第9讲·反比例函数图像及性质·培优讲义（知识梳理+典例+练习）·2026-2027学年人教版九年级数学上册

第9讲·反比例函数图像及性质·培优讲义 （知识梳理+典例+练习）·2026-2027学年人教版九年级数学上册 参考答案与试题解析 📌 思维导图 🎯 课程目标 · 理解反比例函数y=（k≠0）的概念及判定方法 · 掌握反比例函数图象（双曲线）的分布与增减性 · 能由点的坐标求k值，由解析式求函数值 · 能解反比例函数与一次函数的交点及不等式问题 · 能解与反比例函数相关的面积、几何综合及实际应用问题 📚 知识梳理 ☆ 1.反比例函数的概念 形如y=（k≠0）的函数叫反比例函数，也可写xy=k、y=kx-1 k是常数且k≠0，x的取值范围是x≠0的一切实数 判定：看能否化为y=形式，注意x的指数必须是-1 成反比例：两个量的乘积为定值 概念辨析例题：下列函数是反比例函数的是（　　） 答案：y= 解析：y=是y=形式（k=3）；y=分母不是x，y=是正比例函数，均不是反比例函数。 ☆ 2.图象与性质 图象是双曲线，分别位于第一、三象限（k>0）或第二、四象限（k<0） k>0时在每个象限内y随x增大而减小；k<0时在每个象限内y随x增大而增大 双曲线无限接近坐标轴但永不相交 图象关于原点中心对称，也关于y=x、y=-x轴对称 概念辨析例题：反比例函数y=的图象在第二、四象限，则m的取值范围是（　　） 答案：m<1 解析：图象在二、四象限说明k<0，即m-1<0，解得m<1。 ☆ 3.k值与点的坐标 点在图象上⇔点的坐标满足解析式，即xy=k 求k：代入图象上一点坐标 求函数值：代入x求y，或代入y求x 图象上横纵坐标的积恒等于k 概念辨析例题：反比例函数y=的图象经过点(2,-3)，则k=（　　） 答案：-6 解析：代入：k=xy=2×(-3)=-6。 ☆ 4.与一次函数的交点与不等式 交点坐标即方程组的解，联立y=与y=kx+b求解 由图象交点可直接写不等式>kx+b（或<）的解集 解集看图象位置：反比例图象在上方对应y大 注意交点把x轴分成多个区间，逐段判断 概念辨析例题：如图，一次函数y=kx+b与反比例函数y=交于A(-2,-1)、B(1,2)，则>kx+b的解集为（　　） 答案：x<-2或0<x<1 解析：反比例图象在直线上方：x<-2时（三象限）和0<x<1时（一象限），注意x≠0且分段判断。 ☆ 5.面积与几何综合 双曲线上一点P向x轴、y轴作垂线，矩形面积=|k| 与坐标轴围成三角形面积= 结合矩形、三角形、等边三角形等图形用坐标表示长度 注意k的符号决定象限，面积取绝对值 概念辨析例题：点P在双曲线y=上，PA⊥x轴于A，PB⊥y轴于B，则矩形PAOB的面积是（　　） 答案：6 解析：矩形面积=|k|=|6|=6，与点P位置无关。 📋 知识总结表 核心概念 定义/公式 注意事项 反比例函数 y=（k≠0） x指数为-1 图象分布 k>0一三象限 k<0二四象限 增减性 每象限内k>0递减 强调在每个象限内 k的求法 k=xy 代入点坐标 交点 联立方程组 交点即方程组的解 面积 矩形|k|，三角 取绝对值 ⚠️ 核心考点 【考点1】反比例函数的概念与识别（第1-7题） · 看能否化为y=、xy=k形式，x指数为-1 · 成反比例关系：两量乘积为定值 · 含参数的反比例函数：由指数-1且k≠0列条件 1．（25-26七年级上·全国·课后作业）下面每组的两个量中，成反比例关系的是（    ） A．圆柱的体积一定，它的底面积和高 B．长方形的周长一定，长和宽 C．每天的烧煤量一定，烧的天数和煤的总量 D．汽车行驶的速度一定，行驶的时间和距离 【答案】A 【知识点】根据定义判断是否是反比例函数 【分析】本题考查了反比例函数，先明确反比例关系的定义，即两种相关联的量乘积一定，再依次分析每个选项中两个量的关系是否满足该定义. 【详解】解：A、圆柱的体积公式，（表示体积，表示底面积，表示高），体积一定，即为定值，符合题意； B、周长公式，（表示周长，表示长，表示宽），是定值，但是不是，不符合题意； C、煤的总量每天烧煤量烧的天数，每天烧煤量一定时，煤的总量与烧的天数的比为定值，二者成正比例关系，不符合题意； D、汽车行驶距离速度时间，速度一定时，距离与时间的比值为定值，二者成正比例关系，不符合题意； 故选：A ． 2．（25-26九年级上·北京·课后作业）下列函数中，是关于变量与的反比例函数有（　　）个 ①（为常数）；②；③；④；⑤；⑥． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【知识点】根据定义判断是否是反比例函数 【分析】本题考查反比例函数定义：两个变量之间的关系为的形式，由反比例函数定义逐项判断即可得到答案，熟记反比例函数定义是解决问题的关键． 【详解】解：①（为常数），是反比例函数； ②，是正比例函数； ③，是反比例函数； ④，是反比例函数； ⑤，是正比例函数； ⑥由得到，是反比例函数； 综上所述，反比例函数有：①③④⑥，共4个， 故选：D． 3．（23-24七年级上·山东淄博·开学考试）下列各式中，和成反比关系的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】根据定义判断是否是反比例函数 【分析】本题考查了反比例函数的定义、一次函数、比例的性质、等式的性质等知识点，能熟记反比例函数的定义是解题的关键． 先根据等式的性质把每个式子化成用b表示a的形式，再根据反比例函数的定义判断即可． 【详解】解：A．由，则，则此函数是反比例函数，故本选项符合题意； B．，则，则此函数是一次函数，不是反比例函数，故本选项不符合题意； C．，则，则此函数是正比例函数，不是反比例函数，故本选项不符合题意； D．，则，则此函数是一次函数，不是反比例函数，故本选项不符合题意； 故选：A． 4．（24-25九年级上·甘肃张掖·阶段检测）已知反比例函数，则k的值不可能为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】根据反比例函数的定义求参数 【分析】本题考查了反比例函数的定义，根据反比例函数的定义可得，即可求解． 【详解】解：依题意，， ∴， 故选：C． 5．（25-26九年级上·全国·课后作业）已知是反比例函数，则的值是______，反比例系数是______，自变量取值范围是______． 【答案】 【知识点】求自变量的取值范围、根据反比例函数的定义求参数 【分析】本题考查了反比例函数的定义，根据反比例函数的定义即可求解，掌握反比例函数的定义是解题的关键． 【详解】解：∵是反比例函数， ∴，即有，反比例系数是，自变量取值范围是， 故答案为：，，． 6．（23-24八年级下·四川内江·阶段检测）已知是关于的反比例函数，则______． 【答案】 【知识点】已知字母的值 ，求代数式的值、根据反比例函数的定义求参数 【分析】本题考查了反比例函数的定义、求代数式的值，反比例函数的一般形式是（为常数，），先根据反比例函数的定义求出的值，再代入计算即可得出答案． 【详解】解：由题意得：，， 解得：， ∴， 故答案为：． 7．（26-27九年级上·全国·周测）已知是关于x的反比例函数，求的值． 【答案】 【知识点】已知式子的值，求代数式的值、根据反比例函数的定义求参数 【分析】根据反比例函数的定义：形如（k为常数，）的函数称为反比例函数，得到，求出m，然后代入求解即可． 【详解】解：∵是关于x的反比例函数， ∴， 解得， 则． 【考点2】图象分布与性质（第8-15题） · 由k符号定象限，由象限求k范围 · 增减性看k符号，注意在每个象限内 · 比较函数值大小：结合图象位置或代入计算 8．（25-26八年级下·湖南衡阳·期末）在同一平面直角坐标系中，函数与 的图象大致是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】一次函数与反比例函数图象综合判断 【分析】分类讨论，当时，故经过第一、二、四象限，经过第一、三象限，或当时，经过第一、二、三象限，且进行逐项分析，即可作答． 【详解】解：依题意，当时，则， ∴经过第一、二、四象限， 此时得经过第一、三象限， 故A选项符合题意，B、D选项都不符合题意； 当时，则， ∴经过第一、二、三象限， 故C选项不符合题意； 综上，只有选项A符合题意． 9．（2026·山东德州·中考真题）在反比例函数的图象上有两点和，若，则的取值范围是（     ） A．且 B． C．或 D．或 【答案】C 【知识点】判断反比例函数的增减性、已知反比例函数的增减性求参数 【分析】先根据反比例函数系数的符号判断函数图象位置与增减性，再求出的值，分点在第三象限和第一象限两种情况讨论，即可得到的取值范围． 【详解】∵反比例函数中，， ∴函数图象位于第一、三象限，且在每个象限内，随的增大而减小，. 将代入，得. 由得，分两种情况讨论： ① 当时，点在第三象限，，结合第三象限内随增大而减小，可得； ② 当时，点在第一象限，，由可知恒成立，即所有都满足条件； 综上，的取值范围是或． 10．（25-26九年级上·安徽合肥·期末）对于反比例函数，下列说法不正确的是（   ） A．图象分布在第二、四象限 B．当时，随的增大而增大 C．图像经过点 D．若点，都在图象上，且，则 【答案】D 【知识点】判断反比例函数的增减性、判断反比例函数图象所在象限、比较反比例函数值或自变量的大小 【分析】本题考查了反比例函数的图象与性质，掌握反比例函数的性质是解题的关键．根据反比例函数的性质，当时，图象在第二、四象限，在每个象限内随的增大而增大，逐项分析即可求解． 【详解】解：∵反比例函数，， ∴图象分布在第二、四象限，故A选项正确； ∵，当 时，随的增大而增大，故B选项正确； 当时，，故图象经过点，故C选项正确； 对于D选项，若，则，此时成立；但若，则，故不一定成立，因此D选项不正确． 故选：D． 11．（22-23八年级下·吉林长春·期中）已知反比例函数，当时，y的最大值为______． 【答案】/ 【知识点】求反比例函数值、判断反比例函数的增减性 【分析】对反比例函数，在，随的增大而减小，则在时取得最大值． 【详解】解：当时，反比例函数的图象随的增大而减小， 则在时取得最大值，． 故答案为：． 【点睛】本题考查了反比例函数的性质，重点是注意中的取值． 12．（25-26八年级下·上海青浦·期末）如果反比例函数的图像位于第一、三象限，那么________．（只需写一个数值） 【答案】（答案不唯一） 【知识点】已知双曲线分布的象限，求参数范围 【分析】根据反比例函数的图像位置与符号的关系，确定的取值范围，写出一个符合条件的数值即可. 【详解】解：反比例函数的图像位于第一、三象限， ， 取符合条件的数值，得． 13．（2026·北京·二模）反比例函数的图象上，横、纵坐标都是整数的点的个数是______． 【答案】 【知识点】求反比例函数值 【分析】根据反比例函数横纵坐标满足，找出所有使横纵坐标均为整数的的取值，计算对应后统计点的个数即可. 【详解】解：由可得, 因为点的横纵坐标均为整数，所以为的整数因数，的所有可能取值为. 分别计算对应的值： 当时，，符合要求； 当时，，符合要求； 当时，，符合要求； 当时，，符合要求； 当时，，符合要求； 当时，，符合要求； 当时，，符合要求； 当时，，符合要求。 综上，符合要求的点共有个. 14．（26-27九年级上·全国·单元复习）选一个数作为m的值，使关于x的函数的图象在每个象限y随x的增大而增大，则m的值为________． 【答案】（答案不唯一） 【知识点】已知反比例函数的增减性求参数 【分析】根据反比例函数的性质得到，确定的取值范围后任选一个符合条件的值即可． 【详解】解：∵函数的图象在每个象限随的增大而增大， ∴反比例函数的比例系数小于，即，解得，取，符合条件． 15．（26-27九年级上·全国·课后作业）在平面直角坐标系中，画出反比例函数的图象． 【答案】如图所示 【知识点】判断（画）反比例函数图象 【分析】用描点法画出反比例函数的图象，步骤为列表、描点、连线，取值时注意，以为中心对称选取正负的值，便于计算值和体现图象的对称性． 【详解】解：列表如下： 在平面直角坐标系中，画图如下：略 【考点3】k值与点的代入（第16-24题） · 点代入k=xy求k、求函数值 · 表格数据：验证xy是否为定值 · 由解析式与条件（如过点、成反比例）求参数 16．（25-26九年级上·广东湛江·期末）已知反比例函数的图象过点，则k的值为（    ） A．2 B． C．6 D． 【答案】D 【知识点】根据反比例函数的定义求参数 【分析】本题考查反比例函数的基本性质，已知反比例函数图象上的点，将点的坐标代入函数解析式即可求出参数k的值． 【详解】解：∵反比例函数的图象过点， ∴将，代入中， 得， ∴， 故选：D． 17．（2025·广东东莞·模拟预测）若和成反比例关系，当的值分别为，时，的值如表所示，则表中的值是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】求反比例函数值 【分析】本题考查了反比例的定义，有理数的乘法与除法，解题的关键是掌握反比例的定义．根据乘积为定值的两个数成反比例关系，和成反比例关系，可得，进而得出答案． 【详解】解：和成反比例关系， ， ． 故选：C． 18．（24-25九年级上·安徽亳州·阶段检测）在平面直角坐标系中，若反比例函数的图像经过点和，则的值是________． 【答案】0 【知识点】求反比例函数值 【分析】本题考查了反比例函数图像上点的坐标特征，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键．将点和代入函数，求得，，再相加即可． 【详解】解：∵函数的图像经过点和， ∴可有，， ∴． 故答案为：0． 19．（2026·吉林·中考真题）已知点，都在反比例函数的图象上，比较与的大小：__________． 【答案】 【知识点】判断反比例函数的增减性、判断反比例函数图象所在象限、比较反比例函数值或自变量的大小 【分析】根据反比例函数的比例系数判断函数图象经过的象限，以及在每个象限内的函数增减性，结合两点的横坐标比较纵坐标的大小即可． 【详解】解：∵在反比例函数 中，， ∴反比例函数的图象分布在第一、三象限，且在每个象限内随的增大而减小， ∵点，的横坐标都为正， ∴这两点都在第一象限， 又∵ ， ∴． 20．（2022·辽宁沈阳·模拟预测）已知反比例函数的图象经过点，则______． 【答案】 【知识点】由反比例函数值求自变量 【分析】根据反比例函数图象上点的坐标特征，点在函数图象上则点的坐标满足函数解析式，将点的坐标代入已知反比例函数解析式，得到关于的一元一次方程，求解方程即可得到的值． 【详解】解： 反比例函数的图象经过点， 将，代入得： ， 等式两边同乘得： ， 等式两边同除以得：， 移项得：． 21．（25-26九年级上·广西钦州·期末）下面表格信息反映的是反比例函数的几组自变量与对应的函数值． 1 2 3 2 6 (1)直接写出各字母表示的数值： ； ； ； (2)根据表中各数值和（1）中的结果，在平面直角坐标系中通过描点连线，画出反比例函数的图象； (3)已知直线经过与两点，在平面直角坐标系中画出该直线，观察图象，指出当时自变量的取值范围． 【答案】(1)；； (2) 图象如图所示： (3)或 【知识点】画一次函数图象、求反比例函数解析式、判断（画）反比例函数图象、一次函数与反比例函数的交点问题 【分析】（1）先根据表格得出反比例函数的图象经过点，代入求出k的值；再把点，代入函数解析式求出m、n的值； （2）先描点，再连线，画出函数图象即可； （3）连接点与画出函数的图象，观察函数图象，找出一次函数在反比例函数图象上方部分所对的自变量的范围即可得出当时自变量的取值范围． 【详解】（1）解：根据表格可知：反比例函数的图象经过点， ∴， 解得：， ∴反比例函数解析式为， 把，分别代入得： ，； （2）略 （3）解：直线的图象，如图所示： 观察图象，当或时，一次函数图象在反比例函数图象的上面， ∴当时，自变量的取值范围是或． 22．（2024九年级·全国·竞赛）已知一个反比例函数的解析式为（为常数，）． (1)若点在这个反比例函数的图象上，求的值； (2)若在这个反比例函数图象的每一个分支上，的值随的增大而增大，求的取值范围； (3)若，判断点是否在这个函数的图象上． 【答案】(1)1 (2) (3)点在这个函数的图象上，点不在这个函数的图象上 【知识点】求反比例函数解析式、根据反比例函数的定义求参数、已知反比例函数的增减性求参数 【分析】此题考查了反比例函数，熟练掌握反比例函数的图象和性质是解题的关键． （1）将点代入表达式计算即可得到答案； （2）根据在这个函数图象的每一分支上，y随x的增大而减小，得到不等式并解不等式即可得到答案； （3）根据反比例函数表达式代入横坐标，判断纵坐标是否相等即可得到答案． 【详解】（1）解： 点在这个反比例函数的图象上， ， 解得． （2）若在这个反比例函数图象的每一个分支上，的值随的增大而增大， 则， 解得． （3）若，则， 而， 点在这个函数的图象上， 点不在这个函数的图象上． 23．（25-26八年级下·全国·课后作业）已知是的反比例函数，且当时，． (1)求这个函数的表达式； (2)求当时，的值； (3)当取何值时，？ 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】求反比例函数解析式、求反比例函数值、由反比例函数值求自变量 【分析】（1）由待定系数法求解即可； （2）由（1）中所求函数表达式，将代入表达式计算即可； （3）由（1）中所求函数表达式，将代入表达式解方程即可． 【详解】（1）解： 是的反比例函数， 设， 当时，， ，解得， 则这个函数的表达式为； （2）解：由（1）知反比例函数表达式为， 当时，； （3）解：由（1）知反比例函数表达式为， 当时，，解得， 经检验是分式方程的解， 当时，． 24．（24-25八年级下·浙江杭州·期末）已知，是反比例函数图象上的两点． (1)若，，求的值． (2)若，关于原点中心对称，求的值． (3)当，，时，求的取值范围． 【答案】(1)4 (2) (3) 【知识点】求反比例函数值、已知反比例函数的增减性求参数、比较反比例函数值或自变量的大小 【分析】本题主要考查了反比例函数图像上点的坐标特征、反比例函数的性质，中心对称的性质，掌握反比例函数的性质是解题的关键． （1）把，代入，求出，再计算即可； （2）根据中心对称的点的坐标特征求解即可； （3）先确定，，进而确定点在第三象限，点在第一象限，最后根据象限内的点的坐标特征列不等式求解即可． 【详解】（1）解：当，时， ，， ； （2）∵，关于原点中心对称，且都在函数图象上 ∴，，， ∴ （3）∵，， ∴， ∵时，图象在第一、三象限，在每个象限内，随的增大而减小， ∵，， ∴点和点不在同一象限内， ∴点在第三象限，点在第一象限， ∴，且， 解得：． 【考点4】与直线交点及不等式（第25-31题） · 联立方程组求交点坐标 · 由对称性：两交点关于原点中心对称 · 看图解不等式：按交点分段判断图象上下位置 25．（25-26九年级上·山西太原·阶段检测）如图，反比例函数的图象与正比例函数的图象相交于，两点，点的横坐标为．当时，的取值范围是_____． 【答案】或 【知识点】比较反比例函数值或自变量的大小、一次函数与反比例函数的交点问题 【分析】本题考查反比例函数与一次函数的交点问题，根据正比例函数的中心对称性可得点横坐标，再利用函数图象得出的取值范围． 【详解】解： ，两点在正比例函数的图象上， ，两点关于原点对称， 点的横坐标为， 点的横坐标为， 由函数图象可知，在点的左侧和点的右侧， 当时，或． 26．（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，则不等式的解集是______． 【答案】或 【知识点】一次函数与反比例函数的交点问题 【分析】观察函数图象即可求解． 【详解】解：观察图像可得，当或时，一次函数的图象位于反比例函数图象的上方， ∴不等式的解集为或． 27．（2024·湖北武汉·模拟预测）如图，平面直角坐标系中，反比例函数 与一次函数的图象相交于点，两点． (1)求反比例函数与一次函数的解析式； (2)直接写出的解集． 【答案】(1)； (2)或 【知识点】求一次函数解析式、求反比例函数解析式、一次函数与反比例函数的交点问题 【分析】本题考查了反比例函数和一次函数的综合应用，正确进行计算是解题关键． （1）把点代入求出，进而求出，把点，代入，即可求出； （2）直接根据函数图象作答即可． 【详解】（1）解：点在反比例函数的图象上， ． ∴反比例函数的解析式为； 把代入，则． ∴点． 把，代入，得 ，解得 ∴一次函数的解析式为． （2）解：，， 由图象可知，不等式的解集为或． 28．（2026·湖北黄石·一模）如图，在同一平面直角坐标系中，一次函数和反比例函数的图象相交于点，． (1)直接写出点、的坐标； (2)求一次函数的解析式； (3)根据图象，直接写出不等式的解集． 【答案】(1) ， (2) (3) 【知识点】求一次函数解析式、根据反比例函数的定义求参数、一次函数与反比例函数图象综合判断、一次函数与反比例函数的交点问题 【分析】本题考查待定系数法求函数解析式，一次函数与反比例函数的交点问题，根据图象解不等式，熟练掌握相关知识并运用数形结合思想是解题关键． （1）运用反比例函数解析式求出点、的坐标即可； （2）使用待定系数法求出一次函数的解析式； （3）根据图象判断不等式的解集即可． 【详解】（1）解：将代入，得， ∴点坐标为， 将代入，得， ∴点坐标为； （2）解：将 ，代入，得， 解得：， ∴一次函数的解析式为； （3）解：不等式，意味着反比例函数图象低于一次函数的图象，且两个函数的图象都在轴下方， 将代入，得， 解得：， 由图象可知，不等式的解集为． 29．（2024·江苏苏州·三模）如图1，反比例函数与一次函数的图象交于点，点，一次的数与y轴相交于点C． (1)求反比例函数和一次函数的表达式； (2)）如图2，点是反比例函数图象上点右侧一点，连接，把线段绕点顺时针旋转，点的对应点恰好也落在这个反比例函数的图象上，求点的坐标． 【答案】(1)反比例函数解析式为，一次函数解析式为 (2)点坐标为 【知识点】反比例函数与几何综合、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、一次函数与反比例函数的交点问题 【分析】本题考查反比例函数与一次函数的交点问题，熟知反比例函数及一次函数的图象和性质是解题的关键． （1）将点坐标代入反比例函数解析式，求出，再求出点坐标，最后用待定系数法求出一次函数解析式即可． （2）先设出点的坐标，再利用旋转的性质结合全等三角形的性质得出点的坐标即可解决问题． 【详解】（1）将点坐标代入反比例函数解析式得， ， 所以反比例函数解析式为． 将点坐标代入反比例函数解析式得， ， 所以点的坐标为． 将点和点的坐标代入一次函数解析式得，， 解得， 所以一次函数解析式为． （2）设点的坐标为， 过点作轴的平行线，分别过点和点作的垂线，垂足分别为和， 由旋转可知， ，， ， ． 在和中， ， ． ，． 点坐标为，点坐标为， ，， 点的坐标为，． 点在函数图象上， ， 解得，， 因为点坐标为， 所以舍去， 所以点坐标为． 30．（2025·江苏苏州·模拟预测）如图，一次函数与反比例函数的图像交于点，与x轴交于点B，与y轴交于点． (1)求m、k的值； (2)点D是的图像上一点，且，求点D的坐标． 【答案】(1)， (2)或 【知识点】一次函数与反比例函数图象综合判断、一次函数与反比例函数的交点问题 【分析】本题考查反比例函数与一次函数的综合应用，正确的求出函数解析式，利用数形结合的思想进行求解，是解题的关键． （1）先把点代入一次函数，求得，再将点代入一次函数，得到，将代入反比例函数，即可求出的值； （2）利用，列出方程进行求解即可． 【详解】（1）解：∵一次函数的图像与y轴交于点， ∴， ∵一次函数的图像过点， ∴，解得， ∴， ∵反比例函数的图像过点， ∴． （2）解：由（1）知，，当时，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴或， ∵点D是的图像上一点， ∴当时，；当时，， ∴或． 31．（2025·四川广安·中考真题）如图，一次函数（k，b为常数，）的图象与反比例函数（m为常数，）的图象交于A，B两点，点A的坐标是，点B的坐标是． (1)求一次函数和反比例函数的解析式． (2)根据函数图象直接写出关于x的不等式的解集． 【答案】(1)一次函数的解析式为，反比例函数的解析式为 (2)或 【知识点】一次函数与反比例函数的交点问题 【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数综合，正确求出对应的函数解析式是解题的关键． （1）先把点A坐标代入反比例函数解析式求出反比例函数解析式，再把点B坐标代入反比例函数解析式求出点B坐标，最后把点A和点B坐标代入一次函数解析式，求出一次函数解析式即可； （2）根据函数图象找到一次函数图象在反比例函数图象上方时自变量的取值范围即可得到答案． 【详解】（1）解：把点代入，得，解得， 反比例函数的解析式为， 把点代入，得，解得， ， 把，代入得，解得 一次函数的解析式为； （2）解：由函数图象可知，当一次函数图象在反比例函数图象上方时自变量的取值范围为或， ∴关于x的不等式的解集或． 【考点5】面积与几何综合（第32-47题） · 矩形面积=|k|，三角形面积= · 几何图形中用坐标与k表示边长、面积 · 等边三角形、矩形、平行四边形结合双曲线求k 32．（25-26九年级下·江苏盐城·阶段检测）如图，在正方形网格上建立直角坐标系，轴、轴都在网格线上，其中1格代表1个单位长度．反比例函数的图象被撕掉了一部分，已知点，在格点上，则（  ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】A 【知识点】求反比例函数解析式 【分析】根据题意可设，则，则，据此求解即可． 【详解】解：由函数图象可知，点M的横坐标为1，点N的横坐标为2，且点N的纵坐标比点M的纵坐标小2， 设，则， ∵点，在反比例函数的图象上， ∴， ∴， ∴． 33．（2024·广西南宁·三模）如图，在平面直角坐标系中，点，在反比例函数的图象上．点的坐标为．连接，，．若，，则的值为(　　) A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】反比例函数与几何综合 【分析】本题考查了反比例函数的图象和性质，全等三角形的判定和性质，过点作轴于点，过点作于点，证明，进而根据全等三角形的性质得出，根据点，进而得出，根据点在反比例函数的图象上．列出方程，求得的值，进而即可求解． 【详解】解：如图所示，过点作轴于点，过点作于点，      ∴， ∵， ∴ ∴ ∴ ∵点的坐标为． ∴， ∴ ∵在反比例函数的图象上， ∴ 解得：或（舍去） ∴ 故选：D． 34．（24-25八年级下·江苏扬州·期末）在平面直角坐标系中，对于点和，若时，；时，，则称点是点的“演绎点”．若点是反比例函数图象上点的“演绎点”，则的值为（   ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】B 【知识点】根据反比例函数的定义求参数 【分析】本题考查了函数的新定义，反比例函数的图象上点的坐标特征，由反比例函数解析式可设，分和两种情况，根据“演绎点”的定义解答即可求解，理解题意是解题的关键． 【详解】解：∵点在反比例函数上， ∴可设， ∵点是反比例函数图象上点的“演绎点”， 当时，， ∴， 解得； 当时，， ∴， 解得； 经检验，是分式方程的解， 综上，值为或， 故选：． 35．（22-23九年级上·山东威海·期末）如图所示，在平面直角坐标系中，四边形为矩形，点分别在轴、轴上，点在函数的图象上，边与函数的图象交于点，已知阴影部分的面积为，则（   ）． A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】已知比例系数求特殊图形的面积 【分析】本题考查了反比例函数的几何意义，根据反比例函数的几何意义分别求出矩形和的面积，根据阴影部分的面积为，可得关于的一元一次方程，解方程后结合反比例函数的性质即可求解，掌握是解题的关键． 【详解】解：∵点在函数的图象上， ∴， ∵点在函数的图象上， ∴， ∵阴影部分的面积为， ∴， ∴， ∴， ∵函数的图象位于第二象限， ∴， ∴， 故选：． 36．（2022·湖南娄底·模拟预测）如图，等边的边在轴的负半轴上，双曲线过的中点，已知等边三角形的边长是4，则该双曲线的表达式为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】反比例函数与几何综合、求反比例函数解析式、等边三角形的性质、解直角三角形的相关计算 【分析】过点C作交于点，由等边三角形的性质和解直角三角形求出，把点坐标代入双曲线，即可求出值，进而求出双曲线的表达式． 【详解】解：过点C作交于点， ∵等边三角形的边长是， ∴，， ∵点C是边的中点， ∴， ∴， ∴， ∵双曲线过点， ∴， 解得：， ∴该双曲线的表达式为． 37．（2024·陕西咸阳·模拟预测）如图，矩形、矩形在平面直角坐标系中的位置如图所示，A、B在x轴正半轴上，E、D在y轴正半轴上，顶点C、P在第一象限，M为的中点，反比例函数（，k为常数，）的图像恰好经过点M、P，若阴影部分面积为8，则k的值为________． 【答案】8 【知识点】写出直角坐标系中点的坐标、根据图形面积求比例系数（解析式）、 求矩形在坐标系中的坐标 【分析】本题考查了反比例函数系数k的几何意义，中点坐标，矩形的性质，求出矩形的面积是解题的关键； 根据题意，可设出点P、M的坐标，然后利用反比例函数的性质和矩形的性质即可求得k的值． 【详解】解：反比例函数的图象恰好经过点M、P， 设点P的横坐标为a，则纵坐标为，点M的横坐标为b，则纵坐标为， 在矩形和矩形中，轴，轴， M为的中点， 点C的横坐标为b，则纵坐标为， A、B在x轴正半轴上，E、D在y轴正半轴上，顶点C、P在第一象限，阴影部分面积为8， ，，，， 阴影面积， 解得：， 故答案为：8. 38．（18-19九年级上·山东烟台·阶段检测）如图，点A、B是双曲线上的点，分别过A、B两点向x轴、y轴作垂线段，若空白矩形面积与的和为6，则阴影部分面积为________． 【答案】2 【知识点】反比例函数与几何综合、已知比例系数求特殊图形的面积 【分析】本题考查了反比例函数的几何性质（双曲线上点向坐标轴作垂线段，所得矩形面积为​），解题的关键是用“空白面积阴影面积”表示矩形面积，通过面积和差求阴影面积． 根据反比例函数k值得几何意义求出各矩形面积，然后代入求解即可． 【详解】解：如图， ∵点A、B是双曲线上的点， ， 即， 上两式左右相加，得， ∵， ∴， 故答案为：2． 39．（24-25九年级上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）如图， 在平面直角坐标系中， 点为第一象限内一点， 连接，，过点作轴于点，，反比例函数的图象经过的中点， 且与交于点． 则线段的长为______． 【答案】 【知识点】反比例函数与几何综合、由反比例函数值求自变量、用勾股定理解三角形、相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，根据勾股定理得，可得点的坐标，继而确定的值，即可得解．求得点的纵坐标是解题的关键． 【详解】解：∵轴，，， ∴， ∴点A的坐标为， ∵点是的中点， ∴点C的坐标为， ∵点和点在反比例函数的图象上， ∴， ∴反比例函数的解析式为， 当时，， ∴ ∴， ∴线段的长为． 故答案为：． 40．（2024·辽宁·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，的边轴，边轴，且点在反比例函数（k为大于0的常数，）的图象上．若的面积是2，则k的值是________． 【答案】8 【知识点】根据图形面积求比例系数（解析式） 【分析】根据边轴，边轴，得到，根据题意，，结合反比例函数的性质解答即可． 本题考查了反比例函数的性质，熟练掌握性质是解题的关键． 【详解】解：∵边轴，边轴， ∴， 根据题意，，的面积是2， ∴，， ∴， 解得， 故答案为：8． 41．（2024·安徽合肥·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，OABC的两个顶点A，B分别在反比例函数，的图象上，顶点C在x轴的正半轴上，已知OABC的面积为8． （1）______； （2）延长OA交反比例函数的图象于点D，连接BD，则△ABD的面积=______． 【答案】 9 8 【知识点】反比例函数与几何综合、根据图形面积求比例系数（解析式）、利用平行四边形的性质求解、相似三角形的判定与性质综合 【分析】（1）设点 则 ，根据平行四边形面积列出 ，解得： 即可； （2）根据反比例函数系数的几何意义以及相似三角形的性质得出 ，再根据三角形、平行四边形的面积公式进行计算即可. 【详解】解：(1)设点 则 ， 的面积为8. 解得： ， 故答案为：9； (2)如图，过点 作 轴，垂足为 过 点 作 轴，垂足为， 交 于点 ， 由(1)可知两个反比例函数解析式为： 和 ， . 故答案为：8. 【点睛】本题考查反比例函数系数的几何意义，平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质，掌握反比例函数系数的几何意义，平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质以及三角形、平行四边形的面积的计算方法是正确解答的关键. 42．（2025·陕西咸阳·模拟预测）如图，点B是反比例函数图象上的点，点A是反比例函数图象上的点，线段轴于点．若，对于反比例函数，当时，的值为__________． 【答案】 【知识点】反比例函数与几何综合、求反比例函数解析式 【分析】本题考查了反比例函数中系数的几何意义，熟练掌握和运用反比例函数中系数的几何意义是解决本题的关键． 设，点的横坐标为，利用求出，再利用求出值即可． 【详解】解：设，点的横坐标为， ∴， 解得， ∴， ∴， 解得， ∴， 当时，的值为， 故答案为：． 43．（2023九年级·安徽·专题练习）在平面直角坐标系中，如果一个点的横坐标与纵坐标互为相反数，那么称该点为“黎点”． 例如都是“黎点”． （1）当时，双曲线上的“黎点”为________； （2）若抛物线（为常数）上有且只有一个“黎点”，则当时，的取值范围为___________． 【答案】 【知识点】抛物线与x轴的交点问题、由反比例函数值求自变量 【分析】本题考查反比例函数图象上的点特征，二次函数的性质等知识；解题的关键是理解题意，学会用转化的思想思考问题． （1）设双曲线上的“黎点”为，构建方程求解即可； （2）抛物线（a、c为常数）上有且只有一个“黎点”，推出方程有且只有一个解，即，可得结论． 【详解】（1）解：设双曲线上的“黎点”为， 则有（负值舍去）， 经检验，是原分式方程的解， 当时，双曲线上的“黎点”为． （2）抛物线（为常数）上有且只有一个“黎点”， 方程即有且只有一个解， ， ． 44．（23-24九年级上·吉林长春·期末）在反比例函数的图象上有不重合的两点、，点的纵坐标为2． (1)求点的横坐标； (2)过点向轴作垂线，垂足是，试求． 【答案】(1)点的横坐标为4； (2) 【知识点】已知比例系数求特殊图形的面积 【分析】本题考查了反比例函数的图象和性质． （1）将点的横坐标代入求解即可； （2）设，则有，，根据三角形面积公式可得答案． 【详解】（1）解：∵反比例函数的图象上的点纵坐标为2， ∴， ∴， ∴点的横坐标为4； （2）解：设则有， ，， ∴． 45．（2024·吉林·三模）如图，点B、是反比例函数图象上的两点，过点B的直线与x轴交于点A，轴，垂足为D，与交于点E，点B的横坐标为6． (1)求k、b的值； (2)求的面积． 【答案】(1)， (2)2 【知识点】一次函数与反比例函数的其他综合应用 【分析】本题考查反比例函数、一次函数交点坐标以及待定系数法求函数关系式： （1）代入点C坐标求得反比例函数的关系式，再计算点B的坐标，将点B坐标代入一次函数解析式求解即可； （2）分别求出点A、D和E的坐标，由三角形的面积的计算方法进行计算即可． 【详解】（1）解：∵点在反比例函数的图象上， ∴， ∴反比例函数的关系式为； ∵点B的横坐标为6， ∴点B的纵坐标为4，即点， 将代入得：， 则； （2）解：∵，轴， ∴点， 由（1）可得，直线解析式为， 当时，，点， 当时，， ∴点E的坐标为， ∴． 46．（11.2反比例函数的图像与性质（2）八年级数学下册苏科版）如图，已知反比例函数的图像经过矩形的边的中点F，交于点E． (1)证明E为的中点； (2)若四边形的面积为2，求k的值． 【答案】(1) 证明：点F是矩形的边的中点， 都在反比例函数上， ，， 设， 代入， 解得， ， ， E为的中点； (2) 【知识点】反比例函数与几何综合、根据矩形的性质求线段长 【分析】本题主要考查反比例函数的图像和性质，矩形的性质，熟练掌握反比例函数的图像和性质是解题的关键． （1）设点，根据题意得到，求出，即可得到结论． （2）设，得到，得到矩形的面积为，根据四边形的面积为2列出等式即可得到答案． 【详解】（1）略 （2）解：设， 是的中点， ， ， ， ， 四边形的面积， ． 47．（23-24九年级上·福建福州·期中）我们把与x轴有两个不同交点的函数称为“明盟函数”，交点称为“明盟点”，两交点间的距离称为“明盟距” (1)判断下列函数是“明盟函数”吗？如果是，请在括号里打“√”，并计算“明盟距”填在横线上，如果不是“明盟函数”则在括号里打“×”； ①（    ），______；②（    ），______； (2)求出“明盟函数”的“明盟距”； (3)“明盟函数”G：左侧的“明盟点”位于和之间（含A、B两点）时，关于t的代数式，（其中）的最小值为，求n的值． 【答案】(1)①×；②√， (2)4 (3)或 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、求抛物线与x轴的交点坐标、用反比例函数描述数量关系 【分析】（1）根据“明盟函数”的定义进行判断，即可求解； （2）根据“明盟函数”的定义可得，用因式分解法求解即可； （3）根据“明盟函数”的定义可求该函数与轴的交点坐标为：，， 从而可得左侧的“明盟点”坐标为：，进而可求，可得，分类讨论：①当时，②当时，由二次函数的性质即可求解． 【详解】（1）解：①反比例函数与轴没有交点， 故不是“明盟函数”， 故答案为：×； ②当时， ， 解得：，， 与轴的交点坐标为：，， “明盟距”为：， 故答案为：√，4． （2）解： 是“明盟函数”， 当时 ， 整理得：， 解得：， 与轴的交点坐标为： ，， “明盟距”为：． （3）解：函数是“明盟函数”， 函数图象与有两个交点， ， ， 解得：， ， 该函数与轴的交点坐标为：，， 左侧的“明盟点”坐标为：， 左侧的“明盟点”位于和之间， ， 解得：； ， 设 ， 该函数开口向上， ①当时， 此时时，函数有最小值， 函数最小值为， ， 解得：， ②当时， 该函数的对称轴为， 当时，随的增大而减小， 当时，函数取最小值， ， 解得：，（不合题意，舍去）， 综上：的值为或． 【点睛】本题考查了新定义：“明盟函数”，二次函数与一元二次方程，解含有参数的一元二次方程，二次函数的性质，理解新定义，掌握二次函数与交点的个数与对应方程根的情况及的取值范围不同进行分类讨论是解题的关键． 【考点6】实际应用（第48-52题） · 找成反比例关系：乘积为定值 · 由表格或条件确定k，再求对应值 · 物理公式（杠杆、压强等）按公式变形求解 48．（2026·山东泰安·二模）下列变量之间的关系不能用如图（第一象限内的反比例函数曲线）近似表示的是（   ） A．当压力F一定时，压强P与受力面积S之间的函数关系 B．当物体的质量m一定时，物体的密度与体积V之间的函数关系 C．当行驶的路程s一定时，时间t与速度v的函数关系 D．当三角形的一条边长a一定时，它的面积S与这条边上的高h之间的函数关系 【答案】D 【知识点】用反比例函数描述数量关系 【分析】根据反比例函数的定义进行判断即可． 【详解】解：A．由，则当压力F一定时，压强P与受力面积S之间成反函数关系，即A选项不符合题意； B．由，则当物体的质量m一定时，物体的密度与体积V之间成反函数关系，即B选项不符合题意； C．由，则当行驶的路程s一定时，时间t与速度v成反函数关系，即C选项不符合题意； D．由，则当三角形的一条边长a一定时，它的面积S与这条边上的高h之间成正比例函数，即选项D符合题意． 49．（2026·辽宁铁岭·模拟预测）某科技公司研发的四足机器人（机器狗），其最快移动速度是载重后总质量的反比例函数．在一次测试中，技术人员记录了一组数据：当总质量时，最快速度；则最快移动速度与载重后总质量之间的函数表达式为___________． 【答案】 【知识点】实际问题与反比例函数 【分析】根据反比例函数的定义，设出函数表达式，利用待定系数法，代入已知数值求出比例系数，即可得到最终函数表达式． 【详解】解：设与的函数表达式为 ， 将 代入表达式，得 ， 解得 ， 因此与之间的函数表达式为 ． 50．（2026·江苏宿迁·中考真题）小慧用小孔成像实验装置研究像高和物距的关系．在保持物体高度、小孔到光屏的距离不变的条件下，像高与小孔到物体的距离成反比例函数关系．已知当小孔到物体的距离为时，光屏上的像高为．若要使像高为，则小孔到物体的距离为____________． 【答案】 【知识点】实际问题与反比例函数 【分析】已知与成反比例函数关系，先设出反比例函数表达式，利用已知条件求出比例系数，再代入目标像高计算对应小孔到物体的距离即可． 【详解】解：设与的反比例函数解析式为， 将，代入解析式，得， 解得， 反比例函数解析式为， 当时，代入得， 解得， 即小孔到物体的距离为． 51．（24-25七年级上·北京顺义·期末）通常利用公式解决杠杆平衡问题，其中表示动力，表示动力臂，表示阻力，表示阻力臂.已知，，，则的值为______. 【答案】 【知识点】由反比例函数值求自变量 【分析】本题考查了反比例函数的应用，解答本题的关键是根据实际问题列出函数关系式． 根据公式，代入数据计算即可． 【详解】解： ， ， 解得：， 故答案为：． 52．（25-26八年级下·全国·课后作业）材料题： 探索函数增减性的证明 素材一 我们在比较两个数或代数式的大小，解决问题的策略一般要进行一定的转化，其中“作差法”就是常用的方法之一．“作差法”：就是通过作差、变形，利用差的符号确定它们的大小，即要比较a、b两个数的大小，可以先求出它们的差．若，则；若，则；若，则． 素材二 设一次函数，当自变量x分别取，，且时，对应的函数值分别为，．它们的差为 ．由假设可知，，这样我们就得到如下结论：（1）当时， ，即，亦即．也就是说y随x的增大而增大．（2）当时，，即，亦即．也就是说y随x的增大而减小． 素材三 反比例函数（k为常数，）的图象是双曲线，当时，双曲线两个分支分别在一、三象限，在每一个象限内，y随x的增大而减小（简称增减性），反比例函数的图象关于原点对称（简称对称性）． 任务一 (1)请你试用一次函数增减性的说明方法，证明反比例函数的增减性． 任务二 (2)试说明反比例函数的图象关于原点对称． 【答案】(1) 证明：设，都是反比例函数图象上的点，不妨设， ∴， ， ，， ∴当时，，即， ，也就是说y随x的增大而减小， 当时，，即， ，也就是说y随x的增大而增大； 同理可证明当 时，满足当时，y随x的增大而减小，当时，y随x的增大而增大； ∴对于反比例函数（k为常数，），当时，在每一象限内，y随x的增大而减小，当时，在每一象限内，y随x的增大而增大． (2) 设点在反比例函数的图象上，则有， 则点关于原点的对称点为， 在中，当时，， ∴在反比例函数的图象上， ∵对于图象上任意一点A，其关于原点的对称点也在该函数的图象上， ∴反比例函数的图象关于原点对称． 【知识点】求反比例函数值、判断反比例函数的增减性、求关于原点对称的点的坐标 【分析】（1）设，都是反比例函数图象上的点，不妨设，可求出，根据，，讨论k的取值范围，从而判断的符号即可得到增减性，同理证明时的增减性即可得到结论； （2）设点在反比例函数的图象上，则有，则点关于原点的对称点为，只需要证明也在反比例函数的图象上即可． 【详解】（1）略 （2）略 💯 课后巩固 复习建议 · 识别反比例函数看能否化为y=形式 · 由k符号定象限与增减性，比较大小结合图象 · 点代入k=xy求k，由解析式求函数值 · 交点联立方程组，不等式看图分段判断 · 面积问题用|k|，注意k的符号与象限 【作业1】．（24-25八年级下·江苏泰州·期中）以下是反比例函数的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】根据定义判断是否是反比例函数 【分析】本题考查反比例函数的定义，注意掌握反比例函数解析式的一般形式，也可以转化为的形式．由题意直接根据反比例函数的定义，对各选项进行判定即可． 【详解】解：A. 是正比例函数，不是反比例函数，故该选项不正确，不符合题意；     B. 是一次函数，不是反比例函数，故该选项不正确，不符合题意；     C. 是反比例函数，故该选项正确，符合题意；     D. ，不是反比例函数，故该选项不正确，不符合题意； 故选：C． 【作业2】．（24-25八年级上·上海奉贤·期末）若反比例函数的图象分布在第二、四象限，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】求一元一次不等式的解集、已知双曲线分布的象限，求参数范围 【分析】本题考查了反比例函数的性质，求不等式的解集，掌握反比例函数图象经过的象限确定反比例系数的符号是解题的关键． 根据反比例函数的图象分布在第二、四象限，可得，由此即可求解． 【详解】解：∵反比例函数的图象分布在第二、四象限， ∴， 解得，． 故选：D ． 【作业3】．（24-25九年级下·广西桂林·阶段检测）如图，双曲线与直线的图象交于点和点，则不等式的解集为（    ） A．或 B．或 C． D． 【答案】A 【知识点】一次函数与反比例函数的交点问题 【分析】本题考查反比例函数与一次函数图象的交点问题，熟练掌握方法是解答本题的关键．根据题意找到交点坐标，利用图象法求出不等式的解集即可． 【详解】解：根据题意得，， 由图象可知：不等式的解集是或， 故选：A． 【作业4】．（2026·云南昆明·模拟预测）反比例函数的图象分别位于（     ） A．第一、第三象限 B．第一、第四象限 C．第二、第三象限 D．第二、第四象限 【答案】D 【知识点】判断反比例函数图象所在象限 【分析】根据反比例函数比例系数的符号即可判断图象所在象限． 【详解】解：中，， ∴ 反比例函数的图象位于第二、第四象限． 【作业5】．（2024·宁夏银川·一模）如图，一次函数与函数的图象相交于点，．下列说法错误的是(    )    A．两图象的交点的坐标为 B．一次函数与反比例函数都随x的增大而增大 C．若，则的取值范围是或 D．连接、，则的面积是 【答案】B 【知识点】判断反比例函数的增减性、一次函数与反比例函数的交点问题 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数交点问题，反比例函数与一次函数的性质；将代入，得，进而求得，即可判断A选项；根据函数图象可得反比例函数在每个象限内随x的增大而增大，即可判断B选项；根据交点的横坐标结合函数图象即可判断C选项；连接、，设直线与轴交于点，将代入得出，进而根据三角形的面积公式即可求解． 【详解】解：将代入，得，则， 将代入 得，则 ∴A. 两图象的交点的坐标为，故该选项正确，不符合题意； B. 一次函数随x的增大而增大，反比例函数在每个象限内随x的增大而增大，故该选项不正确，符合题意； C. ∵，， 根据函数图象可得，若，则的取值范围是或，故该选项正确，不符合题意； D. 连接、，设直线与轴交于点，    将代入，则， ∴，即， ∵，故该选项正确，不符合题意； 故选：B． 【作业6】．（2025·安徽·二模）已知点和点都在反比例函数的图象上，则______． 【答案】 【知识点】由反比例函数值求自变量 【分析】本题考查了反比例函数的图象上点的坐标特征，由题意可得，进而即可求解，掌握反比例函数的图象上点的坐标特征是解题的关键． 【详解】解：∵点和点都在反比例函数的图象上， ∴， ∴， 故答案为：． 【作业7】．（23-24八年级下·河南南阳·阶段检测）如图是三个反比例函数，，在y轴右侧的图象，则，，的大小关系为______． 【答案】/ 【知识点】求反比例函数值、已知反比例函数的图象，判断其解析式 【分析】本题考查了反比例函数的图象及性质，从函数图象中获取正确信息是解题的关键；由图象经过的象限可得，当时，由图象可得，即，进而可求解； 【详解】由题意得：， 当时，， ， ， 故答案为：． 【作业8】．（25-26九年级上·湖南郴州·期中）若点在反比例函数的图象上，则______． 【答案】 【知识点】由反比例函数值求自变量 【分析】本题考查了反比例函数的性质． 将点A的坐标代入反比例函数解析式计算即可 【详解】解：因为点在反比例函数的图象上， 所以， 解得． 故答案为：． 【作业9】．（2026·山东威海·模拟预测）如图，直线与双曲线交于点和点，则不等式的解集是________． 【答案】或 【知识点】一次函数与反比例函数的交点问题 【分析】先求出点的坐标，再找出一次函数图象在反比例函数图象的下方部分即可． 【详解】解：将代入反比例函数的解析式得， 解得， ∴反比例函数的解析式为， 将代入反比例函数解析式得， ∴， ∴， ∵直线与双曲线交于点和点， ∴由函数图象可得，不等式的解集是或． 【作业10】．（25-26九年级上·辽宁大连·期末）反比例函数的图象在每个象限内的函数值随的增大而减小，请写出一个符合条件的的整数值是________． 【答案】4（答案不唯一） 【知识点】已知反比例函数的增减性求参数 【分析】本题考查了反比例函数的性质，根据反比例函数的性质，当比例系数大于时，函数图象在每个象限内随的增大而减小，可得，即可求解． 【详解】解：∵反比例函数的图象在每个象限内随的增大而减小， ∴， ∴， 因此符合条件的的整数值可以是（答案不唯一）． 故答案为：（答案不唯一）． 【作业11】．（25-26九年级上·湖南株洲·阶段检测）已知反比例函数，当时，________． 【答案】2 【知识点】由反比例函数值求自变量 【分析】本题主要考查了反比例函数的性质，掌握反比例函数图象上的点满足函数解析式是解题的关键． 直接把代入反比例函数求出相应x的值即可． 【详解】解：当时，， ∴． 故答案为：2． 【作业12】．（2024九年级上·全国·专题练习）直线与双曲线有两个交点和，其中点的坐标是，则点的坐标________． 【答案】 【知识点】一次函数与反比例函数的交点问题 【分析】本题主要考查了反比例函数图象与正比例函数图象的中心对称性，反比例函数的图象是中心对称图形，则它与经过原点的直线的两个交点一定关于原点对称．熟练掌握相关知识点是解题关键． 根据反比例函数图象与正比例函数图象的中心对称性求解即可． 【详解】解：直线与双曲线有两个交点和， ∴点与关于原点对称， ∵点的坐标是， 点的坐标为． 故答案为：． 【作业13】．（23-24八年级下·全国·课后作业）已知函数． (1)当m为何值时，y是x的正比例函数？ (2)当m为何值时，y是x的反比例函数？ 【答案】(1)1 (2)0 【知识点】正比例函数的定义、根据定义判断是否是反比例函数 【分析】本题考查了正比例函数、反比例函数的定义．熟记定义是解题的关键． （1）根据正比例函数的定义得到，且； （2）根据正比例函数的定义得到，且； 【详解】（1）解：∵函数是正比例函数， ∴，且，解得． （2）解：∵函数是反比例函数， ∴，且，解得． 即当时，y是x的反比例函数． 【作业14】．（2024·广东·模拟预测）如图，反比例函数的图象与一次函数的图象交于、两点． (1)求函数和的表达式； (2)若在x轴上有一动点C，当时，求点C的坐标． 【答案】(1)， (2)或 【知识点】求一次函数解析式、一次函数与几何综合、求反比例函数解析式、一次函数与反比例函数的交点问题 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，一次函数的解析式，反比例函数的解析式，一次函数与几何综合，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先把代入反比例函数中，解得，运用待定系数法解得一次函数的解析式为：； （2）设与y轴交于点D，过点C作轴交于点E，先整理得，，再结合三角形面积公式列式，因为，得，解得或，即可作答． 【详解】（1）解：将点代入反比例函数中， 得； ∴反比例函数的解析式为：， 将点分别代入一次函数的解析式， 得， ， ∴一次函数的解析式为：． （2）解：如图，设与y轴交于点D，过点C作轴交于点E， 设， 由（1）得反比例函数的解析式为：，一次函数的解析式为：． ， ， 令，， ， ∴， ∵， ∴， 即， 解得或， ∴点C的坐标为或． 【作业15】．（23-24九年级上·全国·单元测试）已知面积为的三角形的一条边是，这条边上的高是． (1)求关于的函数表达式，并写出自变量的取值范围； (2)当时，求这条边上的高． 【答案】(1)， (2) 【知识点】求反比例函数解析式、求反比例函数值 【分析】本题主要考查待定系数法求反比例函数解析式，熟练掌握反比例函数的定义是解题的关键． （1）根据三角形的面积公式可得，进而得出与的函数关系式，结合的意义确定其取值范围； （2）将代入（1）中的函数表达式求解的值即可． 【详解】（1）解：根据题意得， ， ∵为三角形的边长， ∴． （2）解：当时，这条边上的高． 【作业16】．（25-26八年级下·重庆·期中）已知与成反比例，且当时，． (1)求关于的函数表达式； (2)点在该反比例函数的图象上，则m，n的大小关系为：____________．（用“>”“<”或“=”连接） 【答案】(1) (2) 【知识点】求反比例函数解析式、比较反比例函数值或自变量的大小 【分析】（1）待定系数法求出函数解析式即可； （2）求出的值，比较大小即可. 【详解】（1）解：与成反比例， ∴设， 将代入解析式得， 解得， ∴关于的函数表达式为； （2）解：∵点在该反比例函数图象上， ∴将代入得，将代入得， ∵， ∴. 【作业17】．（26-27九年级上·全国·课后作业）已知y是x的反比例函数，当时，． (1)写出这个反比例函数的表达式． (2)当时，求y的值． 【答案】(1) (2) 【知识点】求反比例函数解析式、求反比例函数值 【分析】（1）用待定系数法，即可求解； （2）已知自变量的值，代入计算即可． 【详解】（1）解：设这个反比例函数的表达式为， 当时，， ，解得， 这个反比例函数的表达式； （2）解：当时，， 则y的值为． 2 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第9讲·反比例函数图像及性质·培优讲义 （知识梳理+典例+练习）·2026-2027学年人教版九年级数学上册 📌 思维导图 🎯 课程目标 · 理解反比例函数y=（k≠0）的概念及判定方法 · 掌握反比例函数图象（双曲线）的分布与增减性 · 能由点的坐标求k值，由解析式求函数值 · 能解反比例函数与一次函数的交点及不等式问题 · 能解与反比例函数相关的面积、几何综合及实际应用问题 📚 知识梳理 ☆ 1.反比例函数的概念 形如y=（k≠0）的函数叫反比例函数，也可写xy=k、y=kx-1 k是常数且k≠0，x的取值范围是x≠0的一切实数 判定：看能否化为y=形式，注意x的指数必须是-1 成反比例：两个量的乘积为定值 概念辨析例题：下列函数是反比例函数的是（　　） 答案：y= 解析：y=是y=形式（k=3）；y=分母不是x，y=是正比例函数，均不是反比例函数。 ☆ 2.图象与性质 图象是双曲线，分别位于第一、三象限（k>0）或第二、四象限（k<0） k>0时在每个象限内y随x增大而减小；k<0时在每个象限内y随x增大而增大 双曲线无限接近坐标轴但永不相交 图象关于原点中心对称，也关于y=x、y=-x轴对称 概念辨析例题：反比例函数y=的图象在第二、四象限，则m的取值范围是（　　） 答案：m<1 解析：图象在二、四象限说明k<0，即m-1<0，解得m<1。 ☆ 3.k值与点的坐标 点在图象上⇔点的坐标满足解析式，即xy=k 求k：代入图象上一点坐标 求函数值：代入x求y，或代入y求x 图象上横纵坐标的积恒等于k 概念辨析例题：反比例函数y=的图象经过点(2,-3)，则k=（　　） 答案：-6 解析：代入：k=xy=2×(-3)=-6。 ☆ 4.与一次函数的交点与不等式 交点坐标即方程组的解，联立y=与y=kx+b求解 由图象交点可直接写不等式>kx+b（或<）的解集 解集看图象位置：反比例图象在上方对应y大 注意交点把x轴分成多个区间，逐段判断 概念辨析例题：如图，一次函数y=kx+b与反比例函数y=交于A(-2,-1)、B(1,2)，则>kx+b的解集为（　　） 答案：x<-2或0<x<1 解析：反比例图象在直线上方：x<-2时（三象限）和0<x<1时（一象限），注意x≠0且分段判断。 ☆ 5.面积与几何综合 双曲线上一点P向x轴、y轴作垂线，矩形面积=|k| 与坐标轴围成三角形面积= 结合矩形、三角形、等边三角形等图形用坐标表示长度 注意k的符号决定象限，面积取绝对值 概念辨析例题：点P在双曲线y=上，PA⊥x轴于A，PB⊥y轴于B，则矩形PAOB的面积是（　　） 答案：6 解析：矩形面积=|k|=|6|=6，与点P位置无关。 📋 知识总结表 核心概念 定义/公式 注意事项 反比例函数 y=（k≠0） x指数为-1 图象分布 k>0一三象限 k<0二四象限 增减性 每象限内k>0递减 强调在每个象限内 k的求法 k=xy 代入点坐标 交点 联立方程组 交点即方程组的解 面积 矩形|k|，三角 取绝对值 ⚠️ 核心考点 【考点1】反比例函数的概念与识别（第1-7题） · 看能否化为y=、xy=k形式，x指数为-1 · 成反比例关系：两量乘积为定值 · 含参数的反比例函数：由指数-1且k≠0列条件 1．（25-26七年级上·全国·课后作业）下面每组的两个量中，成反比例关系的是（    ） A．圆柱的体积一定，它的底面积和高 B．长方形的周长一定，长和宽 C．每天的烧煤量一定，烧的天数和煤的总量 D．汽车行驶的速度一定，行驶的时间和距离 2．（25-26九年级上·北京·课后作业）下列函数中，是关于变量与的反比例函数有（　　）个 ①（为常数）；②；③；④；⑤；⑥． A．1 B．2 C．3 D．4 3．（23-24七年级上·山东淄博·开学考试）下列各式中，和成反比关系的是（    ） A． B． C． D． 4．（24-25九年级上·甘肃张掖·阶段检测）已知反比例函数，则k的值不可能为（   ） A． B． C． D． 5．（25-26九年级上·全国·课后作业）已知是反比例函数，则的值是______，反比例系数是______，自变量取值范围是______． 6．（23-24八年级下·四川内江·阶段检测）已知是关于的反比例函数，则______． 7．（26-27九年级上·全国·周测）已知是关于x的反比例函数，求的值． 【考点2】图象分布与性质（第8-15题） · 由k符号定象限，由象限求k范围 · 增减性看k符号，注意在每个象限内 · 比较函数值大小：结合图象位置或代入计算 8．（25-26八年级下·湖南衡阳·期末）在同一平面直角坐标系中，函数与 的图象大致是（     ） A． B． C． D． 9．（2026·山东德州·中考真题）在反比例函数的图象上有两点和，若，则的取值范围是（     ） A．且 B． C．或 D．或 10．（25-26九年级上·安徽合肥·期末）对于反比例函数，下列说法不正确的是（   ） A．图象分布在第二、四象限 B．当时，随的增大而增大 C．图像经过点 D．若点，都在图象上，且，则 11．（22-23八年级下·吉林长春·期中）已知反比例函数，当时，y的最大值为______． 12．（25-26八年级下·上海青浦·期末）如果反比例函数的图像位于第一、三象限，那么________．（只需写一个数值） 13．（2026·北京·二模）反比例函数的图象上，横、纵坐标都是整数的点的个数是______． 14．（26-27九年级上·全国·单元复习）选一个数作为m的值，使关于x的函数的图象在每个象限y随x的增大而增大，则m的值为________． 15．（26-27九年级上·全国·课后作业）在平面直角坐标系中，画出反比例函数的图象． 【考点3】k值与点的代入（第16-24题） · 点代入k=xy求k、求函数值 · 表格数据：验证xy是否为定值 · 由解析式与条件（如过点、成反比例）求参数 16．（25-26九年级上·广东湛江·期末）已知反比例函数的图象过点，则k的值为（    ） A．2 B． C．6 D． 17．（2025·广东东莞·模拟预测）若和成反比例关系，当的值分别为，时，的值如表所示，则表中的值是（     ） A． B． C． D． 18．（24-25九年级上·安徽亳州·阶段检测）在平面直角坐标系中，若反比例函数的图像经过点和，则的值是________． 19．（2026·吉林·中考真题）已知点，都在反比例函数的图象上，比较与的大小：__________． 20．（2022·辽宁沈阳·模拟预测）已知反比例函数的图象经过点，则______． 21．（25-26九年级上·广西钦州·期末）下面表格信息反映的是反比例函数的几组自变量与对应的函数值． 1 2 3 2 6 (1)直接写出各字母表示的数值： ； ； ； (2)根据表中各数值和（1）中的结果，在平面直角坐标系中通过描点连线，画出反比例函数的图象； (3)已知直线经过与两点，在平面直角坐标系中画出该直线，观察图象，指出当时自变量的取值范围． 22．（2024九年级·全国·竞赛）已知一个反比例函数的解析式为（为常数，）． (1)若点在这个反比例函数的图象上，求的值； (2)若在这个反比例函数图象的每一个分支上，的值随的增大而增大，求的取值范围； (3)若，判断点是否在这个函数的图象上． 23．（25-26八年级下·全国·课后作业）已知是的反比例函数，且当时，． (1)求这个函数的表达式； (2)求当时，的值； (3)当取何值时，？ 24．（24-25八年级下·浙江杭州·期末）已知，是反比例函数图象上的两点． (1)若，，求的值． (2)若，关于原点中心对称，求的值． (3)当，，时，求的取值范围． 【考点4】与直线交点及不等式（第25-31题） · 联立方程组求交点坐标 · 由对称性：两交点关于原点中心对称 · 看图解不等式：按交点分段判断图象上下位置 25．（25-26九年级上·山西太原·阶段检测）如图，反比例函数的图象与正比例函数的图象相交于，两点，点的横坐标为．当时，的取值范围是_____． 26．（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，则不等式的解集是______． 27．（2024·湖北武汉·模拟预测）如图，平面直角坐标系中，反比例函数 与一次函数的图象相交于点，两点． (1)求反比例函数与一次函数的解析式； (2)直接写出的解集． 28．（2026·湖北黄石·一模）如图，在同一平面直角坐标系中，一次函数和反比例函数的图象相交于点，． (1)直接写出点、的坐标； (2)求一次函数的解析式； (3)根据图象，直接写出不等式的解集． 29．（2024·江苏苏州·三模）如图1，反比例函数与一次函数的图象交于点，点，一次的数与y轴相交于点C． (1)求反比例函数和一次函数的表达式； (2)）如图2，点是反比例函数图象上点右侧一点，连接，把线段绕点顺时针旋转，点的对应点恰好也落在这个反比例函数的图象上，求点的坐标． 30．（2025·江苏苏州·模拟预测）如图，一次函数与反比例函数的图像交于点，与x轴交于点B，与y轴交于点． (1)求m、k的值； (2)点D是的图像上一点，且，求点D的坐标． 31．（2025·四川广安·中考真题）如图，一次函数（k，b为常数，）的图象与反比例函数（m为常数，）的图象交于A，B两点，点A的坐标是，点B的坐标是． (1)求一次函数和反比例函数的解析式． (2)根据函数图象直接写出关于x的不等式的解集． 【考点5】面积与几何综合（第32-47题） · 矩形面积=|k|，三角形面积= · 几何图形中用坐标与k表示边长、面积 · 等边三角形、矩形、平行四边形结合双曲线求k 32．（25-26九年级下·江苏盐城·阶段检测）如图，在正方形网格上建立直角坐标系，轴、轴都在网格线上，其中1格代表1个单位长度．反比例函数的图象被撕掉了一部分，已知点，在格点上，则（  ） A．4 B．5 C．6 D．7 33．（2024·广西南宁·三模）如图，在平面直角坐标系中，点，在反比例函数的图象上．点的坐标为．连接，，．若，，则的值为(　　) A． B． C． D． 34．（24-25八年级下·江苏扬州·期末）在平面直角坐标系中，对于点和，若时，；时，，则称点是点的“演绎点”．若点是反比例函数图象上点的“演绎点”，则的值为（   ） A．或 B．或 C．或 D．或 35．（22-23九年级上·山东威海·期末）如图所示，在平面直角坐标系中，四边形为矩形，点分别在轴、轴上，点在函数的图象上，边与函数的图象交于点，已知阴影部分的面积为，则（   ）． A． B． C． D． 36．（2022·湖南娄底·模拟预测）如图，等边的边在轴的负半轴上，双曲线过的中点，已知等边三角形的边长是4，则该双曲线的表达式为（    ） A． B． C． D． 37．（2024·陕西咸阳·模拟预测）如图，矩形、矩形在平面直角坐标系中的位置如图所示，A、B在x轴正半轴上，E、D在y轴正半轴上，顶点C、P在第一象限，M为的中点，反比例函数（，k为常数，）的图像恰好经过点M、P，若阴影部分面积为8，则k的值为________． 38．（18-19九年级上·山东烟台·阶段检测）如图，点A、B是双曲线上的点，分别过A、B两点向x轴、y轴作垂线段，若空白矩形面积与的和为6，则阴影部分面积为________． 39．（24-25九年级上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）如图， 在平面直角坐标系中， 点为第一象限内一点， 连接，，过点作轴于点，，反比例函数的图象经过的中点， 且与交于点． 则线段的长为______． 40．（2024·辽宁·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，的边轴，边轴，且点在反比例函数（k为大于0的常数，）的图象上．若的面积是2，则k的值是________． 41．（2024·安徽合肥·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，OABC的两个顶点A，B分别在反比例函数，的图象上，顶点C在x轴的正半轴上，已知OABC的面积为8． （1）______； （2）延长OA交反比例函数的图象于点D，连接BD，则△ABD的面积=______． 42．（2025·陕西咸阳·模拟预测）如图，点B是反比例函数图象上的点，点A是反比例函数图象上的点，线段轴于点．若，对于反比例函数，当时，的值为__________． 43．（2023九年级·安徽·专题练习）在平面直角坐标系中，如果一个点的横坐标与纵坐标互为相反数，那么称该点为“黎点”． 例如都是“黎点”． （1）当时，双曲线上的“黎点”为________； （2）若抛物线（为常数）上有且只有一个“黎点”，则当时，的取值范围为___________． 44．（23-24九年级上·吉林长春·期末）在反比例函数的图象上有不重合的两点、，点的纵坐标为2． (1)求点的横坐标； (2)过点向轴作垂线，垂足是，试求． 45．（2024·吉林·三模）如图，点B、是反比例函数图象上的两点，过点B的直线与x轴交于点A，轴，垂足为D，与交于点E，点B的横坐标为6． (1)求k、b的值； (2)求的面积． 46．（11.2反比例函数的图像与性质（2）八年级数学下册苏科版）如图，已知反比例函数的图像经过矩形的边的中点F，交于点E． (1)证明E为的中点； (2)若四边形的面积为2，求k的值． 47．（23-24九年级上·福建福州·期中）我们把与x轴有两个不同交点的函数称为“明盟函数”，交点称为“明盟点”，两交点间的距离称为“明盟距” (1)判断下列函数是“明盟函数”吗？如果是，请在括号里打“√”，并计算“明盟距”填在横线上，如果不是“明盟函数”则在括号里打“×”； ①（    ），______；②（    ），______； (2)求出“明盟函数”的“明盟距”； (3)“明盟函数”G：左侧的“明盟点”位于和之间（含A、B两点）时，关于t的代数式，（其中）的最小值为，求n的值． 【考点6】实际应用（第48-52题） · 找成反比例关系：乘积为定值 · 由表格或条件确定k，再求对应值 · 物理公式（杠杆、压强等）按公式变形求解 48．（2026·山东泰安·二模）下列变量之间的关系不能用如图（第一象限内的反比例函数曲线）近似表示的是（   ） A．当压力F一定时，压强P与受力面积S之间的函数关系 B．当物体的质量m一定时，物体的密度与体积V之间的函数关系 C．当行驶的路程s一定时，时间t与速度v的函数关系 D．当三角形的一条边长a一定时，它的面积S与这条边上的高h之间的函数关系 49．（2026·辽宁铁岭·模拟预测）某科技公司研发的四足机器人（机器狗），其最快移动速度是载重后总质量的反比例函数．在一次测试中，技术人员记录了一组数据：当总质量时，最快速度；则最快移动速度与载重后总质量之间的函数表达式为___________． 50．（2026·江苏宿迁·中考真题）小慧用小孔成像实验装置研究像高和物距的关系．在保持物体高度、小孔到光屏的距离不变的条件下，像高与小孔到物体的距离成反比例函数关系．已知当小孔到物体的距离为时，光屏上的像高为．若要使像高为，则小孔到物体的距离为____________． 51．（24-25七年级上·北京顺义·期末）通常利用公式解决杠杆平衡问题，其中表示动力，表示动力臂，表示阻力，表示阻力臂.已知，，，则的值为______. 52．（25-26八年级下·全国·课后作业）材料题： 探索函数增减性的证明 素材一 我们在比较两个数或代数式的大小，解决问题的策略一般要进行一定的转化，其中“作差法”就是常用的方法之一．“作差法”：就是通过作差、变形，利用差的符号确定它们的大小，即要比较a、b两个数的大小，可以先求出它们的差．若，则；若，则；若，则． 素材二 设一次函数，当自变量x分别取，，且时，对应的函数值分别为，．它们的差为 ．由假设可知，，这样我们就得到如下结论：（1）当时， ，即，亦即．也就是说y随x的增大而增大．（2）当时，，即，亦即．也就是说y随x的增大而减小． 素材三 反比例函数（k为常数，）的图象是双曲线，当时，双曲线两个分支分别在一、三象限，在每一个象限内，y随x的增大而减小（简称增减性），反比例函数的图象关于原点对称（简称对称性）． 任务一 (1)请你试用一次函数增减性的说明方法，证明反比例函数的增减性． 任务二 (2)试说明反比例函数的图象关于原点对称． 💯 课后巩固 复习建议 · 识别反比例函数看能否化为y=形式 · 由k符号定象限与增减性，比较大小结合图象 · 点代入k=xy求k，由解析式求函数值 · 交点联立方程组，不等式看图分段判断 · 面积问题用|k|，注意k的符号与象限 【作业1】．（24-25八年级下·江苏泰州·期中）以下是反比例函数的是（　　） A． B． C． D． 【作业2】．（24-25八年级上·上海奉贤·期末）若反比例函数的图象分布在第二、四象限，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【作业3】．（24-25九年级下·广西桂林·阶段检测）如图，双曲线与直线的图象交于点和点，则不等式的解集为（    ） A．或 B．或 C． D． 【作业4】．（2026·云南昆明·模拟预测）反比例函数的图象分别位于（     ） A．第一、第三象限 B．第一、第四象限 C．第二、第三象限 D．第二、第四象限 【作业5】．（2024·宁夏银川·一模）如图，一次函数与函数的图象相交于点，．下列说法错误的是(    )    A．两图象的交点的坐标为 B．一次函数与反比例函数都随x的增大而增大 C．若，则的取值范围是或 D．连接、，则的面积是 【作业6】．（2025·安徽·二模）已知点和点都在反比例函数的图象上，则______． 【作业7】．（23-24八年级下·河南南阳·阶段检测）如图是三个反比例函数，，在y轴右侧的图象，则，，的大小关系为______． 【作业8】．（25-26九年级上·湖南郴州·期中）若点在反比例函数的图象上，则______． 【作业9】．（2026·山东威海·模拟预测）如图，直线与双曲线交于点和点，则不等式的解集是________． 【作业10】．（25-26九年级上·辽宁大连·期末）反比例函数的图象在每个象限内的函数值随的增大而减小，请写出一个符合条件的的整数值是________． 【作业11】．（25-26九年级上·湖南株洲·阶段检测）已知反比例函数，当时，________． 【作业12】．（2024九年级上·全国·专题练习）直线与双曲线有两个交点和，其中点的坐标是，则点的坐标________． 【作业13】．（23-24八年级下·全国·课后作业）已知函数． (1)当m为何值时，y是x的正比例函数？ (2)当m为何值时，y是x的反比例函数？ 【作业14】．（2024·广东·模拟预测）如图，反比例函数的图象与一次函数的图象交于、两点． (1)求函数和的表达式； (2)若在x轴上有一动点C，当时，求点C的坐标． 【作业15】．（23-24九年级上·全国·单元测试）已知面积为的三角形的一条边是，这条边上的高是． (1)求关于的函数表达式，并写出自变量的取值范围； (2)当时，求这条边上的高． 【作业16】．（25-26八年级下·重庆·期中）已知与成反比例，且当时，． (1)求关于的函数表达式； (2)点在该反比例函数的图象上，则m，n的大小关系为：____________．（用“>”“<”或“=”连接） 【作业17】．（26-27九年级上·全国·课后作业）已知y是x的反比例函数，当时，． (1)写出这个反比例函数的表达式． (2)当时，求y的值． 2 1 学科网（北京）股份有限公司 $