第8讲·实际问题与二次函数·培优讲义（知识梳理+典例+练习）·2026-2027学年人教版九年级数学上册

第8讲·实际问题与二次函数·培优讲义 （知识梳理+典例+练习）·2026-2027学年人教版九年级数学上册 📌 思维导图 🎯 课程目标 · 能建立二次函数模型解决利润、销售类最值问题 · 会用二次函数求面积（篱笆、围墙、矩形等）的最大值 · 能解抛球、铅球、足球等运动抛物线问题 · 能解拱桥、隧道、大门等抛物线形建筑物问题 · 能把增长率、刹车等实际问题转化为二次函数求解 📚 知识梳理 ☆ 1.利润与销售问题 利润=单件利润×销售量，单件利润=售价-进价 设降价（涨价）x元，售价、销量都随x变化，写出利润函数 利润函数为二次函数，用顶点坐标求最大利润 注意x的取值范围：降价不亏本、销量非负等实际约束 概念辨析例题：某商品进价每件40元，售价每件60元，每天可售100件；若每降价1元，每天多售10件，则每天利润的最大值是（　　） 答案：2250元 解析：设降价x元，利润y=(20-x)(100+10x)=-10x2+100x+2000，顶点x=5时y最大=2250元。 ☆ 2.面积与图形问题 靠墙围矩形：三边用篱笆，另一边靠墙，设垂直墙的边为x，则平行墙边=总长-2x 面积=长×宽，写成二次函数求最大值 在三角形、正方形中裁矩形：用相似比表示矩形边长 注意自变量x的实际范围（0<x<墙长等） 概念辨析例题：用总长60m的篱笆一边靠墙围矩形菜园，墙长30m，则菜园面积最大为（　　） 答案：450m2 解析：设垂直于墙的边x，平行墙边60-2x，S=x(60-2x)=-2x2+60x，顶点x=15时S最大=450。 ☆ 3.运动抛物线问题 抛球、铅球、足球等轨迹是抛物线，高度y是水平距离x的二次函数 求落地点：令y=0解方程（取正根） 求最大高度：求顶点纵坐标 注意单位换算与坐标系（顶点、过点）设解析式 概念辨析例题：铅球轨迹y=-x2+x+，则铅球落地点距出手点的水平距离为（　　） 答案：10m 解析：令y=0：-x2+x+=0，即x2-8x-20=0，解得x=10（正根），水平距离10m。 ☆ 4.拱桥与建筑物问题 抛物线形拱桥、隧道、大门：以水面（地面）为x轴、对称轴为y轴建系 由已知点（顶点、跨度、拱高等）设解析式 求水面宽度：令y=拱顶高度求交点横坐标 判断物体能否通过：比较给定高度处的宽度或给定宽度的最大高度 概念辨析例题：抛物线拱桥，拱顶离水面2m，水面宽4m，则水面下降1m后水面宽度为（　　） 答案：2 m 解析：以拱顶为原点建系，抛物线y=-x2（过(2,-2)），水面下降1m即y=-3，-x2=-3，x=±，宽度2。 📋 知识总结表 核心概念 定义/公式 注意事项 利润函数 利润=(售价-进价)×销量 注意x取值范围 面积函数 面积=长×宽 靠墙边不围篱笆 抛物线顶点 (-, ) 求最大值用顶点 落地点 令y=0 取正根 拱桥宽度 令y=给定值 对称取交点 建系设式 顶点式/一般式 按已知点选择 ⚠️ 核心考点 【考点1】利润与销售问题（第1-8题） · 设降价（涨价）x，写出售价、销量关于x的表达式 · 利润=单件利润×销量，配成顶点式求最大利润 · 验证x在取值范围内，取整处理销量为整数 1．（25-26九年级上·山西长治·期末）2025年全国大学生航模总决赛于10月举行，多支大学生代表队参加．投掷比赛时，某代表队的飞机模型在距离地面a米处投掷沙包，掷出的沙包距离地面的高度y（单位：米）与下落时间x（单位：秒）之间满足．当下落时间时，，则当沙包落地时，下落时间x的值为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 2．（23-24九年级上·甘肃天水·期末）某商场将每件进价为80元的商品按每件100元出售，一天可售出128件．经过市场调查，发现这种商品的销售单价每降低1元，其日销售量可增加8件．设该商品每件降价元，商场一天可通过商品获得利润元． (1)求与之间的函数解析式（不必写出自变量的取值范围） (2)商品销售单价为多少时，该商场通过商品所获利润最大？ 3．（24-25九年级上·辽宁沈阳·期末）某超市销售一种商品，成本价为元千克，经市场调查，每天销售量千克与销售单价元千克之间的关系如图所示，假设每千克售价不能低于元，且不高于元． (1)求与之间的函数关系式，并直接写出自变量的取值范围； (2)若每天的总利润为元，求出关于的函数关系式，并求出当销售单价定为多少元时，该超市每天的利润最大？最大利润是多少元？ 4．（2024·甘肃天水·三模） 一家商店于春节后购进了一批新款春装，从销售中记录发现，平均每天可售出件，每件盈利元为把握换季营销，商店决定采取适当的降价活动，以扩大销售量，增加盈利市场调研认为，若每件降价元，则平均每天就可多售出2件． (1)若活动期间平均每天的销售量为件，求每件春装盈利是多少元？ (2)要想平均每天销售这款春装能盈利元，又能尽量减少库存，那么每件应降价多少元？ (3)平均每天销售这款春装盈利的最大值是多少元？ 5．（26-27九年级上·河南郑州·开学考试）某校九年级开展了“手工文创作品制作·模拟营销”的项目式学习活动． 市场调查选取两类作品：原木小件（记作A品）、滴胶花艺（记作B品）．收集到如下信息： 信息1：制作一件A品比一件B品的成本高2元，用120元制作A品的件数与用80元制作B品的件数相等． 信息2：当A品售价为18元/件时，其销量为220件，售价每涨1元，销量减少10件；B品售价固定为16元/件． 信息3：根据市场需求，制作并销售A品和B品共300件． 成本核算 (1)分别求制作一件A品和一件B品的成本． 模型建立 (2)设销售A品和B品的总利润为元，A品涨价后的售价为元/件，则每件A品的利润为_______元，A品的销量为_________件，每件B品的利润为______元，B品的销量为______件，求总利润关于A品涨价后的售价的函数解析式． 方案设计 (3)若，当总利润最大时，请设计A品和B品的数量分配方案． 6．（25-26九年级上·福建漳州·阶段检测）月日，中央广播电视总台发布年春晚的主题为——“骐骥驰骋 势不可挡”．《楚辞•离骚》中写道：“乘骐骥以驰骋兮，来吾道夫先路．”“骐骥”是古人对骏马、千里马的雅称，凝聚着中华民族开拓进取、驰而不息的精神品格；又音同“奇迹”，传递出创造奇迹的决心和一往无前的信心，饱含对新时代新征程满怀期冀的美好愿景．春节来临之际，商场推出一款“2026势骋”卡片（如图）深受大家喜爱，卡片进价元，规定销售单价不低于元，且不高于元．某商户在销售期间发现，当销售单价定为元时，每天可售出个，销售单价每上涨元，每天销量减少个，现商家决定提价销售，设每天销售量为个，销售单价为元． (1)直接写出与之间的函数关系式和自变量的取值范围； (2)将卡片的销售单价定为多少元时，商家每天销售玩具获得的利润元最大？最大利润是多少元？ (3)该商户从每天的利润中捐出元做慈善，为了保证捐款后每天剩余利润不低于元，求销售单价的范围． 7．（23-24九年级上·广西来宾·期中）直播购物逐渐走进了人们的生活．某电商在网络平台上对一款成本价为每件40元的商品进行直播销售，如果按每件60元销售，每天可卖出20件．通过市场调查发现，每件商品的售价每降低1元，日销售量增加2件． (1)若每件售价定为x元，求日销售量y； (2)若日利润保持不变，商家想尽快销售完该款商品，则每件售价应定为多少元？ (3)小明的线下实体商店也销售同款商品，为提高市场竞争力，促进线下销售，小明决定对该商品实行降价销售，为了日利润达到最大值，则该商品每件售价应定为多少元？ 8．（26-27九年级上·辽宁大连·阶段检测）某电子厂商投产一种新型电子产品，每件制造成本为18元，试销过程中发现，每月销售量y（万件）与销售单价x（元）之间的关系可以近似地看作一次函数，（单件利润=售价-制造成本） (1)写出每月的利润w（万元）与销售单价x（元）之间的函数关系式； (2)当销售单价为多少元时，厂商每月获得的利润为440万元？ (3)根据相关部门规定，这种电子产品的销售单价不能高于40元，如果厂商每月的制造成本不超过540万元，那么当销售单价为多少元时，厂商每月获得的利润最大？最大利润为多少万元？ 【考点2】面积与图形问题（第9-16题） · 设自变量表示长和宽，S=长×宽 · 顶点处取最大面积，注意墙长限制 · 三角形内裁矩形用相似比表示边长 9．（24-25九年级上·河北石家庄·期末）如图，某建筑队在一边靠墙处，计划用15米长的铁栅栏围成一个长方形仓库，仓库总面积为平方米，在平行于墙的一边留下一个1米宽的缺口作小门，若设米，则关于的函数关系式为（    ） A． B． C． D． 10．（2024·天津西青·一模）如图，某劳动小组借助一个直角墙角围成一个矩形劳动基地，墙角两边和足够长，用总长的篱笆围成另外两边和．有下列结论： ①当的长是时，劳动基地的面积是； ②的长有两个不同的值满足劳动基地的面积为； ③点处有一棵树（树的粗细忽略不计），它到墙的距离是，到墙的距离是，如果这棵树需在劳动基地内部（包括边界），那么劳动基地面积的最大值是，最小值是． 其中，正确结论的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 11．（25-26九年级上·山东日照·阶段检测）如图，一块材料的形状是锐角三角形，边，高，把它加工成矩形零件如图，使矩形的一边在上，其余两个顶点分别在上．已知，，则____________（用含有的代数式表示）；当矩形面积最大时，____________． 12．（2025·广东·模拟预测）小周要在一块三角形钢板中裁出一个矩形，裁剪方案如图所示，顶点、在边上，顶点，分别在边、上，已知，，，则当矩形的面积最大时， ______． 13．（23-24九年级上·江苏宿迁·阶段检测）如图，空地上有一堵墙，某人利用墙和木栏围成一个矩形菜园．已知矩形菜园的一边靠墙，另三边一共用了100米木栏．设矩形的宽为x，写出矩形菜园的面积与x（m）之间的函数表达式． 14．（25-26九年级上·广东广州·阶段检测）设矩形窗户的周长为，窗户面积为． (1)求S与窗户一边长x之间的函数关系式； (2)当时，求窗户的面积． 15．（2025九年级上·全国·专题练习）如图，一块矩形土地由篱笆围着，并且由一条与边平行的篱笆分开．已知篱笆的总长为（篱笆的厚度忽略不计），当，的长分别是多少时，矩形土地的面积最大？最大面积是多少？ 【考点3】运动抛物线（第17-33题） · 建系设解析式：顶点、过点代入 · 落地（出手）距离：令y=0求正根 · 最大高度：顶点纵坐标 16．（24-25九年级上·山东济宁·阶段检测）一名男同学推铅球时，铅球行进中离地的高度()与水平距离之间的关系是 ，那么铅球推出后落地时距出手地的距离是（     ） A．米 B．米 C．米 D．米 17．（25-26九年级上·湖北荆门·期中）如图，一名男生推铅球，铅球行进高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）之间的关系是，则他将铅球推出的距离为（　　） A． B． C． D． 18．（24-25九年级上·云南昭通·期中）从地面竖直向上抛出一小球，根据物理学规律，小球的高度h（单位：m）与小球的运动时间t（单位：s）之间的关系式是，则小球运动中的最大高度是（   ） A． B． C． D． 19．（24-25九年级上·广东珠海·期中）从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度（单位：）与小球的运动时间（单位：）之间的关系式是，则小球从抛出到落地所需要的时间是（   ） A． B． C． D． 20．（24-25九年级上·河南鹤壁·阶段检测）以初速度竖直上抛的物体的高度和时间满足关系式（为重力加速度，），爆竹在地面点燃后以初速度米/秒上升，经过（   ）秒爆竹离地面米? A． B． C． D．或 21．（25-26九年级上·北京平谷·期末）掷实心球是中考体育考试项目之一，如图是一名男生投实心球情境，实心球行进路线是一条抛物线，行进高度与水平距离之间的函数关系如图所示．掷出时起点处高度为．当水平距离为时，实心球行进至最高点处．则该男生此次掷实心球的成绩是（　　） A． B． C． D． 22．（24-25九年级上·山西阳泉·期中）如图，这是某运动员在单板滑雪大跳台中的高度与运动时间的运动路线图的一部分，运动员起跳后的运动路线可以近似地看作抛物线的一部分，其中线段表示跳台的高度，，为该运动员在空中到达的最大高度，若该运动员运动到空中点Q时，点Q的坐标为，则该运动员在空中到达的最大高度的长为（    ） A． B． C． D． 23．（25-26九年级上·湖北武汉·阶段检测）如图1，在矩形中，点以速度从点出发沿匀速运动，同时点从点出发，速度为，依次沿，两边匀速运动，点运动到点时，、两点同时停止运动．连接，设点运动的时间为，的面积为，关于的部分函数图象如图2所示，其中是曲线的最高点，为线段．则点的纵坐标是（   ） A． B． C． D．11 24．（23-24九年级上·四川绵阳·阶段检测）在一次实心球的测试中，李聪明同学掷实心球时实心球行进的高度(单位：米)与水平距离(单位：米)之间的关系式是，李聪明同学这次掷实心球的距离为______米． 25．（24-25九年级上·湖北襄阳·期中）从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度（米）与小球的运动时间（秒）之间的关系式是，运动2秒时，小球的高度是_______米． 26．（25-26九年级下·四川成都·阶段检测）为了让初三学子以更好的状态迎接体考，川大附中在3.20号安排了针对性模拟．小明参加了跳远测试，可以用二次函数描述他在某次跳跃时重心高度的变化(如图)，若重心高度与起跳后时间的函数表达式为，当时，所对应的重心高度分别记为，则的大小关系为__________．(用“”连接) 27．（24-25九年级下·辽宁铁岭·阶段检测）如图，等腰中，是上一动点，连接，将绕点逆时针旋转得到，连接，当的面积最大值时，的值是_______． 28．（24-25九年级上·河南洛阳·期中）足球训练中，球射向球门的路线呈抛物线，球员从距离球门底部中心点正前方9米的处射门，当球飞行的水平距离为7米时，球达到最高点，此时球离地面3米，建立如图所示的平面直角坐标系． (1)求抛物线的函数表达式； (2)已知球门高为米，通过计算判断足球能否射进球门？（忽略其他因素） 29．（24-25九年级下·江西抚州·期中）某数学兴趣小组进行项目式学习成果的展示，他们利用“杠杆原理”制作出一种投石机，如图，为检验投石机的性能，进行如下操作：将石头用投石机从处投出，石头的运动轨迹是抛物线的一部分，最终石头落在斜坡上的点C处，以水平地面为轴，为轴建立平面直角坐标系如图．已知抛物线的函数表达式为，直线的函数表达式为，米，点为抛物线的顶点，过点作轴于点，点到轴的水平距离米． (1)请求出抛物线的函数表达式； (2)求点的坐标． (3)点是点左侧抛物线上一点，过点作轴交坡面于点，若石头运动到点时到坡面的铅直高度为米，求此时石头（点）到轴的距离． 30．（25-26九年级上·四川泸州·期中）如图是足球守门员在O处开出一记手抛高球后足球在空中运动到落地的过程，它是一条经过A，M，C三点的抛物线．其中A点离地面2米，M点是足球运动过程中的最高点，离地面米，离守门员的水平距离为4米，点C是球落地时的第一点．求足球第一次落地点C距守门员的水平距离． 31．（23-24九年级上·山东青岛·期末）小林同学是一名羽毛球运动爱好者，下面是他对击球线路的分析．如图，在平面直角坐标系中，点A，C在x轴上，球网AB与y轴的水平距离，，米，击球点P在y轴上．若选择扣球，羽毛球的飞行高度与水平距离近似满足一次函数关系；若选择吊球，羽毛球的飞行高度与水平距离近似满足二次函数关系，此时当羽毛球飞行的水平距离是1米时，达到最大高度3.2米． (1)求吊球时羽毛球满足的二次函数的表达式； (2)请通过计算说明两种击球方式是否过网； (3)要使球的落地点到C点的距离更近，请通过计算判断应该选择哪种击球方式． 32．（26-27九年级上·湖北荆门·阶段检测）某排球运动员在原点处训练发球，为球网，为球场护栏，且，均与地面垂直，球场的边界为点，排球（看作点）从点的正上方点处发出，排球经过的路径是抛物线的一部分，其最高点为，落地点为点，以点为原点，点，，，，所在的同一直线为轴建立平面直角坐标系，相应点的坐标如图所示，点的坐标为（单位：米，图中所有的点均在同一平面内）． (1)求抛物线的函数表达式； (2)通过计算判断发出后的排球能否越过球网？是否会出界？ (3)由于运动员作出调整改变了发球点的位置，使得排球在点落地后立刻弹起，又形成了一条与形状相同的抛物线，且最大高度为米．若排球沿下落时（包含最高点）能砸到球场护栏，直接写出的范围． 【考点4】拱桥与建筑物（第34-40题） · 以对称轴建系，设顶点式 · 由跨度、拱高求解析式 · 求水面宽度、判断通过性 33．（23-24九年级上·湖北武汉·阶段检测）如图是抛物线型拱桥，当拱顶离水面时，水面宽，当水面宽度为时，拱顶离水面___________．      34．（25-26九年级上·湖北宜昌·阶段检测）如图所示，某建筑物有一抛物线形的大门，小强想知道这道门的高度，他先测出门的宽度，然后用一根长为的小竹竿竖直的接触地面和门的内壁，并测得，则门高为______． 35．（24-25九年级上·广西南宁·开学考试）如图所示，桥拱是抛物线形，其函数解析式是 当水位线在位置时，水面宽为 18米，这时水面离桥顶的高度h是________米． 36．（25-26九年级上·甘肃平凉·阶段检测）卢沟桥如图①，“卢沟晓月”是著名的北京八景之一，古时乾隆皇帝曾在秋日路过卢沟桥，赋诗“半钩留照三秋淡，一蝀分波夹镜明”于此，并题“卢沟晓月”，立碑于桥头．卢沟桥主桥拱可以近似看作抛物线，桥拱在水面的跨度约为24米，若按如图②所示方式建立平面直角坐标系，则主桥拱所在抛物线可以表示为，则主桥拱最高点到水中倒影的距离为_____米． 37．（23-24九年级上·广东广州·阶段检测）如图1是某公园一座抛物线型拱桥，按如图所示建立坐标系，得到函数，在正常水位时水面宽米，当水位上升5米时，则水面宽______米    38．（23-24九年级上·重庆铜梁·阶段检测）如图，图（1）是一个横断面为抛物线形状的拱桥，当水面在l时，拱顶（拱桥洞的最高点）离水面，水面宽，如图（2）建立平面直角坐标系，当水面下降时，水面宽增加____． 39．（25-26九年级下·内蒙古通辽·阶段检测）一条河上横跨着一座宏伟壮观的悬索桥．桥梁的缆索与缆索均呈抛物线型，桥塔与桥塔均垂直于桥面，如图所示，以O为原点，以直线为x轴，以桥塔所在直线为y轴，建立平面直角坐标系．已知：缆索所在抛物线与缆索所在抛物线关于y轴对称，桥塔与桥塔之间的距离，，缆索的最低点P到的距离．（桥塔的粗细忽略不计） (1)直接写出A，B，C的坐标； (2)求缆索所在抛物线的函数解析式； (3)点E在缆索，，且，，求的长． 【考点5】增长率与其他实际（第41-48题） · 增长率问题：两年后=原值(1±x)2 · 刹车、体积等物理规律按给定函数式代入 · 分段理解题意，找对应函数关系 40．（2025·广西南宁·一模）某专业户计划投资种植茶树及果树，根据市场调查与预测，种植茶树的利润（万元）与投资量（万元）成正比例关系，如图所示：种植果树的利润（万元）与投资量（万元）成二次函数关系，如图所示如果这位专业户投入种植茶树及果树资金共万元，则他能获取的最大总利润是（    ） A． B． C． D． 41．（25-26九年级上·全国·课后作业）最新报告显示，2023年全球金属增材制造市场的总收入达到了亿美元．若2025年的市场规模为y亿美元，平均每年的增长率为x，则y关于x的函数解析式为（    ） A． B． C． D． 42．（24-25九年级上·湖北襄阳·期中）标准大气压下，质量一定的水的体积 与温度之间的关系满足二次函数 ，则当温度为时，水的体积为__． 43．（25-26九年级上·安徽安庆·期中）一台机器原价为万元，如果每年价格的下降率为，两年后这台机器的价格为万元，则关于的函数关系式为__________． 44．（2025·湖南张家界·一模）在泡菜腌制的过程中，亚硝酸盐的含量会随着时间的推移而发生变化．一般来说，腌制初期亚硝酸盐含量较低，到达一个峰值后又逐渐下降．这个变化曲线近似于抛物线．假设腌制时间（单位：天）与亚硝酸盐含量（单位：毫克/千克）之间的关系可以用函数来表示，其中是腌制时间，是对应的亚硝酸盐含量．根据实验数据，我们得到以下结论： ①腌制开始（第天）时，亚硝酸盐含量为毫克/千克； ②腌制第天时，亚硝酸盐含量达到毫克/千克； ③腌制第天时，亚硝酸盐含量达到毫克/千克． 因此，泡菜腌制过程中第_____天亚硝酸盐含量最高． 45．（2025九年级上·福建厦门·专题练习）某航空公司对某型号飞机进行着陆后的滑行测试．飞机着陆后滑行的距离s（单位：m）关于滑行的时间t（单位：s）的函数解析式是，则飞机的滑行时长是______；飞机滑行的最远距离是______． 46．（26-27九年级上·福建福州·阶段检测）发射一枚炮弹，经秒后的高度为米，且时间与高度的关系为．若此炮弹在第7秒与第15秒时的高度相等，则第_____秒时，炮弹位置达到最高． 47．（23-24九年级上·云南昭通·期中）昭通市彝良县小草坝镇是乌天麻原产地，近段时间，天麻陆续上市．某公司推出一款成本为70元的天麻特产礼盒，当每盒售价为120元时，每周可销售300盒．为增大市场占有率，在保证盈利的情况下，公司采取降价措施，根据市场调查发现，每盒每降低1元，每周销量可增加10盒． (1)写出公司每周的利润W元与降价x元之间的函数关系； (2)当降价多少元时，公司每周的利润最大，最大为多少元？ (3)若公司每周的利润要达到15960元，并最大限度让利于民，则定价应为多少元？ 【考点6】几何综合与最值（第49-52题） · 几何图形中设变量，用勾股、相似列函数 · 把面积、距离等写成二次函数求最值 · 注意图形限制的x范围 48．（23-24八年级下·山东济宁·期末）直线与x轴、y轴分别交于点A， B， 点C在线段上，过点C作x轴的垂线，垂足为D．E是线段上一动点(不与点A，B，C重合)，过点E作x轴的垂线，垂足为F，连接．若点 C的横坐标为， 则与的大小关系是（    ） A． B． C． D． 49．（21-22九年级下·山西·阶段检测）水上乐园是主题公园的一种，多数娱乐设施与水有关，常见的设施有：水滑梯、造浪设备、漂流河、滑板等．如图1，是水滑梯项目中的一段滑道，滑道路线可以看作是抛物线的一部分，小强从这段滑道的最高处下滑，其路线如图2所示，当他在水平方向滑行了时，下滑到最低点C处，即点C的坐标为，由于惯性再滑动一段后到达点B，从点B处落入水中．若点B的坐标为，则小强下滑前的竖直高度（即的长）为（     ） A． B． C． D． 50．（2025·安徽合肥·二模）如图，在中，，，，以3为边长的正方形的一边在直线上，且点与点重合，现将正方形沿的方向以每秒1个单位长度的速度向右匀速运动，当点与点重合时，停止运动．设在这个运动过程中，运动时间为秒，正方形与的重合部分的面积为，则与之间的函数关系图象大致是（   ） A． B． C． D． 51．（26-27九年级上·湖北荆门·阶段检测）一块三角形材料如图所示，，，，用这块材料剪出一个矩形，其中，点D，E，F分别在，，上，要使剪出的矩形面积最大，的长为（     ） A．2 B． C． D．4.5 52．（2025·山东菏泽·一模）科学家为了推测最适合某种珍奇植物生长的温度，将这种植物分别放在不同温度的环境中，经过一定时间后，测试出这种植物高度的增长情况，部分数据如下表：科学家经过猜想、推测出l与t之间是二次函数关系．由此可以推测最适合这种植物生长的温度为__________． 温度t/ 0 1 4 植物高度增长量 41 49 49 46 25 💯 课后巩固 复习建议 · 利润问题设变量写单件利润与销量，配顶点求最大 · 面积问题注意靠墙不围篱笆、墙长限制 · 运动抛物线令y=0求落地，顶点求最大高度 · 拱桥以对称轴建系设顶点式，求宽度与通过性 · 实际问题先明确x的取值范围再求最值 【作业1】．（23-24九年级上·内蒙古赤峰·期中）某商品的销售利润与销售单价存在二次函数关系，且二次项系数，当商品单价为160元和200元时，能获得同样多的利润，要使商品的销售利润最大，销售单价应定为______元． 【作业2】．（19-20九年级上·河北石家庄·期末）如图，一边靠墙（墙有足够长），其它三边用长的篱笆围成一个矩形（）花园，这个花园的最大面积是（    ）    A． B． C． D．以上都不对 【作业3】．（24-25九年级上·河北秦皇岛·期中）在体育训练中嘉淇掷出的实心球的运动路线呈如图所示的抛物线形，若实心球飞行的高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）之间的函数关系是，则嘉淇此次掷球的初始高度和掷球的成绩（即的长度）分别是（   ） A．， B．， C．， D．， 【作业4】．（25-26九年级上·浙江·单元复习）位于我市平远中行镇的秉虹桥，始建于明朝嘉靖年间，是赣粤盐米古道上一颗璀璨的明珠，它是形状大小相同的双孔石拱桥，每个孔内侧呈抛物线型，如图1，当一个孔的水面宽度为10米时，则拱顶离水面的高度为5米，若以一个孔的拱顶为坐标原点，桥面为x轴（不考虑拱部顶端的厚度），竖直向上为y轴正方向建立直角坐标系如图2，可计算出当一个孔的水面宽度为12米时，则拱顶离水面的高度为（    ）米． A．7.2 B．6.5 C．5.6 D．6 【作业5】．（22-23九年级上·河南漯河·阶段检测）国家决定对某药品价格分两次降价，若设平均每次降价的百分率为，该药品原价为元，降价后的价格为元，则与的函数关系式为（    ） A． B． C． D． 【作业6】．（24-25九年级上·吉林·期中）火炮发明于中国，是指利用机械能、化学能(火药)、电磁能等能源抛射弹丸，射程超过单兵武器射程，由炮身和炮架两大部分组成的武器.在某次训练中，向上发射一枚炮弹，经x秒后的高度为y米，且y与x的关系式为 若此炮弹在第6秒和第14秒时的高度相等，则此炮弹飞行第__________秒时的高度是最高的. 【作业7】．（23-24九年级上·四川南充·期中）如图，四边形中的两条对角线，互相垂直，，当长为______时，四边形的面积最大．    【作业8】．（25-26九年级上·天津·阶段检测）如图所示的公路隧道其截面为抛物线型，线段表示水平的路面，以为坐标原点，所在直线为轴，以过点垂直于轴的直线为轴，建立平面直角坐标系．若，抛物线的顶点到的距离为，则抛物线对应的函数表达式为______． 【作业9】．（25-26九年级上·浙江温州·期中）某商场开展了家电惠民补贴活动，其中9月份投入资金20万元，设平均每月投入资金的增长率为x（），11月份的投入资金为y万元，则可列y关于x的函数表达式为______． 【作业10】．（2025·青海西宁·一模）某车刹车距离与开始刹车时的速度之间的函数关系式为，这辆汽车以的速度行驶，在前方处停放一辆故障车，此时刹车___________有危险（填“会”或“不会”）． 【作业11】．（23-24九年级下·湖南长沙·期中）“一河诗画，满城烟花”，每逢过年过节，人们会在美丽的浏阳河边上手持网红烟花加特林进行燃放，当发射角度与水平面成45度角时，烟花在空中的高度（米）与水平距离（米）接近于抛物线，烟花可以达到的最大高度是________米． 【作业12】．（26-27九年级上·福建厦门·阶段检测）飞机着陆后滑行的距离（单位：米）关于滑行的时间（单位：秒）的函数解析式是，则飞机着陆后从开始滑行到完全停止所用的时间是_____秒． 【作业13】．（24-25九年级上·江苏盐城·阶段检测）某公司在甲、乙两地同时销售某种品牌的汽车．已知在甲、乙两地的销售利润(万元)与销售量(辆)之间分别满足、．若该公司在甲、乙两地共销售辆该品牌的汽车，则能获得的最大利润为______万元． 【作业14】．（24-25九年级上·广东广州·阶段检测）如图，某校劳动实践基地用总长为的栅栏，围成一块一边靠墙的矩形实验田，墙长为．栅栏在安装过程中不重叠、无损耗，设矩形实验田与墙垂直的一边长为（单位：），与墙平行的一边长为（单位：m），面积为（单位：）． (1)直接写出与，与之间的函数解析式； (2)求矩形实验田的面积的最大值和此时的值． 【作业15】．（23-24八年级下·浙江杭州·期末）把一个足球垂直地面向上踢，（秒）后该足球的高度（米）适用公式 (1)经多少秒后足球回到地面？ (2)经多少秒时球的高度为15米？ (3)当达到最高时，求的值． 【作业16】．（25-26九年级上·广东惠州·期末）如图是抛物线形的拱桥，水面米，拱顶C离水面2米． (1)求抛物线的解析式． (2)若水面下降1米，则水面的宽度是多少米？ 【作业17】．（23-24九年级上·浙江杭州·阶段检测）大型客机是我国首次按照国际通行适航标准自行研制，具有自主知识产权的喷气式干线客机，如图在某次大型客机过水门仪式中，两条水柱从两辆消防车、中斜向上射出，形似抛物线，以两车所连水平直线的中点为坐标原点，平行于的直线为轴，建立如图所示的平面直角坐标系，其函数关系式为，当两辆消防车喷射口位置的水平距离为米时，“水门”最高点距离喷射口的竖直高度为______米 【作业18】．（24-25九年级下·贵州贵阳·阶段检测）体育公园的圆形喷水池的中央竖直安装了一个柱形喷水装置，A处为喷头向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下（如图①）．如图②，曲线表示的是落点B离点O最远的一条水流，水流喷出的高度y（m）与水平距离x（m）之间的表达式是，求圆形水池的半径至少为多少米时，才能使喷出的水流不至于落在池外． 2 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第8讲·实际问题与二次函数·培优讲义 （知识梳理+典例+练习）·2026-2027学年人教版九年级数学上册 参考答案与试题解析 📌 思维导图 🎯 课程目标 · 能建立二次函数模型解决利润、销售类最值问题 · 会用二次函数求面积（篱笆、围墙、矩形等）的最大值 · 能解抛球、铅球、足球等运动抛物线问题 · 能解拱桥、隧道、大门等抛物线形建筑物问题 · 能把增长率、刹车等实际问题转化为二次函数求解 📚 知识梳理 ☆ 1.利润与销售问题 利润=单件利润×销售量，单件利润=售价-进价 设降价（涨价）x元，售价、销量都随x变化，写出利润函数 利润函数为二次函数，用顶点坐标求最大利润 注意x的取值范围：降价不亏本、销量非负等实际约束 概念辨析例题：某商品进价每件40元，售价每件60元，每天可售100件；若每降价1元，每天多售10件，则每天利润的最大值是（　　） 答案：2250元 解析：设降价x元，利润y=(20-x)(100+10x)=-10x2+100x+2000，顶点x=5时y最大=2250元。 ☆ 2.面积与图形问题 靠墙围矩形：三边用篱笆，另一边靠墙，设垂直墙的边为x，则平行墙边=总长-2x 面积=长×宽，写成二次函数求最大值 在三角形、正方形中裁矩形：用相似比表示矩形边长 注意自变量x的实际范围（0<x<墙长等） 概念辨析例题：用总长60m的篱笆一边靠墙围矩形菜园，墙长30m，则菜园面积最大为（　　） 答案：450m2 解析：设垂直于墙的边x，平行墙边60-2x，S=x(60-2x)=-2x2+60x，顶点x=15时S最大=450。 ☆ 3.运动抛物线问题 抛球、铅球、足球等轨迹是抛物线，高度y是水平距离x的二次函数 求落地点：令y=0解方程（取正根） 求最大高度：求顶点纵坐标 注意单位换算与坐标系（顶点、过点）设解析式 概念辨析例题：铅球轨迹y=-x2+x+，则铅球落地点距出手点的水平距离为（　　） 答案：10m 解析：令y=0：-x2+x+=0，即x2-8x-20=0，解得x=10（正根），水平距离10m。 ☆ 4.拱桥与建筑物问题 抛物线形拱桥、隧道、大门：以水面（地面）为x轴、对称轴为y轴建系 由已知点（顶点、跨度、拱高等）设解析式 求水面宽度：令y=拱顶高度求交点横坐标 判断物体能否通过：比较给定高度处的宽度或给定宽度的最大高度 概念辨析例题：抛物线拱桥，拱顶离水面2m，水面宽4m，则水面下降1m后水面宽度为（　　） 答案：2 m 解析：以拱顶为原点建系，抛物线y=-x2（过(2,-2)），水面下降1m即y=-3，-x2=-3，x=±，宽度2。 📋 知识总结表 核心概念 定义/公式 注意事项 利润函数 利润=(售价-进价)×销量 注意x取值范围 面积函数 面积=长×宽 靠墙边不围篱笆 抛物线顶点 (-, ) 求最大值用顶点 落地点 令y=0 取正根 拱桥宽度 令y=给定值 对称取交点 建系设式 顶点式/一般式 按已知点选择 ⚠️ 核心考点 【考点1】利润与销售问题（第1-8题） · 设降价（涨价）x，写出售价、销量关于x的表达式 · 利润=单件利润×销量，配成顶点式求最大利润 · 验证x在取值范围内，取整处理销量为整数 1．（25-26九年级上·山西长治·期末）2025年全国大学生航模总决赛于10月举行，多支大学生代表队参加．投掷比赛时，某代表队的飞机模型在距离地面a米处投掷沙包，掷出的沙包距离地面的高度y（单位：米）与下落时间x（单位：秒）之间满足．当下落时间时，，则当沙包落地时，下落时间x的值为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【知识点】投球问题(实际问题与二次函数) 【分析】本题考查了二次函数的应用，根据给定条件代入 求出 a的值，再令，解方程求出 x的值即可． 【详解】解：∵，且当时，， ∴， ∴， ∴函数为， 当沙包落地时， ∴， 解得（舍去负值）， ∴下落时间x的值为3． 故选A． 2．（23-24九年级上·甘肃天水·期末）某商场将每件进价为80元的商品按每件100元出售，一天可售出128件．经过市场调查，发现这种商品的销售单价每降低1元，其日销售量可增加8件．设该商品每件降价元，商场一天可通过商品获得利润元． (1)求与之间的函数解析式（不必写出自变量的取值范围） (2)商品销售单价为多少时，该商场通过商品所获利润最大？ 【答案】(1) (2)A商品销售单价为98元时，该商场每天通过A商品所获得利润最大 【知识点】销售问题(实际问题与二次函数) 【分析】本题考查二次函数的实际应用，找准等量关系列出关系式是解题的关键． （1）商品每件降价x元时，单价为元，销售量为件，根据利润单利润销售量列函数关系式即可； （2）把二次函数配方成顶点式，得到最大值即可． 【详解】（1）解：由题意得，商品每件降价x元时，单价为元，销售量为件， 则， 即y与x之间的函数解析式是； （2）∵，且， ∴当时，y取得最大值，此时， ∴销售单价为(元)． 答：当A商品销售单价为98元时，该商场每天通过A商品所获得利润最大． 3．（24-25九年级上·辽宁沈阳·期末）某超市销售一种商品，成本价为元千克，经市场调查，每天销售量千克与销售单价元千克之间的关系如图所示，假设每千克售价不能低于元，且不高于元． (1)求与之间的函数关系式，并直接写出自变量的取值范围； (2)若每天的总利润为元，求出关于的函数关系式，并求出当销售单价定为多少元时，该超市每天的利润最大？最大利润是多少元？ 【答案】(1) (2)，销售单价定为元时，该超市每天的利润最大，最大利润元 【知识点】求一次函数解析式、销售问题(实际问题与二次函数) 【分析】本题考查了一次函数与二次函数综合； （1）设与之间的函数关系式为，待定系数法求解析式即可求解； （2）根据题意可得 ，进而根据二次函数的性质，即可求解． 【详解】（1）解：设与之间的函数关系式为， 将点，代入得： ， 解得， 与之间的函数关系式为； （2）根据题意，得： ， ， 该函数图象开口向下，且其对称轴为， 又， 在此范围内，随的增大而增大， 当时，取最大值，此时， 即销售单价定为元时，该超市每天的利润最大，最大利润元． 4．（2024·甘肃天水·三模） 一家商店于春节后购进了一批新款春装，从销售中记录发现，平均每天可售出件，每件盈利元为把握换季营销，商店决定采取适当的降价活动，以扩大销售量，增加盈利市场调研认为，若每件降价元，则平均每天就可多售出2件． (1)若活动期间平均每天的销售量为件，求每件春装盈利是多少元？ (2)要想平均每天销售这款春装能盈利元，又能尽量减少库存，那么每件应降价多少元？ (3)平均每天销售这款春装盈利的最大值是多少元？ 【答案】(1)元 (2)元 (3)最大值元 【知识点】有理数四则混合运算的实际应用、营销问题(一元二次方程的应用)、y=ax²+bx+c的最值、销售问题(实际问题与二次函数) 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，二次函数的性质， （1）利用每件新款春装的销售利润为：盈利减去增加销量的一半，即可得； （2）设每件新款春装应降x元，则每件盈利元，平均每天可售出件， 根据题意得：，进行计算即可得； （3）设每件新款春装应降价元，每天销售这款春装盈利元，根据题意得， ，利用二次函数的性质即可得； 理解题意，掌握一元二次方程，二次函数的性质是解题的关键． 【详解】（1）解：根据题意得：（元）． （2）解：设每件新款春装应降价元，则每件盈利元，平均每天可售出件， 根据题意得：， 整理得：， ， 解得：，， ∵要尽量减少库存， ． （3）解：设每件新款春装应降价元，每天销售这款春装盈利元，根据题意得， 即最大值元， 答．平均每天销售这款春装盈利的最大值是元． 5．（26-27九年级上·河南郑州·开学考试）某校九年级开展了“手工文创作品制作·模拟营销”的项目式学习活动． 市场调查选取两类作品：原木小件（记作A品）、滴胶花艺（记作B品）．收集到如下信息： 信息1：制作一件A品比一件B品的成本高2元，用120元制作A品的件数与用80元制作B品的件数相等． 信息2：当A品售价为18元/件时，其销量为220件，售价每涨1元，销量减少10件；B品售价固定为16元/件． 信息3：根据市场需求，制作并销售A品和B品共300件． 成本核算 (1)分别求制作一件A品和一件B品的成本． 模型建立 (2)设销售A品和B品的总利润为元，A品涨价后的售价为元/件，则每件A品的利润为_______元，A品的销量为_________件，每件B品的利润为______元，B品的销量为______件，求总利润关于A品涨价后的售价的函数解析式． 方案设计 (3)若，当总利润最大时，请设计A品和B品的数量分配方案． 【答案】(1)制作一件A品的成本为元，制作一件B品的成本为元． (2)每件A品的利润为元，A品的销量为件，每件B品的利润为元，B品的销量为件；总利润关于的函数解析式为（）． (3)当制作并销售A品件、B品件时，总利润最大． 【知识点】列代数式、销售问题(实际问题与二次函数)、分式方程的经济问题 【分析】（1）设制作一件A品的成本为元，则制作一件B品的成本为元，根据用120元制作A品的件数与用80元制作B品的件数相等列方程并解方程即可得到答案； （2）设销售A品和B品的总利润为元，A品涨价后的售价为元/件，根据题意列出代数式和函数解析式即可； （3）根据二次函数的性质进行解答即可． 【详解】（1）解：设制作一件A品的成本为元，则制作一件B品的成本为元， 解得 经检验是分式方程的解且符合题意， ， 答：制作一件A品的成本为元，制作一件B品的成本为元． （2）解：每件A品的利润为元，A品的销量为件，每件B品的利润为元，B品的销量为件； 总利润关于的函数解析式为（）． （3）解： ∴当时，随着的增大而减小， ∴当时，取得最大值， 此时A品的销量为件，B品的销量为件． 6．（25-26九年级上·福建漳州·阶段检测）月日，中央广播电视总台发布年春晚的主题为——“骐骥驰骋 势不可挡”．《楚辞•离骚》中写道：“乘骐骥以驰骋兮，来吾道夫先路．”“骐骥”是古人对骏马、千里马的雅称，凝聚着中华民族开拓进取、驰而不息的精神品格；又音同“奇迹”，传递出创造奇迹的决心和一往无前的信心，饱含对新时代新征程满怀期冀的美好愿景．春节来临之际，商场推出一款“2026势骋”卡片（如图）深受大家喜爱，卡片进价元，规定销售单价不低于元，且不高于元．某商户在销售期间发现，当销售单价定为元时，每天可售出个，销售单价每上涨元，每天销量减少个，现商家决定提价销售，设每天销售量为个，销售单价为元． (1)直接写出与之间的函数关系式和自变量的取值范围； (2)将卡片的销售单价定为多少元时，商家每天销售玩具获得的利润元最大？最大利润是多少元？ (3)该商户从每天的利润中捐出元做慈善，为了保证捐款后每天剩余利润不低于元，求销售单价的范围． 【答案】(1) (2)将卡片的销售单价定为元时，商家每天销售卡片获得的利润元最大，最大利润是元 (3)捐款后每天剩余利润不低于元，销售单价的范围是 【知识点】其他问题(一次函数的实际应用)、销售问题(实际问题与二次函数) 【分析】本题考查了一次函数、二次函数，掌握知识点是解题的关键． （1）根据已知条件写出关系式； （2）根据题意得到利润与销售单价之间的函数关系式，再求出最大利润； （3）根据题意列不等式，求解不等式，再结合的范围即可． 【详解】（1）解：根据题意得， 规定销售单价不低于元，且不高于元， ， 即． （2）解：根据题意得， ， 当时，随的增大而增大， ， 当时，有最大值，最大值为． 答：将玩具的销售单价定为元时，商家每天销售玩具获得的利润元最大，最大利润是元． （3）解：根据题意可知剩余利润为元， 捐款后每天剩余利润不低于元， ， 即， 解得， ， ． 答：捐款后每天剩余利润不低于元，销售单价的范围是． 7．（23-24九年级上·广西来宾·期中）直播购物逐渐走进了人们的生活．某电商在网络平台上对一款成本价为每件40元的商品进行直播销售，如果按每件60元销售，每天可卖出20件．通过市场调查发现，每件商品的售价每降低1元，日销售量增加2件． (1)若每件售价定为x元，求日销售量y； (2)若日利润保持不变，商家想尽快销售完该款商品，则每件售价应定为多少元？ (3)小明的线下实体商店也销售同款商品，为提高市场竞争力，促进线下销售，小明决定对该商品实行降价销售，为了日利润达到最大值，则该商品每件售价应定为多少元？ 【答案】(1) (2)每件售价应定为50元 (3)该商品每件售价应定为55元 【知识点】营销问题(一元二次方程的应用)、其他问题(一次函数的实际应用)、销售问题(实际问题与二次函数) 【分析】本题考查一元二次方程，二次函数的实际应用． （1）根据每件商品的售价每降低1元，日销售量增加2件，求出日销售量y即可； （2）根据日利润不变，列出一元二次方程进行求解即可； （3）设日利润为，根据总利润等于单件利润乘以日销量，列出二次函数，根据二次函数的性质，进行求解即可． 【详解】（1）解：由题意，得：； （2）由题意，得：， 解得：， ∵要尽快销售完该款商品， ∴； 答：每件售价应定为50元； （3）设日利润为，则：， ∴， ∵， ∴当时，有最大值为， ∴该商品每件售价应定为55元． 8．（26-27九年级上·辽宁大连·阶段检测）某电子厂商投产一种新型电子产品，每件制造成本为18元，试销过程中发现，每月销售量y（万件）与销售单价x（元）之间的关系可以近似地看作一次函数，（单件利润=售价-制造成本） (1)写出每月的利润w（万元）与销售单价x（元）之间的函数关系式； (2)当销售单价为多少元时，厂商每月获得的利润为440万元？ (3)根据相关部门规定，这种电子产品的销售单价不能高于40元，如果厂商每月的制造成本不超过540万元，那么当销售单价为多少元时，厂商每月获得的利润最大？最大利润为多少万元？ 【答案】(1)； (2)销售单价定为28元或40元； (3)当销售单价为35元时，厂商每月获得的利润最大，最大利润为510万元． 【知识点】营销问题(一元二次方程的应用)、销售问题(实际问题与二次函数) 【分析】（1）根据每月的利润，再把代入即可求出与之间的函数关系式． （2）把代入，解这个方程即可． （3）根据厂商每月的制造成本不超过540万元，以及成本价18元，得出销售单价的取值范围，进而得出最大利润． 【详解】（1）解： ， 故与之间的函数表达式为； （2）解：由，得，解这个方程得， 所以，销售单价定为28元或40元； （3）解：厂商每月的制造成本不超过540万元，每件制造成本为18元， 每月的生产量为：小于等于30万件， ， 解得：， 又由限价40元，得， ， 图象开口向下，对称轴右侧随的增大而减小， 时，最大为：510万元． 当销售单价为35元时，厂商每月获得的利润最大，最大利润为510万元． 【考点2】面积与图形问题（第9-16题） · 设自变量表示长和宽，S=长×宽 · 顶点处取最大面积，注意墙长限制 · 三角形内裁矩形用相似比表示边长 9．（24-25九年级上·河北石家庄·期末）如图，某建筑队在一边靠墙处，计划用15米长的铁栅栏围成一个长方形仓库，仓库总面积为平方米，在平行于墙的一边留下一个1米宽的缺口作小门，若设米，则关于的函数关系式为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】图形问题(实际问题与二次函数) 【分析】本题主要考查了列函数关系式．根据题意先求出平行于墙的一边长为米，再根据长方形面积计算公式求解即可． 【详解】解：由题意得，平行于墙的一边长为米， ∴， 故选：B． 10．（2024·天津西青·一模）如图，某劳动小组借助一个直角墙角围成一个矩形劳动基地，墙角两边和足够长，用总长的篱笆围成另外两边和．有下列结论： ①当的长是时，劳动基地的面积是； ②的长有两个不同的值满足劳动基地的面积为； ③点处有一棵树（树的粗细忽略不计），它到墙的距离是，到墙的距离是，如果这棵树需在劳动基地内部（包括边界），那么劳动基地面积的最大值是，最小值是． 其中，正确结论的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【知识点】与图形有关的问题(一元二次方程的应用)、图形问题(实际问题与二次函数) 【分析】本题考查一元二次方程和二次函数的实际应用，①求出的长，可直接计算面积；②设的长是时，则，根据题意列方程求解即可；③设的长是，的面积为，根据题意得到x的取值范围，再得到关于x的函数，根据二次函数的性质求解即可． 【详解】解：①当的长是时，， 劳动基地的面积是，说法正确； ②设的长是时，则， 若的面积为， 则 或，说法正确； ③设的长是，的面积为 由题意可得， 解得：， ∵， 当时，y随x的增大而增大， ∴当时，面积有最大值， ∵时，面积为，时，面积为， ∴面积的最小值为，说法正确， 综上，3个说法都正确， 故选：D． 11．（25-26九年级上·山东日照·阶段检测）如图，一块材料的形状是锐角三角形，边，高，把它加工成矩形零件如图，使矩形的一边在上，其余两个顶点分别在上．已知，，则____________（用含有的代数式表示）；当矩形面积最大时，____________． 【答案】 【知识点】图形问题(实际问题与二次函数)、根据矩形的性质与判定求线段长、相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题考查了矩形的性质与判定、相似三角形的性质与判定、二次函数的应用，先证明四边形是矩形，得到，再证明，得到，代入数据求出与的关系，再利用矩形的面积公式表示出矩形的面积，结合二次函数的性质即可求解． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴； 矩形的面积， 当时，矩形的面积有最大值，最大值为， ∴； 故答案为：；． 12．（2025·广东·模拟预测）小周要在一块三角形钢板中裁出一个矩形，裁剪方案如图所示，顶点、在边上，顶点，分别在边、上，已知，，，则当矩形的面积最大时， ______． 【答案】 【知识点】图形问题(实际问题与二次函数)、相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题主要考查相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．过点作于点，交于点，求出，证明，得到，当时，矩形面积最大，即可求出答案． 【详解】解：过点作于点，交于点， ， ， 即， 解得， 四边形为矩形， ， ， ， 四边形为矩形， ， ， ， ， ，即， ， ， 故当时，矩形面积最大， ， 此时， 故答案为：． 13．（23-24九年级上·江苏宿迁·阶段检测）如图，空地上有一堵墙，某人利用墙和木栏围成一个矩形菜园．已知矩形菜园的一边靠墙，另三边一共用了100米木栏．设矩形的宽为x，写出矩形菜园的面积与x（m）之间的函数表达式． 【答案】 【知识点】图形问题(实际问题与二次函数) 【分析】本题主要考查了列二次函数关系式，先根据题意得到，则，再根据矩形面积公式求解即可． 【详解】解：由题意得，，则． ∴． 14．（25-26九年级上·广东广州·阶段检测）设矩形窗户的周长为，窗户面积为． (1)求S与窗户一边长x之间的函数关系式； (2)当时，求窗户的面积． 【答案】(1) (2)窗户的面积 【知识点】图形问题(实际问题与二次函数) 【分析】本题考查了二次函数的应用，理解题意是解题的关键． （1）先用x表示出矩形的另一边，然后利用矩形的面积公式得到S与x的关系式； （2）把代入函数解析式即可得到结论． 【详解】（1）解：矩形的一边为，则另一边长为， 所以 （2）解：当时，， 答：窗户的面积 15．（2025九年级上·全国·专题练习）如图，一块矩形土地由篱笆围着，并且由一条与边平行的篱笆分开．已知篱笆的总长为（篱笆的厚度忽略不计），当，的长分别是多少时，矩形土地的面积最大？最大面积是多少？ 【答案】当，的长分别是，时，矩形土地的面积最大，最大面积是 【知识点】图形问题(实际问题与二次函数) 【分析】本题考查二次函数的实际应用，设矩形土地的面积为，，则，根据矩形的面积公式可得，再根据题意求得，最后由二次函数的性质求解即可． 【详解】解：设矩形土地的面积为，，则， ， ， ， 又， ∴当时，， ． 答：当，的长分别是，时，矩形土地的面积最大，最大面积是． 【考点3】运动抛物线（第17-33题） · 建系设解析式：顶点、过点代入 · 落地（出手）距离：令y=0求正根 · 最大高度：顶点纵坐标 16．（24-25九年级上·山东济宁·阶段检测）一名男同学推铅球时，铅球行进中离地的高度()与水平距离之间的关系是 ，那么铅球推出后落地时距出手地的距离是（     ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】C 【知识点】投球问题(实际问题与二次函数) 【分析】本题考查了二次函数的应用以及函数式中自变量与函数表达的实际意义，铅球落地时高度，求出此时的值，即得铅球推出后落地时距出手地的距离． 【详解】解：依题意，当时，， 整理得：， 解得：，(不合题意，舍去) 故， 即铅球推出后落地时距出手地的距离是米． 故选C． 17．（25-26九年级上·湖北荆门·期中）如图，一名男生推铅球，铅球行进高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）之间的关系是，则他将铅球推出的距离为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】投球问题(实际问题与二次函数) 【分析】本题主要考查二次函数的实际应用，把函数问题转化为方程问题来解，渗透了函数与方程相结合的解题思想方法． 根据题意可得推出的距离就是当高度时，x的值，所以解方程可求解． 【详解】解：依题意，令，则， 整理得 解得： （舍去）， ∴他将铅球推出的距离为 故选：C 18．（24-25九年级上·云南昭通·期中）从地面竖直向上抛出一小球，根据物理学规律，小球的高度h（单位：m）与小球的运动时间t（单位：s）之间的关系式是，则小球运动中的最大高度是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】把y=ax²+bx+c化成顶点式、y=ax²+bx+c的最值、投球问题(实际问题与二次函数) 【分析】本题主要考查了二次函数的应用．先将二次函数一般式化为顶点式，再根据二次函数性质即可求解． 【详解】解：， ∵，， ∴当时，有最大值，最大值为45， ∴小球运动中的最大高度是． 故选：C． 19．（24-25九年级上·广东珠海·期中）从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度（单位：）与小球的运动时间（单位：）之间的关系式是，则小球从抛出到落地所需要的时间是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】投球问题(实际问题与二次函数) 【分析】本题考查二次函数的实际应用，小球落地，即小球的高度，代入关系式，解方程即可得出结果． 【详解】小球落地，即，所以， 解得或0， 时，即小球还未抛出的时刻，舍去， ∴， 故选：A． 20．（24-25九年级上·河南鹤壁·阶段检测）以初速度竖直上抛的物体的高度和时间满足关系式（为重力加速度，），爆竹在地面点燃后以初速度米/秒上升，经过（   ）秒爆竹离地面米? A． B． C． D．或 【答案】D 【知识点】投球问题(实际问题与二次函数) 【分析】本题考查了二次函数的实际应用，把已知数据代入关系式，解方程即可求解，正确计算是解题的关键． 【详解】解：把已知数据代入得，， 整理得，， 解得，， 故选：． 21．（25-26九年级上·北京平谷·期末）掷实心球是中考体育考试项目之一，如图是一名男生投实心球情境，实心球行进路线是一条抛物线，行进高度与水平距离之间的函数关系如图所示．掷出时起点处高度为．当水平距离为时，实心球行进至最高点处．则该男生此次掷实心球的成绩是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】投球问题(实际问题与二次函数) 【分析】本题考查了二次函数的应用，求出二次函数表达式是解题的关键．已知顶点坐标，设顶点式，将代入求出的值，即可求出函数表达式，再求出时的值，即点的坐标，则可知的长． 【详解】解：设行进高度与水平距离之间的函数关系式为， 将代入得：， 解得， ， 当时，， 解得，（不合题意，舍去）， 点的坐标为， 的长为， 该男生此次掷实心球的成绩是． 故选：B． 22．（24-25九年级上·山西阳泉·期中）如图，这是某运动员在单板滑雪大跳台中的高度与运动时间的运动路线图的一部分，运动员起跳后的运动路线可以近似地看作抛物线的一部分，其中线段表示跳台的高度，，为该运动员在空中到达的最大高度，若该运动员运动到空中点Q时，点Q的坐标为，则该运动员在空中到达的最大高度的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】其他问题(实际问题与二次函数) 【分析】本题考查了二次函数的应用，把点A的坐标确定，代入解析式，确定抛物线，求出顶点坐标即可． 【详解】解：根据题意，得， 把，分别代入解析式，得， 解得， 故抛物线解析式为， 故 ， 故顶点坐标为， 故最大高度为， 故选：D． 23．（25-26九年级上·湖北武汉·阶段检测）如图1，在矩形中，点以速度从点出发沿匀速运动，同时点从点出发，速度为，依次沿，两边匀速运动，点运动到点时，、两点同时停止运动．连接，设点运动的时间为，的面积为，关于的部分函数图象如图2所示，其中是曲线的最高点，为线段．则点的纵坐标是（   ） A． B． C． D．11 【答案】C 【知识点】动点问题的函数图象、图形运动问题(实际问题与二次函数)、根据矩形的性质求线段长 【分析】本题考查了矩形的性质，二次函数综合，由矩形的性质可得，由函数图象可得，为线段，且面积逐渐减小，故当时，点运动到点处，结合题意求出，，当时，，，则，表示出，再由二次函数的性质即可得出结果，熟练掌握以上知识点并灵活运用，采用数形结合的思想是解此题的关键． 【详解】解：∵四边形为矩形， ∴， 由函数图象可得，为线段，且面积逐渐减小， 故当时，点运动到点处， ∴， ∵由图象可得，当点运动到点处时，的面积为，点以速度从点出发沿匀速运动， ∴，， ∴，， ∵点以速度从点出发沿匀速运动，点从点出发，速度为， ∴当时，，， ∴， ∴， ∵， ∴当时，有最大值为， ∴是曲线的最高点，则点的纵坐标是， 故选：C． 24．（23-24九年级上·四川绵阳·阶段检测）在一次实心球的测试中，李聪明同学掷实心球时实心球行进的高度(单位：米)与水平距离(单位：米)之间的关系式是，李聪明同学这次掷实心球的距离为______米． 【答案】 【知识点】投球问题(实际问题与二次函数) 【分析】本题主要考查了二次函数的应用．依题意，把直接代入，解得值，即可作答． 【详解】解：依题意，把直接代入， 得 解得，（不符合题意，舍去）， 故李聪明学生推铅球的水平距离为米， 故答案为：． 25．（24-25九年级上·湖北襄阳·期中）从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度（米）与小球的运动时间（秒）之间的关系式是，运动2秒时，小球的高度是_______米． 【答案】40 【知识点】投球问题(实际问题与二次函数) 【分析】本题考查了二次函数求值．将代入函数解析式中进行计算求解． 【详解】解：，运动2秒时， （米）． 故答案为：40． 26．（25-26九年级下·四川成都·阶段检测）为了让初三学子以更好的状态迎接体考，川大附中在3.20号安排了针对性模拟．小明参加了跳远测试，可以用二次函数描述他在某次跳跃时重心高度的变化(如图)，若重心高度与起跳后时间的函数表达式为，当时，所对应的重心高度分别记为，则的大小关系为__________．(用“”连接) 【答案】 【知识点】其他问题(实际问题与二次函数) 【分析】分别将代入二次函数表达式计算出对应的值，利用有理数大小比较法则即可得出结论． 【详解】解：当时，． 当时，． 当时，． 27．（24-25九年级下·辽宁铁岭·阶段检测）如图，等腰中，是上一动点，连接，将绕点逆时针旋转得到，连接，当的面积最大值时，的值是_______． 【答案】 【知识点】图形运动问题(实际问题与二次函数)、等腰三角形的性质和判定、根据旋转的性质求解、解直角三角形的相关计算 【分析】本题考查了旋转的性质，二次函数的应用，过点作的垂线段，交于点，设，则，根据面积公式表示出的面积，根据二次函数的性质，可得当的面积最大值时的值，即可解答，正确利用二次函数的性质是解题的关键． 【详解】解：为等腰直角三角形， 根据旋转的性质可得， ，， ， 设，则， 的面积为， 当时，即时，的面积最大， 如图，过点作的垂线段，交于点， 此时， ， ， ， ， 故答案为：． 28．（24-25九年级上·河南洛阳·期中）足球训练中，球射向球门的路线呈抛物线，球员从距离球门底部中心点正前方9米的处射门，当球飞行的水平距离为7米时，球达到最高点，此时球离地面3米，建立如图所示的平面直角坐标系． (1)求抛物线的函数表达式； (2)已知球门高为米，通过计算判断足球能否射进球门？（忽略其他因素） 【答案】(1) (2)不能 【知识点】投球问题(实际问题与二次函数) 【分析】本题考查了二次函数的应用，利用待定系数法求出函数解析式是解题的关键． （1）根据题意得抛物线的顶点坐标为，设抛物线的函数表达式为，再代入点的坐标求出的值，即可解答； （2）求出抛物线与轴交点的纵坐标，再与球门高度比较即可得出结论． 【详解】（1）解：， 抛物线的顶点坐标为， 设抛物线的函数表达式为， 把点代入得：， 解得：， 抛物线的函数表达式为． （2）解：当时， ， 足球不能射进球门． 29．（24-25九年级下·江西抚州·期中）某数学兴趣小组进行项目式学习成果的展示，他们利用“杠杆原理”制作出一种投石机，如图，为检验投石机的性能，进行如下操作：将石头用投石机从处投出，石头的运动轨迹是抛物线的一部分，最终石头落在斜坡上的点C处，以水平地面为轴，为轴建立平面直角坐标系如图．已知抛物线的函数表达式为，直线的函数表达式为，米，点为抛物线的顶点，过点作轴于点，点到轴的水平距离米． (1)请求出抛物线的函数表达式； (2)求点的坐标． (3)点是点左侧抛物线上一点，过点作轴交坡面于点，若石头运动到点时到坡面的铅直高度为米，求此时石头（点）到轴的距离． 【答案】(1)； (2)； (3)石头到轴的距离为米 【知识点】公式法解一元二次方程、一次函数与几何综合、待定系数法求二次函数解析式、投球问题(实际问题与二次函数) 【分析】本题考查了二次函数在实际问题中的应用，解一元二次方程，一次函数的应用，熟练掌握二次函数性质是解题的关键． （）将代入，得，然后根据抛物线的顶点横坐标为，再代入即可求解； （）联立，然后解方程即可； （）由题意可得，然后解方程即可． 【详解】（1）解：由题可得，将代入，得， ∴， ∵抛物线的顶点横坐标为， ∴， ∴， ∴抛物线的函数表达式为； （2）解：联立， 得（负值舍去）， ∴； （3）解：由题意可得，， 解得，（舍去）， ∴此时石头到轴的距离为米． 30．（25-26九年级上·四川泸州·期中）如图是足球守门员在O处开出一记手抛高球后足球在空中运动到落地的过程，它是一条经过A，M，C三点的抛物线．其中A点离地面2米，M点是足球运动过程中的最高点，离地面米，离守门员的水平距离为4米，点C是球落地时的第一点．求足球第一次落地点C距守门员的水平距离． 【答案】足球第一次落地点C距守门员的水平距离为10米 【知识点】投球问题(实际问题与二次函数) 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键． 依据题意，由顶点，则可设抛物线的顶点式为：，结合抛物线过，从而，可得，进而求出解析式，又令，从而可以计算得解． 【详解】解：由题意，顶点， 可设抛物线的顶点式为： 又抛物线过， 又令，代入解析式得，， 或不合题意，舍去 足球第一次落地点C距守门员的水平距离为10米． 31．（23-24九年级上·山东青岛·期末）小林同学是一名羽毛球运动爱好者，下面是他对击球线路的分析．如图，在平面直角坐标系中，点A，C在x轴上，球网AB与y轴的水平距离，，米，击球点P在y轴上．若选择扣球，羽毛球的飞行高度与水平距离近似满足一次函数关系；若选择吊球，羽毛球的飞行高度与水平距离近似满足二次函数关系，此时当羽毛球飞行的水平距离是1米时，达到最大高度3.2米． (1)求吊球时羽毛球满足的二次函数的表达式； (2)请通过计算说明两种击球方式是否过网； (3)要使球的落地点到C点的距离更近，请通过计算判断应该选择哪种击球方式． 【答案】(1) (2)两种击球方式均能过网 (3)吊球的落地点距离点更近 【知识点】其他问题(一次函数的实际应用)、待定系数法求二次函数解析式、投球问题(实际问题与二次函数) 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，合理理解二次函数在实际情况中的意义是本题解题的关键. （1）依据题意, 二次函数的顶点为，从而可设二次函数的表达式为，又由一次函数关系，故令得，，进而可得，求出可以得解； （2）依据题意, 令 时，分别求出一次函数、二次函数上对应的函数值，结合球网的高度为米，可以判断得解； （3）依据题意, 令，一次函数，从而 ， 再由二次函数 ，从而或 (舍去)，结合，进而计算可以得解. 【详解】（1）由题意得, 二次函数的顶点为， ∴可设二次函数的表达式 又由一次函数关系 ， ∴令 得, ， ∴， ， ， ∴吊球时羽毛球满足的二次函数的表达式为； （2）由题意，令 时， 一次函数 ， 二次函数 ， 又球网的高度为米， ∴两种击球方式均能过网； （3）令，一次函数 ，解得 ， 二次函数，解得或 (舍去)。 ， ，， ， ， ∴吊球的落地点距离点更近． 32．（26-27九年级上·湖北荆门·阶段检测）某排球运动员在原点处训练发球，为球网，为球场护栏，且，均与地面垂直，球场的边界为点，排球（看作点）从点的正上方点处发出，排球经过的路径是抛物线的一部分，其最高点为，落地点为点，以点为原点，点，，，，所在的同一直线为轴建立平面直角坐标系，相应点的坐标如图所示，点的坐标为（单位：米，图中所有的点均在同一平面内）． (1)求抛物线的函数表达式； (2)通过计算判断发出后的排球能否越过球网？是否会出界？ (3)由于运动员作出调整改变了发球点的位置，使得排球在点落地后立刻弹起，又形成了一条与形状相同的抛物线，且最大高度为米．若排球沿下落时（包含最高点）能砸到球场护栏，直接写出的范围． 【答案】(1) (2)发出后的排球能越过球网，不会出界 (3) 【知识点】利用不等式求自变量或函数值的范围、投球问题(实际问题与二次函数) 【分析】（1）推导出抛物线L的顶点坐标为，用顶点式表示出抛物线L的解析式，把代入可求得抛物线L的二次项的系数，即可得到抛物线L的解析式； （2）能否越过球网，要看当时，抛物线的纵坐标是否大于球网的高度2.5；是否会出界，要看当时，x的值是否大于边界到原点的距离18； （3）抛物线的形状与抛物线L的形状相同，那么两个抛物线的二次项的系数的绝对值相同，最大高度为，那么抛物线的顶点的纵坐标为1，抛物线的二次项的系数为负数，用顶点式表示出抛物线的解析式，把点代入可得抛物线的二次项的系数，也就求出了抛物线的解析式．排球沿下落时（包含最高点）能砸到球场护栏，的高度是，抛物线的最大高度是，那么排球从最高处开始下落，若护栏在抛物线对称轴所在的位置，就能砸到，此时m的值最小；排球落地时，砸到点A，m的值最大，进而得到m的取值范围． 【详解】（1）解：∵排球经过的路径是抛物线L的一部分，其最高点为， ∴抛物线L的顶点坐标为， 设抛物线L的解析式为：， ∵过点， ∴， 解得：， ∴； （2）解：∵当时，， ∴发出后的排球能越过球网， ∵当时，，（在x轴负半轴，舍去）， ∴不会出界， 答：发出后的排球能越过球网，不会出界； （3）解：设抛物线的解析式为：， ∵过， ∴， 解得：（不合题意，舍去），， ∴， ∵排球从最高处开始下落，抛物线的最大高度为，护栏的高度是， ∴护栏在距离原点处，就会被排球砸到， ∴， 当排球落地时，砸到点A， ∴， 解得：（不合题意，舍去），， ∴， 故m的范围为． 【考点4】拱桥与建筑物（第34-40题） · 以对称轴建系，设顶点式 · 由跨度、拱高求解析式 · 求水面宽度、判断通过性 33．（23-24九年级上·湖北武汉·阶段检测）如图是抛物线型拱桥，当拱顶离水面时，水面宽，当水面宽度为时，拱顶离水面___________．      【答案】 【知识点】拱桥问题(实际问题与二次函数) 【分析】如图建立平面直角坐标系，由题意得：为抛物线顶点且坐标为，，，求出抛物线解析式，然后把代入求解即可． 【详解】解：如图建立平面直角坐标系， 由题意得：为抛物线顶点且坐标为，，， 设抛物线解析式为 ， 即 ， 抛物线解析式为 ， 当水面宽度为 时，即当 ， ， 水面下降的高度为，拱顶离水面6m． 故答案为：6．    【点睛】本题主要考查了二次函数的实际应用，解题的关键在于能够准确地建立坐标系进行求解． 34．（25-26九年级上·湖北宜昌·阶段检测）如图所示，某建筑物有一抛物线形的大门，小强想知道这道门的高度，他先测出门的宽度，然后用一根长为的小竹竿竖直的接触地面和门的内壁，并测得，则门高为______． 【答案】 【知识点】拱桥问题(实际问题与二次函数) 【分析】本题考查了二次函数的应用，由题意可得，，设抛物线的解析式为，利用待定系数法求出抛物线的解析式，进而得出点的坐标即可求解，正确求出二次函数解析式是解题的关键． 【详解】解：由题意得，，， ∴，， 设抛物线的解析式为，把和代入得， ， 解得， ∴抛物线的解析式为， 当时，， ∴， ∴， 故答案为：． 35．（24-25九年级上·广西南宁·开学考试）如图所示，桥拱是抛物线形，其函数解析式是 当水位线在位置时，水面宽为 18米，这时水面离桥顶的高度h是________米． 【答案】 【知识点】拱桥问题(实际问题与二次函数) 【分析】本题主要考查二次函数的应用，求水面离桥顶的高度h，由图象可知，实际是求在抛物线解析式中，时，值的绝对值． 【详解】解：∵， ∴由题意知，当时，， 所以，水面离桥顶的高度h是米， 故答案为： 36．（25-26九年级上·甘肃平凉·阶段检测）卢沟桥如图①，“卢沟晓月”是著名的北京八景之一，古时乾隆皇帝曾在秋日路过卢沟桥，赋诗“半钩留照三秋淡，一蝀分波夹镜明”于此，并题“卢沟晓月”，立碑于桥头．卢沟桥主桥拱可以近似看作抛物线，桥拱在水面的跨度约为24米，若按如图②所示方式建立平面直角坐标系，则主桥拱所在抛物线可以表示为，则主桥拱最高点到水中倒影的距离为_____米． 【答案】22 【知识点】拱桥问题(实际问题与二次函数) 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，把代入求出k，根据镜面对称可得，即可求得结果． 【详解】解：∵约为24米， ∴， 把代入得：， 解得， ∴， ∴主桥拱最高点点坐标为， ∵P和关于x轴对称， ∴（米）， 即主桥拱最高点到水中倒影的距离为22米． 故答案为：22． 37．（23-24九年级上·广东广州·阶段检测）如图1是某公园一座抛物线型拱桥，按如图所示建立坐标系，得到函数，在正常水位时水面宽米，当水位上升5米时，则水面宽______米    【答案】20 【知识点】拱桥问题(实际问题与二次函数) 【分析】根据正常水位时水面宽米，找出当时，再根据水位上升5米时，代入解析式求值即可． 【详解】解：∵， ∴当时，， 当水位上升5米时，， 把代入，得， 解得， 此时水面宽米， 故答案为：20． 【点睛】本题考查二次函数的应用，根据图形找出相关数据求值是解题的关键． 38．（23-24九年级上·重庆铜梁·阶段检测）如图，图（1）是一个横断面为抛物线形状的拱桥，当水面在l时，拱顶（拱桥洞的最高点）离水面，水面宽，如图（2）建立平面直角坐标系，当水面下降时，水面宽增加____． 【答案】/ 【知识点】拱桥问题(实际问题与二次函数) 【分析】此题考查了二次函数的应用，根据建立的坐标系设出函数表达式，利用待定系数法求出函数解析式，求出下降后与水面相交的两个交点的坐标，即可得到答案． 【详解】解：设抛物线为， 由题意可得，点在抛物线上， 则， 解得， ∴抛物线为， 当时，， 解得， ∴当水面下降时，水面宽增加， 故答案为：． 39．（25-26九年级下·内蒙古通辽·阶段检测）一条河上横跨着一座宏伟壮观的悬索桥．桥梁的缆索与缆索均呈抛物线型，桥塔与桥塔均垂直于桥面，如图所示，以O为原点，以直线为x轴，以桥塔所在直线为y轴，建立平面直角坐标系．已知：缆索所在抛物线与缆索所在抛物线关于y轴对称，桥塔与桥塔之间的距离，，缆索的最低点P到的距离．（桥塔的粗细忽略不计） (1)直接写出A，B，C的坐标； (2)求缆索所在抛物线的函数解析式； (3)点E在缆索，，且，，求的长． 【答案】(1)、、 (2) (3) 【知识点】写出直角坐标系中点的坐标、待定系数法求二次函数解析式、其他问题(实际问题与二次函数)、坐标系中的对称 【分析】（1）根据由为原点，结合，，轴，写出坐标即可； （2）由、，得顶点，设顶点式，代入，解得的值，即可的解析式； （3）与关于轴对称，得，令，解得或，结合，即可解答． 【详解】（1）解：∵，， ∴、、； （2）解：，缆索的最低点P到的距离， ∴抛物线的顶点P为， 设抛物线的解析式为， 将点代入抛物线得， 解得， ∴缆索所在抛物线的解析式为； （3）解：由题意得，∵缆索所在抛物线与缆索所在抛物线关于y轴对称， 又∵缆索所在抛物线为， ∴缆索所在抛物线为． 令， 解得或， 又∵， ， ∴的长为． 【点睛】本题核心是抛物线顶点式的应用与对称性转换，关键是利用顶点式求解析式，通过关于轴对称快速写出解析式，再解方程结合限制条件求解． 【考点5】增长率与其他实际（第41-48题） · 增长率问题：两年后=原值(1±x)2 · 刹车、体积等物理规律按给定函数式代入 · 分段理解题意，找对应函数关系 40．（2025·广西南宁·一模）某专业户计划投资种植茶树及果树，根据市场调查与预测，种植茶树的利润（万元）与投资量（万元）成正比例关系，如图所示：种植果树的利润（万元）与投资量（万元）成二次函数关系，如图所示如果这位专业户投入种植茶树及果树资金共万元，则他能获取的最大总利润是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】求一次函数解析式、待定系数法求二次函数解析式、销售问题(实际问题与二次函数) 【分析】本题考查了二次函数的应用，待定系数法求一次函数和二次函数解析式，准确熟练地进行计算是解题的关键．先利用待定系数法求一次函数和二次函数解析式，然后设这位专业户投入种植果树的资金为万元，则投入种植茶树的资金为万元，他获得的利润为万元，根据题意可得：，最后进行计算即可解答． 【详解】解：设， 把代入中得：， ； 设， 把代入中得： ， 解得：， ； 设这位专业户投入种植果树的资金为万元，则投入种植茶树的资金为万元，他获得的利润为万元， 由题意得： ， ， 当时，， ， 当时，， 能获取的最大总利润是万元， 故选：D． 41．（25-26九年级上·全国·课后作业）最新报告显示，2023年全球金属增材制造市场的总收入达到了亿美元．若2025年的市场规模为y亿美元，平均每年的增长率为x，则y关于x的函数解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】增长率问题(实际问题与二次函数) 【分析】本题考查了根据实际问题列二次函数的关系式，解题的关键是掌握增长率的公式． 已知初始值、年均增长率和增长年数、最终量，利用增长率模型公式即可求解． 【详解】解：由题意，年的市场规模为亿美元，年均增长率为，经过2024年和2025年共两年的增长． 第一年（年）：市场规模增长到． 第二年（年）：在第一年的基础上再增长，即． 因此，年的市场规模与年均增长率的函数关系为， 对应选项C． 其他选项中，A未包含初始值，B和D的表达式不符合增长率模型公式，故排除． 故选：C． 42．（24-25九年级上·湖北襄阳·期中）标准大气压下，质量一定的水的体积 与温度之间的关系满足二次函数 ，则当温度为时，水的体积为__． 【答案】 【知识点】其他问题(实际问题与二次函数) 【分析】本题考查了二次函数的应用，将代入解析式，即可求解． 【详解】解：依题意，当温度为时，水的体积为 故答案为：． 43．（25-26九年级上·安徽安庆·期中）一台机器原价为万元，如果每年价格的下降率为，两年后这台机器的价格为万元，则关于的函数关系式为__________． 【答案】 【知识点】增长率问题(实际问题与二次函数) 【分析】本题主要考查了列二次函数关系式，解题的关键是理解题意，掌握两年后价格原价． 根据题意列出函数解析式即可． 【详解】解：由题意得：两年后的价格为：， 故y与x的函数关系式是：． 故答案为：． 44．（2025·湖南张家界·一模）在泡菜腌制的过程中，亚硝酸盐的含量会随着时间的推移而发生变化．一般来说，腌制初期亚硝酸盐含量较低，到达一个峰值后又逐渐下降．这个变化曲线近似于抛物线．假设腌制时间（单位：天）与亚硝酸盐含量（单位：毫克/千克）之间的关系可以用函数来表示，其中是腌制时间，是对应的亚硝酸盐含量．根据实验数据，我们得到以下结论： ①腌制开始（第天）时，亚硝酸盐含量为毫克/千克； ②腌制第天时，亚硝酸盐含量达到毫克/千克； ③腌制第天时，亚硝酸盐含量达到毫克/千克． 因此，泡菜腌制过程中第_____天亚硝酸盐含量最高． 【答案】 【知识点】其他问题(实际问题与二次函数) 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，解题的关键是求出二次函数的解析式．先利用待定系数法求出二次函数解析式，再根据二次函数的性质即可求解． 【详解】解：将点、、代入中得： ， 解得：， ， ， 当时，有最大值为，即泡菜腌制过程中第天亚硝酸盐含量最高， 故答案为：． 45．（2025九年级上·福建厦门·专题练习）某航空公司对某型号飞机进行着陆后的滑行测试．飞机着陆后滑行的距离s（单位：m）关于滑行的时间t（单位：s）的函数解析式是，则飞机的滑行时长是______；飞机滑行的最远距离是______． 【答案】 【知识点】其他问题(实际问题与二次函数) 【分析】本题考查二次函数的应用，正确进行配方是解题关键．将函数解析式配方成顶点式，求顶点坐标即可． 【详解】解：由题意，， 当时，取最大值，即飞机着陆后停下来需滑行的时间为秒，滑行的最大距离是． 故答案为，． 46．（26-27九年级上·福建福州·阶段检测）发射一枚炮弹，经秒后的高度为米，且时间与高度的关系为．若此炮弹在第7秒与第15秒时的高度相等，则第_____秒时，炮弹位置达到最高． 【答案】 【知识点】已知抛物线上对称的两点求对称轴、投球问题(实际问题与二次函数) 【分析】根据抛物线的对称两点求出抛物线的对称轴，即可得炮弹位置达到最高时的值． 【详解】解：∵此炮弹在第7秒与第15秒时的高度相等， ∴抛物线的对称轴是直线， ∴炮弹位置达到最高时，时间是第11秒． 47．（23-24九年级上·云南昭通·期中）昭通市彝良县小草坝镇是乌天麻原产地，近段时间，天麻陆续上市．某公司推出一款成本为70元的天麻特产礼盒，当每盒售价为120元时，每周可销售300盒．为增大市场占有率，在保证盈利的情况下，公司采取降价措施，根据市场调查发现，每盒每降低1元，每周销量可增加10盒． (1)写出公司每周的利润W元与降价x元之间的函数关系； (2)当降价多少元时，公司每周的利润最大，最大为多少元？ (3)若公司每周的利润要达到15960元，并最大限度让利于民，则定价应为多少元？ 【答案】(1)， (2)每盒天麻降价为10元时，该公司每周能获得最大利润，最大的利润是16000元， (3)公司想要每周获得15960元的利润，销售单价应定为108元． 【知识点】营销问题(一元二次方程的应用)、销售问题(实际问题与二次函数) 【分析】本题考查一元二次方程和二次函数的应用，明确题意，列出相应的方程，写出函数关系式，并利用二次函数的性质是解题的关键． （1）根据题意和题目中的数据，可以写出公司每天的利润W元与降价x元之间的函数关系； （2）将（1）中的函数关系式化为顶点式，即可求解； （3）令求出相应的x值，再根据最大限度让利于民，即可求解． 【详解】（1）解：由题意得： ； （2）解：由（1）得： ， ∴时，最大为16000， 即当降价10元时，公司每天的利润最大，最大为16000元； （3）解：当， 解得：，， ∵最大限度让利于民， ∴不合题意，舍去， ∴定价应为（元）， 答：定价应为108元． 【考点6】几何综合与最值（第49-52题） · 几何图形中设变量，用勾股、相似列函数 · 把面积、距离等写成二次函数求最值 · 注意图形限制的x范围 48．（23-24八年级下·山东济宁·期末）直线与x轴、y轴分别交于点A， B， 点C在线段上，过点C作x轴的垂线，垂足为D．E是线段上一动点(不与点A，B，C重合)，过点E作x轴的垂线，垂足为F，连接．若点 C的横坐标为， 则与的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】一次函数与几何综合、图形运动问题(实际问题与二次函数) 【分析】本题考查一次函数、二次函数，先根据一次函数的性质计算出，设点E的坐标为，用关于m的二次函数关系式表示出，求出二次函数的最值，即可判断与的大小关系． 【详解】解：点C在线段上，横坐标为， 点C的纵坐标为， ，， ； 设点E的坐标为， 则，， ， ， 当时，取最大值，最大值为1，此时点E与点C重合， ， 故选C． 49．（21-22九年级下·山西·阶段检测）水上乐园是主题公园的一种，多数娱乐设施与水有关，常见的设施有：水滑梯、造浪设备、漂流河、滑板等．如图1，是水滑梯项目中的一段滑道，滑道路线可以看作是抛物线的一部分，小强从这段滑道的最高处下滑，其路线如图2所示，当他在水平方向滑行了时，下滑到最低点C处，即点C的坐标为，由于惯性再滑动一段后到达点B，从点B处落入水中．若点B的坐标为，则小强下滑前的竖直高度（即的长）为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、其他问题(实际问题与二次函数) 【分析】先求出抛物线的解析式为：，然后把代入抛物线解析式，求出结果即可． 【详解】解：设抛物线的解析式为：，把代入得： ， 解得：， ∴抛物线的解析式为：， 把代入得：， ∴． 50．（2025·安徽合肥·二模）如图，在中，，，，以3为边长的正方形的一边在直线上，且点与点重合，现将正方形沿的方向以每秒1个单位长度的速度向右匀速运动，当点与点重合时，停止运动．设在这个运动过程中，运动时间为秒，正方形与的重合部分的面积为，则与之间的函数关系图象大致是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】动点问题的函数图象、图形运动问题(实际问题与二次函数)、解直角三角形的相关计算 【分析】该题考查了动点的函数图象，根据题意解直角三角形算出，再分为①当时，正方形与的重合部分的图形是三角形，②当时，正方形与的重合部分的面积是梯形，分别解答即可． 【详解】解：， ， ①当时，；图象为开口向上的二次函数，且只有对称轴右半部分； ②当时，；图象为一次函数； 综上，可得：， ∴正方形与的重合部分的面积与运动时间之间的函数关系图象大致是B图象． 故选：B． 51．（26-27九年级上·湖北荆门·阶段检测）一块三角形材料如图所示，，，，用这块材料剪出一个矩形，其中，点D，E，F分别在，，上，要使剪出的矩形面积最大，的长为（     ） A．2 B． C． D．4.5 【答案】B 【知识点】图形问题(实际问题与二次函数)、含30度角的直角三角形、用勾股定理解三角形、根据矩形的性质求线段长 【分析】利用30度所对的直角边等于斜边的一半表示出，进而利用勾股定理表示出，由表示出，根据与乘积列出二次函数的解析式，利用二次函数性质确定出面积的最大值，以及此时的值即可． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， 在中，，， ∴， 根据勾股定理得：， ∴， ∴， ∴当时，矩形的面积最大． 52．（2025·山东菏泽·一模）科学家为了推测最适合某种珍奇植物生长的温度，将这种植物分别放在不同温度的环境中，经过一定时间后，测试出这种植物高度的增长情况，部分数据如下表：科学家经过猜想、推测出l与t之间是二次函数关系．由此可以推测最适合这种植物生长的温度为__________． 温度t/ 0 1 4 植物高度增长量 41 49 49 46 25 【答案】 【知识点】已知抛物线上对称的两点求对称轴、其他问题(实际问题与二次函数) 【分析】此题主要考查了二次函数的应用．首先利用图标得出一组对称点，然后利用二次函数对称轴与顶点（最值）得出即可． 【详解】解：由，可知抛物线的对称轴为直线， 故当时，植物生长的温度最快． 故答案为：． 💯 课后巩固 复习建议 · 利润问题设变量写单件利润与销量，配顶点求最大 · 面积问题注意靠墙不围篱笆、墙长限制 · 运动抛物线令y=0求落地，顶点求最大高度 · 拱桥以对称轴建系设顶点式，求宽度与通过性 · 实际问题先明确x的取值范围再求最值 【作业1】．（23-24九年级上·内蒙古赤峰·期中）某商品的销售利润与销售单价存在二次函数关系，且二次项系数，当商品单价为160元和200元时，能获得同样多的利润，要使商品的销售利润最大，销售单价应定为______元． 【答案】180 【知识点】y=ax²+bx+c的最值、销售问题(实际问题与二次函数) 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质，根据商品单价为160元和200元时，能获得同样多的利润，得出二次函数的对称轴为直线，即可得出当销售单价应定为180元时，商品的销售利润最大． 【详解】解：∵当商品单价为160元和200元时，能获得同样多的利润， ∴二次函数的对称轴为直线， ∴二次函数顶点坐标的横坐标为180， ∴当销售单价应定为180元时，商品的销售利润最大． 故答案为：180． 【作业2】．（19-20九年级上·河北石家庄·期末）如图，一边靠墙（墙有足够长），其它三边用长的篱笆围成一个矩形（）花园，这个花园的最大面积是（    ）    A． B． C． D．以上都不对 【答案】B 【知识点】图形问题(实际问题与二次函数) 【分析】本题主要考查配方法求一元二次方程的最值，掌握一元二次方程与实际问题的综合，理解图形面积的计算，配方法求最值的方法是解题的关键． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，且， ∴设，则， ∴这个花园的面积， ∴当时，花园的最大面积是， 故选：． 【作业3】．（24-25九年级上·河北秦皇岛·期中）在体育训练中嘉淇掷出的实心球的运动路线呈如图所示的抛物线形，若实心球飞行的高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）之间的函数关系是，则嘉淇此次掷球的初始高度和掷球的成绩（即的长度）分别是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【知识点】投球问题(实际问题与二次函数) 【分析】本题考查二次函数的应用，解题的关键是理解题意，能正确求出一元二次方程的解． 分别令，，再解方程，即可得到答案． 【详解】解：令，则， 解得：，（舍去） ∴掷球的成绩为， 令，此时， ∴初始高度为， 故选：B． 【作业4】．（25-26九年级上·浙江·单元复习）位于我市平远中行镇的秉虹桥，始建于明朝嘉靖年间，是赣粤盐米古道上一颗璀璨的明珠，它是形状大小相同的双孔石拱桥，每个孔内侧呈抛物线型，如图1，当一个孔的水面宽度为10米时，则拱顶离水面的高度为5米，若以一个孔的拱顶为坐标原点，桥面为x轴（不考虑拱部顶端的厚度），竖直向上为y轴正方向建立直角坐标系如图2，可计算出当一个孔的水面宽度为12米时，则拱顶离水面的高度为（    ）米． A．7.2 B．6.5 C．5.6 D．6 【答案】A 【知识点】拱桥问题(实际问题与二次函数) 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，依据题意，设抛物线的解析式为，又由题意，抛物线过点，从而求出，可得抛物线的解析式为，再由一个孔的水面宽度为12时，可令，求出y即可得解． 【详解】解：设抛物线的解析式为， 又由题意，抛物线过点， ∴， ∴， ∴抛物线的解析式为， 当一个孔的水面宽度为12时，令， ∴． 故拱顶离水面的高度为7.2米． 故选：A． 【作业5】．（22-23九年级上·河南漯河·阶段检测）国家决定对某药品价格分两次降价，若设平均每次降价的百分率为，该药品原价为元，降价后的价格为元，则与的函数关系式为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】增长率问题(实际问题与二次函数) 【分析】本题主要考查二次函数的增长率问题．本题需要注意第二次降价是在第一次降价后的价格的基础上降价的． 根据题意可知，原价为，第一次降价后的价格是，第二次降价是在第一次降价后的价格的基础上降价的为：，则即可求得函数关系式． 【详解】解：原价为18， 第一次降价后的价格是， 第二次降价是在第一次降价后的价格的基础上降价的为：， 则函数解析式为：， 故选：C 【作业6】．（24-25九年级上·吉林·期中）火炮发明于中国，是指利用机械能、化学能(火药)、电磁能等能源抛射弹丸，射程超过单兵武器射程，由炮身和炮架两大部分组成的武器.在某次训练中，向上发射一枚炮弹，经x秒后的高度为y米，且y与x的关系式为 若此炮弹在第6秒和第14秒时的高度相等，则此炮弹飞行第__________秒时的高度是最高的. 【答案】10 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、根据二次函数的对称性求函数值、y=ax²+bx+c的最值、其他问题(实际问题与二次函数) 【分析】本题考查了二次函数的应用，二次函数的性质，解题的关键是掌握当抛物线开口向下时，函数在对称轴处取得最大值．根据炮弹在第6秒和第14秒时高度相等列式，得，然后求出对称轴，依据抛物线在对称轴处函数的最值确定答案． 【详解】解：依题意，当，值相等， ， 整理，得， 抛物线， 抛物线的对称轴方程为：， 因为炮弹高度的函数图象是开口向下的抛物线， ， 炮弹在处高度最高， 炮弹飞行第10秒时的高度是最高的， 故答案为：10． 【作业7】．（23-24九年级上·四川南充·期中）如图，四边形中的两条对角线，互相垂直，，当长为______时，四边形的面积最大．    【答案】3 【知识点】图形问题(实际问题与二次函数) 【分析】本题考查了二次函数的应用，根据已知设四边形的面积为S，为x，则，进而得到关系式，求出最值即可，根据已知得到二次函数关系是解答本题的关键． 【详解】解：设，四边形的面积为S，则， 则， ∵， ∴有最大值， 当时，四边形的面积最大， 即当时，四边形的面积最大， 故答案为：3． 【作业8】．（25-26九年级上·天津·阶段检测）如图所示的公路隧道其截面为抛物线型，线段表示水平的路面，以为坐标原点，所在直线为轴，以过点垂直于轴的直线为轴，建立平面直角坐标系．若，抛物线的顶点到的距离为，则抛物线对应的函数表达式为______． 【答案】 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、拱桥问题(实际问题与二次函数) 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，由题意得，抛物线顶点坐标为，设抛物线对应的函数表达式为，且过，然后代入求出的值即可，掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 【详解】解：由题意得，抛物线顶点坐标为， 设抛物线对应的函数表达式为，且过， ∴，解得：， ∴抛物线对应的函数表达式为， 故答案为：． 【作业9】．（25-26九年级上·浙江温州·期中）某商场开展了家电惠民补贴活动，其中9月份投入资金20万元，设平均每月投入资金的增长率为x（），11月份的投入资金为y万元，则可列y关于x的函数表达式为______． 【答案】 【知识点】增长率问题(实际问题与二次函数) 【分析】本题考查了根据实际问题列二次函数的关系式的知识，从9月到11月经过两个月，每月增长率为x，因此11月资金是9月资金乘以的平方． 【详解】解：9月份投入资金为20万元，每月增长率为x，则10月份投入资金为万元，11月份投入资金为万元， 故． 故答案为：． 【作业10】．（2025·青海西宁·一模）某车刹车距离与开始刹车时的速度之间的函数关系式为，这辆汽车以的速度行驶，在前方处停放一辆故障车，此时刹车___________有危险（填“会”或“不会”）． 【答案】不会 【知识点】其他问题(实际问题与二次函数) 【分析】本题考查二次函数的实际应用，将代入函数解析式，求出，进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴当时，， ∴此时刹车不会有危险； 故答案为：不会． 【作业11】．（23-24九年级下·湖南长沙·期中）“一河诗画，满城烟花”，每逢过年过节，人们会在美丽的浏阳河边上手持网红烟花加特林进行燃放，当发射角度与水平面成45度角时，烟花在空中的高度（米）与水平距离（米）接近于抛物线，烟花可以达到的最大高度是________米． 【答案】12 【知识点】投球问题(实际问题与二次函数) 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，熟练掌握二次函数的图像与性质是解题关键．将原抛物线解析式化为顶点式，结合二次函数的图像与性质即可获得答案． 【详解】解：∵， 又∵， ∴当（米）时，烟花可以达到的最大高度，最大高度为12米． 故答案为：12． 【作业12】．（26-27九年级上·福建厦门·阶段检测）飞机着陆后滑行的距离（单位：米）关于滑行的时间（单位：秒）的函数解析式是，则飞机着陆后从开始滑行到完全停止所用的时间是_____秒． 【答案】 【知识点】y=ax²+bx+c的最值、其他问题(实际问题与二次函数) 【分析】飞机停下时，滑行距离最远，因此在本题中求出最大时对应的值即可． 【详解】解： ，这是一个二次函数，在对称轴处最大， 所以， 所以飞机着陆后从开始滑行到完全停止所用的时间是秒． 【作业13】．（24-25九年级上·江苏盐城·阶段检测）某公司在甲、乙两地同时销售某种品牌的汽车．已知在甲、乙两地的销售利润(万元)与销售量(辆)之间分别满足、．若该公司在甲、乙两地共销售辆该品牌的汽车，则能获得的最大利润为______万元． 【答案】 【知识点】最大利润问题(一次函数的实际应用)、销售问题(实际问题与二次函数) 【分析】本题考查了二次函数与一次函数的实际应用，设公司在甲地销售辆，则在乙地销售辆，可得，设总利润为万元，即可由得到关于的二次函数，最后根据二次函数的性质解答即可求解，根据题意正确列出函数解析式是解题的关键． 【详解】解：设公司在甲地销售辆，则在乙地销售辆， ∴， 设总利润为万元， 则， ∵， ∴当时，取最大值，最大值为， ∴获得的最大利润为万元， 故答案为：． 【作业14】．（24-25九年级上·广东广州·阶段检测）如图，某校劳动实践基地用总长为的栅栏，围成一块一边靠墙的矩形实验田，墙长为．栅栏在安装过程中不重叠、无损耗，设矩形实验田与墙垂直的一边长为（单位：），与墙平行的一边长为（单位：m），面积为（单位：）． (1)直接写出与，与之间的函数解析式； (2)求矩形实验田的面积的最大值和此时的值． 【答案】(1)， (2)当时，有最大值 【知识点】图形问题(实际问题与二次函数)、根据矩形的性质求线段长 【分析】（1）根据，求出与的函数解析式，根据矩形面积公式求出与的函数解析式； （2）将与的函数配成顶点式，先求出的取值范围，求出的最大值． 本题考查了矩形的性质，二次函数的实际应用，计算的取值范围是解题的关键． 【详解】（1）解：∵某校劳动实践基地用总长为的栅栏，设矩形实验田与墙垂直的一边长为（单位：），与墙平行的一边长为（单位：m），面积为（单位：） ， ， ， ； （2）解：， ， ， ， ， 当时，有最大值． 【作业15】．（23-24八年级下·浙江杭州·期末）把一个足球垂直地面向上踢，（秒）后该足球的高度（米）适用公式 (1)经多少秒后足球回到地面？ (2)经多少秒时球的高度为15米？ (3)当达到最高时，求的值． 【答案】(1)经4秒后足球回到地面； (2)经1秒或3秒时球的高度为15米； (3)的值为2． 【知识点】投球问题(实际问题与二次函数) 【分析】本题考查了二次函数在生活实际问题中的应用，将生活实际转化为数学问题是解题的关键． （1）令得关于的一元二次方程，解得的值并根据问题的实际意义作出取舍即可； （2）令得关于的一元二次方程，解得的值即可； （3）配成顶点式，利用二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：令得：， 解得：（舍去），． 答：经4秒后足球回到地面； （2）解：令得：， 解得：，． 答：经1秒或3秒时球的高度为15米； （3）解：， ∵， ∴当时，有最大值，最大值为20， ∴当达到最高时，的值为2． 【作业16】．（25-26九年级上·广东惠州·期末）如图是抛物线形的拱桥，水面米，拱顶C离水面2米． (1)求抛物线的解析式． (2)若水面下降1米，则水面的宽度是多少米？ 【答案】(1) (2)水面宽度为米 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、拱桥问题(实际问题与二次函数) 【分析】本题主要考查了待定系数法求函数解析式及二次函数的实际应用，解题关键熟练运用二次函数解决实际问题． （1）先求出三点坐标，然后利用待定系数法求解即可； （2）求出时，x的坐标，进而可求解． 【详解】（1）解：∵米，米， ∴点的坐标为：，点坐标为：，点坐标为：， 设抛物线的解析式为，将点坐标代入得到， 解得：， 故所求的抛物线的解析式为，即； （2）解：∵水面下降1米， ∴当时，， 解得， ∴此时水面的宽度为：米． 【作业17】．（23-24九年级上·浙江杭州·阶段检测）大型客机是我国首次按照国际通行适航标准自行研制，具有自主知识产权的喷气式干线客机，如图在某次大型客机过水门仪式中，两条水柱从两辆消防车、中斜向上射出，形似抛物线，以两车所连水平直线的中点为坐标原点，平行于的直线为轴，建立如图所示的平面直角坐标系，其函数关系式为，当两辆消防车喷射口位置的水平距离为米时，“水门”最高点距离喷射口的竖直高度为______米 【答案】25 【知识点】喷水问题(实际问题与二次函数) 【分析】本题主要考查二次函数的实际应用，熟练掌握二次函数的性质是解题关键．依据题意，把点的横坐标代入解析式可得点的纵坐标，即点的纵坐标，用29.23减去点的纵坐标即可． 【详解】解：， 将代入可得． ， （米． 故答案为：25 【作业18】．（24-25九年级下·贵州贵阳·阶段检测）体育公园的圆形喷水池的中央竖直安装了一个柱形喷水装置，A处为喷头向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下（如图①）．如图②，曲线表示的是落点B离点O最远的一条水流，水流喷出的高度y（m）与水平距离x（m）之间的表达式是，求圆形水池的半径至少为多少米时，才能使喷出的水流不至于落在池外． 【答案】圆形水池半径至少为时，才能使喷出的水流不至于落在池外． 【知识点】喷水问题(实际问题与二次函数) 【分析】本题主要考查二次函数的应用．求出函数解析式中时x的值，结合可得最终的x的值，从而得出的长． 【详解】解：当时，， 解得，， ∵， ∴，即． 答：圆形水池半径至少为时，才能使喷出的水流不至于落在池外． 2 1 学科网（北京）股份有限公司 $