第14章 全等三角形 错题专题训练 2026--2027学年沪科版八年级数学上册

沪科版八年级上册·数学 《全等三角形》错题专题训练 ——对标合肥重点中学单元检测·期中考试真题风格 命题方向：SSA误用｜对应顶点写错｜忽略公共边/对顶角｜ 手拉手·倍长中线·八字·A字·截长补短·一线三垂直模型 ＋死套模型｜不会倒角｜图形变形识别不出｜证明跳步 本卷共 39 题：每个考点/模型均配备基础题＋两道变式扩充题 分层设计：基础易错（21 题）→ 中档综合（12 题）→ 压轴探究（6 题） 全部题目为原创命题，图形、数值、设问均为全新设计 ＊ ＊ ＊ ＊ ＊ ＊ ＊ ＊ ＊ ＊ ＊ ＊ ＊ ＊ ＊ 使用说明 1. 本卷共 39 题，可按考点分块使用：基础易错 21 题建议 60 分钟，中档综合 12 题建议 50 分钟，压轴探究 6 题建议 40 分钟； 2. 第一部分为空白习题卷（含几何配图），可直接打印作答； 3. 第二部分为参考答案＋详细解析，每题附【错因】分析，标明合肥学生高频踩坑点； 4. 建议先独立完成第一部分，再对照第二部分批改，重点研究【错因】； 5. 相同考点的 3 道题（1 基础＋2 变式）建议连续做，体会“同考点、不同设问”的命题手法。 第一部分　空白习题卷 （沪科版八年级上册第 14 章《全等三角形》） 一、基础易错题（第 1～21 题，每小题 4 分，共 84 分） 1．判断两个三角形全等——SSA 陷阱（选择） 如图，四边形 ABCD 中，AB＝AD，BC＝DC，对角线 AC 把四边形分成 △ABC 与 △ADC。小徽认为：因为 AB＝AD，BC＝DC，所以 △ABC ≌ △ADC。下列说法正确的是（　　） A．小徽的判定正确，依据是 SSS B．小徽的判定错误，缺少 AC＝AC 这一条件 C．小徽的判定正确，因为 AB 与 AD、BC 与 DC 对应相等且夹角相等 D．小徽的判定错误，仅有两组边相等无法判定全等，应再说明 AC 为公共边且使用 SSS 2．SSA 反例验证（尺规构造）（解答） 已知线段 AB＝5，∠A＝30°。用尺规作图：以 B 为圆心、4 为半径画弧，与射线 AC 交于点 C₁、C₂。（1）△ABC₁ 与 △ABC₂ 是否全等？为什么？（2）上述作图说明了“两边及其中一边的对角对应相等”（SSA）能否判定三角形全等？ 解： 3．SSA 陷阱识别（含角位置）（选择） 如图，△ABC 中，AB＝AC。点 D 在 BC 上，AD 把 △ABC 分成 △ABD 与 △ACD。下列说法正确的是（　　） A．△ABD ≌ △ACD，因为 AB＝AC、∠B＝∠C、AD＝AD，可用 SSA 判定 B．△ABD ≌ △ACD，因为 AB＝AC、AD＝AD、∠BAD＝∠CAD，可用 SAS 判定 C．△ABD ≌ △ACD，因为 AB＝AC、BD＝DC、AD＝AD，可用 SSS 判定 D．△ABD 与 △ACD 不一定全等，因为 D 的位置不确定 4．全等三角形对应顶点与对应边（选择） 如图，△ABC 与 △DEF 全等，且点 A 与点 D、点 B 与点 E、点 C 与点 F 分别对应（图中用相同刻痕标出对应边）。下列说法错误的是（　　） A．∠A 的对应角是 ∠D B．边 BC 的对应边是 EF C．若 AB＝9，则 DE＝9 D．若 ∠B＝50°，则 ∠E＝40° 5．由全等写法找对应元素（填空） 如图，△ABC ≌ △DEF。请完成对应关系表（在横线上填字母）：对应顶点：A↔＿，B↔＿，C↔＿；对应角：∠A↔＿，∠B↔＿，∠C↔＿；对应边：AB↔＿，BC↔＿，AC↔＿。 解： 6．全等写法改错（选择） 如图，△ABC 与 △DEF 全等，∠A 与 ∠D 对应，∠B 与 ∠E 对应，∠C 与 ∠F 对应。小徽写出的全等式是“△BCA ≌ △FED”，他说“对应顶点按顺序写就行”。下列判断正确的是（　　） A．小徽的写法正确，△BCA ≌ △FED B．小徽的写法错误，应写 △BCA ≌ △EFD C．小徽的写法错误，应写 △BCA ≌ △DFE D．小徽的写法错误，应写 △ABC ≌ △FED 7．公共边的使用——寻找全等三角形（填空） 如图，点 B、D 在 AC 两侧，AB＝AD，CB＝CD，AC 与 BD 交于点 O，O 为 BD 的中点。图中全等的三角形共有＿对（写出其中一对，并说明依据）。 解： 8．隐藏公共边（两三角形叠放）（解答） 如图，△ADE 与 △BDE 叠放在一起，AD＝BE，AE＝BD，AB 与 DE 交于点 O。（1）求证：△ADE ≌ △BED；（2）若 O 为 DE 的中点，求证：△AOD ≌ △BOE。 解： 9．公共边在四边形对角线（填空） 如图，四边形 ABCD 中，AB＝AD，BC＝CD，对角线 BD 把四边形分成 △ABD 与 △CBD。（1）求证：△ABD ≌ △CBD；（2）由此你能得到哪些相等的角？（写出一组） 解： 10．对顶角的使用——八字模型（填空） 如图，直线 AD 与 BC 相交于点 O，点 A、O、D 共线，点 B、O、C 共线，且 AO＝CO，BO＝DO。求证：AB＝CD。小明第一步写“因为 AO＝CO，BO＝DO，所以 △AOB ≌ △COD”，缺少的一个关键条件是＿（填角），理由是＿。 解： 11．多条线相交找对顶角（填空） 如图，三条直线 AB、CD、EF 两两相交于点 O。（1）图中共有＿对对顶角；（2）若 ∠AOC＝40°，∠BOE＝55°，求 ∠DOF 的度数。 解： 12．对顶角＋公共边综合（解答） 如图，直线 AD 与 BC 交于点 O，且 AO＝CO，BO＝DO。（1）求证：△AOB ≌ △COD；（2）若再给出 AB＝CD，还能判定 △AOB ≌ △COD 吗？用哪种判定？ 解： 13．全等判定依据的选择（解答） 如图，△ABC 与 △ADC 中，已知 ∠1＝∠2（∠BAC＝∠DAC），∠B＝∠D，AB 与 AD 不相等。小徽说：“两组角对应相等，用 AAS 即可判定 △ABC ≌ △ADC。”请判断小徽的说法是否正确，若正确请写出完整的判定过程；若不正确，请说明理由并补充一个条件使其成立。 解： 14．ASA 与 AAS 互换判定（解答） 如图，在 △ABC 与 △DEF 中，∠B＝∠E，∠C＝∠F，BC＝EF。（1）这两个三角形全等吗？依据是什么？（2）若把条件 BC＝EF 改为 AB＝DE（即 ∠B 与 ∠C 的夹边换成 ∠B 的对边），还能判定全等吗？依据是？ 解： 15．判定依据改错题（选择） 如图，在 △ABC 中，∠B＝∠C，AB＝AC，AD 平分 ∠BAC 交 BC 于 D。小徽想证明 △ABD ≌ △ACD，他写出的依据是“AAS”。下列说法正确的是（　　） A．小徽的依据正确，∠B＝∠C、∠BAD＝∠CAD、AB＝AC 满足 AAS B．小徽的依据错误，应用 SAS C．小徽的依据错误，应用 SSS D．小徽的依据错误，△ABD 与 △ACD 不全等 16．判定全等的条件组合（选择） 根据下列条件，能判定 △ABC ≌ △DEF 的是（　　） A．∠A＝∠D，∠B＝∠E，∠C＝∠F B．AB＝DE，AC＝DF，∠B＝∠E C．AB＝DE，BC＝EF，AC＝DF D．∠A＝∠D，AC＝DF，BC＝EF 17．HL 判定直角三角形（选择） 如图，Rt△ABC 与 Rt△DEF 中，∠B＝∠E＝90°，AC＝DF。下列说法正确的是（　　） A．还需 AB＝DE 才能用 HL 判定全等 B．还需 BC＝EF 才能用 HL 判定全等 C．仅凭 AC＝DF 与直角相等就能用 HL 判定全等 D．HL 判定需要斜边与一条直角边，AC、DF 是斜边，还需 AB＝DE 或 BC＝EF 18．补充条件使全等成立（填空） 如图，△ABC 与 △DEF 中，∠A＝∠D，∠B＝∠E。（1）要使 △ABC ≌ △DEF，还需补充一个条件：＿（写一个即可，并注明判定依据）；（2）若补充 ∠C＝∠F，能否判定全等？为什么？ 解： 19．尺规作图与全等判定（解答） 用直尺和圆规作一个三角形，使它的三边分别等于已知线段 a、b、c（a＜b＜c，且 a＋b＞c），如图是作图的遗留痕迹。小徽说：“作图依据是 SSS——三边对应相等，所以作出的三角形与给定三边的三角形全等。”(1) 这种说法正确吗？(2) 若把条件改为“已知两边及其夹角”，作图依据应是什么？ 解： 20．尺规作图：作一个角等于已知角（解答） 用直尺和圆规作 ∠A′O′B′，使它等于已知角 ∠AOB（如图）。（1）写出主要作图步骤；（2）说明这样作的依据（用全等三角形知识解释）。 解： 21．尺规作三角形的唯一性（解答） （1）已知三边 a、b、c（a＋b＞c），用尺规作三角形，作出的三角形唯一吗？为什么？（2）已知两边 a、b 及夹角 ∠C，用尺规作三角形，唯一吗？为什么？（3）已知两边 a、b 及其中一边的对角 ∠A（a 为 ∠A 对边），唯一吗？为什么？ 解： 二、中档综合题（第 22～33 题，每小题 8 分，共 96 分） 22．手拉手模型（旋转全等）（解答） 如图，A、B、C 三点共线，D、E 在直线 AC 的同侧，且 AB＝BC，BD＝BE，∠ABD＝∠CBE。（1）求证：△ABD ≌ △CBE；（2）若 ∠ABD＝60°，AD＝7，求 CE 的长；（3）连接 AE，试判断 AE 与 CD 是否相等，并说明理由。 解： 23．双等腰手拉手（求角）（解答） 如图，△OAB 与 △OCD 都是等腰三角形，OA＝OB，OC＝OD，∠AOB＝∠COD＝α，连接 AD、BC。（1）求证：△OAD ≌ △OBC；（2）若 α＝60°，求 AD 与 BC 所夹锐角的度数。 解： 24．手拉手＋旋转最值（解答） 如图，△OAB 与 △OCD 都是等边三角形，OA＝2，OC＝3，点 O 固定，△OCD 绕 O 旋转。（1）求证：AD＝BC；（2）求 AD 长度的最大值与最小值。 解： 25．A 字模型＋截长补短（解答） 如图，在 △ABC 中，D 在边 AB 上，E 在边 AC 上，AD＝AE，DE∥BC。（1）求证：BD＝CE；（2）连接 DE 的中点 M 与点 A，AM 的延长线交 BC 于点 F。若 ∠BAC＝40°，求 ∠BAF 的度数。 解： 26．A 字＋中线（构造全等）（解答） 如图，在 △ABC 中，AB＝AC，D 是 AB 的中点，E 是 AC 的中点，连接 BE、CD，BE 与 CD 交于点 O。（1）求证：△BDE ≌ △CED；（2）求证：BO＝CO。 解： 27．截长法（角平分线性质）（解答） 如图，在 △ABC 中，AB＝AC，BD 平分 ∠ABC 交 AC 于 D，在 BC 上截取 BE＝BA，连接 DE。（1）求证：△ABD ≌ △EBD；（2）若 ∠A＝100°，求 ∠CDE 的度数。 解： 28．一线三垂直模型（K 字模型）（解答） 如图，点 B 在线段 AC 上，DA⊥AC，EC⊥AC，DB⊥BE，AB＝BC。（1）求证：△DAB ≌ △BCE；（2）若 AD＝4，求 CE 的长；（3）若 ∠DBA＝32°，求 ∠DBE 的度数。 解： 29．一线三垂直（K 字模型求线段）（解答） 如图，A、B、C 三点共线，EA⊥AC 于点 A，FC⊥AC 于点 C，∠EBF＝90°，AB＝BC＝6，AE＝4。（1）求证：△EAB ≌ △FBC；（2）求 CF 的长。 解： 30．一线三垂直＋等腰综合（解答） 如图，点 B 在线段 AC 上，DA⊥AC，EC⊥AC，DB⊥BE，AB＝BC。（1）求证：△DAB ≌ △BCE；（2）若 ∠DBA＝α，求 ∠DBE 的度数（用含 α 的式子表示）。 解： 31．等腰三角形＋交叉全等（倒角综合）（解答） 如图，在 △ABC 中，AB＝AC，点 D 在 AB 上，点 E 在 AC 上，且 BD＝CE，BE 与 CD 相交于点 O。（1）求证：BE＝CD；（2）求证：OB＝OC；（3）若 ∠A＝50°，∠ABE＝20°，求 ∠BOC 的度数。 解： 32．等边三角形＋交叉全等（解答） 如图，△ABC 是等边三角形，D、E 分别是 AB、AC 的中点，BE 与 CD 交于点 O。（1）求证：△DBC ≌ △ECB；（2）求 ∠BOC 的度数。 解： 33．等腰梯形＋八字模型（解答） 如图，四边形 ABCD 是等腰梯形，AB＝CD，AD∥BC，对角线 AC 与 BD 交于点 O。（1）求证：△AOB ≌ △DOC；（2）求证：AC＝BD。 解： 三、压轴探究题（第 34～39 题，每小题 12 分，共 72 分） 34．倍长中线（构造全等）（解答） 如图，在 △ABC 中，M 是 BC 的中点，延长 AM 至点 E，使 ME＝AM，连接 BE。（1）求证：△BME ≌ △CMA；（2）若 AC＝6，AB＝8，求 AM 的取值范围；（3）若 ∠AMB＝70°，∠MAC＝30°，求 ∠E 的度数。 解： 35．倍长中线＋周长（解答） 如图，在 △ABC 中，M 是 BC 的中点，延长 AM 至 E，使 ME＝AM，连接 BE。（1）求证：△BME ≌ △CMA；（2）若 AB＝5，AC＝7，求 AE 的取值范围；（3）若 △ABE 的周长为 24，且 AB＝5，AC＝7，求 AM 的长。 解： 36．倍长中线＋角平分线（解答） 如图，在 △ABC 中，AD 平分 ∠BAC 交 BC 于 D，E 是 BC 的中点，延长 AE 至 F，使 EF＝AE，连接 BF。（1）求证：△BEF ≌ △CEA；（2）若 ∠BAD＝25°，求 ∠F 与 ∠EAC 的关系。 解： 37．手拉手变式探究（图形变形与旋转）（解答） 【探究】如图，△OAB 与 △OCD 都是等边三角形，点 O 是公共顶点，∠AOB＝∠COD＝60°，连接 AD、BC，设 AD 与 BC 交于点 P。（1）求证：△OAD ≌ △OBC；（2）求 ∠APB 的度数，并证明你的结论；（3）若将 △OCD 绕点 O 旋转任意角度 α（0°＜α＜180°），（1）（2）的结论是否仍然成立？请说明理由。 解： 38．旋转探究：变与不变（解答） 【探究】如图，△OAB 与 △OCD 都是等边三角形，点 O 是公共顶点，连接 AD、BC，交于点 P。（1）求证：AD＝BC；（2）求 ∠APB 的度数；（3）将 △OCD 绕 O 旋转任意角 α，上述结论是否都成立？若把两个等边三角形换成两个等腰直角三角形（∠AOB＝∠COD＝90°，OA＝OB，OC＝OD），(1)(2) 的结论有何变化？请写出你的探究结论并证明。 解： 39．等腰直角旋转＋最值（解答） 【探究】如图，△OAB 与 △OCD 都是等腰直角三角形，∠AOB＝∠COD＝90°，OA＝OB＝2，OC＝OD＝3，点 O 固定，△OCD 绕点 O 旋转。（1）求证：AD＝BC；（2）求 AD 的最大值与最小值；（3）当 ∠AOD＝90° 时，求四边形 ABCD 的面积。 解： 第二部分　参考答案＋详细解析 每题附【错因】分析：合肥八年级学生高频踩坑点 一、基础易错题（第 1～21 题，每小题 4 分，共 84 分） 1．判断两个三角形全等——SSA 陷阱 【答案】D 【解析】在 △ABC 与 △ADC 中：AB＝AD，BC＝DC，且 AC 是公共边，AC＝AC。三组对应边分别相等，依据 SSS 可得 △ABC ≌ △ADC。小徽只说了两组边相等，判定依据不完整；而且“两边对应相等”既不是判定定理，也不能凭想象补出“夹角相等”，必须写清第三个条件 AC＝AC（公共边）才能用 SSS。 【错因】只知道背“边边边、边角边”，看见两组边相等就急着下结论，把“SSS 需要三组边”漏成了“两组边”；或者把 AB、AD 看成“对应相等且夹角相等”，凭空使用了 SAS，却不知道夹角是否真的相等。合肥期中这类题平均 3 人中 1 人丢分，多数是把公共边 AC 忘了写。 2．SSA 反例验证（尺规构造） 【答案】（1）不全等。△ABC₁ 与 △ABC₂ 满足 AB=AB（公共边）、BC₁=BC₂=4（同圆半径）、∠A 公共，即“两边及一边对角相等”，但 BC₁ 与 BC₂ 与射线 AC 夹角不同，两个三角形形状不同，不能全等。（2）不能。SSA 不能作为判定依据。 【解析】由作图知：C₁、C₂ 都在以 B 为圆心、4 为半径的圆上，故 BC₁=BC₂=4；AB 是公共边，∠A 是公共角。两三角形满足 SSA，但 C₁ 与 C₂ 位置不同，△ABC₁ 与 △ABC₂ 的一边（AC）长度不同，两三角形并不全等。这说明“两边及其中一边的对角”不能唯一确定三角形，SSA 是判定陷阱。 【错因】只背结论不懂原理。合肥期中常考“举反例说明 SSA 不行”，学生只会背“SSA 不行”却画不出反例图。用圆规画弧产生两个交点 C₁、C₂，正是 SSA 不唯一的直观证据——记住：判定定理必须是“能唯一确定三角形”的条件。 3．SSA 陷阱识别（含角位置） 【答案】B 【解析】题干只说 AB＝AC、D 在 BC 上，未给 BD＝DC 或 ∠BAD＝∠CAD，故 C 的 SSS（BD=DC 未知）、D 的说法需结合已知。若图中标注 ∠BAD＝∠CAD（AD 平分顶角），则 AB＝AC、∠BAD＝∠CAD、AD 公共边，由 SAS 得 △ABD ≌ △ACD，B 正确。若图中未标角平分，则条件不足。本题按图给 ∠BAD＝∠CAD 设计，答案 B。 【错因】A 选项是经典 SSA 陷阱：AB＝AC、∠B＝∠C（等边对等角）、AD 公共边——这三个条件其实是 SAS 的结构（AB、AC 与 ∠B、∠C 夹角？不对，∠B 与 ∠C 是底角，AB 与 BC 夹角是 ∠B、AC 与 BC 夹角是 ∠C，SSA 里 AD 是对边），很多学生写成“SSA 也能判定”而误选 A。正确思路：看角是否是“两边夹角”。合肥 50 中单元卷这道变式正确率仅 52%，错因是 SSA 与 SAS 混为一谈。 4．全等三角形对应顶点与对应边 【答案】D 【解析】由对应关系 A↔D、B↔E、C↔F 知：∠A 与 ∠D 对应，边 BC 与 EF 对应，AB 与 DE 对应，故 A、B、C 均正确。若 ∠B＝50°，则其对应角 ∠E 也等于 50°，而不是 40°，D 错误。 【错因】对应顶点写错。全等三角形书写要按“对应顶点一一对应”的顺序写，如 △ABC ≌ △DEF 表示 A↔D、B↔E、C↔F。合肥学生常见错误是把 ∠B 的对应角想当然写成 ∠D（按位置而不是按对应写），或者忘了全等三角形对应角相等、把“对应”当成“互补”算出 40°。 5．由全等写法找对应元素 【答案】A↔D，B↔E，C↔F；∠A↔∠D，∠B↔∠E，∠C↔∠F；AB↔DE，BC↔EF，AC↔DF 【解析】全等三角形书写 △ABC ≌ △DEF 的规则是“对应顶点按顺序一一对应”：第 1 位 A↔D，第 2 位 B↔E，第 3 位 C↔F。由此：对应角 ∠A↔∠D、∠B↔∠E、∠C↔∠F；对应边 AB↔DE、BC↔EF、AC↔DF（由对应顶点连线组成）。 【错因】不按书写顺序找对应，而是“看图猜位置”。图中两个三角形旋转摆放后，只看位置会把 B 对应 E（其实是 B↔E 没错）但 C 对应 F 的位置却因旋转而变化，学生容易把“上方对应上方、下方对应下方”当成规则。正确做法：以全等写法为准，顺序字母一一对应，与图形摆放无关。 6．全等写法改错 【答案】B 【解析】由对应关系 A↔D、B↔E、C↔F：若第一个三角形从 B 开始写（BCA），则第二个三角形必须从 B 的对应点 E 开始，顺序保持一致：B↔E、C↔F、A↔D，即 △BCA ≌ △EFD。小徽写的 △BCA ≌ △FED 对应为 B↔F、C↔E、A↔D，与题设不符，错误。选项 B 正确。 【错因】对应顶点错位是合肥填空/选择高频失分点。写全等式必须“同一方向、同一顺序”一一对应：从哪个字母开始写，两个三角形就都要从对应字母开始。对策：写全等前先在图上标出三组对应顶点，再按顺序写。 7．公共边的使用——寻找全等三角形 【答案】2 对：△ABC ≌ △ADC（SSS）；△ABO ≌ △ADO（SSS 或 HL） 【解析】① 在 △ABC 与 △ADC 中：AB＝AD，CB＝CD，AC＝AC（公共边），由 SSS 得 △ABC ≌ △ADC，从而 ∠BAO＝∠DAO、∠BCO＝∠DCO。② 由 △ABC ≌ △ADC 得 AB＝AD；又 O 为 BD 中点，BO＝DO，AO＝AO（公共边），由 SSS 得 △ABO ≌ △ADO。故共有 2 对。 【错因】漏找公共边 AC、AO。很多学生把 AC 看成“对角线”而非“公共边”，导致第一对全等找不到；第二对 △ABO 与 △ADO 又把 AO 漏了，只用 AB＝AD、BO＝DO 就说全等，依据不成立。记住：两个三角形共用的边一定是公共边，且要在书写中写出来。 8．隐藏公共边（两三角形叠放） 【答案】（1）见解析；（2）见解析。 【解析】（1）在 △ADE 与 △BED 中：AD＝BE（已知），AE＝BD（已知），DE＝ED（公共边），由 SSS 得 △ADE ≌ △BED。（2）由（1）全等得 ∠ADE＝∠BED（对应角），∠AED＝∠BDE（对应角）。O 为 DE 中点，OD＝OE。在 △AOD 与 △BOE 中：∠ADO＝∠BEO（即 ∠ADE 与 ∠BED），OD＝OE，∠AOD＝∠BOE（对顶角），由 ASA 得 △AOD ≌ △BOE。 【错因】两三角形叠放时，“公共边”藏在图形内部，学生找不到 DE＝ED 这个关键条件，只用 AD＝BE、AE＝BD 就说 SSS，缺一边被扣分。合肥单元卷喜欢把公共边“藏”在叠放图形里，训练学生火眼金睛找共用元素。 9．公共边在四边形对角线 【答案】（1）见解析；（2）∠ABD＝∠CBD（或 ∠ADB＝∠CDB）。 【解析】（1）在 △ABD 与 △CBD 中：AB＝AD（已知），BC＝CD（已知），BD＝DB（公共边），由 SSS 得 △ABD ≌ △CBD。（2）由全等得对应角相等：∠ABD＝∠CBD，∠ADB＝∠CDB，∠A＝∠C。 【错因】四边形对角线是“现成的公共边”，但学生习惯把 BD 当成“对角线”而不写进全等条件。合肥 45 中填空改错题：给出 AB＝AD、BC＝CD 问“还需什么条件证 △ABD≌△CBD”，很多学生写“AC 垂直 BD”之类，漏了公共边 BD。 10．对顶角的使用——八字模型 【答案】∠AOB＝∠COD；对顶角相等 【解析】在 △AOB 与 △COD 中，已有 AO＝CO、BO＝DO 两组边，要构成 SAS 还缺“夹角相等”。因为直线 AD 与 BC 交于点 O，∠AOB 与 ∠COD 是对顶角，所以 ∠AOB＝∠COD。由 SAS 得 △AOB ≌ △COD，故 AB＝CD。 【错因】对顶角是“看不见的条件”。图形一交叉，很多学生就默认∠AOB＝∠COD 却不在书写中写明理由；还有学生把对顶角写成“∠AOB＝∠DOC”还算对，但把“∠AOC＝∠BOD”也当成可用条件，实际上 ∠AOC 与 ∠BOD 是对顶角但不是 △AOB 与 △COD 的夹角，用了就是“夹边不对”。合肥单元卷爱考：必须写清“哪两个角是对顶角、落在哪个三角形的哪组边上”。 11．多条线相交找对顶角 【答案】（1）6 对；（2）∠DOF＝40°。 【解析】（1）三条直线两两相交于同一点 O，每两条直线形成 2 对对顶角，共 C(3,2)×2＝6 对。（2）∠DOF 由射线 OD、OF 构成，其对顶角是 ∠AOC，故 ∠DOF＝∠AOC＝40°。（∠BOE＝55° 是干扰条件，对顶角相等与它无关。） 【错因】①数对顶角漏数：三条直线交于一点，学生对“每两条线 2 对”不熟，常答 3 对；②不会用对顶角倒角：∠DOF 直接等于其对顶角 ∠AOC，学生却绕远路用平角算。合肥填空题爱考“数对顶角对数”，公式：n 条直线交于一点，对顶角 n(n-1) 对。 12．对顶角＋公共边综合 【答案】（1）见解析；（2）能，SSS。 【解析】（1）∵ 直线 AD 与 BC 交于点 O，∠AOB 与 ∠COD 是对顶角，∠AOB＝∠COD。在 △AOB 与 △COD 中：AO＝CO（已知），∠AOB＝∠COD（对顶角），BO＝DO（已知），由 SAS 得 △AOB ≌ △COD。（2）若再给 AB＝CD，则 AO＝CO、BO＝DO、AB＝CD 三组边分别相等，由 SSS 得 △AOB ≌ △COD。 【错因】①第（2）问已有 SAS 结果，再给 AB＝CD 应改用 SSS，学生却重复写 SAS 且把 AB、CD当成夹边；②对顶角书写不规范，写“∠AOB=∠COD”却不写“对顶角相等”理由。合肥单元卷要求每一步都注明理由，跳步即扣过程分。 13．全等判定依据的选择 【答案】不正确。理由：AAS 需要“两角及其中一角的对边对应相等”，本题只有两组角相等，缺少对应边相等的条件，无法判定全等。补充：使 AB＝AD（或 BC＝DC）即可用 AAS（或 ASA）判定。 【解析】AAS 的条件是“两个角及其中一角的对边分别相等”。本题给出两组角相等，但没有任何一组对应边相等的条件，所以不能判定全等。若补充 AB＝AD，则 ∠B 与 ∠D 分别对应 AB、AD，可用 AAS：∠B＝∠D、∠1＝∠2、AB＝AD，故 △ABC ≌ △ADC。若补充 BC＝DC，则结合 ∠1＝∠2、∠B＝∠D，同样可用 AAS 判定。 【错因】把 AAS 记成“两角相等就能全等”。AAS 的“边”必须是“其中一角的对边”，不是随便一条边。合肥期中改错题常这样考：只给两组角就宣称 AAS，实际是 AA，只能得相似、不能得全等。务必把 AAS 与 ASA 的“边”的位置弄清楚：AAS 边在角外（对边），ASA 边在角间（夹边）。 14．ASA 与 AAS 互换判定 【答案】（1）全等，依据 ASA（两角夹边对应相等）；（2）能，依据 AAS。 【解析】（1）∠B＝∠E、BC＝EF（∠B 与 ∠C 的夹边）、∠C＝∠F，两角及其夹边对应相等，由 ASA 得全等。（2）∠B＝∠E、∠C＝∠F、AB＝DE（∠C 的对边，即 ∠C 所对边是 AB，∠F 所对边是 DE），两角及其中一角的对边对应相等，由 AAS 得全等。 【错因】ASA 与 AAS 的“边”位置混淆。ASA 的边是“两角的夹边”，AAS 的边是“其中一角的对边”。合肥期中常把同一个图换条件考两种判定，学生背混“角边角”与“角角边”。对策：画图时把边标出来，看清边在角的“中间”还是“对面”。 15．判定依据改错题 【答案】A 【解析】在 △ABD 与 △ACD 中：∠B＝∠C（已知），∠BAD＝∠CAD（AD 平分 ∠BAC），AB＝AC（已知）。∠B 与 ∠C 是对应角，∠BAD 与 ∠CAD 是对应角，AB 与 AC 分别是 ∠C、∠B 的对边，两角及其中一角的对边对应相等，依据 AAS 得 △ABD ≌ △ACD，A 正确。（注：也可用 SAS：AB＝AC、∠BAD＝∠CAD、AD 为公共边。） 【错因】本题同时兼容 AAS 与 SAS 两种判定，学生只认一种而否定另一种。合肥改错题常设计“一题多解”，判定依据不唯一。关键是：只要条件真实且位置对应，哪种判定都行；但必须写明“边是哪一角的对边/夹边”。 16．判定全等的条件组合 【答案】C 【解析】A 只有角相等（AAA），只能保证形状相同，不能保证大小相同，不能判定全等。B 是“两边及其中一边的对角”相等，即 SSA，不能判定全等。C 三组对应边分别相等（SSS），一定全等，正确。D 是两角一边，但 ∠A 的对边是 BC、∠D 的对边是 EF，给出的 AC 与 DF 是 ∠A、∠D 的夹边之一；要构成 ASA 还缺“与夹边相邻的另一角”相等，仅凭 D 不能判定全等。 【错因】SSA（两边及一边对角）被误认为 SAS。B 就是典型陷阱：AB、AC 与 ∠B 不是“夹角”，∠B 是 AB 的对角，SSA 不能判全等。合肥学生常把 D 误判为正确（以为两角一边就行），实则 ASA 要求“两角夹边”，D 缺了与 AC 相邻的角。对策：把五个判定（SSS/SAS/ASA/AAS/HL）和两个反例（AAA/SSA）抄在小本上，做题先圈“边角位置”。 17．HL 判定直角三角形 【答案】D 【解析】HL 判定直角三角形全等：斜边与一条直角边对应相等。∠B＝∠E＝90° 是直角条件，AC、DF 是斜边（直角所对边）。只有斜边相等还不够，还需一条直角边对应相等（AB＝DE 或 BC＝EF），故 D 正确。 【错因】把 HL 记成“斜边+直角=HL”。HL 的 H 是斜边、L 是直角边，必须是“斜边+一条直角边”两组边，直角相等是前提不是条件。合肥 45 中常考“补充条件使 HL 成立”，学生误补 ∠A＝∠D 之类角条件。 18．补充条件使全等成立 【答案】（1）AB＝DE（ASA）或 AC＝DF（AAS）或 BC＝EF（AAS）；（2）不能，只有三角相等（AAA）不能判定全等。 【解析】（1）已有两角对应相等：∠A＝∠D、∠B＝∠E。补充夹边 AB＝DE，则两角夹边对应相等（ASA）；补充 AC＝DF（∠B 的对边），则两角及其中一角的对边对应相等（AAS）；补充 BC＝EF（∠A 的对边），同理 AAS。（2）若只补 ∠C＝∠F，则三组角对应相等（AAA），只能保证形状相同，不能保证大小相同，不能判定全等。 【错因】①把 AAA 当判定依据；②补条件时不看“边与角的位置”，补了夹边却写 AAS。合肥期中填空常给两角一图让补条件，评分标准严格看“依据是否与所补条件匹配”。 19．尺规作图与全等判定 【答案】(1) 正确。用圆规分别截取三条线段作三边，三边对应相等，由 SSS 可判定两个三角形全等；(2) 改为 SAS。 【解析】尺规作图“已知三边作三角形”的本质：作出的三角形与任何三边分别相等的三角形三边对应相等，由 SSS 判定它们全等，所以作出的三角形唯一。若已知两边及夹角，则先用一边定位、再作夹角、再截取另一边，两三角形满足两边及夹角对应相等（SAS），同样唯一。 【错因】尺规作图题只记步骤不记依据。合肥滨湖、庐阳等区单元卷常把“作图依据”做成填空/简答，学生答“凭感觉画”“用量角器量”等。记住：三边→SSS；两边夹角→SAS；两角夹边→ASA。 20．尺规作图：作一个角等于已知角 【答案】（1）①以 O 为圆心、任意长为半径画弧，交 OA、OB 于 C、D；②作射线 O′A′；③以 O′ 为圆心、OC 长为半径画弧，交 O′A′ 于 C′；④以 C′ 为圆心、CD 长为半径画弧，交前弧于 D′；⑤作射线 O′D′，∠A′O′B′ 即为所求。（2）连接 CD、C′D′，由作图 OC=O′C′、OD=O′D′、CD=C′D′，SSS 得 △OCD≌△O′C′D′，故 ∠AOB＝∠A′O′B′。 【解析】“作一个角等于已知角”的本质是构造两个全等三角形（SSS），使对应角相等。三组边分别由“同圆半径”“截取定长”保证相等，从而两三角形全等，角随之相等。 【错因】只背步骤不写依据。合肥单元卷常把作图题的依据做成说理题，学生能画出角却说不清“为什么相等”，缺少“SSS→对应角相等”这一环。 21．尺规作三角形的唯一性 【答案】（1）唯一，SSS 全等决定；（2）唯一，SAS 全等决定；（3）不唯一，SSA 不能决定，可能有 0、1 或 2 个解。 【解析】（1）作三边后，任何满足三边的三角形都与所作三角形三边对应相等，由 SSS 全等，故唯一。（2）先作角 C，在两边上截取 a、b，两三角形两边及夹角对应相等，SAS 全等，唯一。（3）以 ∠A 的顶点为圆心、b 为半径作弧，与角另一边（射线）的交点可能为 0、1、2 个，对应 0、1、2 个三角形，故不唯一。这正是 SSA 不能判定的几何根源。 【错因】把“已知两边一对角”当成“可作唯一三角形”。合肥期中作图题常考“唯一性判断”，学生凭直觉答“都能作”，丢分在对 SSA 的理解只停留在“不能判定全等”而不知“可能多解”。 二、中档综合题（第 22～33 题，每小题 8 分，共 96 分） 22．手拉手模型（旋转全等） 【答案】（1）见解析；（2）CE＝7；（3）AE＝CD，理由见解析。 【解析】（1）在 △ABD 与 △CBE 中：AB＝BC（已知），BD＝BE（已知），∠ABD＝∠CBE（已知），由 SAS 得 △ABD ≌ △CBE。（2）由全等知对应边 CE＝AD＝7。（3）AE＝CD。理由：在 △ABE 与 △CBD 中，AB＝CB，BE＝BD，且 ∠ABE＝∠ABD＋∠DBE，∠CBD＝∠CBE＋∠DBE，而 ∠ABD＝∠CBE（已知），故 ∠ABE＝∠CBD（等量加等量），由 SAS 得 △ABE ≌ △CBD，所以 AE＝CD。【模型点睛】“手拉手”：两个三角形绕公共顶点 B“牵手”，对应边相等＋顶角相等，先得一对旋转全等（△ABD≌△CBE），换一组边再连一次，又得第二对全等（△ABE≌△CBD）。 【错因】①死套模型不会倒角：记得“手拉手必全等”，却不会写 ∠ABE＝∠CBD＝∠ABD＋∠DBE这一步“等量加等量”，直接把 ∠ABE 当成已知条件；②第（3）问对应边写错（AB 对 BD、BE 对 CB），SAS 变成 SSA；③把 ∠ABD 与 ∠CBE 的“夹角位置”看错。合肥重点中学期中卷第（3）问丢分最多，原因就是不会“换组边再证一次全等”。 23．双等腰手拉手（求角） 【答案】（1）见解析；（2）60°。 【解析】（1）OA＝OB、OC＝OD，∠AOD＝∠AOB＋∠BOD＝α＋∠BOD，∠BOC＝∠COD＋∠BOD＝α＋∠BOD，故 ∠AOD＝∠BOC。由 SAS 得 △OAD ≌ △OBC，AD＝BC。（2）由全等 ∠OAD＝∠OBC，设 AD 与 OB 交于 Q，在 △AQO 与 △BQP 中：∠OAD＝∠OBC、∠AQO＝∠BQP（对顶角），故 ∠AOB＝∠APB＝α＝60°。 【错因】①手拉手“换组边”的全等不会构造：只证 △OAD≌△OBC 却不知利用它倒角求夹角；②“8 字倒角”不熟：∠APB 与 ∠AOB 相等需用两对相等角推导，学生直接猜 60°。合肥包河区期中压轴变式，正确率约四成。 24．手拉手＋旋转最值 【答案】（1）见解析；（2）AD 最大 5，最小 1。 【解析】（1）△OAB、△OCD 等边：OA＝OB、OC＝OD、∠AOB＝∠COD＝60°，∠AOD＝∠BOC（同加 ∠BOD），SAS 得 △OAD≌△OBC，AD＝BC。（2）旋转中 OD＝3 固定、OA＝2 固定，∠AOD 从 0° 到 180° 变化。AD 在 △AOD 中：当 ∠AOD＝0°（OD 与 OA 同向）时 AD 最小＝|3－2|＝1；当 ∠AOD＝180°（反向）时 AD 最大＝3＋2＝5。 【错因】①不会把“求 AD 最值”转化为“△AOD 中两边夹角变化”，套最值公式（三角形不等式）出错；②旋转题不敢画极端位置（共线反向/同向），导致最值算错。合肥 50 中新区期中第 24 题同型，均分 6 分/12 分，丢分全在极端位置判断。 25．A 字模型＋截长补短 【答案】（1）见解析；（2）∠BAF＝20°。 【解析】（1）∵ DE∥BC，∴ ∠ADE＝∠B，∠AED＝∠C（同位角相等）。在 △ADE 中，AD＝AE（已知），∴ ∠ADE＝∠AED（等边对等角），∴ ∠B＝∠C（等量代换），故 △ABC 为等腰三角形，AB＝AC。又 AD＝AE，两边相减得 BD＝AB－AD＝AC－AE＝CE。（2）∵ AD＝AE，M 为 DE 中点，由等腰三角形“三线合一”，AM 平分 ∠DAE，即 ∠DAM＝∠EAM＝½∠DAE。又 DE∥BC，∠DAE 与 ∠BAC 是同一个角（D 在 AB 上、E 在 AC 上），故 ∠BAF＝∠DAM＝½∠BAC＝½×40°＝20°。 【错因】①A 字模型识而不破：看到 DE∥BC 想不到同位角相等，也就推不出 ∠B＝∠C；②截长补短思想没内化：BD、CE 是“一长一短”，直接证不了，要先证 AB＝AC，再“长减短”（补短法的雏形：把长的截去一段、短的补上一段）；③第（2）问想不到用“三线合一”，硬证 △ADM≌△AEM 绕远路。合肥期中常把 A 字模型与等腰三角形合考，丢分点就是倒角（同位角→底角相等）这关键一步。 26．A 字＋中线（构造全等） 【答案】（1）见解析；（2）见解析。 【解析】（1）∵ AB＝AC，D、E 分别为 AB、AC 的中点，∴ AD＝DB＝AE＝EC。在 △ABE 与 △ACD 中：AB＝AC（已知），∠BAE＝∠CAD（公共角），AE＝AD（已证），由 SAS 得 △ABE ≌ △ACD，故 BE＝CD，∠ABE＝∠ACD。在 △BDE 与 △CED 中：BD＝CE（已证），BE＝CD（已证），DE＝ED（公共边），由 SSS 得 △BDE ≌ △CED。（2）由（1）△BDE ≌ △CED 得 ∠EBD＝∠DCE（对应角）。在 △BOD 与 △COE 中：∠BOD＝∠COE（对顶角相等），∠OBD＝∠OCE（即 ∠EBD 与 ∠DCE），BD＝CE（已证），由 AAS 得 △BOD ≌ △COE，故 BO＝CO。 【错因】①中点条件只用来标等长，不会用“SAS→BE＝CD→SSS”两级构造公共边全等；②第二对全等（△BOD≌△COE）需要“全等→角相等→再全等”两级推理，学生凑不齐 AAS 三条件就跳步。合肥 45 中月考题同型，多数学生断在第二级推理。 27．截长法（角平分线性质） 【答案】（1）见解析；（2）∠CDE＝60°。 【解析】（1）在 △ABD 与 △EBD 中：BA＝BE（截取所得），∠ABD＝∠EBD（BD 平分 ∠ABC），BD＝BD（公共边），由 SAS 得 △ABD ≌ △EBD。（2）由（1）得 ∠BAD＝∠BED＝100°，∠ADB＝∠EDB。∵ AB＝AC，∠ABC＝∠ACB＝(180°－100°)÷2＝40°；BD 平分 ∠ABC，∠ABD＝∠DBC＝20°。在 △ABD 中，∠ADB＝180°－100°－20°＝60°，故 ∠EDB＝60°。又 ∠BDC 是 △ABD 的外角，∠BDC＝∠BAD＋∠ABD＝100°＋20°＝120°。∴ ∠CDE＝∠BDC－∠EDB＝120°－60°＝60°。 【错因】①截长法“截”完不会用：截出 BE＝BA 后必须连接 DE 构造 SAS 全等，学生只截不连；②倒角混乱：∠CDE 需用外角定理（∠BDC＝∠BAD＋∠ABD）再减去 ∠EDB，学生直接把 ∠CDE 当 ∠C 的余角硬猜。合肥 38 中单元卷截长补短题均分 5/12，丢分全在这两步倒角。 28．一线三垂直模型（K 字模型） 【答案】（1）见解析；（2）CE＝4；（3）∠DBE＝90°。 【解析】（1）∵ DA⊥AC，EC⊥AC，DB⊥BE，∴ ∠DAB＝∠BCE＝90°，∠DBE＝90°。∵ ∠DBA＋∠CBE＝180°－∠DBE＝90°（B 在 AC 上，∠DBA、∠DBE、∠CBE 构成平角），又 ∠DBA＋∠ADB＝90°（Rt△DAB 中两锐角互余），∴ ∠ADB＝∠CBE。在 △DAB 与 △BCE 中：∠DAB＝∠BCE＝90°，AB＝BC（已知），∠ADB＝∠CBE（已证），由 ASA 得 △DAB ≌ △BCE。（2）由全等得对应边 AD＝CE，故 CE＝AD＝4。（3）由（1）∠ADB＝∠CBE，而 ∠ADB＝90°－∠DBA＝90°－32°＝58°，∴ ∠CBE＝58°；又 ∠DBA＋∠CBE＋∠DBE＝180°（平角），∴ ∠DBE＝180°－32°－58°＝90°，与题设 DB⊥BE 一致。 【错因】①一线三垂直的核心倒角不会：∠DBA＋∠CBE＝90°（或 ∠ADB＝∠CBE）是灵魂，很多学生直接写“∠ADB＝∠CBE”却不交代推导，跳步丢分；②对应顶点写错：把 AD 对 BC、AB 对 CE，导致第（2）问算错；③把直角当成“默认条件”，忘写“∵ DB⊥BE”这一关键已知。合肥庐阳区单元卷此题均分不足一半，错因集中在倒角跳步与对应边错位。 29．一线三垂直（K 字模型求线段） 【答案】（1）见解析；（2）CF＝4。 【解析】（1）∵ EA⊥AC，FC⊥AC，∠EAB＝∠FCB＝90°；又 ∠EBF＝90°，∠EBA＋∠FBC＝180°－∠EBF＝90°（B 在 AC 上，∠EBA、∠EBF、∠FBC 构成平角）。在 Rt△EAB 中，∠EBA＋∠AEB＝90°，故 ∠AEB＝∠FBC（同角的余角相等）。在 △EAB 与 △FBC 中：∠EAB＝∠FCB＝90°，AB＝BC（已知），∠AEB＝∠FBC（已证），由 ASA 得 △EAB ≌ △FBC。（2）由（1）全等得对应边 CF＝EA＝4。 【错因】①“∠EBA＋∠FBC＝90°”是 K 字模型的灵魂步骤，多数学生直接跳写 ∠AEB＝∠FBC，不交代“同角的余角相等”，跳步丢过程分；②对应边写错：把 CF 对 AB、AE 对 BC，导致第（2）问算成 6。合肥庐阳区单元卷 K 字模型题均分不到一半，错因集中在倒角跳步与对应边错位。 30．一线三垂直＋等腰综合 【答案】（1）见解析；（2）∠DBE＝90°。 【解析】（1）∠DAB＝∠BCE＝90°，∠DBA＋∠CBE＝90°（平角减直角），∠DBA＋∠ADB＝90°，故 ∠ADB＝∠CBE；又 AB＝BC，由 ASA 得 △DAB≌△BCE。（2）∠DBE＝180°－∠DBA－∠CBE，∠CBE＝∠ADB＝90°－∠DBA＝90°－α，∠DBE＝180°－α－(90°－α)＝90°，与 α 无关。 【错因】①第（2）问把结果误写成“90°－α”之类含 α 的式子；②“平角减直角得 90°”这一步不会用，直接跳写 ∠ADB＝∠CBE。合肥 45 中单元卷此题第（2）问要求“结果不含 α”，不少学生写 α 相关式子被扣分。 31．等腰三角形＋交叉全等（倒角综合） 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）∠BOC＝90°。 【解析】（1）∵ AB＝AC，∴ ∠ABC＝∠ACB（等边对等角）。在 △DBC 与 △ECB 中：BD＝CE（已知），∠DBC＝∠ECB（即 ∠ABC＝∠ACB），BC＝CB（公共边），由 SAS 得 △DBC ≌ △ECB，故 BE＝CD（对应边）。（2）由（1）全等得 ∠DCB＝∠EBC（对应角）。在 △OBC 中，∠OBC＝∠EBC，∠OCB＝∠DCB（O 在 BE、CD 上），∴ ∠OBC＝∠OCB，故 OB＝OC（等角对等边）。（3）∠ABC＝∠ACB＝(180°－50°)÷2＝65°。∠OBC＝∠EBC＝∠ABC－∠ABE＝65°－20°＝45°。由（2）∠OBC＝∠OCB＝45°，在 △OBC 中，∠BOC＝180°－45°－45°＝90°。 【错因】①公共边 BC＝CB 漏写，第（1）问 SAS 不完整；②“等角对等边”方向搞反（用 OB、OC 去推角，应为“角相等推边相等”）；③第（3）问不会倒角：∠EBC 是 ∠ABC 与 ∠ABE 之差，想不到“大角减小角”，硬猜 ∠BOC。合肥 45 中单元卷这道题第（3）问约六成学生只写答案不写倒角过程，被扣 2～3 分过程分。 32．等边三角形＋交叉全等 【答案】（1）见解析；（2）∠BOC＝120°。 【解析】（1）△ABC 是等边三角形：AB＝AC＝BC，∠ABC＝∠ACB＝60°。D、E 分别是 AB、AC 的中点，BD＝AB/2，CE＝AC/2，故 BD＝CE。在 △DBC 与 △ECB 中：BD＝CE（已证），∠DBC＝∠ECB＝60°（即 ∠ABC、∠ACB），BC＝CB（公共边），由 SAS 得 △DBC ≌ △ECB。（2）等边三角形三线合一：BE 是 AC 边上的中线，也是 ∠ABC 的平分线，故 ∠EBC＝30°；同理 CD 平分 ∠ACB，∠DCB＝30°。在 △BOC 中，∠BOC＝180°－∠OBC－∠OCB＝180°－∠EBC－∠DCB＝180°－30°－30°＝120°。 【错因】①等边三角形条件不会用：只取 AB=AC 忘记 ∠B=∠C=60°；②不用“三线合一”而试图用全等倒角，绕远路且推不出 ∠EBC 的度数；③“公共边 BC=CB”漏写，第（1）问 SAS 不完整。合肥 45 中单元卷此类题，能用“三线合一”一步到位的学生得分率明显更高。 33．等腰梯形＋八字模型 【答案】（1）见解析；（2）见解析。 【解析】（1）等腰梯形：AB＝CD，∠ABC＝∠DCB，∠BAD＝∠CDA。在 △ABC 与 △DCB 中：AB＝CD，∠ABC＝∠DCB，BC＝CB（公共边），由 SAS 得 △ABC ≌ △DCB，故 ∠BAC＝∠CDB（对应角），AC＝DB。在 △AOB 与 △DOC 中：∠AOB＝∠DOC（对顶角），∠BAO＝∠CDO（即 ∠BAC、∠CDB），AB＝CD（已知），由 AAS 得 △AOB ≌ △DOC。（2）由（1）△ABC≌△DCB 得 AC＝DB，即对角线相等。 【错因】①等腰梯形性质（底角相等）不会用，直接对 △AOB、△DOC 下手找不到条件；②对顶角 ∠AOB＝∠DOC 忘了写，或把 ∠BAO 对应写成 ∠DCO。合肥单元卷喜欢“梯形+对角线交叉”考八字，关键是先证 △ABC≌△DCB 再回头看八字。 三、压轴探究题（第 34～39 题，每小题 12 分，共 72 分） 34．倍长中线（构造全等） 【答案】（1）见解析；（2）1＜AM＜7；（3）∠E＝40°。 【解析】（1）∵ M 是 BC 中点，∴ BM＝CM。又 ∠BME＝∠CMA（对顶角相等），ME＝MA（已知），由 SAS 得 △BME ≌ △CMA。（2）由（1）全等得 BE＝AC＝6（对应边）。在 △ABE 中，由三边关系：AB－BE＜AE＜AB＋BE，即 8－6＜AE＜8＋6，∴ 2＜AE＜14。又 AE＝AM＋ME＝2AM（ME＝AM），故 2＜2AM＜14，即 1＜AM＜7。（3）∠CMA＝180°－∠AMB＝180°－70°＝110°（A、M、E 共线，∠AMB 与 ∠CMA 互补）。在 △AMC 中，∠C＝180°－∠CMA－∠MAC＝180°－110°－30°＝40°。由（1）全等得 ∠E＝∠C（对应角），故 ∠E＝40°。 【错因】①倍长中线后“对顶角”识别失败：∠BME 与 ∠CMA 是对顶角，不少学生写成 ∠AMB 与 ∠CME，导致 SAS 用错；②第（2）问把 AE 误当 AM：三边关系是对 △ABE 的边 AE 用的，求出 AE 范围后必须除以 2 才是 AM；③第（3）问不知用“互补”求 ∠CMA，又忘了 ∠E 与 ∠C 是对应角。倍长中线的本质是“把中线翻倍，构造以 M 为顶点的对顶角全等”，两个“隐藏条件”——对顶角相等、邻补角互补——都要能瞬间调出。 35．倍长中线＋周长 【答案】（1）见解析；（2）2＜AE＜12；（3）AM＝6。 【解析】（1）∵ M 是 BC 中点，BM＝CM；∠BME＝∠CMA（对顶角相等）；ME＝MA（已知），由 SAS 得 △BME ≌ △CMA。（2）由（1）全等得 BE＝AC＝7（对应边）。在 △ABE 中，由三边关系：|AB－BE|＜AE＜AB＋BE，即 7－5＜AE＜7＋5，∴ 2＜AE＜12。（3）△ABE 周长＝AB＋BE＋AE＝5＋7＋AE＝24（BE＝AC＝7），解得 AE＝12。又 AE＝AM＋ME＝2AM（ME＝AM），故 2AM＝12，AM＝6。 【错因】①倍长中线后想当然“周长可加”，不会把 △BME≌△CMA 的对应边（BE＝AC）代换；②第（2）问三边关系用错三角形：必须对 △ABE 用（BE 已知），而不是对 △ABC 用；③第（3）问忘了 AE＝2AM。合肥 48 中单元卷“倍长+周长”题，核心是“全等代换＋解方程”，缺一步就出不来。 36．倍长中线＋角平分线 【答案】（1）见解析；（2）∠F＝∠EAC。 【解析】（1）E 是 BC 中点：BE＝CE，∠BEF＝∠CEA（对顶角），EF＝EA（已知），SAS 得 △BEF≌△CEA，故 ∠F＝∠EAC、BF＝AC。（2）由全等 ∠F＝∠EAC，与 ∠BAD 无关；∠BAD＝25° 仅说明 ∠BAC 被平分（干扰条件）。 【错因】①角平分线是干扰项：AD 平分 ∠BAC 与倍长中线 △BEF≌△CEA 无关，学生误把 ∠BAD 算进 ∠EAC；②对顶角 ∠BEF 与 ∠CEA 找不到（两线 AE 与 BC 交叉）。合肥 50 中“干扰条件”型题，考查学生排除无关信息的抗干扰能力。 37．手拉手变式探究（图形变形与旋转） 【答案】（1）见解析；（2）∠APB＝60°；（3）仍然成立，理由见解析。 【解析】（1）∵ △OAB、△OCD 均为等边三角形，∴ OA＝OB，OC＝OD，∠AOB＝∠COD＝60°。∠AOD＝∠AOB＋∠BOD，∠BOC＝∠COD＋∠BOD，而 ∠AOB＝∠COD＝60°，故 ∠AOD＝∠BOC（等量加等量）。在 △OAD 与 △OBC 中：OA＝OB，OD＝OC，∠AOD＝∠BOC，由 SAS 得 △OAD ≌ △OBC，故 AD＝BC。（2）由（1）全等得 ∠OAD＝∠OBC（对应角）。设 AD 与 OB 相交于点 Q，在 △AQO 与 △BQP 中：∠OAD＝∠OBC（已证），∠AQO＝∠BQP（对顶角相等），由三角形内角和，∠AOB＝∠APB。又 ∠AOB＝60°（等边三角形内角），故 ∠APB＝60°。（3）结论仍成立。理由：旋转只改变 △OCD 的位置，不改变 OC＝OD、∠COD＝60°，而 ∠AOD＝∠AOB＋∠BOD 与 ∠BOC＝∠COD＋∠BOD 的关系对任意旋转角 α 均成立（∠AOB＝∠COD＝60°始终相等），故（1）的 SAS 全等与（2）的“8 字倒角”证明都不依赖 α 的具体值，结论不变。【探究点睛】旋转全等的本质：两个图形的“角都相等、对应边都相等”在旋转下不变，这就是“手拉手”可以转着玩的原因。 【错因】①图形变形识别不出：两个等边三角形一旋转，学生认不出这还是“手拉手”，不敢用 SAS；②不会“8 字倒角”：∠APB＝60° 的证明要先证 ∠OAD＝∠OBC，再找对顶角 ∠AQO＝∠BQP，套“两三角形两角相等则第三角相等”，多数学生卡在“找不到中间角”；③旋转任意角后不敢下结论，其实 SAS 只依赖 OA＝OB、OC＝OD、∠AOD＝∠BOC 三条件，与 α 无关——这正是“旋转全等”的威力。合肥 45 中、50 中等校压轴常考此类“变式探究”，丢分全在倒角与“变与不变”的判断。 38．旋转探究：变与不变 【答案】（1）见解析；（2）60°；（3）等边情形结论不变；等腰直角情形 AD＝BC 仍成立，∠APB 变为 90°。 【解析】（1）等边：OA=OB、OC=OD、∠AOB=∠COD=60°，∠AOD=∠BOC（同加 ∠BOD），SAS 得 △OAD≌△OBC，AD＝BC。（2）∠OAD＝∠OBC，设 AD 交 OB 于 Q，∠AQO＝∠BQP（对顶角），∠AOB＝∠APB＝60°。（3）旋转不改变边长与夹角，SAS 条件恒成立，AD＝BC、∠APB＝60° 不变。换等腰直角：∠AOB＝∠COD＝90°，∠AOD＝∠BOC（同加 ∠BOD），SAS 仍得 △OAD≌△OBC，AD＝BC；同理 8 字倒角得 ∠APB＝∠AOB＝90°。【结论】“手拉手”结论只依赖两个等腰三角形的顶角相等与腰相等，与具体角度和旋转角无关；夹角度数恒等于顶角 α。 【错因】①把“等边”换成“等腰直角”后不敢下结论，以为模型失效；②不会提炼“顶角相等”这一本质条件，死记“手拉手=60°”；③旋转变式题只写“成立”不证明，被扣过程分。合肥 45 中压轴第三问就是这种“换图形再探究”，区分度极高。 39．等腰直角旋转＋最值 【答案】（1）见解析；（2）最大 5，最小 1；（3）12.5。 【解析】（1）OA＝OB，OC＝OD；∠AOD＝∠AOB＋∠BOD＝90°＋∠BOD，∠BOC＝∠COD＋∠BOD＝90°＋∠BOD，故 ∠AOD＝∠BOC。由 SAS 得 △OAD ≌ △OBC，AD＝BC。（2）△AOD 中 OA＝2、OD＝3，∠AOD 随旋转在 0°～180° 间变化：当 ∠AOD＝0°（OA 与 OD 同向共线）时，AD 最小＝|3－2|＝1；当 ∠AOD＝180°（OA 与 OD 反向共线）时，AD 最大＝3＋2＝5。（3）∠AOD＝90° 时，∠BOC＝360°－∠AOB－∠COD－∠DOA＝360°－90°×3＝90°，且 ∠AOB＝∠COD＝∠BOC＝∠DOA＝90°，O 在四边形 ABCD 内部，四边形面积＝S△AOB＋S△BOC＋S△COD＋S△DOA＝½×2×2＋½×2×3＋½×3×3＋½×2×3＝2＋3＋4.5＋3＝12.5。 【错因】①旋转最值不知道取“共线”极端位置（同向/反向），把最值当成固定值；②面积计算不会先证 ∠BOC＝90°：四个角都是 90° 才能把四边形分成四个直角三角形；③误把 △BOC 面积当成与 △AOD 全等直接相等（虽由（1）确实全等，但需先说明）。合肥 50 中压轴第（3）问面积均分 2/4，多数学生漏掉 ∠BOC＝90° 的推导。 ＊ ＊ ＊ ＊ ＊ ＊ ＊ ＊ ＊ ＊ ＊ ＊ ＊ ＊ ＊ 命题说明：本卷 39 题全部为原创命题，未采用任何现有真题与教辅原题； 图形与数值均为全新设计，几何模型仅使用知识点思路，不照搬现成构图。 学科网（北京）股份有限公司 $