精品解析：山东聊城文轩初级中学2026-2027学年初三上学期第一次阶段学情检测数学试题（10.10）

2024级初三上学期第一次月考数学试题 时间：120分钟 分数：120分 一、选择题（本题共10个小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1. 下列方程是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 若是一元二次方程的根，则的值为（　　） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 3. 若方程是关于的一元二次方程，则的值为（ ） A. B. C. D. 不存在 4. 用配方法解一元二次方程时，将它化为的形式，则的值为（ ） A. B. C. 0 D. 3 5. 如图，，分别交、、于点、、，分别交、、于点、、，若，，，则线段的长为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，已知，那么添加下列一个条件后，仍无法判定的是（ ） A. B. C. D. 7. 已知m，n是方程的两个实数根，则（ ） A. 1 B. 10 C. D. 8. 如图，要建一个矩形花圃，花圃的一边利用长为的墙，另外三边用长的篱笆围成．为方便进出，在垂直于墙的一边留一个宽的木板门，设花圃与墙垂直的一边长为，若花圃的面积为，所列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 9. 已知方程 的解是，则方程，它的解是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在矩形中，过点作，垂足为，交于点，，下列结论： ①；②； ③；④， 其中正确的结论有（ ） A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 二、填空题（本题共5个小题，每小题4分，共20分，只要求写出最后结果） 11. 方程的解是_____． 12. 关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是_________． 13. 如图，由12个大小相同的小正方形组成．若小正方形的边长为，则线段的长为______． 14. 如图，BCEFAD，BC＝5，AD＝3，则EF长为______． 15. 一块三角形纸片（△ABC）按如图所示方式折叠，使点B落在AC边上的点B′处，折痕是EF，以点B′、F、C为顶点构成的三角形与△ABC相似，已知AB=AC=4，BC=3，则BF的长是___________． 三、解答题（本题共7个小题，共70分） 16. 解一元二次方程： （1） （2） （3） （4） 17. 如图，在中，，是上的点，已知是等边三角形，，，． （1）证明：； （2）求的度数． 18. 已知关于x的一元二次方程为 （1）求证：无论m为何值，方程总有两个实数根． （2）若的一条边的长为5，另两边的长是一元二次方程的两个实数根．当m为何值时，是等腰三角形，并求出的周长． 19. 如右图，王华在晚上由路灯走向路灯 ，当他走到点 时，发现他身后影子的顶部刚好接触到路灯的底部；当他向前再步行到达点时，发现他身前影子的顶部刚好接触到路灯 的底部．已知王华的身高是，两个路灯的高度都是，且 （1）求两个路灯之间的距离； （2）当王华走到路灯处时，在图中画出他在路灯下的影子，并求影子的长度． 20. 年是中国农历马年，一款“笑笑马”玩偶因缝制失误，意外变成嘴角下撇的“哭哭马”，凭借“反差感”迅速走红，两款玩偶组成“情绪”刷屏社交平台．某商店紧抓商机，以每套元的进价购入“哭哭马+笑笑马”组合套装，以每套元的价格出售．经统计，年月份的销售量为套，年月份的销售量为套． （1）求该组合套装月份到月份销售量的月平均增长率． （2）从年月份起，商店打算采用降价促销的方式回馈顾客，经试验，发现该组合套装每套每降价元，月销售量就会在月份销售量的基础上增加套．当该组合套装的售价为多少元时，月销售利润为元？ 21. 如图，四边形ABCD中，AC平分∠DAB，∠ADC＝∠ACB＝90°，E为AB的中点， （1）求证：AC2＝AB•AD． （2）求证：CE∥AD； （3）若AD＝4，AB＝6，求AF的值． 22. 综合与探究 某数学兴趣小组探究平行线分线段成比例定理的应用． 【初步探究】 （1）在中，、分别为、的动点，若，．连接，交于点．如图1，若过作，交于，则与的比值为________；与的比值为________； （2）在（1）的条件下，求出与的比值； 【拓展提高】 （3）如图2，在中，，，是上一点，，将沿折叠，恰好落在上，的对应点为，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024级初三上学期第一次月考数学试题 时间：120分钟 分数：120分 一、选择题（本题共10个小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1. 下列方程是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先明确一元二次方程的三个判定条件：只含一个未知数、未知数最高次数为2、是整式方程，以此作为判断依据．对于A选项，因为方程中含有分母为未知数的分式，所以对照判定条件判断是否符合整式方程要求．对于B选项，先将左边展开、移项合并同类项，因为合并后可得到未知数的最高次数，所以据此判断是否符合最高次数为2的要求．对于C选项，因为没有明确说明二次项系数a的取值范围，所以对照一元二次方程二次项系数不为0的要求进行判断．对于D选项，直接对照三个判定条件逐一核对是否全部满足． 【详解】选项A：分母含有未知数，不满足整式方程要求，不是一元二次方程． 选项B：展开整理后得，消去二次项后变为，未知数最高次数是1，是一元一次方程． 选项C：没有说明，如果，方程就不存在二次项，不满足一元二次方程的要求． 选项D：只含未知数，的最高次数为2，且是整式方程，完全符合一元二次方程的定义． 2. 若是一元二次方程的根，则的值为（　　） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 【答案】B 【解析】 【分析】将代入即可求出的值． 【详解】解：将代入得， ，得 故选：B 【点睛】此题考查一元二次方程的解，将方程的解代入原方程求参数是解题关键． 3. 若方程是关于的一元二次方程，则的值为（ ） A. B. C. D. 不存在 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义．根据只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程进行分析即可． 【详解】解：∵方程是关于的一元二次方程， ∴且， 解得， 故选：B． 4. 用配方法解一元二次方程时，将它化为的形式，则的值为（ ） A. B. C. 0 D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查配方法的应用，已知字母的值，求代数式的值．通过配方法将方程化为完全平方形式，确定和的值，即可得的值． 【详解】解：∵ , ∴, ∴, ∴， ∴， ∴． 故选：D． 5. 如图，，分别交、、于点、、，分别交、、于点、、，若，，，则线段的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由平行线分线段成比例可得，代入求值即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴，即， ∴． 6. 如图，已知，那么添加下列一个条件后，仍无法判定的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先根据得出，再由相似三角形的判定定理对各选项进行逐一判定即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， A、∵，， ∴，故选项不符合题意； B、，， ∴，故选项不符合题意； C、∵， ∴， ∵， ∴，故选项不符合题意； D、∵，与的大小无法判定， ∴无法判定，故选项符合题意． 7. 已知m，n是方程的两个实数根，则（ ） A. 1 B. 10 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据一元二次方程的解的定义求得，根据根与系数的关系求得，再整体代入求解即可． 【详解】解：∵m，n是方程的两个实数根， ∴，， ∴． ∴． 8. 如图，要建一个矩形花圃，花圃的一边利用长为的墙，另外三边用长的篱笆围成．为方便进出，在垂直于墙的一边留一个宽的木板门，设花圃与墙垂直的一边长为，若花圃的面积为，所列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，设与墙垂直的一边长为，则与墙平行的一边长为，根据花圃面积为即可列出关于的一元二次方程，此题得解． 【详解】解：设与墙垂直的一边长为，则与墙平行的一边长为， 根据题意得：． 故选：A． 9. 已知方程 的解是，则方程，它的解是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解．熟练掌握一元二次方程的解是解题的关键． 由题意知，的解为或，计算求解即可． 【详解】解：∵方程 的解是， ∴的解为或， 解得，或， 故选：C． 10. 如图，在矩形中，过点作，垂足为，交于点，，下列结论： ①；②； ③；④， 其中正确的结论有（ ） A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 【答案】C 【解析】 【分析】设，则，利用相似三角形得出线段比例关系，结合勾股定理和面积公式逐一判断结论.  【详解】解：设， ， ， 四边形是矩形， ， ， ， ， ，故①正确； ， ， ，即，故②错误； ， ， ∵， ∴， ∴， ∴，  ， ， ，解得， ， ， 在中，， ，故③正确； 在中，， ， ，，  ， ，故④错误； 综上所述，正确的结论有①③，共2个. 二、填空题（本题共5个小题，每小题4分，共20分，只要求写出最后结果） 11. 方程的解是_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查解一元二次方程，掌握因式分解法是关键． 通过移项将方程化为标准形式，然后因式分解，利用零乘积性质求解． 【详解】解：化为一般式得，， ∴因式分解得，， ∴， 故答案为：． 12. 关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是_________． 【答案】且 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，根的判别式；根据一元二次方程的定义，二次项系数不能为零；同时，方程有实数根需满足判别式非负，由此建立条件不等式组求解即可． 【详解】解：方程 是一元二次方程， ， 一元二次方程有实数根， ， 解得 ， 故 的取值范围是且 ． 13. 如图，由12个大小相同的小正方形组成．若小正方形的边长为，则线段的长为______． 【答案】##30厘米 【解析】 【分析】根据平行线分线段成比例定理可证是的中位线，进而利用三角形中位线定理求解． 【详解】解：如图， ， ， ， ， 是的中位线， ， ∵小正方形的边长为， ∴， ∴． 14. 如图，BCEFAD，BC＝5，AD＝3，则EF长为______． 【答案】 【解析】 【分析】因为，所以与相似，可得与的比例关系和对应边的比例；因为，所以与相似，可得与的比例关系和对应边的比例．将两个相似得到的比例式中的公共边比例相加，利用线段和为1的关系建立方程，求解即可得到的长度． 【详解】因为 ，可得 ，因此对应边成比例： 因为 ，可得 ，因此对应边成比例： 将(1)(2)两式左右分别相加，注意到 ， ， 代入已知 ，：  ， 计算得 ， 解得 ​． 15. 一块三角形纸片（△ABC）按如图所示方式折叠，使点B落在AC边上的点B′处，折痕是EF，以点B′、F、C为顶点构成的三角形与△ABC相似，已知AB=AC=4，BC=3，则BF的长是___________． 【答案】或 【解析】 【分析】根据题意分和两种情况讨论，列出比例式，代入数据求解即可 【详解】解：∵ ∴以点B′、F、C为顶点构成的三角形与△ABC相似，则和 ∵折叠， ∴ ∵AB=AC=4，BC=3， 设，则 ①当时， 即 解得 ②当时 则 即 解得 综上所述，的长为：或 故答案为：或 【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定，折叠的性质，分类讨论是解题的关键． 三、解答题（本题共7个小题，共70分） 16. 解一元二次方程： （1） （2） （3） （4） 【答案】（1）， （2）， （3）， （4）， 【解析】 【小问1详解】 解：， ∴或， ∴，． 【小问2详解】 解：， ∴， ∴， ∴或， ∴，． 【小问3详解】 解：， ∴， ∴或， ∴，． 【小问4详解】 解：， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴或， ∴，． 17. 如图，在中，，是上的点，已知是等边三角形，，，． （1）证明：； （2）求的度数． 【答案】（1） 证明：是等边三角形， ，， ， ，， ，， ， 又， ； （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质以及等边三角形的性质，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题的关键． （1）根据等边三角形性质得到角和边的关系，再通过计算边的比例证明相似； （2）利用（1）的相似结论得到角的关系，进而求出的度数． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：， ， ， ， ． 18. 已知关于x的一元二次方程为 （1）求证：无论m为何值，方程总有两个实数根． （2）若的一条边的长为5，另两边的长是一元二次方程的两个实数根．当m为何值时，是等腰三角形，并求出的周长． 【答案】（1）证明：∵关于x的一元二次方程， ， ∴无论m为何值，方程总有两个实数根； （2）当m为5或7时，是等腰三角形，周长为11或13 【解析】 【分析】（1）依据题意，由，进而可以判断得解； （2）依据题意，分①当为腰长时；②当为底边时两种情形，分别讨论计算可以判断得解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：①当为腰长时，则方程必有一个根为5， ∴， ∴， ∴方程为：， ∴或， ∴等腰三角形的三边为：5，5，3， ∴周长为：； ②当为底边时，则方程有两个相等的实数根， ∴， ∴， ∴方程为：， 解得：， ∴等腰三角形的周长为：． 综上：当m为5或7时，是等腰三角形，周长为11或13． 19. 如右图，王华在晚上由路灯走向路灯 ，当他走到点 时，发现他身后影子的顶部刚好接触到路灯的底部；当他向前再步行到达点时，发现他身前影子的顶部刚好接触到路灯 的底部．已知王华的身高是，两个路灯的高度都是，且 （1）求两个路灯之间的距离； （2）当王华走到路灯处时，在图中画出他在路灯下的影子，并求影子的长度． 【答案】（1）两个路灯之间的距离为； （2）影长是． 【解析】 【分析】（）由题意得，则，根据性质可得，设，则，依题意得，解出方程并检验即可； （）先画出图形，由题意得，则，根据性质可得，设影长是，由题意得，解出方程并检验即可； 本题考查了相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 【小问1详解】 解：如图，由题意得， ∴， ∴， 设，则， 依题意得：， ， 经检验，是原方程的解， ∴， ∴两个路灯之间的距离为； 【小问2详解】 解：如图， ， 由题意得：， ∴， ∴， 设影长是， ∴， ∴， 经检验，是原方程的解， ∴影长是． 20. 年是中国农历马年，一款“笑笑马”玩偶因缝制失误，意外变成嘴角下撇的“哭哭马”，凭借“反差感”迅速走红，两款玩偶组成“情绪”刷屏社交平台．某商店紧抓商机，以每套元的进价购入“哭哭马+笑笑马”组合套装，以每套元的价格出售．经统计，年月份的销售量为套，年月份的销售量为套． （1）求该组合套装月份到月份销售量的月平均增长率． （2）从年月份起，商店打算采用降价促销的方式回馈顾客，经试验，发现该组合套装每套每降价元，月销售量就会在月份销售量的基础上增加套．当该组合套装的售价为多少元时，月销售利润为元？ 【答案】（1） （2）当该组合套装的售价为元时，月销售利润为元 【解析】 【分析】（1）增长率模型：初始量最终量； （2）根据“单件利润销售量总利润”，表示出降价后每件的利润与当月销量，列出一元二次方程，求出符合实际意义的售价． 【详解】（1）解：设该组合套装月份到月份销售量的月平均增长率为． 根据题意，得， 解得不合题意，舍去 答：该组合套装月份到月份销售量的月平均增长率为． （2）设该组合套装的售价为元，则月销售量为套． 根据题意，得， 解得不合题意，舍去 答：当该组合套装的售价为元时，月销售利润为元． 21. 如图，四边形ABCD中，AC平分∠DAB，∠ADC＝∠ACB＝90°，E为AB的中点， （1）求证：AC2＝AB•AD． （2）求证：CE∥AD； （3）若AD＝4，AB＝6，求AF的值． 【答案】（1）详见解析；（2）详见解析；（3）AF＝． 【解析】 【分析】（1）先根据角平分线得出∠CAD＝∠CAB，进而判断出△ADC∽△ACB，即可得出结论； （2）先利用直角三角形的性质得出CE＝AE，进而得出∠ACE＝∠CAE，从而∠CAD＝∠ACE，即可得出结论； （3）由（1）的结论求出AC，再求出CE＝3，最后由（2）的结论得出△CFE∽△AFD，即可得出结论． 【详解】解：（1）∵AC平分∠BAD， ∴∠CAD＝∠CAB， ∵∠ADC＝∠ACB＝90°， ∴△ADC∽△ACB， ∴， ∴AC2＝AD•AB； （2）在Rt△ABC中，∵E为AB的中点， ∴CE＝AE（直角三角形斜边的中线等于斜边的一半）， ∴∠ACE＝∠CAE， ∵AC平分∠BAD， ∴∠CAD＝∠CAE， ∴∠CAD＝∠ACE， ∴CE∥AE； （3）由（1）知，AC2＝AD•AB， ∵AD＝4，AB＝6， ∴AC2＝4×6＝24， ∴AC＝2， 在Rt△ABC中，∵E为AB的中点， ∴CE＝AB＝3， 由（2）知，CE∥AD， ∴△CFE∽△AFD， ∴， ∴， ∴AF＝． 【点睛】此题考查的是相似三角形的判定及性质、直角三角形的性质和平行线的判定，掌握相似三角形的判定及性质、直角三角形斜边的中线等于斜边的一半和平行线的判定是解决此题的关键． 22. 综合与探究 某数学兴趣小组探究平行线分线段成比例定理的应用． 【初步探究】 （1）在中，、分别为、的动点，若，．连接，交于点．如图1，若过作，交于，则与的比值为________；与的比值为________； （2）在（1）的条件下，求出与的比值； 【拓展提高】 （3）如图2，在中，，，是上一点，，将沿折叠，恰好落在上，的对应点为，求的长． 【答案】（1）； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据平行线分线段成比例直接计算即可； （2）过作，交于点，由平行可得，则，结合可得，因此； （3）连接交于点，作交于点，由折叠可知，，，，则．由平行可得，，因此．设，则，，容易证明，则，计算得．由，，可得，因此． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； 【小问2详解】 解：如图，过作，交于点， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； 【小问3详解】 解：连接交于点，作交于点， 由折叠可知，，，， ∴， ∵， ∴，即， ∵， ∴， ∴， 设，则，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得，（负值，舍去）， ∴， ∵，， ∴， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $