奥数思维培优 第9讲 几何综合·组合图形（讲义）-2026-2027学年六年级上册数学人教版

人教版 · 六年级上册奥数思维培优 第9讲 几何综合 · 组合图形 —— ★ ★ ★ ★ ★ —— 一、课程信息 项目 内容 讲次 第9讲 专题 几何综合——组合图形 适用年级 小学六年级 建议课时 1课时（60分钟） 难度星级 ★★★★☆ 前置知识 长方形、三角形、圆、扇形面积公式 核心方法 分块计算；割补；容斥；等积变换 二、学习目标 维度 目标 知识与技能 掌握组合图形面积计算；会求阴影面积；综合运用圆和扇形。 过程与方法 经历“分块→计算→求和/差”的过程。 思维品质 培养空间想象和综合分析能力。 情感应用 感受几何在建筑、设计中的应用。 三、情境导入 工人叔叔要给一个L形花坛铺草皮，花坛由一个长方形和一个三角形组成。 动脑筋：怎么算出这个花坛的总面积？ 悬念：组合图形能不能拆成熟悉的基本图形来算？ 图1 组合图形（房子形） 组合图形=分块计算再相加或相减。这就是本讲核心。 四、知识导航 组合图形三大类型： 图2 组合图形三大类型 类型 特征 计算方法 相加型 两个或多个图形拼在一起 各部分面积相加 相减型 大图形挖去小图形 大面积−小面积 重叠型 两个图形部分重叠 容斥原理：A+B−重叠 五、易错辨析 常见错误 正确做法 分块不完整 拆成已知公式的基本图形 忘算重叠部分 重叠面积要减一次 π取错值 π取3.14 扇形角度搞错 看清圆心角是多少度 六、典例精讲 本讲安排6道例题，从基本组合到圆扇综合，循序渐进；每例后附一道变式练习。 例1【长方形+三角形】 题目：一个组合图形由长6cm、宽3cm的长方形和底4cm、高2.5cm的三角形组成。求总面积。 分析：分两块：长方形面积+三角形面积。 详解： 长方形面积=6×3=18。 三角形面积=4×2.5÷2=5。 总面积=18+5=23。 图3 长方形+三角形 方法点睛：分块计算再相加。 变式练习（同方法 · 换情境） 变式题：长方形8×5和三角形底6高4组成。总面积多少？ 解答： 长方形=40；三角形=6×4÷2=12；总面积=52。 点拨：与例1同法：分块求和。 例2【圆与正方形】 题目：正方形边长4cm，内部有一个最大的内切圆。圆外正方形内的面积是多少？ 分析：内切圆直径=正方形边长=4，半径=2。用正方形−圆。 详解： 正方形面积=4×4=16。 圆面积=×=3.14×4=12.56。 所求面积=16−12.56=3.44。 图4 圆与正方形 方法点睛：内切圆直径=边长。 变式练习（同方法 · 换情境） 变式题：正方形边长6cm，内有最大内切圆。圆外面积多少？ 解答： 正方形=36；圆=3.14×9=28.26；圆外=36−28.26=7.74。 点拨：与例2同法：正方形−内切圆。 例3【环形面积】 题目：一个环形，外圆半径R=5cm，内圆半径r=3cm。求环形面积。 分析：环形=外圆−内圆。 详解： 外圆面积=×=3.14×25=78.5。 内圆面积=×=3.14×9=28.26。 环形=78.5−28.26=50.24。 图5 环形 方法点睛：环形=(R²−r²)。 变式练习（同方法 · 换情境） 变式题：外圆R=6cm，内圆r=4cm。环形面积多少？ 解答： 3.14×(36−16)=3.14×20=62.8。 点拨：与例3同法：环形=π(R²−r²)。 例4【扇形面积】 题目：一个扇形半径R=6cm，圆心角90°。求扇形面积。 分析：扇形=整圆的=。 详解： 整圆面积=×=3.14×36=113.04。 扇形面积=113.04×=113.04×=28.26。 图6 扇形 方法点睛：扇形=圆面积×n/360。 变式练习（同方法 · 换情境） 变式题：扇形R=4cm，圆心角180°。面积多少？ 解答： 3.14×16×=3.14×16×=25.12。 点拨：与例4同法：圆面积×n/360。 例5【正方形内四个扇形】 题目：正方形边长4cm，以四个顶点为圆心、2cm为半径各画一个90°扇形。求阴影面积。 分析：四个90°扇形拼起来正好是一个整圆。 详解： 四个90°扇形=4×90°=360°=一个整圆。 圆面积=×=3.14×4=12.56。 答：阴影面积=12.56。 图7 四个扇形 方法点睛：四个角的扇形拼起来是一个整圆。 变式练习（同方法 · 换情境） 变式题：正方形边长6cm，四角各画半径3cm的90°扇形。阴影面积？ 解答： 拼一个整圆：3.14×9=28.26。 点拨：与例5同法：四角扇形拼整圆。 例6【梯形挖半圆】 题目：梯形上底4cm、下底6cm、高3cm，内部挖去一个直径3cm的半圆。求阴影面积。 分析：阴影=梯形−半圆。 详解： 梯形面积=(4+6)×3÷2=15。 半圆半径=3÷2=1.5cm，半圆面积=×÷2=3.14×2.25÷2≈3.53。 阴影=15−3.53=11.47。 图8 梯形挖半圆 方法点睛：大面积−挖去部分。 变式练习（同方法 · 换情境） 变式题：梯形上底6下底10高4，挖去半径2的半圆。阴影多少？ 解答： 梯形=(6+10)×4÷2=32；半圆=3.14×4÷2=6.28；阴影=32−6.28=25.72。 点拨：与例6同法：大面积−挖去部分。 七、真题进阶（名校小升初） 真题1【阴影面积】（某名校小升初真题） 题目：正方形边长8cm，内部有一个最大的圆，圆内又有一个最大的正方形。求最外层阴影面积。 分析：最外层=大正方形−大圆。 详解： 大正方形=8×8=64。 大圆半径=4，面积=3.14×16=50.24。 阴影=64−50.24=13.76。 方法点睛：正方形内最大圆，直径=边长。 变式练习（同方法 · 换情境） 变式题：正方形边长10cm，内有最大圆。阴影（正方形−圆）多少？ 解答： 正方形=100；圆=3.14×25=78.5；阴影=21.5。 点拨：与真题1同法：正方形−内切圆。 真题2【扇形组合】（某重点中学分班考试真题） 题目：一个扇形半径R=6cm，圆心角120°。求扇形面积和周长。 分析：扇形面积=圆面积×；弧长=圆周长×。 详解： 面积=3.14×36×=3.14×36×=37.68。 弧长=2×3.14×6×=12.56cm。 周长=12.56+6+6=24.56cm。 方法点睛：扇形周长=弧长+两条半径。 变式练习（同方法 · 换情境） 变式题：扇形R=3cm，圆心角90°。面积和周长？ 解答： 面积=3.14×9×=7.065；弧长=2×3.14×3×=4.71；周长=4.71+6=10.71cm。 点拨：与真题2同法：面积和弧长分开算。 八、方法总结表 类型 公式 注意 长方形 长×宽 — 三角形 底×高÷2 别忘÷2 圆 πr² π取3.14 扇形 πr²×n/360 n是圆心角 环形 π(R²−r²) 先平方再相减 组合图形 分块求和/差 看清加还是减 九、解题口诀 组合图形并不难，拆成基本是关键； 长方形三角形圆，公式牢记在心田； 割补平移加旋转，重叠部分减一遍； 扇形角度看清楚，π取三点一四算。 十、分层训练 A组 基础过关（5题） A1. 长方形5×4+三角形底3高2，总面积？ A2. 正方形边长4，内切圆面积多少？ A3. 环形R=4，r=2，面积多少？ A4. 扇形R=6，圆心角90°，面积多少？ A5. 正方形边长6，四角各画半径3的90°扇形，阴影多少？ B组 能力提升（5题） B6. 长方形8×6+三角形底4高3，总面积？ B7. 正方形边长8，内切圆，圆外面积多少？ B8. 环形R=5，r=3，面积多少？ B9. 扇形R=6，圆心角180°，面积和周长？ B10. 梯形上底4下底8高5，挖去半径2的半圆，阴影多少？ C组 思维挑战（5题） C11. 正方形边长10，内切圆，圆外面积？ C12. 扇形R=6，圆心角120°，面积和周长？ C13. 梯形上底6下底10高4，挖去半径2的半圆，阴影？ C14. 正方形边长8，四角各画半径4的90°扇形，阴影？ C15. 两个圆重叠：大圆R=4，小圆r=2，重叠面积4，覆盖总面积？ 十一、参考答案与详细解析 A1 长方形=20；三角形=3×2÷2=3；总面积=23。 A2 半径=2；圆=3.14×4=12.56。 A3 3.14×(16−4)=3.14×12=37.68。 A4 3.14×36×=28.26。 A5 拼整圆：3.14×9=28.26。 B6 长方形=48；三角形=4×3÷2=6；总面积=54。 B7 正方形=64；圆=3.14×16=50.24；圆外=13.76。 B8 3.14×(25−9)=3.14×16=50.24。 B9 面积=3.14×36×=56.52；弧长=2×3.14×6×=18.84；周长=18.84+12=30.84cm。 B10 梯形=(4+8)×5÷2=30；半圆=3.14×4÷2=6.28；阴影=23.72。 C11 正方形=100；圆=3.14×25=78.5；圆外=21.5。 C12 面积=3.14×36×=37.68；弧长=2×3.14×6×=12.56；周长=12.56+12=24.56cm。 C13 梯形=(6+10)×4÷2=32；半圆=3.14×4÷2=6.28；阴影=25.72。 C14 拼整圆：3.14×16=50.24。 C15 大圆=3.14×16=50.24；小圆=3.14×4=12.56；覆盖=50.24+12.56−4=58.8。 十二、本讲小结 本讲核心是组合图形：拆成熟悉的基本图形（长方形、三角形、圆、扇形），分块计算后相加或相减。 圆面积πr²，扇形按圆心角比例算，环形=π(R²−r²)，重叠用容斥原理。 十三、易错警示与学习建议 易错点 提醒 分块漏算 拆完检查是否所有部分都算到 三角形忘÷2 三角形面积=底×高÷2 扇形角度搞错 看清圆心角n° π值用错 π取3.14 【学习建议】本讲建议课后多练圆与正方形组合，重点掌握扇形和环形；下面我们学习第10讲 数与形·点阵规律，体会数形结合的魅力。 第 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $