精品解析：江苏南京市栖霞区 2026-2027学年八年级上学期10月阶段检测数学试题

2026–2027秋南京市金陵中学仙林分校八上数学第一次月考 一．选择题（共8小题） 1. 以下列各组线段为边，能组成三角形的是（ ） A. 2，3，6 B. 3，3，6 C. 2，5，8 D. 4，5，7 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查三角形的三边关系，根据“三角形任意两边之和大于第三边”即可逐个判断． 【详解】A：，故2，3，6不能组成三角形； B：，故3，3，6不能组成三角形； C：，故2，5，8不能组成三角形； D：，故4，5，7能组成三角形． 故选：D． 2. 在实数、、、、、、（相邻两个6之间0的个数逐次加1）中，无理数有（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了无理数的概念，熟记无理数的概念是解题关键． 根据无理数的定义（无限不循环小数），注意含的式子和开方开不尽的数也是无理数，据此逐一判断每个数，即可解题． 【详解】解：中是无理数， 是无理数， 是开方开不尽的数， 是无理数， （相邻两个6之间0的个数逐次加1）是无限不循环小数， 它是无理数； 而0是整数，是有限小数，是整数，是分数，均为有理数； 无理数有3个． 故选：B． 3. 若，则的值为（ ） A. －16 B. 16 C. －2 D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】根据算术平方根的定义即可求出的值． 【详解】解：， ， ． 4. 如图，在中，是边上的中线，，，，分别是垂足．已知，则与的长度之比是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了利用三角形的面积法求比的问题，记住在三角形的三种重要的线段中，中线起到了平分面积的作用． 根据三角形的中线将三角形的面积等分，再利用，得出与的长度之比为． 【详解】解： ，， ， 在中，是边上的中线， 与的面积相等． ． ， ． ． ． ． 故选：C． 5. 如图，，，分别是的高、角平分线、中线，则下列各式中错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据三角形的角平分线，中线和高的定义逐一判断即可解答． 【详解】解：是的中线， 是的高， ， 是的角平分线， ， 是的角平分线，并非中线，无法推出， 故、、都正确，不正确． 6. 已知等腰三角形一腰上的中线将它的周长分成和两部分，则等腰三角形的腰长为（ ） A. B. 或 C. D. 或 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的定义，三角形中线的性质，一元一次方程的应用，根据题意先画出图形，设腰，由中线性质可得，再分和两种情况，列出方程解答即可求解，运用分类讨论思想解答是解题的关键． 【详解】解：如图，中，，为的中线， 设腰， ∵为的中线， ∴， ∵中线将它的周长分成和两部分, 当时，， 解得； 当时，， 解得； ∴等腰三角形的腰长为或， 故选：． 7. “镜中月”，小王同学在中秋参加学校活动中剪出来一个明月，当他放到折叠镜的中间时，请问此时小王同学能在镜中最多看见（ ）个明月，已知此时折叠镜的夹角为． A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【详解】解：根据初中数学/物理的平面镜成像规律， 当两面镜子的夹角为时，物体在镜中成的虚像个数为2个． 所以，小王同学能在镜中最多看见2个明月． 8. 如图，中，、的角平分线、交于点，延长、，，，则下列结论中正确的个数（ ） ①平分；②；③；④． A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是角平分线的性质、全等三角形的判定和性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．过点作于，由角平分线的性质定理可得，即可判断①；证明（），得出，同理可得（），从而得出，进而可得，即可判断②；由角平分线的定义可以判断③；由全等三角形的性质可以判断④； 【详解】解：①过点作于， ∵平分，平分， ，，， ∴，， ∴， ∴平分，故①正确； ②∵，， ∴， ∴， 在和中， ∴（）， ∴， 同理可得：（）， ∴， ∴， ∴， ∵不一定等于， 故②错误； ③∵平分，平分， ∴，， ∴， ∴，③正确； ④由②可知（）， （）， ∴，， ∴，④正确， 故选：C． 二．填空题（共10小题） 9. 9的算术平方根是_____． 【答案】3 【解析】 【分析】根据一个正数的算术平方根就是其正的平方根即可得出． 【详解】∵， ∴9算术平方根为3． 故答案为：3． 【点睛】本题考查了算术平方根，熟练掌握算术平方根的概念是解题的关键． 10. 若二次根式有意义，则的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的意义和性质．概念：式子叫二次根式．性质：二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．二次根式的被开方数是非负数，则． 【详解】解：根据二次根式有意义的条件，被开方数必须大于或等于零，即． 解不等式：， 两边同时除以4，得． 故答案为：． 11. 小明用天平称得一个罐头的质量为，将精确到是__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查近似数的精确度，解题的关键是掌握近似数的法则． 根据近似数的法则进行计算即可． 【详解】解：精确到，需看百分位上的数字，百分位是6，大于等于5，向十分位进一，十分位原本是1，进一后变为2，整数部分不变， 因此结果为， 故答案为：． 12. 比较大小：－4___－．（填“＞”、“＜”或“＝”） 【答案】＜ 【解析】 【分析】先比较与的大小，再根据两个负数的大小比较法则解题． 【详解】解： 故答案为：<． 【点睛】本题考查实数的大小比较，是基础考点，掌握相关知识是解题关键． 13. 等腰三角形的一个内角为，则它的一个底角的度数为_____． 【答案】##度 【解析】 【分析】根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理即可求出结果． 【详解】解：等腰三角形的一个内角为， 一定是等腰三角形的顶角， 等腰三角形的一个底角的度数为． 14. 如图，中，，和分别是和的垂直平分线，则________ ． 【答案】##36度 【解析】 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质等知识，利用整体思想求解是解题的关键．由线段垂直平分线的性质知，得，从而得出答案． 【详解】解：∵和分别是和的垂直平分线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ ， 故答案为：． 15. 如图，O是△ABC内一点，且O到三边AB，BC，CA的距离OF＝OD＝OE，若∠BAC＝80°，则∠BOC的度数为_________． 【答案】130° 【解析】 【分析】根据到角的两边距离相等的点在角的平分线上判断出点O是三角形三条角平分线的交点，再根据三角形的内角和定理求出∠ABC+∠ACB，然后求出∠OBC+∠OCB，再利用三角形的内角和定理列式计算即可得解． 【详解】解：∵O到三边AB、BC、CA的距离OF=OD=OE， ∴点O是三角形三条角平分线的交点， ∵∠BAC=80°， ∴∠ABC+∠ACB=180°-80°=100°， ∴∠OBC+∠OCB=（∠ABC+∠ACB）=×100°=50°， 在△OBC中，∠BOC=180°-（∠OBC+∠OCB）=180°-50°=130°． 故答案为：130°． 【点睛】本题考查了到角的两边距离相等的点在角的平分线上的性质，三角形的内角和定理，要注意整体思想的利用． 16. 如图，在中，，D是延长线上的点，于E，交于点F，若，则的长为_____． 【答案】1.6#### 【解析】 【分析】此题考查同角的余角相等、全等三角形的判定与性质，由，D是延长线上的点，得，而，则，可根据“”证明，则，求得，则，于是得到问题的答案． 【详解】∵，D是延长线上的点， ∴， ∵于E， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：1.6． 17. 阅读材料：由，可知的算术平方根是类似地，的算术平方根是________ ． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查算术平方根的计算，通过将表达式配成完全平方形式求解． 【详解】解：， 故 的算术平方根是 ． 故答案为：． 18. 如图，在凹四边形中，，若，，若在凹四边形内部有一点，求的取值范围_____ 【答案】 【解析】 【分析】连接并延长至点E，连接并延长至点F，根据三角形外角的性质，可得，，进而即可求解 【详解】解：连接并延长至点E， ∵ ∴ ∴，即， 连接并延长至点F， 同理可得： ∴，即 三．解答题（共10小题） 19. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1）0 （2）1 【解析】 【分析】本题主要考查了实数的混合运算，解题的关键是掌握求一个数的算术平方根和立方根． （1）利用求一个数的算术平方根和立方根进行求解即可； （2）利用求一个数的算术平方根和立方根的性质，进行求解即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 20. 求下列各式中的． （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了利用平方根和立方根解方程，解题的关键是掌握平方根和立方根的定义． （1）利用平方根解方程即可； （2）利用立方根解方程即可． 【小问1详解】 解： ， ； 【小问2详解】 解： ， ． 21. 已知：如图，点A、F、C、D在同一直线上，点B和点E分别在直线的两侧，且，，．求证：． 【答案】 证明：∵， ∴，即， 在和中 ， ∴． 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定，求出，根据得到两三角形全等即可． 【详解】略 22. 在数学中，我们可以通过区间估计法估算一个无理数的近似值．例如： ，即， 的整数部分为2， 的小数部分为． （1）求的整数部分和小数部分． （2）已知的立方根是的算术平方根是是的整数部分，求的平方根． 【答案】（1）的整数部分为4， 小数部分为． （2） 【解析】 【分析】本题考查了估算无理数的大小，立方根和算术平方根以及平方根的定义，审清题意掌握相关概念是解题的关键． （1）根据无理数的估算方法求解即可； （2）根据题意立方根和算术平方根的定义求出a、b的值，再仿照题意求出c的值，然后代入求其值，最后根据平方根的定义可得答案． 【小问1详解】 解：（1）∵， ∴， ∴的整数部分为4， ∴的小数部分为． 【小问2详解】 解：∵的立方根是3，的算术平方根是4，c是的整数部分， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴的整数部分是3， ∴， ∴， ∴的平方根是． 23. 如图，在四边形中，是上一点． （1）若和分别是与的角平分线，判断的形状． （2）若是的中点，证明：是的角平分线． 【答案】（1）是直角三角形； （2）证明：延长与的延长线交于点， ∵点是的中点， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是的角平分线． 【解析】 【分析】（1）利用平行线的性质求得，利用角平分线的定义求得，，据此计算即可求解； （2）延长与的延长线交于点，证明，，推出，据此即可得到； 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∵和分别是与的角平分线， ∴，， ∴， ∴， ∴是直角三角形； 【小问2详解】 略 24. 如图，点E在△ABC外部，点D在边BC上，DE交AC于点F，若，． （1）求证：； （2）若，，求∠E的度数． 【答案】（1） 证明：∵， ∴， 即， ∵，， ∴， 在与中， ， ∴； （2） 【解析】 【分析】（1）证，，再由证明即可； （2）由全等三角形的性质得，再由三角形的外角性质得，即可得到结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由（1）可知，， ∴， ∵，， ∴， ∴． 【点睛】本题考查三角形全等的判定和性质，熟练利用三角形外角的性质是解题的关键． 25. 从“一线三等角”到一线四等角． （1）如图1，与中，，试证明． （2）如图2，在（1）的条件下，聪明的小赵发现此时上还存在一个点，使得，，试证明． （3）在（1）的条件下，若，，请直接写出与的关系． 【答案】（1）证明：∵，， ∴， ∵，， ∴； （2）证明：由（1）知， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）． 【解析】 【分析】（1）利用三角形的外角性质求得，再利用即可证明； （2）由（1）知，得到，利用三角形内角和定理求得，计算求得，即可得到； （3）设，同（2）即可得到． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：设， 由（1）知， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 26. 等腰三角形的全等问题： 小金同学看见作一个角等于已知角的过程： ①以为圆心任意长为半径画弧分别交射线于点． ②作一条射线，以为圆心长为半径作弧交射线于点 ③以为圆心，长为半径画弧交前弧于； ④过点作射线 则就是所作的角． 利用全等的知识，小金掌握了其中的原理． （1）请你带他完成的证明过程． 聪明的小金观察到（1）的两个等腰三角形额外添加了： 条件一：两腰相等 条件二：两底相等 于是作出猜想：两个等腰三角形，如果再添加两个相等的条件，也可以证明它们全等．小金最先想到了面积和周长 （2）已知与都是等腰三角形，，若与的面积相等，试证明． （3）已知与都是等腰三角形，，若，与的周长相等，试证明． （4）结合小金的猜想，你觉得下面哪个命题是正确的_____． ①若两个等腰直角三角形斜边上的中线相等，那么这两个三角形全等． ②若两个等腰三角形腰上的中线和底边上的中线分别相等，那么这两个三角形全等． ③若两个等腰三角形腰上的高和底边上的高分别相等，那么这两个三角形全等． ④若两个等腰三角形腰上的角平分线和高分别相等，那么这两个三角形全等． ⑤若两个等腰三角形底边上高相等，一腰和底边的和相等，那么这两个三角形全等． 【答案】（1）证明：由题中作图方法可知：，，， 在和中 （2）证明：， ， 且， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， 在与中， ， ． （3）证明：设， ， ， ， ，即， 即 周长相等，即， 化简得， 若，则， 即 若，即， 将代入， 得，两边同时除以得，与边长均为正数矛盾，故此情况不存在 ． （4）①②③⑤ 【解析】 【分析】（1）根据尺规作图得到三组对应边相等，使用 SSS 判定定理证明与全等． （2）利用三角形面积公式，结合面积相等、高相等推出底边相等，等腰三角形三线合一得到底边一半相等，再用 SAS 证明直角三角形全等，证得腰长． （3）设等腰三角形腰长与底边一半，利用勾股定理结合高相等列出等式，再根据周长相等得到方程，分类讨论排除矛盾情况，证明腰长． （4）逐个分析 5 个命题，利用等腰三角形性质、全等判定方法，判定①②③④⑤全部正确． 【小问1详解】 略． 【小问2详解】 略． 【小问3详解】 略． 【小问4详解】 解：命题①：直角三角形有一个性质，斜边上的中线长度等于斜边长度的一半．两个等腰直角三角形斜边上中线相等，可以推出两个三角形的斜边长度相等．等腰直角三角形斜边一旦确定，两条直角边的长度也就随之确定，两个三角形的三条边全部对应相等，依据边边边可以判定两个三角形全等，所以本命题正确． 命题②：等腰三角形底边上的中线同时也是底边上的高．底边上中线相等，说明两个等腰三角形顶点到底边的垂直距离相等．腰上的中线是腰边中点和对角顶点相连的线段，过顶点向这条腰作垂线，借助两次勾股定理，可以把腰上中线的长度转化成腰长、底边一半长度之间的关系． 两组中线分别相等，就可以得到两组等量关系，经过推导化简，能够得到两个等腰三角形的底边一半长度相等，腰的长度也相等，于是两个三角形三边全部对应相等，根据边边边判定两个三角形全等，所以本命题正确． 命题③：三角形的面积可以用底边乘底边上的高计算，也可以用腰乘腰上的高计算．两个等腰三角形底边上的高相等、腰上的高也相等，可以得到底边与腰的比值是固定不变的． 底边上的高把等腰三角形分成两个完全一样的直角三角形，直角三角形一条直角边就是底边上的高，另一条直角边是底边的一半，斜边是等腰三角形的腰． 已经知道底边和腰的比值固定，再加上底边上高的长度固定，可以确定腰长、底边的长度都只能取唯一一组数值。两个三角形腰、底边全部对应相等，依据边边边判定全等，所以本命题正确． 命题④：腰上的高，在钝角等腰三角形中高会落在三角形外部，锐角等腰三角形的高落在三角形内部．可以构造出一个锐角等腰三角形、一个钝角等腰三角形，满足腰上高长度一样、腰上角平分线长度也一样，但是两个三角形各边长短并不相同，图形不能够完全重合．存在反例，因此不能够保证一定全等，本命题错误． 命题⑤：等腰三角形底边上的高垂直平分底边，高、底边的一半、等腰三角形的腰可以构成直角三角形，满足勾股定理． 已知腰与底边相加的总长度固定，底边上高的长度也固定，把底边用腰长进行替换，通过勾股关系可以得到方程．这个方程只存在一组符合实际的正数解，也就是底边长度、腰的长度都只能是唯一确定的数值．两个三角形腰长、底边全部对应相等，依据边边边可以判定全等，所以本命题正确． 故选：①②③⑤． 【点睛】本题围绕等腰三角形的性质与全等证明展开，综合考查三线合一、勾股定理、三角形面积与周长、全等三角形判定．解题时要充分利用等腰三角形 “三线合一” 转化线段关系，遇到线段平方关系优先借助勾股定理建立等式；对于命题判断类问题，既要能正向推导证明，也要学会通过反例排除错误命题；代数设参结合几何推理是解决等腰三角形周长、高相关证明的重要方法，同时需要注意利用三角形三边关系排除矛盾的解． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026–2027秋南京市金陵中学仙林分校八上数学第一次月考 一．选择题（共8小题） 1. 以下列各组线段为边，能组成三角形的是（ ） A. 2，3，6 B. 3，3，6 C. 2，5，8 D. 4，5，7 2. 在实数、、、、、、（相邻两个6之间0的个数逐次加1）中，无理数有（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 3. 若，则的值为（ ） A. －16 B. 16 C. －2 D. 2 4. 如图，在中，是边上的中线，，，，分别是垂足．已知，则与的长度之比是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，，，分别是的高、角平分线、中线，则下列各式中错误的是（ ） A. B. C. D. 6. 已知等腰三角形一腰上的中线将它的周长分成和两部分，则等腰三角形的腰长为（ ） A. B. 或 C. D. 或 7. “镜中月”，小王同学在中秋参加学校活动中剪出来一个明月，当他放到折叠镜的中间时，请问此时小王同学能在镜中最多看见（ ）个明月，已知此时折叠镜的夹角为． A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 8. 如图，中，、的角平分线、交于点，延长、，，，则下列结论中正确的个数（ ） ①平分；②；③；④． A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 二．填空题（共10小题） 9. 9的算术平方根是_____． 10. 若二次根式有意义，则的取值范围是______． 11. 小明用天平称得一个罐头的质量为，将精确到是__________． 12. 比较大小：－4___－．（填“＞”、“＜”或“＝”） 13. 等腰三角形的一个内角为，则它的一个底角的度数为_____． 14. 如图，中，，和分别是和的垂直平分线，则________ ． 15. 如图，O是△ABC内一点，且O到三边AB，BC，CA的距离OF＝OD＝OE，若∠BAC＝80°，则∠BOC的度数为_________． 16. 如图，在中，，D是延长线上的点，于E，交于点F，若，则的长为_____． 17. 阅读材料：由，可知的算术平方根是类似地，的算术平方根是________ ． 18. 如图，在凹四边形中，，若，，若在凹四边形内部有一点，求的取值范围_____ 三．解答题（共10小题） 19. 计算： （1）； （2）． 20. 求下列各式中的． （1）； （2）． 21. 已知：如图，点A、F、C、D在同一直线上，点B和点E分别在直线的两侧，且，，．求证：． 22. 在数学中，我们可以通过区间估计法估算一个无理数的近似值．例如： ，即， 的整数部分为2， 的小数部分为． （1）求的整数部分和小数部分． （2）已知的立方根是的算术平方根是是的整数部分，求的平方根． 23. 如图，在四边形中，是上一点． （1）若和分别是与的角平分线，判断的形状． （2）若是的中点，证明：是的角平分线． 24. 如图，点E在△ABC外部，点D在边BC上，DE交AC于点F，若，． （1）求证：； （2）若，，求∠E的度数． 25. 从“一线三等角”到一线四等角． （1）如图1，与中，，试证明． （2）如图2，在（1）的条件下，聪明的小赵发现此时上还存在一个点，使得，，试证明． （3）在（1）的条件下，若，，请直接写出与的关系． 26. 等腰三角形的全等问题： 小金同学看见作一个角等于已知角的过程： ①以为圆心任意长为半径画弧分别交射线于点． ②作一条射线，以为圆心长为半径作弧交射线于点 ③以为圆心，长为半径画弧交前弧于； ④过点作射线 则就是所作的角． 利用全等的知识，小金掌握了其中的原理． （1）请你带他完成的证明过程． 聪明的小金观察到（1）的两个等腰三角形额外添加了： 条件一：两腰相等 条件二：两底相等 于是作出猜想：两个等腰三角形，如果再添加两个相等的条件，也可以证明它们全等．小金最先想到了面积和周长 （2）已知与都是等腰三角形，，若与的面积相等，试证明． （3）已知与都是等腰三角形，，若，与的周长相等，试证明． （4）结合小金的猜想，你觉得下面哪个命题是正确的_____． ①若两个等腰直角三角形斜边上的中线相等，那么这两个三角形全等． ②若两个等腰三角形腰上的中线和底边上的中线分别相等，那么这两个三角形全等． ③若两个等腰三角形腰上的高和底边上的高分别相等，那么这两个三角形全等． ④若两个等腰三角形腰上的角平分线和高分别相等，那么这两个三角形全等． ⑤若两个等腰三角形底边上高相等，一腰和底边的和相等，那么这两个三角形全等． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $