专题05 函数的概念及其表示（2个考点梳理，6题型解读+提升训练）（期中知识清单）高一数学上学期人教B版2019必修第一册

专题05 函数的概念及其表示 【清单01】函数的概念 1.给定是两个非空的实数集A与B，以及对应关系f，如果对于集合A中的每一个实数x，在集合B中都有唯一确定的实数y与x对应，则称f为定义在集合A上的一个函数，记作y＝f(x)，x∈A x称为自变量，y称为因变量. 2.定义域：自变量的取值范围（即集合A）； 3.值域：所有函数值组成的集合{y| y＝f(x)，x∈A }．显然，值域是集合B的子集． 4.相同的函数（同一函数）：两个函数表达式表示的函数定义域相同，对应关系也相同（即对自变量的一个值，两个函数表达式表示得到的函数值相等） 5.拓广：复合函数的认识，函数是由f(u)),u(x)=x+1复合而成的复合函数. 【清单02】函数的表示方法 1.表示函数的常用方法有：解析法、图象法、列表法． 2.分段函数：若函数在其定义域内，对于定义域内的不同取值区间，有着不同的对应关系，这样的函数通常叫做分段函数．分段函数虽然由几部分组成，但它表示的是一个函数． 3.提醒：分段函数是一个函数，而不是几个函数，分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集． 【考点题型一】函数关系及相等函数的判断 【例1】（23-24高一上·天津·期中）中文“函数”一词，最早是由清代数学家李善兰翻译而得，之所以这么翻译，他给出的原因是“凡此变数中函彼变数者，则此为彼之函数”，也即函数指一个量随着另一个量的变化而变化，下列选项中是同一个函数的是（ ） A．， B．， C．， D．， 【变式1-1】（23-24高一下·贵州六盘水·期末）下列图形中，可以表示函数的是（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】（22-23高一上·福建泉州·期中）下列结论正确的有（    ） A．函数的定义域为 B．函数，的图象与轴有且只有一个交点 C．函数的图象与直线有且只有一个交点 D．与是相同函数 【变式1-3】（23-24高一上·山东聊城·阶段练习）下列各组中的函数，表示同一函数的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【变式1-4】（多选）（23-24高一上·重庆沙坪坝·期中）下列各组函数是同一个函数的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 【考点题型二】求函数值 【例2】（23-24高一上·安徽淮北·期中）设，则（    ） A． B． C．1 D． 【变式2-1】（24-25高三上·湖南长沙·阶段练习）对于函数，部分与的对应关系如下表： 则值为（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】（23-24高一上·湖南邵阳·阶段练习）已知函数，则 . 【变式2-3】（24-25高一上·全国·随堂练习）已知反比例函数的图象过点，则 ． 【变式2-4】（24-25高一上·四川内江·开学考试）已知函数，计算 ． 【考点题型三】求函数的定义域 【例3】（24-25高一上·上海·单元测试）（1）函数的定义域是 ； （2）函数的定义域是 ； （3）若函数的定义域是，则函数的定义域是 ． 【变式3-1】（23-24高一上·安徽淮北·期中）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【变式3-2】（24-25高一上·广西钦州·开学考试）函数的定义域是指自变量的取值范围，则函数的定义域为（    ） A． B．且 C． D．或 【变式3-3】（23-24高一·上海·课堂例题）设是常数，求下列函数的定义域： (1)； (2). 【变式3-4】（24-25高一上·上海·课堂例题）（1）设函数的定义域为，求下列函数的定义域： ①；②. （2）函数的定义域是，求函数的定义域. 【考点题型四】求函数的值域、最值 【例4】（24-25高一上·广东梅州·开学考试）（1）已知，，求的值域． （2）已知，求的值域． 【变式4-1】（22-23高一上·广东惠州·阶段练习）设函数，满足，则＝ ；函数的值域为 ． 【变式4-2】（24-25高一上·全国·课堂例题）求下列函数的值域： (1)，； (2)； (3)，； (4)． 【变式4-3】（23-24高一上·河北邯郸·期中）（1）求当时，的值域. （2）已知，求函数 的最小值. 【变式4-4】（2023高一·江苏·专题练习）已知函数 (1)求，，的值； (2)求函数的定义域、值域． 【考点题型五】求函数的解析式 【例5】（24-25高一上·上海·课堂例题）（1）已知是二次函数，且满足，，求的表达式； （2）已知，求的表达式； （3）已知，求的表达式． 【变式5-1】（21-22高一上·内蒙古赤峰·期中）已知是一次函数，且，，则（    ） A． B． C． D． 【变式5-2】（23-24高二下·辽宁本溪·期末）已知函数满足，则 . 【变式5-3】（24-25高一上·全国·课后作业）已知函数（a，b为常数，且）满足，方程有唯一解，则函数的解析式为 ． 【变式5-4】（24-25高一上·全国·课堂例题）（1）已知，求； （2）已知为二次函数，且，求； （3）已知函数对于任意的x都有，求． 【考点题型六】由函数值、定义域、值域等求参数 【例6】（23-24高一上·江苏苏州·阶段练习）若，（是大于的常数） (1)当，比较与的大小； (2)若函数的值域为，求的取值范围. 【变式6-1】（23-24高一上·山东淄博·期中）已知函数，且，则实数等于（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【变式6-2】（23-24高一上·福建福州·阶段练习）已知函数的定义域是，值域为，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式6-3】（23-24高一上·云南曲靖·期中）已知函数的最小值是-2，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式6-4】（23-24高一上·云南曲靖·期中）设. （1）当时，的最小值是 ； （2）若是的最小值，则a的取值范围是 . 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题05 函数的概念及其表示 【清单01】函数的概念 1.给定是两个非空的实数集A与B，以及对应关系f，如果对于集合A中的每一个实数x，在集合B中都有唯一确定的实数y与x对应，则称f为定义在集合A上的一个函数，记作y＝f(x)，x∈A x称为自变量，y称为因变量. 2.定义域：自变量的取值范围（即集合A）； 3.值域：所有函数值组成的集合{y| y＝f(x)，x∈A }．显然，值域是集合B的子集． 4.相同的函数（同一函数）：两个函数表达式表示的函数定义域相同，对应关系也相同（即对自变量的一个值，两个函数表达式表示得到的函数值相等） 5.拓广：复合函数的认识，函数是由f(u)),u(x)=x+1复合而成的复合函数. 【清单02】函数的表示方法 1.表示函数的常用方法有：解析法、图象法、列表法． 2.分段函数：若函数在其定义域内，对于定义域内的不同取值区间，有着不同的对应关系，这样的函数通常叫做分段函数．分段函数虽然由几部分组成，但它表示的是一个函数． 3.提醒：分段函数是一个函数，而不是几个函数，分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集． 【考点题型一】函数关系及相等函数的判断 【例1】（23-24高一上·天津·期中）中文“函数”一词，最早是由清代数学家李善兰翻译而得，之所以这么翻译，他给出的原因是“凡此变数中函彼变数者，则此为彼之函数”，也即函数指一个量随着另一个量的变化而变化，下列选项中是同一个函数的是（ ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【知识点】具体函数的定义域、判断两个函数是否相等 【分析】先求函数的定义域，定义域不同则不是同一个函数，定义域相同再看对应关系是否相同，对应关系相同则是同一个函数，对应关系不同则不是同一个函数. 【详解】对于A，和定义域均为R， ， 故和定义域相同，对应关系不同，和不是同一个函数，故A错误； 对于B，和定义域均为R，， 故和定义域相同，对应关系相同，和是同一个函数，故B正确； 对于C，定义域为，定义域为R， 故和定义域不相同， 和不是同一个函数，故C错误； 对于D，定义域为R，定义域为， 故和定义域不相同， 和不是同一个函数，故D错误； 故选：B. 【变式1-1】（23-24高一下·贵州六盘水·期末）下列图形中，可以表示函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】函数关系的判断、图象法表示函数、函数图像的识别 【分析】由函数的定义即可得解. 【详解】通过平移直线，只有B选项的图象满足： 其图象和直线至多有一个交点，即只有B选项符合题意. 故选：B. 【变式1-2】（22-23高一上·福建泉州·期中）下列结论正确的有（    ） A．函数的定义域为 B．函数，的图象与轴有且只有一个交点 C．函数的图象与直线有且只有一个交点 D．与是相同函数 【答案】B 【知识点】函数关系的判断、具体函数的定义域、判断两个函数是否相等 【分析】求出函数的定义域，判断A的真假；根据函数的概念判断BC的真假；化简函数解析式，根据对应关系判断是否为同一个函数，判断D的真假. 【详解】对A：由且，所以函数的定义域为，故A错误； 对B：根据函数的概念，可判断B正确； 对C：由函数的概念，可得函数的图象与直线至多有一个交点，故C错误； 对D：因为的定义域为，所以，与对应关系不同，所以与不是同一个函数，所以D错误. 故选：B 【变式1-3】（23-24高一上·山东聊城·阶段练习）下列各组中的函数，表示同一函数的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【知识点】具体函数的定义域、判断两个函数是否相等 【分析】根据定义域及对应关系判断是否是同一函数. 【详解】选项A，，，两个函数的定义域不同，不是同一函数； 选项B，，，两个函数的定义域不同，不是同一函数； 选项C，，，两个函数的定义域不同，对应关系也不同，不是同一函数； 选项D，，，即，是同一函数， 故选:D． 【变式1-4】（多选）（23-24高一上·重庆沙坪坝·期中）下列各组函数是同一个函数的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】AC 【知识点】具体函数的定义域、判断两个函数是否相等 【分析】根据函数的“三要素”判断是否为同一个函数. 【详解】对A：只是用不同的字母表示变量，所以是同一个函数，故A正确； 对B：因为函数的定义域为，函数的定义域为，所以与不是同一个函数，故B错误； 对C：函数与的定义域都是，对应关系一样，故它们是同一个函数，故C正确； 对D：函数的定义域是：，函数的定义域是：，定义域不一致，所以它们不是同一个函数，故D错误. 故选：AC 【考点题型二】求函数值 【例2】（23-24高一上·安徽淮北·期中）设，则（    ） A． B． C．1 D． 【答案】B 【知识点】已知分段函数的值求参数或自变量 【分析】直接代入计算即可. 【详解】， ， . 故选：B. 【变式2-1】（24-25高三上·湖南长沙·阶段练习）对于函数，部分与的对应关系如下表： 则值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】求函数值、列表法表示函数 【分析】根据表格先求，再求的值. 【详解】由表格可得，， 所以. 故选：C. 【变式2-2】（23-24高一上·湖南邵阳·阶段练习）已知函数，则 . 【答案】15 【知识点】求函数值 【分析】代值求解可得. 【详解】，. 故答案为：15. 【变式2-3】（24-25高一上·全国·随堂练习）已知反比例函数的图象过点，则 ． 【答案】 【知识点】求函数值、已知函数类型求解析式 【分析】根据题意利用待定系数法求得，即可得结果. 【详解】设反比例函数， 由题意可得：，解得， 可得，所以. 故答案为：. 【变式2-4】（24-25高一上·四川内江·开学考试）已知函数，计算 ． 【答案】 【知识点】求函数值 【分析】先求出，再观察所求，倒序相加即可得解. 【详解】由， 得， 所以 . 故答案为：. 【考点题型三】求函数的定义域 【例3】（24-25高一上·上海·单元测试）（1）函数的定义域是 ； （2）函数的定义域是 ； （3）若函数的定义域是，则函数的定义域是 ． 【答案】 【知识点】具体函数的定义域、抽象函数的定义域 【分析】（1）根据根式以及0次方的性质即可由不等式求解， （2）根据根式的性质即可求解， （3）根据抽象函数的定义域性质即可求解. 【详解】（1）由得且，∴函数的定义域是． （2）由得，∴函数的定义域是． （3）∵的定义域是， ∴，∴，即的定义域是， ∴，∴， ∴函数的定义域是． 故答案为：；； 【变式3-1】（23-24高一上·安徽淮北·期中）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】具体函数的定义域 【分析】利用函数有意义列出不等式求解即得. 【详解】函数有意义，则，解得， 所以原函数的定义域为. 故选：A 【变式3-2】（24-25高一上·广西钦州·开学考试）函数的定义域是指自变量的取值范围，则函数的定义域为（    ） A． B．且 C． D．或 【答案】C 【知识点】具体函数的定义域 【分析】根据题意知，解不等式即可求解. 【详解】根据题意，要使函数有意义，需满足，即，解得， 所以函数的定义域为. 故选：C 【变式3-3】（23-24高一·上海·课堂例题）设是常数，求下列函数的定义域： (1)； (2). 【答案】(1)答案见解析 (2)答案见解析 【知识点】具体函数的定义域 【分析】（1）（2）利用具体函数定义域的求法，分类讨论的取值范围即可得解. 【详解】（1）当时，，此时函数的定义域为， 当时，，解得，此时函数的定义域为； 当时，，此时函数的定义域为； （2）令，解得或， 当时，此时的定义域为或， 当时，恒成立，此时的定义域为， 当时，此时的定义域为或. 【变式3-4】（24-25高一上·上海·课堂例题）（1）设函数的定义域为，求下列函数的定义域： ①；②. （2）函数的定义域是，求函数的定义域. 【答案】（1）①；②；（2） 【知识点】抽象函数的定义域 【分析】（1）利用抽象函数定义域的性质求解即可. （2）利用抽象函数定义域的性质求解即可. 【详解】（1）①由已知，得，解得，故的定义域为. ②由已知，得，解得，故的定义域为. （2）先求的定义域： 因为的定义域是，所以， 所以，即的定义域是. 再求的定义域： 因为，解得， 所以的定义域是. 【考点题型四】求函数的值域、最值 【例4】（24-25高一上·广东梅州·开学考试）（1）已知，，求的值域． （2）已知，求的值域． 【答案】（1）；（2） 【知识点】已知f（g（x））求解析式、求二次函数的值域或最值 【分析】（1）求出的解析式，结合二次函数的值域即可求解； （2）利用换元法求出，结合二次函数的值域结合求解. 【详解】（1）因为，， 所以， 则当时，， 所以的值域为； （2）因为， 令，则， 所以， 所以， 所以当时，， 则的值域为 【变式4-1】（22-23高一上·广东惠州·阶段练习）设函数，满足，则＝ ；函数的值域为 ． 【答案】 【知识点】复杂（根式型、分式型等）函数的值域、已知f（g（x））求解析式 【分析】根据题意，利用待定系数法求解，进而得到的表达式；利用换元法，结合二次函数的性质即可得到的值域. 【详解】因为， 所以， 所以，解得， 即． 所以， 令，即, 所以，（）, 当时，， 即的值域为, 故答案为：；． 【变式4-2】（24-25高一上·全国·课堂例题）求下列函数的值域： (1)，； (2)； (3)，； (4)． 【答案】(1)； (2)； (3)； (4)． 【知识点】常见（一次函数、二次函数、反比例函数等）的函数值域、复杂（根式型、分式型等）函数的值域 【分析】（1）根据给定的自变量值求出函数值即可. （2）利用二次根式的意义求出值域. （3）利用二次函数的性质求出值域. （4）利用分式函数，结合分离常数的思想求出值域. 【详解】（1），且，则． 所以函数的值域为. （2）函数的定义域为，由，得， 所以的值域为. （3）函数图象的对称轴为，而， 当时，，当时，， 所以函数的值域为． （4）函数的定义域为， ， 所以函数的值域为． 【变式4-3】（23-24高一上·河北邯郸·期中）（1）求当时，的值域. （2）已知，求函数 的最小值. 【答案】（1）（2） 【知识点】复杂（根式型、分式型等）函数的值域、基本不等式求和的最小值 【分析】（1）根据题意化简得，结合基本不等式，即可得到结果； （2）根据题意，将函数化简变形为，再结合基本不等式，即可得到结果. 【详解】（1）， 当且仅当时等号成立，则函数值域为. （2）因为， ，当且仅当时，即时，等号成立， 所以函数的最小值为，此时. 【变式4-4】（2023高一·江苏·专题练习）已知函数 (1)求，，的值； (2)求函数的定义域、值域． 【答案】(1)，，. (2)定义域为，值域为 【知识点】分段函数的定义域、函数图象的应用、分段函数的值域或最值、求分段函数值 【分析】（1）根据分段函数的解析式求函数值； （2）作出分段函数的图象，由图象判断函数的定义域、值域． 【详解】（1）由函数， ，，. （2）作出图象如图所示．    利用数形结合易知的定义域为，值域为． 【考点题型五】求函数的解析式 【例5】（24-25高一上·上海·课堂例题）（1）已知是二次函数，且满足，，求的表达式； （2）已知，求的表达式； （3）已知，求的表达式． 【答案】（1）；（2）；（3）． 【知识点】函数方程组法求解析式、已知f（g（x））求解析式、已知函数类型求解析式 【分析】（1）设的表达式为，由已知可得，解之即可； （2）利用换元法可求解析式； （3）在原式中用替换，得，与原式联立方程组，求解即可. 【详解】（1）设，∵，∴． 又∵，∴． 整理得． 由恒等式的性质知上式中对应项系数相等， ∴，解得 ∴所求函数的表达式为． （2）令，则．∴， ∴所求函数的表达式为． （3）在原式中用替换，得， 于是有， 消去，得． ∴所求函数的表达式为． 【变式5-1】（21-22高一上·内蒙古赤峰·期中）已知是一次函数，且，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意设函数，列出方程组，求得的值，即可求解. 【详解】由题意，设函数， 因为，， 所以，， 则，解得， 所以. 故选：D. 【变式5-2】（23-24高二下·辽宁本溪·期末）已知函数满足，则 . 【答案】 【知识点】已知f（g（x））求解析式、函数方程组法求解析式 【分析】利用解方程组法和换元法即可求解. 【详解】由①， 得②， 由①②得，则， 令，则， 所以， 故. 故答案为：. 【变式5-3】（24-25高一上·全国·课后作业）已知函数（a，b为常数，且）满足，方程有唯一解，则函数的解析式为 ． 【答案】 【知识点】已知函数类型求解析式、求解析式中的参数值 【分析】根据，且方程的解只有一个，求出a和b的值，从而求出函数的解析式即可. 【详解】因为，且，可知， 令，整理可得，解得或， 若方程有唯一解，则或，解得， 又因为，解得， 所以． 故答案为：. 【变式5-4】（24-25高一上·全国·课堂例题）（1）已知，求； （2）已知为二次函数，且，求； （3）已知函数对于任意的x都有，求． 【答案】（1）；（2）；（3）． 【知识点】已知函数类型求解析式、已知f（g（x））求解析式、函数方程组法求解析式 【分析】（1）利用换元法或配凑法求解即可； （2）利用待定系数法，令，然后结合已知条件化简列方程组可求出，从而可求出； （3）将已知等式中的用替换，得到另一个式子，与已知等式联立可求出. 【详解】（1）方法一  （换元法）： 令，则，， 所以， 所以的解析式为． 方法二  （配凑法）： ． 因为， 所以的解析式为． （2）设， 则 ， 所以，解得， 所以． （3）， 令，得， 于是得到关于与的方程组， 解得． 【考点题型六】由函数值、定义域、值域等求参数 【例6】（23-24高一上·江苏苏州·阶段练习）若，（是大于的常数） (1)当，比较与的大小； (2)若函数的值域为，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【知识点】根据值域求参数的值或者范围、求分段函数解析式或求函数的值、作差法比较代数式的大小、对勾函数求最值 【分析】（1）利用作差法比大小； （2）分别求得和时的值域，根据并集为，可得参数范围. 【详解】（1）由已知当时，，所以，， 所以， 所以； （2）当时，，其取值的集合为， 当时，， 当且仅当即时，等号成立， 所以函数在上的取值集合， 又函数的值域为，即， 所以， 解得， 即. 【变式6-1】（23-24高一上·山东淄博·期中）已知函数，且，则实数等于（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】A 【知识点】已知函数值求自变量或参数、已知f（g（x））求解析式 【分析】先求函数的解析式，再利用解析式求参数即可. 【详解】因为函数 可得， 又因为，所以，解得. 故选:A. 【变式6-2】（23-24高一上·福建福州·阶段练习）已知函数的定义域是，值域为，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】根据值域求参数的值或者范围、二次函数的图象分析与判断 【分析】结合二次函数知识及题意画出图形，数形结合可得答案． 【详解】结合题意：函数 所以图象是开口向上的抛物线,其对称轴方程为， 所以，易知：， 由图可知,要使函数的定义域是，值域为， 则的取值范围是， 故选：B. 【变式6-3】（23-24高一上·云南曲靖·期中）已知函数的最小值是-2，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】根据分段函数的单调性求参数、根据分段函数的值域（最值）求参数 【分析】先根据端点处的函数值，然后讨论以及，即可得出实数a的取值范围. 【详解】由已知时，， 显然在单调递减，在单调递增， 所以在处取到最小值，， 当时， 时，在单调递减， 不符合，舍去； 当时，时，开口向下，不符合，舍去； 当时，时，开口向上，且对称轴为， 在单调减，在单调增， 若即，则，所以； 若即，则得； 综上，实数a的取值范围是. 故选：C 【变式6-4】（23-24高一上·云南曲靖·期中）设. （1）当时，的最小值是 ； （2）若是的最小值，则a的取值范围是 . 【答案】 【知识点】根据分段函数的值域（最值）求参数 【分析】（1）分和两种情况讨论，结合二次函数的性质与基本不等式可得最小值； （2）对a进行分类讨论，结合（1）的结论可得答案. 【详解】（1）当时，， 当时，由二次函数的性质可知； 当时，，当且仅当时等号成立，即最小值为2， 因为，所以的最小值为； （2）①当时， 当，由二次函数的性质可知： ，不满足是的最小值，故舍去； ②当时， 当时，由二次函数的性质可知：， 由（1）知当时，的最小值为，若是的最小值， 则，解得. 故答案为：；. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 $$