湖北武汉市武钢实验学校2026-2027学年八年级数学上学期期中模拟卷

2026-2027学年八年级数学上学期期中模拟卷 （测试范围：八年级上册第十三章~第十五章） 1、 选择题（共10小题，每小题3分，共30分） 1．中国的方块字中有些具有对称性．下面四个汉字中是轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 【分析】如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，据此进行判断即可． 【解答】解：A是轴对称图形，B，C，D不是轴对称图形， 故选：A． 【点评】本题考查轴对称图形，熟练掌握其定义是解题的关键． 2．如图，线段AD和BC相交于点O，下列结论一定正确的是（　　） A．BO＝DO B．∠B＝∠D C．∠AOC＞∠B+∠C D．∠BOD＝∠A+∠B 【分析】根据三角形内角和定理解答即可． 【解答】解：线段AD和BC相交于点O无法证明BO＝DO，∠B＝∠D，∠AOC＞∠B+∠C，故A、B、C错误，不符合题意； ∵∠A+∠B+∠AOB＝180°，∠BOD+∠AOB＝180°， ∴∠BOD＝∠A+∠B，故D正确，符合题意． 故选：D． 【点评】本题考查的是三角形内角和定理，熟知三角形内角和是180°是解题的关键． 3．为估计池塘两岸A，B间的距离，小明在池塘一侧选取了一点P，测得PA＝16m，PB＝14m，那么AB间的距离可能是（　　） A．29m B．30m C．31m D．32m 【分析】任意两边的和都大于第三边；任意两边之和都要小于第三边．据此列式可确定AB的范围，可得答案． 【解答】解：如图，点A、B、P构成三角形， 由三角形三边关系可知16﹣14＜AB＜16+14，即2＜AB＜30， ∴AB间的距离可能是29m． 故选：A． 【点评】本题考查三角形三边关系的应用，解题的关键是掌握三角形三边的关系． 4．如图，为了使自行车稳定停放，停放时常常放下它的脚架，这里所运用的几何原理是（　　） A．两点之间，线段最短 B．三角形具有稳定性 C．两点确定一条直线 D．垂线段最短 【分析】根据三角形具有稳定性解答即可． 【解答】解：所运用的几何原理是三角形具有稳定性， 故选：B． 【点评】本题考查的是三角形的性质，熟记三角形具有稳定性是解题的关键． 5．如图，在△ABC中，∠C＝80°，∠CAB、∠CBA的平分线相交于点O，则∠O的度数为（　　） A．120° B．125° C．130° D．135° 【分析】在△ABC中根据三角形内角和定理求出∠CAB+∠CBA的度数，再根据角平分线的定义求出∠OAB+∠OBA的度数，在△AOB中根据三角形内角和定理求出∠O的度数即可． 【解答】解：在△ABC中，∠C＝80°， ∴∠CAB+∠CBA＝180°﹣∠C＝180°﹣80°＝100°， ∵∠CAB、∠CBA的平分线相交于点O， ∴∠OAB，∠OBA， ∴∠OAB+∠OBA50°， 在△AOB中，∠O＝180°﹣（∠OAB+∠OBA）＝180°﹣50°＝130°， 故选：C． 【点评】本题考查了三角形内角和定理，熟练掌握三角形三个内角的和是180°是解题的关键． 6．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC，∠C＝30°，下列选项正确的是（　　） A．AD＝2BD B．CD＝2AD C．BC＝4BD D．AC＝2AB 【分析】根据含30°角的直角三角形的性质得出AC＝2AD，AB＝2BD，进而判断即可． 【解答】解：∵∠BAC＝90°，AD⊥BC，∠C＝30°， ∴AC＝2AD，BC＝2AB，AB＝2BD， ∴BC＝4BD， 故选：C． 【点评】此题考查含30°角的直角三角形的性质，关键是根据含30°角的直角三角形的性质得出AC＝2AD，AB＝2BD解答． 7．已知等腰三角形一边长等于4，一边长等于9，它的周长是（　　） A．17或22 B．22 C．17 D．13 【分析】题目给出等腰三角形有两条边长为4和9，而没有明确腰、底分别是多少，所以要进行讨论，还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形． 【解答】解：分两种情况： 当腰为4时，4+4＜9，所以不能构成三角形； 当腰为9时，9+9＞4，9﹣9＜4，所以能构成三角形，周长是：9+9+4＝22． 故选：B． 【点评】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键． 8．如图的三角形纸片ABC中，AB＝8cm，BC＝6cm，AC＝5cm．沿过点B的直线折叠这个三角形，使点C落在AB边上的点E处，折痕为BD．则△AED的周长为（　　） A．6cm B．7cm C．8cm D．9cm 【分析】先根据折叠的性质可得BE＝BC，DE＝CD，再求出AE的长，然后求出△ADE的周长＝AC+AE，即可得出答案． 【解答】解：沿过点B的直线折叠这个三角形，使点C落在AB边上的点E处，折痕为BD，AB＝8cm，BC＝6cm，AC＝5cm， ∴BE＝BC＝6cm，DE＝DC， ∴AE＝AB﹣BE＝AB﹣BC＝8﹣6＝2（cm）， ∴△AED的周长＝AD+DE+AE＝AD+CD+AE＝AC+AE＝5+2＝7（cm）， 故选：B． 【点评】本题考查了翻折变换（折叠问题），熟练掌握翻折变换的性质的解题的关键． 9．如图，已知△ABC，求作一点P，使点P到∠A的两边的距离相等，且PA＝PB，下列确定P点的方法正确的是（　　） A．P为∠A、∠B两角平分线的交点 B．P为∠A的角平分线与线段CB的垂线平分线的交点 C．P为∠A的角平分线与线段AB的垂线平分线的交点 D．P为线段AB、AC的垂直平分线的交点 【分析】利用角平分线的性质和线段的垂直平分线的进行确定P点位置，从而可对各选项进行判断． 【解答】解：∵点P到∠A的两边的距离相等， ∴点P在∠A的平分线上； ∵PA＝PB， ∴P点在AB的垂直平分线上， ∴P为∠A的角平分线与线段AB的垂线平分线的交点． 故选：C． 【点评】本题考查了作图﹣复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了角平分线的性质和线段的垂直平分线的性质． 10．如图，△ABC中，BC＝10，AC﹣AB＝4，AD是∠BAC的角平分线，CD⊥AD，则S△BDC的最大值为（　　） A．40 B．28 C．20 D．10 【分析】延长AB，CD交于点E，可证△ADE≌△ADC（ASA），得出AC＝AE，DE＝CD，则S△BDCS△BCE，当BE⊥BC时，S△BEC最大为20，即S△BDC最大为10． 【解答】解：如图：延长AB，CD交于点E， ∵AD平分∠BAC， ∴∠CAD＝∠EAD， ∵CD⊥AD， ∴∠ADC＝∠ADE＝90°， 在△ADE和△ADC中，， ∴△ADE≌△ADC（ASA）， ∴AC＝AE，DE＝CD； ∵AC﹣AB＝4， ∴AE﹣AB＝4，即BE＝4； ∵DE＝DC， ∴S△BDCS△BEC， ∴当BE⊥BC时，S△BDC最大， 即S△BDC最大10×4＝10． 故选：D． 【点评】本题考查了角平分线定义、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质等知识；利用三角形中线的性质得到S△BDCS△BEC是解题的关键． 2、 填空题（共6小题，每小题3分，共18分） 11．点A（﹣2，1）关于x轴对称的点的坐标是 　（﹣2，﹣1）　 ． 【分析】根据关于x轴对称，纵坐标互为相反数，横坐标相等进行填空即可． 【解答】解：点A（﹣2，1）关于x轴对称的点的坐标是（﹣2，﹣1）． 故答案为：（﹣2，﹣1）． 【点评】本题考查了关于x、y轴对称，掌握关于x轴对称，纵坐标互为相反数，横坐标相等；关于y轴对称，横坐标互为相反数，纵坐标相等是解题的关键． 12．等腰三角形一个内角等于70°，则它的底角为　70°或55°　 ． 【分析】分顶角为70°和底角为70°两种情况，结合三角形内角和定理可求得底角． 【解答】解： 当顶角为70°时，则底角55°； 当底角为70°时，则顶角为180°﹣2×70°＝40°，符合题意； 故答案为：70°或55°． 【点评】本题主要考查等腰三角形的性质，掌握等腰三角形的两底角相等是解题的关键，注意分类讨论． 13．一个多边形的内角和比它的外角和多540°，并且这个多边形的各个内角都相等，则这个多边形每个内角是　（）°　 ． 【分析】本题首先由题意得出等量关系，即这个多边形的内角和比四边形的内角和多540°，由此列出方程解出边数，进一步可求出它每一个内角的度数． 【解答】解：设这个多边形的边数为n， 则有（n﹣2）•180°＝360°+540°， 解得n＝7． ∵这个多边形的每个内角都相等， ∴它每一个内角的度数为900°÷7＝（）°． 故答案为：（）°． 【点评】本题主要考查多边形的内角和定理，解题的根据是已知等量关系列出方程从而解决问题． 14．如图，在△ABC中，∠B＝∠C＝30°，AD⊥AB交BC于点D，BC＝9，则CD的长是　3　 ． 【分析】由已知∠B＝∠C＝30°，求得∠BAC＝120°，再由AD⊥AB，得到∠BAD＝90°，即可求得∠CAD＝∠C＝30°，且根据直角三角形30°角所对的直角边是斜边的一半，可得BD＝2AD，再由∠CAD＝∠C，得到AD＝CD，即可得出CDBC，计算即可得出答案． 【解答】解：∵∠B＝∠C＝30°， ∴∠BAC＝180°﹣30°﹣30°＝120°， ∵AD⊥AB， ∴∠BAD＝90°， ∴∠CAD＝∠C＝30°，BD＝2AD， ∴AD＝CD， ∴CDBC＝3． 故答案为：3． 【点评】本题主要考查等腰三角形的判定，三角形的内角和定理，含30°角的直角三角形的性质，证明AD＝CD是解题的关键． 15．如图，在△ABC中，∠ABC＝2∠C，AD平分∠BAC，过A作AD垂线交CB延长于点E，则下列结论：①AC＝AB+BD；②；③BE＝AB+AC；④AE＝2AC，其中正确的结论是 　①②③　 （填写序号）． 【分析】①在AC上截取AF＝AB，连接DF，证明△ADF和△ADB全等得DF＝BD，∠3＝∠ABC，再证明DF＝CF，进而可对结论①进行判断； ②根据EA⊥AD得∠E＝90°﹣∠ADE，而∠ADE＝∠C∠BAC，∠BAC＝180°﹣∠ABC﹣∠C，由此可对结论②进行判断； ③取ED的中点H，连接AH，则AH＝EH＝HD，利用②的结论正确得∠C＝2∠E，进而可得出AH＝AC＝EH＝HD，再根据①的结论正确得出HB＝AB，继而可对结论③进行判断； ④根据在△AEH中，AH+EH＞AE，AH＝EH＝AC即可对结论④进行判断， 综上所述即可得出答案． 【解答】解：①在AC上截取AF＝AB，连接DF，如图1所示： ∵AD平分∠BAC， ∴∠1＝∠2∠BAC， 在△ADF和△ADB中， ， ∴△ADF≌△ADB（SAS）， ∴DF＝BD，∠3＝∠ABC， ∴∠ABC＝2∠C，∠3＝∠C+∠4， ∴2∠C＝∠C+∠4， ∴∠C＝∠4， ∴DF＝CF， ∴CF＝BD， ∴AC＝AF+CF＝AB+BD， 故结论①正确； ②∵EA⊥AD， ∴∠E＝90°﹣∠ADE， ∵∠ADE＝∠C+∠2＝∠C∠BAC， ∴∠E＝90°﹣∠C∠BAC， ∵∠BAC＝180°﹣∠ABC﹣∠C， ∴∠E＝90°﹣∠C（180°﹣∠ABC﹣∠C）（∠ABC﹣∠C）， 故结论②正确； ③取ED的中点H，连接AH，如图2所示： ∵EA⊥AD， ∴AH是Rt△AED斜边上的中线， ∴AH＝EH＝HD， ∴∠1＝∠E， ∴∠2＝∠1+∠E＝2∠E， ∵∠ABC＝2∠C，∠E（∠ABC﹣∠C）， ∴∠E（2∠C﹣∠C）∠C， ∴∠C＝2∠E， ∴∠2＝∠C， ∴AH＝AC＝EH＝HD， ∵AC＝AB+BD， ∴HD＝AB+BD， 即HB+BD＝AB+BD， ∴HB＝AB， ∴BE＝HB+EH＝AB+AC， 故结论③正确； ④在△AEH中，AH+EH＞AE， ∵AH＝EH＝AC， ∴2AC＞AE， 故结论④不正确， 综上所述：正确的结论是①②③． 故答案为：①②③． 【点评】此题主要考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质，理解等腰三角形的判定和性质，正确地作出辅助线构造全等三角形和等腰三角形是解决问题的关键． 16．如图，在△ABC中，∠BAC和∠ACB的平分线相交于点O，OD⊥OA交AB于点D，OE⊥OC交BC于点E，连接DE，AC＝7，BC＝8，△BDE的周长为6，则AB的长为 　5　 ． 【分析】延长DO交AC于点M，延长EO交AC于点N，根据ASA定理可得△AOD≌△AOM，△COE≌△CON，再由SAS定理得出△EOD≌△NOM，由全等三角形的对应边相等可得出结论． 【解答】解：延长DO交AC于点M，延长EO交AC于点N， ∵AO是∠BAC的平分线， ∴∠OAD＝∠OAM， ∵OA⊥OD， ∴∠AOD＝∠AOM＝90°， ∵OA＝OA， ∴△AOD≌△AOM（ASA）， 同理可得，△COE≌△CON， ∴OD＝OM，OE＝ON，AD＝AM，CE＝CN， ∵∠DOE＝∠MON， ∴△EOD≌△NOM（SAS）， ∴DE＝MN， ∵△BDE的周长为6， ∴BD+BE+DE＝6， ∴BD+BE+DE ＝AB﹣AD+BC﹣CE+MN ＝AB﹣AM+BC﹣CN+MN ＝AB﹣（AN+MN）+BC﹣（CM+MN）+MN ＝AB﹣AN﹣MN+BC﹣CM﹣MN+MN ＝AB﹣（AN+MN+CM）+BC ＝AB+BC﹣AC ＝6， ∵AC＝7，BC＝8， ∴AB+8﹣7＝6， ∴AB＝5． 故答案为：5． 【点评】本题考查的是角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，根据题意作出辅助线，构造出全等三角形是解题的关键． 3、 解答题（共8小题，共72分） 17．（8分）在△ABC中，∠A比∠B小10°，∠C比∠B大10°，求∠B的度数． 【分析】利用三角形内角和定理以及已知条件构建方程组即可解决问题． 【解答】解：由题意得：， 解得：∠B＝60°． ∴∠B是60°． 【点评】本题考查三角形内角和定理，解题的关键是学会利用参数构建方程组解决问题． 18．（8分）如图，CA＝CD，CB＝CE，∠1＝∠2．求证：AB＝DE． 【分析】先根据∠1＝∠2得∠BCA＝∠ECD，进而依据“SAS”判定△ABC和△DEC全等即可得出结论． 【解答】证明：∵∠1＝∠2， ∴∠1+∠ECA＝∠2+∠ECA， ∴∠BCA＝∠ECD， 在△ABC和△DEC中， ， ∴△ABC≌△DEC（SAS）， ∴AB＝DE． 【点评】此题主要考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解决问题的关键． 19．（8分）（1）直接写出A点关于y轴对称的点的坐标是　（2，3）　 ． （2）将△ABC向右平移六个单位后得△A1B1C1，则线段AB平移扫过的面积是　18　 ． （3）作出△A1B1C1关于x轴对称的图形△A2B2C2，画出△A2B2C2，连接A2B交y轴于点D，直接写出D点的坐标　（0，）　 ． 【分析】（1）根据关于y轴的对称的两点横坐标互为相反数、纵坐标相等求解可得； （2）分别作出三个顶点向右平移六个单位所得对应点，再顺次连接即可得，继而根据平行四边形的面积公式可得其面积； （3）作出点A1关于x轴的对称点，再与B1，C1首尾顺次连接可得，利用待定系数法求出过A2（4，﹣3）、B（﹣6，0）的直线解析式，再进一步求解可得答案． 【解答】解：（1）如图所示，点A关于y轴的对称点A′的坐标为（2，3）， 故答案为：（2，3）； （2）如图所示，△A1B1C1即为所求，线段AB扫过的面积为6×3＝18， 故答案为：18； （3）如图所示，△A2B2C2即为所求， 设过A2（4，﹣3）、B（﹣6，0）的直线解析式为y＝kx+b， 则， 解得：， 所以直线解析式为yx， 当x＝0时，y， ∴点D的坐标为（0，）， 故答案为：（0，）． 【点评】本题主要考查作图﹣平移变换、旋转变换，解题的关键是掌握平移变换与旋转变换的定义和性质，并据此得出变换后的对应点及待定系数法求函数解析式． 20．（8分）已知，如图，等腰Rt△ABC，等腰Rt△ADE，AB⊥AC，AD⊥AE，AB＝AC，AD＝AE，CD交AE、BE分别于点M、F （1）求证：△DAC≌△EAB； （2）若∠AEF＝15°，EF＝4，求DE的长． 【分析】（1）根据SAS证明△DAC≌△EAB即可； （2）利用“8字型”证明∠EFM＝∠DAM＝90°，再证明DE＝2EF即可解决问题； 【解答】（1）证明：∵∠DAE＝∠BAC＝90°， ∴∠DAC＝∠EAB， 在△DAC和△EAB中， ， ∴△DAC≌△EAB（SAS）． （2）∵△DAC≌△EAB（SAS）， ∴∠ADC＝∠AEB， ∵∠AMD＝∠EMF， ∴∠DAM＝∠EFM＝90°， ∵∠AED＝45°，∠AEF＝15°， ∴∠DEF＝60°，∠FDE＝30°， ∴DE＝2FE＝8． 【点评】本题考查全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，解直角三角形等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型． 21．（8分）（1）如图1，在△ABC中，AB＝AC＝10，BD平分∠ABC，CD平分∠ACB，过点D作EF∥BC，分别交AB，AC于E，F两点．在不添加辅助线的情况下，请直接写出图1中共有　5　 个等腰三角形；△AEF的周长为　20　 ； （2）如图2，D在△ABC外，AB＞AC，BD平分∠ABC，CD平分△ABC的外角∠ACG，过点D作DE∥BC，分别交AB，AC于E，F两点．请猜想线段EF，BE，CF三者之间的数量关系，并对你的猜想给予证明． 【分析】（1）根据角平分线的定义可得∠EBD＝∠CBD，∠FCD＝∠BCD，再根据两直线平行，内错角相等可得∠EDB＝∠CBD，∠FDC＝∠BCD，然后求出∠EBD＝∠EDB，∠FDC＝∠BCD，再根据等角对等边可得BE＝DE，CF＝DF，然后解答即可； （2）根据角平分线的定义可得∠EBD＝∠CBD，∠FCD＝∠GCD，再根据两直线平行，内错角相等可得∠EDB＝∠CBD，∠FDC＝∠GCD，然后求出∠EBD＝∠EDB，∠FDC＝∠FCD，再根据等角对等边可得BE＝DE，CF＝DF，然后利用等量代换即可证明BE、CF、EF的数量关系． 【解答】解：（1）∵AB＝AC， ∴∠ABC＝∠ACB， ∵BD平分∠ABC，CD平分∠ACB， ∴∠EBD＝∠CBD，∠FCD＝∠BCD， ∴∠DBC＝∠DCB， ∴DB＝DC ∵EF∥BC， ∴∠AEF＝∠ABC，∠AFE＝∠ACB，∠EDB＝∠CBD，∠FDC＝∠BCD， ∴∠EBD＝∠EDB，∠FDC＝∠BCD， ∴BE＝DE，CF＝DF，AE＝AF， ∴等腰三角形有△ABC，△AEF，△DEB，△DFC，△BDC共5个， ∴BE+CF＝DE+DF＝EF， 即BE+CF＝EF， △AEF的周长＝AE+EF+AF＝AE+BE+AF+FC＝AB+AC＝20． 故答案为：5；20； （2）BE﹣CF＝EF，理由如下： ∵BD平分∠ABC，CD平分∠ACB， ∴∠EBD＝∠CBD，∠FCD＝∠GCD， ∵EF∥BC， ∴∠EDB＝∠CBD，∠FDC＝∠GCD， ∴∠EBD＝∠EDB，∠FDC＝∠FCD， ∴BE＝DE，CF＝DF， ∵ED﹣DF＝EF， ∴BE﹣CF＝EF． 【点评】本题是三角形综合题，考查的是等腰三角形的性质和判断，熟练掌握等腰三角形的判定定理是解题的关键． 22．（10分）如图，在△ABC中，DM，EN分别垂直平分线段AC和线段BC，与边AB交点分别为点M，N，DM与EN相交于点F．（1）若∠ACB＝110°，则∠MCN的度数为　40°　 ； （2）若∠MCN＝α，试求∠MFN的度数（用含α的代数式表示）； （3）连接FA，FB，FC，若△CMN的周长为6，△FAB的周长为14，求FC的长． 【分析】（1）根据垂直平分线的性质得AM＝CM，BN＝CN，根据等边对等角可得∠A＝∠ACM，∠B＝∠BCN，然后利用三角形的内角和定理计算即可得解； （2）根据垂直平分线的性质得AM＝CM，BN＝CN，根据等边对等角可得∠A＝∠ACM，∠B＝∠BCN，再求出∠A+∠B，然后求出，最后利用四边形的内角和定理计算即可得解； （3）根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得AM＝CM，BN＝CN，然后求出△CMN的周长＝AB，再由DF，EF分别垂直平分AC和BC，求出FA＝FC，FB＝FC即可求解． 【解答】解：（1）∵DM，EN分别垂直平分AC和BC， ∴AM＝CM，BN＝CN， ∴∠A＝∠ACM，∠B＝∠BCN， ∵∠A+∠B+∠ACM+∠BCN+∠MCN＝180°，∠ACB＝∠ACM+∠BCN+∠MCN＝110°， ∴∠A+∠B＝70°， ∴∠A+∠B+∠ACM+∠BCN＝140°， ∴∠MCN＝180°﹣140°＝40°， 故答案为：40°； （2）∵DM，EN分别垂直平分AC和BC， ∴AM＝CM，BN＝CN，∠CDF＝∠CEF＝90°， ∴∠A＝∠ACM，∠B＝∠BCN， ∵∠A+∠B+∠ACM+∠BCN+∠MCN＝180°，∠MCN＝α， ∴， ∴， ∵四边形DFEC的内角和为360°， ∴∠ACB+∠MFN＝360°﹣∠CDF﹣∠CEF＝180°， ∴； （3）如图，连接FA、FB、FC， ∵DM、EN分别垂直平分AC和BC， ∴AM＝CM，BN＝CN， ∴△CMN的周长＝CM+MN+CN＝AM+MN+BN＝AB， ∵△CMN的周长为6， ∴AB＝6， ∵△FAB的周长为14， ∴FA+FB+AB＝14， ∴FA+FB＝8， ∵DF，EF分别垂直平分AC和BC， ∴FA＝FC，FB＝FC， ∴2FC＝8， ∴FC＝4． 【点评】此题考查了线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质，等边对等角的性质，三角形的内角和定理，解题的关键是熟练掌握以上知识的应用及整体思想的应用． 23．（10分）如图，已知△ABC中，AB＝AC，P是边BC上一点，以AP为边作△APD（C，D在AP同侧），使PA＝PD，∠APD＝∠BAC，连CD． （1）如图1，若D在BC上方且∠BAC＝60°，求∠ACD度数； （2）如图2．若D在BC上方且∠BAC＝90°，判断CD与AC的位置关系，并说明理由； （3）如图3，若∠BAC＝120°，BC＝m，AB＝AC＝n，则BD的最小值为　m （直接写出结果）． 【分析】（1）如图1中，作PH∥AC交AB于H．想办法证明△APH≌△PDC（SAS）即可解决问题． （2）如图2中，结论：CD⊥AC．作AH⊥BC于H，在HA上截取HF，使得HF＝HP．证明△APF≌△PDC（SAS）可得结论． （3）如图3中，过点A作AR⊥AB交BC于R，延长AR到T，使得RT＝RP．利用全等三角形的性质解决问题即可． 【解答】解：（1）如图1中，作PH∥AC交AB于H． ∵AB＝AC，PA＝PD，∠APD＝∠BAC＝60°， ∴△ABC，△PAD都是等边三角形， ∴BA＝BC，∠BAC＝∠ACB＝∠B＝60°， ∵∠APC＝∠APD+∠DPC＝∠B+∠PAH， ∴∠DPC＝∠PAB， ∵PH∥AC， ∴∠PHB＝∠BAC＝60°，∠BPH＝∠ACB＝60°， ∴∠BHP＝∠BPH＝60°， ∴BH＝BP，∵BA＝BC， ∴AH＝PC， ∵PA＝PD， ∴△APH≌△PDC（SAS）， ∴∠AHP＝∠PCD， ∵∠AHP＝180°﹣∠PHB＝180°﹣60°＝120°， ∴∠PCD＝120°， ∴∠ACD＝∠PCD﹣∠ACB＝120°﹣60°＝60°． 解法二：证明△ABP≌△ACD，可得结论． （2）如图2中，结论：CD⊥AC． 理由：作AH⊥BC于H，在HA上截取HF，使得HF＝HP． ∵AB＝AC，∠BAC＝90°，AH⊥BC， ∴HA＝HC，∠HAC＝∠HCA＝45°，∠AHC＝90° ∵HF＝HP， ∴∠HFP＝∠HPF＝45°，AF＝PC， ∵∠APC＝∠APD+∠DPC＝∠AHP+∠PAF， ∴∠PAF＝∠DPC， ∵PA＝PD， ∴△APF≌△PDC（SAS）， ∴∠AFP＝∠PCD， ∵∠AHP＝180°﹣∠PFH＝180°﹣45°＝135°， ∴∠PCD＝135°， ∴∠ACD＝∠PCD﹣∠ACB＝135°﹣45°＝90°． （3）如图3中，过点A作AR⊥AB交BC于R，延长AR到T，使得RT＝RP． ∵∠BAC＝120°，∠BAR＝90°， ∴∠RAC＝∠ACR＝30°， ∴∠ARC＝∠PRT＝120°， ∵RP＝RT， ∴∠RTP＝∠RPT＝30°， ∵∠APR+∠CPD＝120°，∠PAT+∠APC＝120°， ∴∠CPD＝∠TAP， ∵RA＝RC，RP＝RT， ∴AT＝CP， ∵AP＝PD， ∴△CPD≌△TAP（SAS）， ∴∠PCD＝∠ATP＝30°， ∴点D的运动轨迹是直线CD（与BC的夹角为30°，如图所示）， ∵BH⊥CD， ∴BHBCm， 根据垂线段最短可知，BD的最小值为m． 故答案为m． 【点评】本题属于三角形综合题，考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，垂线段最短等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形或相似三角形解决问题，属于中考压轴题． 24．（12分）如图1，已知A（0，3）、B（﹣1，0），△ABC为等腰直角三角形，且∠ABC＝90°，AC交x轴于点D． （1）直接写出点C坐标　（2，﹣1）　 ； （2）如图2，点E为线段AC上一点，连BE，作BF⊥BE且BF＝BE，若F点恰好落在y轴上，求证：ED＝CD； （3）如图3，点N为直线AC右侧一点，连BN，作线段BM⊥BN且BM＝BN．若点G为x轴上一点，满足AN⊥NG且AN＝NG，连接GM，CN．求证：CN＝GM． 【分析】（1）根据等腰直角三角形可构造三垂直全等，过C作CK⊥y轴于点K，易证△ABO≌△BCK（AAS），即可得解； （2）作EM⊥x轴于M，CN⊥x轴于N，易得△ABO≌△BCN，然后证△BOF≌△EMB（AAS），可得到EM＝CN＝BO＝1，再证△EDM≌△CDN（AAS），即可得证； （3）连MC并延长交AN延长线于P，连CG，易证△ABN≌△CBM（SAS），根据对角互补可得∠P＝90°，可得NG∥MP，进而可证△NCG≌△MGC（SAS），即可得证． 【解答】（1）解：如图，过C作CK⊥y轴于点K， 则∠AOB＝∠BKC＝90°， ∵A（0，3）、B（﹣1，0）， ∴OA＝3，OB＝1， ∵△ABC为等腰直角三角形， ∴AB＝BC，∠ABC＝90°， ∴∠ABO＝∠BCK＝90°﹣∠CBK， ∴△ABO≌△BCK（AAS）， ∴CK＝OB＝1，BK＝OA＝3， ∴OK＝BK﹣OB＝2， ∴C（2，﹣1）； 故答案为：（2，﹣1）； （2）证明：作EM⊥x轴于M，CN⊥x轴于N， 由（1）可得△ABO≌△BCN， 又∵BF⊥BE，BF＝BE，∠BFO＝90°﹣∠OBF＝∠EBM， ∴△BOF≌△EMB（AAS）， ∴EM＝CN＝BO＝1， ∵∠EMN＝∠BNC＝90°，∠EDM＝∠CDN， ∴△EDM≌△CDN（AAS）， ∴ED＝DC， （3）证法一：连MC并延长交AN延长线于P，连CG， ∵AB⊥BC，BM⊥BN， ∴∠ABC＝∠NBM＝90°， ∴∠ABN＝∠CBM， ∵AB＝BC，BM＝BN， ∴△ABN≌△CBM（SAS）， ∴AN＝CM，∠ANB＝∠BMC 又∵AN⊥NG，且AN＝NG， ∴GN＝AN＝MC， ∴∠BNP+∠BMP＝180°， ∴∠NBM+∠NPM＝180°， ∴∠P＝90°， ∴NG∥MP， ∴∠NGC＝∠MCG， ∴△NCG≌△MGC（SAS）， ∴CN＝GM 证法二：连MC、CG，延长NG交BC于点H， 同理可证△ABN≌△CBM， ∴AN＝CM且∠BAN＝∠BCM， ∵∠ABC＝∠ANG＝90°， ∴∠BAN+∠BHN＝180°， 又∵∠NHC+∠BHN＝180°， ∴∠BAN＝∠NHC， ∴∠NHC＝∠BCM， ∴NH∥CM， 得∠NGC＝∠GCM， 故可得△NCG≌△MGC， ∴CN＝GM． 【点评】本题主要考查了坐标与图形性质、全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年八年级数学上学期期中模拟卷 （测试范围：八年级上册第十三章~第十五章） 1、 选择题（共10小题，每小题3分，共30分） 1．中国的方块字中有些具有对称性．下面四个汉字中是轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 2．如图，线段AD和BC相交于点O，下列结论一定正确的是（　　） A． BO＝DO B．∠B＝∠D C．∠AOC＞∠B+∠C D．∠BOD＝∠A+∠B 3．为估计池塘两岸A，B间的距离，小明在池塘一侧选取了一点P，测得PA＝16m，PB＝14m，那么AB间的距离可能是（　　） A．29m B．30m C．31m D．32m 4．如图，为了使自行车稳定停放，停放时常常放下它的脚架，这里所运用的几何原理是（　　） A．两点之间，线段最短 B．三角形具有稳定性 C．两点确定一条直线 D．垂线段最短 5．如图，在△ABC中，∠C＝80°，∠CAB、∠CBA的平分线相交于点O，则∠O的度数为（　　） A．120° B．125° C．130° D．135° 6．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC，∠C＝30°，下列选项正确的是（　　） A．AD＝2BD B．CD＝2AD C．BC＝4BD D．AC＝2AB 7．已知等腰三角形一边长等于4，一边长等于9，它的周长是（　　） A．17或22 B．22 C．17 D．13 8．如图的三角形纸片ABC中，AB＝8cm，BC＝6cm，AC＝5cm．沿过点B的直线折叠这个三角形，使点C落在AB边上的点E处，折痕为BD．则△AED的周长为（　　） A．6cm B．7cm C．8cm D．9cm 9．如图，已知△ABC，求作一点P，使点P到∠A的两边的距离相等，且PA＝PB，下列确定P点的方法正确的是（　　） A．P为∠A、∠B两角平分线的交点 B．P为∠A的角平分线与线段CB的垂线平分线的交点 C．P为∠A的角平分线与线段AB的垂线平分线的交点 D．P为线段AB、AC的垂直平分线的交点 10．如图，△ABC中，BC＝10，AC﹣AB＝4，AD是∠BAC的角平分线，CD⊥AD，则S△BDC的最大值为（　　） A．40 B．28 C．20 D．10 2、 填空题（共6小题，每小题3分，共18分） 11．点A（﹣2，1）关于x轴对称的点的坐标是 　 　 ． 12．等腰三角形一个内角等于70°，则它的底角为　 　 ． 13．一个多边形的内角和比它的外角和多540°，并且这个多边形的各个内角都相等，则这个多边形每个内角是　 　 ． 14．如图，在△ABC中，∠B＝∠C＝30°，AD⊥AB交BC于点D，BC＝9，则CD的长是　 　 ． 15．如图，在△ABC中，∠ABC＝2∠C，AD平分∠BAC，过A作AD垂线交CB延长于点E，则下列结论：①AC＝AB+BD；②；③BE＝AB+AC；④AE＝2AC，其中正确的结论是 　 　 （填写序号）． 16．如图，在△ABC中，∠BAC和∠ACB的平分线相交于点O，OD⊥OA交AB于点D，OE⊥OC交BC于点E，连接DE，AC＝7，BC＝8，△BDE的周长为6，则AB的长为 　 　 ． 3、 解答题（共8小题，共72分） 17．（8分）在△ABC中，∠A比∠B小10°，∠C比∠B大10°，求∠B的度数． 18．（8分）如图，CA＝CD，CB＝CE，∠1＝∠2．求证：AB＝DE． 19．（8分）（1）直接写出A点关于y轴对称的点的坐标是　 　 ． （2）将△ABC向右平移六个单位后得△A1B1C1，则线段AB平移扫过的面积是　 　 ． （3）作出△A1B1C1关于x轴对称的图形△A2B2C2，画出△A2B2C2，连接A2B交y轴于点D，直接写出D点的坐标　 　 ． 20．（8分）已知，如图，等腰Rt△ABC，等腰Rt△ADE，AB⊥AC，AD⊥AE，AB＝AC，AD＝AE，CD交AE、BE分别于点M、F （1）求证：△DAC≌△EAB； （2）若∠AEF＝15°，EF＝4，求DE的长． 21．（8分）（1）如图1，在△ABC中，AB＝AC＝10，BD平分∠ABC，CD平分∠ACB，过点D作EF∥BC，分别交AB，AC于E，F两点．在不添加辅助线的情况下，请直接写出图1中共有　 　 个等腰三角形；△AEF的周长为　 　 ； （2）如图2，D在△ABC外，AB＞AC，BD平分∠ABC，CD平分△ABC的外角∠ACG，过点D作DE∥BC，分别交AB，AC于E，F两点．请猜想线段EF，BE，CF三者之间的数量关系，并对你的猜想给予证明． 22．（10分）如图，在△ABC中，DM，EN分别垂直平分线段AC和线段BC，与边AB交点分别为点M，N，DM与EN相交于点F． （1）若∠ACB＝110°，则∠MCN的度数为　 　 ； （2）若∠MCN＝α，试求∠MFN的度数（用含α的代数式表示）； （3）连接FA，FB，FC，若△CMN的周长为6，△FAB的周长为14，求FC的长． 23．（10分）如图，已知△ABC中，AB＝AC，P是边BC上一点，以AP为边作△APD（C，D在AP同侧），使PA＝PD，∠APD＝∠BAC，连CD． （1）如图1，若D在BC上方且∠BAC＝60°，求∠ACD度数； （2）如图2．若D在BC上方且∠BAC＝90°，判断CD与AC的位置关系，并说明理由； （3）如图3，若∠BAC＝120°，BC＝m，AB＝AC＝n，则BD的最小值为　 　 （直接写出结果）． 24．（12分）如图1，已知A（0，3）、B（﹣1，0），△ABC为等腰直角三角形，且∠ABC＝90°，AC交x轴于点D． （1）直接写出点C坐标　 　 ； （2）如图2，点E为线段AC上一点，连BE，作BF⊥BE且BF＝BE，若F点恰好落在y轴上，求证：ED＝CD； （3）如图3，点N为直线AC右侧一点，连BN，作线段BM⊥BN且BM＝BN．若点G为x轴上一点，满足AN⊥NG且AN＝NG，连接GM，CN．求证：CN＝GM． 1 学科网（北京）股份有限公司 $