第二章等式与不等式（期中知识清单）高一数学上学期人教B版

第二章 等式与不等式　知识清单 一、核心知识总结（必背・单元重点） 1. 等式的性质与方程的解集 1.1 等式的性质 我们已经学习过等式的性质： （1）等式的两边同时加上同一个数或代数式，等式仍成立； （2）等式的两边同时乘以同一个不为零的数或代数式，等式仍成立。 示例：由 得 ；由 且 得 。 1.2 恒等式 含有字母的等式，如果其中的字母取任意实数时等式都成立，则称其为恒等式，也称等式两边恒等。 示例：平方差公式 、两数和的平方公式 都是恒等式；而 只有当 时成立，不是恒等式。 注意：恒等式是进行代数变形的依据之一。因为恒等式对任意实数都成立，所以可用其他代数式去替换其中的字母，等式仍会成立。 十字相乘法 给定式子 ，如果能找到 和 ，使得 且 ，则 。这种因式分解的方法称为十字相乘法。 示例：，因为 且 。 1.3 方程的解集 方程的解（或根）是指能使方程左右两边相等的未知数的值。一般地，把一个方程所有解组成的集合称为这个方程的解集。 如果 ，则 或 。 示例：方程 的解集为 ；由 得 或 ，解集为 。 2. 一元二次方程的解集及其根与系数的关系 2.1 一元二次方程 形如 的方程为一元二次方程，其中 ，， 是常数，且 。 示例：、 都是一元二次方程。 2.2 一元二次方程的解集 方程 的解集 一般地，方程 ： 的取值 解集 空集（无实数根） 示例： 的解集为 ； 的解集为 ； 无实数根，解集为空集。 方程 的解集 一般地，方程 （其中 ， 是常数）： 的取值 解集 空集（无实数根） 示例：由 得 或 ，解集为 。 配方法 通过配方把 化为 的形式，就可得到方程的解集。 示例： 配方得 ，无实数根，解集为空集。 判别式与求根公式 称为一元二次方程 的判别式。一元二次方程解集的情况完全由它的系数决定： 的取值 解集 空集（无实数根） 示例： 中 ，两根为 或 。 注意：求根公式可写为 ，它表达了用配方法解一般形式一元二次方程的结果。 2.3 一元二次方程根与系数的关系 一元二次方程 的解集不是空集时，它的两个根 ， 与系数 ，， 满足 这一结论通常称为一元二次方程根与系数的关系。 示例： 的两根为 ，，则 ，。 3. 方程组的解集 3.1 方程组的解集 一般地，将多个方程联立，就能得到方程组。方程组中，由每个方程的解集得到的交集称为这个方程组的解集。 示例：方程组 中，两方程解集的交集为 ，所以方程组的解集是 。 注意：求方程组的解集，本质是求各个方程解集的交集，常用方法是消元法。 4. 不等式及其性质 4.1 不等式的定义 含有不等号的式子，称为不等式。常见的不等号有 、、、 等。 示例：、、 都是不等式。 4.2 实数大小的比较（作差法） 要比较两个实数 ， 的大小，只要考察 与 的相对大小： · 的充要条件是 ； · 的充要条件是 ； · 的充要条件是 。 图1：数轴上比较两个实数的大小 示例：比较 与 的大小：因为 ，所以 。 注意：通过比较两式之差的符号来判断两式的大小，这种方法称为作差法。 4.3 不等式的性质 · 性质1：如果 ，那么 。 · 性质2：如果 ，，那么 。 · 性质3：如果 ，，那么 。 · 性质4：如果 ，，那么 。 · 性质5： 的充要条件是 。 图2：不等式性质1的直观理解 示例：由 得 ；由 且 得 。 注意：性质4通常称为不等关系的传递性。上述性质对任意满足条件的实数都成立，因此可以用任意满足条件的式子去代替其中的字母。 4.4 不等式性质的推论 · 推论1：如果 ，那么 。（不等式的移项法则） · 推论2：如果 ，，那么 。 · 推论3：如果 ，，那么 。 · 推论4：如果 ，那么 （ 为正整数，且 ）。 · 推论5：如果 ，那么 。 示例：已知 ，，则 ；已知 ，则 ，。 注意：推论2说明两个同向不等式的两边分别相加，所得到的不等式与原不等式同向；推论3说明几个两边都是正数的同向不等式两边分别相乘，所得到的不等式与原不等式同向。 5. 不等式的解集 5.1 不等式的解集与不等式组的解集 能够使不等式成立的未知数的值称为不等式的解。一般地，不等式的所有解组成的集合称为不等式的解集。对于由若干个不等式联立得到的不等式组来说，这些不等式的解集的交集称为不等式组的解集。 示例：不等式组 的解集为 。 5.2 绝对值不等式 含有绝对值的不等式称为绝对值不等式。 当 时，关于 的不等式 的解为 或 ，解集为 ；不等式 的解为 ，解集为 。 图3：绝对值不等式 的解集 图4：绝对值不等式 的几何意义 示例： 的解集为 ； 的解集为 。 注意： 是数轴上表示数 的点与原点的距离，所以 表示”与原点的距离大于 “，其解集可由绝对值的几何意义直接得出。 5.3 数轴上的距离与中点坐标公式 如果实数 ， 在数轴上对应的点分别为 ，，即 ，，则线段 的长为 ，这就是数轴上两点之间的距离公式。 如果线段 的中点 对应的数为 ，则 ，这就是数轴上的中点坐标公式。 示例：，，则 ，中点坐标为 。 6. 一元二次不等式的解法 6.1 一元二次不等式 形如 的不等式称为一元二次不等式，其中 ，， 是常数，而且 。一元二次不等式中的不等号也可以是“”“”“”等。 示例：、 都是一元二次不等式。 6.2 一元二次不等式的解法 因式分解法 如果 ，则不等式 的解集是 ；不等式 的解集是 。 示例： 即 ，解集为 。 配方法 一元二次不等式 通过配方总是可以变为 或 的形式，然后根据 的正负等知识，就可以得到原不等式的解集。 示例： 配方得 ，所以 或 。 7. 均值不等式及其应用 7.1 算术平均值与几何平均值 数 称为 ， 的算术平均值；数 称为 ， 的几何平均值。 示例：， 时，算术平均值为 ，几何平均值为 。 7.2 均值不等式 均值不等式：如果 ， 都是正数，那么 当且仅当 时，等号成立。 均值不等式也称为基本不等式，其实质是：两个正实数的算术平均值不小于它们的几何平均值。均值不等式的一个几何意义为：所有周长一定的矩形中，正方形的面积最大。 图5：均值不等式的几何意义 示例： 时，，当且仅当 时等号成立。 注意：均值不等式中的 ， 可以是任意正实数，因此可以代入任意满足条件的数或式子。 二、二级结论与方法技巧 1. 常用二级推论 1.1 均值不等式的等价变形 ；；（其中 ，等号均当 时成立）。 1.2 由 推出的常用不等式 ；；（对任意实数 成立）。 1.3 一元二次不等式恒成立的条件 恒成立的充要条件是 且 ；恒小于 则需 且 。 【使用提醒】若二次项系数 ，则退化为一次不等式，须另行讨论，不能直接套判别式。 1.4 一元二次方程根的符号判定 对 ，两根同号的充要条件是 且 ；两根异号的充要条件是 ；两根同正还须 ，两根同负还须 。 【使用提醒】判同号时 与 缺一不可；判异号只看 ，此时 必大于 ，不必再验。 1.5 二次式配方公式 。 1.6 绝对值式 的几何意义 表示数轴上表示 与表示 的两点间的距离；（）表示与 的距离不超过 的所有点对应的数。 2. 解题方法与操作步骤 2.1 因式分解法解一元二次不等式 化一边为 ，因式分解为 ，据两根判断： 取两边（小于小根或大于大根）， 取中间（介于两根之间）。如 即 ，解集为 。 2.2 配方法解一元二次不等式 配方成 或 ，再据 的正负讨论： 时 恒成立、 无解； 时开方解 与 的关系。如 化为 ，得 或 。 2.3 解绝对值不等式的两条路径 解绝对值不等式有两条路径：去绝对值符号（ 写 或 ， 写 ，），或看几何意义（把 看成”到 的距离”）。如 得 ，即 。 2.4 用均值不等式求最值”三步走” 一正（各量均为正）→ 二定（和为定值求积最大，积为定值求和最小）→ 三相等（验证等号能否取到）。如 ，，因 为定值，故 ，当 时取最小值 。 2.5 证明不等式的方法选择 作差法（比较 与 的大小）；综合法（从已知条件出发逐步推导出结论）；分析法（从要证的结论出发，逐步寻找使结论成立的充分条件）；反证法（假设结论的否定成立，推导出矛盾）。 3. 大小比较 / 化简 / 运算小技巧 技巧 要点 示例 作差法比较大小 计算 ，配方成”平方 常数”判定符号 ，故 作商法比较大小 两正数比较 与 的大小 时 ，故 乘 代换 把 换成题给等式的值，凑出均值不等式的”积定” 时 平方去根号或绝对值 两边非负时平方，把根号、绝对值化去 证 ，可平方后逐步化简判定 配凑定值 均值不等式须”和为定”或”积为定”，先拆项、添项配凑 （） 中间值法 借助 、 等特殊值传递大小关系 由 得 、 4. 常见考试模型 4.1 均值不等式求最值模型 公式：积定和最小： 且 为定值时，，当 取最小值；和定积最大： 为定值时，，当 取最大值。 限定：须满足”一正、二定、三相等”；若等号取不到，最值不存在，须改用其他方法。 示例：矩形面积为 时，周长 ，当长宽均为 时周长最短为 。 4.2 “1 的代换”求最值模型 公式：已知 且 （或 为定值），求 （或 ）的最值： 展开后配均值不等式。 限定：代换后须能配出”积为定值”，并检验等号成立的条件是否与题给条件相容。 示例：已知 ，，则 。 4.3 一元二次不等式恒成立 / 有解模型 公式： 恒成立的充要条件是 且 ；恒小于 需 且 ；有解则按 的符号与 分类讨论。 限定：须先讨论二次项系数 的退化情形。 示例： 的解集为全体实数，则 ，得 。 4.4 含参不等式 / 方程的分类讨论模型 公式：： 时 ， 时 ， 时按 的符号讨论；二次类含参先讨论二次项系数是否为零，再讨论 。 限定：系数为 时退化为低次，须单独讨论后与其他情况取并集。 示例：解 ： 时，若 无解，若 解集为全体实数。 4.5 实际应用最值模型 公式：设变量 ，列目标式（面积、造价、利润等），再用均值不等式或配方求最值。 限定：变量取正且满足实际约束（边长、销量非负），并验证等号成立。 示例：用长 的篱笆一面靠墙围矩形菜地，设垂直于墙的边为 ，面积 ，当 时 最大。 三、章节高频易错点 + 错解 / 正解对比 易错点 1：不等式两边同乘一个符号不确定的数，忘记讨论符号 典例：若 ，则下列各式中一定成立的是　　（填序号）：①；②；③；④。 错解：填 ①。因为 ，两边同乘 ，得 。 正解：填 ④。由性质1， 得 ，④一定成立。①中 的符号不确定，当 时应为 ；②中当 时 ，不成立；③中取 ，，则 但 ，不成立。 原因：忽略使用前提。性质2、3 的前提分别是 、，学生把”两边同乘同一个数”当成无条件成立，忘记乘负数要改变不等号方向、乘 会变成等式。凡不等式两边同乘（除）符号不确定的式子，必须先分类讨论该式子的符号。 易错点 2：一元二次不等式”大于取两边、小于取中间”记反 典例：求不等式 的解集。 错解： 即 ，所以 或 ，解集为 。 正解：因式分解得 ，两根为 ，，“小于取中间”，所以 ，解集为 。 原因：概念理解错误，把”积小于 “与”积大于 “的解集规律记反。两个因式同号则积为正（取两边）、异号则积为负（取中间）。可代入检验： 时 满足不等式，故 应在解集中，而错解把 排除了。 易错点 3：解分式不等式直接交叉相乘，忽略分母符号 典例：求不等式 的解集。 错解：两边同乘 ，得 ，所以 ，解集为 。 正解：分式 的充要条件是 且 ，解得 或 ，解集为 。 原因：方法迁移错误。学生把解整式不等式的”两边同乘”迁移到分式不等式，但分母 的符号随 变化，直接乘会改变不等号方向，还漏掉分母不为 的限制。分式不等式应先移项化为”一边为 、一边为分式”，再化为整式不等式的乘积形式并附加分母不等于 的条件。 易错点 4：用均值不等式求最值，忽略”一正”或等号取不到 典例：求函数 （）的最大值。 错解：，所以 的最小值为 。 正解：当 时， 与 均为负数，不能直接用均值不等式。令 ，则 ，当 即 时， 取得最大值 。 原因：忽略使用前提。均值不等式要求各项为正， 时直接套用把不等号方向弄错了。此外求最值还须检验等号能否取到；本题 时 只有最大值 ，没有最小值。 易错点 5：解绝对值不等式漏掉一边 典例：求不等式 的解集。 错解：由 得 ，解集为 。 正解： 的解为 或 ，解集为 。 原因：条件遗漏、思维不完整。 表示数轴上表示 的点与原点的距离，距离大于 的点在原点两侧各有一支，学生只取了正方向这一支。凡”“要写两边取并集，”“写中间，方向不能少。 易错点 6：含参方程 / 不等式漏讨论二次项系数为 0 典例：关于 的方程 有实数根，求 的取值范围。 错解：方程有实数根，则 ，所以 。 正解：①当 时，方程为 ，有实数根 ，符合题意；②当 时，，得 且 。综上，。 原因：漏分类讨论。学生默认”有实数根”就直接套判别式，但判别式只对二次方程成立；二次项系数含参数时须先讨论 的退化情形（此时是一次方程）。本题 也满足题意；若题目改为”有两个实数根”，则还须排除 。 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $