精品解析：山东邹平市梁邹实验初级中学2026-2027学年八年级上学期第一次学情自测数学试题

八年级阶段性学情调研数学卷 一．选择题（每小题3分，共30分） 1. 如图，两个三角形全等，根据图中所给条件，可得的度数是（ ） A. B. C. D. 2. 如图，在中，，点是上一点，，垂足为，点是上一点，连接，且，下列说法中不正确的是（ ） A. 线段是中边上的高 B. 线段是中边上的高 C. 线段是中边上的高 D. 线段是中边上的高 3. 在验证“三角形内角和定理”时，四位同学作了如图所示的四种辅助线，其中不能验证“三角形的内角和是”的是（ ） A. 过点作 B. 延长到，过点作 C. 过上一点作 D. 过上一点作 4. 下列说法正确的是（ ） A. 三角形的高线一定在三角形内部 B. 等边三角形属于等腰三角形 C. 三角形的外角等于两个内角和 D. 一个三角形里有两个锐角，则一定是锐角三角形 5. 如图，点，在上，，，下列条件中不能使成立的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在中，点是，的平分线的交点，，过作于点，且，则的面积是（ ） A. 12 B. 16 C. 24 D. 30 7. 等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角是，则这个等腰三角形顶角的度数是（ ） A. B. 60 C. 或 D. 或 8. 在下列条件中：①，②，③，④中，能确定是直角三角形的条件有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 9. 如图，在中，，的平分线相交于点O， 、分别为边，边上的高，相交于点P，且，则的度数为（ ） A. B. C. D. 10. 如图1，与满足，，，，我们称这样的两个三角形为“调皮对等三角形”．如图2，，则图中共有“调皮对等三角形”（ ）． A. 7对 B. 6对 C. 5对 D. 4对 二．填空题（每小题3分，共18分） 11. 长为的四根木条，选其中三根组成三角形，有_____种选法． 12. 如图，在的平分线上取一点，过点作于点，在射线上取一点，连接，若，的面积为，则的长为______． 13. 如图在中，，是的角平分线，于点D，，周长为12，则的长是________． 14. 已知三角形的三边长分别为2，，4，则化简的结果为__________． 15. 如图，，，，则图中阴影部分的面积为___________． 16. 如图，在中，平分，过点A作，交的延长线于点E，若，则的长为_____ ． 三．解答题（共72分） 17. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，且AC=AD． （1）作∠BAC的平分线，交BC于点E；(要求尺规作图，不写作法，保留作图痕迹) （2）在（1）的条件下，连接DE，证明． 18. 一个等腰三角形的周长是28cm． （1）已知腰长是底边长的3倍，求各边的长； （2）已知其中一边长为6cm，求各边的长． 19. 如图，在中，是边上的高线，是的平分线，若，，求的度数． 20. 如图，点E在上，与交于点F，． （1）求证∶； （2）若，求的度数． 21. 如下图，在四边形中，，，，E是的中点，连接，相交于点F，连接． （1）求证：； （2）判断线段与的数量关系及位置关系，并说明理由． 22. 如图，的外角，的平分线，相交于点P，于点E，于点F． （1）求证：； （2）连接，若，求的度数． 23. 已知点P为∠EAF平分线上一点，PB⊥AE于B，PC⊥AF于C，点M，N分别是射线AE，AF上的点，且PM=PN． （1）如图1，当点M在线段AB上，点N在线段AC的延长线上时，求证：BM=CN； （2）在（1）的条件下，直接写出线段AM，AN与AC之间的数量关系 ； （3）如图2，当点M在线段AB的延长线上，点N在线段AC上时，若AC：PC=2：1，且PC=4，求四边形ANPM的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 八年级阶段性学情调研数学卷 一．选择题（每小题3分，共30分） 1. 如图，两个三角形全等，根据图中所给条件，可得的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用三角形内角和定理计算边a与边c的夹角，根据全等三角形对应角相等求解即可． 【详解】解：在左图中，边a与边c的夹角为， ∵两个三角形全等，且是边a与边c的夹角， ∴． 2. 如图，在中，，点是上一点，，垂足为，点是上一点，连接，且，下列说法中不正确的是（ ） A. 线段是中边上的高 B. 线段是中边上的高 C. 线段是中边上的高 D. 线段是中边上的高 【答案】C 【解析】 【分析】根据三角形高的定义，判断解答即可． 【详解】解：A． 线段是中边上的高，正确，不符合要求； B． 线段是中边上的高，正确，不符合要求； C． 线段是中边上的高，不是中边上的高，原说法错误，符合要求； D． 线段是中边上的高，正确，不符合要求． 3. 在验证“三角形内角和定理”时，四位同学作了如图所示的四种辅助线，其中不能验证“三角形的内角和是”的是（ ） A. 过点作 B. 延长到，过点作 C. 过上一点作 D. 过上一点作 【答案】D 【解析】 【分析】运用转化的思想作出相应的平行线，把三角形的内角进行转化，再根据平角的定义逐一判断即可得出答案． 【详解】∵， ∴， ∵， ∴，故A选项不符合题意， ∵， ∴， ∵， ∴，故B选项不符合题意， ∵，， ∴，， ∴， ∵， ∴，故C选项不符合题意， ∵， ∴，不能证明“三角形的内角和等于”故D选项符合题意． 4. 下列说法正确的是（ ） A. 三角形的高线一定在三角形内部 B. 等边三角形属于等腰三角形 C. 三角形的外角等于两个内角和 D. 一个三角形里有两个锐角，则一定是锐角三角形 【答案】B 【解析】 【分析】可通过举反例结合三角形相关概念判断各选项正误． 【详解】解：选项， 钝角三角形有2条高在三角形外部，直角三角形有2条高为直角边，故三角形的高线不一定都在内部，错误． 选项，等边三角形满足等腰三角形“有两条边相等”的定义，属于等腰三角形，正确． 选项，三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和，并非任意两个内角的和，错误． 选项，钝角三角形有一个钝角、两个锐角，故有两个锐角的三角形不一定是锐角三角形，错误． 5. 如图，点，在上，，，下列条件中不能使成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据三角形全等的判定方法，逐项进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴， 由，，根据“”不能得出，故A符合题意； ∵， ∴， 即， 由，，根据“”能得出，故B不符合题意； ∵， ∴， 由，根据“”能得出，故C不符合题意； 由，，根据“”能得出，故D不符合题意． 6. 如图，在中，点是，的平分线的交点，，过作于点，且，则的面积是（ ） A. 12 B. 16 C. 24 D. 30 【答案】A 【解析】 【分析】利用角平分线的性质定理得出点到三角形三边的距离相等，将的面积转化为三个小三角形面积之和进行计算． 【详解】解：如图所示，作于点，作于点，连接， ∵点是的平分线的交点，于点，且， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴． 7. 等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角是，则这个等腰三角形顶角的度数是（ ） A. B. 60 C. 或 D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查等腰三角形的性质，三角形的内角和，直角三角形的两个锐角互余,掌握知识点是解题的关键． 分等腰三角形为锐角三角形和钝角三角形两种情况讨论，利用直角三角形两锐角互余和三角形内角和定理求解． 【详解】解：设等腰中，，为边上的高，，． ①当为锐角三角形时，高在内部，如图 ∵， ∴， 又∵， ∴． ②当为钝角三角形时，高在外部，如图 ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴． 综上，顶角为或． 故选D． 8. 在下列条件中：①，②，③，④中，能确定是直角三角形的条件有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】利用三角形内角和为，逐个判断条件能否推出三角形有一个内角为90°，即可得到符合要求的条件个数． 【详解】解：三角形内角和为，逐个推导如下， ① ， ， 代入内角和得，得， 是直角三角形； ② ， 设， 则，解得， ， 是直角三角形； ③ ， ， ， 是直角三角形； ④ ，， ， 是钝角三角形，不是直角三角形． 综上，能确定是直角三角形的条件共3个． 9. 如图，在中，，的平分线相交于点O， 、分别为边，边上的高，相交于点P，且，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了三角形角平分线，三角形的高，三角形的内角和以及外角的性质等，根据三角形高的定义，三角形外角的性质求出，再根据三角形高的定义，三角形内角和定理求出，，根据三角形角平分线的定义可求出，最后根据三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：∵，是高， ∴，即， 又是高， ∴， ∴， ∵，的平分线相交于点O， ∴，， ∴ ， ∴， 故选：C． 10. 如图1，与满足，，，，我们称这样的两个三角形为“调皮对等三角形”．如图2，，则图中共有“调皮对等三角形”（ ）． A. 7对 B. 6对 C. 5对 D. 4对 【答案】D 【解析】 【分析】根据得，，，，，，根据全等三角形判定定理判定，排除与、与不符合“调皮对等三角形”的定义，再根据“调皮对等三角形”的定义，和、和、和、 和是“调皮对等三角形”． 【详解】解：∵， ∴、不符合“调皮对等三角形”的定义，排除． ∵， ∴，，，， ，， ∴， ∴， ∴， ∴、不符合“调皮对等三角形”的定义，排除． ∵，，，， ∴、是“调皮对等三角形”． ∵，，，， ∴、是“调皮对等三角形”． ∵，，，， ∴、是“调皮对等三角形”． ∵，，，， ∴、是“调皮对等三角形”． ∴图中共有“调皮对等三角形”4对． 二．填空题（每小题3分，共18分） 11. 长为的四根木条，选其中三根组成三角形，有_____种选法． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查三角形的三边关系，掌握三角形任意两边之和大于第三边是解题的关键． 首先得到每三根组合的情况，再根据三角形的三边关系进行判断． 【详解】解：有两种选法，理由如下： 根据题意分为四种情况：；；；． 在第一种情况中：，能构成三角形； 在第二种情况中：，不能构成三角形； 在第三种情况中：，不能构成三角形； 在第四种情况中：，能构成三角形； 综上，从长为的四根木条，选其中三根组成三角形，有两种选法． 故答案为：2． 12. 如图，在的平分线上取一点，过点作于点，在射线上取一点，连接，若，的面积为，则的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】过点作于点，根据的面积为，求出，再根据角平分线上的点到角两边的距离相等即可求出． 【详解】解：如下图所示，过点作于点， ， ， ， ， 是的平分线，， ． 13. 如图在中，，是的角平分线，于点D，，周长为12，则的长是________． 【答案】8 【解析】 【分析】先根据周长为12，求得，然后根据角平分线的性质定理得到，即可根据求得答案． 【详解】解：周长为12，， ， ， 是的角平分线，，， ， ． 14. 已知三角形的三边长分别为2，，4，则化简的结果为__________． 【答案】6 【解析】 【分析】根据三角形三边关系求出的取值范围，再确定、的取值范围，即可化简． 【详解】解：根据三角形三边关系得：，即：， ∴，， ∴． 15. 如图，，，，则图中阴影部分的面积为___________． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的性质，解题关键是掌握全等三角形面积相等、对应边相等和对应角相等，将阴影面积进行转化，利用等量代换得到阴影面积等于的面积，再利用面积公式即可求解． 【详解】解：∵，， ∴，，， ∴，即， ∵， ∴， ∴，   故答案为：2． 16. 如图，在中，平分，过点A作，交的延长线于点E，若，则的长为_____ ． 【答案】8 【解析】 【分析】延长交于点F，证明，得，再证明，得，即可解决问题． 【详解】解：如图，延长交于点F， ∵， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵平分， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴． 【点睛】合理添加辅助线，构造全等三角形是解题的关键． 三．解答题（共72分） 17. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，且AC=AD． （1）作∠BAC的平分线，交BC于点E；(要求尺规作图，不写作法，保留作图痕迹) （2）在（1）的条件下，连接DE，证明． 【答案】（1）如图，为所作的平分线； （2）证明：如图．连接DE，由(1)知： 在和中 ∵ ∴， ∴ 又∵ ∴， ∴ 【解析】 【分析】（1）首先以A为圆心，小于AC长为半径画弧，交AC、AB于N、M，再分别以N、M为圆心，大于MN长为半径画弧，两弧交于点Q，再画射线AQ交CB于E； （2）依据证明得到，进一步可得结论． 【详解】略 【点睛】此题主要考查了基本作图，以及全等三角形的判定和性质，关键是得到． 18. 一个等腰三角形的周长是28cm． （1）已知腰长是底边长的3倍，求各边的长； （2）已知其中一边长为6cm，求各边的长． 【答案】（1）4cm，12cm，12cm；（2）6cm，11cm，11cm． 【解析】 【分析】（1）设设底边长为xcm，则腰长是3xcm，代入求出即可； （2）已知条件中，没有明确说明已知的边长是否是腰长，所以有两种情况讨论，还应判定能否组成三角形． 【详解】（1）设底边长为xcm，则腰长是3xcm， x+3x+3x＝28， 解得：x＝4，所以3x＝12（cm）， 故，该等腰三角形的各边长为：4cm，12cm，12cm； （2）若底边长为6cm，设腰长为ycm， 则：6+2y＝28， 得：y＝11，所以三边长分别为：6cm，11cm，11cm， 若腰长为6cm，设底边长为acm， 则：6+6+a＝28，得a＝16，又因为6+6＝12＜16，故舍去， 综上所述，该等腰三角形的三边长分别为：6cm，11cm，11cm． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键． 19. 如图，在中，是边上的高线，是的平分线，若，，求的度数． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了三角形内角和定理，角平分线的定义，根据三角形内角和定理以及角平分线的定义即可求解． 【详解】解：∵，， ∴． ∵是的平分线， ∴． ∵是边上的高线， ∴． ∴． 20. 如图，点E在上，与交于点F，． （1）求证∶； （2）若，求的度数． 【答案】（1） 证明：∵， ∴，即． 在和中， ， ∴， ∴． （2） 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，解决本题的关键是得到． （1）利用证明即可，根据全等三角形的性质即可得解； （2）根据全等三角形的性质可得，再结合三角形内角和定理以及对顶角相等即可解决问题． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∵，， ∴． 21. 如下图，在四边形中，，，，E是的中点，连接，相交于点F，连接． （1）求证：； （2）判断线段与的数量关系及位置关系，并说明理由． 【答案】（1）见解析 （2），，理由见解析 【解析】 【分析】（1）由两直线平行，同旁内角互补求出，再证明出，最后利用“”即可证明； （2）利用全等三角形的性质并结合三角形内角和定理计算即可得出结果． 【小问1详解】 证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∵E是的中点， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴； 【小问2详解】 解：，，理由如下： 由（1）可得， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴． 22. 如图，的外角，的平分线，相交于点P，于点E，于点F． （1）求证：； （2）连接，若，求的度数． 【答案】（1） 证明：过P作于G，如图所示： ∵平分，， ∴， 同理：， ∴； （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了角平分线的判定和性质，三角形外角的性质，熟练掌握三角形外角的性质是解题的关键． （1）过P作于G，根据角平分线性质得出，，得出答案即可； （2）根据角平分线的判定得出平分，根据角平分线定义得出，根据三角形外角性质得出，根据，得出，最后求出结果即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵，，， ∴平分， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 23. 已知点P为∠EAF平分线上一点，PB⊥AE于B，PC⊥AF于C，点M，N分别是射线AE，AF上的点，且PM=PN． （1）如图1，当点M在线段AB上，点N在线段AC的延长线上时，求证：BM=CN； （2）在（1）的条件下，直接写出线段AM，AN与AC之间的数量关系 ； （3）如图2，当点M在线段AB的延长线上，点N在线段AC上时，若AC：PC=2：1，且PC=4，求四边形ANPM的面积． 【答案】(1)、证明过程见解析；(2)、AM+AN=2AC；(3)、32 【解析】 【详解】试题分析：(1)、根据PB=PC，∠PBM=∠PCN=90°，利用HL判定Rt△PBM≌Rt△PCN，即可得出BM=CN； (2)、先已知条件得出AP平分∠CPB，再根据PB⊥AB，PC⊥AC，得到AB=AC，最后根据BM=CN，得出AM+AN=（AB﹣MB）+（CN+AC）=AB+AC=2AC；(3)、由AC：PC=2：1，PC=4，即可求得AC的长，又由S四边形ANPM=S△APN+S△APB+S△PBM=S△APN+S△APB+S△PCN=S△APC+S△APB，即可求得四边形ANPM的面积． 试题解析：(1)、如图1，∵点P为∠EAF平分线上一点，PB⊥AE，PC⊥AF， ∴PB=PC，∠PBM=∠PCN=90°， ∵在Rt△PBM和Rt△PCN中，PBM=∠PCN=90°， ， ∴Rt△PBM≌Rt△PCN（HL）， ∴BM=CN； (2)、AM+AN=2AC． ∵∠APB=90°﹣∠PAB，∠APC=90°﹣∠PAC，点P为∠EAF平分线上一点， ∴∠APC=∠APB，即AP平分∠CPB， ∵PB⊥AB，PC⊥AC， ∴AB=AC， 又∵BM=CN， ∴AM+AN=（AB﹣MB）+（CN+AC）=AB+AC=2AC； (3)、如图2，∵点P为∠EAF平分线上一点，PB⊥AE，PC⊥AF， ∴PB=PC，∠PBM=∠PCN=90°， ∵在Rt△PBM和Rt△PCN中，PBM=∠PCN=90°， ， ∴Rt△PBM≌Rt△PCN（HL）， ∴BM=CN， ∴S△PBM=S△PCN ∵AC：PC=2：1，PC=4， ∴AC=8， ∴由（2）可得，AB=AC=8，PB=PC=4， ∴S四边形ANPM=S△APN+S△APB+S△PBM =S△APN+S△APB+S△PCN =S△APC+S△APB =AC•PC+AB•PB=×8×4+×8×4=32． 考点：(1)、三角形综合题；(2)、三角形的面积；(3)、全等三角形的判定与性质；(4)、角平分线的性质． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $