第12讲·圆、弧长、扇形·培优讲义（知识梳理+典例+练习）·2026-2027学年人教版九年级数学上册

第12讲·圆、弧长、扇形·培优讲义 （知识梳理+典例+练习）·2026-2027学年人教版九年级数学上册 第12讲·圆、弧长、扇形·培优讲义 （知识梳理+典例+练习）·2026-2027学年人教版九年级数学上册 参考答案与试题解析 📌 思维导图 🎯 课程目标 · 理解圆的基本概念，掌握点与圆的位置关系 · 掌握圆心角、弧、弦的关系与圆周角定理 · 会用垂径定理求弦长、半径与距离 · 会计算弧长、扇形面积与圆锥的侧面积 · 能综合运用反证法与尺规作图解决圆的问题 📚 知识梳理 ☆ 1.圆的基本概念与位置关系 圆：到定点的距离等于定长的点的集合 点与圆：dr、d=r、d<r 分别对应圆外、圆上、圆内 弦、直径、弧、圆心角、圆周角等基本概念 外心：三角形三边垂直平分线的交点（外接圆圆心） 概念辨析例题：⊙O的半径为5，点P到圆心O的距离为3，则点P与⊙O的位置关系是（　　） 答案：点P在圆内 解析：d=3<r=5，点P在圆内。 ☆ 2.圆心角、弧、弦的关系与圆周角 在同圆或等圆中，圆心角相等则所对弧相等、弦相等 圆周角定理：圆周角等于它所对弧上的圆心角的一半 直径所对的圆周角是直角 同弧或等弧所对的圆周角相等 概念辨析例题：在⊙O中，∠AOB=80°，则弧AB所对的圆周角∠ACB=（　　） 答案：40° 解析：圆周角等于圆心角的一半，∠ACB=×80°=40°。 ☆ 3.垂径定理 垂直于弦的直径平分弦，且平分弦所对的两条弧 平分弦（不是直径）的直径垂直于弦 弦心距、半径、半弦构成直角三角形 r2=d2+()2（l为弦长） 概念辨析例题：⊙O的半径为5，弦AB=8，圆心O到AB的距离为（　　） 答案：3 解析：r2=d2+()2，25=d2+16，d=3。 ☆ 4.弧长与扇形面积 弧长 l= 扇形面积 S==lr 圆锥侧面展开为扇形，母线l、底面半径r：侧面积=πrl 全面积=πrl+πr2 概念辨析例题：圆心角为120°、半径为6的扇形的面积是（　　） 答案：12π 解析：S===12π。 📋 知识总结表 核心概念 定义/公式 注意事项 点与圆 dr、=r、<r 比较距离与半径 圆周角定理 圆周角=圆心角 同弧所对 直径所对圆周角 90° 直径是特殊弦 垂径定理 r2=d2+()2 垂直于弦的直径 弧长 l= n为圆心角度数 扇形面积 S= 也可S=lr 圆锥侧面积 S=πrl l为母线 ⚠️ 核心考点 【考点1】圆的基本概念与点与圆的位置关系（第1-7题） · 判断点与圆位置：比较d与r · 外心是外接圆圆心，到三顶点等距 · 结合坐标与距离公式求半径或坐标 1．（25-26九年级上·浙江杭州·阶段检测）已知点A是外一点，且，则的半径可能是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【知识点】利用点与圆的位置关系求半径 【分析】本题主要考查了点与圆的位置关系，在圆外的点到圆心的距离大于半径，据此求解即可． 【详解】解：∵点A是外一点，且， ∴的半径大于0且小于2， 故选：A． 2．（2026·广东深圳·二模）如图，，分别切于点A，B，若，的长为，则的半径为（   ） A．10 B．15 C．20 D．30 【答案】B 【知识点】求扇形半径、切线的性质定理 【分析】连接，由切线定理及四边形内角和可得，然后根据弧长计算公式进行求解即可． 【详解】解：连接，如图所示： ∵，分别切于点A，B， ∴， ∵，且， ∴， ∵的长为， ∴， 解得：． 3．（24-25九年级上·北京朝阳·期中）图1是一个地铁站入口的双翼闸机．如图2，它的双翼展开时，双翼边缘的端点与之间的距离为，双翼的弧与弧的长都为，且与闸机侧立面夹角．当双翼收起时，可以通过闸机的物体的最大宽度为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】求扇形半径、含30度角的直角三角形 【分析】本题考查了直角三角形的应用，过点A作，过点B作，在中，可求得，同理可求得，再由弧长公式可求得，即可求解． 【详解】解：过点A作，过点B作，如图， 则中，， ∴， 中，， ∴， ∵双翼的弧与弧的长都为，， ∴，， ∴， ∴， ∵双翼边缘的端点A与B之间的距离为， ∴当双翼收起时，可以通过闸机的物体的最大宽度为， 故选：D． 4．（25-26九年级上·全国·课后作业）如图，在平面直角坐标系中，已知，，点在以为圆心，为半径的圆上，关于的对称点为．连接，将绕点逆时针旋转得到．连接．则的最小值是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】用勾股定理解三角形、点与圆上一点的最值问题、根据旋转的性质求解、坐标系中的旋转 【分析】根据题意，轴对称，旋转的性质得到点关于点的对称点坐标为，点在以点为圆心，为半径的圆上，点在以点为圆心，为半径的圆上，找到与的关系，由此得到的最小值是的最大值，最后数形结合分析即可求解． 【详解】解：∵点，， ∴点关于点的对称点的横坐标为，纵坐标为，即， ∵点在以为圆心，为半径的圆上，关于的对称点为， ∴点在以点为圆心，为半径的圆上， 如图，连接， ∵， ∴点到轴的距离为，到轴的距离为， ∴， 将绕点逆时针旋转度得，则， ∴与轴的负半轴的夹角为， ∴， ∴点在以点为圆心，为半径的圆上， ∴当点在上顺时针运动时，根据轴对称的性质可得： 点在上逆时针运动，点在上顺时针运用， 连接， ∴， ∵点，的运动方向不同， ∴线段与线段的关系是：相交（如图）与平行（如图）， ∴如图，当时，延长交于点，过点作于点， 当，时，， ∴最大时，的值最小， ∴当时，的值在四边形是平行四边形时最大， ∴， ∴． 故选：D． 【点睛】本题考查了轴对称、中心对称、旋转的性质、勾股定理、圆的性质、平行四边形的性质等，掌握点的运动规律，建立合理的数量关系，数形结合分析问题是关键． 二、填空题 5．（24-25九年级上·江苏泰州·阶段检测）若的半径为，点P到圆心的距离为，则点P与的位置关系是___． 【答案】P在内 【知识点】判断点与圆的位置关系 【分析】本题考查点与圆的位置关系，解答本题的关键是明确题意，利用点和圆的位置关系的相关知识解答．根据题意可知，点到圆心的距离小于半径，然后即可得到点P与的位置关系． 【详解】解：∵的半径为，点P到圆心的距离为，， ∴点P与的位置关系是点P在内， 故答案为：P在内． 6．（23-24九年级上·广东广州·阶段检测）在同一平面直角坐标系中有个点：，，，，． (1)画出的外接圆，则点的坐标为_________； (2)点与的位置关系为：点在________；点与的位置关系为：点在__________； (3)若在轴上有一点，满足，请直接写出点的坐标为________． 【答案】(1) (2)外，内 (3) 【知识点】线段垂直平分线的性质、同弧或等弧所对的圆周角相等、判断点与圆的位置关系、求三角形外心坐标 【分析】本题考查了外接圆，圆周角定理，垂直平分线的性质，点与圆的位置关系： （1）先在平面直角坐标系上标出，，，再作出线段的垂直平分线，它们的交点，即为点P，即可作答． （2）先在平面直角坐标系上标出，，观察与点D和点E的位置，即可作答． （3）根据同弧所对的圆周角是相等的，取与轴的交点，即为Q，再连接，即可作答． 【详解】（1）解：如图所示： （2）解：如图： 点与的位置关系为：点在外；点与的位置关系为：点在内； （3）解：如图： ∵在轴上有一点，满足， ∴图中即为所求， 且 7．（26-27九年级上·全国·课后作业）在平面直角坐标系中，已知的圆心为原点，半径为5．请判断点，，与的位置关系． 【答案】点在外，点在内，点在上． 【知识点】判断点与圆的位置关系、已知两点坐标求两点距离 【分析】分别计算点到圆心的距离，比较距离与半径的大小即可． 【详解】解：， 点在外； ， 点在内； ， 点在上． 【考点2】圆心角、弧、弦的关系与圆周角（第8-18题） · 圆周角=圆心角，同弧圆周角相等 · 直径所对圆周角为直角 · 由圆心角求弧的度数或由圆周角反推圆心角 8、因此假设不成立，故过E点只有一条直线垂直于l． 则证明步骤正确的是②③①④， 故选：B． 9．（25-26九年级上·河北邢台·期末）如图，是劣弧上的一动点，与交于点．若，则的最小值为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【知识点】用勾股定理解三角形、垂线段最短、利用垂径定理求值 【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 先过点O作，运用垂径定理，勾股定理进行列式计算，得，再结合是上的一动点，与交于点，进行分析，即可作答． 【详解】解：依题意，过点O作，交于一点，连接，如图所示： ∵，， ∴，， ∴， ∵是上的一个动点，与交于点． ∴当时，即点与点重合时，则有最小值，且为3， 故选：B 10．（24-25九年级上·江苏南京·期中）如图，已知点，，，都在上，，，下列说法错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】圆周角定理、利用垂径定理求解其他问题、利用弧、弦、圆心角的关系求解 【分析】考查了圆周角定理、垂径定理、圆心角与弧、弦的关系，解题关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．根据题意和垂径定理，可以得到，，，然后即可判断各个小题中的结论是否正确，从而可以解答本题． 【详解】解： ， ，故A正确； ， ， ， ，故B正确； ， ，故C错误； ，， ，故D正确； 故选：C． 11．（24-25九年级上·甘肃平凉·期末）如图，点、、、在上，且劣弧，连接、、、，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】等边对等角、利用弧、弦、圆心角的关系求解 【分析】本题考查圆心角的性质，熟练掌握同弧所对的圆心角相等是解题的关键，连接，根据题意可得到，再根据，可得到，利用三角形内角和计算即可得到答案． 【详解】解：连接，如图： ， ， ， ， 故选：D． 12．（2026·北京东城·一模）如图，，，是上的点，，垂足为点，且为的中点，若，则的长为______． 【答案】 【知识点】线段垂直平分线的性质、圆的基本概念辨析 【分析】连接，可得，根据垂直平分线的性质可得，即可得出． 【详解】解：如图，连接， ∵，，是上的点， ∴， ∵，垂足为点，且为的中点， ∴是的垂直平分线， ∴， ∴． 13．（25-26九年级上·青海西宁·期中）如图，是的直径，若，，则的长等于______． 【答案】 【知识点】用勾股定理解三角形、含30度角的直角三角形、圆周角定理、半圆（直径）所对的圆周角是直角 【分析】本题考查了圆周角定理，含角的直角三角形的性质，勾股定理，熟练掌握相关性质定理是解题的关键．根据直径所对的圆周角是直角，即可求得，由同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，求得的度数，继而求得的度数，最后由含角的直角三角形的性质与勾股定理，可求得、的长． 【详解】解：是的直径， ， ， ， ， ， ． 故答案为： ． 14．（2022·江苏苏州·模拟预测）如图，的直径弦，垂足为点，，则______． 【答案】 【知识点】同弧或等弧所对的圆周角相等、圆周角定理、利用垂径定理求值 【分析】根据垂径定理得，继而得到，可得答案． 【详解】解：∵的直径弦，， ∴， ∴． 15．（25-26九年级下·全国·课后作业）如图，是的圆周角，．求的大小． 【答案】 【知识点】等边对等角、圆周角定理 【分析】先根据圆周角定理求出，再根据等边对等角得出答案． 【详解】解：∵， ∴． ∵， ∴． 16．（23-24九年级上·浙江杭州·期中）已知：如图，是的直径，弦于点，是弧上一动点，，的延长线交于点．连接． (1)若，求的度数； (2)若，，求的长． 【答案】(1)25° (2)2 【知识点】圆周角定理、利用垂径定理求解其他问题 【分析】本题考查圆周角定理，垂径定理，勾股定理，等边三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识． （1）利用垂径定理和圆周角定理即可解决问题； （2）连接．证明是等边三角形，利用所对的直角边是斜边的一半，勾股定理，即可解决问题． 【详解】（1）解：如图，连接． ，是的直径， ． ， ． ，， ， ． ． （2）如图，连接． ，． ， 是等边三角形， ， ∵， ， ， ， ，是的直径， ． 17．（23-24九年级上·浙江杭州·期中）已知：如图，是的直径，弦于点，是上的一点，，的延长线交于点． (1)求证：； (2)若，的度数为，求的度数． 【答案】(1) 证明：连接， ∵， ∴， ∴， ∵四边形是圆内接四边形， ∴， ∴； (2) 【知识点】圆周角定理、已知圆内接四边形求角度、利用垂径定理求值 【分析】本题考查垂径定理，圆内接四边形性质，圆周角定理，直角三角形性质等． （1）利用，可得，再根据圆内接四边形性质可得结论； （2）利用可得的度数为，继而得到的度数为， 即可得到． 【详解】（1）略 （2）解：∵，的度数为， ∴的度数为， ∴的度数为：， ∵， ∴的度数为：， ∴的度数为：， ∴． 18．（25-26九年级上·山西运城·阶段检测）如图，已知线段 (1)作使得线段为的两条弦（要求尺规作图，保留作图痕迹） (2)在（1）中的上找出点，使得点到、两点的距离相等 (3)在（2）中，若，的半径为5，求的面积． 【答案】(1) 如图所示，即为所求； (2) 如图所示，点，即为所求； (3)或 【知识点】线段垂直平分线的性质、作已知线段的垂直平分线、确定圆心(尺规作图)、利用垂径定理求值 【分析】本题主要考查了复杂作图，线段垂直平分线的性质及垂径定理的综合应用，解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．解题时注意：垂直弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧． （1）根据弦的垂直平分线经过圆心，先作出两条弦的中垂线，其交点即为圆心； （2）根据垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等，即可得出点； （3）根据垂径定理，分两种情况计算点到线段的距离，即可求的面积． 【详解】（1）略 （2）略 （3）如图所示，连接、、、、，设交于点， 则， ，， ， 在中，， ， ，， 故的面积为或． 【考点3】垂径定理（第19-24题） · 垂径定理：垂直弦的直径平分弦与弧 · 构造直角三角形用勾股定理解题 · 两条平行弦注意分情况讨论 19．（25-26九年级上·黑龙江绥化·开学考试）已知在⊙O中，半径，弦，且，，则与的距离为（     ）． A．7或17 B．7 C．7或12 D．12 【答案】A 【知识点】利用垂径定理求平行弦问题、用勾股定理解三角形、利用垂径定理求值 【分析】本题考查圆中两条平行线间的距离，解题的关键是根据勾股定理分别求出两弦的弦心距，分两弦在圆的同侧和异侧进行讨论．由勾股定理，垂径定理，分两种情况讨论，即可求解． 【详解】解：当在点的两侧，作于M，延长交于N，连接， ，，， 则， ， ，， ， 此时弦与的距离为17； 当在点O的同侧，作于Q，交于P，连接， 同理，， ，， ， 此时弦与的距离为7， 弦与的距离为17或7． 故选：A． 20．（23-24九年级上·江苏连云港·阶段检测）若一条弦把圆分成两部分，则劣弧所对的圆心角为______． 【答案】/60度 【知识点】利用弧、弦、圆心角的关系求解 【分析】先根据圆心角、弧、弦的关系求出劣弧所对圆心角的度数即可． 【详解】解：∵一条弦把圆周分成的两段弧， ∴劣弧所对圆心角的度数， 故答案为：． 【点睛】本题考查的是圆心角、弧、弦的关系，在解答此类问题时要注意是在“同圆或等圆中”才适用，这是此类问题的易错点． 21．（24-25九年级上·全国·单元测试）如图，点在半径长为4的上，点分别是弦，弦的中点，连接，若弧的度数为，弧的度数为，则的长度为_____________． 【答案】 【知识点】用勾股定理解三角形、与三角形中位线有关的求解问题、利用弧、弦、圆心角的关系求解 【分析】本题考查了圆心角、弧、弦的关系，三角形中位线定理以及勾股定理的运用，题目的综合性较强，解题的关键是正确添加辅助线构造直角三角，连接，作于点，根据已知得，可得，，所以，再根据是的中位线，即可得出答案． 【详解】解：连接，作于点， ∵弧的度数为，弧的度数为， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵点分别是弦，弦的中点， ∴是的中位线， ∴． 故答案为：． 22．（24-25九年级上·河南驻马店·期末）如图，两个圆都是以为圆心，大圆的弦交小圆于两点． (1)求证：； (2)若，小圆的半径为5，求大圆的半径的值． 【答案】(1) 证明：如图：作于E， 由垂径定理，得： 即； (2)大圆的半径为 【知识点】利用垂径定理求同心圆问题 【分析】本题考查垂径定理，勾股定理； （1）作于E，根据垂径定理得到即可得到； （2）连接，在和中根据勾股定理得到，代入求值计算即可． 【详解】（1）略 （2）解：如图，连接， ， ， 在和中，由勾股定理，得： ， ， 即， 解得： 大圆的半径为． 23．（24-25九年级上·江苏盐城·期中）如图，，交于点C、D，是半径，且于点F． (1)求证：； (2)若，，求的半径． 【答案】(1) 证明：∵，于点F， ∴， 又∵是的半径，， ∴， ∴． (2)6 【知识点】用勾股定理解三角形、等腰三角形的性质和判定、利用垂径定理求值 【分析】本题考查了垂径定理、等腰三角形的三线合一、勾股定理，熟练掌握垂径定理是解题关键． （1）先根据等腰三角形的三线合一可得，再根据垂径定理可得，然后根据线段和差即可得证； （2）连接，设的半径为r，则，，再根据垂径定理可得，然后在中，利用勾股定理求解即可得． 【详解】（1）略 （2）解：如图，连接， 设的半径为r，则， 由得：， ∵是的半径，，， ∴， 在中，由勾股定理可得：，解得：， ∴的半径为6． 24．（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，与是的两条弦，，，垂足分别是E，F．，分别叫作弦，的弦心距． (1)若，求证：． (2)若，求证：，． (3)用语言文字把上述结论表述出来． 【答案】(1)证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∵在和中， ， ∴， ∴． (2)证明：∵， ∴， ∵在和中， ， ∴， ∴，， ∵ ∴，， ∴，． (3)在同圆或等圆中，相等的圆心角所对应的弦心距相等；反过来，在同圆或等圆中，弦心距相等，所对应的圆心角相等，所对应的弦相等． 【知识点】三线合一、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、利用弧、弦、圆心角的关系求证、全等的性质和HL综合（HL） 【分析】（1）求出，，证明，即可推出． （2）证明，推出，根据等腰三角形三线合一求出，，进而可得出答案． （3）根据（1）（2）用文字语言把上述结论表述出来即可． 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 【考点4】三角形的外心与外接圆（第25-33题） · 外心在三条边的垂直平分线交点 · 直角三角形外心在斜边中点 · 由外接圆半径求三角形相关量 25．（25-26九年级上·北京·课后作业）已知线段，经过A，B两点作半径为的圆，这样的圆（　　） A．可作一个 B．可作两个 C．可作无数个 D．不能作出 【答案】B 【知识点】已知半径和圆上两点作圆、求能确定的圆的个数 【分析】本题考查确定圆的条件，两圆的位置关系；圆心需同时满足到A和B的距离均为，即是以A和B为圆心、半径的两圆的交点，根据两圆位置关系，当圆心距，半径时，两圆相交，有两个交点，故可作两个圆． 【详解】解：∵圆经过A、B两点且半径为， ∴圆心O满足，， ∴O点是以A为圆心、为半径的圆和以B为圆心、为半径的圆的交点， 又∵，且两圆半径均为， ∴两圆圆心距，半径和，半径差， ∴两圆相交，有两个交点， ∴这样的圆可作两个． 故选：B． 26．（2025·广东广州·一模）如图，平面直角坐标系中，点坐标分别为．点是轴正半轴上的一点，且满足，则的外接圆的半径等于（   ） A． B． C．8 D．4 【答案】A 【知识点】圆周角定理、 三角形外接圆的概念辨析、利用垂径定理求值 【分析】本题考查了三角形的外接圆、垂径定理、圆周角定理，作出三角形的外接圆是解题的关键． 作出的外接圆，以为斜边在x轴上方作等腰，E必为圆心，即、为半径，由勾股定理可得出答案． 【详解】解：如图，作出的外接圆，以为斜边在x轴上方作等腰， ∵， ∴由圆周角定理得：所对的圆心角必为， ∵， ∴在弦的垂直平分线上， ∵， ∴E必为圆心，即、为半径， ∵， ∴， ∵， ， 故选A． 27．（24-25九年级下·辽宁阜新·阶段检测）下列关于外心的说法正确的是（   ） A．外心是三个角的平分线的交点 B．外心是三条高的交点 C．外心是三条中线的交点 D．外心是三边的垂直平分线的交点 【答案】D 【知识点】 三角形外接圆的概念辨析 【分析】根据三角形的外心的性质以及定义分别分析得出即可． 【详解】解：外心是三边的垂直平分线的交点， 28．（2026·内蒙古通辽·模拟预测）如图，在中，，，是斜边上的中线，以点为圆心，长为半径作弧，与的另一个交点为点．若，则扇形的面积为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】求扇形面积、斜边的中线等于斜边的一半 【分析】根据斜边上的中线得到，进而得到，三角形的外角得到的度数，作图可知，等边对等角求出的度数，再根据扇形的面积公式进行计算即可． 【详解】解：∵，是斜边上的中线，， ∴， ∴， ∴， 由作图可知， ∴， ∴， ∴扇形的面积为． 29．（23-24九年级上·黑龙江佳木斯·期末）若一直角三角形外接圆的半径为2.5，则这个直角三角形的斜边长为______． 【答案】5 【知识点】斜边的中线等于斜边的一半、求特殊三角形外接圆的半径 【分析】本题考查了三角形的外接圆，熟记直角三角形外接圆的半径等于斜边的一半是解决问题的关键． 根据直角三角形外接圆的半径等于斜边的一半即可得出斜边长． 【详解】解：∵直角三角形外接圆的半径为2.5， ∴斜边， 故答案为：5． 30．（24-25九年级上·浙江金华·开学考试）在中，若点O为边的中点，则必有：成立． 依据以上结论，解决如下问题：如图，在矩形中，已知，，点在以半径为2的上运动，则的最大值为_________． 【答案】 【知识点】利用点与圆的位置关系求半径、三角形三边关系的应用、根据矩形的性质求线段长 【分析】本题考查了点与圆的位置关系，矩形的性质，三角形三边关系，设点是的中点，连接，，，由题意得出，结合得出最大值时，的值最大，再由三角形三边关系得出的最大值为，计算即可得出答案． 【详解】解：设点是的中点，连接，，， 在矩形中，，， ∴，，， 由题意可得：， ∵， ∴最大值时，的值最大， ∵，， ∴， ∴的最大值为， ∴的最大值， 故答案为：． 31．（24-25九年级上·北京·期中）如图，已知点是直线外一点，于点，且，点B，C均在直线上，，则的最小值为_____． 【答案】 【知识点】圆周角定理、直角三角形的两个锐角互余、求特殊三角形外接圆的半径 【分析】本题考查了三角形的外接圆与外心，直角三角形的性质，正确地作出辅助线是解题的关键．作△的外接圆，连接、、，过点作于点，先由圆周角定理和垂径定理得，，则，，设，则，，再由，即可解决问题． 【详解】解：如图，作的外接圆，连接、、，过点作于点，则，，， ， ， 设， 则，， ，， ， 解得：， ， 最小值为， 故答案为：． 32．（25-26九年级下·全国·课后作业）如图，已知的外接圆的半径为3，、分别为、的中点，，求的值． 【答案】 【知识点】同弧或等弧所对的圆周角相等、求角的正切值、与三角形中位线有关的求解问题、求特殊三角形外接圆的半径 【分析】过作的直径，交于，连接，根据三角形中位线定理得到，根据勾股定理得到，根据三角函数的定义即可得到结论． 【详解】解：过作的直径，交于，连接，则， 的半径为3， ， 、分别为、的中点，， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了三角形的外接圆与外心，三角形中位线定理，解直角三角形，圆周角定理，正确地作出辅助线是解题的关键． 33．（25-26九年级上·河北唐山·期末）如图1，独轮车俗称“手推车”，又名辇、鹿车等，是交通运输工具史上的一项重要发明，至今在我国农村和一些边远地区仍然广泛使用．如图2所示为从独轮车中抽象出来的几何模型．在中，，为的直径，交于点P，作，垂足为点D． (1)求证：是的切线； (2)若，请直接写出弧的长． 【答案】(1) 证明：连接，如图 ， ， ， ， ∵ ， ， ， ， ， 又∵为半径， ∴是的切线； (2) 【知识点】等边对等角、求弧长、圆周角定理、证明某直线是圆的切线 【分析】（1）根据等边对等角并结合已知可得出，则可证明，再根据平行线的性质得出，最后根据切线的判定即可得证； （2）根据圆周角定理求出，证明是等边三角形，得出，在中，根据含角的直角三角形的性质求出，最后根据弧长公式求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：连接，如图， ∵ ， ∵， ， ， 为等边三角形， ， 由（1）得， ， ， ， ∴弧的长． 【点睛】本题考查了切线的判定，等腰三角形的性质，等边三角形的判定与性质，圆周角定理，弧长公式等知识，正确添加辅助线，熟练掌握知识点是解题的关键． 【考点5】圆的内接四边形（第34-39题） · 圆内接四边形对角互补 · 外角等于内对角 · 结合圆周角与圆心角关系求角度 34、在中，，这与三角形内角和为相矛盾； 35．（24-25九年级上·全国·随堂练习）在中，点B，O，C和点A，O，D分别在同一条直线上，则图中________是弦，________是直径，________是以A为端点的劣弧，________是以A为端点的优弧．（把满足要求的答案全部填上） 【答案】 ，， ，，   ， 【知识点】圆的基本概念辨析 【分析】本题考查圆中弦，直径，劣弧，优弧的定义，掌握知识点是解题的关键．根据圆的弦，直径，劣弧，优弧的定义即可解答． 【详解】解：由图，得：，，是弦，是直径，，，是以A为端点的劣弧，  ，是以A为端点的优弧． 故答案为：，，；；，，；  ，． 36．（24-25九年级上·江苏南通·期末）如图，四边形内接于，为的直径，．点在的延长线上，若，则的度数为_____． 【答案】/70度 【知识点】等边对等角、圆周角定理、利用弧、弦、圆心角的关系求解、三角形内角和定理的应用 【分析】本题考查了圆内接四边形的性质，弧弦圆心角的关系，等腰三角形的性质等，连接，由圆内接四边形的性质和补角性质可得，即得，又由得，即得到，再根据等腰三角形的性质即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：如图，连接， ∵四边形内接于， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 37．（23-24九年级上·四川泸州·阶段检测）如图，中，，，，把绕点顺时针旋转至的位置，使点的对应点落在斜边上，则图中阴影部分的面积是_______． 【答案】 【知识点】根据旋转的性质求解、求图形旋转后扫过的面积 【分析】本题考查旋转的性质．将图中不规则阴影部分的面积，转化为规则的扇形和三角形面积之间的关系即可解决问题． 【详解】解：由旋转可知， ，． ， ． ，， ． 在中， ， ． 故答案为：． 38．（24-25九年级上·陕西渭南·期中）如图，在中，点D、E分别在、上，连接、，、相交于点O．用反证法证明：和不可能互相平分． 【答案】 证明：连接．假设和互相平分． 和互相平分， ∴四边形是平行四边形， ∴． ∵在中，点D、E分别在、上， 与不可能平行，与已知矛盾， 故假设不成立，和不可能互相平分．   【知识点】利用平行四边形性质和判定证明、用反证法证明命题 【分析】本题主要考查反证法的证明方法，反证法的步骤：首先假设反论题正确，然后依据规则进行推理，若出现与已知条件不符或与公理定理相矛盾的情形，即可证明反论题不成立，原命题正确． 第一步先假设和互相平分，根据平行四边形的判定和性质得到，即，与已知矛盾，从而证明原命题正确． 【详解】略 39．（25-26九年级上·辽宁抚顺·阶段检测）如图1，中，．以点为旋转中心，将顺时针方向旋转，得到是点的轨迹，是点的轨迹． (1)若用扇形围成一个圆锥的侧面，求圆锥的底面圆半径； (2)如图2，求图中阴影部分的面积． 【答案】(1) (2) 【知识点】求圆锥底面半径、求弧长、求其他不规则图形的面积、根据旋转的性质求解 【分析】本题考查了不规则图形的面积，弧长公式，圆锥的侧面积，旋转的性质，三角形全等的性质，掌握扇形面积公式，弧长公式和圆锥侧面积公式是解题的关键． （1）由旋转的性质得到，先求出长，再根据圆锥侧面积公式即可求解； （2）由旋转的性质得到，得到，根据图形可得即可求解． 【详解】（1）解：由旋转的性质得到， ∵， 的长为， ， ； （2）解：根据图形得， 是旋转得到的， ， ， ． 【考点6】弧长、扇形与圆锥（第40-45题） · 弧长l=，扇形面积S= · 圆锥侧面积=πrl，注意母线l与底面半径r · 展开图中扇形的弧长等于底面圆周长 40．（2026·云南·中考真题）某文创团队用环保材料制作圆锥形灯罩．若该圆锥的母线长，侧面展开图是圆心角为的扇形，则这个圆锥的侧面积为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】求圆锥侧面积 【分析】圆锥侧面展开图为扇形，圆锥母线长等于展开扇形的半径，直接利用扇形面积公式即可求出圆锥侧面积. 【详解】解：∵圆锥的母线长为，侧面展开图是圆心角为的扇形， ∴展开扇形的半径，圆心角， ∵圆锥侧面积等于其侧面展开扇形的面积， ∴. 41．（24-25九年级上·北京顺义·期末）《左传》记载，夏朝初，奚仲创造了世界上第一辆用马牵引的木质车辆．对于现代社会而言，车仍是不可缺少的重要交通工具．生活中，车轮通常的形状是圆形． 下列选项中，能说明圆形的车轮可以保证车辆平稳（不上下颠簸）行驶的是______（填写所有正确选项的序号）． ①圆是轴对称图形； ②圆的圆心到圆周上任意一点的距离相等； ③圆沿一条直线滚动，圆心始终在平行于这条直线的一条直线上； ④圆中垂直于弦的直径平分弦． 【答案】②③ 【知识点】圆的基本概念辨析 【分析】本题考查了圆的认识，根据圆可以看作是所有到定点O的距离等于定长r的点的集合解答即可． 【详解】解：由圆的定义可得，圆的圆心到圆周上任意一点的距离相等且圆沿一条直线滚动，圆心始终在平行于这条直线的一条直线上， ∴能说明圆形的车轮可以保证车辆平稳（不上下颠簸）行驶的是②③． 故答案为：②③． 42．（23-24九年级下·全国·课后作业）将按照如图所示的方式分成面积相等的8个部分，若阴影部分的面积为2，则的面积为________． 【答案】16 【知识点】利用弧、弦、圆心角的关系求解、 圆的面积 【分析】本题考查图形的面积，由图形可知按照如图所示的方式分成面积相等的8个部分，阴影部分占其中一份，即的面积是阴影部分的面积的八倍，据此数量关系计算即可． 【详解】解： 按照如图所示的方式分成面积相等的8个部分，且阴影部分的面积为2， 的面积为， 故答案为：． 43．（24-25九年级上·河北承德·期末）如图，在由小正方形组成的网格图中建立一个平面直角坐标系，一条圆弧经过格点，，．圆心为，则的坐标是_____． 【答案】 【知识点】求三角形外心坐标、垂径定理的实际应用 【分析】本题主要考查垂径定理，点的坐标，通过作图，确定圆心的位置是解题的关键． 找到，的垂直平分线的交点即为圆心，再求其坐标即可． 【详解】解：如图，连接，分别作，的垂直平分线交于点， 由图可得点坐标为， 故答案为：； 44．（25-26九年级上·广东东莞·期末）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是1个单位长度，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为． (1)画出绕点顺时针旋转后得到的； (2)求点旋转到点的过程中线段扫过的面积（结果保留）． 【答案】(1) 解：如图所示，即为所求： (2) 【知识点】画旋转图形、求图形旋转后扫过的面积 【分析】本题考查了旋转变换作图、扇形面积公式，勾股定理，熟练掌握网格结构，准确找出对应顶点的位置是解题的关键． （1）将的三个顶点绕点A顺时针旋转得到对应点，再顺次连接即可得到； （2）利用勾股定理求出的长，再利用扇形面积公式即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：， 点旋转到点的过程中线段扫过的面积为： ． 45．（25-26九年级上·云南昆明·期末）文物修复师在修复破损文物时，经常通过几何推理还原其原貌．如图1，某修复师修复一件破碎的古代瓷器束口盆（盆口原貌为圆形）时，仅凭一块碎片便能推算出其原始口径尺寸．图2是修复师根据碎片切面绘制的几何示意图：碎片边缘为圆弧，设圆弧所在圆的圆心为O，半径于D，连接．已知，，求盆口半径的长度． 【答案】 【知识点】用勾股定理解三角形、垂径定理的实际应用 【分析】本题主要考查了垂径定理以及勾股定理，由垂径定理得出，设这个盆口半径的长为，则，再利用勾股定理即可得出r． 【详解】解：由题意得：，， ∴， 设这个盆口的半径的长为，则， 在中， 由勾股定理得：， 解得：， 答：这个盆口半径的长为． 【考点7】反证法（第46-53题） · 反证法三步骤：否定结论→推出矛盾→肯定结论 · 第一步应假设结论不成立 · 常见几何命题：至少有一个、不能、只有一条 46．（23-24八年级上·山西临汾·期末）玲玲在用反证法证明“中至少有一个内角小于或等于”时，她应先假设这个三角形中（    ） A．有一个内角大于 B．有一个内角大于等于 C．每一个内角都大于 D．每一个内角都小于 【答案】C 【知识点】反证法证明中的假设 【分析】本题考查了反证法 ，“至少有一个”的否定为“没有一个”，据此即可求解． 【详解】解：∵“至少有一个”的否定为“没有一个”， ∴应假设这个三角形中没有一个内角小于或等于， 即：这个三角形中每一个内角都大于， 故选：C 47．（23-24八年级下·全国·单元测试）如图，已知E为直线l外一点，求证：过E点，只能有一条直线垂直于 l．用反证法证明这个命题的步骤：①在中，，这与三角形内角和为相矛盾；②假设过 E点有两条直线分别垂直l于F，G 两点；③则，；④故过E点只有一条直线垂直于l．证明步骤正确的是（   ） A．①②③④ B．②③①④ C．①③②④ D．②③④① 【答案】B 【知识点】反证法证明中的假设、垂线的定义理解、三角形内角和定理的应用 【分析】本题主要考查了三角形的内角和定理以及反证法的应用，理解并掌握反证法的一般步骤是解题关键．反证法的一般步骤是：①假设命题的结论不成立；②从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾；③由矛盾判定假设不正确，从而肯定原命题的结论正确．根据反证法的一般步骤判断即可． 【详解】解：运用反证法证明这个命题的四个步骤： 48．（24-25八年级下·陕西咸阳·阶段检测）用反证法证明“已知，求证：”时，第一步应假设__________． 【答案】 【知识点】反证法证明中的假设 【分析】本题考查的是反证法的证明．用反证法证明问题的关键是清楚结论的反面是什么，写出与条件相反的假设即可． 【详解】解： “已知．求证：”．第一步应先假设． 故答案为：． 49．（20-21八年级下·江苏无锡·期末）一般来说，反证法有如下三个步骤：（1）_____，（2）_____（3）_____． 【答案】 提出假设 推出矛盾 肯定结论 【知识点】用反证法证明命题 【分析】本题考查的是反证法的步骤，根据反证法的步骤要求作答即可． 【详解】解：一般来说，反证法有如下三个步骤：（1）提出假设，（2）推出矛盾（3）肯定结论． 故答案为：提出假设，推出矛盾，肯定结论． 50．（25-26八年级上·山东·课后作业）用反证法证明：若a，b，c是不全为0的有理数，且，那么a，b，c这三个数中至少有一个负数，完成下列填空： 证明：假设a，b，c都不是___________， 不全为0， 中至少有一个为正数， ________0，这与已知相___________， ∴___________，原命题成立， 即a，b，c这三个数中至少有一个负数． 【答案】 负数 矛盾 假设不成立 【知识点】用反证法证明命题 【分析】本题主要考查了反证法的应用，准确分析判断是解题的关键． 首先假设a，b，c都不是负数，然后证明出a，b，c这三个数中至少有一个负数即可求解． 【详解】证明：假设a，b，c都不是负数， 不全为0， 中至少有一个为正数， ，这与已知相矛盾， ∴假设不成立，原命题成立， 即a，b，c这三个数中至少有一个负数． 故答案为：负数，，矛盾，假设不成立． 51．（24-25七年级下·江苏南京·期末）用反证法证明“在中，如果，那么”时，第一步应假设______． 【答案】 【知识点】反证法证明中的假设 【分析】本题考查的是反证法，熟练掌握反证法的步骤是解题关键． 根据反证法的步骤，即第一步是假设结论不成立，反面成立，即可求解． 【详解】解：反证法证明“在中，如果，那么”时，第一步应假设， 故答案为：． 52．（23-24七年级下·北京·期中）能说明“如果，那么”是假命题的反例是：____，____． 【答案】 ； ． 【知识点】举反例 【分析】本题考查了举反例，举一组例子说明时有即可求解，掌握举反例的定义是解题的关键． 【详解】解：要说明“如果，那么”是假命题，只需要举一组例子说明时有就可以， 当，时，有，但， ∴，是假命题的反例， 故答案为：；． 53．（23-24八年级下·陕西西安·阶段检测）如图，点是等边内一点，是外一点，，，，，连接． (1)求证：是等边三角形； (2)当时，求证：是直角三角形； (3)能否为等边三角形？请说明理由． 【答案】(1) 证明：， ． ， 是等边三角形； (2) 是直角三角形． 理由如下： 是等边三角形， ， ，， ， ， ∴是直角三角形； (3) 不能．理由： 由，得． 若为等边三角形， 则， 又， ． 又， ， 又， ． ∴不可能为等边三角形． 【知识点】用反证法证明命题、等边三角形的判定和性质、全等三角形的性质 【分析】（1）根据全等三角形的性质得到，根据等边三角形的判定定理证明即可； （2）根据全等三角形的性质得到，结合图形计算即可； （3）用反证法，假设能否为等边三角形，根据题意证明不等于，推出矛盾． 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 【点睛】本题考查的是全等三角形的判定和性质、等边三角形的判定、直角三角形的判定以及等腰三角形的判定，解题的关键是掌握相关的判定定理是解题的关键，注意分情况讨论思想的应用． 【考点8】尺规作图与综合（第54-60题） · 作外接圆：作三边垂直平分线找外心 · 作圆心：作弦的垂直平分线 · 综合题按题意分步作图与推理 54．（2025·天津南开·三模）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，，，，，均为格点，以为直径作半圆，半圆的圆心为点． （1）半圆的半径长为______； （2）请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出圆心，在线段上画出点，使得．要求所作直线不多于5条，并简要说明点，点的位置是如何找到的（不要求证明）______ 【答案】 取格点，，连接，与格线（横）相交于点，连接并延长，直线与相交于点；取格点，连接并延长，直线与相交于点，点，即为所求． 【知识点】勾股定理与网格问题、全等三角形综合问题、圆的基本概念辨析、等腰三角形的性质和判定 【分析】本题主要考查了格点作图，圆的基本性质，全等三角形的性质与判定，勾股定理，等腰三角形的性质与判定等等，熟知相关知识是解题的关键． （1）根据是的直径，且即可得到答案； （2）取格点，，连接，与格线（横）相交于点，连接并延长，直线与相交于点；取格点，连接并延长，直线与相交于点，点，即为所求． 【详解】解：（1）∵是的直径，且， ∴半圆的半径长为， 故答案为：； （2）取格点，，连接，与格线（横）相交于点，连接并延长，直线与相交于点；取格点，连接并延长，直线与相交于点，点，即为所求． 如图所示，连接， 可证明，则可证明，则有； 取格点W、S，可证明，则，则； 可证明，且点R为的中点，则， 则． 55．（23-24九年级上·山西吕梁·期中）一次综合实践的主题为：只用一张矩形纸条和刻度尺，如何测量水杯杯口的直径？学习小组想到了如下方法：如图，将纸条拉直紧贴杯口上，纸条的上下边沿分别与杯口相交于A，B，C，D四点，利用刻度尺量得该纸条宽为，，，则该水杯杯口的直径为________． 【答案】 【知识点】用勾股定理解三角形、垂径定理的实际应用 【分析】作辅助线构造直角三角形，设圆心到其中一条弦的距离为未知数，利用勾股定理建立方程求出半径，进而求得直径． 【详解】解：如图，设杯口所在圆的圆心为，半径为过点作于点，交于点，连接，， 纸条上下边沿平行，且， ， 由垂径定理可知，为中点，为中点， ， ， 由题意及图形可知，圆心在弦，之间，且为纸条宽度， ，即 ， 设 ，则 ， 在中，，即， 在中，，即， ， 解得， ， 水杯杯口的直径为． 56．（24-25九年级上·江苏镇江·期中）如图，已知中，，，，点E在射线上运动，连接，过点A，B，E三点的圆交于点F，则的最小值____． 【答案】2 【知识点】用勾股定理解三角形、圆周角定理、点与圆上一点的最值问题 【分析】要想求的最小值，则需要知道点F的轨迹，由题意可知，因为点F是因点E而变化的，这意味着点F在以为弦的上运动，且为定值，设F在以为弦的上运动，，，在中可求得 的半径，在中求出，点A在外，要想最短，点F应在线段上，问题进而得解． 【详解】解：如图，连接， ， ， ， ， ， 点F在以为弦的上运动， 当A、F、O三点共线时，即F运动到位置时，最小， ， ， ， ， ，， ， ， ，即AF最小值为2． 故答案为：2． 【点睛】本题考查了圆的综合题，点和圆的位置关系，点到圆的最短距离，圆周角定理以及勾股定理的应用．解题的关键是确定点F的运动轨迹． 三、解答题 57．（23-24九年级上·广西防城港·期末）如图是一位考古学家发现的一块古代车轮的碎片． (1)请你帮他找出这个车轮所在圆环的圆心并还原画出这个车轮的圆环图（尺规作图，保留作图痕迹，不用写作法）． (2)在（1）的条件下，若测量出车轮所在的圆环外径（外圆的直径）是，求车轮滚动一圈直走的路程（结果保留）． 【答案】(1) 如图为所求作的图形． (2) 【知识点】确定圆心(尺规作图) 【分析】本题考查了确定圆心，求圆的周长； （1）先确定圆心，在小圆上任意取三点，作出两条线段，作这两条线段的垂直平分线，交于同一点即为圆环的圆心，进而画出车轮的圆环图； （2）根据圆环外径（外圆的直径）是，根据圆的周长公式，即可求解． 【详解】（1）解：略； （2）圆的周长， ∴车轮滚动一圈直走的路程是． 58．（25-26九年级上·陕西商洛·阶段检测）如图，已知，请用尺规作图法，求作一，使经过三点．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】 如图所示，即为所求 【知识点】作已知线段的垂直平分线、确定圆心(尺规作图) 【分析】本题考查了作三角形的外接圆，作的垂直平分线交于点，以为半径作圆，即可求解． 【详解】略 59．（25-26九年级上·山东菏泽·阶段检测）如图，P是的弦延长线上的一点，，，求的半径． 【答案】 【知识点】用勾股定理解三角形、利用垂径定理求值 【分析】本题考查了垂径定理、勾股定理，熟练掌握垂径定理是解题关键．过点作于点，连接，先根据垂径定理可得，则可得，再在中，利用勾股定理可得的长，然后在中，利用勾股定理求解即可得． 【详解】解：如图，过点作于点，连接， ∵于点，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴在中，， ∴在中，， 即的半径为． 60．（25-26九年级下·全国·课后作业）任意画一个三角形，然后作出这个三角形的外接圆． 【答案】 解：如图所示，即为所求； 【知识点】确定圆心(尺规作图)、画圆(尺规作图) 【分析】任意画出， 分别作，两边的垂直平分线，两条垂直平分线相交于点，以为圆心，的长为半径画圆，所得到的即为所求作的三角形的外接圆. 【详解】略 💯 课后巩固 复习建议 · 点与圆位置：比较d与r的大小 · 圆周角定理及其推论要灵活运用 · 垂径定理构造直角三角形解题 · 弧长扇形公式注意n、r、l的含义 · 反证法先否定结论再推出矛盾 【作业1】、假设过 E点有两条直线分别垂直l于F，G 两点； 【作业2】．（24-25九年级上·湖北武汉·期末）已知的半径是，点P是外一点，则的长可能是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】判断点与圆的位置关系 【分析】本题考查点与圆的位置关系，根据点是外一点，得到，即可得出结果． 【详解】解：∵的半径是，点是外一点， ∴； ∴的长可能是． 故选：D． 【作业3】．（25-26九年级上·河北·课后作业）如图，是的直径，点B是弧的中点．下列结论错误的是（　　） A．点A是弧的中点 B． C．平分 D．平分 【答案】D 【知识点】利用垂径定理求值 【分析】本题主要查了垂径定理．利用垂径定理一一判断即可． 【详解】解：∵B是弧的中点， ∴， ∵是直径， ∴， ∴平分，点A是弧的中点， 故A，B，C正确，D错误， 故选：D． 【作业4】．（24-25九年级上·广西南宁·阶段检测）如图，为的弦，，则所对的圆心角等于（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】等边对等角、圆的基本概念辨析、三角形内角和定理的应用 【分析】本题考查了等边对等角，三角形内角和性质，圆的基础知识，先结合等边对等角，三角形内角和性质，得，即可作答． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， 则所对的圆心角等于 故选：D 【作业5】．（2025九年级上·江苏苏州·专题练习）对于三角形的外心，下列说法正确的是（　　） A．它到三角形三边的距离相等 B．它是三角形三条高的交点 C．它一定在该三角形的内部 D．它到三角形三个顶点的距离相等 【答案】D 【知识点】 三角形外接圆的概念辨析 【分析】本题考查了三角形外心的定义．根据三角形的外心是三角形外接圆的圆心，到三角形三个顶点的距离相等，它是三角形三条边垂直平分线的交点，据此即可求得答案． 【详解】解：三角形的外心是三角形外接圆的圆心，到三角形三个顶点的距离相等，它是三角形三条边垂直平分线的交点，故A、B错误；D正确；锐角三角形的外心在三角形内部，直角三角形的外心是斜边的中点，钝角三角形的外心在三角形外部，故C错误． 故选：D． 【作业6】、则，； 【作业7】．（2023·广东河源·一模）如图，为⊙O的直径，是⊙O的弦，点是上的一点，且．若，，则的长为（　　）    A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】用勾股定理解三角形、垂径定理的推论、利用垂径定理求值 【分析】连接，交于，根据垂径定理推论，再由垂径定理，再由勾股定理计算，的长，从而求得的长，此题考查了圆周角定理，垂径定理和勾股定理的性质，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：连接，交于，    ∵， ∴点是的中点， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵为的直径， ∴， ∴， 故选：． 【作业8】．（24-25六年级下·山东泰安·期中）如图，把一个圆分成甲，乙，丙，丁四个扇形．若圆的直径为厘米，扇形丁的面积是_____平方厘米（计算结果保留）． 【答案】/ 【知识点】由扇形统计图求某项的百分比、求扇形面积 【分析】本题主要考查了扇形的面积计算公式，熟练掌握扇形的面积公式是解题关键． 根据题意先求出扇形丁的圆心角，再利用扇形的面积公式计算即可求解． 【详解】解：根据题意，得：扇形丁的圆心角的度数为：， 圆的直径为厘米， 圆的半径为厘米， 扇形丁的面积为（平方厘米）． 故答案为：． 【作业9】．（24-25九年级上·山西临汾·期末）如图，点在圆上，，点为的中点，的值为________． 【答案】 【知识点】90度的圆周角所对的弦是直径、用勾股定理解三角形、半圆（直径）所对的圆周角是直角、利用弧、弦、圆心角的关系求解 【分析】本题考查了半圆或直径所对圆周角为直角，勾股定理，根据，可得是直径，根据点为的中点，可得，根据勾股定理可得，在中，运用勾股定理即可求解． 【详解】解：如图所示，连接， ∵， ∴是直径， ∴， ∵点为的中点， ∴， ∴， 在中，， 故答案为： ． 【作业10】．（25-26九年级上·江苏泰州·阶段检测）的半径为3，点到圆心的距离为2，点与的位置关系为____． 【答案】在内 【知识点】判断点与圆的位置关系 【分析】本题主要考查了点与圆的位置关系判断，点到圆心的距离小于半径，点在圆内；距离等于半径，点在圆上；距离大于半径，点在圆外．熟练掌握点与圆的位置关系判断方法是解题的关键． 通过比较点到圆心的距离与圆的半径的大小关系来判断位置． 【详解】解：∵的半径为3，点到圆心的距离为2， ∴点到圆心的距离小于半径， ∴点在内． 故答案为：在内． 【作业11】．（24-25九年级上·江苏连云港·阶段检测）直径为的中，弦，则弦所对的圆心角是_________． 【答案】 【知识点】圆的基本概念辨析、等边三角形的判定和性质 【分析】本题考查圆的基本概念，等边三角形的判定和性质，连接，根据等边三角形的性质，求出的度数即可． 【详解】解：如图，连接， ∵的直径为， ∴， ∴为等边三角形， ∴， 即弦所对的圆心角是 故答案为：． 【作业12】．（24-25九年级下·上海浦东新·阶段检测）若的半径为，一条弦分为两部分，这条弦的长度为______． 【答案】 【知识点】用勾股定理解三角形、利用弧、弦、圆心角的关系求解 【分析】本题主要考查了圆心角、弧、弦的关系，根据弦分圆周长为两部分，则分圆心角也为两部分，求出劣弧所对的圆心角，再根据等腰直角三角形的性质即可得出答案． 【详解】解：∵一条弦分为两部分， ∴这条弦所对的圆心角的度数为， ∴这条弦与两条半径构成一个等腰直角三角形， ∴这条弦的长度为． 故答案为：． 【作业13】．（23-24九年级上·河南周口·阶段检测）的边，边的长是一元二次方程的两根，则的外接圆的半径是_______． 【答案】5 【知识点】因式分解法解一元二次方程、判断三边能否构成直角三角形、求特殊三角形外接圆的半径 【分析】本题考查的是三角形的外接圆与外心，根据题意先解一元二次方程，由勾股定理得是直角三角形，且斜边长为10，进而根据直角三角形的外接圆的半径等于斜边的一边，即可求得答案． 【详解】解： ， ， 解得：， ， 是直角三角形，且斜边长为10， 直角三角形的外接圆的圆心在斜边上，且为斜边的中点， 的外接圆半径为， 故答案为：5． 【作业14】．（第二十九章 圆 高效同步练习29.3 弧长和扇形面积 第2课时 圆锥的侧面积和全面积）用半径为，圆心角为的扇形纸板，做一个圆锥形的生日帽，如图所示，在不考虑接缝的情况下，这个圆锥形生日帽的侧面积是________． 【答案】 【知识点】求圆锥侧面积 【分析】扇形半径直接作为圆锥母线，直接代入扇形面积公式，得到圆锥侧面积． 【详解】解：由题意可知，扇形纸板的半径就是圆锥的母线长，即，圆心角． ∵圆锥的侧面积等于扇形纸板的面积． ∴． 【作业15】．（2024·黑龙江大庆·二模）有一直径为4的圆形铁皮，要从中剪出一个最大圆心角为的扇形，用此剪下的扇形铁皮围成一个圆锥，该圆锥的底面圆的半径______． 【答案】 【知识点】求圆锥底面半径、求弧长、圆周角定理、解直角三角形的相关计算 【分析】本题考查了圆、扇形、圆锥、锐角三角函数等知识，熟练掌握圆的性质、扇形的性质、圆周角定理、锐角三角函数、弧长公式是解题的关键．连接，延长交于点，连接、，根据扇形性质，得，根据在同圆或等圆中，若两条弦相等，则它们所对的弧相等，可得，结合圆周角定理，得，进而得到，通过三角函数计算，求得，根据弧长公式，计算得，由此即可得解． 【详解】解：如图，连接，延长交于点，连接、， 扇形 ， ， ， 为直径， ， ， ， 由题意得：，， ， ， ， ， ， 故答案为：． 【作业16】．（22-23九年级上·江苏宿迁·阶段检测）若弦，是的两条平行弦，的半径为13，，，则，之间的距离为___________ 【答案】7或17 【知识点】用勾股定理解三角形、利用垂径定理求值 【分析】本题考查了垂径定理与勾股定理，解题的关键是分情况画出图形并作出正确的辅助线． 首先根据题意分情况进行讨论分析，然后分别画出相应的图形，再根据垂径定理和勾股定理，计算出圆心到两条弦的距离，最后根据图形即可推出间的距离． 【详解】解：连接，过点O作于点M， ∵， ∴直线，设垂足为点， ， ，， ， ∴在中，， 在中，， ①如下图：当，在圆心的两侧，则它们之间的距离为， ②如下图，如果、在圆心的同侧，则它们之间的距离为， ． 综上所述，，之间的距离为7或17． 故答案为： 7或17． 【作业17】．（24-25九年级上·江苏苏州·阶段检测）已知，如图，在中，，以腰为直径作半圆O，分别交于点D，E． (1)求证：； (2)若，求圆弧所对的圆心角的度数． 【答案】(1) 证明：连接， ∵是半的直径， ∴， ∵， ∴； (2)圆弧所对的圆心角的度数为． 【知识点】三线合一、圆周角定理 【分析】本题考查了圆周角定理，等腰三角形的性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． （1）连接，根据直径所对的圆周角是直角可得，再利用等腰三角形的三线合一性质，即可解答； （2）连接，利用，，得到，再利用圆周角定理即可解答． 【详解】（1）略 （2）解：连接， ∵，，， ∴， ∴， ∴圆弧所对的圆心角的度数为． 【作业18】．（24-25九年级上·陕西渭南·期中）如图，已知圆和弦，用直尺和圆规求作圆心O（保留作图痕迹，不写作法）． 【答案】 圆心O如图． 【知识点】确定圆心(尺规作图) 【分析】本题考查画圆心，任取一条弦，分别作和的垂直平分线，交点即为圆心． 【详解】解：略． 【作业19】．（24-25九年级上·广东广州·阶段检测）如图，是的外接圆，是的直径，点B为圆外一点，且．求证：是的切线． 【答案】 证明：如图，连接， 是的直径， ， ， ， ， ， ， 是的半径， 是的切线． 【知识点】半圆（直径）所对的圆周角是直角、证明某直线是圆的切线 【分析】本题主要考查了切线的判定，直径所对的圆周角是直角，等边对等角，三角形内角和定理，先由直径所对的圆周角是直角推出，再由等边对等角得到，结合已知条件证明，即可证明是的切线． 【详解】略 【作业20】．（24-25九年级下·广东深圳·阶段检测）图①，图②，图③均是正方形网格，每个正方形的顶点称为格点，点A，B，C均在格点上，仅用无刻度直尺；在给定网格中按要求作图（保留作图痕迹，不要求写作法）． (1)如图①，已知经过点B，画出所在圆的圆心O． (2)在图②中找格点D，使（找出一个符合条件的格点即可）． (3)在图③中，正方形网格中的圆经过格点A、B，画出该圆的圆心O． (4)如图④，是半圆的直径，点C在半圆外，请仅用无刻度的直尺画出中边上的高． 【答案】(1) 如图，点即为所求． (2) 如图，点即为所求（画出一个即可）． (3)如图， (4)如图，为所求． 【知识点】无刻度直尺作图、作已知线段的垂直平分线、圆周角定理、确定圆心(尺规作图) 【分析】（1）利用网格特点，作出的垂直平分线，两条垂直平分线的交点即为圆心； （2）根据轴对称的性质和平行四边形的性质找出格点、或作出的外接圆，根据圆周角定理找出格点即可得； （3）借助正方形网格，网格中通过特殊点连线可找到弦的垂直平分线的交点，即圆心，设过点A的网格线分别交圆于点M，N，过点B的网格线分别交圆于点P，Q，连接，，相交于点O，，得到和均为圆的直径，点O为该圆的圆心； （4）取与半圆的交点D，与半圆的交点E，连接，相交于点F，连接并延长，交于点G． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：设过点A的网格线分别交圆于点M，N，过点B的网格线分别交圆于点P，Q，连接，，相交于点O； （4）解：取与半圆的交点D，与半圆的交点E，连接，相交于点F，连接并延长，交于点G，则即为所求． 证明：∵为直径， , ∴和为的高， ∵三角形的三条高相交于一点， ∴为边上的高． 【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质，作三角形边上的高以及找圆的圆心，及轴对称的性质，平行四边形的性质，圆周角定理等知识，解题的关键是熟练掌握圆的相关性质和几何图形的基本特征，并巧妙利用网格或半圆等条件来完成作图． 2 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第12讲·圆、弧长、扇形·培优讲义 （知识梳理+典例+练习）·2026-2027学年人教版九年级数学上册 📌 思维导图 🎯 课程目标 · 理解圆的基本概念，掌握点与圆的位置关系 · 掌握圆心角、弧、弦的关系与圆周角定理 · 会用垂径定理求弦长、半径与距离 · 会计算弧长、扇形面积与圆锥的侧面积 · 能综合运用反证法与尺规作图解决圆的问题 📚 知识梳理 ☆ 1.圆的基本概念与位置关系 圆：到定点的距离等于定长的点的集合 点与圆：dr、d=r、d<r 分别对应圆外、圆上、圆内 弦、直径、弧、圆心角、圆周角等基本概念 外心：三角形三边垂直平分线的交点（外接圆圆心） 概念辨析例题：⊙O的半径为5，点P到圆心O的距离为3，则点P与⊙O的位置关系是（　　） 答案：点P在圆内 解析：d=3<r=5，点P在圆内。 ☆ 2.圆心角、弧、弦的关系与圆周角 在同圆或等圆中，圆心角相等则所对弧相等、弦相等 圆周角定理：圆周角等于它所对弧上的圆心角的一半 直径所对的圆周角是直角 同弧或等弧所对的圆周角相等 概念辨析例题：在⊙O中，∠AOB=80°，则弧AB所对的圆周角∠ACB=（　　） 答案：40° 解析：圆周角等于圆心角的一半，∠ACB=×80°=40°。 ☆ 3.垂径定理 垂直于弦的直径平分弦，且平分弦所对的两条弧 平分弦（不是直径）的直径垂直于弦 弦心距、半径、半弦构成直角三角形 r2=d2+()2（l为弦长） 概念辨析例题：⊙O的半径为5，弦AB=8，圆心O到AB的距离为（　　） 答案：3 解析：r2=d2+()2，25=d2+16，d=3。 ☆ 4.弧长与扇形面积 弧长 l= 扇形面积 S==lr 圆锥侧面展开为扇形，母线l、底面半径r：侧面积=πrl 全面积=πrl+πr2 概念辨析例题：圆心角为120°、半径为6的扇形的面积是（　　） 答案：12π 解析：S===12π。 📋 知识总结表 核心概念 定义/公式 注意事项 点与圆 dr、=r、<r 比较距离与半径 圆周角定理 圆周角=圆心角 同弧所对 直径所对圆周角 90° 直径是特殊弦 垂径定理 r2=d2+()2 垂直于弦的直径 弧长 l= n为圆心角度数 扇形面积 S= 也可S=lr 圆锥侧面积 S=πrl l为母线 ⚠️ 核心考点 【考点1】圆的基本概念与点与圆的位置关系（第1-7题） · 判断点与圆位置：比较d与r · 外心是外接圆圆心，到三顶点等距 · 结合坐标与距离公式求半径或坐标 1．（25-26九年级上·浙江杭州·阶段检测）已知点A是外一点，且，则的半径可能是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．（2026·广东深圳·二模）如图，，分别切于点A，B，若，的长为，则的半径为（   ） A．10 B．15 C．20 D．30 3．（24-25九年级上·北京朝阳·期中）图1是一个地铁站入口的双翼闸机．如图2，它的双翼展开时，双翼边缘的端点与之间的距离为，双翼的弧与弧的长都为，且与闸机侧立面夹角．当双翼收起时，可以通过闸机的物体的最大宽度为（   ） A． B． C． D． 4．（25-26九年级上·全国·课后作业）如图，在平面直角坐标系中，已知，，点在以为圆心，为半径的圆上，关于的对称点为．连接，将绕点逆时针旋转得到．连接．则的最小值是（　　） A． B． C． D． 二、填空题 5．（24-25九年级上·江苏泰州·阶段检测）若的半径为，点P到圆心的距离为，则点P与的位置关系是___． 6．（23-24九年级上·广东广州·阶段检测）在同一平面直角坐标系中有个点：，，，，． (1)画出的外接圆，则点的坐标为_________； (2)点与的位置关系为：点在________；点与的位置关系为：点在__________； (3)若在轴上有一点，满足，请直接写出点的坐标为________． 7．（26-27九年级上·全国·课后作业）在平面直角坐标系中，已知的圆心为原点，半径为5．请判断点，，与的位置关系． 【考点2】圆心角、弧、弦的关系与圆周角（第8-18题） · 圆周角=圆心角，同弧圆周角相等 · 直径所对圆周角为直角 · 由圆心角求弧的度数或由圆周角反推圆心角 8．（25-26九年级上·贵州黔西南·期末）如图，在中，点是的中点，，则的度数为（    ）． A． B． C． D． 9．（25-26九年级上·河北邢台·期末）如图，是劣弧上的一动点，与交于点．若，则的最小值为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 10．（24-25九年级上·江苏南京·期中）如图，已知点，，，都在上，，，下列说法错误的是（    ） A． B． C． D． 11．（24-25九年级上·甘肃平凉·期末）如图，点、、、在上，且劣弧，连接、、、，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 12．（2026·北京东城·一模）如图，，，是上的点，，垂足为点，且为的中点，若，则的长为______． 13．（25-26九年级上·青海西宁·期中）如图，是的直径，若，，则的长等于______． 14．（2022·江苏苏州·模拟预测）如图，的直径弦，垂足为点，，则______． 15．（25-26九年级下·全国·课后作业）如图，是的圆周角，．求的大小． 16．（23-24九年级上·浙江杭州·期中）已知：如图，是的直径，弦于点，是弧上一动点，，的延长线交于点．连接． (1)若，求的度数； (2)若，，求的长． 17．（23-24九年级上·浙江杭州·期中）已知：如图，是的直径，弦于点，是上的一点，，的延长线交于点． (1)求证：； (2)若，的度数为，求的度数． 18．（25-26九年级上·山西运城·阶段检测）如图，已知线段 (1)作使得线段为的两条弦（要求尺规作图，保留作图痕迹） (2)在（1）中的上找出点，使得点到、两点的距离相等 (3)在（2）中，若，的半径为5，求的面积． 【考点3】垂径定理（第19-24题） · 垂径定理：垂直弦的直径平分弦与弧 · 构造直角三角形用勾股定理解题 · 两条平行弦注意分情况讨论 19．（25-26九年级上·黑龙江绥化·开学考试）已知在⊙O中，半径，弦，且，，则与的距离为（     ）． A．7或17 B．7 C．7或12 D．12 20．（23-24九年级上·江苏连云港·阶段检测）若一条弦把圆分成两部分，则劣弧所对的圆心角为______． 21．（24-25九年级上·全国·单元测试）如图，点在半径长为4的上，点分别是弦，弦的中点，连接，若弧的度数为，弧的度数为，则的长度为_____________． 22．（24-25九年级上·河南驻马店·期末）如图，两个圆都是以为圆心，大圆的弦交小圆于两点． (1)求证：； (2)若，小圆的半径为5，求大圆的半径的值． 23．（24-25九年级上·江苏盐城·期中）如图，，交于点C、D，是半径，且于点F． (1)求证：； (2)若，，求的半径． 24．（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，与是的两条弦，，，垂足分别是E，F．，分别叫作弦，的弦心距． (1)若，求证：． (2)若，求证：，． (3)用语言文字把上述结论表述出来． 【考点4】三角形的外心与外接圆（第25-33题） · 外心在三条边的垂直平分线交点 · 直角三角形外心在斜边中点 · 由外接圆半径求三角形相关量 25．（25-26九年级上·北京·课后作业）已知线段，经过A，B两点作半径为的圆，这样的圆（　　） A．可作一个 B．可作两个 C．可作无数个 D．不能作出 26．（2025·广东广州·一模）如图，平面直角坐标系中，点坐标分别为．点是轴正半轴上的一点，且满足，则的外接圆的半径等于（   ） A． B． C．8 D．4 27．（24-25九年级下·辽宁阜新·阶段检测）下列关于外心的说法正确的是（   ） A．外心是三个角的平分线的交点 B．外心是三条高的交点 C．外心是三条中线的交点 D．外心是三边的垂直平分线的交点 28．（2026·内蒙古通辽·模拟预测）如图，在中，，，是斜边上的中线，以点为圆心，长为半径作弧，与的另一个交点为点．若，则扇形的面积为（     ） A． B． C． D． 29．（23-24九年级上·黑龙江佳木斯·期末）若一直角三角形外接圆的半径为2.5，则这个直角三角形的斜边长为______． 30．（24-25九年级上·浙江金华·开学考试）在中，若点O为边的中点，则必有：成立． 依据以上结论，解决如下问题：如图，在矩形中，已知，，点在以半径为2的上运动，则的最大值为_________． 31．（24-25九年级上·北京·期中）如图，已知点是直线外一点，于点，且，点B，C均在直线上，，则的最小值为_____． 32．（25-26九年级下·全国·课后作业）如图，已知的外接圆的半径为3，、分别为、的中点，，求的值． 33．（25-26九年级上·河北唐山·期末）如图1，独轮车俗称“手推车”，又名辇、鹿车等，是交通运输工具史上的一项重要发明，至今在我国农村和一些边远地区仍然广泛使用．如图2所示为从独轮车中抽象出来的几何模型．在中，，为的直径，交于点P，作，垂足为点D． (1)求证：是的切线； (2)若，请直接写出弧的长． 【考点5】圆的内接四边形（第34-39题） · 圆内接四边形对角互补 · 外角等于内对角 · 结合圆周角与圆心角关系求角度 34．（22-23九年级上·浙江宁波·开学考试）如图，已知四边形是的内接四边形，的半径为6，，则劣弧的长为（    ） A． B． C． D． 35．（24-25九年级上·全国·随堂练习）在中，点B，O，C和点A，O，D分别在同一条直线上，则图中________是弦，________是直径，________是以A为端点的劣弧，________是以A为端点的优弧．（把满足要求的答案全部填上） 36．（24-25九年级上·江苏南通·期末）如图，四边形内接于，为的直径，．点在的延长线上，若，则的度数为_____． 37．（23-24九年级上·四川泸州·阶段检测）如图，中，，，，把绕点顺时针旋转至的位置，使点的对应点落在斜边上，则图中阴影部分的面积是_______． 38．（24-25九年级上·陕西渭南·期中）如图，在中，点D、E分别在、上，连接、，、相交于点O．用反证法证明：和不可能互相平分． 39．（25-26九年级上·辽宁抚顺·阶段检测）如图1，中，．以点为旋转中心，将顺时针方向旋转，得到是点的轨迹，是点的轨迹． (1)若用扇形围成一个圆锥的侧面，求圆锥的底面圆半径； (2)如图2，求图中阴影部分的面积． 【考点6】弧长、扇形与圆锥（第40-45题） · 弧长l=，扇形面积S= · 圆锥侧面积=πrl，注意母线l与底面半径r · 展开图中扇形的弧长等于底面圆周长 40．（2026·云南·中考真题）某文创团队用环保材料制作圆锥形灯罩．若该圆锥的母线长，侧面展开图是圆心角为的扇形，则这个圆锥的侧面积为（     ） A． B． C． D． 41．（24-25九年级上·北京顺义·期末）《左传》记载，夏朝初，奚仲创造了世界上第一辆用马牵引的木质车辆．对于现代社会而言，车仍是不可缺少的重要交通工具．生活中，车轮通常的形状是圆形． 下列选项中，能说明圆形的车轮可以保证车辆平稳（不上下颠簸）行驶的是______（填写所有正确选项的序号）． ①圆是轴对称图形； ②圆的圆心到圆周上任意一点的距离相等； ③圆沿一条直线滚动，圆心始终在平行于这条直线的一条直线上； ④圆中垂直于弦的直径平分弦． 42．（23-24九年级下·全国·课后作业）将按照如图所示的方式分成面积相等的8个部分，若阴影部分的面积为2，则的面积为________． 43．（24-25九年级上·河北承德·期末）如图，在由小正方形组成的网格图中建立一个平面直角坐标系，一条圆弧经过格点，，．圆心为，则的坐标是_____． 44．（25-26九年级上·广东东莞·期末）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是1个单位长度，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为． (1)画出绕点顺时针旋转后得到的； (2)求点旋转到点的过程中线段扫过的面积（结果保留）． 45．（25-26九年级上·云南昆明·期末）文物修复师在修复破损文物时，经常通过几何推理还原其原貌．如图1，某修复师修复一件破碎的古代瓷器束口盆（盆口原貌为圆形）时，仅凭一块碎片便能推算出其原始口径尺寸．图2是修复师根据碎片切面绘制的几何示意图：碎片边缘为圆弧，设圆弧所在圆的圆心为O，半径于D，连接．已知，，求盆口半径的长度． 【考点7】反证法（第46-53题） · 反证法三步骤：否定结论→推出矛盾→肯定结论 · 第一步应假设结论不成立 · 常见几何命题：至少有一个、不能、只有一条 46．（23-24八年级上·山西临汾·期末）玲玲在用反证法证明“中至少有一个内角小于或等于”时，她应先假设这个三角形中（    ） A．有一个内角大于 B．有一个内角大于等于 C．每一个内角都大于 D．每一个内角都小于 47．（23-24八年级下·全国·单元测试）如图，已知E为直线l外一点，求证：过E点，只能有一条直线垂直于 l．用反证法证明这个命题的步骤：①在中，，这与三角形内角和为相矛盾；②假设过 E点有两条直线分别垂直l于F，G 两点；③则，；④故过E点只有一条直线垂直于l．证明步骤正确的是（   ） A．①②③④ B．②③①④ C．①③②④ D．②③④① 48．（24-25八年级下·陕西咸阳·阶段检测）用反证法证明“已知，求证：”时，第一步应假设__________． 49．（20-21八年级下·江苏无锡·期末）一般来说，反证法有如下三个步骤：（1）_____，（2）_____（3）_____． 50．（25-26八年级上·山东·课后作业）用反证法证明：若a，b，c是不全为0的有理数，且，那么a，b，c这三个数中至少有一个负数，完成下列填空： 证明：假设a，b，c都不是___________， 不全为0， 中至少有一个为正数， ________0，这与已知相___________， ∴___________，原命题成立， 即a，b，c这三个数中至少有一个负数． 51．（24-25七年级下·江苏南京·期末）用反证法证明“在中，如果，那么”时，第一步应假设______． 52．（23-24七年级下·北京·期中）能说明“如果，那么”是假命题的反例是：____，____． 53．（23-24八年级下·陕西西安·阶段检测）如图，点是等边内一点，是外一点，，，，，连接． (1)求证：是等边三角形； (2)当时，求证：是直角三角形； (3)能否为等边三角形？请说明理由． 【考点8】尺规作图与综合（第54-60题） · 作外接圆：作三边垂直平分线找外心 · 作圆心：作弦的垂直平分线 · 综合题按题意分步作图与推理 54．（2025·天津南开·三模）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，，，，，均为格点，以为直径作半圆，半圆的圆心为点． （1）半圆的半径长为______； （2）请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出圆心，在线段上画出点，使得．要求所作直线不多于5条，并简要说明点，点的位置是如何找到的（不要求证明）______ 55．（23-24九年级上·山西吕梁·期中）一次综合实践的主题为：只用一张矩形纸条和刻度尺，如何测量水杯杯口的直径？学习小组想到了如下方法：如图，将纸条拉直紧贴杯口上，纸条的上下边沿分别与杯口相交于A，B，C，D四点，利用刻度尺量得该纸条宽为，，，则该水杯杯口的直径为________． 56．（24-25九年级上·江苏镇江·期中）如图，已知中，，，，点E在射线上运动，连接，过点A，B，E三点的圆交于点F，则的最小值____． 三、解答题 57．（23-24九年级上·广西防城港·期末）如图是一位考古学家发现的一块古代车轮的碎片． (1)请你帮他找出这个车轮所在圆环的圆心并还原画出这个车轮的圆环图（尺规作图，保留作图痕迹，不用写作法）． (2)在（1）的条件下，若测量出车轮所在的圆环外径（外圆的直径）是，求车轮滚动一圈直走的路程（结果保留）． 58．（25-26九年级上·陕西商洛·阶段检测）如图，已知，请用尺规作图法，求作一，使经过三点．（保留作图痕迹，不写作法） 59．（25-26九年级上·山东菏泽·阶段检测）如图，P是的弦延长线上的一点，，，求的半径． 60．（25-26九年级下·全国·课后作业）任意画一个三角形，然后作出这个三角形的外接圆． 💯 课后巩固 复习建议 · 点与圆位置：比较d与r的大小 · 圆周角定理及其推论要灵活运用 · 垂径定理构造直角三角形解题 · 弧长扇形公式注意n、r、l的含义 · 反证法先否定结论再推出矛盾 【作业1】．（2026·江苏徐州·二模）若圆锥的底面半径为，母线长为，则这个圆锥的侧面积为（     ） A． B． C． D． 【作业2】．（24-25九年级上·湖北武汉·期末）已知的半径是，点P是外一点，则的长可能是（　　） A． B． C． D． 【作业3】．（25-26九年级上·河北·课后作业）如图，是的直径，点B是弧的中点．下列结论错误的是（　　） A．点A是弧的中点 B． C．平分 D．平分 【作业4】．（24-25九年级上·广西南宁·阶段检测）如图，为的弦，，则所对的圆心角等于（    ） A． B． C． D． 【作业5】．（2025九年级上·江苏苏州·专题练习）对于三角形的外心，下列说法正确的是（　　） A．它到三角形三边的距离相等 B．它是三角形三条高的交点 C．它一定在该三角形的内部 D．它到三角形三个顶点的距离相等 【作业6】．（2024·浙江杭州·二模）如图，折扇的骨柄长为7，折扇扇面宽度是折扇骨柄长的，折扇张开的角度为，则这把折扇扇面面积为（　　） A． B． C． D． 【作业7】．（2023·广东河源·一模）如图，为⊙O的直径，是⊙O的弦，点是上的一点，且．若，，则的长为（　　）    A． B． C． D． 【作业8】．（24-25六年级下·山东泰安·期中）如图，把一个圆分成甲，乙，丙，丁四个扇形．若圆的直径为厘米，扇形丁的面积是_____平方厘米（计算结果保留）． 【作业9】．（24-25九年级上·山西临汾·期末）如图，点在圆上，，点为的中点，的值为________． 【作业10】．（25-26九年级上·江苏泰州·阶段检测）的半径为3，点到圆心的距离为2，点与的位置关系为____． 【作业11】．（24-25九年级上·江苏连云港·阶段检测）直径为的中，弦，则弦所对的圆心角是_________． 【作业12】．（24-25九年级下·上海浦东新·阶段检测）若的半径为，一条弦分为两部分，这条弦的长度为______． 【作业13】．（23-24九年级上·河南周口·阶段检测）的边，边的长是一元二次方程的两根，则的外接圆的半径是_______． 【作业14】．（第二十九章 圆 高效同步练习29.3 弧长和扇形面积 第2课时 圆锥的侧面积和全面积）用半径为，圆心角为的扇形纸板，做一个圆锥形的生日帽，如图所示，在不考虑接缝的情况下，这个圆锥形生日帽的侧面积是________． 【作业15】．（2024·黑龙江大庆·二模）有一直径为4的圆形铁皮，要从中剪出一个最大圆心角为的扇形，用此剪下的扇形铁皮围成一个圆锥，该圆锥的底面圆的半径______． 【作业16】．（22-23九年级上·江苏宿迁·阶段检测）若弦，是的两条平行弦，的半径为13，，，则，之间的距离为___________ 【作业17】．（24-25九年级上·江苏苏州·阶段检测）已知，如图，在中，，以腰为直径作半圆O，分别交于点D，E． (1)求证：； (2)若，求圆弧所对的圆心角的度数． 【作业18】．（24-25九年级上·陕西渭南·期中）如图，已知圆和弦，用直尺和圆规求作圆心O（保留作图痕迹，不写作法）． 【作业19】．（24-25九年级上·广东广州·阶段检测）如图，是的外接圆，是的直径，点B为圆外一点，且．求证：是的切线． 【作业20】．（24-25九年级下·广东深圳·阶段检测）图①，图②，图③均是正方形网格，每个正方形的顶点称为格点，点A，B，C均在格点上，仅用无刻度直尺；在给定网格中按要求作图（保留作图痕迹，不要求写作法）． (1)如图①，已知经过点B，画出所在圆的圆心O． (2)在图②中找格点D，使（找出一个符合条件的格点即可）． (3)在图③中，正方形网格中的圆经过格点A、B，画出该圆的圆心O． (4)如图④，是半圆的直径，点C在半圆外，请仅用无刻度的直尺画出中边上的高． 2 1 学科网（北京）股份有限公司 $