3.2确定圆的条件（同步练习） 2026-2027学年苏科版九年级数学上册

苏科版九年级数学上 3.2确定圆的条件（同步练习） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．平面内已知点P，以P为圆心，为半径作圆，这样的圆可以作（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．无数个 2．已知的圆心在坐标原点，半径，下列各点在圆外的是（     ） A． B． C． D． 3．在中，，，，那么的外接圆半径为（     ） A．5 B．3 C．2 D． 4．下列说法①平分弦的直径，平分这条弦所对的弧；②在等圆中，如果弧相等，那么它们所对的弦也相等；③等弧所对的圆心角相等；④过三点可以画一个圆；⑤三角形的外心到三角形三边的距离相等．正确的个数有（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 5．如图，大和小分别是等边的外接圆和内切圆，笑笑随意向水平放置的大内部区域抛一个飞镖，则飞镖落在阴影区域的概率为（   ） A． B． C． D． 6．如图，图中外接圆的圆心坐标是（     ） A． B． C． D． 7．如图，由边长相同的小正方形组成的网格，点都在小正方形的顶点上，则点是的（   ） A．内心 B．外心 C．重心 D．无法确定 8．如图，点O是的外心，，，垂足分别为D、E，点M、N分别是、的中点，连接，若，则的长是（   ） A．9 B．4 C．7 D．8 9．已知在正方形网格中的位置如图所示，点A，B，C，P均在格点上，有下列结论：①点P在的平分线上；②直线可以把分成面积相等的两部分；③；④点P是的外心；⑤点P是的重心．其中正确的有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 10．如图，以点O为圆心，4为半径作扇形，已知，点E在上，且，垂直平分，动点P在线段上运动（不与点D重合），设的外心为I． 结论Ⅰ：四边形为矩形； 结论Ⅱ：的最小值为2． 对于结论Ⅰ和Ⅱ，下列判断正确的是（     ） A．Ⅰ和Ⅱ都对 B．Ⅰ和Ⅱ都不对 C．Ⅰ不对Ⅱ对 D．Ⅰ对Ⅱ不对 二、填空题 11．是以为斜边的直角三角形，其外接圆半径，则斜边的长度为___________． 12．在中，的重心与外心的距离是__________． 13．在 中，，，，、 分别为 的内心和外心，则__________． 14．已知直角三角形模具的两条直角边为和，若用一个圆形纸片完全盖住这个直角三角形，则这个圆形纸片的最小直径为___________． 15．下列有关圆的一些结论：①任意三点可以确定一个圆；②相等的圆心角所对的弧相等；③圆内接四边形对角互补；④平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧；⑤三角形的外心到三角形三个顶点的距离都相等．正确的有________________．（填序号） 16．如图，顶点都在网格格点上，则外接圆的圆心坐标为______． 17．如图，在平面直角坐标系中，点，，，则的外接圆的半径为_____________． 18．如图，等腰内接于，，，在内任意取一个点，则该点落在等腰内（包括边界）的概率为_______． 19．如图，在平面直角坐标系中，点，的坐标分别是、、是的外接圆，则的半径为_____． 20．如图，在每个小正方形的边长均为1的网格中，经过格点，，． （1）的度数是______； （2）请用无刻度的直尺在图中画出圆心，并简要说明是如何找到的（不要求证明）______ 三、解答题 21．已知直角三角形的两条直角边的长分别为和，求这个直角三角形的外接圆半径． 22．如图，在四点A，B，C，D中，任意三点都不在同一条直线上．作过A，B，C三点的圆，并判断这个圆是否过点D． 23．如图，在单位长度为1的正方形网格中建立一直角坐标系，一条圆弧经过网格点A、B、C，请在网格图中进行下列操作（以下结果保留根号）： (1)利用网格确定该圆弧所在圆的圆心D点的位置，并写出D点的坐标为______； (2)连接，的半径为______，的度数为______． 24．如图，在中，，是的内切圆，切点分别是、、． (1)连接、，则______． (2)若，，求的半径． (3)在（2）的条件下，的外心和内心的距离等于______． 25．我们知道：三角形的三条边的垂直平分线相交于一点，这个交点叫做三角形的外心．对于三角形的外心，课本第138页有如下一个关于角度的问题： 5．如图，在中，，边、的垂直平分线相交于点P，连接、．求的度数． 对于类似的问题会不会有一般性的结论呢？ (1)如图1，在锐角三角形中， ①请用直尺和圆规作出的外心O（保留作图痕迹）； ②在所作图中连接、，如果设，那么 （用含的式子表示）； (2)如图2，在钝角三角形中，，点O是的外心，连接、，如果设，那么 （用含的式子表示）； (3)如果三角形的外心恰好落在这个三角形的一条边上，那么这个三角形的最大角的度数是 度； (4)通过以上问题的解决，对于三角形的外心的位置你能得到怎样的结论？请写出得到的结论． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 《苏科版九年级数学上 3.2确定圆的条件（同步练习）》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A D D B C B B D C A 1．A 【分析】根据圆的概念求解． 【详解】解：∵圆心P为定点，半径为是定长， ∴满足条件的圆有1个． 2．D 【详解】A、到圆心的距离为，等于半径，点在圆上，故A选项不符合题意； B、到圆心的距离为，，点在圆内，故B选项不符合题意； C、到圆心的距离为，等于半径，点在圆上，故C选项不符合题意； D、到圆心的距离为，，点在圆外，故D选项符合题意． 3．D 【分析】先根据勾股定理逆定理判断是直角三角形，再利用直角三角形外接圆半径等于斜边一半计算即可． 【详解】解：∵，且， ∴， ∴，则是直角三角形， ∵直角三角形的外接圆直径等于斜边长， ∴的外接圆半径为． 4．B 【分析】根据垂径定理的推论，圆心角，弧，弦之间的关系，圆的确定，三角形的外心的性质逐个判断即可． 【详解】解：当被平分的这条弦是直径时，平分弦的直径，不平分这条弦所对的弧，故①不正确； 在等圆中，如果弧相等，那么它们所对的弦也相等，故②正确； 等弧对应的圆心角相等，故③正确； 过不在同一直线上的三点可以画一个圆，故④不正确； 三角形的外心到三角形的三个顶点的距离相等，故⑤不正确； 故正确的有②③，共2个， 5．C 【分析】记与小相切于点，与小相切于点，连接，，，根据等边三角形的性质可知，，根据含角的直角三角形的性质可知，设，则，根据圆的面积公式求出阴影圆与大的面积比即为飞镖落在阴影区域的概率． 【详解】解：如下图所示，记与小相切于点，与小相切于点，连接，，， 为等边三角形， ， ，， ， 设，则， 飞镖落在阴影区域的概率为． 6．B 【分析】三角形外接圆圆心是三边垂直平分线的交点，先根据、坐标确定边的垂直平分线，再利用圆心到顶点距离相等列方程求解． 【详解】解：由图可知，， ， 线段的中点坐标为，且垂直于轴 线段的垂直平分线为直线 外接圆圆心的纵坐标为， 设圆心坐标为 圆心到点、的距离相等 整理得 解得 外接圆的圆心坐标是． 7．B 【分析】本题考查了三角形的外心，勾股定理与网格，连接，由网格可得，然后根据三角形的外心的定义即可判断，熟练掌握三角形的外心的定义是解题的关键． 【详解】解：如图，连接， 由网格可得， ∴点是的外心， 故选：． 8．D 【分析】连接，由题意易得是的中位线，是的中位线，然后问题可求解． 【详解】解：连接，如图所示： ∵点O是的外心，，， ∴点D、E分别是的中点， ∴是的中位线， ∴， ∵点M、N分别是、的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴． 9．C 【分析】本题考查了勾股定理，等腰三角形的判定与性质，三角形的重心、外心的定义等知识． 结合网格线特点、以及三角形的重心的定义即可判断⑤，进而可判断②；利用勾股定理求出、的长，进而得出其数量关系，得出的形状特点，结合⑤以及“三线合一”的性质可判断①③；利用勾股定理求出，再利用网格线可知、的长即可判定④． 【详解】解：如图： 结合网格线的特点可知：在中，点P既在边的中线上，又在边的中线上， 即：点P是中、边上的中线的交点， ∴点P是的重心，故⑤正确； ∴点P也在边的中线上， ∵点P在的边的中线上， 又∵三角形的中线可将三角形分成面积相等的两个部分， ∴直线可以把分成面积相等的两部分，故②正确； 根据勾股定理有：，，即， ∴是等腰三角形， ∵在等腰三角形中，底边上的中线和顶角的角平分线， 又∵点P也在底边的中线上， ∴点P在的平分线上，故①正确； ∵是等腰三角形，， ∴，故③正确； 连接，如图， 根据勾股定理有：， ∵， ∴点P到的三个顶点的距离不相等， ∴点P不是的外心，故④错误； 即正确的结论有4个． 10．A 【分析】Ⅰ：连接，，证明，求出，证明，则四边形是平行四边形，即可证明四边形为矩形；Ⅱ：先判断最短时，的位置，过作于H，过作于，利用三角形的中位线的性质与勾股定理求解即可． 【详解】解：连接，，则， ∵垂直平分， ∴，， ∴， ∴， ∵垂直平分，， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵ ∴四边形为矩形； 故结论Ⅰ正确； 如图，为直角三角形， ∴的外心是的中点， 当P，C重合时，最短， 过作于H，过作于， 垂直平分 四边形为矩形， ． 即的最小值为2． 故Ⅱ正确． 11． 【分析】直角三角形的外接圆中，斜边是外接圆的直径，即斜边长度等于外接圆半径的2倍．先根据直角三角形外接圆的性质确定斜边与外接圆直径的关系，再结合已知半径计算斜边长度． 【详解】解：∵是以为斜边的直角三角形， ∴斜边是其外接圆的直径， ∴． 12．/ 【分析】先由勾股定理求出，再确定重心与外心的位置，然后根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半以及重心的性质求解． 【详解】∵在中，， ∴， 如图，的外心为的中点，记为点D，三角形的重心G在线段上， ∵，， ∴， ∴， 即的重心与外心的距离是． 【点睛】重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为． 13． 【分析】本题考查了三角形的内心与外心性质，三角形的面积公式，全等三角形的性质与判定，正方形的判定与性质，勾股定理，连接，过点作于点，作于点，作于点，根据勾股定理求得，根据三角形的外心性质求得，由三角形的内心性质得，再根据三角形的面积公式，由的边长求得，进而证明四边形为正方形，求得，再证明得，进而求得，最后由勾股定理求得． 【详解】解：连接，过点作于点，作于点，作于点， ∵，，， ∴， ∵为的外心， ∴， ∵为的内心， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴四边形为正方形， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 14．10 【分析】本题考查了三角形的外接圆的定义和勾股定理．圆形纸片完全盖住直角三角形时，最小直径应等于直角三角形的斜边长，据此进行求解即可． 【详解】解：直角三角形模具的两条直角边为和， 由勾股定理得，斜边长为． ∵直角三角形的外接圆直径等于斜边长， ∴圆形纸片的最小直径为． 故答案为：10． 15．③⑤ 【分析】逐一验证每个结论，注意圆相关定理的前提限制条件，即可得到正确结果． 【详解】解：①只有不共线的三点才能确定一个圆，共线三点无法确定一个圆，故①错误； ②只有在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧才相等，缺少前提条件，故②错误； ③圆内接四边形对角互补，符合圆的性质，故③正确； ④只有当被平分的弦不是直径时，平分弦的直径才垂直于弦，且平分弦所对的弧，若被平分的弦是直径，结论不成立，缺少前提条件，故④错误； ⑤三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点，到三角形三个顶点的距离都相等，符合外心的性质，故⑤正确； 综上，正确的结论是③⑤． 16． 【分析】根据网格结构，作出边、的垂直平分线，交点P即为所求的外接圆的圆心，然后写出点P的坐标即可． 【详解】解：∵三角形的外接圆圆心为三角形三条边的垂直平分线的交点， 作出边、的垂直平分线，如图所示，点P即为外接圆的圆心，坐标为． 17． 【分析】根据点、的坐标特征确定线段的垂直平分线，设出圆心坐标，利用圆心到点、的距离相等建立方程求出圆心纵坐标，最后利用两点间距离公式计算半径即可． 【详解】解：点，的纵坐标相同， 线段平行于轴，且中点横坐标为， 线段的垂直平分线为直线， 的外接圆圆心在线段的垂直平分线上， 设外接圆圆心坐标为， 点到点、的距离相等，且， ， ， ， ， ， ， ， 外接圆圆心坐标为， 外接圆半径． 18． 【分析】连接并延长交于点，连接，根据点落在阴影区域的概率就是等腰三角形的面积与圆的面积之比，即可求解． 【详解】解：如图，连接并延长交于点，连接， ∵等腰内接于，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， 解得：， ∴面积为， ∴该点落在等腰内（包括边界）的概率为． 19． 【分析】本题考查三角形的外心，正方形的性质，一次函数解析式，熟练掌握三角形外心的概念是解题的关键．过点作于，作于，连接，作的垂直平分线，垂足为，交于，则，即点的横坐标为1，再证四边形为正方形，则垂直平分，则点是的外心，求出直线的解析式为，把代入求得，即可求解． 【详解】解：如图，过点作于，作于，连接，作的垂直平分线，垂足为，交于，连接． ∴四边形为正方形， ∴垂直平分， 又∵垂直平分， ∴和的交点即为的外心M， ， ， 设直线的解析式为， 则，解得， ∴直线的解析式为， 当时，， ∴， ∴的半径为， 故答案为：． 20． 解：如图所示： 为直径，故圆心必在上，再做的中垂线，其与交点便为圆心 【分析】本题考查了作图，勾股定理，掌握相关知识是解题的关键． （1）连接，可求出、、的长度，可得其恰好符合勾股定理，得出的度数； （2）因为点，，是圆上三点，故作的外心（即边长中垂线的交点）即可确定圆心； 【详解】解：（1）连接，如下图： 可得，，， ∵，故为直角三角形， ∴， 故答案为：． （2）略 21．这个直角三角形的外接圆半径为 【分析】先由勾股定理求出直角三角形的斜边长，再根据直角三角形的外接圆直径等于斜边长即可求出答案． 【详解】解：∵直角三角形的两条直角边的长分别为和， ∴这个直角三角形的斜边长为， ∵直角三角形的外接圆直径等于斜边长， ∴这个直角三角形的外接圆半径为． 22．如图，即为所求， 不经过点D 【分析】分别连接，、，分别作、的垂直平分线，交于点O，分别连接，再以点O为圆心，为半径作，由图形可以判断不过点D． 【详解】解：由作图可知，，故经过A，B，C三点， 由图形可知，到圆心的距离不等于半径， ∴不经过点D． 23．(1)； (2)； 【分析】（1）分别作线段和线段的垂直平分线，二者的交点即为圆心D点的位置； （2）连接，利用两点间的距离公式求出的长即可得到答案． 【详解】（1）略 （2）解：如图所示，连接， 由（1）和题意得， ∴，， ， ∴的半径为； ∵， ∴， ∴是直角三角形，即． 24．(1) (2) (3) 【分析】（1） 内心是三角形三条角平分线的交点，故平分，平分．在中，，因此，再由三角形内角和定理得． （2）设半径为r，由切线长定理得，，．于是三边可表示为，，．利用勾股定理建立关于的方程，即可求得答案． （3）由（2）知，，．直角三角形的外心位于斜边中点，设斜边的中点为，则到切点的距离为，而且，在中利用勾股定理可求得外心与内心的距离． 【详解】（1）解：是的内切圆， 平分，平分， 在中，， ， ， ． （2）解：设半径为r，连接、， 是的内切圆，切点分别为、、， 由切线长定理得：，，， ，，， 四边形是正方形，， ，， ， 在中，由勾股定理得： ， 解得： 或 （舍去负值）， 的半径． （3）解：由（2）知，，， 设斜边的中点为，则是的外心， 分别连接， ，， ， ， 是内切圆半径，， ， 在中，由勾股定理得： ， 的外心和内心的距离为． 25．(1)解：①如图，外心即为所求； ② (2) (3) (4)解：锐角三角形的外心在三角形的内部，直角三角形的外心是斜边的中点，钝角三角形的外心在三角形的外部. 【分析】（1）①分别作的垂直平分线，交点即为所求；②利用线段的垂直平分线的性质结合等腰三角形的性质与三角形的内角和定理解答即可； （2）连接，结合外心的性质，等腰三角形的性质与三角形的内角和定理解答即可； （3）先画图，再结合外心与等腰三角形的性质，三角形的内角和定理解答即可； （4）根据（1）（2）（3）进行归纳总结即可. 【详解】（1）解：①略 ②如图，连接， ∵为线段的垂直平分线的交点， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴. （2）解：如图，连接， ∵点O是的外心， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴. （3）解：如图，为三角形的外心， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴的最大角为. （4）略 答案第1页（共2页） 答案第1页（共2页） 学科网（北京）股份有限公司 $