第一章集合与常用逻辑用语单元卷-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

2026-2027高一数学人教A版必修一第一章课后易错题强化训练 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．下列“若p，则q”形式的命题中，q是p的必要条件的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若为无理数，则为无理数 D．若四边形的对角线互相垂直，则这个四边形是菱形 2．在平面直角坐标系中，集合，集合，则下列关系正确的是（    ） A． B． C． D． 3．若全集，集合及其关系用韦恩图表示如图，则图中阴影表示为（    ） A． B． C． D． 4．给出下列条件与， ①：四边形是正方形，：四边形的对角线互相垂直且平分； ②：两个三角形相似，：两个三角形三边成比例； ③：，：，； ④：是一元二次方程的一个根，：（），其中是的充要条件的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 5．下列说法正确的是（   ） A．“三角形是等腰三角形”是“三角形是正三角形”的充分不必要条件 B．“方程有实数根”是“”的充要条件 C．“”是“”的必要不充分条件 D．“”是“”的既不充分也不必要条件 6．已知全集，，则下列选项正确的为（    ） A． B．的子集的个数为1024个 C． D．的非空真子集的个数为6个 7．下列命题的否定是假命题的是（    ） A．能被3整除的整数是奇数;存在一个能被3整除的整数不是奇数 B．每一个四边形的四个顶点共圆;存在一个四边形的四个顶点不共圆 C．有的三角形为正三角形;所有的三角形都不是正三角形 D．;，都有 8．下列命题是全称量词命题且是假命题的是(　　) A．每一个末位是0的整数都是5的倍数 B．有些菱形是正方形 C．对任意实数a，a的平方是正数 D．存在一个整数，使是4的倍数 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．设集合，则下列说法不正确的是（    ） A．若有4个元素，则 B．若，则有4个元素 C．若，则 D．若，则 10．下列说法正确的是（    ） A．设，则“”是“”的必要不充分条件 B．“对任意一个无理数x，也是无理数”是真命题 C．“每个水分子都由两个氢原子和一个氧原子构成”是全称量词命题 D．“所有能被3整除的整数都是奇数”的否定是“存在一个能被3整除的整数不是奇数” 11．下列命题是真命题的是（    ） A．每个二次函数的图象都是轴对称图形 B．存在一个四边形，它的四个顶点不在同一个圆上 C．，是无理数 D．至少有一个整数，使得为奇数 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知集合，，则______． 13．下列命题中，是全称量词命题的有______，是存在量词命题的有______，是真命题的有______．（填序号） ①正方形是菱形； ②有两个角是45°的三角形是等腰直角三角形； ③有的实数是无限不循环小数； ④有些正整数是偶数； ⑤能被6整除的数也能被3整除； ⑥存在，． 14．学校举办运动会时，高一（1）班共有28名同学参加比赛，有15人参加游泳比赛，有8人参加田径比赛，有14人参加球类比赛，同时参加游泳比赛和田径比赛的有3人，同时参加游泳比赛和球类比赛的有3人，没有人同时参加三项比赛，只参加游泳一项比赛的有________人，只参加田径一项比赛的有多少________人. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15．判断下列各组中两个集合之间的关系： (1)与是的正因数； (2)与． 16．设P表示平面内的动点，属于下列集合的点组成什么图形？ (1)(A,B是两个不同定点)； (2)(O是定点) 17．请解决下列问题： （1）设，若，求的值； （2）已知集合，若，求实数a的取值范围. 18．已知集合，，，实数集为全集． (1)求，； (2)若是的必要条件，求的取值范围． 19．（1）设集合，，求，； （2）已知，，求实数的值使得． 试卷第2页（共3页） 试卷第3页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 《高中数学人教A版必修一第一章课后易错题强化训练》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A B C B D D C C ABD ACD 题号 11 答案 AB 题号 12 13 14 答案 或 ①②⑤；③④⑥；①②③④⑤ 9；2 1．A 【分析】根据充分条件的定义依次判断每个选项即可. 【详解】对选项A：若则，故是的必要条件，故A正确； 对选项B：若，时，不能得到，故B错误； 对选项C：取，满足为无理数，为有理数，故C错误； 对选项D：四边形的对角线互相垂直，则这个四边形不一定是菱形，故D错误； 故选：A 2．B 【分析】先求出集合中方程组的解集，然后根据集合之间的关系进行判断即可. 【详解】因为集合，集合， 因为是元素与集合之间的关系，而均为点集，所以A错误； 因为集合包含，所以B正确，C,D错误. 故选：B. 3．C 【分析】图中阴影表示的集合的元素属于集合B，但是不属于集合A，即可得出． 【详解】图中阴影表示的集合的元素属于集合B，但是不属于集合A，即为. 故选：C 4．B 【分析】根据所给命题，判断出能否得到，从而得到p是否是q的充要条件，得到答案. 【详解】①p：四边形是正方形，q：四边形的对角线互相垂直且平分，因为对角线互相垂直且平分的四边形不一定是正方形，也可能为菱形，所以，所以p不是q的充要条件. ②p：两个三角形相似，q：两个三角形三边成比例，因为“若p，则q”是相似三角形的性质定理，“若q，则p”是相似三角形的判定定理，所以它们均为真命题，即，所以p是q的充要条件. ③，，，因为时，，不一定成立，也可能，，所以，所以p不是q的充要条件. ④是一元二次方程的一个根，，因为“若p，则q”与“若q，则p”均为真命题，即，所以p是q的充要条件. 所以②④中，p是q的充要条件. 故选:B. 5．D 【分析】根据充分条件、必要条件的判断方法逐一判定即可. 【详解】对于A，易知“三角形是等腰三角形”是“三角形是正三角形”的必要不充分条件，即选项A错误； 对于B，当时，满足“”，但方程没有实数根，即选项B不正确； 对于C，若，则，所以选项C错误； 对于D，若，有，但不满足；若，则，但不满足，即选项D正确. 故选：D. 6．D 【分析】由集合的运算确定集合,再由子集定义判断BD. 【详解】， 又，，所以， ， 的子集个数为， 的子集有8个，非空真子集有6个， 只有D正确． 故选：D． 7．C 【分析】根据全称命题与存在性命题的关系，准确改写，再结合全称命题和存在性命题的真假判定方法，逐项判定，即可求解. 【详解】对于A中，命题能被3整除的整数是奇数，则存在一个能被3整除的整数不是奇数， 例如：实数不是奇数，但能被整除，所以是真命题； 对于B中，命题每一个四边形的四个顶点共圆，则存在一个四边形的四个顶点不共圆，其中命题为假命题，所以是真命题； 对于C中，命题有的三角形为正三角形，则所有的三角形都不是正三角形，其中命题为真命题，所以是假命题； 对于D中，命题，则，都有， 由不等式，所以命题为假命题，所以是真命题. 故选：C. 【点睛】对于全称命题和存在性命题的改写与真假判定的策略： 1、全称命题与存在性命题的否定改写： （1）改写量词：确定命题所含有的量词的类型，省去量词的要结合命题的含义加上量词，再对量词进行改写； （2）否定结论：对原命题的结论进行否定. 2.全称命题与存在性命题的真假判断方法： 命题名称 真假 判断方法一 全称命题 真 所有对象是命题为真 否定为假 假 存在一个对象使命题为假 否定为真 存在性命题 真 存在一个对象使命题为真 否定为假 假 所有对象使命题为假 否定为真 8．C 【分析】根据全称量词命题的定义以及命题真假性的定义即可求解. 【详解】对于选项B、选项D，因为它们含有存在量词，是存在量词命题，故应排除； 对于选项A，每一个末位是0的整数都是5的倍数是真命题，也应排除； 对于选项C，对任意实数a，a的平方是正数为全称量词命题，当时，不是正数， 所以此命题为假命题，所以C符合题意. 故选：C. 9．ABD 【分析】化简集合，分类求出集合，再逐项分析判断作答. 【详解】依题意，，当时，，当时，， 若有4个元素，则有且且，，A错误； 若，必有或，则，C正确，只有3个元素，B错误； 若，则或或，当时，，D错误. 故选：ABD 10．ACD 【分析】对于A，由题意结合充分、必要条件定义可判断选项正误；对于B，通过举例可判断选项正误；由题意结合全称量词命题定义可判断选项正误；对于D，由含全称量词命题的否定概念可判断选项正误. 【详解】A：当“但”时，可得“”；当“”时，可得“且”，故A正确； B：是无理数，是有理数，故B错误； C：“每个水分子都由两个氢原子和一个氧原子构成”是全称量词命题，故C正确； D：“所有能被3整除的整数都是奇数”的否定为“存在一个能被3整除的整数不是奇数”，故D正确． 故选：ACD 11．AB 【分析】由二次函数的性质即可判断A，由圆的内接四边形即可判断B，取，代入计算，即可判断C，由两个连续整数的乘积为偶数即可判断D. 【详解】由二次函数的性质可知，每个二次函数的图象都是轴对称图形，故A正确； 对角互补的四边形四个顶点在同一圆上，但不是所有的四边形满足对角互补，故B正确； 当时，是无理数，但是是有理数，故C错误； ，其中为整数，所以和是两个连续的整数， 则两个连续的整数的乘积必为偶数，故D错误； 故选：AB 12．或 【分析】根据补集和并集的定义即可求解. 【详解】由，可得或，或， 故或， 故答案为：或 13． ①②⑤ ③④⑥ ①②③④⑤ 【分析】根据全称量词命题，存在量词命题的概念即得. 【详解】根据全称量词命题，存在量词命题的概念可知， ①正方形是菱形，是全称量词命题，为真命题； ②有两个角是45°的三角形是等腰直角三角形，是全称量词命题，为真命题； ③有的实数是无限不循环小数，是存在量词命题，为真命题； ④有些正整数是偶数，是存在量词命题，为真命题； ⑤能被6整除的数也能被3整除，是全称量词命题，为真命题； ⑥存在，，是存在量词命题，为假命题； 所以是全称量词命题的有①②⑤，是存在量词命题的有③④⑥，是真命题的有①②③④⑤. 故答案为：①②⑤；③④⑥；①②③④⑤. 14． 9 2 【分析】结合韦恩图，利用容斥原理列式求解. 【详解】如图所示： 设U={参加比赛的学生}，A={参加游泳比赛的学生}，B={参加田径比赛的学生}，C={参加球类比赛的学生}， 依题意，，， ， 由容斥原理得，解得， 所以只参加游泳比赛的人数为， 只参加田径比赛的人数. 故答案为：9；2 15．(1)是的正因数 (2) 【分析】（1）根据正因数的定义，结合子集的定义进行判断即可； （2）根据集合元素属性特征进行判断即可. 【详解】（1）因为是的正因数， 所以是的正因数 （2）因为， 所以集合表示的整数倍数， 因为， 所以集合表示的偶数倍数， 因此. 16．(1)线段AB的垂直平分线；(2)以点O为圆心,3cm长为半径的圆. 【解析】(1)指平面内到距离相等的点的集合； (2)指平面内到定点的距离为的点的集合． 【详解】(1) 指平面内到距离相等的点的集合，这样的点在线段的垂直平分线上，即集合的点组成的图形是线段的垂直平分线； (2) 指平面内到定点的距离为的点的集合，这样的点在以为圆心，以为半径的圆上，即集合的点组成的图形是以点为圆心,长为半径的圆． 【点睛】本题考查描述法表示集合，是基础题． 17．（1） （2） 【分析】（1）直接根据集合相等得到答案. （2）根据集合的包含关系得到得到答案. 【详解】（1）由于，所以，且，. （2），且， 如图所示.    【点睛】本题考查了根据集合相等和集合的包含关系求参数，意在考查学生的理解能力. 18．(1)，或 (2) 【分析】（1）根据集合的运算法则计算可得； （2）依题意可得，分和两种情况讨论，分别计算可得. 【详解】（1）因为，， 所以，或， 所以或. （2）因为是的必要条件，所以， 当，即时，满足题意； 当，即时，则，解得， 综上可得. 19．（1）①若，则，；           ②若，则，；           ③若，则，；           ④若且且，则，；    （2）． 【分析】（1）结合方程的根分，，和且且，四种情况，求出交集和并集； （2）根据题目条件得到，求出实数的值，根据集合中元素的互异性排除不合题意的值. 【详解】（1）①若，则，；           ②若，则，；           ③若，则，；           ④若且且，则，；  （2）由题意， ， 根据集合中元素的互异性得，，且．          中当时，舍去； 当时，解得：或（舍去）； 综上所述，． 答案第2页（共7页） 答案第1页（共7页） 学科网（北京）股份有限公司 $