精品解析：河南省郑州市二七区京广实验中学2025-2026学年九年级上学期9月月考数学试题

九年级上学期第1次学业质量健康体检 数学学科 使用时间：9月29日 评价：120个能力点 时间：90分钟 一、选择题（每题3分，共30能力点） 1. 下列说法不正确的是（ ） A. 有一组邻边相等的平行四边形是菱形 B. 有一个角是直角的平行四边形是矩形 C. 有一组邻边相等，有一个角是直角的平行四边形是正方形 D. 一组邻边相等的四边形是菱形 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查矩形、菱形、正方形的判定，关键是掌握矩形、菱形、正方形的判定方法．由矩形、菱形、正方形的判定方法，即可判断． 【详解】解：A、有一组邻边相等的平行四边形是菱形，正确，故A不符合题意； B、有一个角是直角的平行四边形是矩形，正确，故B不符合题意； C、有一组邻边相等，有一个角是直角的平行四边形是正方形，正确，故C不符合题意； D、一组邻边相等的平行四边形是菱形，原说法不正确，故D符合题意． 故选：D． 2. 若关于x的方程是一元二次方程，则m的值为（ ） A. B. 2 C. D. 0 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，正确掌握一元二次方程的定义是解题的关键． 根据一元二次方程的定义，列出关于m的一元二次方程和一元一次不等式，即可求解． 【详解】解：∵是一元二次方程， ∴，， 解得， 故选：A． 3. 在掷一枚骰子次的试验中，“偶数朝上”的频数为，则“偶数朝上”的频率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用频率频数总次数，进行计算即可解答．本题考查了频数与频率，熟练掌握频率频数总次数是解题的关键． 【详解】解：由题意得： ， “偶数朝上”的频率为， 故选：C． 4. 如图，在中，点D在边上，过点D作，交于点E．若，则的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用平行线分线段成比例定理的推论得出，即可求解． 【详解】解：∵中，， ∴， ∵ ∴， 故选：A． 【点睛】本题考查平行线分线段成比例定理的推论，解题关键是牢记“平行于三角形一边的直线截其它两边（或两边的延长线）所得对应线段成比例”． 5. 如图，四边形的两条对角线相交于点，且互相平分．添加下列条件，仍不能判定四边形为菱形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据菱形的定义及其判定、矩形的判定对各选项逐一判断即可得． 【详解】解：∵四边形的两条对角线相交于点，且互相平分， ∴四边形是平行四边形， ∴， 当或时，均可判定四边形是菱形； 当时，可判定四边形是矩形； 当时， 由得：， ∴， ∴， ∴四边形是菱形； 故选C． 【点睛】本题主要考查菱形的判定，解题的关键是掌握菱形的定义和各判定及矩形的判定． 6. 根据下表： … 4 5 6 13 5 … 5 13 确定方程的解的取值范围是（ ） A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查了估算一元二次方程的近似解．观察已知表格，根据代数式的值的变化确定出方程解的范围即可． 【详解】解：由表格得：时，， 时，； 时，； 时，， 可得方程的解取值范围是或． 故选：A． 7. 用配方法解一元二次方程x2﹣4x﹣3＝0下列变形正确的是（　　） A. （x﹣2）2＝0 B. （x﹣2）2＝7 C. （x﹣4）2＝9 D. （x﹣2）2＝1 【答案】B 【解析】 【分析】先把常数项移到方程右侧，再把方程两边加上4，然后把方程左边写成完全平方形式即可． 【详解】x2﹣4x＝3， x2﹣4x+4＝7， （x﹣2）2＝7． 故选B． 【点睛】本题考查了解一元二次方程﹣配方法，熟练运用配方法是解决问题的关键． 8. 如图，在中，，，于点，于点，取的中点，则的周长是（ ） A. 12 B. 14 C. 16 D. 18 【答案】B 【解析】 【分析】本题直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，三角形的中位线定理．根据等腰三角形三线合一的性质可得是的中线，然后根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得，，然后判断出是的中位线，根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得，然后根据三角形的周长公式列式计算即可得解． 【详解】解：， 是的中线， ，是的中点， ，， 是的中线，是的中点， 是的中位线， ， 的周长． 故选：B． 9. 关于的方程的解是（均为常数，），则方程的解是（ ） A. B. C. D. 无法求解 【答案】B 【解析】 【分析】可以把方程看作关于的一元二次方程，从而，，即可求解． 【详解】解：根据题意得：方程看作关于的一元二次方程， 关于的方程的解是， ∴关于的一元二次方程的解为，， 解得， 故选：B． 【点睛】本题考查了用换元法解一元二次方程，找出两方程之间的关系是解题的关键． 10. 如图1，在矩形中，动点P从点B出发，沿做匀速运动，到达点C后停止运动，动点Q从点D出发，沿以同样的速度做匀速运动，到达点C后也停止运动．已知点P，Q同时开始运动．连接，，设，，其中y关于x的函数图象如图2所示，则图中m的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题意结合图象可得出．由点，的速度相同，结合图象可得出当时，点与点重合，此时，．结合矩形的性质可求出．最后由勾股定理可求出，，进而即得出m的值． 【详解】根据函数图象可知． 点，的速度相同， 当时，点与点重合，此时，． 四边形为矩形， ，， ． 当时，在中，， 在中，， ． 故选B． 【点睛】本题考查动点问题与函数图象，矩形的性质，勾股定理．本题渗透了数学学科几何直观、推理能力的核心素养，利用数形结合的思想是解题关键． 二、填空题（每题3分，共15能力点） 11. 已知，那么________． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意可设，，其中，代入进行分式的化简即可得到答案，此题考查了分式的化简，熟练掌握分式的基本性质是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴可设，，其中， ∴， 故答案为：． 12. 某校九年级组织一次辩论赛，规定进行单循环赛（每两班赛一场），共赛了场，该校九年级共有多少个班级参加了辩论赛？设该校九年级共有个班参加了辩论赛，根据题意，可列方程为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，由题意得知个班要与各班进行比赛，结合单循环赛即可列出方程． 【详解】解：由题意得：个班要与各班进行比赛， ∵进行单循环赛（每两班赛一场）， ∴， 故答案为： 13. 对于实数a，b，定义运算“※”如下：，例如，．若，则x的值为______． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查解一元二次方程，完全平方公式，多项式乘以多项式，新定义问题，根据题意正确得到方程是解题的关键． 根据新定义运算对式子进行变形得到关于x的一元二方程，解方程即可得解． 【详解】解：∵ ∴， 整理得，， ， 解得或． 故答案为：或． 14. 已知等腰三角形的底边长和腰长恰好是方程的两根，则等腰三角形的周长为______． 【答案】10 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程因式分解，三角形三边的关系． 先利用因式分解法解方程得到，，再利用三角形三边的关系得到等腰三角形的腰为4，底边长为2，然后计算它的周长． 【详解】解：， 或， 所以，， 因为， 所以等腰三角形的腰为4，底边长为2， 所以三角形的周长为． 故答案为：10． 15. 如图，对折正方形纸片，使与重合，得到折痕，在上选一点P，沿折叠，使点A落在点M处，延长交于点Q，连接，，已知正方形纸片的边长为，当时，的长为______． 【答案】或 【解析】 【分析】由折叠及正方形的性质得到，，再由“”易证；分当点在线段上和当点在线段上两种情况，再根据折叠的性质和勾股定理即可求解． 【详解】解：∵在正方形中， ∴，， 根据折叠的性质可得：， ∴，， ∴在和中， ， ∴， ∴， 由折叠的性质可得：，， 当点在线段上时， ∵， ∴，，， ∵， ∴， ∴， 当点在线段上时， ∵， ∴，，， ∵， ∴， ∴， 综上所述，的长为或， 故答案为：或． 【点睛】本题考查了正方形的性质，翻折运动，全等三角形的判定与性质，勾股定理，掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 三、解答题（共75能力点） 16. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握直接开平方法，因式分解法，配方法和公式法是解题的关键． （1）利用配方法求解即可； （2）利用因式分解法求解即可． 【小问1详解】 解：， 移项得：， 配方得：， 即， ， 解得：； 【小问2详解】 解：， ， ， 或， ． 17. “一寸光阴不可轻，最是书香能致远．”阅读是美好的，阅读是快乐的．某校社团将《西游记》中的四位人物的肖像制成编号为 A、B、C、D 的四张卡片（除编号和人物肖像外其余完全相同），活动时学生根据所抽取的卡片来讲述他们在书中的故事．游戏规则如下：先将四张卡片背面朝上，洗匀放好，小东先从中随机抽取一张，记卡片上的人物为，再把剩下的3张卡片洗匀后，背面向上放好，小华再从3张卡片中随机抽取一张，记卡片上的人物为．若他们取出的两张卡片上对应的人物为师徒关系，则由小东讲，否则由小华讲． （1）用列表法或画树状图法中的一种方法，列出所有可能出现的结果． （2）你认为这个游戏是否公平？请说明理由． 【答案】（1） 方法一：列表如下： x y A B C D A B C D ∴由上表可知，所有等可能出现的结果为：，，，，，，，，，，，，它们出现的可能性相等，一共有12种． 方法二： ∴所有等可能出现的结果为：，，，，，，，，，，，，它们出现的可能性相等，一共有12种． （2） 这个游戏公平． 理由如下： 由（1）可知，所有可能出现的结果共有12种，这些结果出现可能性的大小相等． 其中两人恰好是师徒关系的有6种． 故 ， ， ∵， ∴该游戏公平． 【解析】 【分析】（1）利用树状图法或者列表法求解即可； （2）分别求出是师徒关系和不是师徒关系的概率，进而求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【点睛】本题考查概率，熟练掌握概率的求法，会运用列表法或树状图法求概率是解题关键． 18. 已知关于x的方程 （1）当该方程的一个根为1时，求a的值及该方程的另一根； （2）求证：不论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根． 【答案】（1），； （2）∵， ∴不论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根． 【解析】 【分析】（1）根据一元二次方程根与系数的关系列方程组求解即可； （2）要证方程都有两个不相等的实数根，只要证明根的判别式大于0即可． 【详解】解：（1）设方程的另一根为x1， ∵该方程的一个根为1， ∴， 解得． ∴a的值为，该方程的另一根为． （2）略 【点睛】本题考查了根的判别式和根与系数的关系，注意：如果x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a、b、c为常数，a≠0）的两个根，则x1+x2，x1•x2，要记牢公式，灵活运用． 19. 如图，四边形的对角线相交于点O，，.若四边形是菱形.求证：四边形是矩形. 【答案】 证明：∵四边形是菱形， ∴， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∴平行四边形是矩形. 【解析】 【分析】本题考查了矩形的判定，根据菱形的性质，平行四边形的判定，运用对角线相等的平行四边形是矩形证明即可. 【详解】略 20. 2020年突如其来的新型冠状病毒疫情，给生鲜电商带来了意想不到的流量和机遇，据统计某生鲜电商平台1月份的销售额是225万元，3月份的销售额是324万元． （1）若该平台1月份到3月份的月平均增长率都相同，求月平均增长率是多少？ （2）经市场调查发现，某水果在“盒马鲜生”平台上的售价为24元/千克时，每天能销售300千克，售价每降低2元，每天可多售出100千克，为了推广宣传，商家决定降价促销，同时尽量减少库存，已知该水果的成本价为12元/千克，若使销售该水果每天获利4000元，则售价应降低多少元？ 【答案】（1）20% （2）降低4元 【解析】 【分析】（1）设月平均增长率为x，根据题意可列出关于x的一元二次方程，解出x，再舍去不合题意的解即可； （2）设售价应降低y元，根据题意可列出关于y的一元二次方程，解出y，再舍去不合题意的解即可． 【小问1详解】 设月平均增长率为x， 依题意，得：， 解得：（不合题意，舍去）． 答：月平均增长率是20%； 【小问2详解】 设售价应降低y元，则每天可售出千克， 依题意，得：， 整理，得：， 解得：， ∵要尽量减少库存， ∴y＝4． 答：售价应降低4元． 【点睛】本题考查一元二次方程的实际应用．读懂题意，找出数量关系，列出等式是解题关键． 21. 如图，在中，，，，点D从点C出发沿方向以的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿方向以的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点D，E运动的时间是．过点D作于点F，连接． （1）求证：四边形为平行四边形； （2）①当四边形为菱形时，求t的值； ②当 s时，四边形为矩形； （3）当为直角三角形时，求t的值． 【答案】（1） 证明：由题意可知， ∵， ∴ ∴． ∵， ∴． 又∵， ∴， ∴四边形为平行四边形． （2）①；② （3）或 【解析】 【分析】（1）由题意得，再由含角的直角三角形的性质得，得到，然后证，即可得出结论； （2）①由，得四边形为菱形，得，进而求得t的值；②时，四边形为矩形，得到，再证，得，即可得出结论． （3）分两种情况，根据直角三角形的性质列出算式，计算即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ①∵， ∴． ∵， ∴四边形为平行四边形， ∴要使平行四边形为菱形，则需， 即， 解得， ∴当时，四边形为菱形， ②要使四边形为矩形，则， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， 即， 解得． 即当时，四边形DEBF为矩形， 故答案为：． 【小问3详解】 ①当时， ∵四边形为平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． ∵， ∴， 解得． ②当时， ∵， ∴四边形为矩形． 在中，， ∴， ∴，即， 解得， ③当时，点E与点B重合，点D与点A重合，此种情况不存在△DEF． 综上所述，当或时，为直角三角形． 【点睛】本题考查了矩形的判定、平行四边形的判定与性质、菱形的判定、含30°角的直角三角形的性质等知识，熟练掌握矩形的判定和平行四边形的判定与性质是解题的关键． 22. 阅读材料，解决问题． 相传古希腊毕达哥拉斯学派的数学家经常在沙滩上研究数学问题．他们在沙滩上画点或用小石子来表示数，比如，他们研究过1、3、6、10…，由于这些数可以用图中所示的三角点阵表示，他们就将每个三角点阵中所有的点数和称为三角数． 则第n个三角数可以用（且为整数）来表示． （1）若三角数是55，则______； （2）把第n个三角点阵中各行的点数依次换为2，4，6，…，2n，…，请用含n的式子表示前n行所有点数的和； （3）在（2）中的三角点阵中前n行的点数的和能为120吗？如果能，求出n，如果不能，请说明理由． 【答案】（1）10 （2） （3） 不能，理由如下： 假设能为120，则，即 解得：， ∵n为正整数， ∴前n行的点数和不能为120． 【解析】 【分析】（1）直接根据题意建立方程进行求解即可； （2）根据题意得到前n行所有点数的和为，然后提取公因数2即可得到答案； （3）根据题意建立方程，求出n不是正整数即可得到结论． 【小问1详解】 解：由题意得，，即， ∴， 解得（负值舍去）， 故答案为：10； 【小问2详解】 解：由题意得：前n行所有点数的和为 ； 【小问3详解】 略 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的应用，数字类的规律探索，正确理解题意是解题的关键． 23. 在正方形中，E是边上一点（点E不与点B，C重合），，与正方形的外角的平分线交于点F． （1）如图1，若点E是的中点，猜想与的数量关系是 ；证明此猜想时，可取的中点P，连接．根据此图形易证．则判断的依据是 ． （2）点E在边上运动． ①如图2，（1）中的猜想是否仍然成立？请说明理由． ②如图3，连接，，若正方形的边长为1，直接写出的周长c取值范围． 【答案】（1）， （2） ①成立，理由如下： 如图2，在上取一点P，使，连接， 则， 由（1）得：， ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； ② 【解析】 【分析】（1）取的中点P，连接．先证，再证，，然后由证，即可得出结论； （2）①在上取一点P，使，连接PE，证明，即可得出结论； ②过D作交于点H，连接、，证明是等腰直角三角形，则点H与D关于对称，得，，当A、F、H三点共线时，最短，当A、D、F三点共线，最长即可得出结论． 【小问1详解】 如图1，取的中点P． 则， ∵点E是的中点， ∴， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴，，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 故答案为：，； 【小问2详解】 ①略 ②如图3，过D作交于点H，连接、， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴点H与D关于对称， ∴， ∴， 当A、F、H三点共线时，最短，即最短， 此时， ， 在中，由勾股定理得：， 此时； 当点E与点C重合，即A、D、F三点共线，最长， 此时， ∴， 则； ∴的周长c的取值范围是． 【点睛】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、直角三角形的性质以及勾股定理等知识，熟练掌握正方形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级上学期第1次学业质量健康体检 数学学科 使用时间：9月29日 评价：120个能力点 时间：90分钟 一、选择题（每题3分，共30能力点） 1. 下列说法不正确的是（ ） A. 有一组邻边相等的平行四边形是菱形 B. 有一个角是直角的平行四边形是矩形 C. 有一组邻边相等，有一个角是直角的平行四边形是正方形 D. 一组邻边相等的四边形是菱形 2. 若关于x的方程是一元二次方程，则m的值为（ ） A. B. 2 C. D. 0 3. 在掷一枚骰子次的试验中，“偶数朝上”的频数为，则“偶数朝上”的频率为（ ） A. B. C. D. 4. 如图，在中，点D在边上，过点D作，交于点E．若，则的值是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，四边形的两条对角线相交于点，且互相平分．添加下列条件，仍不能判定四边形为菱形的是（　　） A. B. C. D. 6. 根据下表： … 4 5 6 13 5 … 5 13 确定方程的解的取值范围是（ ） A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 7. 用配方法解一元二次方程x2﹣4x﹣3＝0下列变形正确的是（　　） A. （x﹣2）2＝0 B. （x﹣2）2＝7 C. （x﹣4）2＝9 D. （x﹣2）2＝1 8. 如图，在中，，，于点，于点，取的中点，则的周长是（ ） A. 12 B. 14 C. 16 D. 18 9. 关于的方程的解是（均为常数，），则方程的解是（ ） A. B. C. D. 无法求解 10. 如图1，在矩形中，动点P从点B出发，沿做匀速运动，到达点C后停止运动，动点Q从点D出发，沿以同样的速度做匀速运动，到达点C后也停止运动．已知点P，Q同时开始运动．连接，，设，，其中y关于x的函数图象如图2所示，则图中m的值为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每题3分，共15能力点） 11. 已知，那么________． 12. 某校九年级组织一次辩论赛，规定进行单循环赛（每两班赛一场），共赛了场，该校九年级共有多少个班级参加了辩论赛？设该校九年级共有个班参加了辩论赛，根据题意，可列方程为______． 13. 对于实数a，b，定义运算“※”如下：，例如，．若，则x的值为______． 14. 已知等腰三角形的底边长和腰长恰好是方程的两根，则等腰三角形的周长为______． 15. 如图，对折正方形纸片，使与重合，得到折痕，在上选一点P，沿折叠，使点A落在点M处，延长交于点Q，连接，，已知正方形纸片的边长为，当时，的长为______． 三、解答题（共75能力点） 16. 解方程： （1）； （2）． 17. “一寸光阴不可轻，最是书香能致远．”阅读是美好的，阅读是快乐的．某校社团将《西游记》中的四位人物的肖像制成编号为 A、B、C、D 的四张卡片（除编号和人物肖像外其余完全相同），活动时学生根据所抽取的卡片来讲述他们在书中的故事．游戏规则如下：先将四张卡片背面朝上，洗匀放好，小东先从中随机抽取一张，记卡片上的人物为，再把剩下的3张卡片洗匀后，背面向上放好，小华再从3张卡片中随机抽取一张，记卡片上的人物为．若他们取出的两张卡片上对应的人物为师徒关系，则由小东讲，否则由小华讲． （1）用列表法或画树状图法中的一种方法，列出所有可能出现的结果． （2）你认为这个游戏是否公平？请说明理由． 18. 已知关于x的方程 （1）当该方程的一个根为1时，求a的值及该方程的另一根； （2）求证：不论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根． 19. 如图，四边形的对角线相交于点O，，.若四边形是菱形.求证：四边形是矩形. 20. 2020年突如其来的新型冠状病毒疫情，给生鲜电商带来了意想不到的流量和机遇，据统计某生鲜电商平台1月份的销售额是225万元，3月份的销售额是324万元． （1）若该平台1月份到3月份的月平均增长率都相同，求月平均增长率是多少？ （2）经市场调查发现，某水果在“盒马鲜生”平台上的售价为24元/千克时，每天能销售300千克，售价每降低2元，每天可多售出100千克，为了推广宣传，商家决定降价促销，同时尽量减少库存，已知该水果的成本价为12元/千克，若使销售该水果每天获利4000元，则售价应降低多少元？ 21. 如图，在中，，，，点D从点C出发沿方向以的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿方向以的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点D，E运动的时间是．过点D作于点F，连接． （1）求证：四边形为平行四边形； （2）①当四边形为菱形时，求t的值； ②当 s时，四边形为矩形； （3）当为直角三角形时，求t的值． 22. 阅读材料，解决问题． 相传古希腊毕达哥拉斯学派的数学家经常在沙滩上研究数学问题．他们在沙滩上画点或用小石子来表示数，比如，他们研究过1、3、6、10…，由于这些数可以用图中所示的三角点阵表示，他们就将每个三角点阵中所有的点数和称为三角数． 则第n个三角数可以用（且为整数）来表示． （1）若三角数是55，则______； （2）把第n个三角点阵中各行的点数依次换为2，4，6，…，2n，…，请用含n的式子表示前n行所有点数的和； （3）在（2）中的三角点阵中前n行的点数的和能为120吗？如果能，求出n，如果不能，请说明理由． 23. 在正方形中，E是边上一点（点E不与点B，C重合），，与正方形的外角的平分线交于点F． （1）如图1，若点E是的中点，猜想与的数量关系是 ；证明此猜想时，可取的中点P，连接．根据此图形易证．则判断的依据是 ． （2）点E在边上运动． ①如图2，（1）中的猜想是否仍然成立？请说明理由． ②如图3，连接，，若正方形的边长为1，直接写出的周长c取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $