专题02 整式的乘除（高效培优期中专项训练）数学新教材沪教版五四制七年级上学期

专题02 整式的乘除 考点01 幂的运算 考点02 乘法公式 考点03 整式的四则运算 考点01 幂的运算 1．（25-26七年级上·上海·期中）若为正整数，则（     ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级上·上海·阶段检测）下列计算正确的是（     ） A． B． C． D． 3．（25-26七年级上·上海·阶段检测）已知，则等于（     ） A． B． C． D． 4．（25-26七年级上·上海普陀·期末）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 5．（25-26七年级上·上海闵行·期末）设，，下列三者之间的关系式正确的是（） A． B． C． D． 6．（25-26七年级上·上海普陀·期中）已知m、n是正整数，下列等式中，表示“积的乘方的性质”的是（    ） A． B． C． D． 7．（2026七年级上·上海·专题练习）计算：________． 8．（26-27七年级上·上海闵行·阶段检测）计算（结果用幂的形式表示）：_____． 9．（25-26七年级上·上海·期中）计算：______． 10．（25-26七年级上·上海·期末）计算：，其中，第一步运算的依据是______法则．（选填“积的乘方”、“幂的乘方”、“同底数幂的乘法”或“同底数幂的除法”） 11．（25-26七年级上·上海闵行·期末）计算：_____． 12．（25-26七年级上·上海闵行·期末）计算：______． 13．（25-26七年级上·上海·期末）若，，则的值为_____． 14．（25-26七年级上·上海杨浦·期末）若，（为整数），则的值是_____．（用含、的代数式表示结果） 15．（25-26七年级下·湖南怀化·期末）计算：_________． 16．（25-26七年级上·上海·阶段检测）计算：_____________． 17．（25-26七年级上·上海·期末）若，则的值是________． 18．（25-26七年级上·上海·期中）已知，其中是正整数，那么_____． 19．（25-26七年级上·上海普陀·期末）计算：． 20．（25-26七年级上·上海闵行·期中）计算：（结果用幂的形式表示）． 21．（25-26七年级上·上海·阶段检测）计算：． 22．（25-26七年级上·上海·阶段检测）计算：． 23．（25-26七年级上·上海·阶段检测）已知：，， (1)求代数式的值； (2)试求a、b、c所满足的数量关系式． 24．（25-26七年级上·上海·阶段检测）比较与的大小 解：因为，， 因为， 所以 请根据上述解答过程接解答 (1)比较的大小； (2)，比较的大小． 25．（25-26七年级上·上海·阶段检测）如果，那么我们规定．例如：因为，所以． (1)_____；若，则_____； (2)已知，，，若，则的值是_____； (3)若，． ①求的值； ②求的值． 26．（25-26七年级上·上海·期中）阅读材料，并解决问题． 对数的创始人是苏格兰数学家纳皮尔（年），纳皮尔发明对数是在指数书写方式之前，直到18世纪瑞士数学家欧拉（）才发现指数与对数之间的联系．我们知道，n个相同的因数a相乘记为，如，此时，3叫做以2为底8的对数，记为，即． 一般地，若（且，），则n叫做以a为底b的对数，记为，即．如，则4叫做以3为底81的对数，记为，即． (1)【概念理解】计算下列各对数的值：__________，__________，__________． (2)【性质发现】 ①观察、、之间满足的关系式是__________． ②归纳：__________（，且，，）． ③请你根据同底数幂的乘法的运算性质（m，n是正整数）以及对数的含义说明上述结论． (3)【拓展延伸】 ①当且，，时，__________． ②计算：__________． 考点02 乘法公式 1．（25-26七年级上·上海·期末）下列各式中，不能用平方差公式计算的是（     ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级上·上海·期末）下列各式中能用平方差公式计算的是（   ） A． B． C． D． 3．（25-26七年级上·上海·期中）下列计算错误的是（   ） A． B． C． D． 4．（25-26七年级上·上海崇明·期中）下列各式中正确的是（     ） A． B． C． D． 5．（25-26七年级上·上海·期中）若，，则下列结果正确的是（    ） A． B． C． D．无法判断 6．（25-26七年级上·上海·期末）如图，将两张长为，宽为的长方形纸片按图1，图2两种方式放置，图1和图2中两张长方形纸片重叠部分分别记为①和②，正方形中未被这两张长方形纸片覆盖部分用阴影表示，图1和图2中阴影部分的面积分别记为和．若知道下列条件，仍不能求值的是（　　）    A．长方形纸片的周长和面积 B．长方形纸片长和宽的差 C．①和②的面积差 D．长方形纸片和①的面积差 7．（25-26七年级下·陕西西安·期末）计算的结果是_________． 8．（25-26七年级上·上海·阶段检测）如果是一个完全平方式（其中N为常数），则_____________． 9．（25-26七年级上·上海·阶段检测）填空：________． 10．（25-26七年级上·上海·阶段检测）计算：__________． 11．（25-26七年级上·上海·期中）如果是完全平方式，则m的值是________________． 12．（25-26七年级上·上海·期中）设，，．若，则的值是________________． 13．（25-26七年级上·上海青浦·期中）已知，那么__________． 14．（25-26七年级上·上海青浦·期中）已知，，则__________． 15．（25-26七年级上·上海宝山·期中）计算：__________． 16．（25-26七年级上·上海·期末）若x满足，则的值为_____． 17．（25-26七年级上·上海·期末）如图，在长方形中，，点是上的点，且，分别以为边在长方形外侧作正方形和正方形，在长方形内侧作长方形，若长方形的面积为，则图中阴影部分的面积和为_____．(用含的代数式表示) 18．（25-26七年级上·上海·期末）某数学兴趣小组在学习了“平方差公式”后，构造了如下图所示的四种图形，想用“等面积法”来验证“平方差公式”，以下四种方法中能够验证“平方差公式”的有______（填图中的序号）． 19．（25-26七年级上·上海·期中）用简便方法计算： 20．（25-26七年级上·上海·期中）计算： (1)． (2)． (3)． 21．（25-26七年级上·上海·期中）先化简，再求值：，其中． 22．（25-26七年级上·上海闵行·期中）阅读下列材料：计算：． 解：原式 ． 运用上述方法计算：． 23．（25-26七年级上·上海宝山·期中）利用我们学过的知识，可以导出下面这个形式优美的等式： ，该等式从左到右的变形，不仅保持了结构的对称性，还体现了数学的和谐、简洁美． (1)请你验证该等式的正确性． (2)利用上述等式，解决下面的问题： ①若，求整式的值． ②一个立方体的每个面上都写有一个正整数，并且相对的两个面上所写数字之和都相等，若18的对面写的是a，14的对面写的是b，25的对面写的是c，求整式的值． 24．（25-26七年级上·上海宝山·期中）观察下列等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； …… 根据上述规律，解答下面的问题 (1)直接写出第6个等式____； (2)小明在验算第三个等式成立时，他的过程中写到：， 他的依据是哪个乘法公式？请用字母a、b表示这个公式：__________． (3)猜想第n个等式（用含n的式子表示）________． 25．（25-26七年级上·上海金山·期中）【追本溯源】“数形结合”是一种非常重要的数学思想方法．利用“数形结合”的思想，可以从代数角度解决图形问题，也可以用图形角度解决代数问题．我们在学习“整式乘法公式”时．通过构造几何图形，用“等积法”直观地验证了平方差公式和完全平方和公式，如图和：，． 【初步应用】 （1）请你利用图2中的两个正方形画出一个几何图形来验证完全平方和公式，用字母a、b标注相关边长并简单说明你的验证思路，同时写出该数学等式______． 【拓展应用】 （2）请利用上述验证的恒等式解决如下问题： ①若、，求ab的值； ②正方形ABCD和AEFG如图3所示方式摆放，已知，，，且，求图中阴影部分的面积； 【迁移应用】 （3）类似的，用两种不同的方法计算同一个几何体的体积，如图4是由2个正方体和6个长方体拼成的一个大正方体，用它可以验证恒等式：，已知，，利用上述恒等式，求的值． 考点03 整式的四则运算 1．（25-26七年级上·上海崇明·期中）下列计算正确的是（     ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级上·上海·模拟预测）计算：（   ） A． B． C． D． 3．（25-26七年级上·上海·期中）若等式对任意恒成立，为常数，则的值为（   ） A． B．22 C． D．14 4．（25-26八年级上·全国·课后作业）设，则与的大小关系为（    ） A． B． C． D．不能确定 5．（25-26七年级上·上海杨浦·期中）已知，，那么关于x的整式因式分解的结果是（    ） A． B． C． D． 6．（25-26七年级上·上海普陀·期中）已知是有理数，定义一种新运算“*”：，下列结论： 不存在有理数满足；如果，那么 下列说法正确的是（    ） A．①正确，②错误 B．①错误，②正确 C．①②都正确 D．①②都错误 7．（25-26七年级上·上海普陀·期中）计算：________． 8．（25-26七年级上·上海金山·期中）计算：_____． 9．（25-26七年级上·上海·期末）若，则的值是________． 10．（25-26七年级上·上海杨浦·期中）计算：_________． 11．（25-26七年级上·上海·期中）计算：__________． 12．（25-26七年级上·上海·阶段检测）计算：______． 13．（2025·上海·模拟预测）计算：_______． 14．（25-26七年级上·上海普陀·阶段检测）若，则m可取的整数值有______个． 15．（25-26七年级上·上海·期中）有若干张边长如图所示的长方形卡片，如果要拼一个长为，宽为的矩形，则需要3类卡片共______张 16．（25-26七年级上·上海·阶段检测）如图，在长方形中放入一个边长为8的正方形和两个边长为6的正方形．若阴影部分的面积满足，则长方形的面积为_________． 17．（25-26七年级上·上海宝山·期中）观察下列各式 计算：__________． 18．（25-26七年级上·上海·阶段检测）我国南宋数学家杨辉用三角形解释二项和的乘方规律，称之为“杨辉三角”．这个三角形给出了（，，， ，…）的展开式的系数规律（按 的次数由大到小的顺序）： 请依据上述规律，写出展开式中含项的系数是_________． 19．（26-27七年级上·上海闵行·阶段检测）计算： (1) (2) (3)． 20．（25-26七年级上·上海金山·期中）计算：． 21．（25-26七年级上·上海·期中）先化简，再求值：，其中． 22．（25-26七年级上·上海闵行·期中）（1）已知，求的值． （2）已知，求的值． 23．（25-26七年级上·上海·寒假作业）甲、乙两人共同计算一道整式乘法题：．甲由于把第一个多项式中的“”看成了“”，得到的结果为；乙由于漏抄了第二个多项式中x的系数，得到的结果为． (1)求正确的a、b的值． (2)计算这道乘法题的正确结果． 24．（25-26七年级上·上海松江·期中）我们知道：． 类似的有：①；②；…… (1)验证上述②式成立； (2)再写出一个类似的等式； (3)计算：（结果用含3的幂表示）． 25．（25-26七年级上·上海闵行·期中）【阅读材料】“数形结合”是一种非常重要的数学思想方法．比如：在学习“整式的乘法”时，我们通过构造几何图形，用“等积法”直观地推导了完全平方和公式：（如图1）．利用“数形结合”的思想方法，可以从代数角度解决图形问题，也可以用图形关系解决代数问题． 【方法应用】根据以上材料提供的方法，完成下列问题： (1)由图2可得等式：_______；由图3可得等式：_______； (2)利用图3得到的结论，解决问题：若，，求的值； (3)如图4，若用其中张边长为的正方形，张边长为的正方形，张边长分别为、的长方形纸片拼出一个面积为长方形（无空隙、无重叠地拼接），则_______； (4)如图4，若有张边长为的正方形纸片，张边长分别为、的长方形纸片，张边长为的正方形纸片．从中取出若干张纸片，每种纸片至少取一张．把取出的这些纸片拼成一个正方形（无空隙、无重叠地拼接），则拼成的正方形的边长最长可以为_______． (5)已知正数、、和、、，满足．试通过构造边长为的正方形，利用图形面积来说明． 2 / 12 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 整式的乘除 考点01 幂的运算 考点02 乘法公式 考点03 整式的四则运算 考点01 幂的运算 1．（25-26七年级上·上海·期中）若为正整数，则（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：， 原式． 2．（25-26七年级上·上海·阶段检测）下列计算正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据合并同类项法则、同底数幂乘法法则、积的乘方法则逐一计算各选项，即可判断出正确结果． 【详解】选项A：∵合并同类项时，系数相加，字母和字母的指数不变，∴，A错误； 选项B：∵同底数幂相乘，底数不变，指数相加，∴，B错误； 选项C：∵积的乘方等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘，∴，C错误； 选项D：∵逆用积的乘方法则可得 ，∴，D正确． 3．（25-26七年级上·上海·阶段检测）已知，则等于（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用同底数幂乘法和幂的乘方法则，将所求式子变形后代入已知条件即可得到结果． 【详解】 ， 根据幂的运算法则变形得：， 又，， ． 4．（25-26七年级上·上海普陀·期末）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查指数运算规则，包括合并同类项、幂的乘方、积的乘方等． 逐项验证即可． 【详解】解：对于A：∵，∴ A错误． 对于B：∵，∴ B错误． 对于C： ∵，∴ ，与右边相等，∴ C正确． 对于D：∵ ，，∴，D错误． 故选C． 5．（25-26七年级上·上海闵行·期末）设，，下列三者之间的关系式正确的是（） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了同底数幂的乘法的逆用，幂的乘方的逆用，完全平方公式的应用． 由得，根据同底数幂的乘法的逆用，幂的乘方的逆用可得，再进一步分析即可． 【详解】解：∵，∴ ∵ ∴，即，A正确 对于B∶，但，故，所以B错误 对于C∶，不是常数，且不等于2，故C错误 对于D∶，而，所以，故D错误 故选A． 6．（25-26七年级上·上海普陀·期中）已知m、n是正整数，下列等式中，表示“积的乘方的性质”的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查积的乘方运算，涉及同底数幂的乘法、幂的乘方，熟练掌握相关运算法则是解答的关键． 根据积的乘方的性质是指一个乘积的幂等于各因子的幂的乘积，即进行判断即可． 【详解】解：选项A表示同底数幂的乘法性质，故不符合题意； 选项B中是错误的等式，不符合题意； 选项C直接表示积的乘方的性质，符合题意； 选项D表示幂的乘方性质，不符合题意， 故答案为：C． 7．（2026七年级上·上海·专题练习）计算：________． 【答案】 【分析】根据积的乘方和同底数幂的乘法计算公式计算即可． 【详解】解：原式． 8．（26-27七年级上·上海闵行·阶段检测）计算（结果用幂的形式表示）：_____． 【答案】 【分析】把看作是一个整体，利用同底数幂的乘法解答即可． 【详解】解： 9．（25-26七年级上·上海·期中）计算：______． 【答案】 【分析】先计算括号内的乘方，再计算积的乘方和幂的乘方，即可得到答案． 【详解】解： ． 10．（25-26七年级上·上海·期末）计算：，其中，第一步运算的依据是______法则．（选填“积的乘方”、“幂的乘方”、“同底数幂的乘法”或“同底数幂的除法”） 【答案】幂的乘方 【分析】本题主要考查幂的乘方运算，关键是熟练掌握幂的乘方运算法则是解题的关键．根据题意可知，第一步运算的依据是幂的乘方运算法则即底数不变，指数相乘，公式为． 【详解】解：计算，其中第一步运算的依据是幂的乘方， 故答案为：幂的乘方． 11．（25-26七年级上·上海闵行·期末）计算：_____． 【答案】1 【分析】本题考查了幂的乘方和积的乘方以及负数的偶次幂是正数， 利用负数的偶次幂是正数和指数运算法则，可得，再逆用积的乘方运算得出，由此即可计算． 【详解】解：， 故答案为1． 12．（25-26七年级上·上海闵行·期末）计算：______． 【答案】/ 【分析】本题考查了积的乘方与幂的乘方，掌握这两个运算法则是关键；先计算积的乘方，再计算幂的乘方即可． 【详解】解：， 故答案为：． 13．（25-26七年级上·上海·期末）若，，则的值为_____． 【答案】 【分析】本题考查了幂的乘方运算的运用，关键是将等式两边的底数化为相同的数，再根据“同底数幂相等则指数相等”建立方程组求解． 【详解】解：∵，， ∴，即， ∴，即； ∵， ∴，即， ∴； 解，得， 则； 故答案为：． 14．（25-26七年级上·上海杨浦·期末）若，（为整数），则的值是_____．（用含、的代数式表示结果） 【答案】 【分析】根据题意，得，公式变形后代入计算解答即可． 本题考查了幂的运算，完全平方公式的变形计算，熟练掌握公式，正确变形是解题的关键． 【详解】解：由，得 ， 故， 又， 所以，， 故， 故答案为：． 15．（25-26七年级下·湖南怀化·期末）计算：_________． 【答案】4 【分析】利用积的乘方逆运算解答即可． 【详解】解：． 16．（25-26七年级上·上海·阶段检测）计算：_____________． 【答案】 【分析】先逆用同底数幂的乘法法则和积的乘方法则恒等变形，再由乘方运算及有理数乘法运算计算即可． 【详解】解：． 17．（25-26七年级上·上海·期末）若，则的值是________． 【答案】 【分析】本题考查了单项式乘以多项式，积的乘方的逆用． 先计算单项式乘以多项式，再逆用积的乘方将各项化为的形式，进而根据计算即可． 【详解】解： ． 故答案为：． 18．（25-26七年级上·上海·期中）已知，其中是正整数，那么_____． 【答案】或 【分析】本题考查整式的运算，熟练掌握指数的运算法则是解题的关键，将等式左边利用指数运算法则进行化简，得到，与右边比较指数，根据指数相等关系，确定和的值，再计算． 【详解】解：， ①∴， 解得： ∴． ②∴， 解得：， ∴． 故答案为：或． 19．（25-26七年级上·上海普陀·期末）计算：． 【答案】 【分析】本题主要考查了幂的混合运算，先计算同底数幂乘法和积的乘方，再合并同类项即可得到答案． 【详解】解： ． 20．（25-26七年级上·上海闵行·期中）计算：（结果用幂的形式表示）． 【答案】 【分析】本题主要考查了积的乘方、幂的乘方和同底数幂的乘法，先将转化为，再根据积的乘方、幂的乘方和同底数幂的乘法法则进行计算． 【详解】解： ． 21．（25-26七年级上·上海·阶段检测）计算：． 【答案】． 【详解】解： ． 22．（25-26七年级上·上海·阶段检测）计算：． 【答案】 【分析】先计算积的乘方，再计算单项式乘以多项式即可. 【详解】解：原式 . 23．（25-26七年级上·上海·阶段检测）已知：，， (1)求代数式的值； (2)试求a、b、c所满足的数量关系式． 【答案】(1)675 (2) 【分析】本题考查同底数幂的乘法，幂的乘方的逆用，熟练掌握相关运算法则，是解题的关键： （1）逆用幂的乘方法则，整体代数法求值即可； （2）根据同底数幂的乘法法则，进行计算即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴； （2）∵，，， ∴， ∴， ∴． 24．（25-26七年级上·上海·阶段检测）比较与的大小 解：因为，， 因为， 所以 请根据上述解答过程接解答 (1)比较的大小； (2)，比较的大小． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了幂的乘方运算． （1）由题意可得，由即可得到答案； （2）幂的乘方法则得到，比较指数大小即可得到答案． 【详解】（1）解：， ∵ ∴ （2） ∵ ∴ 25．（25-26七年级上·上海·阶段检测）如果，那么我们规定．例如：因为，所以． (1)_____；若，则_____； (2)已知，，，若，则的值是_____； (3)若，． ①求的值； ②求的值． 【答案】(1)， (2) (3)①；② 【分析】（1）根据新定义求解即可； （2）根据新定义可得到，，，再由同底数幂除法计算法则得到，据此可得答案； （3）①根据新定义得到，根据幂的乘方和幂的乘方的逆运算法则推出，据此再进一步计算即可．②由，可得，可得，从而可得答案． 【详解】（1）解：∵， ∴； ∵， ∴， 故答案为：4；； （2）解：∵，，， ∴，，， ∴， ∵， ∴； （3）解：①∵，， ∴， ∴ ． ②∵， ∴， ∴， ∴， ∵ ． 【点睛】本题主要考查了新定义，同底数幂除法计算，幂的乘方及积的乘方，多项式的乘法，负整数指数幂的含义，熟记运算法则，理解新定义是解本题的关键． 26．（25-26七年级上·上海·期中）阅读材料，并解决问题． 对数的创始人是苏格兰数学家纳皮尔（年），纳皮尔发明对数是在指数书写方式之前，直到18世纪瑞士数学家欧拉（）才发现指数与对数之间的联系．我们知道，n个相同的因数a相乘记为，如，此时，3叫做以2为底8的对数，记为，即． 一般地，若（且，），则n叫做以a为底b的对数，记为，即．如，则4叫做以3为底81的对数，记为，即． (1)【概念理解】计算下列各对数的值：__________，__________，__________． (2)【性质发现】 ①观察、、之间满足的关系式是__________． ②归纳：__________（，且，，）． ③请你根据同底数幂的乘法的运算性质（m，n是正整数）以及对数的含义说明上述结论． (3)【拓展延伸】 ①当且，，时，__________． ②计算：__________． 【答案】(1) (2)①；②； ③设，，（m，n是正整数） 则根据对数定义，, 利用同底数幂的乘法性质：， ∴, 即； (3)①；②2 【分析】本题考查了新定义，同底数幂相乘，同底数幂相除，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）理解题意，运用题干的性质内容进行解题，即可作答． （2）①结合，得； ②根据①进行总结归纳，得（，且，，）． ③设，，（m，n是正整数），结合，，，得，即； （3）模仿（2）的③，进行分析，即可作答． ②结合，进行分析，即可作答． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵ ∴； （2）解：①由（1）得，，， ∵， ∴； ②由①得，且 ∴（，且，，）． ③ 略 （3）解：①当且，，时， 设，， 则根据对数定义，， 利用同底数幂的除法性质：， ∴， 即， ， ②， ∵， ∴， ∴． 考点02 乘法公式 1．（25-26七年级上·上海·期末）下列各式中，不能用平方差公式计算的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：A、，含一组相同项和一组相反项，符合平方差公式结构； B、含一组相同项和一组相反项，符合平方差公式结构； C、将变形为，含相同项与相反项、，符合平方差公式结构； D、中两项均互为相反数，无相同项，不符合平方差公式结构，故符合题意． 2．（25-26七年级上·上海·期末）下列各式中能用平方差公式计算的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了平方差公式，平方差公式为，需找出可表示为两数和与两数差相乘的选项． 【详解】解：A、不能用平方差公式计算，不符合题意； B、符合平方差公式的特点，能用平方差公式计算，符合题意； C、不能用平方差公式计算，不符合题意； D、不能用平方差公式计算，不符合题意； 故选：B． 3．（25-26七年级上·上海·期中）下列计算错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了整式乘法，熟练掌握完全平方公式，平方差公式以及多项式乘以多项式的法则是解题的关键． 根据整式乘法的运算法则逐项判断即可． 【详解】解：A. ，计算正确，不符合题意； B. ，计算正确，不符合题意； C. ，计算正确，不符合题意； D. ，计算错误，符合题意； 故选：D． 4．（25-26七年级上·上海崇明·期中）下列各式中正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了运用完全平方公式进行运算，解题关键是掌握完全平方公式并能运用求解． 根据公式，逐一验证各选项即可． 【详解】解：，故A错误； ，故B错误； ，故C错误； ，故D正确， 故选：D． 5．（25-26七年级上·上海·期中）若，，则下列结果正确的是（    ） A． B． C． D．无法判断 【答案】C 【分析】本题考查完全平方公式，有理数的大小比较，利用完全平方公式将变形后进行判断即可．将原式进行正确地变形是解题的关键． 【详解】解：∵ ， ∴． 故选：C． 6．（25-26七年级上·上海·期末）如图，将两张长为，宽为的长方形纸片按图1，图2两种方式放置，图1和图2中两张长方形纸片重叠部分分别记为①和②，正方形中未被这两张长方形纸片覆盖部分用阴影表示，图1和图2中阴影部分的面积分别记为和．若知道下列条件，仍不能求值的是（　　）    A．长方形纸片的周长和面积 B．长方形纸片长和宽的差 C．①和②的面积差 D．长方形纸片和①的面积差 【答案】D 【分析】设正方形的边长为，分别求出、①和②的面积、长方形纸片的面积与周长，再逐项判断即可得． 【详解】解：如图，设正方形的边长为，    则， ， ， ∵长方形纸片的周长为，面积为， ∴若知道长方形纸片的周长和面积或长方形纸片长和宽的差，能求出，即选项A、B不符合题意； 图中①的面积为， ②的面积为， ∴①和②的面积差为， ∴若知道①和②的面积差，能求出，即选项C不符合题意； ∵长方形纸片和①的面积差为， ∴若知道长方形纸片和①的面积差，不能求出，即选项D符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了整式乘法、完全平方公式在图形中的应用，熟记运算法则是解题的关键． 7．（25-26七年级下·陕西西安·期末）计算的结果是_________． 【答案】/ 【详解】解：． 8．（25-26七年级上·上海·阶段检测）如果是一个完全平方式（其中N为常数），则_____________． 【答案】 【分析】将原式首尾两项化为平方形式，再根据完全平方公式确定中间项的系数，需考虑两种不同情况． 【详解】解：根据完全平方公式可得． 由题意得 ，． 因为是完全平方式，因此满足： 化简右边得 两边约去得 即 ． 9．（25-26七年级上·上海·阶段检测）填空：________． 【答案】 【分析】利用完全平方公式，分别展开两个完全平方，计算两者的差即可得到结果． 【详解】∵，， ∴． 10．（25-26七年级上·上海·阶段检测）计算：__________． 【答案】 【分析】利用完全平方公式求解即可． 【详解】解：． 11．（25-26七年级上·上海·期中）如果是完全平方式，则m的值是________________． 【答案】5或1 【分析】根据完全平方式的结构特征，可判断首末两项是和的平方，中间项应为加上或减去与乘积的倍，据此列方程求解． 【详解】解：是完全平方式， ， 当时，等式两边同除以得，解得， 当时，等式两边同除以得，解得． 12．（25-26七年级上·上海·期中）设，，．若，则的值是________________． 【答案】16 【分析】本题考查完全平方公式的变形求值，先根据的表达式得到的值，再利用完全平方公式结合已知条件求出的值，最后将变形为的代数式，代入计算即可． 【详解】解：，，， ，，， ，， ， 解得， ∴． 13．（25-26七年级上·上海青浦·期中）已知，那么__________． 【答案】10 【分析】首先将两边除以x得到，然后两边同时平方得到，然后代入求解即可． 【详解】解：∵，且， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 14．（25-26七年级上·上海青浦·期中）已知，，则__________． 【答案】 【分析】根据平方差公式变形求解即可． 【详解】解：∵，， ∴． 15．（25-26七年级上·上海宝山·期中）计算：__________． 【答案】 【分析】本题主要考查多项式平方公式的应用，熟练掌握多项式平方公式计算是解题的关键．注意细心计算．使用多项式平方公式展开计算． 【详解】根据多项式平方公式，其中，，， 代入公式： ． 故答案为：． 16．（25-26七年级上·上海·期末）若x满足，则的值为_____． 【答案】80 【分析】本题主要考查了完全平方公式的变形求值，通过换元法，设，，则可得到，，再由计算求解即可． 【详解】解：设，， ∴， ∵， ∴， ∴ ． 故答案为：80． 17．（25-26七年级上·上海·期末）如图，在长方形中，，点是上的点，且，分别以为边在长方形外侧作正方形和正方形，在长方形内侧作长方形，若长方形的面积为，则图中阴影部分的面积和为_____．(用含的代数式表示) 【答案】/ 【分析】本题考查完全平方公式的应用，关键是通过设未知数表示出相关线段长度，利用完全平方公式将两个正方形的面积和转化为含的代数式．设，先根据长方形的边长性质和已知条件表示出和的长度，结合长方形的面积得到，再利用完全平方公式，将两个正方形的面积和转化为含的式子，代入计算即可得出结果． 【详解】解：设， ∵四边形是长方形，，， ∴，，． ∵长方形的面积为， ∴． ， 根据完全平方公式：， 令，，则， ∴． 故答案为：． 18．（25-26七年级上·上海·期末）某数学兴趣小组在学习了“平方差公式”后，构造了如下图所示的四种图形，想用“等面积法”来验证“平方差公式”，以下四种方法中能够验证“平方差公式”的有______（填图中的序号）． 【答案】①②③ 【分析】本题考查平方差公式的几何背景，掌握平方差公式以及等面积法是解题的关键． 用不同的方法分别用代数式表示各个图形中左图、右图阴影部分面积即可得出等式，再进行判断即可． 【详解】解：图①中，左图阴影部分可以看作两个正方形的面积差，即，拼成的右图是底为，高为的平行四边形，面积为，∴，故图①可以验证平方差公式； 图②中，左图阴影部分可以看作两个正方形的面积差，即，拼成的右图是长为，宽为的长方形，面积为，∴，故图②可以验证平方差公式； 图③中，左图阴影部分可以看作两个正方形的面积差，即，拼成的右图是底为，高为的平行四边形，面积为，∴，故图③可以验证平方差公式； 图④中，左图阴影部分可以看作两个正方形的面积差，即，拼成的右图是长为，宽为的长方形，面积为，∴ ，故图④不能验证平方差公式； 综上所述，能验证平方差公式的有①②③， 故答案为：①②③． 19．（25-26七年级上·上海·期中）用简便方法计算： 【答案】 3.16 【分析】本题考查了平方差公式的应用，解题的关键是根据积的乘方逆用将原式变形为． 【详解】解： ． 20．（25-26七年级上·上海·期中）计算： (1)． (2)． (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了整式的混合运算，解题的关键是熟练掌握运算法则． （1）利用整式的混合运算法则计算； （2）利用整式的混合运算法则计算； （3）利用整式的混合运算法则计算． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： 21．（25-26七年级上·上海·期中）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】本题主要考查了整式的混合运算、乘方的性质、非负数的性质、代数式求值等知识点，灵活运用整式的混合运算法则是解题的关键． 先运用整式的混合运算法则化简，再根据乘方的性质、非负数的性质求得x、y的值，进而代入代数式求值即可． 【详解】解： ； ∵， ∴，即． 当时，原式． 22．（25-26七年级上·上海闵行·期中）阅读下列材料：计算：． 解：原式 ． 运用上述方法计算：． 【答案】 【分析】本题考查了平方差公式，熟练掌握平方差公式是解题的关键． 依据材料将算式变形为，然后根据平方差公式进行计算即可求解． 【详解】解：   ． 23．（25-26七年级上·上海宝山·期中）利用我们学过的知识，可以导出下面这个形式优美的等式： ，该等式从左到右的变形，不仅保持了结构的对称性，还体现了数学的和谐、简洁美． (1)请你验证该等式的正确性． (2)利用上述等式，解决下面的问题： ①若，求整式的值． ②一个立方体的每个面上都写有一个正整数，并且相对的两个面上所写数字之和都相等，若18的对面写的是a，14的对面写的是b，25的对面写的是c，求整式的值． 【答案】(1) 解：等式右边 ， ∴左边=右边， ∴式子正确； (2)①12；②93 【分析】此题考查整式的乘法公式—完全平方公式，已知字母的值求代数式的值，等式的变形计算，正确掌握等式各项之间的关系是解题的关键． （1）利用完全平方公式将等式右边展开，合并同类项即可得到结论； （2）①根据题意可得，，，将其值代入变形后的式子计算即可； ②根据题意可得，，，根据，将其值代入变形后的式子计算即可； 【详解】（1）略 （2）解：①∵， ∴， ， ， ∴ ． ②根据题意可得， ，，， ． 24．（25-26七年级上·上海宝山·期中）观察下列等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； …… 根据上述规律，解答下面的问题 (1)直接写出第6个等式____； (2)小明在验算第三个等式成立时，他的过程中写到：， 他的依据是哪个乘法公式？请用字母a、b表示这个公式：__________． (3)猜想第n个等式（用含n的式子表示）________． 【答案】(1) (2)依据的是平方差公式， (3) 【分析】本题主要考查了数字的变化规律以及平方差公式，熟练掌握分析数字规律的方法和平方差公式的形式是解题的关键． （1）通过观察已知等式，找出等式中数字随序号变化的规律，进而写出第6个等式． （2）分析小明的验算过程，确定所依据的乘法公式，再用字母表示该公式． （3）根据前面等式的规律，归纳出第个等式． 【详解】（1）解：第1个等式：，即； 第2个等式：，即； 第3个等式：，即； …… 则第个等式中，， ； 故第6个等式为． （2）解：小明的过程中，依据的是平方差公式，用字母、表示为： ； （3）解：由规律可得，第个等式为： ； 故第个等式为． 25．（25-26七年级上·上海金山·期中）【追本溯源】“数形结合”是一种非常重要的数学思想方法．利用“数形结合”的思想，可以从代数角度解决图形问题，也可以用图形角度解决代数问题．我们在学习“整式乘法公式”时．通过构造几何图形，用“等积法”直观地验证了平方差公式和完全平方和公式，如图和：，． 【初步应用】 （1）请你利用图2中的两个正方形画出一个几何图形来验证完全平方和公式，用字母a、b标注相关边长并简单说明你的验证思路，同时写出该数学等式______． 【拓展应用】 （2）请利用上述验证的恒等式解决如下问题： ①若、，求ab的值； ②正方形ABCD和AEFG如图3所示方式摆放，已知，，，且，求图中阴影部分的面积； 【迁移应用】 （3）类似的，用两种不同的方法计算同一个几何体的体积，如图4是由2个正方体和6个长方体拼成的一个大正方体，用它可以验证恒等式：，已知，，利用上述恒等式，求的值． 【答案】（1）；（2）①0.5；②20；（3）322． 【分析】本题考查完全平方公式的几何背景，掌握完全平方公式的结构特征是正确解答的关键． （1）用两种方法表示图2的面积即可； （2）①根据进行计算即可；②由题意得，根据，求出，再根据求出的值，由代入计算即可； （3）根据，求出，再根据进行计算即可． 【详解】解：（1）整体上是保持为的正方形，因此面积为，拼成图2的四个部分的面积和为， 所以有， 故答案为：； （2）①， ， 又， ； ②如图，，，，则， ， ， 即， ， ， 解得， ， ， ， ； （3），即，而，， ， ， ，即， 考点03 整式的四则运算 1．（25-26七年级上·上海崇明·期中）下列计算正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查指数运算和单项式乘法的规则，需根据同底数幂相乘、幂的乘方和积的乘方的性质判断各选项是否正确． 【详解】解：A选项：根据单项式乘以单项式的法则，可得：，故A选项计算正确； B选项：根据同底数幂相乘，底数不变，指数相加，可得：，故B选项计算错误； C选项：根据幂的乘方，底数不变，指数相乘，可得：，故C选项计算错误； D选项：根据积的乘方等于各因式乘方的积，可得：，故D选项计算错误． 故选：A． 2．（25-26七年级上·上海·模拟预测）计算：（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了单项式乘单项式，掌握运算法则是解题关键．根据单项式与单项式相乘，把它们的系数分别相乘，同底数幂分别相乘，计算即可. 【详解】解：． 故选：A ． 3．（25-26七年级上·上海·期中）若等式对任意恒成立，为常数，则的值为（   ） A． B．22 C． D．14 【答案】D 【分析】本题考查了多项式与多项式的乘法，代数式求值，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． 根据多项式与多项式的乘法法则把左边化简，并比较等式两边对应项的系数，求出m、n、p的值，再计算它们的和． 【详解】解：∵， ∴， ∴，，， ∴． 故选D． 4．（25-26八年级上·全国·课后作业）设，则与的大小关系为（    ） A． B． C． D．不能确定 【答案】C 【分析】本题主要考查了多项式乘多项式，掌握多项式乘多项式的运算法则是关键． 利用作差法求出的结果即可得到答案． 【详解】解：， ， ， ∴，即. 故选：C. 5．（25-26七年级上·上海杨浦·期中）已知，，那么关于x的整式因式分解的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了因式分解，根据已知条件，将 p 和 q 代入多项式，然后利用十字相乘法分解因式即可． 【详解】解：∵，， ∴ 多项式为， ∴． 即因式分解结果为． 故选：B． 6．（25-26七年级上·上海普陀·期中）已知是有理数，定义一种新运算“*”：，下列结论： 不存在有理数满足；如果，那么 下列说法正确的是（    ） A．①正确，②错误 B．①错误，②正确 C．①②都正确 D．①②都错误 【答案】B 【分析】本题考查完全平方公式、整式的乘除运算等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题； 先化简新运算表达式，然后分别验证两个结论是否成立． 【详解】， ∴， ， ， 时，满足条件， 存在有理数，，满足；故错误， ， ， ， ；故正确． 故选：B． 7．（25-26七年级上·上海普陀·期中）计算：________． 【答案】 【分析】本题考查了单项式乘单项式运算法则，熟练掌握计算法则是解答该题的关键；先将系数相乘，再把同底数幂相乘，和保持不变，各项作结果的因式即可． 【详解】计算过程如下： 系数相乘： 同底数幂相乘： 和保持不变 所以， 故答案为． 8．（25-26七年级上·上海金山·期中）计算：_____． 【答案】 【分析】本题考查了单项式乘以单项式，关键是熟练应用法则进行运算； 根据单项式乘法的运算法则，系数相乘，同底数幂相乘. 【详解】解：， 故答案为：. 9．（25-26七年级上·上海·期末）若，则的值是________． 【答案】 【分析】本题考查了单项式乘以多项式，积的乘方的逆用． 先计算单项式乘以多项式，再逆用积的乘方将各项化为的形式，进而根据计算即可． 【详解】解： ． 故答案为：． 10．（25-26七年级上·上海杨浦·期中）计算：_________． 【答案】 【分析】本题考查多项式与单项式的乘法运算，运用分配律将单项式分别乘以多项式中的每一项，再计算系数和变量的乘积． 【详解】原式 ． 故答案为 ． 11．（25-26七年级上·上海·期中）计算：__________． 【答案】 【分析】本题考查了整式的乘法混合运算．根据单项式乘以多项式运算法则计算即可． 【详解】解： 故答案为：． 12．（25-26七年级上·上海·阶段检测）计算：______． 【答案】 【分析】本题主要考查多项式乘以多项式，熟练掌握多项式乘以多项式是解题的关键；根据多项式乘法的运算法则，将两个多项式的每一项分别相乘，再合并同类项即可． 【详解】解：； 故答案为． 13．（2025·上海·模拟预测）计算：_______． 【答案】 【分析】本题考查多项式乘多项式，熟练掌握运算法则是解题的关键； 先利用法则去括号，再合并同类项即可． 【详解】， ， ， ， 故答案为：． 14．（25-26七年级上·上海普陀·阶段检测）若，则m可取的整数值有______个． 【答案】9 【分析】本题考查了多项式乘多项式，先整理得，再结合，，，则分别算出m可取的整数值，即可作答． 【详解】解：∵， ， ∴， 则，， ∵为整数 ∴ ， 或35或或16或或9或或5或0，共9个， 故答案为：9 15．（25-26七年级上·上海·期中）有若干张边长如图所示的长方形卡片，如果要拼一个长为，宽为的矩形，则需要3类卡片共______张 【答案】10 【分析】本题考查了多项式的乘法和几何图形的综合题，正确列出算式是解答本题的关键．多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项分别乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加．先计算长为，宽为的矩形面积为，根据三张卡片的面积分别是，判断出各种卡片的张数即可． 【详解】解：一个长为，宽为的矩形，那么其面积为， 三张卡片的面积分别是， 那么分别需要2张，3张，5张，共需要10张， 故答案为：10． 16．（25-26七年级上·上海·阶段检测）如图，在长方形中放入一个边长为8的正方形和两个边长为6的正方形．若阴影部分的面积满足，则长方形的面积为_________． 【答案】90 【分析】本题考查了多项式乘以多项式与几何图形，根据所给图形，数形结合，正确表示出相关图形的长度和面积，是解题的关键． 设长方形的长为，宽为，则由已知及图形可得，，的长、宽及面积如何表示，根据，可整体求得的值，即长方形的面积． 【详解】解：设长方形的长为，宽为，则由已知及图形可得： 的长为：，宽为：，故 的长为：，宽为：，故； 的长为：，宽为：，故． ∵， 解得 故答案为：90． 17．（25-26七年级上·上海宝山·期中）观察下列各式 计算：__________． 【答案】 【分析】本题主要考查了多项式乘法中的规律探索，观察所给等式，发现，将和代入求解即可． 【详解】解：， ， ， ， ……， 以此类推可知，， ∴， 当时，， ∴， 故答案为：． 18．（25-26七年级上·上海·阶段检测）我国南宋数学家杨辉用三角形解释二项和的乘方规律，称之为“杨辉三角”．这个三角形给出了（，，， ，…）的展开式的系数规律（按 的次数由大到小的顺序）： 请依据上述规律，写出展开式中含项的系数是_________． 【答案】 【分析】首先确定含的项是展开式中的第几项，根据杨辉三角解决问题即可． 【详解】解：由，可知，展开式中第二项为， ∴展开式中含项的系数是． 19．（26-27七年级上·上海闵行·阶段检测）计算： (1) (2) (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）解： （2）解： （3）解： 20．（25-26七年级上·上海金山·期中）计算：． 【答案】 【分析】此题考查了整式的混合运算，涉及的知识有：多项式乘多项式法则，平方差公式，去括号法则以及合并同类项法则，熟练掌握公式及法则是解本题的关键． 原式利用多项式乘多项式及平方差公式化简，去括号合并即可得到结果． 【详解】解：原式 ． 21．（25-26七年级上·上海·期中）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】此题考查了整式的混合运算的化简求值，同底数幂的乘除法，熟练掌握整式的混合运算是解题的关键． 先根据整式的混合运算顺序和运算法则化简原式，然后将代入化简后的式子中计算，即可得到原式的值． 【详解】解：， ， ， ， 当时，原式． 22．（25-26七年级上·上海闵行·期中）（1）已知，求的值． （2）已知，求的值． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查求代数式的值，多项式乘多项式，单项式乘多项式， （1）根据已知得，再将化简，再整体代入即可； （2）根据已知得，，然后整体代入即可； 整体代入法的灵活运用是解题的关键． 【详解】解：（1）∵， ∴， ∴ ， ∴的值为； （2）∵， ∴，， ∴ ， ∴的值为． 23．（25-26七年级上·上海·寒假作业）甲、乙两人共同计算一道整式乘法题：．甲由于把第一个多项式中的“”看成了“”，得到的结果为；乙由于漏抄了第二个多项式中x的系数，得到的结果为． (1)求正确的a、b的值． (2)计算这道乘法题的正确结果． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）按甲、乙错误的做法计算，联系结果列出关于系数a，b的方程组，解方程即可； （2）把a，b的值代入原式求出整式乘法的正确结果． 【详解】（1）解： ， ， ，解得， 则，； （2） ． 24．（25-26七年级上·上海松江·期中）我们知道：． 类似的有：①；②；…… (1)验证上述②式成立； (2)再写出一个类似的等式； (3)计算：（结果用含3的幂表示）． 【答案】(1) 解： ， 成立． (2) (3) 【分析】本题考查了多项式乘多项式，读懂题意，找出规律是解答本题的关键． （1）按多项式乘多项式展开，即可得到结果； （2）对照示例写出； （3）参照示例，看作是当时，所得到的等式，即可得到结果． 【详解】（1）略 （2）解：； （3）解：∵， ． 25．（25-26七年级上·上海闵行·期中）【阅读材料】“数形结合”是一种非常重要的数学思想方法．比如：在学习“整式的乘法”时，我们通过构造几何图形，用“等积法”直观地推导了完全平方和公式：（如图1）．利用“数形结合”的思想方法，可以从代数角度解决图形问题，也可以用图形关系解决代数问题． 【方法应用】根据以上材料提供的方法，完成下列问题： (1)由图2可得等式：_______；由图3可得等式：_______； (2)利用图3得到的结论，解决问题：若，，求的值； (3)如图4，若用其中张边长为的正方形，张边长为的正方形，张边长分别为、的长方形纸片拼出一个面积为长方形（无空隙、无重叠地拼接），则_______； (4)如图4，若有张边长为的正方形纸片，张边长分别为、的长方形纸片，张边长为的正方形纸片．从中取出若干张纸片，每种纸片至少取一张．把取出的这些纸片拼成一个正方形（无空隙、无重叠地拼接），则拼成的正方形的边长最长可以为_______． (5)已知正数、、和、、，满足．试通过构造边长为的正方形，利用图形面积来说明． 【答案】(1)，； (2) (3) (4) (5) 证明：如图， 构造了一个边长为的正方形，， 在正方形的个边上分别截取，，， ， ，，，， 个长方形的面积和为，大正方形的面积为， ． 【分析】本题用“等积法”解决多项式乘积的代数问题，渗透数形结合的思想，用代数角度解决图形问题，也可以用图形关系解决代数问题． （1）大长方形的面积长宽，也等于图中多个小正方形和小长方形面积的和，两种方法求得的大长方形的面积相等，即“等积法”得到等式． （2）用（1）的结论变形后代入求值； （3）根据找到、、对应的值，代入求值； （4）通过分析，找到可以拼成正方形的可能的情况，然后找到正方形的边长最大； （5）通过构造边长为的正方形，用个长方形的面积表示，用面积直观地说明． 【详解】（1）解：由图2可得等式， 由图3可得等式， 故答案为：，； （2），，， ； （3）， 长方形可以看成张边长为的正方形，张边长为的正方形，张边长分别为、的长方形纸片拼成的大长方形， ，，， ； 故答案为：； （4）想从中取出若干张纸片拼成一个正方形（无空隙、无重叠地拼接）， 选取的纸片的面积和必须构成完全平方式， 可以选取张边长为的正方形纸片、张边长分别为、的长方形纸片、张边长为的正方形纸片，此时围成的正方形面积为， 此时正方形的边长为； 选取张边长为的正方形纸片、张边长分别为、的长方形纸片、张边长为的正方形纸片，此时围成的正方形面积为， 此时正方形的边长为， ， 拼成的正方形的边长最长为， 故答案为：； （5）略 2 / 12 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $