湖北武汉一初慧泉中学2026-2027学年2026--2027学年人教版八年级数学上册期中模拟卷

2026-2027学年八年级数学上学期期中模拟卷 （测试范围：八年级上册第十三章~第十五章） 1、 选择题（共10小题，每小题3分，共30分） 1．下列大学的校徽图案是轴对称图形的是（　　） A． 清华大学 B． 北京大学 C． 中国人民大学 D． 浙江大学 【分析】根据轴对称图形的定义直接判断得出即可． 【解答】解：A、不是轴对称图形，故此选项错误； B、是轴对称图形，故此选项正确； C、不是轴对称图形，故此选项错误； D、不是轴对称图形，故此选项错误． 故选：B． 【点评】此题主要考查了轴对称图形的性质，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，这时，我们也可以说这个图形关于这条直线（成轴）对称． 2．下列生活实物中，没有应用到三角形的稳定性的是（　　） A．活动衣架 B．拉杆 C．三脚架 D．太阳能热水器 【分析】根据三角形具有稳定性判断即可． 【解答】解：A、没有应用到三角形的稳定性，符合题意； B、应用到三角形的稳定性，不符合题意； C、应用到三角形的稳定性，不符合题意； D、应用到三角形的稳定性，不符合题意； 故选：A． 【点评】本题考查的是三角形的性质，熟记三角形具有稳定性是解题的关键． 3．如图，将四根长度分别为3cm，5cm，7cm，8cm的木条钉成一个四边形木架，扭动它，它的形状会发生改变，在变化过程中，点B和点D之间的距离可能是（　　） A．1cm B．4cm C．9cm D．12cm 【分析】连接BD，构造△ABD和△BCD，利用三角形三边关系作答． 【解答】解：如图，连接BD， 在△ABD中，7cm﹣5cm＜BD＜7cm+5cm，即2cm＜BD＜12cm， 在△BCD中，8cm﹣3cm＜BD＜8cm+3cm，即5cm＜BD＜11cm， 所以5cm＜BD＜11cm． 观察选项，只有选项C符合题意． 故选：C． 【点评】本题考查的是三角形的三边关系，三角形两边之和大于第三边、三角形的两边差小于第三边． 4．如图，已知∠AOB，以点O为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA，OB于点C，D；再以点O为圆心，大于OC为半径画弧，分别交OA，OB于点E，F；连接CF，DE，则△EOD≌△FOC，其全等的依据是（　　） A．SSS B．SAS C．ASA D．AAS 【分析】利用SAS证明△EOD≌△FOC即可． 【解答】解：由作图步骤可知，OC＝OD，OE＝OF， 在△COF和△DOE中， ， ∴△EOD≌△FOC（SAS）， 故选：B． 【点评】本题考查了尺规作图，全等三角形的判定等知识，明确题意，找出所求问题需要的条件是解题的关键． 5．已知点P（﹣2，1），那么点P关于x轴对称的点P′的坐标是（　　） A．（﹣2，1） B．（﹣1，2） C．（2，1） D．（﹣2，﹣1） 【分析】根据坐标平面内两个点关于x轴对称，则横坐标不变，纵坐标互为相反数，即可得出答案． 【解答】解：∵点P与点P′关于x轴对称，点P（﹣2，1）， ∴P′的坐标为（﹣2，﹣1）． 故选：D． 【点评】本题主要考查了坐标平面内两个点关于x轴对称的特点，横坐标不变，纵坐标互为相反数，难度不大． 6．如图，∠A＝70°，∠B＝40°，∠C＝30°，则∠D+∠E＝（　　） A．30° B．40° C．60° D．70° 【分析】连接BC，设BE与CD交于点M，在△ABC中，利用三角形内角和定理，可求出∠MBC+∠MCB＝40°，结合三角形内角和定理及对顶角相等，即可求出∠D+∠E的度数． 【解答】解：连接BC，设BE与CD交于点M，如图所示． 在△ABC中，∠A＝70°，∠ABM＝40°，∠ACM＝30°， ∴根据三角形内角和定理， ∠MBC+∠MCB ＝180°﹣∠A﹣∠ABM﹣∠ACM ＝180°﹣70°﹣40°﹣30° ＝40°． 又∵∠D+∠E+∠DME＝180°，∠MBC+∠MCB+∠BMC＝180°，∠DME＝∠BMC， ∴∠D+∠E＝∠MBC+∠MCB＝40°，即∠D+∠E的度数为40°． 故选：B． 【点评】本题考查三角形内角和定理，关键是三角形内角和定理的熟练掌握． 7．如图，在△ABC中，AD⊥BC，垂足为D，EF垂直平分AC，交AC于点F，交BC于点E，BD＝DE，若△ABC的周长为26cm，AF＝5cm，则DC的长为（　　） A．8cm B．7cm C．10cm D．9cm 【分析】根据线段垂直平分线和等腰三角形性质得出AB＝AE＝CE，能推出2DE+2EC＝16（cm），即可得出答案． 【解答】解：∵AD⊥BC，BD＝DE，EF垂直平分AC， ∴AB＝AE＝EC， ∵△ABC周长26cm，AF＝5cm， ∴AC＝10（cm）， ∴AB+BC＝16（cm）， ∴AB+BE+EC＝16（cm）， 即2DE+2EC＝16（cm）， ∴DE+EC＝8（cm）， ∴DC＝DE+EC＝8（cm）， 故选：A． 【点评】本题主要考查了等腰三角形的性质、线段垂直平分线的性质，掌握线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等是解题的关键． 8．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，CD是△ABC的角平分线，AE⊥CD于点E，连接BE，AB＝6，AC＝8，BC＝10，则△ABE的面积是（　　） A． B．2 C． D． 【分析】过点A作AH⊥BC于H，延长AE交BC于F，先根据三角形的面积公式求出AH，再证明△ACE和△FCE全等得AC＝CF＝8，AE＝FE，则BF＝BC﹣CF＝2，进而S△ABF，再根据AE＝FE得S△ABE＝S△BEFS△ABF，据此即可得出答案． 【解答】解：过点A作AH⊥BC于H，延长AE交BC于F，如图所示： 在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝6，AC＝8，BC＝10， ∵S△ABCBC•AHAB•AC， ∴AH， ∵CD是△ABC的角平分线， ∴∠ACE＝∠FCE， ∵AE⊥CD， ∴∠AEC＝∠FEC＝90°， 在△ACE和△FCE中， ， ∴△ACE≌△FCE（ASA）， ∴AC＝CF＝8，AE＝FE， ∴BF＝BC﹣CF＝2， ∴S△ABFBF•AH， ∵AE＝FE， ∴S△ABE＝S△BEFS△ABF． 故选：C． 【点评】此题主要考查了全等三角形的判定和性质，三角形的面积，熟练掌握全等三角形的判定和性质，三角形的面积公式是解决问题的关键． 9．如图，△ABC中，∠ABC，∠EAC的角平分线BP，AP交于点P，延长BA，BC过P作PM⊥BE于M，PN⊥BF于N，则下列结论： ①CP平分∠ACF； ②AP＝CP； ③∠ACB＝2∠APB； ④AC＝AM+CN． 其中正确的个数是（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【分析】①作PD⊥AC于D，PM⊥BE于M，PN⊥BC于N．由角平分线的性质得出PM＝PN，PM＝PD，得出PM＝PN＝PD，即可得出①正确； ②假设AP＝CP，则∠PAC＝∠PCA，由已知条件可知：∠EAC＝∠ACF，已知条件中并不能推出，所以②不一定成立； ③由角平分线和三角形的外角性质得出∠CAE＝∠ABC+∠ACB，，得出∠ACB＝2∠APB，③正确； ④由全等三角形的性质得出AD＝AM，CD＝CN，即可得出④正确；即可得出答案． 【解答】解：①过点P作PD⊥AC于D， ∵PB平分∠ABC，PA平分∠EAC，PM⊥BE，PN⊥BF，PD⊥AC， ∴PM＝PN，PM＝PD， ∴PM＝PN＝PD， ∴点P在∠ACF的角平分线上， ∴CP平分∠ACF， 故①正确； ②假设AP＝CP，则∠PAC＝∠PCA， 由已知条件可知：∠EAC＝∠ACF， ∴∠BAC＝∠BCA， ∵题干中并没有这个条件， ∴②不一定成立，故②错误； ③∵PA平分∠CAE，BP平分∠ABC， ∴∠CAE＝∠ABC+∠ACB，， ∴， ∴∠ACB＝2∠APB，故③正确； ④在Rt△PAM和Rt△PAD中， ， ∴Rt△PAM≌Rt△PAD（HL）， ∴AD＝AM， 在Rt△PCD和Rt△PCN中， ， ∴Rt△PCD≌Rt△PCN（HL）， ∴CD＝CN， ∴AM+CN＝AD+CD＝AC，故④正确； ∴正确的有3个， 故选：C． 【点评】本题考查了角平分线的性质定理和逆定理，全等三角形的判定与性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质．熟练掌握角平分线的性质是解题的关键． 10．如图，△ABC中，∠CAB＝∠CBA＝48°，点O为△ABC内一点，∠OAB＝12°，∠OBC＝18°，则∠ACO+∠AOB＝（　　） A．190° B．195° C．200° D．210° 【分析】根据已知易证CA＝CB，所以想到等腰三角形的三线合一性质，过点C作CD⊥AB，垂足为D，延长BO交CD与点P，然后连接AP，易证∠CAP＝∠CBP＝18°，从而求出∠PAO＝18°，再利用三角形的外角求出∠POA的度数，放在直角三角形中求出∠ACP的度数，进而证△ACP≌△AOP，可得AC＝AO，最后放在等腰三角形ACO中求出∠ACO即可． 【解答】解：过点C作CD⊥AB，垂足为D，延长BO交CD与点P，连接AP， ∵∠OBC＝18°，∠CBA＝48°， ∴∠ABP＝∠CBA﹣∠OBC＝30°， ∵∠CAB＝∠CBA＝48°， ∴CA＝CB， ∵CD⊥AB， ∴CD是AB的垂直平分线， ∴PA＝PB， ∴∠PAB＝∠PBA＝30°， ∴∠CAP＝∠CAB﹣∠PAB＝18°， ∵∠AOP是△AOB的一个外角， ∴∠AOP＝∠OAB+∠OBA＝42°， ∵∠CDA＝90°， ∴∠ACD＝90°﹣∠CAD＝42°， ∴∠AOP＝∠ACD， ∵∠PAB＝30°，∠OAB＝12°， ∴∠PAO＝∠PAB﹣∠OAB＝18°， ∴∠CAP＝∠OAP， ∵AP＝AP， ∴△ACP≌△AOP（AAS）， ∴AC＝AO， ∵∠CAO＝∠CAP+∠OAP＝36°， ∴∠ACO＝∠AOC＝72°， ∵∠AOB＝180°﹣∠OAB﹣∠OBA＝138°， ∴∠ACO+∠AOB＝210°， 故选：D． 【点评】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，三角形的外角性质，全等三角形的判定与性质，利用等腰三角形的三线合一性质添加辅助线是解题的关键． 2、 填空题（共6小题，每小题3分，共18分） 11．若正多边形的一个外角是45°，则这个正多边形的边数为 　8　 ． 【分析】根据多边形外角和是360度，正多边形的各个内角相等，各个外角也相等，直接用360°÷45°可求得边数． 【解答】解：∵多边形外角和是360度，正多边形的一个外角是45°， ∴360°÷45°＝8 即该正多边形的边数为8． 【点评】主要考查了多边形外角和是360度和正多边形的性质（正多边形的各个内角相等，各个外角也相等）． 12．等腰三角形有一个角为70°，则它顶角度数为 　70°或40°　 ． 【分析】等腰三角形一内角为70°，没说明是顶角还是底角，所以有两种情况． 【解答】解：（1）当70°角为顶角，顶角度数即为70°； （2）当70°为底角时，顶角＝180°﹣2×70°＝40°． 故答案为：70°或40°． 【点评】本题考查了等腰三角形的性质及三角形内角和定理，属于基础题，若题目中没有明确顶角或底角的度数，做题时要注意分情况进行讨论，这是十分重要的，也是解答问题的关键． 13．如图，已知AD是△ABC的中线，CE是△ACD的中线，若△ABC的面积为12，则△CDE的面积为 　3　 ． 【分析】由于三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分，则利用AD是△ABC的中线得到S△ACD＝6，然后利用CE是△ACD的中线得到S△CDES△ACD． 【解答】解：∵AD是△ABC的中线， ∴S△ACDS△ABC12＝6， ∵CE是△ACD的中线， ∴S△CDES△ACD＝3． 故答案为：3． 【点评】本题考查了三角形的面积：三角形的面积等于底边长与高线乘积的一半，即S底×高；三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分． 14．如图，在等腰△ABC中，AB＝AC，BD是平分线，若BD＝BC，则∠A的度数为　36°　 ． 【分析】由等腰三角形的性质得出∠C＝∠BDC，由角平分线的性质得出∠ABD＝∠CBD，得出∠C＝∠BDC＝2∠A，由三角形内角和定理则可求出答案． 【解答】解：∵BD＝BC， ∴∠C＝∠BDC， ∵AB＝AC， ∴∠ABC＝∠C， ∵BD平分∠ABC， ∴∠ABD＝∠CBD， 又∵∠BDC＝∠A+∠ABD， ∴∠C＝∠BDC＝2∠A， 又∵∠A+∠ABC+∠C＝180°， ∴∠A+2∠C＝180°， 把∠C＝2∠A代入等式，得∠A+2×2∠A＝180°， 解得∠A＝36°． 故答案为：36°． 【点评】本题考查了等腰三角形的性质，角平分线的性质，三角形的内角和定理，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键． 15．如图，BD是∠ABC的角平分线，AD⊥BD，垂足为D，∠DAC＝20°，∠C＝38°，则∠ABC的大小是　64°　 ． 【分析】由BD是∠ABC的角平分线，得∠ABD＝∠CBD，由∠D＝90°，得∠BAD＝90°﹣∠ABD，而∠DAC＝20°，则∠BAC＝110°﹣∠ABD，由∠ABC+∠BAC+∠C＝180°，且∠ABC＝2∠ABD，∠C＝38°，得2∠ABD+110°﹣∠ABD+38°＝180°，求得∠ABD＝32°，则∠ABC＝2∠ABD＝64°，于是得到问题的答案． 【解答】解：∵BD是∠ABC的角平分线， ∴∠ABD＝∠CBD， ∵AD⊥BD，垂足为D，∠DAC＝20°， ∴∠D＝90°， ∴∠BAD＝90°﹣∠ABD， ∴∠BAC＝∠BAD+∠DAC＝90°﹣∠ABD+20°＝110°﹣∠ABD， ∵∠ABC+∠BAC+∠C＝180°，且∠ABC＝2∠ABD，∠C＝38°， ∴2∠ABD+110°﹣∠ABD+38°＝180°， ∴∠ABD＝32°， ∴∠ABC＝2∠ABD＝64°， 故答案为：64°． 【点评】此题重点考查角平分线的定义、直角三角形的两个锐角互余、三角形内角和定理等知识，正确理解和应用三角形内角和定理及其推论是解题的关键． 16．如图∠MON＝120°，点A为ON上一点，且，点B为直线OM上的一动点，以AB为边作等边△ABC，连接OC，当BC最小时，此时OC＝　　 ． 【分析】B点在直线OM上，因为垂线段最短，当AB⊥OM时，AB最小，也就是BC最小，所以△OAB为直角三角形时，AB最短，然后利用含30度角的直角三角形的性质即可解决问题． 【解答】解：B点在直线OM上，因为垂线段最短， 当AB⊥OM时，AB最小，也就是BC最小， 所以△OAB为直角三角形时，AB最短， 如图，∵∠MON＝120°， ∴∠AOB＝60°， ∵∠ABO＝90°， ∴∠OAB＝30°， ∵△ABC是等边三角形， ∴∠CBA＝60°， ∴∠ADB＝90°， ∴AD⊥BC， ∵AC＝AB， ∴AO是BC的垂直平分线， ∴OC＝OB， ∵OA， ∴OBOA， ∴OC长为． 故答案为：． 【点评】本题考查了垂线段最短问题，等边三角形的性质，含30度角的直角三角形，解决本题的关键是掌握含30度角的直角三角形的性质． 3、 解答题（共8小题，共72分） 17．（8分）如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，CE平分∠ACB，若∠CAD＝20°，∠B＝50°，求∠AEC的度数． 【分析】根据已知条件得到∠ADC＝90°，求得∠ACD＝90°﹣20°＝70°，根据三角形的内角和定理得到∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠ACB＝180°﹣50°﹣70°＝60°，根据角平分线的定义得到∠ACEACB＝35°，于是得到答案． 【解答】解：∵AD是BC边上的高， ∴∠ADC＝90°， ∵∠CAD＝20°， ∴∠ACD＝90°﹣20°＝70°， ∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠ACB＝180°﹣50°﹣70°＝60°， ∵CE平分∠ACB， ∴∠ACEACB＝35°， ∴∠AEC＝180°﹣∠EAC﹣∠ACE＝180°﹣60°﹣35°＝85°． 【点评】本题考查了三角形内角和定理以及三角形的外角性质等知识；熟练掌握三角形内角和定理和三角形的外角性质是解题的关键． 18．（8分）如图，点D在AB上，E在AC上，AB＝AC，∠B＝∠C，求证：AD＝AE． 【分析】根据全等三角形的判定定理ASA可以证得△ACD≌△ABE，然后由“全等三角形的对应边相等”即可证得结论． 【解答】证明：在△ABE与△ACD中， ， ∴△ACD≌△ABE（ASA）， ∴AD＝AE（全等三角形的对应边相等）． 【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质．在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角． 19．（8分）命题：有两个角相等的三角形是等腰三角形（简称“等角对等边”）． 已知：如图，△ABC中，∠B＝∠C． 求证：AB＝AC． 三位同学作出了三种不同的辅助线，并完成了命题的证明． 小刚的方法：作∠BAC的平分线AD，可证△ABD≌△ACD，得AB＝AC； 小亮的方法：作BC边上的高AD，可证△ABD≌△ACD，得AB＝AC； 小莉的方法：作BC边上的中线AD． （1）请你写出小刚与小亮方法中△ABD≌△ACD的理由：AAS ； （2）小莉的方法：作BC边上的中线AD，但发现无法直接通过证明△ABD和△ACD全等而得到结论；老师提醒小莉，可以通过作两条垂线去证明，请你按照小莉的方法帮助她继续完成证明． 【分析】（1）根据AAS证明三角形全等即可； （2）过点D作DE⊥AB于点E，过点D作DF⊥AC于点F，首先证明△BDE≌△CDF，推出BE＝CF，DE＝DF，再证明Rt△AED≌Rt△AFD，推出AE＝AF即可解决问题． 【解答】（1）解：小刚的方法： 由条件可知∠BAD＝∠CAD， 在△ABD 与△ACD 中， ， AD＝AD， ∴△ABD≌△ACD（AAS）； 小亮的方法： 由条件可知∠ADB＝∠ADC＝90°， 在△ABD 与△ACD 中： ， AD＝AD， ∴△ABD≌△ACD（AAS）． 故答案为：AAS； （2）证明：过点D作DE⊥AB于点E，过点D作DF⊥AC于点F． 在△BDE和△CDF中， ， ∴△BDE≌△CDF， ∴BE＝CF，DE＝DF． ∵， ∴Rt△AED≌Rt△AFD， ∴AE＝AF， ∴AB＝AC． 【点评】本题考查全等三角形的判定和性质，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题． 20．（8分）如图，AD是△ABC的角平分线，DE、DF分别是△ABD和△ACD的高． （1）试说明AD垂直平分EF； （2）若∠B＝30°，AB＝6.6，AC＝3.4，S△ABC＝10，求BD的长． 【分析】（1）根据角平分线的性质可得DE＝DF，进而证明Rt△AED≌Rt△AFD，进而证明AE＝AF，即可求解； （2）根据等面积法可得，利用含30°角的直角三角形的性质，即可求解BD的长度． 【解答】（1）证明：∵AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC， ∴DE＝DF， ∴点D在EF的垂直平分线上， 在Rt△AED和Rt△AFD中， ， ∴Rt△AED≌Rt△AFD（HL）， ∴AE＝AF， ∴点A在EF的垂直平分线上， ∴AD垂直平分EF； （2）解：∵DE＝DF， ∴， ∵AB＝6.6，AC＝3.4， ∴， ∴DE＝2； ∵∠B＝30°， BD＝2DE＝4． 【点评】本题考查角平分线的性质及线段垂直平分线的判定，全等三角形的判定和性质，含30度角的直角三角形的性质．熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键． 21．（8分）如图是由边长为1的小正方形组成的8×7网格，已知点A，B，C均为格点，仅用无刻度的直尺在给定网格中按下列步骤完成画图，并回答问题，画图过程用虚线表示，每个任务不超过3条线． （1）图中△ABC的面积为　12　 ； （2）在图1中画出△ABC的高BD； （3）在图1中的BC边上画一点E，使∠CAE＝45°； （4）在图2中，F为线段BC上一点，画线段CF的中点G． 【分析】（1）利用三角形面积公式求解； （2）取格点J，连接BJ延长BJ交AC于点D，线段BD即为所求； （3）构造等腰直角三角形ACE即可； （4）作△ACF的中线CK，FT交于点O，连接AO，延长AO交CF于点G，点G即为所求． 【解答】解：（1）△ABC的面积6×4＝12． 故答案为：12； （2）如图1中，线段BD即为所求； （3）如图1中，点E即为所求； （4）如图2中，点G即为所求． 【点评】本题考查作图﹣应用与设计作图，三角形的面积，线段的垂直平分线的性质，解题的关键是掌握相关知识解决问题． 22．（10分）如图1，在△ABC中，D为AB边上一点，连CD，E为BC边上一点，若AE平分∠BAC，ED平分∠BDC． （1）若∠ACD＝30°，则∠AED＝　15°　 ． （2）求证：2∠BCD+∠ACD＝180°； （3）如图2，若AC+DC＝AB，且∠ACD＝18°，求∠BAC的度数． 【分析】（1）由AE平分∠BAC，ED平分∠BDC，可得，，在△ABC和△ADE中分别利用外角可得，则题目可解； （2）过E作EG⊥AC于G，EH⊥AB于H，EI⊥CD于I，先由角平分线的性质得EG＝EH，EI＝EH，则EG＝EI，得CE平分∠DCG，则∠BCD＝∠BCG，即可得出结论； （3）延长AC至点F，使CF＝CD，连接BF，先证AF＝AB，则∠ABF＝∠AFB，再证△CDB≌△CFB，得∠ABC＝∠FBC，则∠AFB＝∠ABF＝2∠ABC，求出∠BCD＝∠BCF＝81°，然后由三角形的外角性质得∠CDB＝∠BAC+18°，最后由三角形内角和定理进而得出答案． 【解答】（1）解：∵DE平分∠CDB， ∴， ∵AE平分∠CAB， ∴， ∴∠AED＝∠EDB﹣∠EAB ， ∵∠CDB﹣∠CAB＝∠ACD， 代入得：， ∴∠ACD＝30°， ∴； 故答案为：15°． （2）证明：过E作EG⊥AC于G，EH⊥AB于H，EI⊥CD于I，如图所示： ∵AE平分∠BAC，ED平分∠BDC， ∴EG＝EH，EI＝EH， ∴EG＝EI， ∴CE平分∠DCG， ∴∠BCD＝∠BCG， ∵∠DCG+∠ACD＝180°， ∴2∠BCD+∠ACD＝180°； （3）解：延长AC至点F，使CF＝CD，连接BF，如图所示： 则AC+CF＝AC+DC＝AB，即AF＝AB， ∴∠ABF＝∠AFB， 在△CDB和△CFB中， ， ∴△CDB≌△CFB（SAS）， ∴∠ABC＝∠FBC， ∴∠AFB＝∠ABF＝2∠ABC， ∵∠ACD＝18°， ∴， ∵∠CDB＝∠BAC+∠ACD＝∠BAC+18°，∠CDB+∠BCD+∠ABC＝180°， ∴∠BAC+18°+81°+∠ABC＝180°， ∴∠ABC＝81°﹣∠BAC， 又∵∠ABF+∠AFB+∠BAC＝180°， ∴4∠ABC+∠BAC＝180°， ∴4（81°﹣∠BAC）+∠BAC＝180°， 解得：∠BAC＝48°． 【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质、角平分线的性质与判定、等腰三角形的性质、三角形内角和定理以及三角形的外角性质等知识；熟练掌握全等三角形的判定与性质和角平分线的判定与性质是解题的关键． 23．（10分）在直线m上依次取互不重合的三个点D，A，E，在直线m上方有AB＝AC，且满足∠BAC＝∠AEC＝α． 【积累经验】 （1）如图1，当∠BDA＝α＝90°时，判断线段DE，BD，CE之间的数量关系是DE＝CE+BD ； 【类比迁移】 （2）如图2，当∠BAC是钝角，且CE＝DE时，探究∠BDA与∠AEC之间的数量关系，并说明理由； 【拓展应用】 （3）如图3，在△ABC中，∠BAC是钝角，AB＝AC，∠BAD＜∠CAE，∠BDA＝∠AEC＝∠BAC，直线m与CB的延长线交于点F，若CE＝s•DF，CF＝t•BC，请直接写出的值　　 .（用含s，t的代数式表示） 【分析】（1）证明△BDA≌△AEC，得到CE＝AD，BD＝AE，根据DE＝DA+AE，即可得出结论； （2）在CE上截取FE＝AE，易得AD＝CF，证明△ACF≌△BAD，得到∠BDA＝∠CFA，根据∠CFA+∠AFE＝180°，，即可得出结论； （3）证明△ABD≌△CAE，推出AD＝s•DF，根据同高三角形的面积比等于底边比，推出S△ABF＝（s+1）S△BDF，S△ABF＝（t﹣1）S△ABC，即可得出结果． 【解答】（1）解：∵∠BAC＝∠AEC＝α，∠BDA＝α＝90°， ∴∠BAC＝∠AEC＝∠BDA＝90°， ∴∠BAD＝∠ACE＝90°﹣∠CAE， ∵AB＝AC， ∴△BDA≌△AEC， ∴CE＝AD，BD＝AE， ∴DE＝DA+AE＝CE+BD， （2）证明：，理由如下： 在CE上截取FE＝AE，连接AF，则： ，∠CFA+∠AFE＝180°， ∵CE＝CF+EF＝DA+AE， ∴AD＝CF， ∵∠DAC＝∠BAD+∠BAC＝∠AEC+∠ACE，∠BAC＝∠AEC， ∴∠BAD＝∠CAF， ∵AB＝AC， ∴△ACF≌△BAD（AAS）， ∴∠BDA＝∠CFA， ∴∠BDA+∠AFE＝180°， ∴∠AFE＝180°﹣∠BDA， ∴， ∴； （3）解：同法（2）可得：∠BAD＝∠CAE， ∵∠BDA＝∠AEC，AB＝AC， ∴△ABD≌△CAE（AAS）， ∴AD＝CE， ∵CE＝s•DF， ∴AD＝s•DF， ∴S△ADB＝s•S△BDF， ∴S△ABF＝（s+1）S△BDF， ∵CF＝t•BC， ∴BF＝（t﹣1）•BC， ∴S△ABF＝（t﹣1）S△ABC， ∴（s+1）S△BDF＝（t﹣1）S△ABC， ∴， 故答案为：． 【点评】本题考查全等三角形的判定和性质，等边对等角，三角形的内角和定理，掌握高三角形的面积比等于底边比即是解题的关键． 24．（12分）在平面直角坐标系中，点A（a，0），点B（0，b），且a，b满足，点R（0，t）是y轴上一动点，将线段AR绕点R顺时针旋转90°得线段CR． （1）如图1，若t＝1，则点C的坐标是 　（﹣1，4）　 ； （2）过点B作BD∥OA，交直线AC于点D，连接RD． ①如图2，若t＞0，求证：∠CAO＝∠ADR； ②如图3，若t＝﹣1，求DR﹣DB的值． 【分析】（1）过C作CQ⊥y轴于点Q，由，可得A（﹣3，0），点B（0，3），故OA＝3，当t＝1时，OR＝1，由旋转性质可知：∠ARC＝90°，AR＝CR，根据同角的余角相等得∠ARO＝∠RCQ，然后证明△ARO≌△RCQ（AAS），根据全等三角形的性质即可求解； （2）①过A作AK⊥BD交BD延长线于点K，过A作AT⊥AR，交BD延长线于点T，根据同角的余角相等得∠TAK＝∠RAO，证明△TAK≌△RAO（ASA），由性质得AT＝AR，再证明△TAD≌△DAR（SAS），根据全等三角形的性质和平行线的性质即可求证； ②过A作AG⊥BD交BD延长线于点G，过A作AH⊥AR，交BD延长线于点H，同①理即可求解． 【解答】（1）解：如图1，连接CR，过C作CQ⊥y轴于点Q， ∴∠AOR＝∠RQC＝90°， 在平面直角坐标系中，点A（a，0），点B（0，b），且a，b满足， ∴a+3＝0，b﹣3＝0， 解得：a＝﹣3，b＝3， ∴A（﹣3，0），点B（0，3）， ∴OA＝3， ∵点R（0，t）是y轴上一动点，将线段AR绕点R顺时针旋转90°得线段CR． ∴当t＝1时，R（0，1）， ∴OR＝1， 由旋转性质可知：∠ARC＝90°，AR＝CR， ∴∠ARO+∠CRQ＝90°，∠RCQ+∠CRQ＝90°， ∴∠ARO＝∠RCQ， 在△ARO和△RCQ中， ， ∴△ARO≌△RCQ（AAS）， ∴CQ＝OR＝1，RQ＝OA＝3， ∴OQ＝OR+QR＝1+3＝4， ∴点C的坐标是（﹣1，4）， 故答案为：（﹣1，4）； （2）①证明：BD∥OA，交直线AC于点D，如图2，过A作AK⊥BD交BD延长线于点K，过A作AT⊥AR，交BD延长线于点T， ∴∠TAR＝∠AKT＝∠KAO＝90°， ∴∠TAK+∠KAR＝∠RAO+∠KAR＝90°， ∴∠TAK＝∠RAO， 由（1）得：A（﹣3，0），点B（0，3）， ∴OA＝OB＝AK＝3， 在△TAK和△RAO中， ， ∴△TAK≌△RAO（ASA）， ∴AT＝AR， ∵将线段AR绕点R顺时针旋转90°得线段CR， ∴∠ARC＝90°，AR＝CR， ∴∠DAR＝45°， ∵∠TAR＝90°， ∴∠TAD＝∠DAR＝45°， 在△TAD和∠DAR中， ， ∴△TAD≌△DAR（SAS）， ∴∠ADT＝∠ADR， ∵BD∥OA， ∴∠ADT＝∠CAO， ∴∠CAO＝∠ADR； ②解：如图3，过A作AG⊥BD交BD延长线于点G，过A作AH⊥AR，交BD延长线于点H， ∴∠AGH＝∠HAR＝∠AOR＝90°， ∴∠GAH+∠HAO＝∠OAR+∠HAO＝90°， ∴∠GAH＝∠OAR， 由（1）得：A（﹣3，0），点B（0，3）， ∴OA＝OB＝GB＝AG＝3， 在△GAH和△OAR中， ， ∴△GAH≌△OAR（ASA）， ∴AH＝AR，GH＝OR， 将线段AR绕点R顺时针旋转90°得线段CR， ∴∠ARC＝90°，AR＝CR， ∴∠DAR＝45°， ∵∠HAR＝90°， ∴∠DAH＝∠DAR＝45°， 在△DAH和∠DAR中， ， ∴△DAH≌△DAR（SAS）， ∴DR＝DH， ∵当t＝﹣1时，R（0，﹣1）， ∴GH＝OR＝1， ∴BH＝GB﹣GH＝3﹣1＝2， ∴DR﹣DB＝DH﹣DB＝BH＝2． 【点评】本题属于几何变换综合题，主要考查了坐标与图形，全等三角形的判定与性质，旋转的性质，同角的余角相等，平行线的性质，线段和差，熟练掌握全等三角形的判定定理与旋转的性质是解题的关键 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年八年级数学上学期期中模拟卷 （测试范围：八年级上册第十三章~第十五章） 1、 选择题（共10小题，每小题3分，共30分） 1．下列大学的校徽图案是轴对称图形的是（　　） A． 清华大学 B． 北京大学 C． 中国人民大学 D． 浙江大学 2．下列生活实物中，没有应用到三角形的稳定性的是（　　） A．活动衣架 B．拉杆 C．三脚架 D．太阳能热水器 3．如图，将四根长度分别为3cm，5cm，7cm，8cm的木条钉成一个四边形木架，扭动它，它的形状会发生改变，在变化过程中，点B和点D之间的距离可能是（　　） A．1cm B．4cm C．9cm D．12cm 4．如图，已知∠AOB，以点O为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA，OB于点C，D；再以点O为圆心，大于OC为半径画弧，分别交OA，OB于点E，F；连接CF，DE，则△EOD≌△FOC，其全等的依据是（　　） A．SSS B．SAS C．ASA D．AAS 5．已知点P（﹣2，1），那么点P关于x轴对称的点P′的坐标是（　　） A．（﹣2，1） B．（﹣1，2） C．（2，1） D．（﹣2，﹣1） 6．如图，∠A＝70°，∠B＝40°，∠C＝30°，则∠D+∠E＝（　　） A．30° B．40° C．60° D．70° 7．如图，在△ABC中，AD⊥BC，垂足为D，EF垂直平分AC，交AC于点F，交BC于点E，BD＝DE，若△ABC的周长为26cm，AF＝5cm，则DC的长为（　　） A．8cm B．7cm C．10cm D．9cm 8．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，CD是△ABC的角平分线，AE⊥CD于点E，连接BE，AB＝6，AC＝8，BC＝10，则△ABE的面积是（　　） A． B．2 C． D． 9．如图，△ABC中，∠ABC，∠EAC的角平分线BP，AP交于点P，延长BA，BC过P作PM⊥BE于M，PN⊥BF于N，则下列结论： ①CP平分∠ACF；②AP＝CP；③∠ACB＝2∠APB；④AC＝AM+CN． 其中正确的个数是（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 10．如图，△ABC中，∠CAB＝∠CBA＝48°，点O为△ABC内一点，∠OAB＝12°，∠OBC＝18°，则∠ACO+∠AOB＝（　　） A．190° B．195° C．200° D．210° 2、 填空题（共6小题，每小题3分，共18分） 11． 若正多边形的一个外角是45°，则这个正多边形的边数为 　 　 ． 12． 等腰三角形有一个角为70°，则它顶角度数为 　 　 ． 13．如图，已知AD是△ABC的中线，CE是△ACD的中线，若△ABC的面积为12，则△CDE的面积为 　 　 ． 14．如图，在等腰△ABC中，AB＝AC，BD是平分线，若BD＝BC，则∠A的度数为　 　 ． 15．如图，BD是∠ABC的角平分线，AD⊥BD，垂足为D，∠DAC＝20°，∠C＝38°，则∠ABC的大小是　 　 ． 16．如图∠MON＝120°，点A为ON上一点，且，点B为直线OM上的一动点，以AB为边作等边△ABC，连接OC，当BC最小时，此时OC＝　 　 ． 3、 解答题（共8小题，共72分） 17．（8分）如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，CE平分∠ACB，若∠CAD＝20°，∠B＝50°，求∠AEC的度数． 18．（8分）如图，点D在AB上，E在AC上，AB＝AC，∠B＝∠C，求证：AD＝AE． 19．（8分）命题：有两个角相等的三角形是等腰三角形（简称“等角对等边”）． 已知：如图，△ABC中，∠B＝∠C． 求证：AB＝AC． 三位同学作出了三种不同的辅助线，并完成了命题的证明． 小刚的方法：作∠BAC的平分线AD，可证△ABD≌△ACD，得AB＝AC； 小亮的方法：作BC边上的高AD，可证△ABD≌△ACD，得AB＝AC； 小莉的方法：作BC边上的中线AD． （1）请你写出小刚与小亮方法中△ABD≌△ACD的理由：　 　 ； （2）小莉的方法：作BC边上的中线AD，但发现无法直接通过证明△ABD和△ACD全等而得到结论；老师提醒小莉，可以通过作两条垂线去证明，请你按照小莉的方法帮助她继续完成证明． 20．（8分）如图，AD是△ABC的角平分线，DE、DF分别是△ABD和△ACD的高． （1）试说明AD垂直平分EF； （2）若∠B＝30°，AB＝6.6，AC＝3.4，S△ABC＝10，求BD的长． 21．（8分）如图是由边长为1的小正方形组成的8×7网格，已知点A，B，C均为格点，仅用无刻度的直尺在给定网格中按下列步骤完成画图，并回答问题，画图过程用虚线表示，每个任务不超过3条线． （1）图中△ABC的面积为　 　 ； （2）在图1中画出△ABC的高BD； （3）在图1中的BC边上画一点E，使∠CAE＝45°； （4）在图2中，F为线段BC上一点，画线段CF的中点G． 22．（10分）如图1，在△ABC中，D为AB边上一点，连CD，E为BC边上一点，若AE平分∠BAC，ED平分∠BDC． （1）若∠ACD＝30°，则∠AED＝　 　 ． （2）求证：2∠BCD+∠ACD＝180°； （3）如图2，若AC+DC＝AB，且∠ACD＝18°，求∠BAC的度数． 23．（10分）在直线m上依次取互不重合的三个点D，A，E，在直线m上方有AB＝AC，且满足∠BAC＝∠AEC＝α． 【积累经验】 （1）如图1，当∠BDA＝α＝90°时，判断线段DE，BD，CE之间的数量关系是　 　 ； 【类比迁移】 （2）如图2，当∠BAC是钝角，且CE＝DE时，探究∠BDA与∠AEC之间的数量关系，并说明理由； 【拓展应用】 （3） 如图3，在△ABC中，∠BAC是钝角，AB＝AC，∠BAD＜∠CAE，∠BDA＝∠AEC＝∠BAC，直线m与CB的延长线交于点F，若CE＝s•DF，CF＝t•BC，请直接写出的值　 　 .（用含s，t的代数式表示） 24．（12分）在平面直角坐标系中，点A（a，0），点B（0，b），且a，b满足，点R（0，t）是y轴上一动点，将线段AR绕点R顺时针旋转90°得线段CR． （1）如图1，若t＝1，则点C的坐标是 　 　 ； （2）过点B作BD∥OA，交直线AC于点D，连接RD． ①如图2，若t＞0，求证：∠CAO＝∠ADR； ②如图3，若t＝﹣1，求DR﹣DB的值． 1 学科网（北京）股份有限公司 $