河南郑州市第五十七中学2026-2027学年第一学期10月学情自测九年级数学试题

2025-2026下期九年级月考数学 （分值：120分 时间：100分钟） 一、选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1. 菱形和矩形都具有的性质是（ ） A. 对角线互相平分 B. 对角线相等 C. 对角线互相垂直 D. 对角线平分一组对角 2. 下列方程中，是一元二次方程的有（ ） ①；②；③；④；⑤． A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 3. 如图为汽车常备的一种千斤顶的原理图，其基本形状是一个菱形，中间通过螺杆连结，转动手柄可改变的大小菱形的边长不变当时，的度数为（ ） A. B. C. D. 4. 根据下表： 确定方程的解的取值范围是（ ） A. B. 或 C. 或 D. 或 5. 如图，用一根绳子检查一个平行四边形书架的侧边是否和上、下底都垂直，只需要用绳子分别测量书架的两条对角线，的长就可以判断，其数学依据是（ ） A. 三个角都是直角的四边形是矩形 B. 对角线互相平分的四边形是矩形 C. 对角线相等的平行四边形是矩形 D. 对角线互相垂直平分的四边形是矩形 6. 已知函数的图象如图所示，则一元二次方程的根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 没有实数根 C. 有两个相等的实数根 D. 无法确定 7. 在第十九届亚运会中国国家象棋队选拔赛的第一阶段中，采用分组单循环（每两人之间都只进行一场比赛）制，每组x人．若每组共需进行15场比赛，则根据题意可列方程为（） A. B. C. D. 8. 如图，有两条相互垂直的卡槽，一小哥将一根木棒的两端分别卡在卡槽中，在木棒的中部插有一支记号笔，接着移动木棒的一端，另一端也随之移动．我们惊讶地发现：记号笔画出了一段圆弧！根据你所学的有关直角三角形的知识，分析“木棒作弧”中所运用的数学道理是（ ） A. 直角三角形的两直角边长度的平方和等于第三边长度的平方 B. 直角三角形的面积等于两直角边乘积的一半 C. 直角三角形的两个锐角互余 D. 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 9. 如图，点E、F、G、H分别是四边形ABCD边AB、BC、CD、DA的中点，则下列说法： ①若AC＝BD，则四边形EFGH为矩形； ②若AC⊥BD，则四边形EFGH为菱形； ③若四边形EFGH是平行四边形，则AC与BD互相平分； 其中正确的个数是（　　） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 10. 如图，在矩形中，，动点P从点A开始沿边以的速度向点B运动，动点H从点B开始沿边以的速度向点A运动，动点Q从点C开始沿边以的速度向点D运动．点P，点H和点Q同时出发，当其中一点到达终点时，另两点也随之停止运动．设动点的运动时间为，当时，t的值为（ ） A. B. 4 C. D. 二、填空题（共5小题，满分15分，每小题3分） 11. 小华在复习四边形的相关知识时，绘制了如图所示的框架图，⑤号箭头处可以添加的条件是________．（写出一种即可） 12. 如果关于x的方程（m﹣3）﹣x+3=0是一元二次方程，那么m的值为______ 13. 在解一元二次方程x2+bx+c＝0时，小明看错了一次项系数b，得到的解为x1＝2，x2＝3；小刚看错了常数项c，得到的解为x1＝1，x2＝5．请你写出正确的一元二次方程________． 14. 如图，正方形的边长为，剪去4个角后成为一个正八边形，求这个正八边形的面积________． 15. 如图，△ABC中，，，，线段DE的两个端点D，E分别在边AC，BC上滑动，且，若点M，N分别是DE，AB的中点，则MN的最小值为_________． 三、解答题（共8小题，满分75分） 16. 解下列方程： （1）； （2）． 17. 如图，在中，已知，于点D． 小明同学灵活运用轴对称知识将图形进行翻折变换：分别以直线，为对称轴，画出，的轴对称图形，点D的对称点分别为E，F，延长，相交于点G． 请按照小明的思路，探究并解答下列问题： （1）求证：四边形是正方形． （2）若，，则______． 18. 已知，是关于的一元二次方程的两实数根． （1）若，恰好是矩形的两邻边长，且，求该矩形的周长和面积； （2）若，恰好是菱形的两条对角线的长，菱形边长为，求的值． 19. 阅读与思考：下面是小逸同学的数学日记，请仔细阅读，并完成相应的任务． 作矩形的最大内接菱形的方法 四个顶点都在同一个矩形的边上的菱形叫做矩形的内接菱形．在实践活动课上，数学老师提出来一个问题“如何从一张矩形纸片中制作出一个最大的内接菱形”．实践小组成员经过思考后，分别给了3种不同的方法． 方法一：通过折，将矩形纸片横对折后再竖对折，沿对角线剪一刀得到一个直角三角形，展开后就是菱形（如图1），则四边形是矩形的内接菱形． 方法二：通过叠，取两个大小一样的矩形纸片，让两矩形的长两两相交，重叠的部分形成四边形，则四边形也是矩形的内接菱形．（如图2） 方法三：通过尺规作图，作矩形的对角线的垂直平分线，与边交于点E，与边交于F，连接，，则四边形是矩形的内接菱形． 实践小组通过对三种方法得到的菱形进行分析，讨论，计算，对比，从而得出矩形的最大内接菱形． 任务： （1）图1菱形的面积与矩形的面积之比为 ； （2）请利用图2证明方法二中四边形AECF是菱形． （3）尺规作图：请你在图3中完成日记中的“方法三”的作图过程．（保留作图痕迹，不要求写作法） （4）若在矩形中，，，请你根据日记中三种方法，通过计算求出此矩形的内接菱形的面积最大值． 20. 请阅读下列材料，并按要求完成相应的任务：赵爽在其所著的《勾股圆方图注》中记载了解方程，即的方法．首先构造了如图1所示的图形，图中的大正方形面积是，其中四个全等的小矩形面积分别为，中间的小正方形面积为，所以大正方形的面积又可表示为，据此易得原方程的正数解为． （1）参照上述图解一元二次方程的方法，请在三个构图中选择能够说明方程，解法的正确构图是_____（从序号①②③中选择）； （2）请你通过上述问题的学习，在图2的网格中设计正确的构图，用几何法求方程的正数解（写出必要的思考过程，图2中的网格不要求全部使用）： （3）一般地对于形如的一元二次方程可以构造图3来解，已知图3由4个相同矩形构成，这4个矩形的总面积为20，中间围成的正方形边长为，求，，的值． 21. 项目式学习 农家乐的扩建与经营 素材一 如今短视频平台、旅游让农家乐“出圈”，为了进一步提升顾客体验，某经营户打算将自家农家乐现有的矩形就餐区域，扩建成如图所示更大的正方形区域．目前这个矩形就餐区的面积为120平方米，扩建时，他将矩形的其中一边增加5米，另一边增加3米，这样改造后就能形成一个正方形的就餐区域． 素材二 改造前的顾客的平均等待时间为25分钟，就餐区域改造完成后，通过优化叫号系统，两个星期后的平均等待时间缩短至16分钟． 素材三 经营户推出特色餐饮品鉴活动．通过市场调查，发现当收费标准为80元/人时，平均每天可接待顾客60人．收费标准每降低5元，平均每天可多接待10人． （1）扩建后正方形就餐区域的边长是多少米？ （2）求平均每星期等待时间降低的百分率是多少？ （3）如果经营户希望每天特色餐饮品鉴活动的营业额达到6000元，并且从为顾客让利的角度出发，收费标准应确定为多少元/人？ 22. 如图，四边形是证明勾股定理时用到的一个图形，，，分别是和三边的长，易知，这时我们把关于的形如的一元二次方程称为“勾系一元二次方程”．请解答下列问题： （1）有下列方程：①；②．其中，是“勾系一元二次方程”的为________（填序号）． （2）求证：关于的“勾系一元二次方程”必有实数根． （3）若是“勾系一元二次方程”的一个根，且四边形的周长是，求的面积． 23. 定义：有一组邻边相等的凸四边形叫做“等邻边四边形”． 【初步理解】 如图1，已知矩形是“等邻边四边形”，则矩形______（填“一定”或“不一定”）是正方形； 【尝试运用】 如图2，在菱形中，，点、分别在、上（不含端点），连接，，若，证明四边形是“等邻边四边形”； 【拓展延伸】 如图3，现有一个平行四边形材料，连接，，点在上，且，在边上有一点，使四边形为“等邻边四边形”，请直接写出此时四边形的面积． 2025-2026下期九年级月考数学 （分值：120分 时间：100分钟） 一、选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 【1题答案】 【答案】A 【2题答案】 【答案】A 【3题答案】 【答案】C 【4题答案】 【答案】D 【5题答案】 【答案】C 【6题答案】 【答案】A 【7题答案】 【答案】A 【8题答案】 【答案】D 【9题答案】 【答案】A 【10题答案】 【答案】D 二、填空题（共5小题，满分15分，每小题3分） 【11题答案】 【答案】有一角为直角（答案不唯一） 【12题答案】 【答案】-3 【13题答案】 【答案】x2﹣6x+6＝0 【14题答案】 【答案】## 【15题答案】 【答案】 三、解答题（共8小题，满分75分） 【16题答案】 【答案】（1）， （2）， 【17题答案】 【答案】（1） 证明：根据题意得，，， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴四边形是矩形， ∵ ∴， ∴矩形是正方形； （2）3 【18题答案】 【答案】（1）矩形面积为，矩形周长为 （2） 【19题答案】 【答案】（1） （2）证明：如图2 ∵矩形为两个大小一样的矩形纸片， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是菱形． （3）四边形即为所求： （4）此矩形的内接菱形的面积最大值为60 【20题答案】 【答案】（1）② （2）， 首先构造了如图2所示的图形（图形画法不唯一）， 图中的大正方形面积是，其中四个全等的小矩形面积分别为，中间的小正方形面积为， 大正方形的面积又可表示为， 大正方形的边长为8， ， 解得：， 方程的正数解是； （3），， 【21题答案】 【答案】（1）扩建后正方形就餐区域的边长为15米 （2）平均每星期等待时间降低的百分率是 （3）收费标准应定为50元/人 【22题答案】 【答案】（1）② （2）证明：， 是“勾系一元二次方程”， ， ， 关于的“勾系一元二次方程”必有实数根； （3） 【23题答案】 【答案】（1）一定 （2）四边形是“等邻边四边形” （3）或或 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $