精品解析：江苏无锡市宜兴市周铁中学2026-2027学年八年级上学期10月阶段检测数学试题

2026年秋学期9月份课后服务阶段调研作业 八年级数学 一、选择题（共10小题，每题3分，共30分） 1. 一个三角形的两边长分别为7和5，若第三条边的长为，则的值可能是（ ） A. 1 B. 2 C. 8 D. 12 2. 已知图中的两个三角形全等，则的度数是（    ） A. B. C. D. 3. 如图，，若，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 4. 下列命题： ①三角形的三边长确定后，三角形的形状就唯一确定； ②三角形的角平分线，中线，高线都在三角形的内部； ③全等三角形面积相等，面积相等的三角形也全等； ④三角形和四边形都具有稳定性． 其中假命题的个数是（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 5. 如图，有三个居民小区，现决定在三个小区之间修建一个购物超市，使超市到三个小区的距离相等，则超市应建在（　　） A. 两内角的平分线的交点处 B. 两边高线的交点处 C. 两边中线的交点处 D. 两边垂直平分线的交点处 6. 如图，在中，的平分线交于点D，过点D作，分别交于点E、F．若，则的周长是（ ） A. 15 B. 18 C. 20 D. 22 7. 如图，点A，B为方格纸中的两个格点，若以为边在方格中画点（点C为格点），使得为等腰三角形，则点C的个数是（    ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 8. 如图，在中，，D为延长线上一点，，垂足为C，，连接，若，则的面积为 （ ） A. B. 9 C. 18 D. 36 9. 如图，在△ABC中AD是∠A的外角平分线，P是AD上一动点且不与点A、D重合，记PB＋PC＝a，AB＋AC＝b，则a、b的大小关系是（ ） A. a＞b B. a＝b C. a＜b D. 不能确定 10. 如图，边长为4的等边，F是边的中点，点D是线段上的动点，连接，在的右侧作等边，连接、、，则以下结论：①；②；③的大小随着点D的移动而变化；④当周长最小时，，上述结论中正确的有（ ） A. ①② B. ①②③ C. ②③ D. ①②③④ 二、填空题（共8小题，每空3分，共24分） 11. 已知等腰三角形的一个内角等于，则它的顶角是______． 12. 已知的边长、、满足：（1）；（2）为偶数，则的值为___． 13. 如图，在与中，已知，在不添加任何辅助线的前提下，依据“”证明，需再添加一个条件是______． 14. 如图，的边的垂直平分线交于点，连接．若，，则________． 15. 如图，中，，的垂直平分线分别交、于点D、E，的垂直平分线分别交、于点F、G．则的周长为_____． 16. 如图，中，，如果和分别垂直平分和，那么的度数为___________． 17. 如图，等边的边长为12cm，M，N两点分别从点AB同时出发，沿的边顺时针运动，点M的速度为1cm/s，点N的速度为2cm/s，当点N第一次到达B点时，M，N两点同时停止运动，则当M，N运动时间__________s时，为等腰三角形． 18. 如图，在中，，是边上的高，是的平分线，交于点F，下面说法：①；②；③；④．其中正确的说法有______． 三、解答题（共8小题，共66分） 19. 如图，△ABC，△ADE是等边三角形，B，C，D在同一直线上． 求证：(1)CE＝AC＋CD；(2)∠ECD＝60°. 20. 已知a，b，c为的三边长，若a，b满足， （1）求c的取值范围； （2）若c是整数，且为等腰三角形，求的周长． 21. 如图：已知． （1）用直尺和圆规按下列要求作图：①作的角平分线；②作，交的延长线于点E；③作，垂足为F． （2）试证明． 22. 如图，在中，，是边上的中线，于点，与相交于点． （1）求证：； （2）若，求证：． 23. 如图，中，D为边上一点，的延长线交的延长线于F，，且．求证：是等边三角形． 24. 如图，在四边形中，，的平分线交的延长线于点E，F是的中点，连接并延长交于点G． （1）求证：． （2）若，，求的度数． 25. 综合与探究：在和中，，，， （1）如图1，、、三点共线，与的数量关系是___________． （2）如图2，设，相交于点P，，相交于点，若，求度数； （3）如图3，，分别为，的中点，连接，，，试判断与的关系． 26. 如图，在中，为高，，点E为上的一点，，连接，交于O，若． （1）求的度数； （2）动点从点出发，沿线段以每秒个单位长度的速度向终点运动，动点从点出发沿射线以每秒个单位长度的速度运动，、两点同时出发，当点到达点时，、两点同时停止运动，设点的运动时间为秒， ①设的面积为．请用含的式子表示，并直接写出相应的的取值范围； ②点是直线上一点，且．当与全等时，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年秋学期9月份课后服务阶段调研作业 八年级数学 一、选择题（共10小题，每题3分，共30分） 1. 一个三角形的两边长分别为7和5，若第三条边的长为，则的值可能是（ ） A. 1 B. 2 C. 8 D. 12 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了三角形的三边关系．根据三角形三边关系列式求解即可． 【详解】解：由题意得， ， 观察四个选项，选项C符合题意， 故选：C． 2. 已知图中的两个三角形全等，则的度数是（    ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形对应角相等，根据对应边的夹角准确确定出对应角是解题的关键．根据全等三角形对应角相等可知是边的夹角，然后写出即可． 【详解】解：第一个三角形中之间的夹角为，另一个三角形中是两边的夹角． 两个三角形全等， ． 故选：D． 3. 如图，，若，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质，三角形内角和定理，先由全等三角形对应角相等得到，再根据三角形内角和定理可得答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， 故选：B． 4. 下列命题： ①三角形的三边长确定后，三角形的形状就唯一确定； ②三角形的角平分线，中线，高线都在三角形的内部； ③全等三角形面积相等，面积相等的三角形也全等； ④三角形和四边形都具有稳定性． 其中假命题的个数是（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】根据全等三角形的判定和性质，逐项判断即可求解． 【详解】解：①三角形的三边长确定后，根据SSS，三角形的形状就唯一确定，故本说法正确，是真命题； ②钝角三角形三角形的两条高线在三角形的外部，故本说法错误，是假命题； ③全等三角形面积相等，面积相等的三角形不一定全等，故本说法错误，是假命题； ④三角形具有稳定性，故本说法错误，是假命题； 所以假命题有②③④，共3个． 故选：B 【点睛】本题主要考查了判断命题的真假，熟练掌握全等三角形的判定和性质定理是解题的关键． 5. 如图，有三个居民小区，现决定在三个小区之间修建一个购物超市，使超市到三个小区的距离相等，则超市应建在（　　） A. 两内角的平分线的交点处 B. 两边高线的交点处 C. 两边中线的交点处 D. 两边垂直平分线的交点处 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查运用线段垂直平分线的性质来确定超市的位置，即线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等． 根据线段垂直平分线的性质解答即可． 【详解】解：根据线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等， ∴超市应建在两边垂直平分线的交点处， 故选：D． 6. 如图，在中，的平分线交于点D，过点D作，分别交于点E、F．若，则的周长是（ ） A. 15 B. 18 C. 20 D. 22 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质，等腰三角形的判定，掌握相关知识是解题的关键．由平行线的性质得到，由角平分线的性质得到，得出，得到，即可求解； 【详解】解：∵， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴的周长， 故选：C． 7. 如图，点A，B为方格纸中的两个格点，若以为边在方格中画点（点C为格点），使得为等腰三角形，则点C的个数是（    ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查格点作等腰三角形，根据等腰三角形的判断即可得到结论，掌握等腰三角形的判定是解题的关键． 【详解】解：当为腰时，如图， 当为底边时，点无格点， 综上可知：为等腰三角形，则点的个数有个， 故选：C． 8. 如图，在中，，D为延长线上一点，，垂足为C，，连接，若，则的面积为 （ ） A. B. 9 C. 18 D. 36 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，三角形的面积．过点A作于G，过点E作于F，先由等腰三角形“三线合一”性质求得，再证明，得，最后由三角形的面积求解即可． 【详解】解：过点A作于G，过点E作于F，     ∵，， ∴， ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∵，， ∴ ∴ ∴的面积． 故选：B． 9. 如图，在△ABC中AD是∠A的外角平分线，P是AD上一动点且不与点A、D重合，记PB＋PC＝a，AB＋AC＝b，则a、b的大小关系是（ ） A. a＞b B. a＝b C. a＜b D. 不能确定 【答案】A 【解析】 【分析】可在BA的延长线上取一点E，使AE=AC，得出△ACP≌△AEP，从而将四条不同的线段转化到一个三角形中进行求解，即可得出结论． 【详解】如图，在BA的延长线上取一点E，使AE=AC，连接EP．由AD是∠BAC的外角平分线，可知∠CAP=∠EAP，在△ACP和△AEP中， ∵AE=AC，∠EAP=∠PAC，AP=AP， ∴△ACP≌△AEP（SAS）， ∴PC=PE， 在△BPE中，PB+PE＞BE，而BE=AB+AE=AB+AC，故PB+PE＞AB+AC， 所以PB+PC＞AB+AC， ∵PB+PC=a，AB+AC=b， ∴a＞b．故选A． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质及三角形的三边关系，三角形的任意两边之和大于第三边，三角形的任意两边之差小于第三边． 10. 如图，边长为4的等边，F是边的中点，点D是线段上的动点，连接，在的右侧作等边，连接、、，则以下结论：①；②；③的大小随着点D的移动而变化；④当周长最小时，，上述结论中正确的有（ ） A. ①② B. ①②③ C. ②③ D. ①②③④ 【答案】A 【解析】 【分析】①根据等边三角形三线合一可以判断；②由垂直平分，得到，而，得到，得到②中结论；③证明，推出，的大小不会随着点D的移动而变化，故③说法错误；④先证明点在射线上运动，作点关于直线的对称点，连接交直线于，的周长最小，即最小，而，即最小，当和重合时，取最小值，而此时，据此可判断． 【详解】解：①根据等边三角形三线合一可以得：，，故①正确； ②∵垂直平分， ∴， ∵等边，等边， ∴，，， ∴；故②正确； ③∵， 即， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴的大小不会随着点D的移动而变化，③说法错误； ④连接并延长，作点关于直线的对称点，连接交直线于，可知，连接，，， ∵， ∴点在射线上移动； ∵、关于直线对称， ∴，， ∴， ∴为等边三角形， 又∵， ∴， 周长最小，则最小； ∵直线为的垂直平分线， ∴， ， 在中，， 所以当与重合时最小，即为的长， 此时，，故④说法错误； 故正确结论序号为①②． 二、填空题（共8小题，每空3分，共24分） 11. 已知等腰三角形的一个内角等于，则它的顶角是______． 【答案】或 【解析】 【分析】分两种情况讨论即可. 【详解】解：当的角是底角时，等腰三角形的顶角为， 当的角为顶角时，顶角为， 综上：等腰三角形的顶角为或. 12. 已知的边长、、满足：（1）；（2）为偶数，则的值为___． 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查非负数的性质及三角形的三边关系，首先根据非负数的性质求得，的值，再根据三角形的三边关系求得的取值范围是解题的关键． 【详解】解：， ，． 又，，为的边长， ． 为偶数 ． 故答案为：4． 13. 如图，在与中，已知，在不添加任何辅助线的前提下，依据“”证明，需再添加一个条件是______． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】此题考查了三角形全等的判定方法，由于，加上为公共边，所以当添加时，依据“”可判断， 【详解】解：∵，， ∴当添加时，． 也可添加，则可证明，得到， 故答案为：（答案不唯一）． 14. 如图，的边的垂直平分线交于点，连接．若，，则________． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查线段垂直平分线的性质，关键是由线段垂直平分线的性质推出． 求出，由线段垂直平分线的性质推出． 【详解】解：，， ， 在的垂直平分线上， ． 故答案为：3． 15. 如图，中，，的垂直平分线分别交、于点D、E，的垂直平分线分别交、于点F、G．则的周长为_____． 【答案】7 【解析】 【分析】根据垂直平分线的性质得到，，因此将的周长转化为即可求解． 【详解】解：∵、分别是边、的垂直平分线， ∴，， ∴ ． 16. 如图，中，，如果和分别垂直平分和，那么的度数为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了垂直平分线的性质，等边对等角，三角形的内角和性质，先运用三角形内角和性质得，结合和分别垂直平分和，则，即，结合角的和差关系列式计算，即可作答． 【详解】解：∵中，， ∴， ∵和分别垂直平分和， ∴， ∴， 则 故答案为：． 17. 如图，等边的边长为12cm，M，N两点分别从点AB同时出发，沿的边顺时针运动，点M的速度为1cm/s，点N的速度为2cm/s，当点N第一次到达B点时，M，N两点同时停止运动，则当M，N运动时间__________s时，为等腰三角形． 【答案】4或16 【解析】 【分析】注意分类讨论，如图1所示，由题意可知AN=AM，列方程求解即可．如图2所示，首先假设为等腰三角形，可以证明出，可得CM=BN，根据题意列出方程求解即可． 【详解】如图1所示，设点M、N运动x秒后，AN=AM，由题意可知， AN=12-2x，AM=x， ∴12-2x=x， 解得x=4， ∴点M、N运动4秒后，是等腰三角形； 如图2所示，假设是等腰三角形， ∴AN=AM，AMN=ANM ∴AMC=ANB ④C=B= ，AC=AB ∴（AAS）， ∴CM=BN 设点M、N运动y秒后，AN=AM，由题意可知， ∴CM=y-12，NB=36-2y， ∵CM=BN， ∴y-12=36-2y， 解得y=16，故假设成立， ∴当点M、N运动4秒或16秒时，为等腰三角形． 故答案为：4或16． 【点睛】本题主要考查了等边三角形及等腰三角形的性质及判断．注意分类讨论、根据题意理清楚线段之间的数量关系并列出方程求解是解答本题的关键． 18. 如图，在中，，是边上的高，是的平分线，交于点F，下面说法：①；②；③；④．其中正确的说法有______． 【答案】①②③④ 【解析】 【分析】根据余角的性质可判断①，根据角平分线的定义可判断③，进一步证明可判断②，过点作于，根据角平分线的性质定理可得，利用三角形的面积可判断④． 【详解】解：是的平分线， ， ∴ ，是边上的高， ，，，， ，， ．故①③符合题意． ，是边上的高， ，， ∴， ， ，故②符合题意． 如图，过点作于， ，是的平分线， ， ，故④符合题意． 三、解答题（共8小题，共66分） 19. 如图，△ABC，△ADE是等边三角形，B，C，D在同一直线上． 求证：(1)CE＝AC＋CD；(2)∠ECD＝60°. 【答案】 (1)证明：∵△ABC，△ADE是等边三角形， ∴AE＝AD，BC＝AC＝AB，∠BAC＝∠DAE＝60°， ∴∠BAD＝∠CAE，∴△BAD≌△CAE(SAS)， ∴BD＝EC.∵BD＝BC＋CD＝AC＋CD， ∴CE＝BD＝AC＋CD. (2)证明：由(1)知△BAD≌△CAE， ∴∠ACE＝∠ABD＝60°， ∴∠ECD＝180°－∠ACB－∠ACE＝60°. 【解析】 【分析】（1）根据△ABC、△ADE都是等边三角形，得到AE=AD，BC=AC=AB，∠BAC=∠DAE=60°，推出∠BAD=∠CAE，得到△BAD≌△CAE，根据全等三角形的性质得到BD=EC，即可推出答案； （2）由（1）知：△BAD≌△CAE，根据平角的意义即可求出∠ECD的度数． 【详解】(1)略 (2)略 【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质和判定，等边三角形的性质，平角的定义等知识点，解此题的关键是根据等边三角形的性质证出△BAD≌△CAE和∠ACE=∠ABD． 20. 已知a，b，c为的三边长，若a，b满足， （1）求c的取值范围； （2）若c是整数，且为等腰三角形，求的周长． 【答案】（1） （2）的周长为或． 【解析】 【分析】（1）根据绝对值和完全平方的非负数性质求出a、b，再根据三角形三边关系确定c的取值范围； （2）结合c的取值范围和等腰三角形的定义，对腰进行分类讨论确定c的值，进而求三角形周长． 【小问1详解】 解：∵， ∴且， 解得，， ∵a， b， c为的三边长， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：∵c是整数，且为等腰三角形， ∴当a、c为腰时，即时，满足，的周长为：， 当b、c为腰时，即时，满足，的周长为：， ∴的周长为或． 21. 如图：已知． （1）用直尺和圆规按下列要求作图：①作的角平分线；②作，交的延长线于点E；③作，垂足为F． （2）试证明． 【答案】（1）解：如图： ①射线即为所求： ②如图1所示；点即为所求， ③如图1所示；垂直平分线即为所求， （2）证明：由（1）可知， ∵， ∴， ∴， ∴ ∴ ∴是等腰三角形 ∵ ∴． 【解析】 【分析】（1）①如图1，运用直尺与圆规按要求画角平分线即可得直线AD；②如图1，根据得到，过B作，交延长线于即可；③如图1，根据，可知，由可知为线段的垂直平分线，作图即可； （2）如图1，由（1）可知， ，进而可判定是等腰三角形，由等腰三角形的性质可证． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 22. 如图，在中，，是边上的中线，于点，与相交于点． （1）求证：； （2）若，求证：． 【答案】（1）证明：∵， ∴， ∵，是边上的中线， ∴，， ∴， ∴， ∴． （2）证明：由（1）知， 在和中，， ∴， ∴， ∵是边上的中线， ∴， ∴． 【解析】 【分析】（1）根据垂直的定义得出，根据等腰三角形“三线合一”的性质得出，，可得，进而得出，即可得出； （2）利用证明，得出，根据是边上的中线，即可得出结论． 【小问1详解】 证明：略 【小问2详解】 证明：略 23. 如图，中，D为边上一点，的延长线交的延长线于F，，且．求证：是等边三角形． 【答案】 证明：∵， ∴， ∵， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴是等边三角形． 【解析】 【分析】本题主要考查了等边三角形的判定，三角形外角的性质等等．先根据等边对等角和三角形外角的性质证明，，再由垂线的定义和三角形内角和定理推出，由此即可证明是等边三角形． 【详解】略 24. 如图，在四边形中，，的平分线交的延长线于点E，F是的中点，连接并延长交于点G． （1）求证：． （2）若，，求的度数． 【答案】（1） 证明：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2） 【解析】 【分析】（1）根据角平分线的定义和平行线的性质，得出，再根据等角对等边即可得出答案； （2）根据平行线的性质，结合，求出，根据等腰三角形的性质，求出，根据三角形外角的性质，即可得出答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵， ∴． ∵， ∴． ∵F是的中点，， ∴平分， ∴， ∵，， ∴． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的判定和性质，平行线的性质，角平分线的定义，三角形外角的性质，解题的关键是熟练掌握相关系性质，数形结合． 25. 综合与探究：在和中，，，， （1）如图1，、、三点共线，与的数量关系是___________． （2）如图2，设，相交于点P，，相交于点，若，求度数； （3）如图3，，分别为，的中点，连接，，，试判断与的关系． 【答案】（1） （2） （3），且 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． （1）根据题意，利用即可证得，从而得到与的数量关系； （2）同（1）可证，得到，然后根据三角形内角和定理和对顶角相等可推出，再根据平角的定义即可求得答案； （3）同理可证，得到，，结合分别为，的中点，利用即可证得，从而得到，，再根据角的运算和，进而得到． 【小问1详解】 解：∵， ∴，即， ∵，， ∴， ∴． 故答案为：； 【小问2详解】 解：同（1）可证， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：，且，理由如下： 同理可证， ∴，， ∵分别为，的中点， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， 即， 综上，，且． 26. 如图，在中，为高，，点E为上的一点，，连接，交于O，若． （1）求的度数； （2）动点从点出发，沿线段以每秒个单位长度的速度向终点运动，动点从点出发沿射线以每秒个单位长度的速度运动，、两点同时出发，当点到达点时，、两点同时停止运动，设点的运动时间为秒， ①设的面积为．请用含的式子表示，并直接写出相应的的取值范围； ②点是直线上一点，且．当与全等时，求的值． 【答案】（1） （2）①；②或 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、三角形面积以及分类讨论等知识，本题综合性强，熟练掌握全等三角形的性质是解题的关键． （1）根据全等三角形的性质可得，进而根据直角三角形的两个锐角互余，得出，进而等量代换，即可得证； （2）①分两种情况，当时，当时，分别利用三角形面积公式即可求解； ②两种情况，点在线段延长线上，当时，，得，解得 ；点在线段上，当时，，得，解得即可． 【小问1详解】 解：∵在中，为高， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【小问2详解】 解：①∵， ∴， ∵，， ∴， 当点Q运动到点E时，，当点运动到点时，， 当时， 如图，； 当时，如图， ． 综上所述，； ②∵， ∴， 当点F在线段延长线上时，如图， ∵， ∴， ∵， ∴当时，， ∴， 解得：； 当点在线段上时，如图， ∵， ∴， ∴当时，， ∴， 解得：． 综上所述，当与全等时，t的值为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $