精品解析：江西省九江第一中学2026-2027学年高一上学期第一次月考数学试题

高一数学 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本卷上无效． 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 设全集，集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知命题，，则该命题的否定为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 3. 设，且，则是的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 已知，则有（ ） A. 最大值 B. 最大值 C. 最小值 D. 最小值 5. 已知集合，，若，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 7. 设，，则三个数（ ） A. 都小于4 B. 至少有一个不大于4 C. 都大于4 D. 至少有一个不小于4 8. 已知关于的方程有两个不相等的实数根，，则的最大值为（ ） A. B. 2 C. D. 二．多选题：共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中有多项符合题目要求，全部选对得全部分，部分选对得部分分，有选错的得0分． 9. 下列命题为真命题的是（ ） A. 若，，则 B. “”是“”的必要不充分条件 C. 若，，则 D. 若集合，则“”是“”的必要条件 10. 已知，则下列不等式成立的是（ ） A. B. C. D. 11. 若集合具有以下性质：（1），；（2）若，，则；（3）若，且，则.则称集合是“完美集”.下列说法正确的是（ ） A. 集合是“完美集” B. “完美集”一定是无限集 C. 实数集R是“完美集” D. 若集合S是“完美集”，且，，则 三．填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知集合，，若，则______． 13. 若“，”为真命题，则实数的取值范围为______． 14. 已知实数，满足，则的最小值为______． 四．解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知全集，集合，集合． （1）当时，求，； （2）若，求实数的取值范围． 16. （1）已知实数，满足，，求的取值范围； （2）已知正实数，满足，求的最小值． 17. 设命题，恒成立；命题． （1）若为假命题，求实数的取值范围； （2）若为真时取值记为集合，中取值记为集合，若“”是“”的必要不充分条件，求实数的取值范围 18. 教材中的基本不等式可以推广到阶：个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.也即：若，则有，当且仅当时取等.利用此结论解决下列问题： （1）若，求的最小值； （2）若，求的最大值，并求取得最大值时的的值； （3）对任意，判断与的大小关系并加以严格证明. 19. 设A是正整数集的一个非空子集，如果对于任意，都有或，则称A为自邻集．记集合的所有子集中的自邻集的个数为． （1）直接写出的所有自邻集； （2）若n为偶数且，求证：的所有含5个元素的子集中，自邻集的个数是偶数； （3）若，求证：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高一数学 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本卷上无效． 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 设全集，集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由集合的运算求得答案. 【详解】， 所以或. 2. 已知命题，，则该命题的否定为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】B 【解析】 【详解】全称命题的否定改成存在量词命题，且否定结论， 所以该命题的否定为，. 3. 设，且，则是的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定条件，结合充分条件、必要条件的定义判断作答． 【详解】若且，则，所以可以推出， 若，取，则，，所以不一定推出， 所以是的必要不充分条件． 4. 已知，则有（ ） A. 最大值 B. 最大值 C. 最小值 D. 最小值 【答案】B 【解析】 【详解】因为，所以， 所以， 由基本不等式得， 当且仅当，即（舍去正值）时等号成立， 所以，即有最大值. 5. 已知集合，，若，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】讨论集合是否为空集，列出不等式，求得实数的取值范围. 【详解】当时，，解得， 当时，则，解得， 所以. 6. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】，， 故或， 由，得或. 7. 设，，则三个数（ ） A. 都小于4 B. 至少有一个不大于4 C. 都大于4 D. 至少有一个不小于4 【答案】D 【解析】 【分析】由题意知利用反证法推出矛盾，即可得正确答案． 【详解】假设三个数且且，相加得： ，由基本不等式得： ；；； 相加得：，与假设矛盾； 所以假设不成立， 三个数、、至少有一个不小于4． 故选． 【点睛】本题考查反证法和基本不等式的应用，属于简单题． 8. 已知关于的方程有两个不相等的实数根，，则的最大值为（ ） A. B. 2 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】通过求解判别式确定方程有两个不相等的实数根的条件，再通过韦达定理求出两根的关系式，再将关系式代入目标表达式中化简，通过基本不等式化简求解即可. 【详解】由题设，得， 且，， ， 又因为，所以，则， 所以， 当且仅当时，即时取等号，所以， 即的最大值为. 故选：C. 二．多选题：共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中有多项符合题目要求，全部选对得全部分，部分选对得部分分，有选错的得0分． 9. 下列命题为真命题的是（ ） A. 若，，则 B. “”是“”的必要不充分条件 C. 若，，则 D. 若集合，则“”是“”的必要条件 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据基本不等式的性质、不等式的性质、充分条件必要条件的定义逐项判断即可. 【详解】对于A，若，，则根据基本不等式的性质可得， 当且仅当，即时等号成立，A正确； 对于B，当时，中至少有一个为0，当时，不成立， 当时，且，所以， 所以“”是“”的必要不充分条件，B正确； 对于C，因为，所以根据基本不等式的性质可得， ，当且仅当时等号成立；，当且仅当时等号成立； 所以，当且仅当时等号成立，所以C正确； 对于D，由于集合，则，而不能推出， 所以“”是“”的充分不必要条件，D错误. 10. 已知，则下列不等式成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AD 【解析】 【分析】利用不等式的性质即可判断AC，利用作差法即可判断B，利用基本不等式即可判断D. 【详解】对于A：由得，又，所以，故A正确； 对于B：，又， 所以，所以， 所以，所以，故B错误； 对于C：由，所以，故C错误； 对于D：， 由，所以，所以， 当，即时，等号成立， 所以，故D正确. 11. 若集合具有以下性质：（1），；（2）若，，则；（3）若，且，则.则称集合是“完美集”.下列说法正确的是（ ） A. 集合是“完美集” B. “完美集”一定是无限集 C. 实数集R是“完美集” D. 若集合S是“完美集”，且，，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】A选项，举出反例可得A错误；B选项，推出“完美集”中含有所有的整数，由于整数集Z为无限集，故“完美集”为无限集，B正确；C选项，实数集R满足三个性质，C正确；D选项，先得到，又，则，D正确. 【详解】A选项，取，则，集合不是“完美集”，A错误； B选项，集合是“完美集”，因为，，则， 则，……，依次可得中含有所有的整数， 由于整数集Z为无限集，故“完美集”为无限集，B正确； C选项，实数集R满足（1），；（2）若，，则； （3）若，且，则，故实数集R是“完美集”，C正确； D选项，若集合S是“完美集”， ，则，， 又，则，D正确. 故选：BCD 三．填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知集合，，若，则______． 【答案】 【解析】 【详解】由题意得，集合，，， 有意义，， 两个集合都含有元素，故剩余两组元素对应相等，分两种情况讨论： ， 由，得， 代入， ， 此时，，集合元素互异，符合条件， ， 由得，代入， ， 整理得， 若，则，，此时， 出现重复元素，违背集合元素互异性，舍去， 综上，，故. 13. 若“，”为真命题，则实数的取值范围为______． 【答案】 【解析】 【分析】先转化恒成立条件，然后求二次函数的区间最大值，进而确定范围. 【详解】已知“，”为真命题，即该不等式对所有恒成立， 将不等式化简得，即，即需大于等于函数在区间上的最大值. 由于，根据抛物线的性质可知，当时，函数取得最大值为. 要使在上恒成立，只需，所以实数的取值范围为. 14. 已知实数，满足，则的最小值为______． 【答案】 【解析】 【分析】题干等式可化为，根据再结合重要不等式即可求解. 【详解】，则， 即， 又， （当且仅当，即或等号成立）， 则的最小值为． 四．解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知全集，集合，集合． （1）当时，求，； （2）若，求实数的取值范围． 【答案】（1），； （2）或. 【解析】 【小问1详解】 当时，，， 则，； 【小问2详解】 若，则，得，符合； 若，则或，得或， 综上，实数的取值范围为或. 16. （1）已知实数，满足，，求的取值范围； （2）已知正实数，满足，求的最小值． 【答案】（1）；（2）． 【解析】 【分析】（1）采用待定系数法，把表示成与的线性组合，再利用不等式同向可加性求取值范围； （2）先对条件式变形，再用基本不等式求最小值，最后检验等号成立条件． 【详解】（1）设，展开得， 列方程组，解得，所以． 由，得； 由，得． 两式相加：， 解得，所以的取值范围是． （2）已知，，两边同除以得：． ． 由基本不等式，， 当且仅当，且时取等号． 所以，最小值为． 17. 设命题，恒成立；命题． （1）若为假命题，求实数的取值范围； （2）若为真时取值记为集合，中取值记为集合，若“”是“”的必要不充分条件，求实数的取值范围 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 先求当时，的最小值， ， ，由基本不等式： ， 当且仅当，即取等号， ，即， 命题：恒成立， 即， ， 即命题为真时集合， 若命题为假，则， ， 解得：或， 的取值范围, 【小问2详解】 必要不充分条件： ， 集合， 分两种情况：和, ①： ， 题目条件，故此情况无解， ②，即，满足题干条件， 由 ，得： 解得， 故的取值范围为. 18. 教材中的基本不等式可以推广到阶：个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.也即：若，则有，当且仅当时取等.利用此结论解决下列问题： （1）若，求的最小值； （2）若，求的最大值，并求取得最大值时的的值； （3）对任意，判断与的大小关系并加以严格证明. 【答案】（1） （2）最大值为， （3）大小关系为，， 证明如下： 由条件可知：时，， 当时，左边，右边，左边右边，不等式成立； 当，时，由阶基本不等式，可知： 不等式左边 而，因此上式的不等号取不到等号， 于是， 综上，原不等式得证. 【解析】 【分析】（1）根据三阶基本不等式的内容直接可得解； （2）由，结合四阶基本不等式可得最值； （3）猜测，成立，验证不等式成立；结合推广公式证明结论成立. 【小问1详解】 因为，所以由三阶基本不等式可得：， 当且仅当即时取等号， 因此的最小值为； 【小问2详解】 当时，由四阶基本不等式可得： ， 当且仅当即时取等号， 因此的最大值为； 【小问3详解】 略 19. 设A是正整数集的一个非空子集，如果对于任意，都有或，则称A为自邻集．记集合的所有子集中的自邻集的个数为． （1）直接写出的所有自邻集； （2）若n为偶数且，求证：的所有含5个元素的子集中，自邻集的个数是偶数； （3）若，求证：． 【答案】（1） （2）对于的含5个元素的自邻集， 不妨设. 因为对于，都有或，，2，3，4，5， 所以，，或. 对于集合，，，，， 因为，所以，，2，3，4，5， ， 所以. 因为，，或. 所以，， 或， 所以对于任意或，，2，3，4，5， 所以集合也是自邻集.因为当为偶数时，， 所以. 所以对于集合的含5个元素的自邻集， 在上述对应方法下会存在一个不同的含有5个元素的自邻集与其对应. 所以的所有含5个元素的子集中，自邻集的个数是偶数. （3）记自邻集中最大元素为的自邻集的个数为，， 当时，，， 显然. 下面证明：. ①自邻集含有，，这三个元素，记去掉这个自邻集中的元素后的集合为， 因为，，所以仍是自邻集，且集合中的最大元素是， 所以含有，，这三个元素的自邻集的个数为. ②自邻集含有，这两个元素，不含，且不只有，这两个元素， 记自邻集除，之外最大元素为，则， 每个自邻集去掉，这两个元素后，仍为自邻集.此时的自邻集的最大元素为， 可将此时的自邻集分为个； 其中含有最大数为2的集合个数为，含有最大数为3的集合个数为，， 含有最大数为的集合个数为. 则这样的集合共有个. ③自邻集只含有，这两个元素，这样的自邻集只有1个. 综上可得， 所以，故时，得证. 【解析】 【分析】（1）根据自邻集的定义及子集的概念一一写出结果即可； （2）取的一个含5个元素的自邻集，判定 集合，再证明C也是自邻集且，从而得出结论； （3）记自邻集中最大元素为的自邻集的个数为，，则当时有，再分类讨论证明即可. 【小问1详解】 由题意可得，的所有自邻集有：； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 【点睛】思路点睛：关于新定义题的思路有： （1）找出新定义有几个要素，找出要素分别代表什么意思； （2）由已知条件，看所求的是什么问题，进行分析，转换成数学语言； （3）将已知条件代入新定义的要素中； （4）结合数学知识进行解答. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $