3.3圆的对称性（同步练习）2026--2027学年苏科版七年级数学上册

苏科版九年级数学上 3.3圆的对称性（同步练习） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．在中，圆心角，则弦与弦的关系是（     ） A． B． C． D．不能确定 2．在中，为一条弦（不是直径），过作交于点，交于点，．若的半径为5，则的长为（     ） A．10 B．5 C． D． 3．如图，圆弧形桥拱的跨度米，拱高米，则拱桥的半径为（   ） A．3米 B．8米 C．10米 D．20米 4．如图，在中，弦，，，且与位于圆心的同侧．若与之间的距离为2，则的半径为（     ） A．8 B．9 C．10 D．12 5．如图，是的半径，是的中点，连接，点在的延长线上．若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 6．如图，是的直径，是的弦，，垂足为，若，，则的长为（     ） A．13 B．12 C．8 D．5 7．如图，为的直径，弦于点E，若，则的长为（     ） A．5 B．8 C． D． 8．如图，为直径，弦于E，，则长为（     ） A．1 B． C．2 D． 9．如图，的半径为2，于点E，，则扇形的面积为（     ） A． B．π C． D．2π 10．《九章算术》是我国古代第一部数学专著，书中记载：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深两寸，锯道长八寸，问径几何？”译为：“今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知其大小，用锯去锯这木材，锯口深2寸（寸），锯道长8寸（寸）”，问这块圆形木材的直径是多少？如图所示，请根据所学知识计算圆形木材的直径是（     ） A．5寸 B．6寸 C．8寸 D．10寸 二、填空题 11．已知中，弦，圆心到的距离为3cm，则此圆的半径为________ 12．在中，弦等于圆半径的倍，即，则该弦所对的弧的度数为__________． 13．定义：有一个圆分别和一个三角形的三条边各有两个交点，截得的三条弦相等，我们把这个圆叫作“等弦圆”，现在有一个斜边长为10的等腰直角三角形，当等弦圆最大时，这个圆的半径为______． 14．如图，是的直径，弦，那么________，________，的周长为________． 15．如图，在中，为直径，弦于点H，若，则的半径长为______． 16．如图，是的直径，且，为上一点，过作，交于点，交于点．若为中点，则的长为____________． 17．筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具．如图，当筒车工作时，盛水桶的运行路径可以看作是以轴心为圆心的，且圆心在水面上方．在某一时刻，被水面截得的弦长为6米，过点作，交于点，交于点，水面下盛水桶的最大深度为1米（即米），则的半径为____________米． 18．在圆柱形油槽内装有一些油，截面如图所示，已知截面半径为，油面宽为，如果再注入一些油后，油面宽变为，则油面上升了_________． 19．如图，在中，按下列步骤作图：①在边上取一点 ，以 为圆心，长为半径画 ，交 于点 ；②分别以 为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点，连接交于点，交 于点 ，若 ，则的长为____________． 20．为传承非遗文化，讲好中国故事，某地准备在一个场馆进行吕剧演出，该场馆底面为一个圆形，如图所示，其半径是12米．从A到B有一笔直的栏杆，圆心O到栏杆的距离是6米，观众在阴影区域里观看演出，如果每平方米可以坐3名观众，那么最多可容纳________名观众同时观看演出．（取3，取） 三、解答题 21．如图，点，，，在上，．求证：． 22．如图，点，，，，在上，且． (1)求证：； (2)若，，则的半径为_______． 23．如图，，是上的两点，，，是的中点． (1)求证：四边形是菱形； (2)若点是上的点，直接写出的最大值为________． 24．已知的直径，点是圆上一点，且，点是弦上一动点，过点作交于点． (1)如图1，当时，求的长； (2)如图2，当平分时，求的长． 25．甘肃定西通渭县的传统水磨，以水流推动水轮带动磨盘磨面．水轮整体为圆盘形，垂直于水面安装，运行时部分浸入水中．其几何示意图如图所示，已知水轮圆心O位于水面上方，水面截水轮所得弦的长为1米，水轮半径为3米，C为水轮最低点．求点C 到弦所在直线的距离． 26．如图，是的直径，是的两条弦，点C与点D在的两侧，E是上一点（），连接，且． (1)如图1，若，求的半径； (2)如图2，若，求证：． 27．在平面直角坐标系中，的半径为1，对平面内一点，若过点的直线与交于、两点，则称弦的中点为点关于的“中影点”；特别地，若、两点重合，也称点为点关于的“中影点”． (1)如图，若给定点，在点，，中，点关于的“中影点”有__________； (2)已知点在以为圆心，以1为半径的圆上， ①若内第二象限一点为点关于的“中影点”，它满足，，直接写出点的坐标； ②对于给定的点，它关于的两个“中影点”连线的最大长度为，当点在上移动时，直接写出的取值范围． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 《苏科版九年级数学上 3.3圆的对称性（同步练习）》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C D C C A C B B C D 1．C 【分析】作的平分线构造等圆心角，得到等弦，结合三角形三边关系比较弦长大小． 【详解】解：如图，作的平分线，交于点，连接、、、， 则， ∵， ∴， ∵在同圆中，相等的圆心角所对的弦相等， ∴， 在中，， ∴，即． 2．D 【分析】先根据已知条件求出的长度，再结合勾股定理求出半弦长，最后根据垂径定理得到弦的长度． 【详解】解：如图， 的半径为， ， ， ， ， 由垂径定理得，且， 在中，由勾股定理得：， ． 3．C 【分析】设圆弧形桥拱的圆心是O，半径为r米，连接，则O、D、C三点共线，根据垂径定理得米，再由勾股定理得出方程，解方程即可． 【详解】解：设圆弧形桥拱的圆心是O，半径为r米，如图，连接，则O、D、C三点共线， ∵拱高为， ∴， ∵米， ∴米， 在中，根据勾股定理，得：， 即， 解得：， 即拱桥的半径为10米． 4．C 【分析】过圆心作弦的垂线，利用垂径定理和勾股定理建立方程求解即可． 【详解】解：过点 O作 于点 E，交 于点 F，连接 ， ∵，， ， ， 设，则， 在中，， 在中，， ， ， 解得：， ， 即的半径为10． 5．A 【分析】利用邻补角定义求出，根据等腰三角形性质求出 ，再利用弧中点性质得出，最后求和即可． 【详解】解：连接， 点在的延长线上， 是的中点 ． 6．C 【分析】连接，根据圆的性质和勾股定理求出的长，则可求出的长． 【详解】解：如图所示，连接， ∵是的直径，是的弦，，垂足为， ∴， ∴， ∴． 7．B 【分析】连接，根据垂径定理及勾股定理进行求解即可． 【详解】解：连接，如图， ∵为的直径，弦于点， ∴， ∵，， ∴ ∴的半径， ∴， 在中， ∵，， ∴， ∴． 8．B 【分析】本题考查垂径定理及勾股定理，根据垂径定理求出的长，再在中利用勾股定理求出的长即可． 【详解】解：为直径，，， ， 在中，． 9．C 【分析】由题意易得，，然后可得，则有，进而根据扇形面积公式进行求解即可． 【详解】解：∵，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 10．D 【分析】设的半径为r，在中， ，则有，解方程可得r，进而确定直径． 【详解】解：设的半径为r， ∵， ∴， 在中， ， 则有， 解得， ∴圆形木材的直径是为10寸． 11．5 【分析】过圆心作弦的垂线，利用垂径定理得到弦长的一半，再结合勾股定理即可求出圆的半径． 【详解】解：如图所示，过点作于点，连接， ∵，是的弦， ∴， ∵， ∴， 在中，，， ∴，即此圆的半径为． 12．或 【分析】根据题意画出图形，利用勾股定理逆定理求出圆心角的度数，再分劣弧和优弧两种情况计算弧的度数． 【详解】解：根据题意画出图形，如下图所示， ，， ， ， 由勾股定理逆定理，可得是直角三角形，． 一条弦对应两条弧，弧的度数等于它所对圆心角的度数， 当弦对劣弧时，劣弧的度数为；当弦对优弧时，优弧的度数为， 该弦所对的弧的度数为或． 13． 【分析】根据题意画出相应的图形，利用圆周角定理、直角三角形的边角关系以及三角形的面积公式进行计算即可． 【详解】解：如图所示： 如图，与等腰直角的三条边都有两个交点，截得的三条弦相等， ∵同一个圆中，弦相等则弦心距相等， ∴等弦圆的圆心到等腰直角三条边的距离相等，故圆心就是等腰直角的内心， ∴当过时，且在等腰直角三角形的三边上截得的弦相等，即，此时最大， 过点分别作弦的垂线，垂足分别为，连接， ， ， ， ， ， ， 设，则， ， 解得：， 即， 在中，， ∴． 14． 【分析】根据垂径定理得到，，即可求出的周长． 【详解】解：∵是的直径，弦， ∴，， ∴的周长为． 15．// 【分析】连接，设圆的半径为，根据垂径定理可得，在中由勾股定理建立方程求解即可． 【详解】解：如图，连接， 设圆的半径为， ∵， ∴， 在中，，， ∴ 解得， ∴半径为． 16． 【分析】连接，由垂径定理可得，最后结合勾股定理求解即可． 【详解】解：连接， 是的直径，且，， ，， 为中点， ， 根据勾股定理，得， ． 17． 【分析】由垂径定理可得的长，设的半径为，则可用含的式子表示，在中利用勾股定理列方程求解即可． 【详解】解：， 米， （米） ． 设的半径为米，则，． 在中，由勾股定理得， 即． 解得． 18．2 【分析】如图：设再注入一些油后，油面宽变为，则，过O作，利用垂径定理和勾股定理求出的长，进而求得即可解答． 【详解】解：如图：设再注入一些油后，油面宽变为，则，过O作， ∵， ∴，， ∴，， ∵，, ∴O、E、F三点共线， ∴，即油面上升了． 19． 【分析】根据作图步骤①可知，即为等腰三角形；根据作图步骤②可知 是线段 的垂直平分线，利用垂径定理及勾股定理求出 的长，最后根据半径计算的长即可． 【详解】解：由作图步骤①可知，点 、 在上， ， 由作图步骤②可知， 垂直平分线段 ， ，， 在 中，由勾股定理得：， 点在上， ， ． 20．248 【分析】过点O作于点C，则，根据直角三角形的边长关系求出的角度，阴影面积即为，即可求出容纳观众的数量． 【详解】解：如图，过点O作于点C，则， 根据题意得：米，米， ∴米， ∴，米， ∵， ∴， ∴， ∴阴影部分面积为平方米， ∴最多可容纳名观众同时观看演出． 21．证明：∵点，，，在上，且， ∴， ∴， 即， ∴ ． 【分析】由点，，，在上，且弦，得弧，由 ，得，进而得到线段． 【详解】略 22．(1)证明见解析； (2)的半径为． 【分析】（1）结合等弧所对的弦相等即可得证； （2）连接、、、，作交于点，结合弧、弦、圆心角的关系证明，结合三线合一定理证明过点，设，，结合勾股定理推出后即可求得的半径． 【详解】（1）证明：， ， 即， ． （2）解：连接、、、，作交于点， ， ， 即， ， ∵，， ， ∵ 是中线，即， ∴过点， 设，， 中，， 中，， ， ， ， ， 代入， 解得， 即的半径为． 23．(1)证明：如图，连接， ，是的中点， ， 又， 和均为等边三角形， ，， ， 四边形是菱形； (2) 【分析】（1）由是的中点，可得，进而证明和均为等边三角形，推出，即可证明四边形是菱形； （2）连接交于点E，延长交于点D，此时取最大值．由菱形的对角线互相垂直且平分，求出，再利用勾股定理、垂径定理求出，最后根据三角形面积公式求解． 【详解】（1）略 （2）解：如图，连接交于点E，延长交于点D，此时取最大值． ， ，， 由（1）知四边形是菱形， ，， ，， ， ． 即的最大值为． 24．(1) (2) 【分析】（1）连接，根据圆的性质，平行线的性质，求出，根据锐角三角函数，求出，再根据勾股定理求出，即可； （2）过点作，垂足为点，根据垂径定理，勾股定理，求出，根据等角对等边，求出，最后根据，即可解答． 【详解】（1）解：连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得：； ∴． （2）解：过点作，垂足为点， ∴，（垂径定理）， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵，平分， ∴， ∴， ∴， ∴． 25．米 【分析】连接交于点，由题意得出，推出，由垂径定理得，最后用勾股定理解即可． 【详解】解：连接交于点， 点为水轮的最低点， ， ， 由题知，， ， ， 米． 26．(1)5 (2)证明：如下图，过点作于点， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴． 【分析】（1）首先证明，再在中由勾股定理解得，可得的长度，即可获得答案； （2）过点作于点，证明，进而证明，由全等三角形的性质可得，根据“内错角相等，两直线平行”即可证明结论． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴，即， ∴，即， ∴在中，可得，即， ∵，且， ∴， 解得，即的半径为5； （2）略 27．(1)、； (2)①或；② 【分析】（1）根据“中影点”定义进行判断即可； （2）①连接，过点D作，交于点A、B，交于点，交y轴于点C，过点D作轴于点E，证明点D为点关于的“中影点”，求出点C的坐标为，点D的坐标为，再用待定系数法求出直线的解析式为：，设点的坐标为，根据两点间距离公式求出，最后求出m的值，即可得出答案； ②先说明对于给定的点，它关于的“中影点”在以为直径的圆上，然后分情况讨论：当点P在内及上时，当点P在外时，分别画出图形，进行讨论，求出t的取值范围即可． 【详解】（1）解：连接，、，并分别延长，交于点、Q、，如图所示： ∵点， ∴， ∴点P在上， ∵点，， ∴与不垂直， 根据垂径定理可知：只有当与垂直时，才是的中点， ∴点不是的中点， ∴点不是点关于的“中影点”； ∵点P在圆上，O为圆心， ∴， ∴点O为的中点， ∴点O是点关于的“中影点”； ∵点，， ∴， ∴，即为的中点， ∴点是点关于的“中影点”； 综上，点关于的“中影点”有、； （2）解：①连接，过点D作，交于点A、B，交于点，交y轴于点C，过点D作轴于点E，如图所示： ∵， ∴， ∴点D为点关于的“中影点”， ∵， ∴，， ∴，， ∴， ∴点C的坐标为，点D的坐标为， 设直线的解析式为：，把代入得： ， 解得：， ∴直线的解析式为：， 设点的坐标为， ∵点在以为圆心，以1为半径的圆上， ∴， ∴ 整理得：， 解得：， ∴点P的坐标为或； ②在上任意取一点P，过点P任意作一条直线，交于点A、B，设点M为的中点，连接，，如图所示： 则点M为点关于的“中影点”， ∵，过圆心， ∴， ∴， ∴点M总是在以为直径的圆上， 即对于给定的点，它关于的“中影点”在以为直径的圆上， ∴当点P在内部或圆上时，对于给定的点，它关于的两个“中影点”连线的最大长度为的长， ∴当点P在内部或圆上时，， 即， ∴此时； 当点P在外，在上任意取一点P，连接，以为直径作圆，交于点M、N，连接，，，，，当正好经过的中点F时，如图所示： ∵， ∴，， ∵、为的半径， ∴、为的切线， ∴， ∵， ∴垂直平分， 又∵，， ∴此时四边形为正方形， ∴， 此时点关于的两个“中影点”连线的最大长度为，即； 当点P在外，且时，在上任意取一点P，连接，以为直径作圆，交于点M、N，如图所示： 则此时点关于的“中影点”在优弧上， ∴此时点关于的两个“中影点”连线的最大长度为所作圆的直径的长， ∴此时； 当点P在外，且时，在上任意取一点P，连接，以为直径作圆，交于点M、N，连接，，，，，则交于点Q，如图所示： 则此时点关于的“中影点”在劣弧上， ∴此时， ∴此时点关于的两个“中影点”连线的最大长度为的长， ∵， ∴，， ∵、为的半径， ∴、为的切线， ∴， ∵， ∴垂直平分， ∴，平分， ∴平分， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴当最大时，最大， ∴当最大时，最大， 在中，， ∴当最大时，最小，最大， ∴当最大时，最大， 当时，如图所示： 此时， ∴， ∴， ∴的最大值为， ∵， ∴， ∴， ∴此时， 综上，． 答案第1页（共2页） 答案第1页（共2页） 学科网（北京）股份有限公司 $