第10讲 数与形·点阵规律（讲义）-2026-2027学年六年级上册数学人教版

人教版 · 六年级奥数思维培优 第10讲 数与形 · 点阵规律 —— ★ ★ ★ ★ ★ —— 一、课程信息 项目 内容 讲次 第10讲 专题 数与形——点阵规律 适用年级 小学六年级 建议课时 1课时（60分钟） 难度星级 ★★★★☆ 前置知识 数列；平方数；找规律 核心方法 观察图形→列数列→找公式→验证 二、学习目标 维度 目标 知识与技能 掌握正方形、三角形点阵；会用公式求第n个图形的点数。 过程与方法 经历“图形→数列→公式”的抽象过程。 思维品质 培养归纳推理和数形结合思想。 情感应用 感受数学之美（点阵、图形）。 三、情境导入 操场上同学们排队，第1排1人，第2排3人，第3排6人，第4排10人…… 动脑筋：第10排有多少人？ 悬念：能不能不用一排排数，直接用公式算出来？ 图1 三角形点阵 这就是数与形：从图形中发现数列规律，用公式解决问题。 四、知识导航 常见点阵规律： 图2 三种常见点阵 点阵 数列 第n个公式 示例 正方形 1,4,9,16... n=10→100 三角形 1,3,6,10... n(n+1)÷2 n=10→55 奇数和 1,4,9,16... 1+3+5+...+(2n−1)= n=10→100 五、易错辨析 常见错误 正确做法 数错点数 逐个点数清楚再找规律 公式记错 正方形n²，三角形 n从0还是1开始 题目从第1个开始 不验证 用前几个数验证公式 六、典例精讲 本讲安排6道例题，从基本点阵到综合应用，循序渐进；每例后附一道变式练习。 例1【正方形点阵】 题目：正方形点阵：第1个1个点，第2个4个点，第3个9个点……第10个有多少个点？ 分析：数列1、4、9、16……正好是。 详解： 第1个==1。 第2个==4。 第3个==9。 第10个==100。 图3 正方形点阵 方法点睛：正方形点阵第n个=。 变式练习（同方法 · 换情境） 【变式题】 题目：正方形点阵第12个有多少个点？ 解答： =144。 点拨：与例1同法：第n个=n²。 例2【三角形点阵】 题目：三角形点阵：第1个1，第2个3，第3个6，第4个10……第10个有多少？ 分析：数列1、3、6、10……是三角形数，第n个=n(n+1)÷2。 详解： 第1个=1×2÷2=1。 第2个=2×3÷2=3。 第3个=3×4÷2=6。 第10个=10×11÷2=55。 图4 三角形点阵 方法点睛：三角形点阵第n个=n(n+1)÷2。 变式练习（同方法 · 换情境） 【变式题】 题目：三角形点阵第20个有多少个点？ 解答： 20×21÷2=210。 点拨：与例2同法：n(n+1)÷2。 例3【奇数和】 题目：观察：1=1，1+3=4，1+3+5=9，1+3+5+7=16……从1开始的前10个奇数之和是多少？ 分析：前n个奇数之和=。 详解： 1=。 1+3=4=。 1+3+5=9=。 前10个奇数和==100。 图5 奇数和 方法点睛：从1开始前n个奇数和=。 变式练习（同方法 · 换情境） 【变式题】 题目：从1开始前15个奇数之和是多少？ 解答： =225。 点拨：与例3同法：前n奇数和=n²。 例4【长方形点阵】 题目：长方形点阵：第1个1×2=2个，第2个2×3=6个，第3个3×4=12个……第8个有多少？ 分析：第n个=n×(n+1)。 详解： 第1个=1×2=2。 第2个=2×3=6。 第3个=3×4=12。 第8个=8×9=72。 图6 长方形点阵 方法点睛：长方形点阵第n个=n(n+1)。 变式练习（同方法 · 换情境） 【变式题】 题目：长方形点阵第10个有多少个点？ 解答： 10×11=110。 点拨：与例4同法：n(n+1)。 例5【火柴棒规律】 题目：用火柴棒摆正方形：摆1个用4根，摆2个用7根，摆3个用10根……摆第10个用多少根？ 分析：每增加一个正方形增加3根，第n个=3n+1。 详解： 第1个=3×1+1=4。 第2个=3×2+1=7。 第3个=3×3+1=10。 第10个=3×10+1=31根。 图7 火柴棒规律 方法点睛：第n个=3n+1。 变式练习（同方法 · 换情境） 【变式题】 题目：用火柴棒摆正方形，摆第20个用多少根？ 解答： 3n+1根；3×20+1=61根。 点拨：与例5同法：3n+1。 例6【综合应用】 题目：一张桌子坐6人，两张桌子拼起来坐10人，三张拼起来坐14人……10张桌子拼起来坐多少人？ 分析：每增加一张桌子多坐4人，第n张=4n+2。 详解： 第1张=4×1+2=6。 第2张=4×2+2=10。 第3张=4×3+2=14。 第10张=4×10+2=42人。 图8 综合应用 方法点睛：每增加一个增加固定数，用an+b公式。 变式练习（同方法 · 换情境） 【变式题】 题目：一张桌子坐6人，两张拼起来坐10人，10张拼起来坐多少人？ 解答： 4n+2；4×10+2=42人。 点拨：与例6同法：找公差定公式。 七、真题进阶（名校小升初） 真题1【点阵综合】（某名校小升初真题） 题目：观察点阵：第1个1点，第2个5点，第3个13点……第10个有多少点？ 分析：差为4、8……即1，5=1+4，13=1+4+8。第n个=1+4×(1+2+...+(n−1))=1+2n(n−1)。 详解： 第1个=1。 第2个=1+4=5。 第3个=5+8=13。 第10个=1+4×(1+2+...+9)=1+4×45=181。 方法点睛：差成等差：累加求和。 变式练习（同方法 · 换情境） 【变式题】 题目：观察点阵：第1个1点，第2个7点，第3个17点……差为6、10、14……第5个有多少点？ 解答： 差为6、10（差本身成等差，公差4）： 第4个=17+14=31；第5个=31+18=49。 点拨：与真题1同法：差成等差累加。 真题2【图形规律】（某重点中学分班考试真题） 题目：用小棒摆正六边形：摆1个用6根，摆2个用11根，摆3个用16根……摆n个用多少根？摆10个呢？ 分析：每增加一个增加5根，第n个=5n+1。 详解： 第1个=5×1+1=6。 第2个=5×2+1=11。 第10个=5×10+1=51根。 方法点睛：公差5，首项6，公式=5n+1。 变式练习（同方法 · 换情境） 【变式题】 题目：摆正五边形：1个用5根，2个用9根，3个用13根……摆第20个用多少根？ 解答： 4n+1；4×20+1=81根。 点拨：与真题2同法：找公差定公式。 八、方法总结表 点阵类型 数列 第n个公式 示例 正方形 1,4,9,16... n=10→100 三角形 1,3,6,10... n(n+1)÷2 n=10→55 长方形 2,6,12,20... n(n+1) n=10→110 奇数和 1,4,9,16... n=10→100 线性规律 等差 an+b 看公差定a 九、解题口诀 数与形来找规律，先把点数数列清； 正方形是n平方，三角形n乘n加1除2； 公差固定an加b，奇数相加n平方； 找到公式验证过，第n个值轻松求。 十、分层训练 A组 基础过关（5题） A1. 正方形点阵第8个有多少个点？ A2. 三角形点阵第10个有多少个点？ A3. 从1开始前12个奇数之和是多少？ A4. 长方形点阵第6个有多少个点？ A5. 火柴棒摆正方形，第n个用多少根？第15个？ B组 能力提升（5题） B6. 正方形点阵第15个有多少个点？ B7. 三角形点阵第20个有多少个点？ B8. 一张桌子坐6人，两张坐10人，10张坐多少？ B9. 摆正六边形1个6根，2个11根，第n个多少根？ B10. 从1开始前20个奇数之和是多少？ C组 思维挑战（5题） C11. 点阵1,5,13,25...第5个多少？ C12. 三角形点阵第30个有多少个点？ C13. 长方形点阵第15个有多少个点？ C14. 摆n个五边形用多少根？摆25个？ C15. 点阵1,4,9,16...第100个与第99个差多少？ 十一、参考答案与详细解析 A1 =64。 A2 10×11÷2=55。 A3 =144。 A4 6×7=42。 A5 3n+1根；3×15+1=46根。 B6 =225。 B7 20×21÷2=210。 B8 4n+2；4×10+2=42人。 B9 5n+1根。 B10 =400。 C11 差为4、8、12、16；第5个=1+4+8+12+16=41。 C12 30×31÷2=465。 C13 15×16=240。 C14 4n+1；4×25+1=101根。 C15 −=10000−9801=199。 十二、本讲小结 本讲核心是数形结合：从点阵图形中发现数列规律，用公式计算第n个。 正方形，三角形n(n+1)÷2，长方形n(n+1)，奇数和，线性规律an+b。 关键是观察前几项找规律。 十三、易错警示与学习建议 易错点 提醒 数错前几项 仔细数清每个图形的点数 公式记错 多写几个找规律再总结 不验证 用第1、2、3项验证公式 n从0开始 题目从第1个开始 【学习建议】本讲建议课后多观察生活中的排列规律；下面我们继续学习第11讲 计数与代数·枚举分类，继续探索数与代数领域的魅力。 第 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $