专题09 全等三角形的性质与判定（专项训练）数学新教材沪科版八年级上册

**基本信息** 以性质应用为基础，按判定方法（SAS/ASA/SSS/HL等）分类题型，构建从基础到综合的全等三角形专项训练体系，培养推理意识与几何直观。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |性质应用|4题|考查对应边、角关系|从全等定义出发，理解性质是判定的基础| |SAS判定|4题|含公共边/角的边角边证明|体现两边夹一角的判定条件，强化图形结构分析| |ASA(AAS)判定|4题|两角及夹边/对边应用|构建角角边与角边角的转化，培养推理链条| |SSS判定|4题|三边对应相等证明|结合三角形稳定性，理解边边边判定的唯一性| |HL判定|4题|直角三角形斜边直角边应用|特殊直角三角形判定的独立体系| |添加条件|4题|补全全等条件选择|综合各判定方法，训练条件分析能力| |灵活选用|4题|多方法判定选择与辨析|整合判定方法，提升综合应用与批判性思维|

专题09 全等三角形的性质与判定 常考题型·精准突破 考点一 全等三角形的性质 题型1 全等三角形的性质 考点二 全等三角形的判定 题型2用SAS证明三角形全等 题型3 用ASA(AAS)证明三角形全等 题型4 用SSS证明三角形全等 题型5三角形的稳定性及应用 题型6 用HL证全等 题型7 添加条件使三角形全等 题型8灵活选用判定方法证全等 综合攻坚·知能拔高 常考题型·精准突破 考点一 全等三角形的性质 ◆题型1 全等三角形的性质 1．如图，点A、D、B、E在同一直线上，，，，则等于（     ） A． B． C． D． 2．如图，已知，点E在上，若，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 3．如图，，点在线段上，，，则________． 4．如图，，顶点、分别与顶点、对应，点在边上，边与边相交于点．若，，线段的长__________． 考点二 全等三角形的判定 ◆题型2用SAS证明三角形全等 5．如图，，．求证：． 6．如图，在和中，，，．请判断和是否全等？为什么？ 7．已知：如图，在同一直线上，． (1)求证：； (2)判断线段与满足的数量关系和位置关系，并给出证明． 8．如图，点在的角平分线上，、分别在、上，且．求证：． ◆题型3 用ASA(AAS)证明三角形全等 9．如图，在中，，，平分，于点，交的延长线于点．给出下面四个结论：①；②；③；④．上述结论中，正确结论的序号是_________． 10．如图，．求证：． 11．如图，点E，C在线段上，，，．求证：． 12．如图， ， ， ，， 垂足分别为， (1)证明： ； (2)求的长． ◆题型4 用SSS证明三角形全等 13．如图，点C，D在线段上，且，，．试说明：． 14．已知，如图，，，， 求证：． 15．和都为等腰三角形，为顶角的顶点，连接、，则，且，求的度数． 16．如图，，，． (1)证明． (2)若，，求． ◆题型5三角形的稳定性及应用 17．如图，一扇窗户打开后，用窗钩可将其固定，这种做法的依据是（     ） A．两点之间线段最短 B．矩形的对称性 C．矩形的四个角都是直角 D．三角形的稳定性 18．如图，工人师傅砌门时，常用一根木条固定长方形门框使其不变形，这样做的根据是（     ） A．两点之间线段最短 B．四边形更稳定 C．三角形的稳定性 D．垂线段最短 19．如图，汽车前机盖打开后，用支撑杆撑住机盖来固定，方便操作，这是利用了______． 20．如图，在松动的板凳上斜钉两根木条即可加固，其中蕴含的数学原理是________． ◆题型6 用HL证全等 21．如图，在中，，，，P，Q两点分别在和的垂线上移动，，则当________时，才能使和全等． 22．如图，已知，，即可证明，全等的依据是________．（用字母表示） 23．如图，点A，E，F，B在同一条直线上，，，．求证：． 24．如图，已知，其中，的延长线与相交于点，连接． (1)求证：； (2)若， ，求的长． ◆题型7 添加条件使三角形全等 25．如图，在和中，，要使，下面是四个同学补充的条件，其中错误的是（     ） A． B． C． D． 26．如图，，，再添加一个条件，使得，所添加的条件不正确的是（   ）． A． B． C． D． 27．如图，点，在上，，，要使，需添加的一个条件是__________．（只写一个） 28．如图，，要得到，添加的一个条件可以是_________（填一个即可）． ◆题型8灵活选用判定方法证全等 29．根据下列已知条件，能画出唯一的的是（    ） A．， B．，， C．，， D．，， 30．下列各组条件中，不能判定和全等的是（     ） A．，， B．，， C．，， D．，， 31．如图，已知，，下列条件中，无法判定的是（     ） A． B． C． D． 32．在学习全等三角形时，小明发现有两个结论：在与中：①若，，且它们的周长相等，则；②若，，，则对于上述的两个结论，下列说法正确的是（    ） A．①正确，②错误 B．①错误，②正确 C．①，②都错误 D．①，②都正确 综合攻坚·知能拔高 1．工人师傅在做完门框后，为防止变形，经常如图所示钉上两条斜拉的木条（即图中的两根木条），这样做的根据是（    ） A．两点之间线段最短 B．三角形的内角和等于 C．三角形两边的和大于第三边 D．三角形的稳定性 2．如果，那么下列说法中正确的是（     ） A． B． C． D． 3．如图，点是线段的中点，于点，于点，连接，．若利用“”证明，则需要添加的条件是（  ） A． B． C． D． 4．如图，已知点在同一直线上，，，增加下列条件不能推导出的是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 5．如图，在与中，，若利用“边角边”来判定，还需添加的一个直接条件为________． 6．如图，，，连接，若，则图中阴影部分的面积为______． 三、解答题 7．如图，在中，过点作，点是边上的一点，且，，连接交于点． (1)求证：； (2)若，，求的度数． 8．如图，，，点D在边上，和相交于点O． (1)若，求的度数； (2)若，求证：． 9．如图，已知：点E、C、D、B在一直线上，，，如果 ，那么．请从①；②；③这三个选项中选择一个作为条件（在空格中填入对应序号），使结论成立，并证明结论． 10．如图，已知：点、分别在线段、上，，． (1)求证：； (2)不添加任何字母，请你连接图中两点，得到一组全等的三角形是：________并给出证明． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题09 全等三角形的性质与判定 常考题型·精准突破 考点一 全等三角形的性质 题型1 全等三角形的性质 考点二 全等三角形的判定 题型2用SAS证明三角形全等 题型3 用ASA(AAS)证明三角形全等 题型4 用SSS证明三角形全等 题型5三角形的稳定性及应用 题型6 用HL证全等 题型7 添加条件使三角形全等 题型8灵活选用判定方法证全等 综合攻坚·知能拔高 常考题型·精准突破 考点一 全等三角形的性质 ◆题型1 全等三角形的性质 1．如图，点A、D、B、E在同一直线上，，，，则等于（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据全等三角形的性质得出，再根据线段间数量关系，求出结果即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴． 2．如图，已知，点E在上，若，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由全等的性质得，再根据三角形的外角的定义和性质即可解答． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴． 3．如图，，点在线段上，，，则________． 【答案】 【分析】根据全等三角形的性质得出，，即可求出． 【详解】解：∵，，， ∴，， ∴． 4．如图，，顶点、分别与顶点、对应，点在边上，边与边相交于点．若，，线段的长__________． 【答案】6 【分析】根据全等三角形的性质得到、，再利用进行求解即可． 【详解】解：， ，， ，， ，， ． 考点二 全等三角形的判定 ◆题型2用SAS证明三角形全等 5．如图，，．求证：． 【答案】证明：在和中， ， ∴． 【分析】直接使用“边角边”的判定定理证明全等即可． 【详解】略 6．如图，在和中，，，．请判断和是否全等？为什么？ 【答案】解：和全等，理由如下， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴． 【分析】由，则，所以，然后通过“”即可证明． 【详解】略． 7．已知：如图，在同一直线上，． (1)求证：； (2)判断线段与满足的数量关系和位置关系，并给出证明． 【答案】(1)证明：∵， ∴， 即． 在和中： ， ∴． (2)，且，证明如下： 由（1）得， ∴，． ∴， ∴． 综上，，且． 【分析】（1）因为已知，所以先对该等式同时减去公共线段，推导得到，结合已知的、，用全等判定定理证明． （2）和的关系，先根据全等三角形的性质得到对应边相等，直接确定数量关系；再由全等得到对应角，推导其补角，根据平行线的判定定理确定位置关系． 【详解】（1）略． （2）略． 8．如图，点在的角平分线上，、分别在、上，且．求证：． 【答案】证明：平分， ， 在和中，， ， ． 【分析】证明，根据全等三角形的性质即可得到答案． 【详解】略 ◆题型3 用ASA(AAS)证明三角形全等 9．如图，在中，，，平分，于点，交的延长线于点．给出下面四个结论：①；②；③；④．上述结论中，正确结论的序号是_________． 【答案】 ①③④ 【分析】证明，得到，据此可判断①；证明，得到，据此可判断③④；过点作于点，证明，得到，可证明，推出，则可证明，再由，得到，据此可判断②． 【详解】解：∵， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴，故①正确； ∵平分， ∴， 又∵， ∴， ∴，即，故③正确； ∵， ∴，故④正确； 如图所示，过点作于点， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 即， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，即，故②错误； 综上所述，正确的有①③④ ． 10．如图，．求证：． 【答案】证明：在和中， ， ∴， ∴． 【分析】利用“”证明，再利用全等三角形的性质证明出结论． 【详解】略 11．如图，点E，C在线段上，，，．求证：． 【答案】证明：∵， ∴， ∵，， ∴． 【分析】利用即可证明． 【详解】略 12．如图， ， ， ，， 垂足分别为， (1)证明： ； (2)求的长． 【答案】(1)证明：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴； (2) ． 【分析】（1）利用同角的余角相等求出，再利用“角角边”证明， （2）根据全等三角形对应边相等可得然后计算即可得解． 【详解】（1）略． （2）解：由（1）知， ∴ ∴． ◆题型4 用SSS证明三角形全等 13．如图，点C，D在线段上，且，，．试说明：． 【答案】解：∵， ， ， ，， ， ． 【详解】略 14．已知，如图，，，， 求证：． 【答案】 证明：∵， ∴，即， 在 和中， ∴ ∴． 【分析】先由“”判定，即可证明． 【详解】略 15．和都为等腰三角形，为顶角的顶点，连接、，则，且，求的度数． 【答案】 【分析】先由等腰三角形性质，得，，再结合，证，接着由全等得，同减，推出，最后代入，得． 【详解】解：∵和都为等腰三角形，为顶角的顶点， ∴，， 在和中， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题利用共顶点等腰三角形的边相等，通过全等实现角的全等转化，关键是证，得到． 16．如图，，，． (1)证明． (2)若，，求． 【答案】(1) 证明：∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴． (2)2 【分析】（1）根据已知条件利用线段和差关系得出，进而利用“”证明； （2）由（1）的结论得到，结合已知条件即可求得结果． 【详解】（1）略 （2）解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴． ◆题型5三角形的稳定性及应用 17．如图，一扇窗户打开后，用窗钩可将其固定，这种做法的依据是（     ） A．两点之间线段最短 B．矩形的对称性 C．矩形的四个角都是直角 D．三角形的稳定性 【答案】D 【分析】根据加上窗钩，可以构成三角形的形状，故可用三角形的稳定性解释． 【详解】解：用窗钩可将其固定，这里所运用的几何原理是三角形的稳定性． 18．如图，工人师傅砌门时，常用一根木条固定长方形门框使其不变形，这样做的根据是（     ） A．两点之间线段最短 B．四边形更稳定 C．三角形的稳定性 D．垂线段最短 【答案】C 【分析】根据三角形具有稳定性解答即可． 【详解】解：工人师傅砌门时，常用一根木条固定长方形门框使其不变形，这样做的根据是三角形的稳定性． 19．如图，汽车前机盖打开后，用支撑杆撑住机盖来固定，方便操作，这是利用了______． 【答案】三角形的稳定性 【详解】解：当汽车前机盖打开时，支撑杆、车身与机盖之间形成了一个三角形，这是利用了三角形的稳定性． 20．如图，在松动的板凳上斜钉两根木条即可加固，其中蕴含的数学原理是________． 【答案】三角形具有稳定性 【详解】解：由图可知，斜钉两根木条后，木条与板凳腿构成了三角形，而三角形具有稳定性， 斜钉两根木条即可加固，所以其中蕴含的数学原理是三角形具有稳定性． ◆题型6 用HL证全等 21．如图，在中，，，，P，Q两点分别在和的垂线上移动，，则当________时，才能使和全等． 【答案】3或6 【分析】先得出是直角三角形，再根据定理分两种情况解答即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴是直角三角形， ∵， ∴①当时，则，符合题意； ②当时，则，符合题意； 综上，当或时，才能使和全等． 22．如图，已知，，即可证明，全等的依据是________．（用字母表示） 【答案】 【分析】利用即可证明． 【详解】解：∵， ∴和为直角三角形， 在和中， ， ∴， 则全等的依据是． 23．如图，点A，E，F，B在同一条直线上，，，．求证：． 【答案】证明见详解 【分析】先求出，再利用“”证明和全等，根据全等三角形对应角相等可得． 【详解】证明：， ，即， 在和中， ， ， ． 24．如图，已知，其中，的延长线与相交于点，连接． (1)求证：； (2)若， ，求的长． 【答案】(1)证明：， ， ， ， 在和中， ， ； (2)3 【分析】（1）根据，得，即可证明； （2）根据全等三角形的性质及线段的和差即可求得的长． 【详解】（1）略 （2）解：， ， ， ， ， ， ， ， ． ◆题型7 添加条件使三角形全等 25．如图，在和中，，要使，下面是四个同学补充的条件，其中错误的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】已知 及公共边 ，根据直角三角形全等的判定定理（）或一般三角形全等判定定理（）逐项验证即可． 【详解】解：已知 ，， 对于A，若 ， 在 和 中， ， ，条件正确，故本选项不符合题意； 对于B，若 ， 在 和 中， ， ，条件正确，故本选项不符合题意； 对于C，若 ， 在 和 中， ， ，条件正确，故本选项不符合题意； 对于D，设 与 交于点 ， ，， ，此结论由已知条件即可推出，无法判定 ，条件错误，故本选项符合题意． 26．如图，，，再添加一个条件，使得，所添加的条件不正确的是（   ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】已知，，对照全等三角形判定定理逐一判断条件能不能证明；两边及其中一边的对角相等不能判定三角形全等． 【详解】解：已知：，， 选项A：，，，属于两边和其中一边的对角对应相等，不能判定，故此选项错误． 选项B：， ， 在和中， ， ，故此选项正确． 选项C：和都是直角三角形， 在和中， ， ，故此选项正确． 选项D：在和中， ， ，故此选项正确． 27．如图，点，在上，，，要使，需添加的一个条件是__________．（只写一个） 【答案】（或或或） 【分析】先由题意确定已知条件，再根据全等的判定条件进行解答． 【详解】解：， ， 即． 又， 可添加的条件有： （1）添加， 在和中 ； （2）添加， 在和中 ； （3）添加， 则， 由（1）可知； （4）添加， 则， 由（2）可知． 28．如图，，要得到，添加的一个条件可以是_________（填一个即可）． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题已经给了和（隐藏条件），所以添加即可用来判定． 【详解】解：∵和， ∴当添加时，可用来判定． ◆题型8灵活选用判定方法证全等 29．根据下列已知条件，能画出唯一的的是（    ） A．， B．，， C．，， D．，， 【答案】C 【详解】解：A选项，只给出和，缺少其他边或角的条件，不能画出唯一，不符合题意； B选项，，，属于两边及其中一边对角相等的情况，不符合全等三角形的判定定理，不能画出唯一，不符合题意； C选项，，，，是两角及其夹边，符合全等三角形的判定定理，能画出唯一，符合题意； D选项，，不满足三角形两边之和大于第三边的三边关系，不能画出三角形，不符合题意． 30．下列各组条件中，不能判定和全等的是（     ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】B 【详解】解：A、能判定和全等； B、不能判定和全等； C、能判定和全等； D、能判定和全等． 31．如图，已知，，下列条件中，无法判定的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：A、添加，由“”不可证，故选项A符合题意； B、添加，由“”可判定，选项B不符合题意； C、添加，由“”可证，故选项C不合题意； D、添加，可得到，由“”可证，故选项D不合题意． 32．在学习全等三角形时，小明发现有两个结论：在与中：①若，，且它们的周长相等，则；②若，，，则对于上述的两个结论，下列说法正确的是（    ） A．①正确，②错误 B．①错误，②正确 C．①，②都错误 D．①，②都正确 【答案】A 【详解】解：对于结论①：，，且两个三角形周长相等，即， ， ，故①正确； 对于结论②：已知条件为，，，属于两边及其中一边的对角对应相等（）的情况，不能判定三角形全等，可构造出满足条件但不全等的两个三角形，故②错误； 综上，①正确，②错误． 综合攻坚·知能拔高 1．工人师傅在做完门框后，为防止变形，经常如图所示钉上两条斜拉的木条（即图中的两根木条），这样做的根据是（    ） A．两点之间线段最短 B．三角形的内角和等于 C．三角形两边的和大于第三边 D．三角形的稳定性 【答案】D 【分析】四边形具有不稳定性，三角形具有稳定性，将四边形结构转化为三角形结构即可防止变形，判断即可． 【详解】解：门框原本是四边形，四边形具有不稳定性，容易变形．钉上斜拉的木条后，门框的结构中被分割出了三角形． ∵三角形具有稳定性， ∴这样做的根据是三角形的稳定性． 2．如果，那么下列说法中正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】∵， ，，，，， A选项不符合对应边关系， B选项无法由全等性质得到， D选项不符合对应角关系，只有C选项符合结论． 3．如图，点是线段的中点，于点，于点，连接，．若利用“”证明，则需要添加的条件是（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定方法是解题关键． 直接利用全等三角形的判定方法分析得出答案． 【详解】解：，， ， 点是线段的中点， ， 又， ， 则需要添加的条件为，选项C符合题目要求． 故选：C． 4．如图，已知点在同一直线上，，，增加下列条件不能推导出的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查三角形全等的判定定理，关键是结合已知条件，逐一分析每个选项是否满足全等判定条件． 【详解】解：∵， ∴，即． 已知，结合各选项分析： 选项A：，此时有，，，满足判定，可推出； 选项B：，此时有，，，为，不满足全等判定条件，不能推出； 选项C：，此时为直角三角形，有，，满足判定，可推出； 选项D：，此时有，，，满足判定，可推出； 故选：B． 二、填空题 5．如图，在与中，，若利用“边角边”来判定，还需添加的一个直接条件为________． 【答案】 【详解】解：若添加时，则有： ， ∴，故符合题意． 6．如图，，，连接，若，则图中阴影部分的面积为______． 【答案】12.5 【分析】根据全等三角形面积相等、对应边相等和对应角相等，将阴影面积进行转化，利用等量代换得到阴影面积等于的面积，再利用面积公式即可求解． 【详解】解：∵，， ∴，，， ∴，即， ∵， ∴， ∴． 三、解答题 7．如图，在中，过点作，点是边上的一点，且，，连接交于点． (1)求证：； (2)若，，求的度数． 【答案】(1)∵，，， ∴． (2) 【分析】（1）根据的判定方法进行证明，即可作答． （2）先结合全等三角形的性质得，，运用三角形内角和性质进行列式计算，即可作答． 【详解】（1）略 （2）解：由（1）得， ∴， ∴， 则． 8．如图，，，点D在边上，和相交于点O． (1)若，求的度数； (2)若，求证：． 【答案】(1) (2)证明：∵， ∴， 由（1）可知：， 又∵， ∴， ∴，即， 在和中， ， ∴． 【分析】（1）在和中，利用三角形内角和定理可得，从而得到答案； （2）先证明，再利用可证得． 【详解】（1）解：∵，点D在边上，和相交于点O， ∴， 又∵，， ∴； （2）略． 9．如图，已知：点E、C、D、B在一直线上，，，如果 ，那么．请从①；②；③这三个选项中选择一个作为条件（在空格中填入对应序号），使结论成立，并证明结论． 【答案】② 证明：∵， ∴，即， ∵，， ∴， ∴， ∴． 【分析】由可得，选择①时，可得，两个三角形对应角边为，无法证明两个三角形全等，不能证明结论；选择②，可由证明两个三角形全等，得到，可证明结论；选择③时，两个三角形对应角边为，无法证明两个三角形全等，不能证明结论． 【详解】略 10．如图，已知：点、分别在线段、上，，． (1)求证：； (2)不添加任何字母，请你连接图中两点，得到一组全等的三角形是：________并给出证明． 【答案】(1)证明：在和中， ， ∴ (2)方法一：如图，连接，得到， 证明：∵， ∴，， 又∵， ∴，即， 在和中， ， ∴； 方法二：如图，连接，得到， ∵， ∴，， 又∵， ∴，即， 在和中， ， ∴ 【分析】（1）在和中，结合已知的、公共角与，依据即可证明两三角形全等； （2）可连接，得到；由（1）得，由全等性质可知、，结合推得，再根据三边对应相等，依据即可证明；也可连接，得到，同上得、，依据即可证明． 【详解】（1）略 （2）略 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题09全等三角形的性质与判定 常考题型·精准突破 ●考点一全等三角形的性质●一 ◆题型1全等三角形的性质 1.C 【详解】解：：△ABC≌aDEF,AB=8, .DE=AB=8. AE=12, .BE=AE-AB=12-8=4, ∴.DB=DE-BE=8-4=4 2.c 【详解】解：，△ABC≌△DEB,∠A=40°， .∠D=∠A=40°， ∠DBE=65°， ∴.∠AED=∠DBE+∠D=65°+40°=105° 3.2 【详解】解：，RtAABC≌RtAEBD,AB=4,BD=6, .BC=BD=6,BE=AB=4. .CE=BC-BE=6-4=2. 4.6 【详解】解：△ABC≌△DEB, .AB=DE,BC=BE, DE=10,BC=4, .AB=10,BE=4, ∴.AE=AB-BE=10-4=6 。考点二全等三角形的判定●— ◆题型2用SAS证明三角形全等 5.证明：在△AOP和△BOP中， 1/14 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 AO=BO ∠1=∠2 OP=OP .△AOP≌aBOP(SAS) 【详解】略 6.解：△ABC和△EDC全等，理由如下， .∠ECB=∠ACD .∠ECB-∠ACE=∠ACD-∠ACE. .∠ACB=∠ECD 在△ABC和△EDC中， AC=EC ∠ACB=∠ECD BC=DC .△ABC≌△EDC(SAS) 【详解】略。 7.(1)证明：.AF=DC, ∴.AF-CF=DC-CF, 即AC=DF 在△ABC和△DEF中： AC=DF ∠A=∠D AB=DE .△ABC≌△DEF(SAS) (2)BC=EF,且BC∥EF,证明如下： 由(1)得△ABC≌△DEF, BC=EF,∠ACB=∠DFE .∠BCF=∠EFC, ∴.BC∥EF 综上，BC=EF,且BC∥EF. 【详解】(1)略. (2)略. 2/14 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 8.证明：AC平分∠EAF, ∠BAC=∠DAC, AB=AD 在 和 中， ∠BAC=∠DAC, △ABC△ADC AC=AC ∴AABC≌△ADC(SAS), .BC=DC. 【详解】略 ◆题型3用ASA(AAS)证明三角形全等 9. ①③④ 【详解】解：，∠ACB=90°、 .∠BCF=180°-∠ACB=90°， .∠BCF=∠ACD=90°： ,BE⊥AD, .∠AEB=∠AEF=90°， .∠EDB+∠EBD=90°， .∠CDA+∠CAD=90°，∠CDA=∠EDB, .∠EBD=∠CAD 又：BC=AC, .△ACD≌△BCF(ASA) .AD=BF,CD=CF,故①正确： AD平分∠BAC, :∠CAD=∠BAD=∠BAC, 2 又AE=AE, .△AEB≌△AEF(ASA), BE-FE-BF:4B-AF:BR-2R 故③正确： .AF=AC+CF, .AB=AC+CD,故④正确： 3/14 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 如图所示，过点D作DH⊥AB于点H, B ■ .∠AHD=∠ACD=90° 又，AD=AD, .△AHD≌△ACD(AAS), ..CD=HD, 1 1 S.48D.=2 AB·HD BD·AC 2 S。ACD 24C.CD 2CD-AC AB BD ∴.ACHD AB BD 即ACCD' .AB>AC, .'BD>CD .BC=BD+CD>2CD, .BC>2CF, .BF>BC, .2BE>2CF,即BE>CF,故②错误； 综上所述，正确的有①③④· 10.证明：在△ABC和△DCB中， [∠ABC=∠DCB BC=CB ∠ACB=∠DBC .△ABC≌△DCB(ASA. .AB=DC. 【详解】略 11.证明：，AB∥DE, 4/14 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴.∠B=∠DEF, AB=DE,∠A=∠D, .△ABC≌△DEF(ASA) 【详解】略 12.(1)证明：，∠CAB=90°， .∠CAD+∠BAE=90°， CD⊥AE,BE⊥AE, .∠CDA=∠E=90, ∴.∠ABE+∠BAE=90, ∠CAD=∠ABE, 又：AC=AB, △ACD≌△BAE(AAS): (2）3cm」 【详解】(1)略， (2)解：由(1)知△ACD≌△BAE, .'AE=CD=5cm,AD=BE 2cm, .DE=AE-AD=5-2=3(cm) ◆题型4用SSS证明三角形全等 13.解：BD=EC, .BD-CD=EC-CD. .·.BC=ED AB=FE,AC=FD, .AABC≌△FED(SSS), ∠B=∠E. 【详解】略 14. 证明：，BE=CF, ∴.BE+EC=CF+EC,即BC=EF, 在△ABC和△DEF中， 5/14 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 AB=DE BC=EF AC=DF ∴.△ABC≌aDEF(SSS) .∠A=∠D 【详解】略 15.∠CAE=30° 【详解】解：，△ABD和△ACE都为等腰三角形，A为顶角的顶点， ∴AB=AD,AC=AE, 在△ABC和△ADE中， (AB=AD AC=AE BC=DE .△ABC≌aADE(SSS), ∴.LBAC=∠DAE ∴.∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC. .∠BAD=∠CAE .∠BAD=30°， ∴.∠CAE=30° 【点睛】本题利用共顶点等腰三角形的边相等，通过SSS全等实现角的全等转化，关键是证 △ABC≌△ADE,得到∠CAE=∠BAD, 16.(1) 证明：BE=FC, .BE+EC=EC+CF, .BC=EF, 在△ABC和△DFE中， (AB=DF BC=EF AC=DE .△ABC≌aDFE(SSS) (2)2 6/14 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【详解】(1)略 (2)解：：△ABC≌aDFE(SSS), ∴.BC=EF, .EF=5,BE=3, .BC=BE+EC=5, .EC=BC-BE=5-3=2 ◆题型5三角形的稳定性及应用 17.D 【详解】解：用窗钩AB可将其固定，这里所运用的几何原理是三角形的稳定性 18.C 【详解】解：工人师傅砌门时，常用一根木条固定长方形门框使其不变形，这样做的根据是三角形的稳定 性. 19.三角形的稳定性 【详解】解：当汽车前机盖打开时，支撑杆、车身与机盖之间形成了一个三角形，这是利用了三角形的稳 定性 20.三角形具有稳定性 【详解】解：由图可知，斜钉两根木条后，木条与板凳腿构成了三角形，而三角形具有稳定性，斜钉两 根木条即可加固，所以其中蕴含的数学原理是三角形具有稳定性， ◆题型6用HL证全等 21.3或6 【详解】解：AC⊥AD, ∴.∠PAQ=90° △APQ是直角三角形， .PO=AB “.①当AP=BC=3时，则Rt△ABC≌Rt△QPA(HL),符合题意： ②当AP=AC=6时，则Rt△ABC≌Rt△POA(HL),符合题意： 综上，当AP=3或AP=6时，才能使△ABC和△APO全等. 22.HL 【详解】解：∠ACB=∠BDA=90°， 7/14 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .△ACB和△BDA为直角三角形， 在Rt△ACB和Rt△BDA中， AC=BD AB=BA' :△ACB≌△BDA(HL), 则全等的依据是HL, 23.证明见详解 【详解】证明：AE=BF, ∴.AE+EF=BF+EF,即AF=BE, 在Rt△ACF和RtABDE中， AF=BE AC=BD ∴.Rt△ACF≌Rt△BDE(HL), .∠AFC=∠BED 24.(1)证明：∠DEB=90°， .∠BEF=90° ·Rt△ABC≌Rt△DBE, ∴BC=BE, 在Rt△BCF和Rt△BEF中， BF =BF BC=BE' .RtaBCFRtABEF (HL): (2)3 【详解】(1)略 (2)解：Rt△ABC≌Rt△DBE, .DE=AC, DE=4, .AC=4, ·RtaBCFS≌RtaBEF, ..CF=EF, EF=1, 8/14 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .CF=1, .AF=AC-CF=4-1=3 ◆题型7添加条件使三角形全等 25.D 【详解】解：已知∠A=∠D=90°，BC=CB 对于A,若AB=CD 在Rt△ABC和RtADCB中， BC=CB AB=DC' .Rt△ABC≌Rt△DCB(HL),条件正确，故本选项不符合题意； 对于B,若AC=BD, 在Rt△ABC和RtADCB中， BC=CB AC=DB' .Rt△ABC≌Rt△DCB(HL),条件正确，故本选项不符合题意； 对于C,若∠ABC=∠DCB. 在△ABC和△DCB中， ∠A=∠D ∠ABC=∠DCB BC=CB ∴△ABC≌△DCB(AAS),条件正确，故本选项不符合题意； 对于D,设AC与BD交于点O, y B C.:∠A=∠D=90°∠AOB=∠DOC ·∠ABD=∠ACD,此结论由已知条件即可推出，无法判定△ABC≌△DCB,条件错误，故本选项符合 题意. 26.A 【详解】解：已知：BA=BE,BC=BD, 选项A:BA=BE,BC=BD,∠A=∠E,属于两边和其中一边的对角对应相等(SSA),SSA不能判定 9/14 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 △ABC≌△EBD,故此选项错误. 选项B:∠ABD+∠ABE=∠EBC+∠ABE, ∴.∠ABC=∠EBD, 在△ABC和△EBD中， BA=BE ∠ABC=∠EBD BC=BD .∴△ABC≌△EBD(SAS),故此选项正确. 选项C:△ABC和△EBD都是直角三角形， 在RIAABC和RtAEBD中， BA=BE BC=BD' :.Rt△ABC≌RtAEBD(HL),故此选项正确， 选项D:在△ABC和△EBD中， BA=BE BC=BD AC=DE :AABC≌△EBD(SSS),故此选项正确 27.∠B=∠E(或∠ACB=∠DFE或AB∥DE或AC∥DF) 【详解】解：BF=EC, ∴BF+CF=EC+CF, 即BC=EF. 又∠A=∠D, ∴可添加的条件有： (1)添加∠B=∠E, 在△ABC和△DEF中 [∠A=∠D ∠B=∠E BC=EF .△ABC≌aDEF(AAS): (2)添加∠ACB=∠DFE, 10/14 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 在△ABC和△DEF中 ∠A=∠D ∠ACB=∠DFE BC=EF .△ABC≌aDEF(AAS): (3)添加AB∥DE, 则∠B=∠E, 由(1)可知△ABC≌△DEF: (4)添加AC∥DF. 则∠ACB=∠DFE, 由(2)可知△ABC≌△DEF 28.∠A=∠D(答案不唯一) 【详解】解：，∠ABC=∠DCB和BC=CB, ∴.当添加∠A=∠D时，可用AAS来判定△ABC≌△DCB ◆题型8灵活选用判定方法证全等 29.C 【详解】解：A选项，只给出∠C=90°和AC=6,缺少其他边或角的条件，不能画出唯一△ABC,不符合 题意； B选项，AB=2,BC=3,∠A=50属于两边及其中一边对角相等的情况，不符合全等三角形的判定定理， 不能画出唯一△ABC,不符合题意； C选项，∠A=50°，∠B=60°，AB=2,是两角及其夹边，符合全等三角形的ASA判定定理，能画出唯一 △ABC,符合题意： D选项，AB+BC=2+3=5<AC=6,不满足三角形两边之和大于第三边的三边关系，不能画出三角形， 不符合题意， 30.B 【详解】解：A、SAS能判定△ABC和△A'B'C'全等： B、SSA不能判定△ABC和△AB'C'全等： C、AAS能判定△ABC和△AB'C'全等； D、SSS能判定△ABC和△AB'C'全等. 31.A 11/14 画学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【详解】解：A、添加AC=AE,由“SSA”不可证△ABC≌△ADE,故选项A符合题意： B、添加∠C=∠E,由“AAS”可判定△ABC≌aADE,选项B不符合题意： C、添加BC=DE,由“SAS”可证△ABC≌aADE,故选项C不合题意； D、添加LBAD=∠CAE,可得到∠BAC=∠DAE,由“ASA”可证△ABC≌△ADE,故选项D不合题意 32.A 【详解】解：对于结论①：“AB=A,B,BC=B,C,且两个三角形周长相等，即 AB +BC+AC=4B,+B2C2+4C2, ..AC=A2C2, ∴△AB,C≌△A4,B,C2(SSS),故①正确： 对于结论②：己知条件为∠B=∠B2,B,C=B,C2,AC=A,C,属于两边及其中一边的对角对应相等( SSA)的情况，SSA不能判定三角形全等，可构造出满足条件但不全等的两个三角形，故②错误： 综上，①正确，②错误. 综合攻坚·知能拔高 一、选择题 1.D2.C3.C4.B 二、填空题 5.AB=CD 6.12.5 三、解答题 7. (1:BE=BC,∠ABD=∠C,BD=AC, :△ABC≌aDEB(SAS) (2)解：由(1)得△ABC≌△DEB, ∴.∠A=∠D=25°，∠EBD=∠C=70° ∴.∠ABC=180°-∠A-∠C=85° 则∠DBC=∠ABC-∠EBD=85°-70°=15° 8.(1)解：：∠A=∠B,∠BOE=∠AOD,点D在AC边上，AE和BD相交于点O, .∠AEB=∠I, 又：∠1=∠2，∠2=40°， ∠AEB=∠1=∠2=40°： 12/14 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)证明：，∠EDC=∠C, ∴.EC=ED」 由(1)可知：∠AEB=∠1， 又，∠1=∠2， .∠2=∠AEB, ∴.∠2+∠AED=∠AEB+∠AED,即∠AEC=∠BED, 在△AEC和△BED中， ∠A=∠B ∠AEC=∠BED EC=ED .△AEC≌aBED(AAS) 9. 【答案】② 证明：BD=CE, ∴.BD+CD=CE+CD,即BC=DE, .AC=FD,AB=EF, :.△MBC≌△FEB(SSS), ∴.∠B=∠E, .AB∥EF 10 【答案】(1)证明：在△ADE和△ABC中， ∠D=∠B ∠A=∠A AE=AC :△ADE≌△ABC(AAS) (2)方法一：如图，连接BD,得到△BCD≌△DEB, A E SD 证明：△ADE≌△ABC, .AB=AD,BC=DE, 又，AE=AC, .AB-AE=AD-AC,BE=CD, 在△BCD和△DEB中， CD=BE BC=DE BD=DB :ABCD≌aDEB(SSS)】 方法二：如图，连接EC,得到△BEC≌aDCE 13/14 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 E B ,△ADE≌△ABC. .AB=AD,BC=DE, 又：AE=AC, .'AB-AE =AD-AC,BE=CD, 在△BEC和△DCE中， BE=CD ∠B=∠D BC=DE :.△BEC≌aDCE(SAS) 14/14