精品解析：江西九江市永修县第一中学2026-2027学年高一上学期第一次月考数学试题

高一第一次月考数学试卷 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分、在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知全集，集合或，，那么阴影部分表示的集合为（ ） A. B. 或 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据集合的补集以及交集的定义即可求解. 【详解】由图可知，阴影部分的元素为属于但不属于的元素构成， 所以集合表示为. 故选：A. 2. 设，则下列命题正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】D 【解析】 【分析】 利用特殊值排除判断ABC，由不等式的性质判断D即可. 【详解】当时，不成立，故A错误； 当时，不成立，故B错误； 当时，不成立，故C错误； ，由不等式性质知，故D正确. 故选：D 3. 下列命题为真命题的是（ ） A. ，当时， B. 集合与集合是相同的集合 C. 若，则 D. 所有的素数都是奇数 【答案】C 【解析】 【分析】通过举反例判断AD；根据集合的表示方法即可判断B；根据不等式的性质即可判断C． 【详解】对于A，当时，，故A错误； 对于B，，，所以，故B错误； 对于C，若，则，故C正确； 对于D，2是素数，但2是偶数，故D错误； 故选：C． 4. 已知，则以下错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由不等式的性质结合特殊值排除法逐项分析即可. 【详解】因为，所以， 对于A，，,, 综上可得，故A正确； 对于B，，故B正确； 对于C，，故C正确； 对于D，当时，，故D错误； 故选：D. 5. 命题 使得 成立，若是假命题，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由是假命题，则命题的否定为真命题，写出命题的否定，利用分离参数的方法求解即可． 【详解】命题，使得成立，若是假命题， 则命题的否定为：，成立，为真命题． 所以在上恒成立， 由，当且仅当时取得等号， 所以 . 故选：A 6. 设正数满足，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设，，则，，代入所求式子，利用基本不等式中1的妙用求最小值． 【详解】∵正数满足， ∴，且，则，， 设，，则，，，， ∴ ， 当且仅当，即时，等号成立， 则的最小值为． 故选：B． 7. 记不等式､解集分别为、，中有且只有两个正整数解，则a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】求出集合，由分析知，求出集合，进而得出中有且只有两个正整数解的等价条件，列不等式组即可求解. 【详解】由可得：或，所以或， 因为中有且只有两个正整数解，所以， 对于方程，判别式， 所以方程的两根分别为：，， 所以， 若中有且只有两个正整数解， 则即，可得， 所以， 当时，解得，此时，不符合题意， 综上所述：a的取值范围为， 故选：B. 8. 设集合是关于的不等式的解集，且，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题意可得，当时，关于的不等式恒成立，即 恒成立，即 恒成立，由此可得实数的取值范围． 【详解】由集合是关于的不等式的解集，且， 则当时，不等式恒成立，   即在上恒成立， ，即，，   在上恒成立， ，， 所以实数的取值范围是．   故选：B. 二、多选题（本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 已知，集合，则的值可以是（ ） A. B. C. 0 D. 1 【答案】BCD 【解析】 【分析】由已知求得集合A，且得出，分m=0时，B=∅；m≠0时，B={}， 或=2，解之可得出选项. 【详解】因为 又，所以， ∴当m=0时，B=∅，成立； 当m≠0时，B={}， ∵，∴或=2．解得m=1或m=， 综上，实数m的取值集合为{1，，0}． 故选：BCD． 【点睛】易错点点睛：本题考查实数的取值范围的求法，容易漏考虑的情况. 10. 已知关于x的不等式a≤x2－3x＋4≤b，下列结论正确的是（ ） A. 当a＜b＜1时，不等式a≤x2－3x＋4≤b的解集为∅ B. 当a＝1，b＝4时，不等式a≤x2－3x＋4≤b的解集为{x|0≤x≤4} C. 当a＝2时，不等式a≤x2－3x＋4≤b的解集可以为{x|c≤x≤d}的形式 D. 不等式a≤x2－3x＋4≤b的解集恰好为{x|a≤x≤b}，那么b＝ 【答案】AB 【解析】 【分析】A.由x2－3x＋4≤b得3x2－12x＋16－4b≤0，根据b＜1，利用判别式判断；B. 令a＝1，b＝4，利用一元二次不等式的解法判断；C.在同一平面直角坐标系中作出函数y＝x2－3x＋4＝(x－2)2＋1的图象及直线y＝a和y＝b判断；D．根据a≤x2－3x＋4≤b的解集为{x|a≤x≤b}，则a≤ymin，x＝a，x＝b时函数值都是b．然后分别由b2－3b＋4＝b，a2－3a＋4＝b求解判断． 【详解】由x2－3x＋4≤b得3x2－12x＋16－4b≤0，又b＜1，所以Δ＝48(b－1)＜0．所以不等式a≤x2－3x＋4≤b的解集为∅，故A正确； 当a＝1时，不等式a≤x2－3x＋4为x2－4x＋4≥0，解集为R，当b＝4时，不等式x2－3x＋4≤b为x2－4x≤0，解集为{x|0≤x≤4}，故B正确； 在同一平面直角坐标系中作出函数y＝x2－3x＋4＝(x－2)2＋1的图象及直线y＝a和y＝b，如图所示． 由图知，当a＝2时，不等式a≤x2－3x＋4≤b的解集为{x|xA≤x≤xC}∪{x|xD≤x≤xB}的形式，故C错误； 由a≤x2－3x＋4≤b的解集为{x|a≤x≤b}，知a≤ymin，即a≤1，因此当x＝a，x＝b时函数值都是b．由当x＝b时函数值是b，得b2－3b＋4＝b，解得b＝或b＝4．当b＝时，由a2－3a＋4＝b＝，解得a＝或a＝，不满足a≤1，不符合题意，故D错误． 故选：AB 【点睛】本题主要考查一元二次不等式与二次函数，二次方程的关系及应用，属于中档题. 11. 已知正数满足，则下列结论正确的有（ ） A. 的最小值为 B. 的最大值为2 C. 的最小值为 D. 的最小值为6 【答案】CD 【解析】 【分析】由条件等式得且，再代入、中，利用二次函数性质求最值判断A、C，应用基本不等式求最值判断B，应用“1”的代换及基本不等式求最值判断D. 【详解】A：由，可得，则， 当且仅当时取等号，故的最大值为，错， B：由，则， 当且仅当，即时取等号，故的最大值为，错， C：由A知，且， 当且仅当时取等号，故的最小值为，对， D：由， 当且仅当，即时取等号，故的最小值为6，对. 故选：CD 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 设，集合，则______ 【答案】0 【解析】 【分析】根据可知，故. 【详解】由可知， 又，故. 故答案为：0 13. 不等式的解集为__________. 【答案】 【解析】 【分析】把分式不等式转化为一元二次不等式计算得到解集； 【详解】因为， 等价于，即，解得 所以不等式的解集为 故答案为： 14. 记为a，b两数的最大值，当正数x，变化时，的最小值为__________. 【答案】 【解析】 【分析】利用基本不等式求得，根据，可得，，由此可求得，即得解t的范围. 【详解】为正数，且， ， 当且仅当，即时取等号， ， ，， ， 当且仅当，即时取等号， 故答案为: 四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 已知全集，集合，. （1）若，求实数的取值范围； （2）若，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）求出，根据对是否为空集分情况讨论即可； （2）求出，根据并集定义求解即可. 【小问1详解】 由，得，，故， 因为，所以， ①当时，，解得； ②当时，有，无解； 所以实数的取值范围为. 【小问2详解】 由题意，， 若，则， 所以实数的取值范围为； 16. 设集合，. （1）若“”是“”的必要不充分条件，求实数的取值范围； （2）若命题“，”为真命题，求实数的取值范围. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）根据必要不充分条件得出集合间的包含关系，分集合为空集和非空集合两种情况讨论，即可求解； （2）根据存在性命题为真命题得出集合交集非空，同样结合集合非空进行分析即可. 【小问1详解】 因为“”是“”的必要不充分条件，所以， 当时，则，解得， 当时，则或，解得， 综上所述，实数的取值范围为. 【小问2详解】 因为命题“，”为真命题，所以， 所以，解得， 所以实数的取值范围为. 17. 数字经济是以数据资源为关键要素，以现代信息网络为主要载体，通过信息通信技术的融合应用推动全要素数字化转型的新经济形态，在技术层面，包括大数据、云计算、物联网、区块链、人工智能、5G通信等新兴技术；在应用层面，包括“新零售”、“新制造”、工业互联网、元宇宙、无人驾驶等.现有一人工智能企业生产制造人形机器人，每月的成本t（单位：万元）由两部分构成：①固定成本：1000万元；②材料成本：万元，x为每月生产人形机器人的个数. （1）该企业每月的产量为多少时，平均每个人形机器人的成本最低，最低为多少万元？ （2）若每个人形机器人的售价为万元，假设生产出来的每个人形机器人都能够售出，则该企业应如何制订生产计划，才能确保每月的利润不低于400万元？附：利润＝售价×销量－成本. 【答案】（1）100个，30万元 （2）每月生产不小于70个人形机器人 【解析】 【分析】（1）根据题意，可得平均每个人形机器人的成本，再利用基本不等式求解即可； （2）由题意可知月利润，解一元二次不等式可得结果. 【小问1详解】 设平均每个人形机器人的成本为万元， 根据题意有， 当且仅当，即时取等号. 所以该企业每月的产量为100个时，平均每个人形机器人的成本最低，最低为30万元. 【小问2详解】 设月利润为万元， 则有， 由题知，整理得，解得. 故该企业每月生产不小于70个人形机器人，才能确保每月的利润不低于400万元. 18. 已知函数. （1）若不等式对一切实数恒成立，求实数的取值范围， （2）设，解关于的不等式. 【答案】（1） （2） 当时，不等式的解集为； 当时，不等式无解； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为. 【解析】 【分析】（1）根据一元二次不等式恒成立问题建立不等式组，解之即可求解； （2）将原不等式转化为，根据含参的一元二次不等式的解法计算即可求解. 【小问1详解】 对于一切实数恒成立等价于对于一切实数恒成立. ①当时，不等式可化为，符合题意； ②当时，则，即，整理得. 解得，综上可得， 故对一切实数恒成立时，实数的取值范围是； 【小问2详解】 不等式，等价于不等式， 当时，不等式可化为，解得； 当时，不等式可化为 即 ①当时，，不等式可化为，无解； ②当时，，不等式的解集为； ③当时，，不等式的解集为. 综上，当时，不等式的解集为； 当时，不等式无解； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为. 19. 已知集合，对于A的子集S若存在不大于的正整数，使得对于S中的任意一对元素，都有，则称具有性质. （1）当时，判断集合和是否具有性质P？并说明理由； （2）若时， ①如果集合S具有性质P，那么集合是否一定具有性质P？并说明理由； ②如果集合S具有性质P，求集合S中元素个数的最大值. 【答案】（1）集合不具有性质，集合具有性质，理由如下： 当时，， 不具有性质， 因为对于集合中任意不大于的正整数，都可以找到该集合中两个元素，使得成立， 具有性质. 取，对于该集合中任意一对元素，，都有， 所以集合不具有性质，集合具有性质. （2）①集合具有性质，理由如下： 若时，则， 如果集合S具有性质P，那么集合一定具有性质， 因为，任取，其中， 因为，则，从而，即，所以， 由集合S具有性质，知存在不大于的正整数，使得对于中的任意一对元素都有， 在集合中任取一对元素，， 其中，则由， 所以集合一定具有性质. ②，证明如下： 设集合有个元素，由①知：若集合S具有性质P，那么集合一定具有性质， 任给，，则和中必有一个不超过， 因此集合和集合中必有一个集合中至少存在一半的元素不超过， 不妨设中有个元素不超过，由集合S具有性质P， 知存在正整数，使得对于中的任意一对元素都有， 于是一定有，又， 即，则集合中至少有个元素不在集合中， 因此，所以，解得：， 当时，取， 对于集合中任意两个元素都有，即集合S具有性质P，而此时集合中有个元素， 因此集合S中元素个数的最大值是. 【解析】 【分析】（1）当时，，由题中所给新定义直接判断即可. （2）若时，则，①根据，任取，其中，可得，利用性质的定义加以验证即可证明；②设集合有个元素，由①知： 任给，，则和中必有一个不超过，所以集合和集合中必有一个集合中至少存在一半的元素不超过，然后利用性质的定义进行分析可得，即解不等式即可求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ①略 ②略 【点睛】关键点睛：本题解题的关键点是理解一个具有性质的含义，以及集合之间包含关系的判断，要求有较强的抽象思维能力，以及对数的分析. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高一第一次月考数学试卷 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分、在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知全集，集合或，，那么阴影部分表示的集合为（ ） A. B. 或 C. D. 2. 设，则下列命题正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 3. 下列命题为真命题的是（ ） A. ，当时， B. 集合与集合是相同的集合 C. 若，则 D. 所有的素数都是奇数 4. 已知，则以下错误的是（ ） A. B. C. D. 5. 命题 使得 成立，若是假命题，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 设正数满足，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 7. 记不等式､解集分别为、，中有且只有两个正整数解，则a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 设集合是关于的不等式的解集，且，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多选题（本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 已知，集合，则的值可以是（ ） A. B. C. 0 D. 1 10. 已知关于x的不等式a≤x2－3x＋4≤b，下列结论正确的是（ ） A. 当a＜b＜1时，不等式a≤x2－3x＋4≤b的解集为∅ B. 当a＝1，b＝4时，不等式a≤x2－3x＋4≤b的解集为{x|0≤x≤4} C. 当a＝2时，不等式a≤x2－3x＋4≤b的解集可以为{x|c≤x≤d}的形式 D. 不等式a≤x2－3x＋4≤b的解集恰好为{x|a≤x≤b}，那么b＝ 11. 已知正数满足，则下列结论正确的有（ ） A. 的最小值为 B. 的最大值为2 C. 的最小值为 D. 的最小值为6 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 设，集合，则______ 13. 不等式的解集为__________. 14. 记为a，b两数的最大值，当正数x，变化时，的最小值为__________. 四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 已知全集，集合，. （1）若，求实数的取值范围； （2）若，求实数的取值范围. 16. 设集合，. （1）若“”是“”的必要不充分条件，求实数的取值范围； （2）若命题“，”为真命题，求实数的取值范围. 17. 数字经济是以数据资源为关键要素，以现代信息网络为主要载体，通过信息通信技术的融合应用推动全要素数字化转型的新经济形态，在技术层面，包括大数据、云计算、物联网、区块链、人工智能、5G通信等新兴技术；在应用层面，包括“新零售”、“新制造”、工业互联网、元宇宙、无人驾驶等.现有一人工智能企业生产制造人形机器人，每月的成本t（单位：万元）由两部分构成：①固定成本：1000万元；②材料成本：万元，x为每月生产人形机器人的个数. （1）该企业每月的产量为多少时，平均每个人形机器人的成本最低，最低为多少万元？ （2）若每个人形机器人的售价为万元，假设生产出来的每个人形机器人都能够售出，则该企业应如何制订生产计划，才能确保每月的利润不低于400万元？附：利润＝售价×销量－成本. 18. 已知函数. （1）若不等式对一切实数恒成立，求实数的取值范围， （2）设，解关于的不等式. 19. 已知集合，对于A的子集S若存在不大于的正整数，使得对于S中的任意一对元素，都有，则称具有性质. （1）当时，判断集合和是否具有性质P？并说明理由； （2）若时， ①如果集合S具有性质P，那么集合是否一定具有性质P？并说明理由； ②如果集合S具有性质P，求集合S中元素个数的最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $