精品解析：福建莆田市城厢区南门学校2026-2027学年九年级上学期阶段学情诊断数学学科

南门学校26-27学年上学期阶段学情诊断数学学科 （满分150分；考试时间：120分钟） 友情提示：本试卷分为“试题”和“答题卡”两部分，答题时，请按答题卡中的“注意事项”认真作答，答案写在答题卡上的相应位置． 一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 的值是（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了特殊三角形的三角函数，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． 根据特殊三角形的三角函数求解． 【详解】解：， 故选：C． 2. 在中，，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了锐角三角函数的定义，根据锐角的正切等于对边比邻边解答． 【详解】解：如图， ∵在中，， ∴． 故选：C． 3. 若是方程的一个解，则n的值为（ ） A. 4 B. C. 5 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查根据方程的解求参数，将 代入方程，直接计算 n 的值即可． 【详解】解：∵是方程的解， ∴ 代入方程：， 即， ∴， ∴ ， ∴ 故选B． 4. 已知与相似，且相似比为，则与的周长比为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质，熟练掌握相似三角形的周长之比等于相似比是解题的关键．根据相似三角形的性质，即可求解． 【详解】解：∵与相似，且相似比为， ∴与的周长比为． 故选：C． 5. 如图，在平面直角坐标系中，以点为位似中心，在第四象限内将按相似比缩小，得到，若点的对应点为，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据位似变换的性质，给点的坐标分别乘以即可． 【详解】解：由题可知，为位似中心，且相似比为，点 ∴点的对应点为的坐标为， 则点的坐标为． 6. 如果关于x的一元二次方程无实数根，那么a的值可以为（ ） A. 10 B. 9 C. 8 D. 7 【答案】A 【解析】 【分析】由一元二次方程根与系数的关键可得：, 从而列不等式可得答案． 【详解】解：∵一元二次方程无实数根， ∴， 解得：，只有选项A符合题意， 故选：A． 【点睛】本题考查的是一元二次方程根的判别式，掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键． 7. 如图，点P是的边上一点，连结，以下条件中，不能判定的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查添加条件使三角形相似，根据相似三角形的判定方法逐一进行判断即可． 【详解】解：在和中， ， ∴当时，；故选项 A 不符合题意； 当时，；故选项 B 不符合题意； 当时，；故选项 C 不符合题意； 当时，无法得到；故选项 D 符合题意； 故选：D． 8. 俗语有云：“一天不练手脚慢，两天不练丢一半，三天不练门外汉，四天不练瞪眼看．”其意思是知识和技艺在学习后，如果不及时复习，那么学习过的东西就会被遗忘，若每天“遗忘”的百分比是一样的，设百分比为x，根据“两天不练丢一半”，可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的应用，设每天遗忘百分比为x，最初知识量为1．根据每天遗忘百分比相同，两天后剩余知识为一半，列出方程． 【详解】解：设每天遗忘百分比为x，最初知识量为1． ∵第一天后剩余知识为，第二天后剩余知识为， 又∵两天后剩余知识为一半，即， ∴． 故选A． 9. 如图，有一块三角形余料ABC，BC=120mm，高线AD=90mm，要把它加工成一个矩形零件，使矩形的一边在BC上，点P、M分别在AB，AC上，若满足PM：PQ=2：1，则PQ的长为（　　） A. 36mm B. 40mm C. 50mm D. 120mm 【答案】A 【解析】 【分析】设与交于点，先根据矩形的性质可得，再根据相似三角形的判定可证，然后根据相似三角形的性质即可得． 【详解】解：如图，设与交于点， 四边形是矩形， ， ， 又， ，四边形是矩形， ，， 设，则，， ， 解得， 即， 故选：A． 【点睛】本题考查了矩形的判定与性质、相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题关键． 10. 如图，菱形的边长为，，过点作，交的延长线于点，连接分别交于点，则的长为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由可得，由菱形的性质可得，，即得，进而得到，得到，，，即得到，再根据和，分别求出和，最后根据计算即可求解． 【详解】解：∵，交的延长线于点， ∴， ∵四边形是边长为的菱形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴， ∴， 故选B． 【点睛】本题考查了菱形的性质，平行线的性质，直角三角形的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，掌握以上知识点是解题的关键． 二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分． 11. 如图，，，，，则的长度是______． 【答案】 【解析】 【分析】利用平行线等分线段定理解答即可． 【详解】解：∵， ∴， 又∵，，， ∴， ∴． 12. 用配方法解方程时，若将方程变形为，则_____ ． 【答案】 【解析】 【分析】利用完全平方公式配方即可求解． 【详解】解：， ， ， ∴． 13. 在中，，若，则的值为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，掌握勾股定理和锐角三角函数是解题关键．利用正弦值设．，，再利用勾股定理求出，再利用余弦的定义求解即可． 【详解】解：在中，，， ， 设，， 由勾股定理得：， ， 故答案为：． 14. 在的正方形网格中，A，B，C，D均为格点，交网格线于点E，则的值是______． 【答案】 2 【解析】 【分析】首先，根据已知条件，得出，得，最后，得． 【详解】解：如图，在的正方形网格中， ∵， ∴， ∵， ∴． 15. 在中，．点在边上（点不与点重合），连结，作，与边交于点．当时，则___________ 【答案】或 【解析】 【分析】根据三角形的外角定理可知，进而可知，根据相似三角形的性质构造方程即可求解． 【详解】解：∵， ∴, ∵， ∴ ∴, ∴, ∵， ∴ ∴, ∴或． 16. 如图，在中，，点在边上，，点在的延长线上，连接，若，则的长为_____． 【答案】 【解析】 【分析】作，，，垂足分别为H，G，F，则四边形为矩形，得到，，，，证明为等腰直角三角形，得到，三线合一得到，，证明，得到，设，，求出，的长，正切的定义求出，勾股定理求出x的值，进而求出的值，证明，列出比例式进行求解即可． 【详解】解：作，，，垂足分别为H，G，F，则四边形为矩形， ∴，，，， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴设，， 则，， ∴，， ∴， ∴在中，， 由勾股定理，得，即， ∴（负值已舍去）， ∴，， ∵，，，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， 解得：（舍去）或， 故答案为：． 【点睛】本题考查等腰三角形的判定和性质，矩形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，解直角三角形等知识点，综合性强，熟练掌握相关知识点，添加辅助线，构造特殊图形和相似三角形是解题的关键． 三、解答题：本大题共9小题，共86分．解答应写出必要的文字说明、证明过程、正确作图或演算步骤． 17. 解方程：． 【答案】， 【解析】 【分析】用配方法解一元二次方程即可． 【详解】解： ， ， 解得：，． 18. 计算： 【答案】1 【解析】 【分析】先计算特殊角的正弦、余弦、正切值，再计算二次根式的乘法与加减法即可得． 【详解】解：原式． 19. 如图，四边形是平行四边形，是延长线上的一点，连接交于点．求证：． 【答案】 证明：∵四边形是平行四边形 ∴， ∴ 在和中 ∵， ∴． 【解析】 【分析】先利用平行四边形的性质得出，再利用有两组对应角相等的三角形相似，即可得证． 【详解】略 【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质和相似三角形的判定，熟练掌握平行四边形的性质和相似三角形的判定定理是解决本题的关键． 20. 已知关于的一元二次方程有两个实数根． （1）求实数的取值范围； （2）若，是该方程的两个根，且满足，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用一元二次方程根的判别式列不等式求解即可； （2）利用一元二次方程根与系数的关系得到，，继而得到，解方程即可． 【小问1详解】 解：关于的一元二次方程有两个实数根， ， ； 【小问2详解】 解：，是方程的两个根， ， ， ， 整理得， 解得或， 由（1）得， ． 21. 如图，已知：在正方形ABCD中，M是BC边的中点，连接AM． （1）请用尺规作图法，在AM上求作一点P，使得△DPA∽△ABM；（不写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）的条件下，若AB＝4，求DP的长． 【答案】（1） 如图，△APD即为所求． （2） 【解析】 【分析】（1）由点P在AM上，△DPA∽△ABM，即得出，即过点D作AM的垂线即可； （2）根据正方形的性质和勾股定理结合题意可求出，再根据相似三角形的性质可得出，代入数据即可求出PD的长． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ∵四边形ABCD是正方形， ∴∠B＝90°，AB＝BC＝AD＝4， ∵BM＝MC＝2， ∴． ∵△DPA∽△ABM， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查作图—做垂线，正方形的性质，勾股定理，相似三角形的性质．利用数形结合的思想是解题关键． 22. 社区利用一块长方形空地修建了一个小型停车场，其布局如图所示．已知，阴影部分设计为停车位，要铺花砖，其余部分均为宽度为的道路．已知铺花砖的面积为． （1）求道路的宽是多少？ （2）该停车场共有车位20个，据调查分析，当每个车位的月租金为120元时，可全部租出．若每个车位的月租金每上涨5元，就会少租出1个车位．求当每个车位的月租金上涨多少元时，停车场的月租金收入为2340元． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由题意知，道路的宽为米，根据矩形的面积公式列出方程并解答即可； （2）设车位的月租金上涨元，则租出的车位数量是个，根据：月租金每个车位的月租金车位数，列出方程并解答即可． 【小问1详解】 解：设道路的宽为， 由题意得：， 解得：或（舍去） 答：道路的宽为2米． 【小问2详解】 解：设当每个车位的月租金上涨元时，停车场的月租金收入为2340元， 根据题意得， 解得：或（舍去） 答：当每个车位的月租金上涨元时，停车场的月租金收入为2340元． 23. 木兰灯塔是亚洲最高、世界第二高的航标灯塔，位于海南岛的最北端，是海南岛东北部最重要的航标．某天，一艘渔船自西向东（沿方向）以每小时10海里的速度在琼州海峡航行，如图所示． 航行记录 记录一：上午8时，渔船到达木兰灯塔P北偏西方向上的A处． 记录二：上午8时30分，渔船到达木兰灯塔P北偏西方向上的B处． 记录三：根据气象观测，当天凌晨4时到上午9时，受天文大潮和天气影响，琼州海峡C点周围5海里内，会出现异常海况，点C位于木兰灯塔P北偏东方向． 请你根据以上信息解决下列问题： （1）填空：________，________， ________海里； （2）若该渔船不改变航线与速度，是否会进入“海况异常”区，请计算说明． （参考数据：） 【答案】（1）30；75；5 （2）该渔船不改变航线与速度，会进入“海况异常”区 【解析】 【分析】本题主要考查了方位角的计算，解直角三角形的实际应用，三角形内角和定理： （1）根据方位角的描述和三角形内角和定理可求出两个角的度数，根据路程等于速度乘以时间可以计算出对应线段的长度； （2）设海里，先解得到，再解得到海里，海里，据此可得，解得海里；证明，则海里；再求出上午9时时船与C点的距离即可得到结论． 【小问1详解】 解：如图所示，过点P作于D， 由题意得， ， ∴； ∵一艘渔船自西向东（沿方向）以每小时10海里的速度在琼州海峡航行，上午8时从A出发到上午8时30分到达B， ∴海里． 【小问2详解】 解：设海里， 在中，海里， 在中，海里，海里， ∵， ∴， 解得， ∴海里， ∵， ∴， ∴海里； 上午9时时，船距离A的距离为海里， ∵， ∴该渔船不改变航线与速度，会进入“海况异常”区． 24. 学习完一元二次方程的知识后，数学兴趣小组对关于x的一元二次方程展开探究． （1）当时，该方程的正根称为“黄金数”，求“黄金数”； （2）若实数a，b满足，，且，求的值； （3）若两个不相等的实数p，q满足，，求证：． 【答案】（1） （2） （3） 证明：∵①，②, ∴，得， ∴ ∵， ∴， ∴③，④， 将④代入①，得， ∴， ∴ ， 将③代入②，得， ∴， ∴， ∴p，q是一元二次方程的两个根， ∴． 【解析】 【分析】（1）将代入，得，解方程求出正根即可. （2）将变形为，结合，得出a，是一元二次方程的两个根，再根据一元二次方程根与系数关系即可解答. （3）根据①，②，得出，结合得出③，④，将④代入①，得,将③代入②，得，得出p，q是一元二次方程的两个根，即可求得． 【小问1详解】 解：将代入， 得， 解得， ∴“黄金数”为； 【小问2详解】 解：∵，， ∴， 即， ∵， ∴， ∴a，是一元二次方程的两个根， ∴， ∴． 【小问3详解】 略 25. 绕点逆时针旋转得到，连接，已知． （1）如图1，直接写出的值：___________； （2）如图2，取的中点，连接并延长，在旋转过程中，点在的延长线上时，延长交于点，求的长； （3）如图3，在旋转过程中，连接，当时，求线段的长． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）证明，再根据相似三角形的性质即可求解； （2）延长交于点，连接交于，可证，进而可知是矩形，根据等腰三角形的性质可知，根据勾股定理构造方程可知的长，即可求解； （3）过点作于，过点作于，可知是矩形，进而可证，根据相似三角形的性质以及勾股定理构造方程可求得，根据相似三角形的性质即可求解． 【小问1详解】 解：由旋转可知，，， ∴， ∵ 又， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：延长交于点，连接交于， 由（1）得， ∴， ∵是中线，， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴是平行四边形， ， ∴是矩形， ∴，， ∵， ∴， 设， ∵，， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 由勾股定理可知：， 则， 解得：， ∴； 【小问3详解】 解：过点作于，过点作于， ∴， ∴是矩形， ∴， 设， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 则， ∴， 在中，， ∴， 解得：或（舍去）， ∵， ∴， 则， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 南门学校26-27学年上学期阶段学情诊断数学学科 （满分150分；考试时间：120分钟） 友情提示：本试卷分为“试题”和“答题卡”两部分，答题时，请按答题卡中的“注意事项”认真作答，答案写在答题卡上的相应位置． 一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 的值是（ ） A. 1 B. C. D. 2. 在中，，则的值为（ ） A. B. C. D. 3. 若是方程的一个解，则n的值为（ ） A. 4 B. C. 5 D. 4. 已知与相似，且相似比为，则与的周长比为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在平面直角坐标系中，以点为位似中心，在第四象限内将按相似比缩小，得到，若点的对应点为，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 6. 如果关于x的一元二次方程无实数根，那么a的值可以为（ ） A. 10 B. 9 C. 8 D. 7 7. 如图，点P是的边上一点，连结，以下条件中，不能判定的是（ ） A. B. C. D. 8. 俗语有云：“一天不练手脚慢，两天不练丢一半，三天不练门外汉，四天不练瞪眼看．”其意思是知识和技艺在学习后，如果不及时复习，那么学习过的东西就会被遗忘，若每天“遗忘”的百分比是一样的，设百分比为x，根据“两天不练丢一半”，可列方程为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，有一块三角形余料ABC，BC=120mm，高线AD=90mm，要把它加工成一个矩形零件，使矩形的一边在BC上，点P、M分别在AB，AC上，若满足PM：PQ=2：1，则PQ的长为（　　） A. 36mm B. 40mm C. 50mm D. 120mm 10. 如图，菱形的边长为，，过点作，交的延长线于点，连接分别交于点，则的长为（　　） A. B. C. D. 二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分． 11. 如图，，，，，则的长度是______． 12. 用配方法解方程时，若将方程变形为，则_____ ． 13. 在中，，若，则的值为_______． 14. 在的正方形网格中，A，B，C，D均为格点，交网格线于点E，则的值是______． 15. 在中，．点在边上（点不与点重合），连结，作，与边交于点．当时，则___________ 16. 如图，在中，，点在边上，，点在的延长线上，连接，若，则的长为_____． 三、解答题：本大题共9小题，共86分．解答应写出必要的文字说明、证明过程、正确作图或演算步骤． 17. 解方程：． 18. 计算： 19. 如图，四边形是平行四边形，是延长线上的一点，连接交于点．求证：． 20. 已知关于的一元二次方程有两个实数根． （1）求实数的取值范围； （2）若，是该方程的两个根，且满足，求的值． 21. 如图，已知：在正方形ABCD中，M是BC边的中点，连接AM． （1）请用尺规作图法，在AM上求作一点P，使得△DPA∽△ABM；（不写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）的条件下，若AB＝4，求DP的长． 22. 社区利用一块长方形空地修建了一个小型停车场，其布局如图所示．已知，阴影部分设计为停车位，要铺花砖，其余部分均为宽度为的道路．已知铺花砖的面积为． （1）求道路的宽是多少？ （2）该停车场共有车位20个，据调查分析，当每个车位的月租金为120元时，可全部租出．若每个车位的月租金每上涨5元，就会少租出1个车位．求当每个车位的月租金上涨多少元时，停车场的月租金收入为2340元． 23. 木兰灯塔是亚洲最高、世界第二高的航标灯塔，位于海南岛的最北端，是海南岛东北部最重要的航标．某天，一艘渔船自西向东（沿方向）以每小时10海里的速度在琼州海峡航行，如图所示． 航行记录 记录一：上午8时，渔船到达木兰灯塔P北偏西方向上的A处． 记录二：上午8时30分，渔船到达木兰灯塔P北偏西方向上的B处． 记录三：根据气象观测，当天凌晨4时到上午9时，受天文大潮和天气影响，琼州海峡C点周围5海里内，会出现异常海况，点C位于木兰灯塔P北偏东方向． 请你根据以上信息解决下列问题： （1）填空：________，________， ________海里； （2）若该渔船不改变航线与速度，是否会进入“海况异常”区，请计算说明． （参考数据：） 24. 学习完一元二次方程的知识后，数学兴趣小组对关于x的一元二次方程展开探究． （1）当时，该方程的正根称为“黄金数”，求“黄金数”； （2）若实数a，b满足，，且，求的值； （3）若两个不相等的实数p，q满足，，求证：． 25. 绕点逆时针旋转得到，连接，已知． （1）如图1，直接写出的值：___________； （2）如图2，取的中点，连接并延长，在旋转过程中，点在的延长线上时，延长交于点，求的长； （3）如图3，在旋转过程中，连接，当时，求线段的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $