专题03 因式分解12大题型68题（期中专项训练）七年级数学上学期新教材沪教版五四制

专题03 因式分解 基础·固本强基 题型1 因式分解概念的辨析 题型2 提取公因式法 题型3 公因式为多项式（整体提公因式） 提升·进阶突破 题型4 平方差公式法 题型5 完全平方公式法 题型6 先提公因式再套公式（综合） 题型7 公式法的整体代换（换元） 拔高·压轴破难 题型8 十字相乘法（二次项系数为1） 题型9 十字相乘法（二次项系数不为1） 题型10 十字相乘法（整体思想） 题型11 分组分解法 题型12 综合应用（求值·整除·面积·最值） 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 基础·固本强基 题型1 因式分解概念的辨析（共4小题） 【模型】判断一个变形是否为因式分解：看右边是否为“几个整式的积”，且是否与原多项式恒等。 【步骤】① 看左边是否为多项式；② 看右边是否为若干整式的乘积（不是和、差）；③ 检查左右两边是否恒等、结果是否分解彻底。 【易错】① 把结果仍写成“和”或“差”的形式，误判为因式分解；② 混淆因式分解与整式乘法的方向；③ 分解不彻底，还有因式能继续分解；④ 系数或符号出错导致不恒等。 1．（24-25七年级上·上海·期中）下列各式中，由左向右变形是因式分解的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：因式分解是将多项式化为几个整式的积的形式； 对于A：右边为，未分解彻底，不符合题意； 对于B：右边为，是整式乘法展开，不是因式分解，不符合题意； 对于C：右边为，含有加法运算，不是积的形式，不是因式分解，不符合题意； 对于D：右边为，是积的形式，且左右相等，符合因式分解定义，符合题意； ∴故选：D． 2．（25-26七年级上·上海嘉定·期中）下列从左到右变形，是因式分解的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：A中，右边计算为，与左边 不相等，故不是因式分解； B中，右边计算为，与左边相等，且是积的形式，故是因式分解； C中，是整式乘法，不是因式分解； D中，右边不是积的形式，故不是因式分解． 故选B． 3．（25-26七年级上·上海松江·期中）下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：因为是单项式，所以A不符合题意； 因为右边不是整式，所以B不符合题意； 因为左边是多项式，右边是整式的积，且成立，所以C符合题意； 因为右边，等式不成立，所以D不符合题意． 故选：C． 4．（25-26七年级上·上海闵行·期中）下列从左到右的等式变形中，因式分解是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：A．，并非将多项式转化为整式乘积的形式，不符合题意； B．，是多项式乘以多项式，并非将多项式转化为整式乘积的形式，不符合题意； C．，符合因式分解的定义，符合题意； D．，并非将多项式转化为整式乘积的形式，不符合题意． 故选：C． 题型2 提取公因式法（共4小题） 【模型】公因式＝各项系数的最大公因数×各项都含有的相同字母的最低次幂的积。 【步骤】① 定公因式（系数取最大公因数，字母取最低次幂）；② 用公因式去除各项，得到剩余项；③ 写成“公因式×(剩余项的和)”；④ 检查剩余项中是否还有公因式。 【易错】 ① 公因式提不“干净”（漏掉系数或字母）；② 首项系数为负时不先提出负号，导致符号混乱；③ 某一项被公因式除尽后剩余项为“1”却漏写1；④ 提取后剩余项仍可再分解却未继续。 5．（25-26七年级上·上海·期中）因式分解：________． 【答案】 【详解】解：． 故答案为 ． 6．（25-26七年级上·上海虹口·期中）分解因式：____． 【答案】 【详解】解：． 故答案为：． 7．（24-25七年级上·上海·期中）因式分解：_____ 【答案】 【详解】解： 故答案为：． 8．（25-26七年级上·上海·期中）分解因式： 【答案】 【详解】解： ． 题型3 公因式为多项式（整体提公因式）（共5小题） 【模型】当各项含有的公因式是一个多项式（如 x＋y、a－b 等）时，把它看作一个整体提取。 【步骤】① 观察各项是否含有相同的多项式因式；② 若出现互为相反数的因式，先统一变形；③ 把公共的多项式作为公因式提出；④ 检查剩余项再分解。 【易错】 ① 未把 (y－x) 化为 －(x－y)，导致看不到公共因式；② 提出多项式公因式后，剩余多项式未整理合并同类项。 9．（24-25七年级上·上海嘉定·期中）分解因式：________． 【答案】 【详解】解：． 故答案为：． 10．（25-26七年级上·上海杨浦·期中）因式分解：_________． 【答案】 【详解】解： = 故答案为： ． 11．（24-25七年级上·上海·期中）因式分解：． 【答案】 【详解】解： ． 故答案为：． 12．（25-26七年级上·上海·期中）因式分解： 【答案】 【详解】解： ． 13．（25-26七年级上·上海·期中）因式分解： 【答案】 【详解】解： ． 提升·进阶突破 题型4 平方差公式法（共3小题） 【模型】 【步骤】① 确认是二项式；② 把两项分别写成某个整式的平方，且符号相反；③ 套公式写成“和×差”两个因式；④ 若各项还有公因式，先提后套。 【易错】① 指数是2的倍数时忘记整体看成平方，如把 x⁴ 错写为 (x)²；② 两项同号却套平方差；③ 系数忘记平方，如 4x² 的底数是 2x 而非 x；④ 结果未分解彻底。 14．（25-26七年级上·上海金山·期中）下列多项式中能用平方差公式分解因式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】∵ 平方差公式为 ； 选项A：，是平方和，不符合公式； 选项B：，符合公式，可分解为 ； 选项C：，是平方和，不符合公式； 选项D：，不是平方差形式； ∴ 能用平方差公式分解因式的是：B； 故选：B． 15．（24-25七年级上·上海·期中）因式分解：_____． 【答案】 【详解】解： ， 故答案为：． 16．（24-25七年级上·上海嘉定·期中）定义：如果一个正整数能表示为两个正整数，的平方差，且，则称这个正整数为“智慧优数”．例如，，16就是一个“智慧优数”，可以利用进行研究．若将“智慧优数”从小到大排列，第4个“智慧优数”是________． 【答案】16 【详解】解：∵两个正整数m，n满足， ∴或或或或，…， 当时，则， ∴， 得到的“智慧优数”为8，12，16，…； 当时，则， ∴， 得到的“智慧优数”为15，21，27，…； 当时，则， ∴， 得到的“智慧优数”为24，32，…； 当时，则， ∴， 得到的“智慧优数”为35，45，…； 当时，则， ∴， 得到的“智慧优数”为48，60，…； …， 把这些“智慧优数”从小到大排列为8，12，15，16，21，24，27，32，35，45，48，60，…， 故第4个“智慧优数”是16， 故答案为：16． 题型5完全平方公式法 （共3小题） 【模型】 【步骤】① 确认是三项式；② 找到两项的平方根，确定两个“底数”a、b；③ 检查第三项是否为 2ab（注意符号）；④ 套公式写成 (a±b)²；⑤ 若有公因式先提。 【易错】① 中间项不是 2ab 却硬套公式；② 底数判断错误（系数没开平方）；③ 符号判断错，把“＋”写成“－”；④ 误认为 a²＋b² 这种只有两项的式子可用完全平方公式。 17．（23-24七年级上·上海松江·期中）因式分解： ________． 【答案】 【详解】解：， 故答案为： 18．（25-26七年级上·上海浦东新·期中）因式分解： 【答案】 【难度】0.65 【详解】解：原式． 19．（24-25七年级上·上海·期中）分解因式： 【答案】 【难度】0.85 【详解】解： ． 题型6 先提公因式再套公式（综合）（共4小题） 【模型】多项式若既有公因式、又能套公式，必须“先提公因式，再套公式”。 【步骤】① 提公因式；② 对剩余部分套平方差或完全平方公式；③ 检查是否彻底。 【易错】 ① 提完公因式后忘记继续用公式分解；② 公因式提取不完整导致后续无法套公式。 20．（25-26七年级上·上海宝山·期中）因式分解：． 【答案】 【详解】解： ． 21．（25-26七年级上·上海浦东新·期中）分解因式：． 【答案】 【详解】原式 ． 22．（25-26七年级上·上海普陀·期中）因式分解：． 【答案】 【详解】解： ． 23．（25-26七年级上·上海金山·期中）因式分解：． 【答案】 【详解】解： ． 题型7 公式法的整体代换（换元）（共5小题） 【模型】把某一部分（如 x＋y、a＋b）整体看成一个字母，套用平方差或完全平方公式，最后再换回。 【步骤】① 找到可整体替换的多项式；② 把它看作一个字母套公式；③ 换回原式并化简；④ 检查。 【易错】 ① 换回后忘记继续化简或分解；② 整体代换后符号出错。 24．（24-25七年级上·上海·期中）因式分解：． 【答案】 【详解】解： 25．（24-25七年级上·上海·期中）因式分解： 【答案】 【详解】解： ． 26．（24-25七年级上·上海松江·期中）因式分解：； 【答案】 【详解】 ． 27．（24-25七年级上·上海杨浦·期末）因式分解： 【答案】 【详解】解； ． 28．（24-25七年级上·上海·期中）因式分解： 【答案】 【详解】解： ． 拔高·压轴破难 题型8 十字相乘法（二次项系数为1）（共4小题） 【模型】 【步骤】① 把常数项分解成两个整数 p、q 的积；② 检验 p＋q 是否等于一次项系数；③ 写成 (x＋p)(x＋q)。 【易错】① 两数积、两数和的符号判断错误；② 忘记检验“和”，选了错误的组合；③ 常数项符号出错。 29．（25-26七年级上·上海杨浦·期中）因式分解：_______． 【答案】 【详解】解：， 故答案为：． 30．（25-26七年级上·上海宝山·期中）因式分解：． 【答案】 【详解】根据分析，使用十字相乘法得： 31．（25-26七年级上·上海·期中）因式分解： 【答案】 【详解】解：原多项式为， 寻找两个数，它们的和为，积为10． 10的因数对中，和满足条件． 因此，因式分解为． 32．（24-25七年级上·上海徐汇·期中）因式分解：． 【答案】 【详解】解：原式 ． 题型9 十字相乘法（二次项系数不为1）（共3小题） 【模型】形如 ax²＋bx＋c，把 a 与 c 分别拆成两数之积，交叉相乘再求和，检验是否等于 b。 【步骤】① 拆分 a 为两因数，拆分 c 为两因数；② 交叉相乘并求和，验算是否等于 b；③ 若不等则换组合；④ 写成 (一次因式)(一次因式)。 【易错】① 组合选择错误，忘记验算中间项；② 符号混乱导致交叉相乘出错。 33．（24-25七年级上·上海·期中）因式分解：_____． 【答案】 【详解】解： ， ． 故答案为：． 34．（25-26七年级上·上海·期中）因式分解：_______． 【答案】 【详解】解： 原式 故答案为：. 35．（25-26七年级上·上海·期中）因式分解： 【答案】 【详解】解： ． 题型10 十字相乘法（整体思想）（共8小题） 36．（25-26七年级上·上海·期中）分解因式：； 【答案】 【详解】 ． 37．（25-26七年级上·上海闵行·期中）因式分解： 【答案】 【详解】解： 38．（25-26七年级上·上海·期中）因式分解： 【答案】 【详解】解：原式 . 39．（24-25七年级上·上海奉贤·期中）分解因式：． 【答案】 【详解】解：令，则原式变为， 根据完全平方公式，这里， 则．， 把代后，得到， ， 因此． 40．（24-25七年级上·上海·期中）因式分解：． 【答案】 【详解】解：令则原式变为： ， ∴原式 ． 41．（25-26七年级上·上海闵行·期中）因式分解：． 【答案】 【详解】解： ． 42．（24-25七年级上·上海徐汇·期中）因式分解：． 【答案】 【详解】解： ． 43．（24-25七年级上·上海·期中）因式分解： 【答案】 【详解】解： ， ． 题型11分组分解法 （共6小题） 【模型】把多项式适当分组，使每组可先用提取公因式或公式分解，再对整体提取公因式。 【步骤】① 合理分组（使每组有公因式或能套公式）；② 分别分解各组；③ 再对整体提取公因式；④ 检查。 【易错】 ① 分组不当，无法继续；② 提出负号时括号内变号出错。 44．（25-26七年级上·上海宝山·期中）因式分解：______． 【答案】 【详解】解： 故答案为： 45．（24-25七年级上·上海徐汇·期中）因式分解：． 【答案】 【详解】解： ． 46．（24-25七年级上·上海宝山·期中）因式分解：． 【答案】 【详解】解： ． 47．（24-25七年级上·上海·期中）因式分解：． 【答案】 【详解】解： ． 48．（23-24七年级上·上海青浦·期中）因式分解：． 【答案】． 【详解】解：原式， ， ， ． 49．（23-24七年级上·上海青浦·期中）因式分解： 【答案】 【详解】解： ； 题型12 综合应用（求值·整除·面积·最值）（共5小题） 【模型】① 代数式求值：先因式分解再代入；② 整除问题：把式子分解成含目标因子的乘积；③ 面积问题：利用因式分解表示面积或求边长；④ 最值问题：配方后用完全平方的非负性。 50．（25-26七年级上·上海·期中）对于任何正整数，多项式的值都能（   ） A．都能被整除 B．都能被整除 C．都能被整除 D．都能被8整除 【答案】D 【详解】解：∵ ， ∴ 对于任何正整数x，该多项式的值都是8的倍数，因此都能被8整除 故选：D. 51．（25-26七年级上·上海·期中）已知，，如果，则M、N的值的大小关系为（   ） A． B． C． D．不能确定 【答案】C 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， 即， ∴， 故选： C． 52．（25-26七年级上·上海·期中）数学服务于生活，灵活运用数学知识解决生活中的问题是需要倡导的重要理念．在日常生活中如取款上网等都需要有密码，有一种用“因式分解”法产生的密码，方便记忆．原理：如多项式因式分解的结果为，当，时，各因式的值是，，，于是密码就可以为018162，也可以是180162，对于多项式，取，时，密码不可能为（   ） A．124824 B．241248 C．122448 D．482124 【答案】D 【详解】解：∵ ， 且，， ∴ ， ， ， ∴ 因式值为 12、24、48， 可能密码有：122448、124824、241248、244812、481224、482412 选项A（124824）、B（241248）、C（122448）均符合， 选项D（482124）无法拆分为12、24、48的任意排列， ∴ 密码不可能为D． 故选：D． 53．（25-26七年级上·上海普陀·期中）在对整式进行因式分解时，甲同学看错了常数项b，因式分解的结果为；乙同学看错了一次项系数a，因式分解的结果为．根据以上信息，我们可以求得正确的因式分解结果为______． 【答案】 【详解】解：甲同学因式分解结果为，展开得，由于看错了常数项b，但一次项系数a正确，故； 乙同学因式分解结果为，展开得，由于看错了一次项系数a，但常数项b正确，故； 因此，原多项式为，因式分解得． 故答案为：． 54．（24-25七年级上·上海嘉定·期中）因式分解，其中、、都为整数，则这样的的最小值是________． 【答案】 【详解】解：∵， ∴， ∴异号， ∵最小， ∴为负，的绝对值差值最大，且负数大于正数， ∵， ∴的最小值为：； 故答案为：． 55．（25-26七年级上·上海·期中）若，，，，则，，的大小关系是________．（用“”号连接） 【答案】 【详解】解：∵， ∴，，，，， ∵，，， ∴ ， ， ∴，，即，， ∴． 故答案为：． 56．（25-26七年级上·上海松江·期中）定义：如果一个正整数能表示为两个正整数，的平方差，且，则称这个正整数为“智慧优数”．例如，当，时，，8是一个“智慧优数”，若将“智慧优数”从小到大排列，第2025个智慧优数是__________． 【答案】8104 【详解】解：∵， ∴， ∴， 即智慧优数为，， 所以，第2025个智慧优数为． 故答案为：8104． 57．（25-26七年级上·上海金山·期中）一个四位正整数，其各个位上数字均不相同且不为零．若其千位数字是十位数字的整数倍，百位数字是个位数字的整数倍，那么称这个四位正整数叫“间倍数”，例如满足，，则是“间倍数”．已知“间倍数”，且均为整数，若无论两位数是什么数，“间倍数”都能被整除，且，“间倍数”为______． 【答案】、 【详解】解： ， ∵无论两位数是什么数，“间倍数”都能被整除， 能被整除，即能被整除， ， 或或，满足能被整除，即能被整除， ∵， 当时，，则， ， ∴两位数， ∵，且是四位数， 当时，即，若，则，得； 当时，即，若，则，舍去； 当时，即，若，则，舍去； 当时，即，若，则，得，不满足数字各不相同的条件，舍去； 当时，即，若，则，舍去； 当时，即，若，则，舍去； 当时，即，若，则，舍去； 当时，即，若，则，舍去； 当时，即，若，则，舍去； 当时，即，若，则，舍去； 当时，即，若，则，舍去； 当时，即，若，则，舍去； 当时，即，若，则，舍去； 当时，即，若，则，舍去； 当时，即，若，则，舍去； 当时，即，若，则，舍去； 当时，即，若，则，舍去； 当时，即，若，则，舍去； 当时，即，若，则，舍去； 当时，即，若，则，舍去； 当时，即，若，则，舍去； 当时，，则， ， ∴两位数， ∵，且是四位数， 当时，即，若，则，得； 当时，即，若，则，舍去； 当时，即，若，则，舍去； 当时，即，若，则，得，不满足数字各不相同的条件，舍去； 当时，即，若，则，舍去； 当时，即，若，则，舍去； 当时，即，若，则，舍去； 当时，即，若，则，舍去； 当时，即，若，则，舍去； 当时，即，若，则，舍去； 当时，即，若，则，舍去； 当时，即，若，则，舍去； 当时，即，若，则，舍去； 当时，即，若，则，舍去； 当时，即，若，则，舍去； 当时，即，若，则，舍去； 当时，即，若，则，舍去； 当时，即，若，则，舍去； 当时，即，若，则，舍去； 当时，即，若，则，舍去； 当时，即，若，则，舍去； 综上所述，符合题意的“间倍数”为、， 故答案为：、． 58．（24-25七年级上·上海·期中）已知，，求的值． 【答案】528 【详解】解：∵，， ∴ ． 59．（24-25七年级上·上海·期中）若为实数且满足，，求的最小值． 【答案】 【详解】解：由题得，， ∴ ， ， ， ∴，， ∴，当且仅当时取等号， 经检验当时满足， 的最小值为． 60．（24-25七年级上·上海·期中）为治理污水，甲、乙两区都需要各自铺设一段污水排放管道，甲、乙两区八月份都各铺了米，九月份和十月份中，甲区的工作量平均每月增长率为，乙区则平均每月减少率为． (1)求十月份甲、乙两区各铺设了多少米的排污管？（分别用含字母、的代数式表示）； (2)如果，且，那么十月份甲区比乙区多铺多少米排污管？ 【详解】（1）解：由题意得，十月份甲区铺设了 米的排污管，乙区铺设了米的排污管； （2）解： ， 当，时，原式， ∴十月份甲区比乙区多铺60米排污管． 61．（25-26七年级上·上海徐汇·期中）阅读：分解因式． 解：原式 此方法是抓住二次项和一次项的特点，然后加一项，使这三项为完全平方式，我们称这种方法为“配方法”，此题为用配方法分解因式，请体会配方法的特点，然后用配方法解决下列问题： 因式分解： (1)； (2) 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 62．（24-25七年级上·上海·期中）如图，将一张大长方形纸板分成9块，其中有2块是边长为cm的大正方形，2块是边长为cm的小正方形，且，5块是形状大小完全相同的小长方形． (1)观察图形，可以写出一个因式分解的等式为 ； (2)若图形中阴影部分的面积为，大长方形纸板的周长为． ①求的值； ②求图中空白部分的面积． 【详解】（1）解：通过观察图形可以得出图形的面积是：， 长方形的长是，宽是， 由此可得：， 故答案为：； （2）解：①根据长方形的周长为，可得： ，整列得： ，解得：． 答：的值为5； ②由图形可知：空白部分的面积为， 根据②得：， ∵阴影部分的面积为，且阴影部分的面积表示为， ∴， ∵， ∴，解：， ∴． 答：空白部分的面积为． 63．（24-25七年级上·上海黄浦·期中）【阅读材料】两个两位数相乘，如果这两个因数的个位数字相同，十位数字的和是10，该类乘法可以利用一种特殊的速算方法： 比如，它们乘积的前两位是，它们乘积的后两位是，所以． 又如，它们乘积的前两位是，它们乘积的后两位是，不足两位，就将9写在个位，十位上写0，所以． 该速算方法可以用我们所学的数学知识说明其合理性： 观察与归纳： (1)观察上述例子，请归纳这种速算方法，并以为例说明； 推理与解释： (2)该速算方法可以将其用字母进行表示，设其中一个因数的十位数字为a，个位数字是b，（a、b表示1~9的整数） 则该数可表示为，另一因数可表示为_______________， 用速算方法得到的结果可以表示为， 请运用所学数学知识，说明满足条件的两个因数相乘所得结果一定与速算方法所得结果相同． 探索与推广： (3)已知某宝藏的开锁密码是一个自然数，是一个正整数的平方，是另一个正整数的平方．你能凭借自己的智慧解开密码获取宝藏吗？（请简要说明你的解密过程和理由） 【详解】(1)解：这种速算方法是：将一因数的十位数字与另一个因数的十位数字加1的和相乘，所得的积作为计算结果的前两位，将两个因数的个位数字之积作为计算结果的后两位（数位不足的两位，用零补齐） 例如： (2)设其中一个因数的十位数字为，个位数字是，（、表示的整数） 则该数可表示为，另一因数可表示为， ∴ ∴满足条件的两个因数相乘所得结果一定与速算方法所得结果相同； 故答案为：；． (3)解：设， ∴ ∴ ∴ ∵是素数， ∴， ∵是正整数， ∴ 解得： ∴ 64．（24-25七年级上·上海·期中）读下列因式分解的过程，再回答所提出的问题： (1)上述分解因式的方法是________，共应用了________次． (2)若分解，则需应用上述方法________次，结果是________． (3)分解因式（写出过程）： 【详解】（1）解：阅读因式分解的过程可知：上述分解因式的方法是提公因式法，共应用了2次， 故答案为：提公因式法，2； （2）解： ， 则需应用上述方法2024次，结果是， 故答案为：2024，； （3）解： ． 65．（23-24七年级上·上海青浦·期中）关于、、的多项式，，，，在将字母、、轮换（即将换成，换成，换成）时，保持不变．这样的多项式称为、、的轮换式．我们可以利用轮换式的特征帮助我们进行巧妙地因式分解，我们也叫轮换式法． 例题：分解因式 解：令时，原式 所以是原式的因式，由于原式是、、的轮换式，所以、也是原式的因式，从而可以设 ， （保证两边次数相同，其中是系数） 令，得，即 所以 阅读上述材料分解因式完成下列两题： (1)对多项式 令________，原式；令________，原式 所以设 令得________ (2)用轮换式法因式分解： 【详解】（1）解：对多项式， 令，原式；令，原式， 所以设， 令得，，即， 故答案为：1，1，1． （2）解：对多项式， 令时，原式， 令时，原式， 令时，原式， 所以设（保证两边次数相同，其中是系数）， 令时，， 解得， 所以， 即． 66．（25-26七年级上·上海杨浦·期中）阅读材料 我们学过因式分解，如：，这时就说和是的因式． 那么，不进行因式分解能不能判断这样的式子是不是某个整式的因式呢？ 对于整式我们分别计算： 当时，原式；当时，原式； 当我们把和分别代入，整式的值都等于0，那么和就是整式的两个因式．通过归纳发现： 如果当时，一个整式的值等于0，那么就一定是这个整式的一个因式． 反过来，如果是整式的一个因式，那么当时，这个整式的值一定等于0． 请你根据上述材料解决以下问题：已知整式， (1)请判断是否是整式的一个因式； (2)当整式的一次项系数变为时，而仍是它的一个因式．求此时的值； (3)请尝试将整式进行因式分解． 【详解】（1）解：当时， ， ∴是整式的一个因式； （2）当整式的一次项系数变为时， ， ∵是它的一个因式， ∴， 解得：； （3）， 当时， ； 当时， ； 当时， ； ∴和、就是整式的因式， ∴． 67．（23-24七年级下·江苏南京·期中）数形结合是解决数学问题的重要思想方法，借助图形可以对很多数学问题进行直观推导和解释．如图1，有足够多的边长为的小正方形，长为、宽为的长方形以及边长为的大正方形． 利用图①中的三种材料各若干可以拼出一些长方形来解释某些等式，例如图2可以解释整式乘法：，也可以解释因式分解：． (1)若用4个类材料围成图3的形状，设外围大正方形的边长为，内部小正方形的边长为，观察图案，指出下列关系式中正确的是（写出所有正确结论的序号）______． ①；②；③；④；⑤． (2)若取其中的若干个（三种图形都要取到）拼成一个长方形，使其面积为，在虚框中画出图形，并根据所画图形，将多项式分解因式为______． (3)若取其中的若干个（三种图形都要取到）拼成一个长方形，使其面积为则的值为______．（直接写出结果） 【详解】（1）解：由图形可得，、，故①正确， ∴，即②错误； 由图形可得，，即，即③正确； ∵、， ∴，即，即④正确； ∵，，即故⑤正确． 故答案为：①③④⑤． （2）解：． 故答案为：． （3）解：由题意可得， ①当，， ②当，， ③当，． 故答案为：9或21或12． 68．（25-26七年级上·上海·期中）阅读材料： 在乘法公式的学习中，我们通过用不同的方法求同一平面图形的面积验证了平方差公式和完全平方公式．这种方法称为等面积法．类似地，通过不同的方法求同一个立体图形的体积，称为等体积法．根据课堂学习的经验，解决下列问题： 在一个棱长为的正方体中挖出一个棱长为的正方体，如图（1）所示．然后切割剩余的立体图形，如图（2）所示．将之分成三部分，如图（3）所示．这三部分长方体的体积依次为、、． (1)将图（3）中三块长方体体积和因式分解：_________． (2)图（1）中立方体的体积和图（3）中三块长方体体积和相同，利用等体积法能得到等式：________． (3)利用在（2）中所得到的等式进行因式分解：_________． (4)应用：若已知，，则的值． 【详解】（1）解：分解因式：， 故答案为：； （2）解：图（1）中立方体的体积可表示为； 图（1）中立方体的体积也可表示为即； 利用等体积法，能得到公式：， 故答案为：； （3）解：； （4）解：因为，， 所以 ， 故答案为：81． $专题03 因式分解 基础·固本强基 题型1 因式分解概念的辨析 题型2 提取公因式法 题型3 公因式为多项式（整体提公因式） 提升·进阶突破 题型4 平方差公式法 题型5 完全平方公式法 题型6 先提公因式再套公式（综合） 题型7 公式法的整体代换（换元） 拔高·压轴破难 题型8 十字相乘法（二次项系数为1） 题型9 十字相乘法（二次项系数不为1） 题型10 十字相乘法（整体思想） 题型11 分组分解法 题型12 综合应用（求值·整除·面积·最值） 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 基础·固本强基 题型1 因式分解概念的辨析（共4小题） 【模型】判断一个变形是否为因式分解：看右边是否为“几个整式的积”，且是否与原多项式恒等。 【步骤】① 看左边是否为多项式；② 看右边是否为若干整式的乘积（不是和、差）；③ 检查左右两边是否恒等、结果是否分解彻底。 【易错】① 把结果仍写成“和”或“差”的形式，误判为因式分解；② 混淆因式分解与整式乘法的方向；③ 分解不彻底，还有因式能继续分解；④ 系数或符号出错导致不恒等。 1．（24-25七年级上·上海·期中）下列各式中，由左向右变形是因式分解的是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级上·上海嘉定·期中）下列从左到右变形，是因式分解的是（　　） A． B． C． D． 3．（25-26七年级上·上海松江·期中）下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是（   ） A． B． C． D． 4．（25-26七年级上·上海闵行·期中）下列从左到右的等式变形中，因式分解是（   ） A． B． C． D． 题型2 提取公因式法（共4小题） 【模型】公因式＝各项系数的最大公因数×各项都含有的相同字母的最低次幂的积。 【步骤】① 定公因式（系数取最大公因数，字母取最低次幂）；② 用公因式去除各项，得到剩余项；③ 写成“公因式×(剩余项的和)”；④ 检查剩余项中是否还有公因式。 【易错】 ① 公因式提不“干净”（漏掉系数或字母）；② 首项系数为负时不先提出负号，导致符号混乱；③ 某一项被公因式除尽后剩余项为“1”却漏写1；④ 提取后剩余项仍可再分解却未继续。 5．（25-26七年级上·上海·期中）因式分解：________． 6．（25-26七年级上·上海虹口·期中）分解因式：____． 7．（24-25七年级上·上海·期中）因式分解：_____ 8．（25-26七年级上·上海·期中）分解因式： 题型3 公因式为多项式（整体提公因式）（共5小题） 【模型】当各项含有的公因式是一个多项式（如 x＋y、a－b 等）时，把它看作一个整体提取。 【步骤】① 观察各项是否含有相同的多项式因式；② 若出现互为相反数的因式，先统一变形；③ 把公共的多项式作为公因式提出；④ 检查剩余项再分解。 【易错】 ① 未把 (y－x) 化为 －(x－y)，导致看不到公共因式；② 提出多项式公因式后，剩余多项式未整理合并同类项。 9．（24-25七年级上·上海嘉定·期中）分解因式：________． 10．（25-26七年级上·上海杨浦·期中）因式分解：_________． 11．（24-25七年级上·上海·期中）因式分解：． 12．（25-26七年级上·上海·期中）因式分解： 13． （25-26七年级上·上海·期中）因式分解： 提升·进阶突破 题型4 平方差公式法（共3小题） 【模型】 【步骤】① 确认是二项式；② 把两项分别写成某个整式的平方，且符号相反；③ 套公式写成“和×差”两个因式；④ 若各项还有公因式，先提后套。 【易错】① 指数是2的倍数时忘记整体看成平方，如把 x⁴ 错写为 (x)²；② 两项同号却套平方差；③ 系数忘记平方，如 4x² 的底数是 2x 而非 x；④ 结果未分解彻底。 14．（25-26七年级上·上海金山·期中）下列多项式中能用平方差公式分解因式的是（   ） A． B． C． D． 15．（24-25七年级上·上海·期中）因式分解：_____． 16．（24-25七年级上·上海嘉定·期中）定义：如果一个正整数能表示为两个正整数，的平方差，且，则称这个正整数为“智慧优数”．例如，，16就是一个“智慧优数”，可以利用进行研究．若将“智慧优数”从小到大排列，第4个“智慧优数”是________． 题型5完全平方公式法 （共3小题） 【模型】 【步骤】① 确认是三项式；② 找到两项的平方根，确定两个“底数”a、b；③ 检查第三项是否为 2ab（注意符号）；④ 套公式写成 (a±b)²；⑤ 若有公因式先提。 【易错】① 中间项不是 2ab 却硬套公式；② 底数判断错误（系数没开平方）；③ 符号判断错，把“＋”写成“－”；④ 误认为 a²＋b² 这种只有两项的式子可用完全平方公式。 17．（23-24七年级上·上海松江·期中）因式分解： ________． 18．（25-26七年级上·上海浦东新·期中）因式分解： 19．（24-25七年级上·上海·期中）分解因式： 题型6 先提公因式再套公式（综合）（共4小题） 【模型】多项式若既有公因式、又能套公式，必须“先提公因式，再套公式”。 【步骤】① 提公因式；② 对剩余部分套平方差或完全平方公式；③ 检查是否彻底。 【易错】 ① 提完公因式后忘记继续用公式分解；② 公因式提取不完整导致后续无法套公式。 20．（25-26七年级上·上海宝山·期中）因式分解：． 21．（25-26七年级上·上海浦东新·期中）分解因式：． 22．（25-26七年级上·上海普陀·期中）因式分解：． 23．（25-26七年级上·上海金山·期中）因式分解：． 题型7 公式法的整体代换（换元）（共5小题） 【模型】把某一部分（如 x＋y、a＋b）整体看成一个字母，套用平方差或完全平方公式，最后再换回。 【步骤】① 找到可整体替换的多项式；② 把它看作一个字母套公式；③ 换回原式并化简；④ 检查。 【易错】 ① 换回后忘记继续化简或分解；② 整体代换后符号出错。 24．（24-25七年级上·上海·期中）因式分解：． 25．（24-25七年级上·上海·期中）因式分解： 26．（24-25七年级上·上海松江·期中）因式分解：； 27．（24-25七年级上·上海杨浦·期末）因式分解： 28． （24-25七年级上·上海·期中）因式分解： 拔高·压轴破难 题型8 十字相乘法（二次项系数为1）（共4小题） 【模型】 【步骤】① 把常数项分解成两个整数 p、q 的积；② 检验 p＋q 是否等于一次项系数；③ 写成 (x＋p)(x＋q)。 【易错】① 两数积、两数和的符号判断错误；② 忘记检验“和”，选了错误的组合；③ 常数项符号出错。 29．（25-26七年级上·上海杨浦·期中）因式分解：_______． 30．（25-26七年级上·上海宝山·期中）因式分解：． 31．（25-26七年级上·上海·期中）因式分解： 32．（24-25七年级上·上海徐汇·期中）因式分解：． 题型9 十字相乘法（二次项系数不为1）（共3小题） 【模型】形如 ax²＋bx＋c，把 a 与 c 分别拆成两数之积，交叉相乘再求和，检验是否等于 b。 【步骤】① 拆分 a 为两因数，拆分 c 为两因数；② 交叉相乘并求和，验算是否等于 b；③ 若不等则换组合；④ 写成 (一次因式)(一次因式)。 【易错】① 组合选择错误，忘记验算中间项；② 符号混乱导致交叉相乘出错。 33．（24-25七年级上·上海·期中）因式分解：_____． 34．（25-26七年级上·上海·期中）因式分解：_______． 35．（25-26七年级上·上海·期中）因式分解： 题型10 十字相乘法（整体思想）（共8小题） 36．（25-26七年级上·上海·期中）分解因式：； 37．（25-26七年级上·上海闵行·期中）因式分解： 38．（25-26七年级上·上海·期中）因式分解： 39．（24-25七年级上·上海奉贤·期中）分解因式：． 40．（24-25七年级上·上海·期中）因式分解：． 41．（25-26七年级上·上海闵行·期中）因式分解：． 42．（24-25七年级上·上海徐汇·期中）因式分解：． 43．（24-25七年级上·上海·期中）因式分解： 题型11分组分解法 （共6小题） 【模型】把多项式适当分组，使每组可先用提取公因式或公式分解，再对整体提取公因式。 【步骤】① 合理分组（使每组有公因式或能套公式）；② 分别分解各组；③ 再对整体提取公因式；④ 检查。 【易错】 ① 分组不当，无法继续；② 提出负号时括号内变号出错。 44．（25-26七年级上·上海宝山·期中）因式分解：______． 45．（24-25七年级上·上海徐汇·期中）因式分解：． 46．（24-25七年级上·上海宝山·期中）因式分解：． 47．（24-25七年级上·上海·期中）因式分解：． 48．（23-24七年级上·上海青浦·期中）因式分解：． 49．（23-24七年级上·上海青浦·期中）因式分解： 题型12 综合应用（求值·整除·面积·最值）（共5小题） 【模型】① 代数式求值：先因式分解再代入；② 整除问题：把式子分解成含目标因子的乘积；③ 面积问题：利用因式分解表示面积或求边长；④ 最值问题：配方后用完全平方的非负性。 50．（25-26七年级上·上海·期中）对于任何正整数，多项式的值都能（   ） A．都能被整除 B．都能被整除 C．都能被整除 D．都能被8整除 51．（25-26七年级上·上海·期中）已知，，如果，则M、N的值的大小关系为（   ） A． B． C． D．不能确定 52．（25-26七年级上·上海·期中）数学服务于生活，灵活运用数学知识解决生活中的问题是需要倡导的重要理念．在日常生活中如取款上网等都需要有密码，有一种用“因式分解”法产生的密码，方便记忆．原理：如多项式因式分解的结果为，当，时，各因式的值是，，，于是密码就可以为018162，也可以是180162，对于多项式，取，时，密码不可能为（   ） A．124824 B．241248 C．122448 D．482124 53．（25-26七年级上·上海普陀·期中）在对整式进行因式分解时，甲同学看错了常数项b，因式分解的结果为；乙同学看错了一次项系数a，因式分解的结果为．根据以上信息，我们可以求得正确的因式分解结果为______． 54．（24-25七年级上·上海嘉定·期中）因式分解，其中、、都为整数，则这样的的最小值是________． 55．（25-26七年级上·上海·期中）若，，，，则，，的大小关系是________．（用“”号连接） 56．（25-26七年级上·上海松江·期中）定义：如果一个正整数能表示为两个正整数，的平方差，且，则称这个正整数为“智慧优数”．例如，当，时，，8是一个“智慧优数”，若将“智慧优数”从小到大排列，第2025个智慧优数是__________． 57．（25-26七年级上·上海金山·期中）一个四位正整数，其各个位上数字均不相同且不为零．若其千位数字是十位数字的整数倍，百位数字是个位数字的整数倍，那么称这个四位正整数叫“间倍数”，例如满足，，则是“间倍数”．已知“间倍数”，且均为整数，若无论两位数是什么数，“间倍数”都能被整除，且，“间倍数”为______． 58．（24-25七年级上·上海·期中）已知，，求的值． 59．（24-25七年级上·上海·期中）若为实数且满足，，求的最小值． 60．（24-25七年级上·上海·期中）为治理污水，甲、乙两区都需要各自铺设一段污水排放管道，甲、乙两区八月份都各铺了米，九月份和十月份中，甲区的工作量平均每月增长率为，乙区则平均每月减少率为． (1)求十月份甲、乙两区各铺设了多少米的排污管？（分别用含字母、的代数式表示）； (2)如果，且，那么十月份甲区比乙区多铺多少米排污管？ 61．（25-26七年级上·上海徐汇·期中）阅读：分解因式． 解：原式 此方法是抓住二次项和一次项的特点，然后加一项，使这三项为完全平方式，我们称这种方法为“配方法”，此题为用配方法分解因式，请体会配方法的特点，然后用配方法解决下列问题： 因式分解： (1)； (2) 62．（24-25七年级上·上海·期中）如图，将一张大长方形纸板分成9块，其中有2块是边长为cm的大正方形，2块是边长为cm的小正方形，且，5块是形状大小完全相同的小长方形． (1)观察图形，可以写出一个因式分解的等式为 ； (2)若图形中阴影部分的面积为，大长方形纸板的周长为． ①求的值； ②求图中空白部分的面积． 63．（24-25七年级上·上海黄浦·期中）【阅读材料】两个两位数相乘，如果这两个因数的个位数字相同，十位数字的和是10，该类乘法可以利用一种特殊的速算方法： 比如，它们乘积的前两位是，它们乘积的后两位是，所以． 又如，它们乘积的前两位是，它们乘积的后两位是，不足两位，就将9写在个位，十位上写0，所以． 该速算方法可以用我们所学的数学知识说明其合理性： 观察与归纳： (1)观察上述例子，请归纳这种速算方法，并以为例说明； 推理与解释： (2)该速算方法可以将其用字母进行表示，设其中一个因数的十位数字为a，个位数字是b，（a、b表示1~9的整数） 则该数可表示为，另一因数可表示为_______________， 用速算方法得到的结果可以表示为， 请运用所学数学知识，说明满足条件的两个因数相乘所得结果一定与速算方法所得结果相同． 探索与推广： (3)已知某宝藏的开锁密码是一个自然数，是一个正整数的平方，是另一个正整数的平方．你能凭借自己的智慧解开密码获取宝藏吗？（请简要说明你的解密过程和理由） 64．（24-25七年级上·上海·期中）读下列因式分解的过程，再回答所提出的问题： (1)上述分解因式的方法是________，共应用了________次． (2)若分解，则需应用上述方法________次，结果是________． (3)分解因式（写出过程）： 65．（23-24七年级上·上海青浦·期中）关于、、的多项式，，，，在将字母、、轮换（即将换成，换成，换成）时，保持不变．这样的多项式称为、、的轮换式．我们可以利用轮换式的特征帮助我们进行巧妙地因式分解，我们也叫轮换式法． 例题：分解因式 解：令时，原式 所以是原式的因式，由于原式是、、的轮换式，所以、也是原式的因式，从而可以设 ， （保证两边次数相同，其中是系数） 令，得，即 所以 阅读上述材料分解因式完成下列两题： (1)对多项式 令________，原式；令________，原式 所以设 令得________ (2)用轮换式法因式分解： 66．（25-26七年级上·上海杨浦·期中）阅读材料 我们学过因式分解，如：，这时就说和是的因式． 那么，不进行因式分解能不能判断这样的式子是不是某个整式的因式呢？ 对于整式我们分别计算： 当时，原式；当时，原式； 当我们把和分别代入，整式的值都等于0，那么和就是整式的两个因式．通过归纳发现： 如果当时，一个整式的值等于0，那么就一定是这个整式的一个因式． 反过来，如果是整式的一个因式，那么当时，这个整式的值一定等于0． 请你根据上述材料解决以下问题：已知整式， (1)请判断是否是整式的一个因式； (2)当整式的一次项系数变为时，而仍是它的一个因式．求此时的值； (3)请尝试将整式进行因式分解． 67．（23-24七年级下·江苏南京·期中）数形结合是解决数学问题的重要思想方法，借助图形可以对很多数学问题进行直观推导和解释．如图1，有足够多的边长为的小正方形，长为、宽为的长方形以及边长为的大正方形． 利用图①中的三种材料各若干可以拼出一些长方形来解释某些等式，例如图2可以解释整式乘法：，也可以解释因式分解：． (1)若用4个类材料围成图3的形状，设外围大正方形的边长为，内部小正方形的边长为，观察图案，指出下列关系式中正确的是（写出所有正确结论的序号）______． ①；②；③；④；⑤． (2)若取其中的若干个（三种图形都要取到）拼成一个长方形，使其面积为，在虚框中画出图形，并根据所画图形，将多项式分解因式为______． (3)若取其中的若干个（三种图形都要取到）拼成一个长方形，使其面积为则的值为______．（直接写出结果） 68．（25-26七年级上·上海·期中）阅读材料： 在乘法公式的学习中，我们通过用不同的方法求同一平面图形的面积验证了平方差公式和完全平方公式．这种方法称为等面积法．类似地，通过不同的方法求同一个立体图形的体积，称为等体积法．根据课堂学习的经验，解决下列问题： 在一个棱长为的正方体中挖出一个棱长为的正方体，如图（1）所示．然后切割剩余的立体图形，如图（2）所示．将之分成三部分，如图（3）所示．这三部分长方体的体积依次为、、． (1)将图（3）中三块长方体体积和因式分解：_________． (2)图（1）中立方体的体积和图（3）中三块长方体体积和相同，利用等体积法能得到等式：________． (3)利用在（2）中所得到的等式进行因式分解：_________． (4)应用：若已知，，则的值． $