精品解析：河南郑州市第五十七中学2026-2027学年第一学期10月学情自测九年级数学试题

2025-2026下期九年级月考数学 （分值：120分 时间：100分钟） 一、选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1. 菱形和矩形都具有的性质是（ ） A. 对角线互相平分 B. 对角线相等 C. 对角线互相垂直 D. 对角线平分一组对角 【答案】A 【解析】 【分析】根据菱形的性质，矩形的性质以及中心对称图形定义可得答案． 【详解】解：菱形和矩形都具有的性质是对角线互相平分， 故选：A． 【点睛】此题主要考查了菱形的性质，矩形的性质，解题的关键是掌握对角线互相平分． 2. 下列方程中，是一元二次方程的有（ ） ①；②；③；④；⑤． A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 【答案】A 【解析】 【详解】解：①是一元二次方程； ② 最高次数为4，不是2，不是一元二次方程； ③是一元二次方程； ④，未知数在分母上，不是整式方程，不是一元二次方程； ⑤含有两个未知数，不是一元二次方程； 综上所述，是一元二次方程的有2个． 3. 如图为汽车常备的一种千斤顶的原理图，其基本形状是一个菱形，中间通过螺杆连结，转动手柄可改变的大小菱形的边长不变当时，的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质，掌握菱形的对角线平分对角的性质是解题的关键．先根据菱形的对角线互相垂直平分且平分每一组对角，得再根据菱形的邻角互补即可求解． 【详解】解：∵四边形是菱形，是对角线， ， ， ， ， 故选：C． 4. 根据下表： 确定方程的解的取值范围是（ ） A. B. 或 C. 或 D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了估算一元二次方程的近似解．观察已知表格，根据代数式的值的变化确定出方程解的范围即可． 【详解】解：由表格得：时，， 时，； 时，； 时，， 可得方程的解取值范围是或． 故选：D． 5. 如图，用一根绳子检查一个平行四边形书架的侧边是否和上、下底都垂直，只需要用绳子分别测量书架的两条对角线，的长就可以判断，其数学依据是（ ） A. 三个角都是直角的四边形是矩形 B. 对角线互相平分的四边形是矩形 C. 对角线相等的平行四边形是矩形 D. 对角线互相垂直平分的四边形是矩形 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了矩形的判定、平行四边形的性质．根据矩形的判定定理：对角线相等的平行四边形是矩形即可判定． 【详解】解：推理依据是对角线相等的平行四边形是矩形，故C选项符合题意． 故选：C． 6. 已知函数的图象如图所示，则一元二次方程的根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 没有实数根 C. 有两个相等的实数根 D. 无法确定 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的根的判别式，一次函数图象与系数的关系，根据一次函数图象与系数的关系得到，，再计算判别式的值得到，则，然后根据判别式的意义判断方程根的情况即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：由图象可知：，， ∴， ∵，， ∴， ∴方程有两个不相等的实数根， 故选：． 7. 在第十九届亚运会中国国家象棋队选拔赛的第一阶段中，采用分组单循环（每两人之间都只进行一场比赛）制，每组x人．若每组共需进行15场比赛，则根据题意可列方程为（） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设一共邀请了支球队参加比赛，赛制为单循环形式（每两支球队之间都进行一场比赛），则每个队参加场比赛，则共有场比赛，可以列出一元二次方程． 【详解】解：由题意得，． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，根据比赛场数与参赛队之间的关系为：比赛场数二队数(队数，进而得出方程是解题关键． 8. 如图，有两条相互垂直的卡槽，一小哥将一根木棒的两端分别卡在卡槽中，在木棒的中部插有一支记号笔，接着移动木棒的一端，另一端也随之移动．我们惊讶地发现：记号笔画出了一段圆弧！根据你所学的有关直角三角形的知识，分析“木棒作弧”中所运用的数学道理是（ ） A. 直角三角形的两直角边长度的平方和等于第三边长度的平方 B. 直角三角形的面积等于两直角边乘积的一半 C. 直角三角形的两个锐角互余 D. 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形的性质，熟记“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”是解题关键． 【详解】解：因为“木棒作弧”过程中弧上的点到两条相互垂直的卡槽交点距离相等，且木棒作为三角形的斜边，记号笔在木棒的中点， 所以运用了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半， 故选：D． 9. 如图，点E、F、G、H分别是四边形ABCD边AB、BC、CD、DA的中点，则下列说法： ①若AC＝BD，则四边形EFGH为矩形； ②若AC⊥BD，则四边形EFGH为菱形； ③若四边形EFGH是平行四边形，则AC与BD互相平分； 其中正确的个数是（　　） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】根据一般四边形的中点四边形是平行四边形，得四边形EFGH是平行四边形，①当时，，四边形EFGH是菱形；②当时，，四边形EFGH是矩形；③当四边形EFGH是平行四边形，则AC与BD不一定互相平分；故可以判断出正确的个数，即可得． 【详解】解：∵点E、F、G、H分别是四边形ABCD边AB、BC、CD、DA的中点， ∴，，，， ，，，， ∴，， ∴四边形EFGH是平行四边形， ①当时，， ∴四边形EFGH是菱形； ②当时，， ∴四边形EFGH是矩形； ③当四边形EFGH是平行四边形，则AC与BD不一定互相平分； 正确的个数为0个， 故选A． 【点睛】本题考查了中点四边形，解题的关键是掌握平行四边形的判定与性质，菱形的判定，矩形的判定． 10. 如图，在矩形中，，动点P从点A开始沿边以的速度向点B运动，动点H从点B开始沿边以的速度向点A运动，动点Q从点C开始沿边以的速度向点D运动．点P，点H和点Q同时出发，当其中一点到达终点时，另两点也随之停止运动．设动点的运动时间为，当时，t的值为（ ） A. B. 4 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了矩形的判定和性质，等腰三角形的性质．由题意得，，，求得，根据等腰三角形的性质得到，再利用，列式计算即可求解． 【详解】解：作于点，如图， ∵矩形， ∴四边形是矩形， ∴， 由题意得，，， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， 解得， 故选：D． 二、填空题（共5小题，满分15分，每小题3分） 11. 小华在复习四边形的相关知识时，绘制了如图所示的框架图，⑤号箭头处可以添加的条件是________．（写出一种即可） 【答案】有一角为直角（答案不唯一） 【解析】 【详解】解：有一个角是直角的菱形是正方形， 可添加的条件是有一个角是直角． 12. 如果关于x的方程（m﹣3）﹣x+3=0是一元二次方程，那么m的值为______ 【答案】-3 【解析】 【分析】根据一元二次方程的定义解答即可. 【详解】∵关于x的方程（m﹣3）﹣x+3=0是一元二次方程， ∴ ，m-3≠0， 解得m=-3. 故答案为-3. 【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，解题时要特别注意二次项系数m-3≠0这一条件，当m-3=0时，上面的方程就是一元一次方程了． 13. 在解一元二次方程x2+bx+c＝0时，小明看错了一次项系数b，得到的解为x1＝2，x2＝3；小刚看错了常数项c，得到的解为x1＝1，x2＝5．请你写出正确的一元二次方程________． 【答案】x2﹣6x+6＝0 【解析】 【分析】根据根与系数的关系分别求出b和c即可． 【详解】解：根据题意得2×3＝c， 1+5＝﹣b，解得b＝﹣6，c＝6， 所以正确的一元二次方程为x2﹣6x+6＝0． 故答案为：x2﹣6x+6＝0． 【点睛】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）根与系数的关系，若x1，x2为方程的两个根，则x1，x2与系数的关系式：，． 14. 如图，正方形的边长为，剪去4个角后成为一个正八边形，求这个正八边形的面积________． 【答案】## 【解析】 【分析】设剪去的三角形的直角边长为x，可得正八边形的边长为，再由正方形的边长为，可得，再由正八边形的面积等于正方形的面积减去4个直角三角形的面积，即可求解． 【详解】解：设剪去的三角形的直角边长为x，根据勾股定理可得，三角形的斜边长为，即正八边形的边长为， ， ∴， ∴正八边形的面积． 15. 如图，△ABC中，，，，线段DE的两个端点D，E分别在边AC，BC上滑动，且，若点M，N分别是DE，AB的中点，则MN的最小值为_________． 【答案】 【解析】 【分析】根据三角形斜边中线的性质求得，，由当C、M、N在同一直线上时，MN取最小值，即可求得MN的最小值． 【详解】解：如图，连接CM、CN， 中，，，， ∴． ∵，点M，N分别是DE，AB的中点， ∴，． 当C，M，N三点在同一条直线上时，MN取最小值， ∴MN的最小值为 故答案为： 【点睛】本题考查了三角形三边关系，直角三角形斜边中线的性质，勾股定理的应用等，明确C、M、N在同一直线上时，MN取最小值是解题的关键． 三、解答题（共8小题，满分75分） 16. 解下列方程： （1）； （2）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】（1）利用因式分解法，即可求解； （2）利用配方法，即可求解． 【小问1详解】 解：， ， ， ∴或， ∴，． 【小问2详解】 解：， ， ， ， ∴， ， ∴，． 17. 如图，在中，已知，于点D． 小明同学灵活运用轴对称知识将图形进行翻折变换：分别以直线，为对称轴，画出，的轴对称图形，点D的对称点分别为E，F，延长，相交于点G． 请按照小明的思路，探究并解答下列问题： （1）求证：四边形是正方形． （2）若，，则______． 【答案】（1） 证明：根据题意得，，， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴四边形是矩形， ∵ ∴， ∴矩形是正方形； （2）3 【解析】 【分析】本题主要考查了正方形的性质与判定，轴对称的性质，勾股定理： （1）根据题意得，，得，，根据得，根据得，则，，可得四边形是矩形，根据得，即可得； （2）设，则，进而求出，，则，在中，根据勾股定理得 ，解方程即可得到． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：设，则 ∵，，四边形是正方形， ∴，， ∵，， ∴，， ∴， 在中，根据勾股定理得，， ∴， 解得， ∴， 故答案为：3． 18. 已知，是关于的一元二次方程的两实数根． （1）若，恰好是矩形的两邻边长，且，求该矩形的周长和面积； （2）若，恰好是菱形的两条对角线的长，菱形边长为，求的值． 【答案】（1）矩形面积为，矩形周长为 （2） 【解析】 【分析】（1）当时，则方程为，根据一元二次方程根与系数的关系即可求解； （2）由一元二次方程根的判别式可得，根据菱形对角线互相垂直且平分可得，即，根据一元二次方程根与系数的关系得到，即可求解． 【小问1详解】 解：当时，则方程为， 矩形面积， 矩形周长； 【小问2详解】 由题可知， ， 根据菱形对角线互相垂直且平分可得， 即， ， 解得或， ， ． 19. 阅读与思考：下面是小逸同学的数学日记，请仔细阅读，并完成相应的任务． 作矩形的最大内接菱形的方法 四个顶点都在同一个矩形的边上的菱形叫做矩形的内接菱形．在实践活动课上，数学老师提出来一个问题“如何从一张矩形纸片中制作出一个最大的内接菱形”．实践小组成员经过思考后，分别给了3种不同的方法． 方法一：通过折，将矩形纸片横对折后再竖对折，沿对角线剪一刀得到一个直角三角形，展开后就是菱形（如图1），则四边形是矩形的内接菱形． 方法二：通过叠，取两个大小一样的矩形纸片，让两矩形的长两两相交，重叠的部分形成四边形，则四边形也是矩形的内接菱形．（如图2） 方法三：通过尺规作图，作矩形的对角线的垂直平分线，与边交于点E，与边交于F，连接，，则四边形是矩形的内接菱形． 实践小组通过对三种方法得到的菱形进行分析，讨论，计算，对比，从而得出矩形的最大内接菱形． 任务： （1）图1菱形的面积与矩形的面积之比为 ； （2）请利用图2证明方法二中四边形AECF是菱形． （3）尺规作图：请你在图3中完成日记中的“方法三”的作图过程．（保留作图痕迹，不要求写作法） （4）若在矩形中，，，请你根据日记中三种方法，通过计算求出此矩形的内接菱形的面积最大值． 【答案】（1） （2）证明：如图2 ∵矩形为两个大小一样的矩形纸片， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是菱形． （3）四边形即为所求： （4）此矩形的内接菱形的面积最大值为60 【解析】 【分析】（1）由矩形和菱形的面积公式计算即可； （2）先推导出四边形是平行四边形，进而证明，得到，则四边形是菱形，即可解答； （3）根据垂直平分线的尺规作图的方法，以线段的两个端点为圆心，大于线段一半长度为半径画弧，连接两弧交点，即可画出垂直平分线； （4）方法一：根据（1）中结论，计算出的面积即可得菱形的面积；方法二：根据勾股定理求出菱形的边长，由底乘高计算菱形的面积即可；方法三：由方法二同理可求菱形的面积，比较三种方法菱形的面积即可得． 【小问1详解】 解：∵，， ∴，， ∴菱形的面积与矩形的面积之比为； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：先连接对角线，以点A为圆心，大于线段一半长度为半径画弧，以点C为圆心，同样长度为半径画弧，两弧交于M，N两点，连接M，N两点，所得直线与边交于点E，与边交于点F，则四边形即为所求： 【小问4详解】 解：方法一：如图 在矩形中，，， ∴， 由（1）可知，菱形的面积与矩形的面积之比为， ∴菱形的面积为； 方法二：如图 设菱形边长为x，即， ∵，， ∴， 在中，， 即， 解得， ∴菱形边长为10， ∴菱形的面积为； 方法三：如图 由方法二可知，同理可得菱形的边长为10， ∴菱形的面积为； ∵， ∴此矩形的内接菱形的面积最大值为60． 20. 请阅读下列材料，并按要求完成相应的任务：赵爽在其所著的《勾股圆方图注》中记载了解方程，即的方法．首先构造了如图1所示的图形，图中的大正方形面积是，其中四个全等的小矩形面积分别为，中间的小正方形面积为，所以大正方形的面积又可表示为，据此易得原方程的正数解为． （1）参照上述图解一元二次方程的方法，请在三个构图中选择能够说明方程，解法的正确构图是_____（从序号①②③中选择）； （2）请你通过上述问题的学习，在图2的网格中设计正确的构图，用几何法求方程的正数解（写出必要的思考过程，图2中的网格不要求全部使用）： （3）一般地对于形如的一元二次方程可以构造图3来解，已知图3由4个相同矩形构成，这4个矩形的总面积为20，中间围成的正方形边长为，求，，的值． 【答案】（1）② （2）， 首先构造了如图2所示的图形（图形画法不唯一）， 图中的大正方形面积是，其中四个全等的小矩形面积分别为，中间的小正方形面积为， 大正方形的面积又可表示为， 大正方形的边长为8， ， 解得：， 方程的正数解是； （3），， 【解析】 【分析】本题考查构造图形解一元二次方程，解题的关键是读懂材料中提供的构图方法，并能正确构图解一元二次方程，运用了数形结合的思想． （1）仿照阅读材料构造图形，即可判断出构图方法； （2）仿照阅读材料构造大正方形面积是，其中四个全等的小矩形面积分别为，中间的小正方形面积为，即可解决问题； （3）根据4个矩形的总面积为20，得，即可求出，根据中间围成的正方形边长为，即可求出，再根据，即可求得． 【小问1详解】 解：应构造面积是的大正方形，其中四个全等的小矩形面积分别为，中间的小正方形面积为， 大正方形的面积又可表示为， 大正方形的边长为7， ， ， 解法正确的构图是②； 故答案为：②． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 如图：， ， 个矩形的总面积为20， ， ， 解得：， 中间围成的正方形边长为， ， ，表示边长， ， 解得：， ，，． 21. 项目式学习 农家乐的扩建与经营 素材一 如今短视频平台、旅游让农家乐“出圈”，为了进一步提升顾客体验，某经营户打算将自家农家乐现有的矩形就餐区域，扩建成如图所示更大的正方形区域．目前这个矩形就餐区的面积为120平方米，扩建时，他将矩形的其中一边增加5米，另一边增加3米，这样改造后就能形成一个正方形的就餐区域． 素材二 改造前的顾客的平均等待时间为25分钟，就餐区域改造完成后，通过优化叫号系统，两个星期后的平均等待时间缩短至16分钟． 素材三 经营户推出特色餐饮品鉴活动．通过市场调查，发现当收费标准为80元/人时，平均每天可接待顾客60人．收费标准每降低5元，平均每天可多接待10人． （1）扩建后正方形就餐区域的边长是多少米？ （2）求平均每星期等待时间降低的百分率是多少？ （3）如果经营户希望每天特色餐饮品鉴活动的营业额达到6000元，并且从为顾客让利的角度出发，收费标准应确定为多少元/人？ 【答案】（1）扩建后正方形就餐区域的边长为15米 （2）平均每星期等待时间降低的百分率是 （3）收费标准应定为50元/人 【解析】 【分析】（1）设扩建后正方形就餐区域的边长为x米，根据题意，得，然后进行求解即可； （2）设平均每星期等待时间降低的百分率是y，由题意得：，然后进行求解即可； （3）设收费标准降低了a元/人，根据题意，得，进而求解即可． 【小问1详解】 解：设扩建后正方形就餐区域的边长为x米， 根据题意，得， 解得，（舍去）， 答：扩建后正方形就餐区域的边长为15米． 【小问2详解】 解：设平均每星期等待时间降低的百分率是y，由题意得： ， 解得，（不符合题意，舍去）， 答：平均每星期等待时间降低的百分率是． 【小问3详解】 解：设收费标准降低了a元/人， 根据题意，得， 解得，， ∵要从为顾客让利的角度出发， ∴，收费标准应为（元/人）， 答：收费标准应定为50元/人． 22. 如图，四边形是证明勾股定理时用到的一个图形，，，分别是和三边的长，易知，这时我们把关于的形如的一元二次方程称为“勾系一元二次方程”．请解答下列问题： （1）有下列方程：①；②．其中，是“勾系一元二次方程”的为________（填序号）． （2）求证：关于的“勾系一元二次方程”必有实数根． （3）若是“勾系一元二次方程”的一个根，且四边形的周长是，求的面积． 【答案】（1）② （2）证明：， 是“勾系一元二次方程”， ， ， 关于的“勾系一元二次方程”必有实数根； （3） 【解析】 【分析】（1）利用“勾系一元二次方程”的定义进行判断即可求解； （2）由是“勾系一元二次方程”得，计算判别式，可得关于的“勾系一元二次方程”必有实数根； （3）由是“勾系一元二次方程”的一个根得，由四边形的周长是，得出，即可得到，，根据“勾系一元二次方程”的定义以及完全平方公式可求出，进而得到的面积． 【小问1详解】 解：由题意得， ①，，，， ，， ，故①不是“勾系一元二次方程”； ②，，，， ，， ，故②是“勾系一元二次方程”； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 当时，有，即， 四边形的周长是， ，即， ，， ， ，即， ， ． 23. 定义：有一组邻边相等的凸四边形叫做“等邻边四边形”． 【初步理解】 如图1，已知矩形是“等邻边四边形”，则矩形______（填“一定”或“不一定”）是正方形； 【尝试运用】 如图2，在菱形中，，点、分别在、上（不含端点），连接，，若，证明四边形是“等邻边四边形”； 【拓展延伸】 如图3，现有一个平行四边形材料，连接，，点在上，且，在边上有一点，使四边形为“等邻边四边形”，请直接写出此时四边形的面积． 【答案】（1）一定 （2）四边形是“等邻边四边形” （3）或或 【解析】 【分析】（1）根据等邻边四边形的定义和正方形的判定可得出结论； （2）如图②中，结论：四边形是等邻四边形，利用全等三角形的性质证明即可； （3）如图③中，过点作于，点作于N，则四边形是矩形．分三种情形：①当时，②当时，③当时，分别求解即可． 【详解】解：（1）∵四边形的邻边相等， ∴矩形一定是正方形； 故答案为：一定； （2）如图②，四边形是等邻四边形； 理由：连接， ∵四边形是菱形，， ∴，， ∴，都是等边三角形， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是等邻四边形， ．（3）如图③中，过点作于，点作于N，则四边形是矩形． ∵，，， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ①当时， ． ②当时，设， ∵，在中，， ∴， ∴，即， ∴． ③当时，点与重合，此时, ∴． 综上：四边形的面积为或或． 【点睛】本题考查了“等邻边四边形”的定义，等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，梯形的面积等知识，解题的关键是理解题意，学会正确寻找全等三角形解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026下期九年级月考数学 （分值：120分 时间：100分钟） 一、选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1. 菱形和矩形都具有的性质是（ ） A. 对角线互相平分 B. 对角线相等 C. 对角线互相垂直 D. 对角线平分一组对角 2. 下列方程中，是一元二次方程的有（ ） ①；②；③；④；⑤． A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 3. 如图为汽车常备的一种千斤顶的原理图，其基本形状是一个菱形，中间通过螺杆连结，转动手柄可改变的大小菱形的边长不变当时，的度数为（ ） A. B. C. D. 4. 根据下表： 确定方程的解的取值范围是（ ） A. B. 或 C. 或 D. 或 5. 如图，用一根绳子检查一个平行四边形书架的侧边是否和上、下底都垂直，只需要用绳子分别测量书架的两条对角线，的长就可以判断，其数学依据是（ ） A. 三个角都是直角的四边形是矩形 B. 对角线互相平分的四边形是矩形 C. 对角线相等的平行四边形是矩形 D. 对角线互相垂直平分的四边形是矩形 6. 已知函数的图象如图所示，则一元二次方程的根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 没有实数根 C. 有两个相等的实数根 D. 无法确定 7. 在第十九届亚运会中国国家象棋队选拔赛的第一阶段中，采用分组单循环（每两人之间都只进行一场比赛）制，每组x人．若每组共需进行15场比赛，则根据题意可列方程为（） A. B. C. D. 8. 如图，有两条相互垂直的卡槽，一小哥将一根木棒的两端分别卡在卡槽中，在木棒的中部插有一支记号笔，接着移动木棒的一端，另一端也随之移动．我们惊讶地发现：记号笔画出了一段圆弧！根据你所学的有关直角三角形的知识，分析“木棒作弧”中所运用的数学道理是（ ） A. 直角三角形的两直角边长度的平方和等于第三边长度的平方 B. 直角三角形的面积等于两直角边乘积的一半 C. 直角三角形的两个锐角互余 D. 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 9. 如图，点E、F、G、H分别是四边形ABCD边AB、BC、CD、DA的中点，则下列说法： ①若AC＝BD，则四边形EFGH为矩形； ②若AC⊥BD，则四边形EFGH为菱形； ③若四边形EFGH是平行四边形，则AC与BD互相平分； 其中正确的个数是（　　） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 10. 如图，在矩形中，，动点P从点A开始沿边以的速度向点B运动，动点H从点B开始沿边以的速度向点A运动，动点Q从点C开始沿边以的速度向点D运动．点P，点H和点Q同时出发，当其中一点到达终点时，另两点也随之停止运动．设动点的运动时间为，当时，t的值为（ ） A. B. 4 C. D. 二、填空题（共5小题，满分15分，每小题3分） 11. 小华在复习四边形的相关知识时，绘制了如图所示的框架图，⑤号箭头处可以添加的条件是________．（写出一种即可） 12. 如果关于x的方程（m﹣3）﹣x+3=0是一元二次方程，那么m的值为______ 13. 在解一元二次方程x2+bx+c＝0时，小明看错了一次项系数b，得到的解为x1＝2，x2＝3；小刚看错了常数项c，得到的解为x1＝1，x2＝5．请你写出正确的一元二次方程________． 14. 如图，正方形的边长为，剪去4个角后成为一个正八边形，求这个正八边形的面积________． 15. 如图，△ABC中，，，，线段DE的两个端点D，E分别在边AC，BC上滑动，且，若点M，N分别是DE，AB的中点，则MN的最小值为_________． 三、解答题（共8小题，满分75分） 16. 解下列方程： （1）； （2）． 17. 如图，在中，已知，于点D． 小明同学灵活运用轴对称知识将图形进行翻折变换：分别以直线，为对称轴，画出，的轴对称图形，点D的对称点分别为E，F，延长，相交于点G． 请按照小明的思路，探究并解答下列问题： （1）求证：四边形是正方形． （2）若，，则______． 18. 已知，是关于的一元二次方程的两实数根． （1）若，恰好是矩形的两邻边长，且，求该矩形的周长和面积； （2）若，恰好是菱形的两条对角线的长，菱形边长为，求的值． 19. 阅读与思考：下面是小逸同学的数学日记，请仔细阅读，并完成相应的任务． 作矩形的最大内接菱形的方法 四个顶点都在同一个矩形的边上的菱形叫做矩形的内接菱形．在实践活动课上，数学老师提出来一个问题“如何从一张矩形纸片中制作出一个最大的内接菱形”．实践小组成员经过思考后，分别给了3种不同的方法． 方法一：通过折，将矩形纸片横对折后再竖对折，沿对角线剪一刀得到一个直角三角形，展开后就是菱形（如图1），则四边形是矩形的内接菱形． 方法二：通过叠，取两个大小一样的矩形纸片，让两矩形的长两两相交，重叠的部分形成四边形，则四边形也是矩形的内接菱形．（如图2） 方法三：通过尺规作图，作矩形的对角线的垂直平分线，与边交于点E，与边交于F，连接，，则四边形是矩形的内接菱形． 实践小组通过对三种方法得到的菱形进行分析，讨论，计算，对比，从而得出矩形的最大内接菱形． 任务： （1）图1菱形的面积与矩形的面积之比为 ； （2）请利用图2证明方法二中四边形AECF是菱形． （3）尺规作图：请你在图3中完成日记中的“方法三”的作图过程．（保留作图痕迹，不要求写作法） （4）若在矩形中，，，请你根据日记中三种方法，通过计算求出此矩形的内接菱形的面积最大值． 20. 请阅读下列材料，并按要求完成相应的任务：赵爽在其所著的《勾股圆方图注》中记载了解方程，即的方法．首先构造了如图1所示的图形，图中的大正方形面积是，其中四个全等的小矩形面积分别为，中间的小正方形面积为，所以大正方形的面积又可表示为，据此易得原方程的正数解为． （1）参照上述图解一元二次方程的方法，请在三个构图中选择能够说明方程，解法的正确构图是_____（从序号①②③中选择）； （2）请你通过上述问题的学习，在图2的网格中设计正确的构图，用几何法求方程的正数解（写出必要的思考过程，图2中的网格不要求全部使用）： （3）一般地对于形如的一元二次方程可以构造图3来解，已知图3由4个相同矩形构成，这4个矩形的总面积为20，中间围成的正方形边长为，求，，的值． 21. 项目式学习 农家乐的扩建与经营 素材一 如今短视频平台、旅游让农家乐“出圈”，为了进一步提升顾客体验，某经营户打算将自家农家乐现有的矩形就餐区域，扩建成如图所示更大的正方形区域．目前这个矩形就餐区的面积为120平方米，扩建时，他将矩形的其中一边增加5米，另一边增加3米，这样改造后就能形成一个正方形的就餐区域． 素材二 改造前的顾客的平均等待时间为25分钟，就餐区域改造完成后，通过优化叫号系统，两个星期后的平均等待时间缩短至16分钟． 素材三 经营户推出特色餐饮品鉴活动．通过市场调查，发现当收费标准为80元/人时，平均每天可接待顾客60人．收费标准每降低5元，平均每天可多接待10人． （1）扩建后正方形就餐区域的边长是多少米？ （2）求平均每星期等待时间降低的百分率是多少？ （3）如果经营户希望每天特色餐饮品鉴活动的营业额达到6000元，并且从为顾客让利的角度出发，收费标准应确定为多少元/人？ 22. 如图，四边形是证明勾股定理时用到的一个图形，，，分别是和三边的长，易知，这时我们把关于的形如的一元二次方程称为“勾系一元二次方程”．请解答下列问题： （1）有下列方程：①；②．其中，是“勾系一元二次方程”的为________（填序号）． （2）求证：关于的“勾系一元二次方程”必有实数根． （3）若是“勾系一元二次方程”的一个根，且四边形的周长是，求的面积． 23. 定义：有一组邻边相等的凸四边形叫做“等邻边四边形”． 【初步理解】 如图1，已知矩形是“等邻边四边形”，则矩形______（填“一定”或“不一定”）是正方形； 【尝试运用】 如图2，在菱形中，，点、分别在、上（不含端点），连接，，若，证明四边形是“等邻边四边形”； 【拓展延伸】 如图3，现有一个平行四边形材料，连接，，点在上，且，在边上有一点，使四边形为“等邻边四边形”，请直接写出此时四边形的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $