奥数思维培优 第3讲 比与比例·按比分配（讲义）-2026-2027学年六年级上册数学人教版

人教版 · 六年级上册奥数思维培优★ ★ ★ ★ ★ 第3讲 比与比例 · 按比分配 一、课程信息 项目 内容 讲次 第3讲 专题 比与比例——按比分配 适用年级 小学六年级 建议课时 1课时（60分钟） 难度星级 ★★★★☆ 前置知识 分数乘除法；除法与分数的关系 核心方法 总份数→每份量→各部分量；比的前项后项同乘除比值不变 二、学习目标 维度 目标 知识与技能 理解比的意义；掌握按比分配基本方法；能解已知部分量、已知差、连比、比变化等问题。 过程与方法 学会画线段图表示比；经历“求总份→求每份→求各量”的解题过程。 思维品质 理解比与分数、除法的联系；能抓住“总量不变”分析比的变化。 情感应用 感受比在调配、分配、比例尺等生活中的应用，增强数学应用意识。 三、情境导入 学校把120棵树苗按 2:3 的比分给五年级和六年级。 动脑筋：五年级和六年级各分多少棵？ 图1 树苗按2:3分配线段图 悬念：为什么不能用 120÷2 和 120÷3 来算？ 这就是本讲要学的按比分配：先求总份数，再求每份是多少，最后乘各份。 四、知识导航 两个数相除又叫两个数的比。比的前项除以后项所得的商叫比值。按比分配就是把一个量按一定的比分成若干份。 图2 按比分配三步法 类型 已知 求 公式 基本按比分配 总量、各部分比 各部分量 每份量=总量÷总份；各量=每份量×各份 已知部分量 一个部分量、比 其他量或总量 每份量=部分量÷它的份数 已知差 两部分差、比 各部分量 每份量=差÷份数差 五、易错辨析 常见错误 正确做法 总量直接除以比的某一项 先求总份数，总量÷总份数才是每份量 比的前后项写反 看清谁和谁比，前项后项不能互换 比变化时总量变了 给来给去总量不变，抓住总量对应分率 连比没化简 先把连比化成最简整数比再分配 六、典例精讲 本讲安排6道例题，从基本按比分配到比的变化，循序渐进；每例后附一道变式练习。 例1【基本按比分配】 题目：学校把120棵树苗按 2:3 分给五年级和六年级。五年级和六年级各分多少棵？ 分析：总份数=2+3=5份。每份量=120÷5=24棵。五年级2份，六年级3份。 详解： 总份数 = 2 + 3 = 5（份）。 每份量 = 120 ÷ 5 = 24（棵）。 五年级 = 24 × 2 = 48（棵）；六年级 = 24 × 3 = 72（棵）。 答：五年级分48棵，六年级分72棵。 图3 例1线段图 方法点睛：基本按比分配：总量÷总份数=每份量，再乘各份数。 变式练习（同方法 · 换情境） 变式题：把60本图书按 1:2 分给甲、乙两班。两班各分多少本？ 解答： 总份=1+2=3；每份=60÷3=20；甲班=20本，乙班=40本。 点拨：与例1同法：先求总份数，再求每份量。 例2【已知部分量求其他】 题目：六（1）班男生和女生人数的比是 4:5，已知男生有24人。女生有多少人？全班共多少人？ 分析：男生4份对应24人，先求1份是多少，再求女生5份和全班9份。 详解： 男生4份=24人，每份 = 24 ÷ 4 = 6（人）。 女生 = 6 × 5 = 30（人）。 全班 = 6 × (4+5) = 54（人）。 答：女生30人，全班54人。 图4 例2线段图 方法点睛：已知部分量：先求每份，再求其他部分。 变式练习（同方法 · 换情境） 变式题：一种盐水，盐和水的比是 1:20，已知盐有15克。水有多少克？ 解答： 盐1份=15克；水=15×20=300克。答：水有300克。 点拨：与例2同法：已知一个量，先求1份再乘其他份。 例3【已知差求各量】 题目：甲、乙两数的比是 5:3，甲比乙多16。甲、乙两数各是多少？ 分析：甲5份乙3份，差2份对应16，先求1份，再求各数。 详解： 份数差 = 5 − 3 = 2（份），对应16。 每份 = 16 ÷ 2 = 8。 甲 = 8 × 5 = 40；乙 = 8 × 3 = 24。 答：甲数40，乙数24。 图5 例3线段图 方法点睛：已知差：每份量=差÷份数差。 变式练习（同方法 · 换情境） 变式题：甲、乙两数比是 7:4，甲比乙多18。两数各是多少？ 解答： 份数差=7−4=3；每份=18÷3=6；甲=42，乙=24。 点拨：与例3同法：差÷份数差=每份量。 例4【连比分配】 题目：六年级三个班共有学生180人，三个班人数的比是 2:3:4。三个班各有多少人？ 分析：总份数=2+3+4=9份，先求每份，再分别乘2、3、4。 详解： 总份数 = 2 + 3 + 4 = 9（份）。 每份 = 180 ÷ 9 = 20（人）。 一班 = 20 × 2 = 40（人）；二班 = 20 × 3 = 60（人）；三班 = 20 × 4 = 80（人）。 答：一班40人，二班60人，三班80人。 图6 例4线段图 方法点睛：连比分配：总份数=各份数之和，方法同两数比。 变式练习（同方法 · 换情境） 变式题：把360个苹果按 2:3:5 分给大、中、小三个班。各班分多少个？ 解答： 总份=10；每份=36；大班=72，中班=108，小班=180。 点拨：与例4同法：连比先求和，再求每份。 例5【比的变化：给来给去】 题目：甲、乙两人的钱数比是 7:3，如果甲给乙20元，两人钱数比变为 3:2。两人原来各有多少元？ 分析：两人总钱数不变。甲原来占总钱数的 ，给乙20元后占 。20元对应分率差。 详解： 总钱数不变。原甲占 ，后甲占 。 20元对应 − = − = 。 总钱数 = 20 ÷ = 200（元）。 甲原有 = 200 × = 140（元）；乙原有 = 200 × = 60（元）。 答：甲原有140元，乙原有60元。 图7 例5线段图 方法点睛：给来给去总量不变：抓住“谁的分率变了”，变化量÷分率差=总量。 变式练习（同方法 · 换情境） 变式题：甲乙两仓货物比 5:3，从甲运40吨到乙后比变 3:2。两仓原来各有多少吨？ 解答： 总量不变。原甲占 ，后甲占 ；40吨对应 −=；总量=1600吨。 甲原=1600×=1000吨，乙原=600吨。 点拨：与例5同法：总量不变，用变化量÷分率差求总量。 例6【综合：三角形角度】 题目：一个三角形三个内角度数的比是 2:3:4。三个内角各是多少度？这是什么三角形？ 分析：三角形内角和180°，按2:3:4分配。 详解： 总份数 = 2 + 3 + 4 = 9（份）。 每份 = 180° ÷ 9 = 20°。 三个角分别 = 20°×2=40°，20°×3=60°，20°×4=80°。 答：三个角分别是40°、60°、80°，都是锐角，是锐角三角形。 图8 例6线段图 方法点睛：三角形内角和180°，按比分配即可；最大角<90°是锐角三角形。 变式练习（同方法 · 换情境） 变式题：一个三角形三个角比 1:2:3，各角多少度？是什么三角形？ 解答： 总份=6；每份=30°；三角=30°,60°,90°。是直角三角形。 点拨：与例6同法：内角和180°按比分配。 七、真题进阶（名校小升初） 真题1【调配问题】（某名校小升初真题） 题目：学校把图书按 5:3 分给五、六年级，五年级比六年级多分到120本。五、六年级各分到多少本？ 分析：五年级5份，六年级3份，差2份对应120本。 详解： 份数差 = 5 − 3 = 2（份），对应120本。 每份 = 120 ÷ 2 = 60（本）。 五年级 = 60 × 5 = 300（本）；六年级 = 60 × 3 = 180（本）。 答：五年级300本，六年级180本。 方法点睛：已知差按比分配：差÷份数差=每份量。 变式练习（同方法 · 换情境） 变式题：把一批零件按 7:4 分给师徒两人，师傅比徒弟多做36个。师徒各做多少个？ 解答： 差3份=36；每份=12；师傅=84个，徒弟=48个。 点拨：与真题1同法：差÷份数差求每份。 真题2【给来给去】（某重点中学分班考试真题） 题目：甲、乙两袋大米的质量比是 4:1，如果从甲袋倒出13千克给乙袋，两袋质量比变为 7:5。两袋大米原来共多少千克？ 分析：总质量不变。甲原来占 ，倒出13千克后占 。 详解： 总质量不变。原甲占 ，后甲占 。 13千克对应 − = − = 。 总质量 = 13 ÷ = 60（千克）。 答：两袋大米原来共60千克。 方法点睛：给来给去总量不变，关键是找到变化量对应的分率差。 变式练习（同方法 · 换情境） 变式题：甲乙两桶油比 5:2，从甲倒9千克给乙后比变 2:1。两桶原来共多少千克？ 解答： 总量不变。原甲占 ，后甲占 ；9千克对应 −=；总量=189千克。 点拨：与真题2同法：总量不变，变化量÷分率差。 八、方法总结表 题型 关键 公式 检验要点 基本按比分配 求总份数 总量÷总份=每份 各部分之和=总量 已知部分量 先求1份 每份=部分量÷份数 乘其他份数得其他量 已知差 份数差 每份=差÷份数差 两量之和=总量 连比分配 总份求和 同基本分配 各份数之和=总份 比的变化 总量不变 变化量÷分率差=总量 前后两量之和=总量 九、解题口诀 按比分配并不难，先求总份算每份； 总量除以总份数，再乘各份得各量； 已知部分先求一，已知差就除份差； 给来给去总不变，变化量找分率差。 十、分层训练 A组 基础过关（5题） A1. 把90本图书按 2:3 分给甲、乙两班。两班各分多少本？ A2. 男生和女生人数比是 3:4，男生有15人。女生有多少人？ A3. 一个三角形三个角比是 1:2:3，各角多少度？ A4. 水泥、沙子、石子按 2:3:5 拌混凝土，要拌20吨，各需多少吨？ A5. 甲乙两数比是 3:5，和是40。两数各是多少？ B组 能力提升（5题） B6. 甲乙两数比是 5:3，甲比乙多16。两数各是多少？ B7. 把360棵树按 2:3:4 分给四、五、六年级。各分多少棵？ B8. 盐和水按 1:25 配盐水，现有盐20克，需加水多少克？配成的盐水多少克？ B9. 一个长方形周长40厘米，长和宽比是 3:2。长和宽各多少？面积多少？ B10. 一批零件按 5:3 分给师徒，师傅比徒弟多做40个。师徒各做多少个？ C组 思维挑战（5题） C11. 甲乙两仓货物比 5:3，从甲运40吨到乙后比变 3:2。两仓原来各多少吨？ C12. 甲乙两桶油比 5:2，从甲倒9千克给乙后比变 2:1。两桶原来共多少千克？ C13. 小明和小华邮票比是 5:3，小明给小华14张后两人相等。原来各多少张？ C14. 一个直角三角形两个锐角度数比是 2:3，这两个锐角各多少度？ C15. 学校把一批树苗按 2:3:4 分给四五六年级，六年级比四年级多60棵。三个年级各分多少棵？ 十一、参考答案与详细解析 A组 基础过关（5题） A1 总份=5；每份=90÷5=18；甲班=36本，乙班=54本。 A2 每份=15÷3=5；女生=5×4=20人。 A3 总份=6；每份=180÷6=30°；三角=30°,60°,90°。 A4 总份=10；每份=2吨；水泥=4吨，沙子=6吨，石子=10吨。 A5 总份=8；每份=40÷8=5；甲=15，乙=25。 B组 能力提升（5题） B6 份数差=2；每份=16÷2=8；甲=40，乙=24。 B7 总份=9；每份=40；四年级=80棵，五年级=120棵，六年级=160棵。 B8 水=20×25=500克；盐水=20+500=520克。 B9 长+宽=20厘米，总份=5，每份=4；长=12厘米，宽=8厘米；面积=96平方厘米。 B10 份数差=2；每份=40÷2=20；师傅=100个，徒弟=60个。 C组 思维挑战（5题） C11 总量不变。原甲占 ，后甲占 ；40吨对应 −=；总量=1600吨。甲原=1600×=1000吨，乙原=600吨。 C12 总量不变。原甲占 ，后甲占 ；9千克对应 −=；总量=189千克。 C13 给14张相等说明小明比小华多28张；份数差=2；每份=14；小明=70张，小华=42张。 C14 两锐角和=90°，总份=5，每份=18°；三角=36°,54°。 C15 六年级比四年级多2份=60棵；每份=30；四年级=60棵，五年级=90棵，六年级=120棵。 十二、本讲小结 本讲核心是按比分配：先求总份数，再求每份量，最后乘各份数。 已知部分量先求1份，已知差就用差÷份数差。 给来给去总量不变，抓住变化量对应的分率差。 比与分数、除法紧密联系，要灵活转化。 十三、易错警示与学习建议 易错点 提醒 总量直接除比的某一项 先求总份数，总量÷总份数=每份量 前后项写反 看清谁和谁比 比变化时认为总量变了 给来给去总量不变 连比不化简 先化最简整数比再分配 【学习建议】本讲建议课后再练5道按比分配题，重点练“已知差、比变化”两类。下一讲学习“旋转体体积”，是图形与几何领域的重要知识点。 第 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $