精品解析：河南南阳市第二十一学校教育集团 联考2026-2027学年八年级上学期10月阶段检测数学试题

2026年秋期八年级第一次月考数学试卷10.9 一、选择题（每小题3分，共15分） （课本P7习题1改编） 1. 下列说法正确的是（ ） A. 0.09的平方根是0.3 B. C. 立方根等于本身的数是0和1 D. 任何一个无理数的绝对值都是正数 【答案】D 【解析】 【分析】根据平方根、算术平方根和立方根的定义逐项判断即可． 【详解】解：A、由得0.09的平方根为，故本选项错误，不符合题意； B、，故本选项错误，不符合题意； C、立方根等于本身的数是0、1和，故本选项错误，不符合题意； D、任何一个无理数的绝对值都是正数，故本选项正确，符合题意． （课本P29习题改编） 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用同底数幂的乘除法、积的乘方和幂的乘方运算法则逐项判断即可． 【详解】解：A、，，则，故本选项计算错误，不符合题意； B、，故本选项计算错误，不符合题意； C、，故本选项计算正确，符合题意； D、，故本选项计算错误，不符合题意． 3. 下列不能用平方差公式直接计算的是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据“两个数的和与两个数的差的积”能运用平方差公式直接计算，逐项分析即可得到答案． 【详解】解：A、不满足“两个数的和与两个数的差的积”，不能用平方差公式计算，故此选符合题意； B、满足“两个数的和与两个数的差的积”，能用平方差公式计算，故此选不符合题意； C、满足“两个数的和与两个数的差的积”，能用平方差公式计算，故此选不符合题意； D、满足“两个数的和与两个数的差的积”，能用平方差公式计算，故此选不符合题意； 故选：A． 【点睛】本题考查了平方差公式，熟练掌握平方差公式的结构特点是解此题的关键． 4. 如图，面积为5的正方形的顶点在数轴上，且表示的数为，若点在数轴上，（点在点的右侧）且，则点所表示的数为（ ） A. B. C. D. 1.5 【答案】C 【解析】 【分析】由题意可得，然后根据数轴与实数的关系即可求得答案． 【详解】解：∵正方形的面积是5， ∴， ∵点A表示的数为，且点在点A的右侧， ∴点E表示的数为，即． 5. 计算（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：． 6. 若，则的值为（ ） A. 1 B. 9 C. 10 D. 20 【答案】B 【解析】 【分析】展开等式左侧的多项式乘法，通过对应项系数相等求出、的值，再计算． 【详解】解：． ∵， ∴，， ∴． 7. 若的整数部分是m，的小数部分是n，则为（ ） A. B. C. D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】根据无理数的估算方法得到的范围，再得到和的范围，进而求得m、n的值，即可求解． 【详解】解：∵， ∴，， ∴，， ∴． 8. 若的展开结果中不含项和x项，则的值为（ ） A. B. C. 1 D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】展开多项式，将展开式不含项和项的条件转化为对应项系数为0，即可求解． 【详解】解： ， 展开结果中不含项和x项， ，， 解得：，即， ． 9. 如图，现有四种方案，其中能借助图形面积验证的正确性的方案是（ ） A. ①② B. ①③ C. ①②③ D. ①②③④ 【答案】C 【解析】 【分析】逐个方案用两种不同方法表示阴影部分的面积,然后进行辨别即可解答． 【详解】解：方案①:阴影部分的面积为第一种表示方法为，另一种方法为，即,符合题意； 方案②:阴影部分的面积为第一种表示方法为，另一种方法为，即,符合题意； 方案③:阴影部分的面积为第一种表示方法为，另一种方法为，即,符合题意； 方案④：阴影部分的面积为第一种表示方法为，另一种方法为，即，不符合题意； 综上，符合题意的是①②③． 10. “杨辉三角”（如图）是中国古代数学无比睿智的成就之一，它可以解释（为非负整数）计算结果的各项系数规律，如的系数，，恰好对应“杨辉三角”中第行的个数，的系数，，，恰好对应“杨辉三角”中第行的个数．则的计算结果中含项的系数（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据“杨辉三角”所得出的展开式中各项系数的特点可得答案． 【详解】解：根据“杨辉三角”得出展开式中各项系数的特点分析如下： 的计算结果中项的系数为“杨辉三角”第行第个数与的积，即． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 圆周率是无限不循环小数，历史上祖冲之、刘徽等数学家都对有过深入研究．请写出一个小于的正无理数______． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【详解】解：∵， ∴， 又∵， ∴， ∴符合题意的正无理数可以为． 12. 的平方根是 _____；﹣27的立方根是 _____． 【答案】 ①. ±3， ②. -3 【解析】 【分析】根据平方根和立方根的概念求解． 【详解】∵=9， ∴的平方根是，﹣27的立方根是-3． 故答案是：，-3． 【点睛】考查的是实数的运算，熟知算术平方根及立方根的定义是解答此题的关键． 13. 已知是一个完全平方式，则a的值为_____． 【答案】 或##或 【解析】 【分析】根据完全平方式的结构特征，可得一次项系数一半的平方等于常数项，据此列方程即可求解的值． 【详解】∵ 是一个完全平方式， ∴ ， 开方得 ， 当 时， 解得 ， 当 时， 解得 ， 因此的值为或． 14. 已知实数、满足，则的值_______． 【答案】 【解析】 【分析】对原式配方后，利用平方和算术平方根的非负性求出，的值，再代入所求式子计算． 【详解】解：对原等式整理配方，原等式可变形为 ， ∵ ，， ∴，， 解得 ，， 将，代入得： ． 15. 如图所示，两个正方形的边长分别为和，如果，，那么阴影部分的面积是____________． 【答案】 48 【解析】 【分析】阴影部分的面积可以通过割补法求得，即用两个正方形的面积之和加上的面积减去空白部分和 的面积，将面积表示为关于、的代数式后，利用完全平方公式变形，最后整体代入和进行计算即可. 【详解】解： ； ∵，， ， ∴原式 . 三、解答题（共75分） 16. 计算 （1） （2） （3） （4） 【答案】（1） （2） （3） （4） 【解析】 【分析】（1）先分别求出立方根、绝对值、算术平方根，再进行加减运算； （2）把化成，用平方差公式计算； （3）先算积的乘方与单项式的除法，再合并同类项； （4）先算多项式除以单项式，单项式乘以多项式，再合并同类项． 【小问1详解】 解：原式 ． 【小问2详解】 解：原式 ． 【小问3详解】 解：原式 ． 【小问4详解】 解：原式 ． 17. 先化简，再计算：，其中，． 【答案】， 【解析】 【详解】解： ， 当，时，原式． 18. 把下列各数分别填入相应的集合中（只填对应序号）： ①0；②；③；④；⑤；⑥；⑦；⑧（相邻两个3之间的0逐次加1）；⑨；⑩ （1）整数集合：｛__________________________…｝； （2）分数集合：｛__________________________…｝； （3）无理数集合：｛__________________________…｝． 【答案】（1）整数集合：①③⑦；（2）分数集合：⑤⑥⑨；（3）无理数集合：②④⑧⑩ 【解析】 【分析】根据整数、分数与无理数的定义逐一判断：整数包括正整数、、负整数；有限小数与无限循环小数都能化成分数，属于分数；无限不循环小数是无理数． 【详解】解：①是整数； ②是开方开不尽的数，是无理数； ③是整数； ④是无理数； ⑤是分数； ⑥是有限小数，能化成分数，属于分数； ⑦是整数； ⑧（相邻两个之间的逐次加）是无限不循环小数，是无理数； ⑨是无限循环小数，能化成分数，属于分数； ⑩是无理数， ∴（1）整数集合：①③⑦； （2）分数集合：⑤⑥⑨； （3）无理数集合：②④⑧⑩． 19. 根据已知条件求值． （1）已知，，求的值； （2）已知，求x的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）把变形为，代入求值即可； （2）把变形为，根据已知得到方程，解方程即可． 【小问1详解】 解：∵，， ∴； 【小问2详解】 解：， ∵， ∴， 解得． 20. 甲、乙二人共同计算，由于甲把第一个多项式中a前面的符号抄成了“”，得到的结果为；由于乙漏抄了2，得到的结果为． （1）求a，b的值； （2）求出正确的结果． 【答案】（1）3，5 （2） 【解析】 【分析】本题考查多项式乘以多项式，整式的混合运算和解二元一次方程组等知识点，能正确根据整式的运算法则进行化简是解题的关键． （1）根据已知得出算式和，再根据整式的运算法则进行化简，得出a、b的方程组，解得即可； （2）根据整式的运算法则求出即可． 【小问1详解】 ∵甲把第一个多项式中前面的符号抄成了“”，得到的结果为， ∴ ， ∴，即， ∵乙漏抄了2，得到的结果为， ∴ ， ∴， 解方程组得：， 即，； 【小问2详解】 ． 21. 【发现】 两个连续奇数的平方差是8的整数倍． （1）【验证】 的结果是8的_________倍； （2）【证明】 证明两个连续奇数与（为整数）的平方差是8的整数倍； （3）【延伸】 两个连续偶数与（为整数）的平方差还是8的整数倍吗？请说明理由；如果不是，将上述平方差的结果加上正整数，使得最后的结果是8的整数倍，直接写出的最小值． 【答案】（1） （2）证明：，为整数， 两个连续奇数，的平方差是8的整数倍； （3）两个连续偶数的平方差不是的整数倍，正整数的最小值为． 【解析】 【分析】（1）利用平方差公式计算的结果，并判断它是的多少倍即可． （2）计算两个连续奇数，的平方差，利用平方差公式展开，即可证明． （3）计算两个连续偶数，的平方差，利用平方差公式展开，可知不是的倍数，再根据平方差的结果加上正整数，最后让是的倍数即可得出的最小值． 【小问1详解】 解：， 的结果是的倍． 【小问2详解】 略． 【小问3详解】 解：因为两个连续的偶数分别为，(为整数)， ， 所以两个连续偶数的平方差不是的整数倍． 因为上述平方差的结果加上正整数，使得最后的结果是的整数倍， 即是的整数倍， 所以加上的正整数的最小值是． 22. 阅读： 在计算的过程中，我们可以先从简单的、特殊的情形入手，再到复杂的、一般的问题，通过观察、归纳、总结，形成解决一类问题的一般方法，数学中把这样的过程叫做特殊到一般．如下所示： 【观察】：①； ②； ③； （1）【归纳】由此可得________； （2）【应用】请运用上面的结论，解决下列问题： ①计算：________ ②计算： 【答案】（1） （2）①；② 【解析】 【分析】（1）观察给出的特殊情形等式，对比等式左边第二个多项式的最高次数与右边结果的次数，归纳一般规律； （2）①将所求式子与归纳得到的公式对比，对应公式中、的情况，构造乘以该式后套用（1）中规律计算即可； ②同①构造（1）中规律公式，据此解答即可． 【小问1详解】 解：观察给出的特殊式子： ①， ②， ③， 以此类推，； 【小问2详解】 解：①由（1）知， ， ， ②， 即， ， ． 23. 现有长与宽分别为、的小长方形若干个，用两个这样的小长方形拼成如图1的图形，用四个相同的小长方形拼成图2的图形，请认真观察图形，解答下列问题： （1）根据图1，教材已给出关于、的关系式：______；根据图2，关于、的关系式可表示为：______；根据上面的思路与方法，解决下列问题： （2）如图3，，点是线段上的一点，以，为边向两边作正方形． ①若两正方形的面积和，求图中阴影部分面积， ②若阴影面积为，，求的值． 【答案】（1）； （2）①；② 【解析】 【分析】（1）图1，利用大正方形的面积两个小正方形的面积个长方形的面积解答即可；图2，利用大正方形的面积小正方形的面积个长方形的面积解答即可； （2）①根据和变形求出即可；②根据，，得到，据此求解即可． 【小问1详解】 解：图1，边长为的大正方形的面积边长分别为和的小正方形的面积个长方形的面积， ∴； 图2，边长为的大正方形的面积边长为的小正方形的面积个长方形的面积， ∴； 【小问2详解】 解：①由题意得，，，， ∴，， ∴， ∴，则， ∴阴影部分面积为； ②由题意得，， ∴， ∵， ∴ ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年秋期八年级第一次月考数学试卷10.9 一、选择题（每小题3分，共15分） （课本P7习题1改编） 1. 下列说法正确的是（ ） A. 0.09的平方根是0.3 B. C. 立方根等于本身的数是0和1 D. 任何一个无理数的绝对值都是正数 （课本P29习题改编） 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列不能用平方差公式直接计算的是（　　） A. B. C. D. 4. 如图，面积为5的正方形的顶点在数轴上，且表示的数为，若点在数轴上，（点在点的右侧）且，则点所表示的数为（ ） A. B. C. D. 1.5 5. 计算（ ） A. B. C. D. 6. 若，则的值为（ ） A. 1 B. 9 C. 10 D. 20 7. 若的整数部分是m，的小数部分是n，则为（ ） A. B. C. D. 8 8. 若的展开结果中不含项和x项，则的值为（ ） A. B. C. 1 D. 2 9. 如图，现有四种方案，其中能借助图形面积验证的正确性的方案是（ ） A. ①② B. ①③ C. ①②③ D. ①②③④ 10. “杨辉三角”（如图）是中国古代数学无比睿智的成就之一，它可以解释（为非负整数）计算结果的各项系数规律，如的系数，，恰好对应“杨辉三角”中第行的个数，的系数，，，恰好对应“杨辉三角”中第行的个数．则的计算结果中含项的系数（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 圆周率是无限不循环小数，历史上祖冲之、刘徽等数学家都对有过深入研究．请写出一个小于的正无理数______． 12. 的平方根是 _____；﹣27的立方根是 _____． 13. 已知是一个完全平方式，则a的值为_____． 14. 已知实数、满足，则的值_______． 15. 如图所示，两个正方形的边长分别为和，如果，，那么阴影部分的面积是____________． 三、解答题（共75分） 16. 计算 （1） （2） （3） （4） 17. 先化简，再计算：，其中，． 18. 把下列各数分别填入相应的集合中（只填对应序号）： ①0；②；③；④；⑤；⑥；⑦；⑧（相邻两个3之间的0逐次加1）；⑨；⑩ （1）整数集合：｛__________________________…｝； （2）分数集合：｛__________________________…｝； （3）无理数集合：｛__________________________…｝． 19. 根据已知条件求值． （1）已知，，求的值； （2）已知，求x的值． 20. 甲、乙二人共同计算，由于甲把第一个多项式中a前面的符号抄成了“”，得到的结果为；由于乙漏抄了2，得到的结果为． （1）求a，b的值； （2）求出正确的结果． 21. 【发现】 两个连续奇数的平方差是8的整数倍． （1）【验证】 的结果是8的_________倍； （2）【证明】 证明两个连续奇数与（为整数）的平方差是8的整数倍； （3）【延伸】 两个连续偶数与（为整数）的平方差还是8的整数倍吗？请说明理由；如果不是，将上述平方差的结果加上正整数，使得最后的结果是8的整数倍，直接写出的最小值． 22. 阅读： 在计算的过程中，我们可以先从简单的、特殊的情形入手，再到复杂的、一般的问题，通过观察、归纳、总结，形成解决一类问题的一般方法，数学中把这样的过程叫做特殊到一般．如下所示： 【观察】：①； ②； ③； （1）【归纳】由此可得________； （2）【应用】请运用上面的结论，解决下列问题： ①计算：________ ②计算： 23. 现有长与宽分别为、的小长方形若干个，用两个这样的小长方形拼成如图1的图形，用四个相同的小长方形拼成图2的图形，请认真观察图形，解答下列问题： （1）根据图1，教材已给出关于、的关系式：______；根据图2，关于、的关系式可表示为：______；根据上面的思路与方法，解决下列问题： （2）如图3，，点是线段上的一点，以，为边向两边作正方形． ①若两正方形的面积和，求图中阴影部分面积， ②若阴影面积为，，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $