专题01 集合及其基本关系（6个考点梳理，10个题型解读+提升训练）（期中知识清单）高一数学上学期人教B版2019必修第一册

专题01 集合及其基本关系 【清单01】集合与元素 1.含义：一般地，我们把所研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫做集合. 2.元素与集合的关系 关系 概念 记法 读法 属于 如果a是集合A中的元素，就说a属于集合A a∈A a属于集合A 不属于 如果a不是集合A中的元素，就说a不属于集合A a∉A a不属于集合A 【清单02】集合中元素的特点 (1)确定性：指的是作为一个集合中的元素，必须是确定的，即一个集合一旦确定，某一个元素属于或不属于这个集合是确定的，要么是该集合中的元素，要么不是，二者必居其一． (2)互异性：集合中的元素必须是互异的，就是说，对于一个给定的集合，它的任何两个元素都是不同的． (3)无序性：集合中的元素可以任意排列．如果两个集合A，B,组成它们的元素完全相同，成这两个集合相等，记作A=B. 【清单03】集合的分类 含有有限个元素的集合称为有限集，含有无限个元素的集合称为无限集. 空集：不含任何元素的集合. 【特别提醒】空集可以看成包含0个元素的集合，所以空集是有限集！ 【清单04】几种特殊数集 N*或N＋表示正整数集，N表示自然数集，Z表示整数集，Q表示有理数集，R表示实数集． 【清单05】集合的表示方法 1.自然语言表示法：用文字语言形式来表示集合的方法．例如：小于3的实数组成的集合． 2.列举法：把集合的元素一一列举出来，并用花括号“{　}”括起来表示集合的方法叫做列举法． 3.描述法：设A是一个集合，我们把集合A中所有具有共同特征P（x）的元素x所组成的集合表示成.这种表示集合的方法称为描述法. 4.区间表示法： （1）一般区间的表示． 设a，b∈R，且a<b，规定如下： 定义 名称 符号 数轴表示 {x|a≤x≤b} 闭区间 __[a，b]__ {x|a＜x＜b} 开区间 __(a，b)__ {x|a≤x＜b} 半开半 闭区间 [a，b) {x|a＜x≤b} 半开半 闭区间 (a，b] （2）特殊区间的表示. 定义 R {x|x≥a} {x|x>a} {x|x≤a} {x|x<a} 符号 (－∞，＋∞) [a，＋∞) (a，＋∞) (－∞，a] (－∞，a) 【特别提醒】　 ①关注实心点、空心圈：用数轴表示区间时，用实心点表示包括在区间内的端点，用空心圈表示不包括在区间内的端点． ②区分开和闭：在用区间表示集合时，开和闭不能混淆． ③正确理解“∞”：“∞”是一个趋向符号，不是一个数，它表示数的变化趋势．以“－∞”和“＋∞”为区间的一端时，这一端点必须用小括号． ④区间的端点a,b，b-a称为区间的长度. 【清单06】子集、真子集 1.子集：若对任意x∈A，都有x∈B，则A⊆B或B⊇A.读作A包含于B或B包含A. 2.如果A不是B的子集，记作A⊈B或B⊉A.读作A不包含于B或B不包含A. 3.任意集合A都是它自身的子集，Φ⊆A. 4.规定：空集是任何集合A的子集．A⊆A 5.真子集：若A⊆B，且集合B中至少有一个元素不属于集合A，则中A称作集合B的真子集，记作AB或BA.读作A真包含于B或B真包含A. 6.维恩图：用平面上一条封闭曲线的内部表示集合，表示集合关系的示意图称作维恩图. 7.集合间关系的“传递性”： 对于集合A，B，C， ①若A⊆B，且B⊆C，则A⊆C； ②若AB，BC，则AC． 8.集合的相等与子集的关系： （1）若A⊆B，且B⊆A，则A=B； （2）若A=B，则A ⊆B，且B⊆A； 9.集合的子集、真子集个数：若有限集A中有n个元素，则A的子集有2n个，真子集有2n－1个，非空真子集有2n－2个． 【考点题型一】集合的概念 【例1】（24-25高一上·河北廊坊·开学考试）下列各组对象能构成集合的是（    ） A．2023年参加“两会”的代表 B．北京冬奥会上受欢迎的运动项目 C．的近似值 D．我校跑步速度快的学生 【变式1-1】（24-25高一上·湖南岳阳·开学考试）下列各组对象不能构成集合的是（    ） A．上课迟到的学生 B．2020年高考数学难题 C．所有有理数 D．小于的正整数 【变式1-2】（22-23高一上·新疆乌鲁木齐·期中）下列说法正确的是（    ） A．0与的意义相同 B．某市文明市民可以组成一个集合 C．集合是无限集 D．方程的解集有二个元素 【变式1-3】（多选）（23-24高一上·陕西汉中·期中）下列说法中不正确的是（ ） A．0与表示同一个集合； B．集合与是两个相同的集合； C．方程的所有解组成的集合可表示为； D．集合可以用列举法表示． 【变式1-4】（多选）（23-24高一上·江西景德镇·期中）下列几组对象可以组成集合的有（    ） A．高中数学必修第一册课本中所有的难题 B．2023年参加杭州亚运会的全体运动员 C．小于9的所有素数 D．高一年级视力比较好的同学 【考点题型二】元素和集合的关系 【例2】（多选）（24-25高一上·全国·课后作业）集合A中含有三个元素2，4，6，若，且，那么为（    ） A．2 B．－2 C．4 D．0 【变式2-1】（24-25高一下·浙江·开学考试）已知集合，则必有（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】（23-24高一上·福建莆田·阶段练习）下列说法正确的有（    ） ①；②；③；④；⑤ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式2-3】（多选）（2022秋·江西南昌·高一统考期中）已知集合，则下列选项中正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式2-4】（多选）（24-25高一上·全国·课堂例题）已知不超过5的实数组成的集合为M，，则（    ） A． B． C． D． 【考点题型三】根据元素与集合的关系求参数 【例3】（23-24高一上·河北邯郸·阶段练习）已知，，求实数的值. 【变式3-1】（24-25高三上·四川泸州·开学考试）设集合，，且，则集合（    ） A． B． C． D． 【变式3-2】（23-24高一上·江苏南通·开学考试）设集合，若，则的值的集合为 . 【变式3-3】（23-24高一下·全国·课堂例题）若集合A由三个元素组成，且，则 . 【变式3-4】（23-24高一上·福建莆田·阶段练习）已知集合. (1)若是空集，求的取值范围； (2)若中只有一个元素，求的值，并把这个元素写出来; (3)若中至多只有一个元素，求的取值范围; 【考点题型四】根据集合中元素的个数求参数 【例4】（2024高一·全国·专题练习）设是非空实数集，满足若，则，且. (1)若，则中至少还有几个元素？求出这几个元素； (2)集合是否可能只含有一个元素？如果能，请举出实例；如果不能，请说明理由. 【变式4-1】（2024·四川乐山·三模）已知集合，则集合A的元素个数为（    ） A．9 B．8 C．6 D．5 【变式4-2】（23-24高一上·山东临沂·期中）已知集合有三个元素.若，则实数的值为（    ） A． B．1 C．或1 D．0或1 【变式4-3】（23-24高一上·上海·期中）若非空集合不是单元素集，则其中所有元素之和 . 【变式4-4】（2011高一上·江苏淮安·学业考试）已知集合 (1)若，求实数k的取值范围； (2)若集合A中的元素至少有一个，求实数k的取值范围. 【考点题型五】用适当的方法表示集合 【例5】（25-26高一上·全国·课前预习）选择适当方法表示下列集合： (1)由小于8的所有自然数组成的集合A； (2)自然数的平方组成的集合B； (3)方程组的解组成的集合C； (4)二次函数的图象上所有的点组成的集合D． 【变式5-1】（24-25高一上·全国·随堂练习）对集合用描述法来表示，其中正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式5-2】（24-25高一上·全国·随堂练习）集合用列举法表示为（    ） A． B． C． D． 【变式5-3】（多选）（25-26高一上·全国·课前预习）若满足不等式且的实数组成的集合，则集合为（    ） A． B． C． D． 【变式5-4】（23-24高一下·全国·课堂例题）用适当的方法表示下列集合： (1)方程的所有解组成的集合A； (2)平面直角坐标系中，第一象限内所有点组成的集合B； (3)一年中有31天的月份的全体； (4)所有能被3整除的数的集合； (5)不等式的解集. 【考点题型六】集合间关系的判定 【例6】（多选）（23-24高一下·全国·课后作业）下列命题中，正确的有（    ） A．集合的所有真子集为 B．若（其中），则 C．是菱形是平行四边形 D． 【变式6-1】（24-25高三上·河北唐山·阶段练习）已知集合，则下列表述正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式6-2】（23-24高二下·福建泉州·阶段练习）有下列关系式：①；②；③；④；⑤；⑥其中不正确的是（    ） A．①③ B．②④⑤ C．③④ D．①②⑤⑥ 【变式6-3】（24-25高三上·山西晋中·阶段练习）下列关系中：①，②，③，④正确的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式6-4】（23-24高一上·湖北十堰·期末）集合，，的关系是（    ） A． B． C． D． 【考点题型七】子集、真子集（个数）的确定 【例7】（23-24高一下·全国·课堂例题）（1）写出集合的子集和真子集． （2）写出集合的所有子集和真子集． （3）写出集合的所有子集和真子集． 【变式7-1】（24-25高一上·河南驻马店·开学考试）已知集合A满足，，则满足条件的集合A的个数为（　　） A．1个 B．2个 C．4个 D．8个 【变式7-2】（24-25高一上·上海·课后作业）已知集合，且中至少含有一个奇数，这样的集合有 个． 【变式7-3】（2024·广西南宁·三模）集合子集的个数是 ． 【变式7-4】（23-24高一上·山东济宁·期中）已知集合，若，请写出集合A的所有子集． 【考点题型八】根据集合的包含关系求参数（范围） 【例8】（24-25高一上·甘肃·开学考试）已知集合，． (1)求A； (2)若，求实数a的取值范围． 【变式8-1】（23-24高二下·河北承德·期末）已知集合，且，则（    ） A．8或20 B．8或-20 C．或20 D．或 【变式8-2】（23-24高二下·贵州黔南·期末）已知集合，若，则a的取值范围为 ． 【变式8-3】（23-24高三上·江苏南京·阶段练习）已知集合的所有非空真子集的元素之和为2023，则 . 【变式8-4】（23-24高一下·上海杨浦·期中）已知集合，集合. (1)若，求实数的取值范围 (2)若，求实数的值 【考点题型九】根据集合的相等求参数 【例9】（24-25高三上·湖南常德·阶段练习）若集合，则 ． 【变式9-1】（多选）（24-25高一上·广西·开学考试）已知集合，若，则的值可能是（   ） A．-4 B．-2 C．0 D．2 【变式9-2】（22-23高一上·河南郑州·阶段练习）已知集合， 则 ． 【变式9-3】（2011高一上·江苏淮安·学业考试）已知函数，若，则 【变式9-4】（23-24高一上·湖南邵阳·阶段练习）设，若，求的值. 【考点题型十】根据子集（真子集）个数求参数 【例10】（24-25高一上·福建漳州·开学考试）已知集合有且仅有两个子集，求满足条件的实数组成的集合． 【变式10-1】（23-24高一上·安徽铜陵·阶段练习）若集合有且仅有2个子集，则满足条件的实数m组成的集合是（    ） A． B． C．或 D． 【变式10-2】（22-23高一上·浙江台州·阶段练习）集合有1个真子集，则（    ） A． B． C． D．或 【变式10-3】（多选）（23-24高一上·河南南阳·阶段练习）已知集合恰有3个非空子集，则a的值可能为（    ） A． B． C．0 D．1 【变式10-4】（22-23高一上·河南信阳·阶段练习）已知集合有且仅有两个子集，则的取值集合为 . 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司9 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 集合及其基本关系 【清单01】集合与元素 1.含义：一般地，我们把所研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫做集合. 2.元素与集合的关系 关系 概念 记法 读法 属于 如果a是集合A中的元素，就说a属于集合A a∈A a属于集合A 不属于 如果a不是集合A中的元素，就说a不属于集合A a∉A a不属于集合A 【清单02】集合中元素的特点 (1)确定性：指的是作为一个集合中的元素，必须是确定的，即一个集合一旦确定，某一个元素属于或不属于这个集合是确定的，要么是该集合中的元素，要么不是，二者必居其一． (2)互异性：集合中的元素必须是互异的，就是说，对于一个给定的集合，它的任何两个元素都是不同的． (3)无序性：集合中的元素可以任意排列．如果两个集合A，B,组成它们的元素完全相同，成这两个集合相等，记作A=B. 【清单03】集合的分类 含有有限个元素的集合称为有限集，含有无限个元素的集合称为无限集. 空集：不含任何元素的集合. 【特别提醒】空集可以看成包含0个元素的集合，所以空集是有限集！ 【清单04】几种特殊数集 N*或N＋表示正整数集，N表示自然数集，Z表示整数集，Q表示有理数集，R表示实数集． 【清单05】集合的表示方法 1.自然语言表示法：用文字语言形式来表示集合的方法．例如：小于3的实数组成的集合． 2.列举法：把集合的元素一一列举出来，并用花括号“{　}”括起来表示集合的方法叫做列举法． 3.描述法：设A是一个集合，我们把集合A中所有具有共同特征P（x）的元素x所组成的集合表示成.这种表示集合的方法称为描述法. 4.区间表示法： （1）一般区间的表示． 设a，b∈R，且a<b，规定如下： 定义 名称 符号 数轴表示 {x|a≤x≤b} 闭区间 __[a，b]__ {x|a＜x＜b} 开区间 __(a，b)__ {x|a≤x＜b} 半开半 闭区间 [a，b) {x|a＜x≤b} 半开半 闭区间 (a，b] （2）特殊区间的表示. 定义 R {x|x≥a} {x|x>a} {x|x≤a} {x|x<a} 符号 (－∞，＋∞) [a，＋∞) (a，＋∞) (－∞，a] (－∞，a) 【特别提醒】　 ①关注实心点、空心圈：用数轴表示区间时，用实心点表示包括在区间内的端点，用空心圈表示不包括在区间内的端点． ②区分开和闭：在用区间表示集合时，开和闭不能混淆． ③正确理解“∞”：“∞”是一个趋向符号，不是一个数，它表示数的变化趋势．以“－∞”和“＋∞”为区间的一端时，这一端点必须用小括号． ④区间的端点a,b，b-a称为区间的长度. 【清单06】子集、真子集 1.子集：若对任意x∈A，都有x∈B，则A⊆B或B⊇A.读作A包含于B或B包含A. 2.如果A不是B的子集，记作A⊈B或B⊉A.读作A不包含于B或B不包含A. 3.任意集合A都是它自身的子集，Φ⊆A. 4.规定：空集是任何集合A的子集．A⊆A 5.真子集：若A⊆B，且集合B中至少有一个元素不属于集合A，则中A称作集合B的真子集，记作AB或BA.读作A真包含于B或B真包含A. 6.维恩图：用平面上一条封闭曲线的内部表示集合，表示集合关系的示意图称作维恩图. 7.集合间关系的“传递性”： 对于集合A，B，C， ①若A⊆B，且B⊆C，则A⊆C； ②若AB，BC，则AC． 8.集合的相等与子集的关系： （1）若A⊆B，且B⊆A，则A=B； （2）若A=B，则A ⊆B，且B⊆A； 9.集合的子集、真子集个数：若有限集A中有n个元素，则A的子集有2n个，真子集有2n－1个，非空真子集有2n－2个． 【考点题型一】集合的概念 【例1】（24-25高一上·河北廊坊·开学考试）下列各组对象能构成集合的是（    ） A．2023年参加“两会”的代表 B．北京冬奥会上受欢迎的运动项目 C．的近似值 D．我校跑步速度快的学生 【答案】A 【知识点】判断元素能否构成集合 【分析】根据集合的定义依次判断各个选项即可. 【详解】对于A：2023年参加“两会”的代表具有确定性，能构成集合，故A正确； 对于B：北京冬奥会上受欢迎的运动项目，没有明确的标准，即对象不具有确定性，不能构成集合，故B错误； 对于C：的近似值，没有明确的标准，即对象不具有确定性，不能构成集合，故C错误； 对于D：我校跑步速度快的学生，没有明确的标准，即对象不具有确定性，不能构成集合，故D错误； 故选：A 【变式1-1】（24-25高一上·湖南岳阳·开学考试）下列各组对象不能构成集合的是（    ） A．上课迟到的学生 B．2020年高考数学难题 C．所有有理数 D．小于的正整数 【答案】B 【知识点】判断元素能否构成集合 【分析】由集合元素的确定性即可判断. 【详解】2020年高考数学难题，无法界定故错误；其它三个都是明确可知，故正确. 故选:B 【变式1-2】（22-23高一上·新疆乌鲁木齐·期中）下列说法正确的是（    ） A．0与的意义相同 B．某市文明市民可以组成一个集合 C．集合是无限集 D．方程的解集有二个元素 【答案】C 【分析】根据元素与集合的定义逐一判断即可. 【详解】A：0是集合的一个元素，因此本选项不正确； B：因为文明市民的标准不确定，所以组成不了集合，因此本选项不正确； C：由，显然给一个自然数的值，都有唯一的一个实数与之对应， 而自然数集是无限集，因此集合是无限集，因此本选项正确； D：， 方程的解集有一个元素，因此本选项不正确， 故选：C 【变式1-3】（多选）（23-24高一上·陕西汉中·期中）下列说法中不正确的是（ ） A．0与表示同一个集合； B．集合与是两个相同的集合； C．方程的所有解组成的集合可表示为； D．集合可以用列举法表示． 【答案】ACD 【分析】根据集合与元素的关系及集合的表示一一判断即可得结论. 【详解】0是元素不是集合，表示以0为元素的一个集合，故A错误； 集合与的构成元素完全相同，所以是两个相同的集合，故B正确； 方程的所有解组成的集合可表示为，集合中的元素是不同的，故C错误； 集合表示大于小于的全体实数，有无数个且无法一一列举出来，故不可以用列举法表示，故D错误． 故选：ACD. 【变式1-4】（多选）（23-24高一上·江西景德镇·期中）下列几组对象可以组成集合的有（    ） A．高中数学必修第一册课本中所有的难题 B．2023年参加杭州亚运会的全体运动员 C．小于9的所有素数 D．高一年级视力比较好的同学 【答案】BC 【详解】根据集合的知识确定正确答案. 【分析】A选项，“难题”无法确定，所以不能组成集合. B选项，“2023年参加杭州亚运会的全体运动员”可以组成集合. C选项，“小于9的所有素数” 是“”，可以组成集合. D选项，“视力比较好”无法确定，所以不能组成集合. 故选：BC 【考点题型二】元素和集合的关系 【例2】（多选）（24-25高一上·全国·课后作业）集合A中含有三个元素2，4，6，若，且，那么为（    ） A．2 B．－2 C．4 D．0 【答案】AC 【知识点】判断元素与集合的关系 【分析】根据，且逐个分析判断即可. 【详解】对于A，当时，，且，所以A正确， 对于B，当时，，所以B错误， 对于C，当时，，且，所以C正确， 对于D，当时，，所以D错误. 故选：AC 【变式2-1】（24-25高一下·浙江·开学考试）已知集合，则必有（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】判断元素与集合的关系、列举法表示集合、子集的概念 【分析】利用列举法表示集合，再结合元素与集合的关系判断即得. 【详解】依题意，，结合元素与集合关系知，ABD错误，C正确. 故选：C 【变式2-2】（23-24高一上·福建莆田·阶段练习）下列说法正确的有（    ） ①；②；③；④；⑤ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【知识点】判断元素与集合的关系、常用数集或数集关系应用 【分析】根据元素与集合的关系逐一判断即可. 【详解】1是自然数，故，故①正确； 不是正整数，故，故②正确； 是有理数，故，故③正确； 是实数，故，故④错误； 是无理数，故，故⑤错误. 则正确的有3个. 故选：. 【变式2-3】（多选）（2022秋·江西南昌·高一统考期中）已知集合，则下列选项中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】根据已知集合逐个分析判断 【详解】对于A，，所以A正确， 对于B，，所以B错误， 对于C，，所以C正确， 对于D，，所以D正确， 故选：ACD 【变式2-4】（多选）（24-25高一上·全国·课堂例题）已知不超过5的实数组成的集合为M，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【知识点】判断元素与集合的关系 【分析】根据题意，利用元素与集合的关系，逐个分析判断即可 【详解】对于A，因为，所以，所以A正确， 对于B，因为， 所以，所以B错误， 对于C，因为，所以， 所以，所以C正确， 对于D，因为，所以， 所以，所以D正确. 故选：ACD 【考点题型三】根据元素与集合的关系求参数 【例3】（23-24高一上·河北邯郸·阶段练习）已知，，求实数的值. 【答案】 【知识点】根据元素与集合的关系求参数 【分析】根据给定条件，分类代入计算并验证得答案. 【详解】集合，，而， 则或， 当时，解得，此时，与矛盾，即， 当时，而，因此，此时，符合题意， 所以实数的值为. 【变式3-1】（24-25高三上·四川泸州·开学考试）设集合，，且，则集合（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】根据元素与集合的关系求参数、利用不等式求值或取值范围、解不含参数的一元二次不等式 【分析】根据绝对值不等式及一元二次不等式求解集合，结合集合即可得出答案． 【详解】由题意得，，， 因为且，所以. 故选：D． 【变式3-2】（23-24高一上·江苏南通·开学考试）设集合，若，则的值的集合为 . 【答案】 【知识点】根据元素与集合的关系求参数、利用集合元素的互异性求参数 【分析】运用元素与集合之间的关系，分类讨论计算即可 【详解】若，即时，，不满足互异性， 若，即或时，同理可验证时不满足互异性，成立， 若，即或，验证都不满足互异性. 综上，. 故答案为： 【变式3-3】（23-24高一下·全国·课堂例题）若集合A由三个元素组成，且，则 . 【答案】2 【知识点】根据元素与集合的关系求参数、利用集合元素的互异性求参数 【分析】分类讨论结合互异性即可得出答案. 【详解】因为， 所以或， 若，，不满足互异性； 若或2，又，所以， 故答案为：2. 【变式3-4】（23-24高一上·福建莆田·阶段练习）已知集合. (1)若是空集，求的取值范围； (2)若中只有一个元素，求的值，并把这个元素写出来; (3)若中至多只有一个元素，求的取值范围; 【答案】(1) (2)时，元素为；时，元素为 (3)或 【知识点】根据集合中元素的个数求参数 【分析】（1）由题意得方程无解，利用即可求解. （2）由题意，对二次项系数分和讨论，时方程为一元一次方程，有且仅有一个根，满足题意，时，利用即可求解. （3）由题意得，为空集，或有且仅有一个元素，由（1）（2）的结论即可求解. 【详解】（1）若是空集， 则方程无解， 此时， 即. 故的取值范围为. （2）若中只有一个元素， 则方程有且仅有一个实根， 当时，方程为，解得， 方程有且仅有一个实根，满足题意； 当时，， 解得， 此时， 或， 当时，，即该元素为； 当时，，即该元素为. （3）若中至多只有一个元素， 则为空集，或有且仅有一个元素， 由（1）（2）的结论可得的取值范围是或. 【考点题型四】根据集合中元素的个数求参数 【例4】（2024高一·全国·专题练习）设是非空实数集，满足若，则，且. (1)若，则中至少还有几个元素？求出这几个元素； (2)集合是否可能只含有一个元素？如果能，请举出实例；如果不能，请说明理由. 【答案】(1)两个， (2)不能，理由见解析 【知识点】根据元素与集合的关系求参数、根据集合中元素的个数求参数 【分析】（1）根据题意得到，，即可得到答案. （2）若中只有一个元素，则，该方程无解，即可得到答案. 【详解】（1）由于，则， 因此，. 于是，所以中至少还有两个元素：. （2）若，则，且中只有一个元素，所以，即，，该方程在实数范围内无解，所以中不能只含有一个元素. 【变式4-1】（2024·四川乐山·三模）已知集合，则集合A的元素个数为（    ） A．9 B．8 C．6 D．5 【答案】C 【知识点】列举法表示集合、列举法求集合中元素的个数 【分析】利用列举法表示集合A即可得出元素个数. 【详解】，共6个元素. 故选：C. 【变式4-2】（23-24高一上·山东临沂·期中）已知集合有三个元素.若，则实数的值为（    ） A． B．1 C．或1 D．0或1 【答案】C 【分析】根据，分类讨论结合元素的互异性求解即可. 【详解】因为，所以或. 当即时，，满足题意； 当即时， 若，则，满足题意；若，则，不满足题意； 综上，实数的值为或1. 故选：C 【变式4-3】（23-24高一上·上海·期中）若非空集合不是单元素集，则其中所有元素之和 . 【答案】2 【知识点】根据集合中元素的个数求参数 【分析】由题意可知：集合有两个元素，即方程有两个不相等的实数根，利用韦达定理运算求解. 【详解】由题意可知：集合有两个元素，设为，即， 则方程有两个不相等的实数根，则， 所以. 故答案为：2. 【变式4-4】（2011高一上·江苏淮安·学业考试）已知集合 (1)若，求实数k的取值范围； (2)若集合A中的元素至少有一个，求实数k的取值范围. 【答案】(1) (2) 【知识点】根据集合中元素的个数求参数 【分析】（1）由空集定义结合一元二次方程根的判别式计算即可得； （2）由集合A中的元素至少有一个结合一元二次方程根的判别式计算即可得. 【详解】（1）若，则有，解得； （2）若集合A中的元素至少有一个， 则有，解得. 【考点题型五】用适当的方法表示集合 【例5】（25-26高一上·全国·课前预习）选择适当方法表示下列集合： (1)由小于8的所有自然数组成的集合A； (2)自然数的平方组成的集合B； (3)方程组的解组成的集合C； (4)二次函数的图象上所有的点组成的集合D． 【答案】(1)或； (2)； (3)或； (4) 【知识点】描述法表示集合、列举法表示集合 【分析】（1）（3）利用列举法、描述法表示给定集合. （2）（4）利用描述法表示给定的集合. 【详解】（1）列举法，描述法. （2）描述法. （3）列举法，描述法． （4）描述法. 【变式5-1】（24-25高一上·全国·随堂练习）对集合用描述法来表示，其中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】描述法表示集合、列举法表示集合 【分析】根据给定的集合的公共属性及各选项中集合表示的数的特征判断即得. 【详解】集合是不超过5的正整数的倒数形成的集合， 对于AB，集合AB中的有负数，AB不是； 对于C，集合中没有，C不是； 对于D，满足对集合的描述，D是. 故选：D. 【变式5-2】（24-25高一上·全国·随堂练习）集合用列举法表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】列举法表示集合 【分析】解不等式可得，再由即可求得结果. 【详解】易知. 故选：B. 【变式5-3】（多选）（25-26高一上·全国·课前预习）若满足不等式且的实数组成的集合，则集合为（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【知识点】描述法表示集合 【分析】根据条件得到，再利用集合的表示方法，即可求解. 【详解】由且，得到，所以集合为或. 故选：AC. 【变式5-4】（23-24高一下·全国·课堂例题）用适当的方法表示下列集合： (1)方程的所有解组成的集合A； (2)平面直角坐标系中，第一象限内所有点组成的集合B； (3)一年中有31天的月份的全体； (4)所有能被3整除的数的集合； (5)不等式的解集. 【答案】(1) (2) (3){ 1月，3月，5月，7月，8月，10月，12月} (4) (5) 【知识点】描述法表示集合、列举法表示集合 【分析】选择适当方法表示集合即可. 【详解】（1）求出根，运用列举法， （2）根据点的规律，运用描述法，. （3）写出大月份，列举法，{ 1月，3月，5月，7月，8月，10月，12月}. （4）根据整除特征，运用描述法． （5）解出不等式，运用描述法. 解集为 【考点题型六】集合间关系的判定 【例6】（多选）（23-24高一下·全国·课后作业）下列命题中，正确的有（    ） A．集合的所有真子集为 B．若（其中），则 C．是菱形是平行四边形 D． 【答案】BC 【知识点】判断两个集合的包含关系 【分析】根据集合间的关系判断各个选项； 【详解】对于A，集合真子集是，共3个，所以A错误； 对于B，由，知，，则，则B正确； 对于C，菱形是特殊的平行四边形，所以C正确； 对于D，，所以，所以D错误. 故选：BC. 【变式6-1】（24-25高三上·河北唐山·阶段练习）已知集合，则下列表述正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】判断元素与集合的关系、判断两个集合的包含关系 【分析】解方程，进而用列举法表示集合A，然后根据元素和集合，集合与集合的关系判断即可. 【详解】由, 得, 所以，故C正确； 对于A,故A错误； 对于B,,故B错误； 对于D,故D错误. 故选：C. 【变式6-2】（23-24高二下·福建泉州·阶段练习）有下列关系式：①；②；③；④；⑤；⑥其中不正确的是（    ） A．①③ B．②④⑤ C．③④ D．①②⑤⑥ 【答案】C 【知识点】判断是否为同一集合、判断元素与集合的关系、判断两个集合的包含关系 【分析】根据集合元素的无序性判断①；根据子集的定义判断②；根据集合及空集的定义判断③④⑤；利用元素与集合的关系判断⑥． 【详解】对①：因为集合元素具有无序性，显然①正确； 对②：因为集合，故正确，即②正确； 对③：空集是一个集合，而集合是以空集为元素的一个集合，因此不正确； 对④：是一个集合，仅有一个元素0，但是空集不含任何元素，于是，故④不正确； 对⑤：由④可知，非空，于是有，因此⑤正确； 对⑥：显然成立，因此⑥正确． 综上，本题不正确的有③④，于是本题选项为C． 故选：C． 【变式6-3】（24-25高三上·山西晋中·阶段练习）下列关系中：①，②，③，④正确的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【知识点】判断元素与集合的关系、判断两个集合的包含关系、空集的性质及应用 【分析】根据元素与集合、集合与集合之间的关系分析判断. 【详解】对于①：因为0是的元素，所以，故①正确； 对于②：因为空集是任何非空集合的真子集，所以，故②正确； 对于③：因为集合的元素为0，1，集合的元素为， 两个集合的元素全不相同，所以之间不存在包含关系，故③错误； 对于④：因为集合的元素为，集合的元素为， 两个集合的元素不一定相同，所以不一定相等，故④错误； 综上所述：正确的个数为2. 故选：B. 【变式6-4】（23-24高一上·湖北十堰·期末）集合，，的关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】判断两个集合的包含关系、判断两个集合是否相等 【分析】根据结合的包含的定义和集合相等的定义判断的关系可得结论. 【详解】任取，则，， 所以，所以， 任取，则，， 所以，所以， 所以， 任取，则，， 所以，所以， 又，， 所以， 所以， 故选：C. 【考点题型七】子集、真子集（个数）的确定 【例7】（23-24高一下·全国·课堂例题）（1）写出集合的子集和真子集． （2）写出集合的所有子集和真子集． （3）写出集合的所有子集和真子集． 【答案】（1）答案见解析；（2）答案见解析；（3）答案见解析 【知识点】求集合的子集（真子集） 【分析】根据子集与真子集的定义求解即可． 【详解】（1）子集：，；真子集：； （2）子集：，，，；真子集：，，； （3）子集：，，，，，，，； 真子集：，，，，，，． 【变式7-1】（24-25高一上·河南驻马店·开学考试）已知集合A满足，，则满足条件的集合A的个数为（　　） A．1个 B．2个 C．4个 D．8个 【答案】B 【知识点】列举法表示集合、子集的概念 【分析】根据题意得到A中一定包含元素1，2，3，还有可能包含5，一定不包含4和6，从而得到集合A的个数为2个. 【详解】集合A满足，， ∴集合A中一定包含元素1，2，3，还有可能包含5， 一定不包含4和6， 所以满足条件的集合A的个数为2个，分别为 故选：B． 【变式7-2】（24-25高一上·上海·课后作业）已知集合，且中至少含有一个奇数，这样的集合有 个． 【答案】6 【知识点】列举法表示集合、判断集合的子集（真子集）的个数、求集合的子集（真子集） 【分析】逐一列举出满足题意的集合即可求解. 【详解】满足题意的可以是：. 故答案为：6. 【变式7-3】（2024·广西南宁·三模）集合子集的个数是 ． 【答案】64 【知识点】判断集合的子集（真子集）的个数 【分析】用列举法表示出集合，再根据集合子集个数的计算公式求解即可． 【详解】由题可知，，有6个元素， 所以该集合的子集有个， 故答案为：64． 【变式7-4】（23-24高一上·山东济宁·期中）已知集合，若，请写出集合A的所有子集． 【答案】，，，． 【知识点】求集合的子集（真子集） 【分析】解集合A中的方程，得到集合A，由子集的定义写出所有子集. 【详解】当时，， 集合A的所有子集有，，，． 【考点题型八】根据集合的包含关系求参数（范围） 【例8】（24-25高一上·甘肃·开学考试）已知集合，． (1)求A； (2)若，求实数a的取值范围． 【答案】(1) (2) 【知识点】根据集合的包含关系求参数、解不含参数的一元二次不等式、分式不等式 【分析】（1）根据已知条件，解出分式不等式即可． （2）根据已知条件，分是否为空集讨论，即可求解． 【详解】（1）由题意得，解得， 则. （2）因为， 当时，，解得，满足题意， 当时，因为，所以，解得 综上所述，实数的取值范围为． 【变式8-1】（23-24高二下·河北承德·期末）已知集合，且，则（    ） A．8或20 B．8或-20 C．或20 D．或 【答案】A 【知识点】根据集合的包含关系求参数 【分析】根据互异性得到，分中只有1个元素和有2个元素两种情况，结合根的判别式和韦达定理得到答案. 【详解】由题意得， 若中只有1个元素，则，且，解得， 当时，，此时， 当时，，此时， 若中有2个元素，则，则， 所以为方程的两根，故， 解得，满足，故， 所以或20. 故选：A 【变式8-2】（23-24高二下·贵州黔南·期末）已知集合，若，则a的取值范围为 ． 【答案】 【知识点】根据集合的包含关系求参数 【分析】根据集合包含关系得到不等式，求出答案. 【详解】由题意知，又，且， 故，即a的取值范围为． 故答案为： 【变式8-3】（23-24高三上·江苏南京·阶段练习）已知集合的所有非空真子集的元素之和为2023，则 . 【答案】 【知识点】求集合的子集（真子集） 【分析】写出集合的非空真子集，得到，求出. 【详解】因为集合的所有非空真子集为： ， ， 所以有. 故答案为：289. 【变式8-4】（23-24高一下·上海杨浦·期中）已知集合，集合. (1)若，求实数的取值范围 (2)若，求实数的值 【答案】(1) (2)2 【知识点】根据集合的包含关系求参数、空集的性质及应用、根据集合中元素的个数求参数 【分析】（1）利用判别式计算即可； （2）直接代入1计算即可. 【详解】（1）若，则， 即实数的取值范围为； （2）若，则 即实数的值为2. 【考点题型九】根据集合的相等求参数 【例9】（24-25高三上·湖南常德·阶段练习）若集合，则 ． 【答案】 【知识点】根据两个集合相等求参数 【分析】根据题意，利集合相等和集合中元素的性质，求得，进而得到答案. 【详解】因为，可得，所以， 当时，，显然不成立； 所以，解得或（舍去）， 所以. 故答案为：. 【变式9-1】（多选）（24-25高一上·广西·开学考试）已知集合，若，则的值可能是（   ） A．-4 B．-2 C．0 D．2 【答案】BC 【知识点】根据两个集合相等求参数 【分析】利用集合相等，解出对应参数的值，然后利用元素的性质判断即可. 【详解】因为，所以或解得或则或. 故选：BC 【变式9-2】（22-23高一上·河南郑州·阶段练习）已知集合， 则 ． 【答案】 【知识点】根据两个集合相等求参数 【分析】根据元素互异性得到方程和不等式，得到答案. 【详解】由题意得得． 故答案为： 【变式9-3】（2011高一上·江苏淮安·学业考试）已知函数，若，则 【答案】 【知识点】根据两个集合相等求参数 【分析】根据可得函数有两个相等的实数根，再根据判别式求解即可. 【详解】因为，故函数，即有两个相等的实数根. 故，解得，故. 故答案为：. 【变式9-4】（23-24高一上·湖南邵阳·阶段练习）设，若，求的值. 【答案】 【知识点】利用集合元素的互异性求参数、根据两个集合相等求参数 【分析】由集合相等可得元素相同，由此建方程求解即可. 【详解】由，则， 因为，所以. 所以，解得， 此时，满足题意. 故. 【考点题型十】根据子集（真子集）个数求参数 【例10】（24-25高一上·福建漳州·开学考试）已知集合有且仅有两个子集，求满足条件的实数组成的集合． 【答案】 【知识点】根据集合中元素的个数求参数、判断集合的子集（真子集）的个数 【分析】利用子集个数的公式可确定A中元素个数，结合方程解的个数讨论即可. 【详解】因为集合有且仅有两个子集， 所以A中只有一个元素， 若，此时，符合题意； 若，要符合题意则需一元二次方程只有一个实数根， 即，即， 综上满足条件的实数组成的集合为. 【变式10-1】（23-24高一上·安徽铜陵·阶段练习）若集合有且仅有2个子集，则满足条件的实数m组成的集合是（    ） A． B． C．或 D． 【答案】B 【分析】根据集合子集个数确定集合元素只有一个，讨论参数m判断方程仅有一个解情况下m取值. 【详解】由题设集合有2个子集，则集合中仅含一个元素， 所以有且仅有一个解， 当，则，满足要求； 当，则，满足要求； 综上，满足条件的实数m组成的集合是. 故选：B 【变式10-2】（22-23高一上·浙江台州·阶段练习）集合有1个真子集，则（    ） A． B． C． D．或 【答案】D 【分析】根据真子集的个数推出集合中元素的个数，即方程解的个数，分类讨论求解即可. 【详解】解：集合有1个真子集，则集合有且仅有一个元素， 故方程有且仅有一个根， 当时，，方程有且仅有一个根，满足题意； 当时，需满足，即； 综上可知，或. 故选：D. 【变式10-3】（多选）（23-24高一上·河南南阳·阶段练习）已知集合恰有3个非空子集，则a的值可能为（    ） A． B． C．0 D．1 【答案】ABC 【分析】根据题意可知集合A有2个元素，结合一元二次方程的判别式即可求得答案. 【详解】因为集合A恰有3个非空子集，所以集合A有2个元素， 则有两个不相等的实数解， 则，解得，结合选项可知a的值可能为， 故选：ABC． 【变式10-4】（22-23高一上·河南信阳·阶段练习）已知集合有且仅有两个子集，则的取值集合为 . 【答案】 【分析】根据题意集合A有一个元素，考虑和两种情况，计算得到答案即可. 【详解】由题意，集合有且仅有两个子集，则集合只有一个元素， 当时，，解得，符合题意； 当时，，解得或， 当时，，符合题意， 当时，，符合题意. 综上所述，的取值集合为. 故答案为：. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司24 学科网（北京）股份有限公司 $$