点，的坐标在方格纸中建立平面直角坐标系，并直接写出点坐标为________； （2）在图中画出关于轴对称的． （3）求的面积是________． （4）在轴上找一点，使得的值最小，则点的坐标为________． （5）在轴上找一点，使的面积等于的面积，点的坐标为________． 21. 观赏汉中百里油菜花海，感受汉中独特的风光．假期某校准备组织学生、老师从西安坐高铁到汉中进行社会实践，为了便于管理，所有师生必须乘坐在同一列高铁上，其中学生有50人，老师有15人．（师生均按原价购票） 西安到汉中的高铁票价格如下表 运行区间 票价 上车站 下车站 一等座 二等座 西安 汉中 155元/张 97元/张 由于某种原因，二等座高铁票单程只能买张（），其余的须买一等座高铁票，在保证每位参与人员都有座位坐的前提下． （1）请你写出购买高铁票的总费用（单程）与之间的函数关系式； （2）购买高铁票的总费用（单程）为6885元，求购买二等座高铁票的数量． 22. 小明在探究二次根式时发现了下列两个有趣的变形： （一）一些分母含有二次根式加减的式子也可以分母有理化，如： ； ． （二）一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如： ； ． 请解答下列问题： （1）归纳：观察上面的解题过程，请直接写出下列各式的结果． ①______；②_____． （2）应用：求的值． （3）拓展：直接写出的值． 23. 某超市销售甲、乙两种水果，乙种水果在销售后采取降价销售，这个价格保持到销售完这批水果．这两种水果的销售额y（单位：元）与销售量x（单位：）之间的函数关系如图所示． （1）甲种水果每千克的销售价______元； （2）当时，乙种水果销售额y与销售量x之间的函数解析式为______，当时，乙种水果销售额y与销售量x之间的函数解析式为______； （3）销售量为多少千克时，两种水果的销售额相差150元？ 24. 如图，已知直线与轴交于点、与轴交于点，经过原点的直线与直线相交于点． （1）求点坐标； （2）求的面积； （3）在直线上是否存在点，使的面积是的面积相等？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由． 25. 【模型构建】 （1）如图1，将含有的三角板的直角顶点C放在直线l上，过点A作于点D，过点B作于点E，请写出图1中（除外）相等的线段，并证明； 【初步感知】 （2）如图2，直角三角板放置在平面直角坐标系中，点C的坐标为，点B坐标为，请求出点A的坐标和直线的表达式； 【深入探究】 （3）如图3，点A坐标为，点B坐标为，过点B作x轴的平行线l，点P是直线l上的一个动点，点D是一次函数图象上的一个动点，当是一个以为直角边的等腰直角三角形时，请直接写出点D的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026—2027学年第一学期质量检测 八年级数学试卷（2026.10） 一、选择题（本题共10个小题，每小题4分，共40分.每小题只有一个选项符合题目要求．） 1. 下列实数中，属于无理数的是（ ）． A. B. 2025 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题主要考查了无理数的定义．无理数就是无限不循环小数．有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定答案. 【详解】解：A、是整数，属于有理数，故本选项不符合题意； B、2025是整数，属于有理数，故本选项不符合题意； C、是分数，属于有理数，故本选项不符合题意； D、是无理数，故本选项符合题意； 故选：D． 2. 下列二次根式中，最简二次根式是（ ）． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据最简二次根式的定义判断． 【详解】解：A、是最简二次根式，符合题意； B、，不是最简二次根式，不符合题意； C、，不是最简二次根式，不符合题意； D、，不是最简二次根式，不符合题意； 故选：A． 【点睛】本题考查最简二次根式的定义，最简二次根式必须满足两个条件：（1）被开方数的因数是整数或字母，因式是整式；（2）被开方数中不含有可化为平方数或平方式的因数或因式． 3. 下列各图能表示y是x的函数的是( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据函数的概念可直接进行排除选项． 【详解】解：A、B、D都不是函数，因为一个x的值对应有多个y的值，C选项符合函数的概念， 故选：C． 【点睛】本题主要考查函数的概念，熟练掌握函数的概念是解题的关键． 4. 下列各点位于第四象限的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查直角坐标系中各象限的坐标符号特征，四个象限的坐标符号特征分别是：第一象限符号为，第二象限符号为，第三象限符号为，第四象限符号为． 根据各象限内点的坐标符号特征判断即可． 【详解】解：A、：横、纵坐标均为正，属于第一象限，不符合； B、：横坐标为负，纵坐标为正，属于第二象限，不符合； C、：横坐标为正，纵坐标为负，符合第四象限的特征，正确； D、：横、纵坐标均为负，属于第三象限，不符合． 故选：C． 5. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的加减运算，乘除运算，据此相关性质进行计算，即可作答． 【详解】解：A、不是同类二次根式，不能进行加法运算，故该选项不符合题意； B、，故该选项不符合题意； C、，故该选项不符合题意； D、，故该选项符合题意； 故选：D 6. 点在第二、四象限的平分线上，则的坐标为（ ） A. B. C. （-2，2） D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据第二、四象限的角平分线上的点横坐标与纵坐标互为相反数，可得关于m的方程，求出m值即可得到A点坐标． 【详解】解：由A（m-3，m+1）在第二、四象限的平分线上，得 （m-3）+（m+1）=0， 解得m=1， 所以m-3=-2，m+1=2， A的坐标为（-2，2）， 故选：C． 【点睛】本题考查写出直角坐标系中点的坐标．理解第二、四象限的角平分线上的点横坐标与纵坐标互为相反数是解决此题的关键． 7. 关于一次函数，下列说法正确的是( ) A. 图象与轴交于点 B. 其图象可由的图象向左平移个单位长度得到 C. 图象与坐标轴围成的三角形面积为 D. 图象经过第一、二、四象限 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查一次函数的图象和性质，根据一次函数的性质以及一次函数平移的特点逐一分析，即可得到答案． 【详解】解：一次函数，， 当时，，当时， A． 图象与轴交于点，故该选项不正确，不符合题意； B． 其图象可由的图象向上平移个单位长度得到，故该选项不正确，不符合题意； C． 图象与坐标轴围成的三角形面积为，故该选项不正确，不符合题意； D． 图象经过第一、二、四象限，故该选项正确，符合题意； 8. 下列选项中，表示一次函数与正比例函数（，为常数，且）图像的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】结合正比例函数图象和一次函数图象判断即可． 【详解】解：图中过原点直线为正比例函数，不过原点直线为一次函数， ①当时，正比例函数过第一、三象限， ∴，同号，同正时， 一次函数过第一、二、三象限，同负时过第二、三、四象限； ②当时，正比例函数过第二、四象限， ∴，异号，则过第一、三、四象限或第一、二、四象限， 结合图象可知，其中选项，选项， 所以选项正确． 9. 一次函数的图象如图，则当时，函数值的范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式，观察图象，利用数形结合思想是解题的关键．根据一次函数图象与坐标轴的交点坐标，再结合函数图象即可求解． 【详解】解：观察图象可得，当时，函数值的范围是． 故选：D． 10. 如图，直线与x轴和y轴分别交于A、B两点，射线于点A．若点C是射线上的一个动点，点D是x轴上的一个动点，且以C，D，A为顶点的三角形与全等，则的长为（ ）． A. 4或 B. 4或 C. 4或 D. 3或 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、全等三角形的性质以及勾股定理，分及两种情况，求出的长是解题的关键． 利用一次函数图象上点的坐标特征，可求出点，的坐标，进而可得出，的长，结合勾股定理，可求出的长，由同角的余角相等，可得出，进而可得出共2种情况，分及两种情况，利用全等三角形的性质，可求出的长，再将其代入中，即可求出结论． 【详解】解：当时，， 点的坐标为， ； 当时，， 解得：， 点的坐标为， ， ． ，， ， 共2种情况． 当时，， ； 当时，， ． 综上所述，的长为4或． 故选：C． 二、填空题（本题共5个小题，每小题4分，共20分.直接填写答案．） 11. 如果用有序数对表示第一单元4号的住户，那么第三单元8号的住户用有序数对表示为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了用有序数对表示位置，由题意可知有序数对的第一个数字表示单元号，第二个数字表示住户号． 【详解】解：第一单元4号住户表示为，即有序数对的第一个数字表示单元号，第二个数字表示住户号， 故第三单元8号住户表示为． 故答案为：． 12. 若点，都在一次函数的图象上，则______． 【答案】 【解析】 【详解】解：∵， ∴y随x的增大而减小， ∵点，都在一次函数的图象上，， ∴. 13. 若二次根式有意义，则的值可以是______．（写出一个即可） 【答案】2（答案不唯一，即可） 【解析】 【分析】本题主要考查二次根式有意义的条件，熟练掌握二次根式有意义的条件是解题的关键；由题意易得，然后进行求解即可． 【详解】解：由题意得：， ∴， ∴m的值可以是2； 故答案为2． 14. 一个正数的平方根是和，则的值是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了平方根，熟练掌握平方根的性质是解题的关键． 根据一个正数有两个平方根，并且它们互为相反数，得出，即可求出的值． 【详解】解：根据题意得， 解得， 故答案为：． 15. 如图，函数与函数的图象交于点P，关于x的方程的解是______ 【答案】x=1 【解析】 【分析】由图象可知函数y=2x+b与函数y=kx−1的图象的交点坐标，即可得出答案． 【详解】解：由图象可得：函数y=2x+b与函数y=kx−1的图象交于点P(1,−2)， 关于x的方程的解是：． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了一次函数与一元一次方程，掌握两个一次函数图象的交点横坐标与一元一次方程的解的关系是解题的关键． 三、解答题（本题共10个小题，共90分.解答写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 16. 计算： （1） （2） （3） （4） 【答案】（1） （2） （3）2 （4） 【解析】 【小问1详解】 解： 【小问2详解】 解： 【小问3详解】 解： 【小问4详解】 解： 17. 勾股定理是人类早期发现并证明的重要数学定理之一，它不但因证明方法层出不穷吸引着人们，更因为应用广泛而使人着迷． （1）如图，在数轴上找出表示的点，过点作直线垂直于，在上取点，使，以原点为圆心，的长为半径作弧，则弧与数轴的交点表示的数是          ； （2）如图，有一个小朋友拿着一根竹竿要通过一个长方形的门，如果把竹竿竖放就比门高出尺，斜放就恰好等于门的对角线（），已知门宽尺，求竹竿长． 【答案】（1） （2）竹竿长尺 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，实数与数轴，理解题意，熟练掌握勾股定理是解答的关键． 1）根据勾股定理求得，根据实数与数轴关系解答； （2）竹竿长x尺，则门高尺，利用勾股定理列方程求解即可． 【小问1详解】 解：由题意，，，， 在中，， ， 点表示的数为， 故答案为：； 【小问2详解】 解：设竹竿长尺， 由题意得，竹竿，门高尺，门宽尺， 在中，， ， ， 解得， 答：竹竿长尺． 18. 已知的平方根是，的立方根是3，求： （1）a和b； （2）的算术平方根． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】本题考查了算术平方根、平方根和立方根的综合应用，熟记相关定义即可． （1）平方根是，的立方根是3，即可求解； （2）根据即可求解； 【小问1详解】 解： 的平方根是， ， 的立方根是3， ， 将代入，解得； 【小问2详解】 解： ，， ， 的算术平方根是， 的算术平方根是 19. 已知点，分别根据下列条件求出点的坐标． （1）点的坐标为，直线轴； （2）点到轴、轴的距离相等． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）根据平行于y轴的直线上的点的横坐标相等列式求出a，然后解答即可； （2）根据点M到两坐标轴的距离相等列出方程求出a，再求解即可． 【小问1详解】 解：∵轴， ∴点的横坐标相同， ∵点，点的坐标为， ∴，解得． ∴． ∴点的坐标为． 【小问2详解】 解：∵点到轴、轴的距离相等， ， 或， 解得：或． ∴点的坐标为或． 20. 已知，如图，方格纸中每个小方格都是边长为个单位长度的正方形，现有，，三点，其中点坐标为，点坐标为． （1）请根据点，的坐标在方格纸中建立平面直角坐标系，并直接写出点坐标为________； （2）在图中画出关于轴对称的． （3）求的面积是________． （4）在轴上找一点，使得的值最小，则点的坐标为________． （5）在轴上找一点，使的面积等于的面积，点的坐标为________． 【答案】（1）建立平面直角坐标系如图所示， （2）如图所示 （3） （4） （5）或 【解析】 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：的面积是； 【小问4详解】 解：如图，作点的对称点，连接与轴的交点即为所求的点， ∴，则， 设直线的解析式为， 将点，代入得， ，解得， ∴， 令得，，解得， ∴； 【小问5详解】 解：∵的面积等于的面积， ∴点到的距离与点到的距离相等， ∴，解得或， ∵点在轴上， ∴点的坐标为或． 21. 观赏汉中百里油菜花海，感受汉中独特的风光．假期某校准备组织学生、老师从西安坐高铁到汉中进行社会实践，为了便于管理，所有师生必须乘坐在同一列高铁上，其中学生有50人，老师有15人．（师生均按原价购票） 西安到汉中的高铁票价格如下表 运行区间 票价 上车站 下车站 一等座 二等座 西安 汉中 155元/张 97元/张 由于某种原因，二等座高铁票单程只能买张（），其余的须买一等座高铁票，在保证每位参与人员都有座位坐的前提下． （1）请你写出购买高铁票的总费用（单程）与之间的函数关系式； （2）购买高铁票的总费用（单程）为6885元，求购买二等座高铁票的数量． 【答案】（1） （2）55张 【解析】 【分析】本题考查一次函数的实际应用： （1）二等座高铁票单程只能买张，则购买一等座高铁票张．根据单价、数量、总价之间的关系列式即可； （2）令，求出对应的x的值即可． 【小问1详解】 解：所有参与人员总共有（人）， 二等座高铁票单程只能买张，则购买一等座高铁票张． 由题可得：． 购买高铁票的总费用（单程）与之间的函数关系式是； 【小问2详解】 解：令，即， 解得， 购买二等座高铁票的数量是55张． 22. 小明在探究二次根式时发现了下列两个有趣的变形： （一）一些分母含有二次根式加减的式子也可以分母有理化，如： ； ． （二）一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如： ； ． 请解答下列问题： （1）归纳：观察上面的解题过程，请直接写出下列各式的结果． ①______；②_____． （2）应用：求的值． （3）拓展：直接写出的值． 【答案】（1）①；② （2） （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了分母有理化，化简二次根式，熟知二次根式的相关知识是解题的关键． （1）①仿照题意进行分母有理化即可；②仿照题意进行化简二次根式即可； （2）可证明（n为正整数），据此把所求式子裂项求解即可； （3）仿照题意把式子式子中的每一项的分母先化简二次根式，再把对应项分母有理化即可得到答案． 【小问1详解】 解：①； ②； 【小问2详解】 解：∵（n为正整数） ， ∴ ． 【小问3详解】 解： ． 23. 某超市销售甲、乙两种水果，乙种水果在销售后采取降价销售，这个价格保持到销售完这批水果．这两种水果的销售额y（单位：元）与销售量x（单位：）之间的函数关系如图所示． （1）甲种水果每千克的销售价______元； （2）当时，乙种水果销售额y与销售量x之间的函数解析式为______，当时，乙种水果销售额y与销售量x之间的函数解析式为______； （3）销售量为多少千克时，两种水果的销售额相差150元？ 【答案】（1）20 （2）， （3）当销售量分别为或时销售额相差150元 【解析】 【分析】本题考查了图象信息，待定系数法，熟练掌握待定系数法是解题的关键． （1）根据图象，得当甲种水果销售120千克时，销售额为2400元，得到单价为元； （2）当时，是正比例函数；当时，是一次函数，利用待定系数法解答即可． （3）确定甲水果的解析式，结合乙的解析式，分情况计算即可． 【小问1详解】 解：根据图象，得当甲种水果销售120千克时，销售额为2400元， 故单价为元； 故答案为：20． 【小问2详解】 当时，是正比例函数， 设解析式为， 把点代入解析式，得， 解得， 故解析式为； 当时，是一次函数， 设解析式为， 把点，代入解析式，得， 解得， 故解析式为． 【小问3详解】 根据题意得：甲的解析式为． ①当时，，解得； ②当时，，解得． 答：当销售量分别为或时销售额相差150元． 24. 如图，已知直线与轴交于点、与轴交于点，经过原点的直线与直线相交于点． （1）求点坐标； （2）求的面积； （3）在直线上是否存在点，使的面积是的面积相等？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】（1） （2）12 （3）的坐标为或． 【解析】 【分析】（1）根据直线的解析式即可求得的坐标； （2）根据题意得出的横坐标，从而求得三角形的面积． （3）根据已知求得的横坐标为为或，通过直线的解析式即可求得的坐标． 【小问1详解】 解：由直线可知：令，则， ∴； 【小问2详解】 解：， ∴点与轴的距离是4， ∵， 的面积； 【小问3详解】 解：存在； ∵直线， ∴，， ， ， ， 当点在延长线上时设， ， ， ， 的横坐标为或10(舍去）， 代入直线得，， 的坐标为， 当点在线段延长线上时，设， ， ， ， 的横坐标为（舍去）或2， 代入直线得，， 的坐标为． 综上所述：的坐标为或． 【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，直线与坐标轴的交点以及三角形的面积等，关键是熟练地运用性质进行推理和计算，通过做此题培养了学生的综合分析能力，用了分类讨论思想和方程思想． 25. 【模型构建】 （1）如图1，将含有的三角板的直角顶点C放在直线l上，过点A作于点D，过点B作于点E，请写出图1中（除外）相等的线段，并证明； 【初步感知】 （2）如图2，直角三角板放置在平面直角坐标系中，点C的坐标为，点B坐标为，请求出点A的坐标和直线的表达式； 【深入探究】 （3）如图3，点A坐标为，点B坐标为，过点B作x轴的平行线l，点P是直线l上的一个动点，点D是一次函数图象上的一个动点，当是一个以为直角边的等腰直角三角形时，请直接写出点D的坐标． 【答案】 （1），； 证明：由题可知， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，； （2）； （3）点D坐标为或或 【解析】 【分析】（1）证，即可得解； （2）易证，从而得到，，再利用待定系数法求出直线表达式即可； （3）分类讨论，画出图形，建立方程求解即可． 【详解】解：（1）略 （2）如图，过C作轴，再分别过A、B作的垂线段，垂足分别为点D、E， ∵点C的坐标为，点B坐标为， ∴，， 由题可知， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， 设直线表达式为，将点A和点B坐标代入得， ， 解得， ∴直线的表达式； （3）设点D坐标为， 当时，且点D在x轴上方时，如图， 此时，，， 同（1）法可得， ∴， ∴， 解得， ∴； 当时，且点D在x轴下方时，如图， 此时， 同理可得， ∴， 又∵， ∴，此时方程无解， 即不存在此种情况； 当，点在轴上方时，如图， 此时， 同理可得， ∴，即， 解得， ∴； 当，点在轴下方时，作轴，如图， 同理：， ∴， ∴， 当时，， ∴； 如图，，点P在左侧，如图， 此时，， 同理可得， ∴， ∴，方程无解， 即不存在此种情况； 综上，点D坐标为或或． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质、待定系数法求一次函数解析式、一次函数点的坐标特征等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $