精品解析：浙江金华市义乌市丹溪中学2026-2027学年九年级上学期10月学情自测数学试卷

10月校本作业——九年级数学 一．选择题（共10小题） 1. 杜牧在《清明》一诗中写道“清明时节雨纷纷”，诗句中描述的事件是（ ） A. 必然事件 B. 不可能事件 C. 确定性事件 D. 随机事件 2. 抛物线的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 3. 在平面直角坐标系中，将二次函数的图象向右平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，所得抛物线对应的函数表达式为（ ） A. B. C. D. 4. 某超市销售一种商品，每件进价为元，售价为元时，每天可销售件．经调查发现，售价每降低元，每天可多售出件．设每件商品降价元，每天利润为元，则与的函数关系式为（ ） A. B. C. D. 5. 围棋起源于中国，古代称之为“弈”，棋子分黑白两色．在一个不透明的盒子中装有10枚黑棋和若干枚白棋，这些棋子除颜色外都相同，从中随机摸出一枚棋子，记下它的颜色后再放回．不断重复这一过程，共摸了200次，发现有50次摸到黑棋，由此可估计盒中白棋子共有（ ） A. 170枚 B. 60枚 C. 50枚 D. 30枚 6. 经研究发现某型号火箭高度与时间的关系近似满足二次函数，科研人员在测试该型号火箭向上竖直升空时，获得的部分数据如下表，则下列判断正确的是（ ） 时间 火箭高度 A. 火箭在前持续上升 B. 火箭在后才开始下降 C. 火箭在前可以达到 D. 火箭在时的高度低于 7. 已知点，，都在二次函数的图象上，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 8. 函数和（a是常数，且）在同一平面直角坐标系的图像可能是（ ） A. B. C. D. 9. 已知点，在抛物线上，且对于抛物线上任意一点，总有，则与的大小关系正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，正方形的顶点，在抛物线上，点在轴上．若两点的横坐标分别为（），下列结论正确的是（　　） A. B. C. D. 二．填空题（共6小题） 11. 抛物线经过点，则________． 12. 已知二次函数的图象如图所示，则点所在的象限是__________． 13. 2025年国产AI大模型的爆火，引发了全球科技界的广泛关注．若小庆同学从“豆包”、“腾讯元宝”、“即梦AI”、“文心一言”四种应用软件中随机选取两种进行学习，则小庆同学选取的两种软件为“豆包”和“腾讯元宝”的概率为________． 14. 已知二次函数的部分图象如图所示，若关于的一元二次方程的一个解为，则另一个解________． 15. 已知二次函数的图象在轴上方，则整数的最小值是_____． 16. 如图，直线（k、b为常数）分别与x轴、y轴交于点、，抛物线与y轴交于点C，点E在抛物线的对称轴上移动，点F在直线上移动，的最小值是______． 三．解答题（共8小题） 17. 已知抛物线经过点． （1）求此抛物线的函数解析式； （2）判断点是否在此抛物线上． 18. 某校计划在开学后第三周的星期一至星期四开展社会实践活动． （1）若甲同学随机选择其中的1天参加活动，则甲同学选择在星期三的概率为　 　； （2）若甲、乙两位同学各随机选择1天参加活动，请用画树状图（或列表）的方法求这两位同学选择的两天是连续两天的概率． 19. 如图，A（﹣1，0）、B（2，﹣3）两点在一次函数y1=﹣x+m与二次函数y2=ax2+bx﹣3的图象上． （1）求m的值和二次函数的解析式． （2）请直接写出使y1＞y2时自变量x的取值范围．  20. 如图，校园某处的直角墙角，墙长，长，现准备用长的篱笆围成一个矩形花园（篱笆只围两边），设，花园的面积为． （1）若花园的面积为，求x的值； （2）写出S与x的函数关系式； （3）求出花园面积S的最大值． 21. 已知二次函数(a为常数) （1）若二次函数的图象经过点(2，3)，求函数y的表达式． （2）若a0，当时，此二次函数y随着x的增大而减小，求m的取值范围． （3）若二次函数在时有最大值3，求a的值． 22. 小沈准备给小陈打电话，由于保管不善，电话本上的小陈手机号码中，有两个数字已模糊不清．如果用x、y表示这两个看不清的数字，那么小陈的手机号码为139x370y580（手机号码由11个数字组成），小沈记得这11个数字之和是20的整数倍． （1）求x+y的值； （2）求小沈一次拨对小陈手机号码的概率． 23. 近期，全国多地新能源汽车充电站迎来升级改造，遮阳棚成为标配设施，为车主提供更舒适、安全的充电环境．图①是某弧形遮阳棚横截面的示意图，其中棚顶的横截面可以看作是抛物线的一部分，棚顶的端点为该抛物线的最高点，点到地面的距离为米，棚顶与立柱的交点到地面的距离为米，且点和点的水平距离为米． （1）按如图所示的平面直角坐标系，求抛物线的函数解析式； （2）现有一辆观光车需要充电，如图②是观光车的截面图，已知车身长约米，车厢最高点与遮阳棚接触点离地面高约米，请通过计算说明这辆观光车是否可以完全停进遮阳棚正下方． 24. 在平面直角坐标系中，如果某点的横坐标与纵坐标的和为10，则称此点为“合适点”．例如，点，…都是“合适点”． （1）求函数的图象上的“合适点”的坐标； （2）若二次函数的图象上有且只有一个合适点”，其坐标为，求二次函数的表达式； （3）我们将抛物线在x轴下方的图象记为，在x轴及x轴上方的图象记为，现将沿x轴向上翻折得到，图象和图象两部分组成的图象记为G，当图象G上恰有两个“合适点”时，直接写出n的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 10月校本作业——九年级数学 一．选择题（共10小题） 1. 杜牧在《清明》一诗中写道“清明时节雨纷纷”，诗句中描述的事件是（ ） A. 必然事件 B. 不可能事件 C. 确定性事件 D. 随机事件 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．根据事件发生的可能性大小判断． 【详解】解：清明时节雨纷纷，是随机事件， 故选：D． 2. 抛物线的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查二次函数顶点式的顶点坐标求法，掌握顶点式  的顶点坐标为  是解题关键． 根据二次函数的顶点式  的顶点坐标为 ，直接读取函数中的  和  值． 【详解】∵ 抛物线为 ，与顶点式  对比， 得 , ， ∴ 顶点坐标为 ， 故选： A． 3. 在平面直角坐标系中，将二次函数的图象向右平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，所得抛物线对应的函数表达式为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的几何变换，解题的关键是利用二次函数的平移规律，左加右减，上加下减，进而得出答案． 【详解】解：将二次函数的图象向右平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，所得抛物线对应的函数表达式为，即． 故选：A． 4. 某超市销售一种商品，每件进价为元，售价为元时，每天可销售件．经调查发现，售价每降低元，每天可多售出件．设每件商品降价元，每天利润为元，则与的函数关系式为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据每天利润等于单件利润乘以销售量列方程即可. 【详解】解：∵单件利润： 销售量： ∴ 故选：A ． 5. 围棋起源于中国，古代称之为“弈”，棋子分黑白两色．在一个不透明的盒子中装有10枚黑棋和若干枚白棋，这些棋子除颜色外都相同，从中随机摸出一枚棋子，记下它的颜色后再放回．不断重复这一过程，共摸了200次，发现有50次摸到黑棋，由此可估计盒中白棋子共有（ ） A. 170枚 B. 60枚 C. 50枚 D. 30枚 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查用频率估计概率及利用概率公式求数量，先通过试验数据得到摸到黑棋的频率，以此估计概率，再结合黑棋数量求出总棋子数，进而算出白棋数量。 【详解】解：∵共摸了200次，有50次摸到黑棋 ∴摸到黑棋的频率为 设盒中白棋子有枚 ∴ 解得 ∴盒中白棋子共有30枚 故选：D． 6. 经研究发现某型号火箭高度与时间的关系近似满足二次函数，科研人员在测试该型号火箭向上竖直升空时，获得的部分数据如下表，则下列判断正确的是（ ） 时间 火箭高度 A. 火箭在前持续上升 B. 火箭在后才开始下降 C. 火箭在前可以达到 D. 火箭在时的高度低于 【答案】D 【解析】 【分析】根据二次函数的对称性求出对称轴，结合火箭运动轨迹确定开口方向，再利用待定系数法求出函数解析式，结合二次函数的增减性和对称性逐一判断各选项即可求解． 【详解】解：∵二次函数中，和时相等， ∴二次函数的对称轴为直线， ∵火箭先上升后下降， ∴二次函数开口向下， ∴，当时，随增大而增大，当时，随增大而减小，最高点在处， ∴火箭在后已经开始下降，故选项错误； 设函数解析式为，代入和得， ， 解得， ∴， 当时，， 解得或， ∴最早才达到，前无法达到，故选项错误； ∵关于对称轴的对称点为， ∴， ∵时随增大而减小，且， ∴，即时高度低于，故选正确． 7. 已知点，，都在二次函数的图象上，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数图象上点的坐标特征，先根据抛物线解析式确定二次函数的抛物线的开口方向和对称轴，然后再根据点与对称轴越近、对应的函数值越大解答即可． 【详解】解：∵抛物线， ∴抛物线开口向下，对称轴为直线， ∵三点为，，， ∴与对称轴的距离分别为， ∴， ∴． 故选：A． 8. 函数和（a是常数，且）在同一平面直角坐标系的图像可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先求出二次函数的对称轴，再分和两种情况，分别得出函数和的图象的大致形状，即可作答． 【详解】根据可得：函数的对称轴为：， 当时， 二次函数的图象开口向上，抛物线在y轴右侧， 一次函数的图象交于y轴的负半轴，图象经过第一、三、四象限； 当时， 二次函数的图象开口向下，抛物线在y轴左侧， 一次函数的图象交于y轴的正半轴，图象经过第一、二、四象限； 根据上述结果：可知A、B、D三项所画图象均有相互矛盾的地方，只有选项C符合题意， 故选：C． 【点睛】本题考查了二次函数以及一次函数的图象，解题的关键是熟记一次函数在不同情况下所在的象限，以及熟练掌握二次函数的有关性质：开口方向、对称轴符号与系数符号的关系等． 9. 已知点，在抛物线上，且对于抛物线上任意一点，总有，则与的大小关系正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据抛物线解析式可得顶点坐标，由可得抛物线开口向上，即，分别将，代入解析式求出对应的y值比较即可． 【详解】解：∵， ∴抛物线顶点坐标为， ∵对于抛物线上任意一点，总有， ∴函数最小值为， ∴抛物线开口向上，， 把代入得， 把代入得， ∴． 10. 如图，正方形的顶点，在抛物线上，点在轴上．若两点的横坐标分别为（），下列结论正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质、正方形的性质、全等三角形的判定与性质，解题时要熟练掌握并能灵活运用是关键．依据题意，连接、交于点，过点作轴于点，过点作于点，先证明．可得，．点、的横坐标分别为、，可得，．，，，设，则，，，，，．再由，进而可以求解判断即可． 【详解】解：如图，连接、交于点，过点作轴于点，过点作于点， 四边形是正方形， 、互相平分，，， ，， ． ，， ． ，． 点、的横坐标分别为、， ，． ，，， 设，则，， ，，，． 又，， ，． ． ． ． 点、在轴的同侧，且点在点的右侧， ． ． 故选：B． 二．填空题（共6小题） 11. 抛物线经过点，则________． 【答案】## 【解析】 【分析】将已知点的坐标代入抛物线解析式，通过整理变形即可求出所求代数式的值． 【详解】解：把点代入得： ， 整理得， 移项得， 等式两边同时除以，得． 12. 已知二次函数的图象如图所示，则点所在的象限是__________． 【答案】第四象限 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象和性质，根据二次函数的图象及对称轴判断a及b的符号，从而得出点所在象限． 【详解】解：∵抛物线开口向上， ∴， 又∵对称轴位于y轴右侧， ∴a，b异号， ∴， ∴点在第四象限， 故答案为：第四象限． 13. 2025年国产AI大模型的爆火，引发了全球科技界的广泛关注．若小庆同学从“豆包”、“腾讯元宝”、“即梦AI”、“文心一言”四种应用软件中随机选取两种进行学习，则小庆同学选取的两种软件为“豆包”和“腾讯元宝”的概率为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查列表法或画树状图求概率．根据题意记“豆包”、“腾讯元宝”、“即梦AI”、“文心一言”分别用字母A，B，，表示，列出表格表示出所有等可能的结果，再找出恰好选中“豆包”和“腾讯元宝”的结果，再根据概率公式计算即可． 【详解】解：记“豆包”、“腾讯元宝”、“即梦AI”、“文心一言”分别用字母A，B，，表示， 根据题意可列出表格如下： 第一个 第二个 A A — — — — 由表可知，共有12种等可能的结果，其中恰好选中“豆包”和“腾讯元宝”的有2种结果， 小庆同学恰好选中“豆包”和“腾讯元宝”的概率为． 故答案为：． 14. 已知二次函数的部分图象如图所示，若关于的一元二次方程的一个解为，则另一个解________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了抛物线与轴的交点，利用了对称的性质，求出抛物线的对称轴是解本题的关键． 先求出对称轴，再根据对称的性质求解即可． 【详解】解：∵， ∴对称轴为直线， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 15. 已知二次函数的图象在轴上方，则整数的最小值是_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的概念以及二次函数图象与坐标轴交点情况得判别式的范围．根据二次函数定义二次项系数，与轴没有交点，分别求解不等式取公共部分即可． 【详解】解：∵二次函数的图象在轴上方， ∴开口向上，与轴没有交点， ∴，， 解得，，， ∴整数的最小值是， 故答案为：． 16. 如图，直线（k、b为常数）分别与x轴、y轴交于点、，抛物线与y轴交于点C，点E在抛物线的对称轴上移动，点F在直线上移动，的最小值是______． 【答案】 【解析】 【分析】先利用待定系数法求出的解析式，根据二次函数解析式求出的坐标及对称轴；再利用轴对称性质，找到关于抛物线对称轴的对称点，将转化为；最后根据“垂线段最短”，当三点共线且时，取得最小值，即到直线的距离． 【详解】∵直线，过点，， ∴ 解得，， ∴直线的解析式为； 又∵抛物线与轴交于点， ∴令，解得， ∴点坐标为， ∵抛物线对称轴， ∴抛物线对称轴为， ∴点关于对称轴的对称点坐标为， ∴， ∴要使最小，即求的最小值； 又∵点到直线之间，垂线段最短， ∴当时，最小． 连接，，过点作轴于点，则，如图所示： ∵在中，，， ∴， 又∵ 又∵（其中）， ∴， ∴， ∴的最小值为． 三．解答题（共8小题） 17. 已知抛物线经过点． （1）求此抛物线的函数解析式； （2）判断点是否在此抛物线上． 【答案】（1） （2）点不在此抛物线上 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法计算即可得出结果； （2）求出当时的值，比较即可得出结果． 【小问1详解】 解：∵抛物线经过点， ∴， 解得， ∴此抛物线的函数解析式为； 【小问2详解】 解：当时，， ∴点不在此抛物线上． 18. 某校计划在开学后第三周的星期一至星期四开展社会实践活动． （1）若甲同学随机选择其中的1天参加活动，则甲同学选择在星期三的概率为　 　； （2）若甲、乙两位同学各随机选择1天参加活动，请用画树状图（或列表）的方法求这两位同学选择的两天是连续两天的概率． 【答案】（1） （2） 把星期一、星期二、星期三、星期四分别记为：1、2、3、4， 画树状图如图： 共有16个等可能的结果，甲、乙两位同学选择的两天是连续两天的结果有6个， ∴甲、乙两位同学选择的两天是连续两天的概率为． 【解析】 【分析】（1）直接根据概率公式即可得出答案； （2）根据题意画出树状图，得出所有等可能的情况数，找出甲、乙两位同学选择的两天是连续两天的情况数，然后根据概率公式即可得出答案． 【小问1详解】 解：若甲同学随机选择其中的1天参加活动，则甲同学选择在星期三的概率为， 故答案为：； 【小问2详解】 解：略． 【点睛】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． 19. 如图，A（﹣1，0）、B（2，﹣3）两点在一次函数y1=﹣x+m与二次函数y2=ax2+bx﹣3的图象上． （1）求m的值和二次函数的解析式． （2）请直接写出使y1＞y2时自变量x的取值范围．  【答案】（1）y2=x2﹣2x﹣3；（2）当y1＞y2时，﹣1＜x＜2． 【解析】 【分析】(1)两点带入直线解析式中直接求出m的值，再根据交点坐标求出二次函数的解析式（2）根据函数图象，直接写出使y1＞y2时自变量x的取值范围. 【详解】（1）由于A（﹣1，0）在一次函数y1=﹣x+m的图象上，得： ﹣（﹣1）+m=0，即m=﹣1； 已知A（﹣1，0）、B（2，﹣3）在二次函数y2=ax2+bx﹣3的图象上，则有： ，解得 ∴二次函数的解析式为y2=x2﹣2x﹣3； （2）由两个函数的图象知：当y1＞y2时，﹣1＜x＜2． 【点睛】此题考查学生对二次函数的综合应用能力，掌握二次函数解析式的表达是解题的关键. 20. 如图，校园某处的直角墙角，墙长，长，现准备用长的篱笆围成一个矩形花园（篱笆只围两边），设，花园的面积为． （1）若花园的面积为，求x的值； （2）写出S与x的函数关系式； （3）求出花园面积S的最大值． 【答案】（1） （2） （3）当时，S最大，为144 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用以及二次函数的应用： （1）分别表示长和宽，根据矩形的面积等于长于宽的乘积，即可作答； （2）矩形的面积等于长于宽的乘积，即可作答； （3）把S与x的函数关系式化为顶点式，再结合二次函数的性质，即可作答． 【小问1详解】 解：∵墙长，长，现准备用长的篱笆围成一个矩形花园（篱笆只围两边）， ∴， 解得 （舍去） ． 【小问2详解】 解：∵墙长，长，现准备用长的篱笆围成一个矩形花园（篱笆只围两边）， ∴ 【小问3详解】 解：由（2）知 ∴， ，开口向下，当时，S最大， 即； ∴花园面积S的最大值为144． 21. 已知二次函数(a为常数) （1）若二次函数的图象经过点(2，3)，求函数y的表达式． （2）若a0，当时，此二次函数y随着x的增大而减小，求m的取值范围． （3）若二次函数在时有最大值3，求a的值． 【答案】（1）；（2）；（3）或 【解析】 【分析】（1）把(2，3)代入，解方程即可； （2）根据抛物线的增减性，列出关于m的不等式求解即可； （3）根据开口方向分类讨论，利用最大值列方程求解即可． 【详解】（1）把(2，3)代入得， 解得： 二次函数解析式为：； （2） ∵抛物线的对称轴为直线，， ∴抛物线开口向上，当时，二次函数y随x的增大而减小 ∵时，此二次函数y随x的增大而减小 ∴， 解得：； （3）将二次函数化为顶点式得： ∵二次函数在时有最大值3 ①当时，开口向上， ∴当时，y有最大值，最大值为8a， ∴， ∴， ②当时，开口向下 ∴当时，y有最大值，最大值为， ∴， ∴， 综上，或． 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式、二次函数增减性、二次函数最值等问题，解题关键是综合熟练的运用二次函数知识，结合分类讨论思想和数形结合思想准确进行解答． 22. 小沈准备给小陈打电话，由于保管不善，电话本上的小陈手机号码中，有两个数字已模糊不清．如果用x、y表示这两个看不清的数字，那么小陈的手机号码为139x370y580（手机号码由11个数字组成），小沈记得这11个数字之和是20的整数倍． （1）求x+y的值； （2）求小沈一次拨对小陈手机号码的概率． 【答案】（1）4 （2）0.2 【解析】 【详解】（1）因为（n为正整数） 双因为所以所以 即所以，，所以 （2）因为，且 所以有， 这5种情况，因此，一次拨对小陈手机号的概率为0.2 23. 近期，全国多地新能源汽车充电站迎来升级改造，遮阳棚成为标配设施，为车主提供更舒适、安全的充电环境．图①是某弧形遮阳棚横截面的示意图，其中棚顶的横截面可以看作是抛物线的一部分，棚顶的端点为该抛物线的最高点，点到地面的距离为米，棚顶与立柱的交点到地面的距离为米，且点和点的水平距离为米． （1）按如图所示的平面直角坐标系，求抛物线的函数解析式； （2）现有一辆观光车需要充电，如图②是观光车的截面图，已知车身长约米，车厢最高点与遮阳棚接触点离地面高约米，请通过计算说明这辆观光车是否可以完全停进遮阳棚正下方． 【答案】（1） （2）车身长约米，车厢最高点与遮阳棚接触点离地面高约米时，这辆观光车可以完全停进遮阳棚正下方 【解析】 【分析】（1）结合题意设抛物线的函数解析式为，代入点的坐标，即可得到答案； （2）将代入中，求出点的横坐标，点的横坐标加上车长不超过米，则这辆观光车可以完全停进遮阳棚正下方． 【小问1详解】 解： 由题可得：抛物线的顶点的坐标为， 设与的函数解析式为， 点的坐标为， 将点代入函数解析式中，得， 解得， 抛物线的函数解析式为； 【小问2详解】 解：根据题意：设点的坐标为， 将代入中， 得：， 解得（舍去），， ， 车身长约米，车厢最高点与遮阳棚接触点离地面高约米时，这辆观光车可以完全停进遮阳棚正下方． 24. 在平面直角坐标系中，如果某点的横坐标与纵坐标的和为10，则称此点为“合适点”．例如，点，…都是“合适点”． （1）求函数的图象上的“合适点”的坐标； （2）若二次函数的图象上有且只有一个合适点”，其坐标为，求二次函数的表达式； （3）我们将抛物线在x轴下方的图象记为，在x轴及x轴上方的图象记为，现将沿x轴向上翻折得到，图象和图象两部分组成的图象记为G，当图象G上恰有两个“合适点”时，直接写出n的取值范围． 【答案】（1）“合适点”的坐标为 （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）根据“合适点”定义：，与联立方程组求解． （2）点在抛物线上；“只有一个合适点”即抛物线与定直线仅有一个公共点，联立后一元二次方程，列方程组求参数． （3）由两部分构成：：原抛物线满足的部分；：沿轴向上翻折，解析式为（仅取原对应的自变量范围）；“合适点”等价直线与图形的交点；分直线与相切、直线过临界两类讨论． 【小问1详解】 解：由“合适点”定义，得 ． 联立方程组： 把代入， ，， 解得． 将代入，得 ． 该“合适点”坐标为． 【小问2详解】 解：把点代入二次函数， “合适点”满足，联立 消去，整理得：． 图象上有且只有一个“合适点”， 该一元二次方程有唯一实数根，． 联立①②，解得 ，． 二次函数的表达式为． 【小问3详解】 如图所示： 解：抛物线，顶点． 是原抛物线部分，将沿轴向上翻折得到，解析式：； 是原抛物线部分； “合适点”所在定直线：． ① 当直线与翻折后的曲线相切，是第一处临界． 联立： ， 整理：． ， ∵相切条件 ∴ 解得 ． 当时，直线与无交点，只和产生个交点，满足图象恰有两个“合适点”． ② 直线与轴交点为，当该点落在原抛物线上为第二处临界． 将代入， 当时，点落在对应的自变量区间，不属于图形，此时直线与图形恰好产生个“合适点”． 综上所述，的取值范围为： 或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $