专题01 数的整除（高效培优期中专项训练）数学新教材沪教版五四制六年级上学期

专题01 数的整除 考点01 整数和整除的意义 考点02 因数和倍数 考点03 能被2、3、5整除的数 考点04 素数、合数 考点05 分解素因数 考点06 公因数与公倍数 考点01 整数和整除的意义 1．下列算式中，属于整除的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查整除的意义：整除必须是整数除以一个不为0的整数，商是整数，而没有余数． 根据整除的定义逐项分析即可． 【详解】解：选项A中，除数为0.5，不是整数，不符合整除的定义； 选项B中，28、7、4均为整数，符合整除的定义； 选项C中，商不是整数，不符合整除的定义； 选项D中，商不是整数，不符合整除的定义； 故选B． 2．如果能被9整除，那么一定是（   ） A．9 B．1 C．9的倍数 D．9的因数 【答案】C 【分析】本题考查了数的整除，熟练掌握整除的定义是解题关键．根据整除的定义解答即可得． 【详解】解：如果能被9整除，那么一定是9的倍数． 故选：C． 3．下列说法正确的是（     ） A．9能整除3； B．2.1能整除21； C．1能整除任何正整数； D．如果，那么能被整除． 【答案】C 【分析】根据整除需满足被除数为整数，除数为非零整数，且商为整数、无余数，逐一判断选项即可． 【详解】解：A、，不满足整除的条件，故选项不符合题意； B、2.1是小数，不满足除数为整数的条件，故选项不符合题意； C、任意正整数除以1的商为该正整数，且1为非零整数，满足整除的条件，故选项符合题意； D、未说明、为整数，例如，时等式成立，但不满足整除的条件，故选项不符合题意． 4．下列各组数中，第一个数能整除第二个数的是（    ） A．2.5和5 B．25和5 C．25和75 D．1.5和1.5 【答案】C 【分析】本题考查整除的定义，需明确整除要求被除数、除数均为整数，且除数不为0，商为整数且余数为0． 【详解】解：∵整除的定义为整数b除以非零整数a，商为整数且余数为0，则a整除b． ∴首先排除含小数的选项A、D． ∵对于B选项， ，商不是整数． ∴25不能整除5． ∵对于C选项，，商为整数且余数为0． ∴25能整除75，符合题意． 故选：C. 5．下列说法中，正确的个数有（   ） ①32能被4整除：②能被整除；③13能整除13；④25不能被5整除； A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查了整除的概念，注意掌握整除的概念和前提，以及整除的特征． 根据整除的概念：如果整数a除以自然数b，商是整数且余数为0，则a能被b整除，或b能整除a判断即可． 【详解】解：①，32能被4整除，正确； ②和是小数，不能整除，错误； ③，13能整除13，正确； ④，25能被5整除，错误； ∴正确的有2个， 故选B． 6．下面各组数中，第一个数能整除第二个数的是（     ） A．0.3和3 B．24和0.6 C．3和51 D．14和7 【答案】C 【分析】根据整除的定义，整除仅在整数范围内讨论，若非零整数除整数，商为整数且余数为 ，则称能整除，据此判断各选项即可． 【详解】解：∵ 整除的概念只适用于整数范围， 选项A中第一个数 是小数，选项B中第二个数 是小数，因此排除A，B； ∵ 题目要求第一个数能整除第二个数，即第二个数除以第一个数的商为整数， 对选项C： ，商是整数，符合要求； 对选项D： ，商不是整数，不符合要求． 7．小明发现八音盒中有一对咬合的齿轮，其中大齿轮出现了故障．已知小齿轮的齿数为齿，每分钟转3圈．当八音盒播放完一首4分钟的曲子时，大小齿轮会回到初始位置．因此，小明选购以下哪个齿数的大齿轮来尝试修复最恰当？（    ） A．齿 B．齿 C．齿 D．齿 【答案】D 【分析】本题考查了数的整除，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． 齿轮咬合时转过的齿数相等，小齿轮4分钟转圈，转过齿，大齿轮转过的圈数需为整数，故其齿数需为的因数． 【详解】解：∵小齿轮齿数，每分钟转3圈， ∴4分钟转圈， 转过齿数：齿． ∵齿轮咬合，转过的齿数相等，且大齿轮需回到初始位置， ∴大齿轮转过的圈数为整数， 设大齿轮齿数为，则， ∴需为的因数． 选项中，（整数）， 而、、均不能整除， 故选：D． 8．如果一个正整数除以5，商是2，余数是3，那么这个正整数是______． 【答案】13 【分析】本题主要考查了被除数、除数、商和余数的关系，求这个数实际是求被除数，求出被除数是解决问题的关键，利用“被除数=商除数+余数”，即可求出． 【详解】 ； 故答案为：13． 9．韩信点兵：三个三个数，余数为一；五个五个数，余数为三；七个七个数，余数为五．那么韩信的士兵最少有________人． 【答案】 【分析】先求出3，5，7的最小公倍数，再根据被3整除余数为1即可求出答案． 【详解】解：3，5，7的最小公倍数为， 因为三个三个数，余数为一， 所以韩信的士兵最少有人， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了数的整除，正确求出3、5、7的最小公倍数是解题的关键． 10．用226、192、141分别除以同一个正整数，得到的余数都相同，且余数不为0，这个正整数是________． 【答案】17 【分析】此题主要考查了同余问题的基本解法即：将几个具有相同余数的数两两相减，它们差的公因数即是这几个数的共同的除数． 根据同余定理，三个数两两相减的差能被这个正整数整除，求出差的公因数即可． 【详解】解：，，． 、、的公因数有1和17， 由于余数不为0，故除数为17． 验证得，，，余数相同且不为0． 故答案为17． 考点02 因数和倍数 1．如果（a，b都是正整数），那么a是b的（    ） A．倍数 B．公倍数 C．因数 D．公因数 【答案】A 【分析】本题考查了倍数，掌握倍数的定义是解答本题的关键． 根据倍数的定义解答即可． 【详解】解：∵，且a， b为正整数， ∴，即a是b的倍数． 故选A． 2．下列数中，既是3的倍数，又是60的因数的数是（   ） A．12 B．18 C．21 D．45 【答案】A 【分析】此题考查了因数和倍数，熟练掌握一个数的因数和倍数的找法是解本题的关键． 选项的四个数中12、18、21、45是3的倍数，而这四个数中只有12是60的因数，据此即可求解． 【详解】解：在12、18、21、45四个整数中，是3的倍数有12、18、21、45， 这四个数中60的因数有12， 所以既是3的倍数，又是60的因数的数是12， 故选：A． 3．下列说法正确的是（   ） A．12是倍数，3是因数 B．能被2除尽的数都是偶数 C．2是6的因数 D．偶数除以2的商一定是奇数 【答案】C 【分析】本题主要考查倍数和因数，熟练掌握以上知识点是解题的关键．根据因数和倍数的定义逐一判断即可． 【详解】解：A．12是3的倍数，3是12的因数，故本选项不符合题意； B．能被2除尽的数可能是小数，故本选项不符合题意； C．2是6的因数，故本选项符合题意； D．偶数除以2的商可能是奇数也可能是偶数，故本选项不符合题意． 故选：C． 4．的因数有（   ） A．3个 B．4个 C．5个 D．8个 【答案】D 【分析】该题考查了因数，A由三个质数相乘得到，其因数个数为各质数指数加1后的乘积，即． 【详解】解：∵，且2、5、7均为质数， ∴ 的因数个数为个， 分别为1、2、5、7、10、14、35、70． 故选：D． 5．对正整数a，表示n个a连乘，如时，，即a的平方，若a的所有因数之积等于a的平方，则称a为完满数，如6的所有因数为1，2，3，6，因为，所以6是一个完满数，则下列数中是完满数的为（   ） A．12 B．14 C．16 D．18 【答案】B 【分析】本题主要考查了求一个数的因数，根据完满数的定义，需计算各数的所有因数之积，若等于该数的平方，则为完满数，逐一验证选项即可． 【详解】解：A、12的因数有1、2、3、4、6、12，所有因数的积为， ∴12不是完满数，故此选项不符合题意． B、14的因数有1、2、7、14，所有因数的积为， ∴14是完满数，故此选项符合题意． C、16的因数有1、2、4、8、16，所有因数的积为， ∴16不是完满数，故此选项不符合题意． D、18的因数有1、2、3、6、9、18，所有因数的积为， ∴18不是完满数，故此选项不符合题意． 故选：B． 6．的因数中最大的因数是_______． 【答案】 【详解】本题考查分解因数，熟记因数相关定义是解决问题的关键． 由可知，21的因数有1、3、7、21，其中最大的是即可得到答案． 【分析】解：， 21的因数有1、3、7、21， 则其中最大的是， 故答案为：． 7．12的正因数有______． 【答案】1，2，3，4，6，12 【分析】本题考查正因数的定义，找出所有能整除12的正整数即可 【详解】解：根据正因数的定义，若正整数m能被正整数n整除（即的商为正整数且余数为0），则n是m的正因数.对12进行正整数范围内的因数分解：由此可得，能整除12的正整数有1，2，3，4，6，12. 故答案为：1，2，3，4，6，12. 8．如果，那么m的因数有______个，倍数有_____个． 【答案】 8 无数 【分析】本题考查了找一个数因数的方法，倍数，找因数的方法：把一个数写成两个数乘积的形式，然后一对对的列举下来即可；一个数的倍数一般有无数个，据此解答即可． 【详解】解：如果，那么m的因数有：1、2、3、5、6、10、15、30，共8个； 30乘以任意整数都是m的倍数，所以m的倍数有无数个． 故答案为：8；无数． 9．一个数的最小倍数是32，最大因数也是32，这个数是_______________． 【答案】32 【分析】本题主要考查了最小倍数和最大因数的性质，根据最小倍数和最大因数都是它本身，即可得到答案 【详解】解：∵一个数的最小倍数和最大因数都是它本身， ∴这个数是32， 故答案为：32． 10．把下列各数填入指定的圈内（每个数只能用一次）． ，，，，，，，，，， 【答案】 如图 【分析】本题考查了因数与倍数；先分别确定4的倍数、60的因数，再找出既是4的倍数又是60的因数的数，最后将数分类填入对应的圈内． 【详解】解：在给定的数中，能被整除的数为的倍数． 计算可得：，，，，，，因此的倍数有、、、、、． 在给定的数中，能整除的数为的因数． 计算可得：，，，，，，，因此的因数有、、、、、、． 对比的倍数和的因数，共同存在的数为、． 仅属于的倍数（非的因数）：、、、； 仅属于的因数（非的倍数）：、、、、； 既是的倍数又是的因数：、． 考点03 能被2、3、5整除的数 1．从标有“1-10”的10张数字卡片中至少要抽出（     ）张卡片，才能保证既有奇数又有偶数． A．3 B．4 C．6 D．8 【答案】C 【分析】从最不利的抽取情况入手分析． 【详解】解：中奇数、偶数各有5张． ∵要保证既有奇数又有偶数，需考虑最不利情况， ∴先抽出某一种奇偶性的全部5张卡片， 再抽1张必然同时包含两种奇偶性，（张）． 2．写出所有既是15的因数，又是5的倍数的数：___________． 【答案】 ， 【分析】先找出的所有因数，再从因数中筛选出是的倍数的数． 【详解】解：， 的因数有：，，，； 其中是的倍数的数有：，； ∴既是的因数，又是的倍数的数有：，． 3．如果要使成为3的倍数，那么里最小填___________； 【答案】 【分析】根据3的倍数的特征计算已有数字和，结合是三位数最高位不能为0，找出最小的符合条件的数字. 【详解】解：3的倍数的特征为：一个数各位数字之和是3的倍数，这个数就是3的倍数， 对于，已有数字和为， 因为是三位数的最高位，不能为，从最小的非零自然数开始验证，当填时，各位数字和为，是的倍数，满足要求， 故里最小填. 4．在由0、1、2组成没有重复数字的三位数中，能同时被2和5整除的数是________． 【答案】和 【分析】能同时被和整除的数个位必为，三位数的百位不能为，只需排列剩余数字即可得到结果． 【详解】解：∵ 能同时被和整除的数，个位数字一定是， 又∵ 三位数的百位不能为， ∴ 百位只能从，中选择，十位为剩余的数字， 当百位选时，得到数， 当百位选时，得到数， 因此符合条件的数是和． 5．如图，一个圆圈上有个孔，．小明像玩跳棋一样，从孔出发，逆时针方向将一枚棋子跳动，每步跨过若干个孔，希望跳一圈后回到孔，他先每步跳过2个孔，结果只能跳到孔；他又试着每步跳过4个孔，结果还是跳到孔；最后他每步跳过6个孔，正好回到孔，这个圆圈上一共有_______个孔． 【答案】91 【分析】根据题意，每步跳过2个孔即步长为3，跳到B孔说明是3的倍数；每步跳过4个孔即步长为5，跳到B孔说明是5的倍数；每步跳过6个孔即步长为7，回到A孔说明是7的倍数；结合求解即可． 【详解】解：由题意可知，每步跳过2个孔，实际步长为3，结果跳到B孔，说明是3的倍数． 每步跳过4个孔，实际步长为5，结果还是跳到B孔， 也是5的倍数， 是15的倍数． ， 可能为15，30，45，60，75，90， 可能为16，31，46，61，76，91． 每步跳过6个孔，实际步长为7，正好回到A孔， 是7的倍数．在上述的可能值中，只有91是7的倍数， ． 故这个圆圈上一共有91个孔． 6．用0、1、2、5四个数字中的两个或三个，按下列要求排成没有重复数字的数： (1)能被2整除，但不能被5整除： (2)能被2整除，但不能被3整除： (3)既能被2整除，又能被3、5整除： 【答案】(1)12、52、102、152、502、512 (2)10、20、50、52、152、250、502、512、520 (3)120、150、210、510 【分析】（1）根据能被2整除、但不能被5整除的数的特征确定个位为2，按两位数、三位数分类列举，注意首位不为0； （2）先列举所有能被2整除的数，再根据能被3整除的数的特征排除不符合的数； （3）根据能同时被2、3、5整除的数的特征确定个位为0，再结合数字和为3的倍数的条件列举． 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 7．从0、4、5、9这四个数字中，任选三个数字组成一个能同时被2和5整除的三位数,这样的三位数共有几个？分别是什么？ 【答案】这样的三位数共有6个，分别是450，490，540，590，950，940． 【分析】根据能够同时被2和5整除的三位数个位数字为0，写出这些数即可得出答案． 【详解】解：能同时被2和5整除的三位数个位数字一定为0，所以这样的三位数分别为：450，490，540，590，950，940，共有6个， 答：这样的三位数共有6个，分别是450，490，540，590，950，940． 【点睛】本题主要考查了能够同时被2和5整除的数的特点，解题的关键是熟练掌握能够同时被2和5整除的三位数个位数必须为0． 8．小明、小红、小刚三人的年龄正好是三个连续的偶数，他们的年龄总和是48岁，他们中最小的是多少岁？最大的是多少岁？ 【答案】他们中最小的是14岁，最大的是18岁 【分析】根据偶数的意义，是2的倍数的数叫做偶数．根据自然数的排列规律，相邻的两个自然数相差1，相邻的两个偶数相差2；先求出这三个连续偶数的平均数，前面的比平均数少2，后面的比平均数多2．由此解答． 【详解】解：48÷3=16（岁）， 16-2=14（岁）， 16+2=18（岁）． 答：他们中最小的是14岁，最大的是18岁． 【点睛】此题主要根据偶数的意义和偶数的排列规律解决问题．明确：相邻的两个偶数相差2． 9．已知与分别表示不超过100的正整数，且， (1)若，则与的最小值分别是多少？ (2)如果，则与分别表示哪些数？ 【答案】(1)， (2)，；，；，；， 【分析】本题考查了3的倍数，整除，解题的关键是掌握3的倍数的特点； （1）由已知可得，根据整除的特性即可得解； （2）由已知可得，则是3的倍数，再对A进行讨论求解即可． 【详解】（1）解：， ， 是不超过100的正整数，且， 的最小值为12， ， 的最小值为6， 与的最小值分别是12，6． （2）解：， ， 是不超过100的正整数，且， 是3的倍数， 当时，，不满足，不符合题意； 当时，，符合题意； 当时，，符合题意； 当时，，符合题意； 当时，，符合题意； 当时，，不符合题意； 的值为；；；． 10．算式的积为正数还是负数？积的末尾有多少个零？ 【答案】积为负数，积的末尾有7个0． 【分析】根据5的倍数与10的倍数特征可以得到解答． 【详解】解：由题意知，算式中有15个负数，所以根据有理数的乘法法则，积为负数； 又5与任何一个偶数相乘的得数末尾必为0，且在1-30的30个数里面末尾为5的数有5，15，25， ∴5，15与偶数乘，各得1个0，25与4乘可得2个0，又10、20、30各有1个0， 所以，积的末尾共有7个0． 【点睛】本题考查有理数的乘法，熟练掌握有理数的乘法法则和5、10的倍数特征是解题关键． 考点04 素数、合数 1．下列正整数中，属于合数的是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】此题考查了合数， 合数是大于1且除了1和它本身外还有其他因数的正整数，据此求解即可． 【详解】解：A．根据合数的定义，合数是大于1的正整数，1不满足该条件，∴不是合数． B．因数只有1和2，是质数，∴不是合数． C．因数只有1和3，是质数，∴不是合数． D．因数有1、2、4，共3个因数，∴是合数． 故选：D． 2．下列各数不是素数的是（    ） A．1 B．2 C．89 D．97 【答案】A 【分析】本题考查了素数的定义，熟练掌握定义是解题的关键． 根据一个大于1的自然数，如果只有1和它本身两个正因数，则这个数称为素数，据此解答即可． 【详解】解：由一个大于1的自然数，如果只有1和它本身两个正因数，则这个数称为素数， A．1不符合素数定义（素数需大于1），不是素数，符合题意； B．2只有1和2两个因数，是素数，不符合题意； C．89只有1和89两个因数，是素数，不符合题意； D．97只有1和97两个因数，是素数，不符合题意； 故选：A． 3．著名的哥德巴赫猜想被誉为数学皇冠上的明珠，其猜想认为：任何大于2的偶数都等于两个素数之和．下列算式中，符合这个猜想的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】验证算式需同时满足：左侧为大于2的偶数，右侧两数均为素数． 【详解】解：A选项中1不是素数， B选项中19不是偶数，不符合． C选项中不是素数，均不符合． D选项中100是大于2的偶数，11和89均为素数，符合． 故符合“任何大于2的偶数都等于两个素数之和”这个猜想的是项． 4．下列数中，既是合数又是奇数的是（    ） A．3 B．9 C．12 D．17 【答案】B 【分析】此题主要考查合数与奇数的意义，合数指在大于1的整数中，除了1和它本身以外还能被其他正整数整除的数．在整数中，不能被2整除的数叫做奇数． 根据合数与奇数的意义逐项分析即可． 【详解】A．3是奇数，不是合数； B．9是奇数，且，有因数3，是合数； C．12是偶数，不是奇数； D．17是质数，不是合数． 故选B． 5．有下列语句：①合数都是偶数；②素数都是奇数；③自然数不是素数就是合数；④不存在最大的合数．其中叙述不正确的语句有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查了素数、合数、奇偶数的概念及自然数的分类． 逐一判断各语句的正确性即可． 【详解】①：存在奇合数（如9、15等），即合数不都是偶数，故①错误； ②：2是素数且是偶数，即素数不都是奇数，故②错误； ③：1是自然数，但既不是素数也不是合数，即自然数不全是素数或合数，故③错误； ④：不存在最大的合数，故④正确； 综上，不正确的语句有3个． 故选：C． 6．下列说法正确的是（    ） A．没有最小的素数 B．能被整除 C．一个合数至少有3个因数 D．偶数都是合数 【答案】C 【分析】本题考查素数与合数的基本概念．素数是指大于1且只有两个正因数的自然数，合数是指大于1且有至少三个正因数的自然数．选项A错误，因为最小素数是2；选项B错误，因为整除只针对整数，而1.2和0.3不是整数；选项C正确，符合合数的定义；选项D错误，因为偶数2是素数不是合数． 【详解】解：∵ 素数中最小的是2，∴ A错误； ∵ 整除要求被除数和除数均为整数，而1.2和0.3不是整数，∴ B错误； ∵ 合数定义是大于1的非素数自然数，至少有三个因数（如1、本身和另一个因数），∴ C正确； ∵ 偶数2是素数，不是合数，∴ D错误． 故选：C 7．下列各组数，既是合数又是互素的数是（    ）． A．9和16 B．12和24 C．11和24 D．15和21 【答案】A 【分析】本题主要考查了互素数的定义，“两个整数只有公因数1，那么称这两个数互素”，根据互为素数的意义求解即可． 需要找出两个数都是合数且互素的选项，合数是指大于1的非质数，互素是指最大公约数为1，据此求解即可． 【详解】解：A、9和16都是合数，且只有公因数1， ∴9和16既是合数又是互素，符合题意； B、∵， ∴12和24都是合数，但有公因数， ∴12和24不互素，不符合题意； C、11是质数，不是合数，不符合题意； D、， ∴15和21都是合数，但有公因数， ∴15和21不互素，不符合题意； 故选：A 8．下列说法中正确的是（     ） A．偶数都是合数 B．互素的两个数一定都是素数 C．合数的因数至少有2个 D．一个正整数不是偶数就是奇数 【答案】D 【分析】利用合数，素数，奇数，偶数的意义对每个选项进行逐一判断即可得出结论． 【详解】解：∵是偶数但不是合数，∴A选项错误，不符合题意． ∵和互素但都不是素数，∴B选项错误，不符合题意． ∵合数的因数至少有个（1，它本身，其它因数），∴C选项错误，不符合题意． ∵正整数按能否被整除可分为能被整除的是偶数和不能被整除的是奇数两类，∴D选项正确，符合题意． 9．下列说法中正确的有（    ）个 ①正整数是由素数和合数组成的． ②两个正整数的差为1，这两个正整数必然互素． ③，所以是的倍数，0.8是的因数． ④一个正整数，不是奇数就是偶数． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题考查数的基本概念（素数、合数、互素、因数、倍数、奇偶性），解题关键是准确掌握这些数论概念的定义与适用范围． 依据素数、合数、互素、因数倍数、奇偶性的定义，逐一分析每个说法，判断其正确性． 【详解】正整数包括1，而1既不是素数也不是合数，因此正整数并非仅由素数和合数组成，故①说法错误． 差为1的两个正整数是连续自然数，连续自然数的公因数只有1，必然互素，故②说法正确． 因数和倍数的概念仅适用于整数（不包括0），和是小数，不能称为因数或倍数，故③说法错误． 正整数按能否被2整除，可分为奇数和偶数，二者涵盖所有正整数，故④说法正确． 综上，②和④正确，共2个． 故选：B． 10．著名的“哥德巴赫猜想”被誉为“数学皇冠上的明珠”．猜想认为：任何大于2的偶数都等于两个素数之和，下列4个算式中，符合这个猜想的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了素数、合数、偶数，熟练掌握质数、合数的定义是解题的关键．根据素数、质数、合数的定义即可得到答案． 【详解】解：A、中，1不是质数，不符合猜想，故本选项不符合题意； B、中，19不是偶数，不符合猜想，故本选项不符合题意； C、中，91不是质数，不符合猜想，故本选项不符合题意； D、，100是偶数，11，89是质数，符合猜想，故本选项符合题意． 故选：D． 考点05 分解素因数 1．下列算式中，能正确表示把60分解质因数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查分解质因数关键是掌握分解质因数的方法：把一个合数写成几个质数的连乘积形式．据此解答即可． 【详解】解：∵， ∴ ；选项A为等式反向，非标准表示；选项B中10可分解为，非质数；选项D包含1，1非质数，故错误． 故选：C． 2．将分解素因数，下列表示法正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查分解素因数方法的灵活运用，注意既不是素数也不是合数．分解素因数就是把一个合数写成几个素因数连乘积的形式，一般先从较小的素因数开始分解,分解素因数的形式应该是把合数写在等号左边，几个素因数相乘的形式写在等号右边；据此逐项分析后再选择． 【详解】解：． 故选：D． 3．下列各式中属于分解素因数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了分解素因数，根据素因数的概念进行逐项分析，即可作答． 【详解】解：A、，1不是素数，故该选项不符合题意； B、，故该选项符合题意； C、，是把素数相乘，不是把一个合数分解成素因数的形式，故该选项不符合题意； D、，4不是素数，故该选项不符合题意； 故选：B 4．把24分解素因数的正确算式是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了分解素因数，熟练掌握知识点并牢记每个因数必须是质数是解题的关键．根据分解素因数的方法，把一个合数写成几个质数连乘的形式，叫做分解素因数，据此回答即可． 【详解】解：把24分解素因数的正确算式是， 故选：B． 5．分解素因数________，52的素因数有________ 【答案】 ， 【分析】利用短除法，从最小素数开始对52逐步试除，直到商为素数，写出分解结果后提取出其中的素数即可得到答案． 【详解】解：能被最小素数整除，， 仍能被素数整除，， ∵是素数，停止分解， ∴分解素因数得，的素因数为分解结果中的素数，即，． 6．分解素因数__________． 【答案】 【分析】此题主要考查合数分解素因数的方法，用52最小的素因数去除，一直除到商是素数为止． 2的倍数的特点，尾数为；3的倍数的特点，所有数位上的数之和为3的倍数；5的倍数的特点，尾数为． 【详解】分解过程：，， ∵13是素数， ∴． 故答案为：． 7．下列各对数①12和18、②15和25、③16和17中，互素的是______．（填序号） 【答案】 ③ 【分析】本题考查互素的定义，根据互素是指两个数的最大公约数为1，通过计算每对数的最大公约数，判断是否互素． 【详解】解：①12和18，12和18的公因数有1、2、3、6，最大公约数为6，不等于1，故不互素； ②15和25，15和25的公因数有1、5，最大公约数为5，不等于1，故不互素； ③16和17，16的因数有1、2、4、8、16，17的因数有1、17，公因数只有1，最大公约数为1，故互素， 因此，互素的是③． 故答案为：③． 8．把154分解质因数是_____． 【答案】 【分析】本题考查分解质因数，分解质因数要求所有因数都是质数，而1不是质数，由此即可判断． 【详解】解：， 故答案为：． 9．把一个正整数分解素因数，如果所有素因数每个数位上的数字的和等于原数每个数位上的数字的和，那么称这样的数为“史密斯数”，例如：，，即27是“史密斯数”；，，即166是“史密斯数”．那么，在4、32、58、65、94中，_______是“史密斯数”． 【答案】4，58,94 【分析】本题考查分解素因数，根据史密斯数的定义，对每个数分解素因数，计算素因数的数字和与原数的数字和，比较是否相等即可． 【详解】解：对于4，分解素因数为，素因数数字和，原数数字和，相等； 对于32，分解素因数为，素因数数字和，原数数字和，不相等； 对于58，分解素因数为，素因数数字和，原数数字和，相等； 对于65，分解素因数为，素因数数字和，原数数字和，不相等； 对于94，分解素因数为，素因数数字和，原数数字和，相等． 因此，史密斯数有4，58,94． 故答案为：4，58,94． 10．63的素因数有_______． 【答案】 【分析】本题考查了求一个数的素因数. 根据短除法求素因数即可. 【详解】解： 即63的素因数有 故答案为： ． 考点06 公因数与公倍数 1．已知，，则A、B的最大公因数是_________． 【答案】 【分析】已知和分解质因数的结果，两个数的最大公因数等于它们所有公有质因数的乘积． 【详解】解：∵，， ∴和公有的质因数为和， ∴最大公因数为． 2．某校有36名男生和48名女生，分组进行活动，要求每组人数相同，且每组中的男生人数也相同，那么每个组内至少有___名学生． 【答案】7 【分析】本题考查最大公因数的应用，正确掌握最大公因数的求法是解题的关键． 要使每个组内男生人数和女生人数分别相同，那么分组数就是男生人数和女生人数的公因数，要求每个组内至少有几个学生，就是求分组数最大时，每个组内学生的人数，所以分组数就是男生人数和女生人数的最大公因数，据此进行列式计算，即可作答． 【详解】解：依题意，，， 和48的最大公因数为， ， 所以要求每组人数相同，且每组中的男生人数也相同，那么每个组内至少有7个学生． 故答案为：7． 3．已知，则m与n的最小公倍数是__________． 【答案】210 【分析】本题主要考查了求两个数的最小公倍数，计算所有公有质因数（2，5）和独有质因数（3，7）的乘积即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴m与n的最小公倍数是， 故答案为：． 4．，A和B的最大公因数是______，最小公倍数是______． 【答案】 6 120 【详解】解：，A和B的最大公因数是； 最小公倍数是． 5．36和48的最小公倍数是______． 【答案】 【分析】本题考查了求最小公倍数． 先分解质因数，再求最小公倍数即可． 【详解】解：，， 则最小公倍数是． 故答案为：． 6．18和24的最大公因数是 ______，最小公倍数是 ______． 【答案】 6 72 【分析】本题考查了最大公因数，最小公倍数．通过分解质因数的方法，求两个数的最大公因数和最小公倍数，据此进行计算，即可作答． 【详解】将18和24分解质因数：， 公有质因数为2和3， 因此最大公因数为， 最小公倍数为公有质因数与各自独有质因数的连乘积，即， 故答案为：6，72． 7．两个数的最大公因数是14，最小公倍数是84，则这两数分别是_________． 【答案】 14和84或28和42 【分析】最小公倍数除以最大公因数可得两个数独有质因数的乘积，将结果分解为互质的两个因数，分别乘最大公因数即可得到所求两个数． 【详解】解：∵两个数的最大公因数是14，最小公倍数是84， ∴两个数独有质因数的乘积为 ， 将6分解为两个互质正整数的乘积，共有两种情况： 第一种情况：，此时两个数分别为 ，； 第二种情况：，此时两个数分别为 ，； ∴这两个数是14和84或28和42． 8．两个正整数的最大公因数是14，最小公倍数是84，则这两个数是__________________________．（写出所有可能的情况） 【答案】和或和 【分析】根据最大公因数设两个数为和，其中，为互质的正整数，利用最小公倍数的性质得到，找出所有符合条件的互质正整数对即可得到结果． 【详解】解：设这两个正整数分别为，，其中，是互质的正整数． ∵ 两个数的最小公倍数是， ∴ ， 整理得. ∵ ，是互质的正整数， ∴ 所有满足条件的正整数对有以下4种情况： ，；，；，；，． 当，时，两个数分别为：，； 当，时，两个数分别为：，； 当，时，两个数分别为：，； 当，时，两个数分别为：， ． ∴ 这两个数是和或和． 9．用96朵康乃馨和72朵粉百合做成花束，每束花里的康乃馨朵数相同，粉百合朵数也相同，每束花里至少有( )朵花． 【答案】7 【详解】解：因为，， 所以最大公因数为， 所以最多可以扎成24束花， 所以每束花中康乃馨有（朵），粉百合有（朵）， 所以每束花里至少有（朵花）． 10．慧慧爸爸和妈妈的工作都不能按双休日休息，爸爸每工作5天休息1天，妈妈每工作4天休息1天．4月5日爸爸和妈妈同时休息，下次两人同时休息是在_________月_________日． 【答案】 5 5 【分析】先求出爸爸和妈妈各自的休息周期，下次同时休息的间隔天数是两个周期的最小公倍数，再结合4月的天数推算具体日期即可． 【详解】解：∵爸爸每工作5天休息1天， ∴爸爸休息周期为天， ∵妈妈每工作4天休息1天， ∴妈妈休息周期为天， ∴两人下次同时休息的间隔天数是5和6的最小公倍数30天， ∵4月共有30天，起始日期为4月5日， ∴从4月5日往后数30天，得，即下次同时休息是5月5日． 11．在参与校外劳动实践时，同学们分配到了拔除杂草任务，男生负责除草，女生负责清运．经过数据统计发现，男生每人一个上午能够拔除6捆杂草，女生每人一个上午能够运走10捆杂草．现进行分组，组内需要男女合作使得拔除的杂草能够正好被全部运走，则每一小组至少需要男生、女生各多少人？ 【答案】男生5人，女生3人 【分析】本题考查最小公倍数的应用． 要使拔除的杂草正好被全部运走，那么男生拔草的捆数和女生运草的捆数应该相等，也就是找到6和10的最小公倍数，然后根据最小公倍数分别计算出男生和女生的人数． 【详解】解：6和10的最小公倍数为， 男生人数：（人） 女生人数：（人） 答：每一小组至少需要男生5人、女生3人． 12．有一张长方形纸片，它的长为20厘米，宽为30厘米． (1)如果要把它裁成大小相等的正方形纸片（没有剩余），那么正方形的边长至多为多少厘米？ (2)如果有这样的长方形纸片若干张，把它们拼成一个正方形（没有重叠，无缝隙），那么正方形的边长至少为多少厘米？ 【答案】(1)10厘米 (2)60厘米 【分析】本题考查最小公倍数和最大公因数的应用，会正确求最大公因数和最小公倍数． （1）把长方形裁成无剩余的正方形，正方形边长得是长和宽的最大公因数，正确求解即可． （2）要拼成正方形，正方形边长得是长方形长和宽的公倍数，求最短边长就是求最小公倍数，正确求解即可． 【详解】（1）解： 20和30的最大公因数是10， 所以正方形边长至多是10厘米． 答：正方形的边长至多为10厘米． （2）解：20和30的最小公倍数是， 所以这个正方形边长至少是60厘米． 答：正方形的边长至少为60厘米． 13．我们知道，任意一个正整数都可以进行这样的分解：（、是正整数，且），在的所有这种分解中，如果的值最小，我们就称是的“最优分解”，并规定在“最优分解”时： 例如18可以分解成，因为，所以是18的“最优分解”，． (1)___________，___________； (2)若且为200以内的正整数，求的值． 【答案】(1)，1 (2)30或120 【分析】本题考查新定义运算，分解质因数，理解新定义是解题的关键． （1）根据定义求解即可； （2）设，根据a为200以内的正整数，求出m可能取的数，即可求解． 【详解】（1）解：， 因为， 所以24的最优分解为，． ， 因为， 所以25的最优分解为，， 故答案为：，1； （2）解：因为， 所以设，m为正整数， 因为a为200以内的正整数， 所以， 所以， 所以m为1或2， 当时，； 当时，； 综上可知，a的值为30或120． 14．爱思考的小明在学习了《数的整除》之后，对一个合数的因数进行了如下表的研究： 发现（I） 整数 分解素因数 所有因数 因数个数 25 1，5，25 3 27 1，3，9，27 4 16 ___________ ___________ _____ (1)完成上表填空； (2)根据小明的研究，若一个合数分解素因数为：（为素数），则的因数的个数为___________． 发现（Ⅱ） 整数 分解素因数 所有因数 因数个数 6 1，2，3，6 4 12 1，2，3，4，6，12 6 90 1，2，3，5，6，9，10，15，18，30，45，90 12 216 1，2，3，4，6，8，9，12，18，24，27，36，54，72，108，216 16 小明研究上表发现，一个合数的素因数的个数与因数个数之间存在着数量关系． (3)若一个合数分解素因数为：，（、为不同的素数），则的因数的个数为___________． 【答案】(1)；，，，，； (2) (3) 【分析】（1）先对进行分解素因数，即可求得所有因数和因数个数； （2）由，可得的因数为，，，，，，即可得的因数个数； （3）令，其中，，然后求出的因数个数和的因数个数，即可求解． 【详解】（1）解：由题意得，， ∴的所有因数为，，，，， ∴的因数个数为个； （2）解：∵， ∴的因数为，，，，，， ∴的因数个数为个． （3）解：令，其中，， ∵， ∴的因数为，，，，，，故因数个数为个， ∵， ∴的因数为，，，，，，故因数个数为个， ∴的因数个数为个． 2 / 12 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 数的整除 考点01 整数和整除的意义 考点02 因数和倍数 考点03 能被2、3、5整除的数 考点04 素数、合数 考点05 分解素因数 考点06 公因数与公倍数 考点01 整数和整除的意义 1．下列算式中，属于整除的是（    ） A． B． C． D． 2．如果能被9整除，那么一定是（   ） A．9 B．1 C．9的倍数 D．9的因数 3．下列说法正确的是（     ） A．9能整除3； B．2.1能整除21； C．1能整除任何正整数； D．如果，那么能被整除． 4．下列各组数中，第一个数能整除第二个数的是（    ） A．2.5和5 B．25和5 C．25和75 D．1.5和1.5 5．下列说法中，正确的个数有（   ） ①32能被4整除：②能被整除；③13能整除13；④25不能被5整除； A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 6．下面各组数中，第一个数能整除第二个数的是（     ） A．0.3和3 B．24和0.6 C．3和51 D．14和7 7．小明发现八音盒中有一对咬合的齿轮，其中大齿轮出现了故障．已知小齿轮的齿数为齿，每分钟转3圈．当八音盒播放完一首4分钟的曲子时，大小齿轮会回到初始位置．因此，小明选购以下哪个齿数的大齿轮来尝试修复最恰当？（    ） A．齿 B．齿 C．齿 D．齿 8．如果一个正整数除以5，商是2，余数是3，那么这个正整数是______． 9．韩信点兵：三个三个数，余数为一；五个五个数，余数为三；七个七个数，余数为五．那么韩信的士兵最少有________人． 10．用226、192、141分别除以同一个正整数，得到的余数都相同，且余数不为0，这个正整数是________． 考点02 因数和倍数 1．如果（a，b都是正整数），那么a是b的（    ） A．倍数 B．公倍数 C．因数 D．公因数 2．下列数中，既是3的倍数，又是60的因数的数是（   ） A．12 B．18 C．21 D．45 3．下列说法正确的是（   ） A．12是倍数，3是因数 B．能被2除尽的数都是偶数 C．2是6的因数 D．偶数除以2的商一定是奇数 4．的因数有（   ） A．3个 B．4个 C．5个 D．8个 5．对正整数a，表示n个a连乘，如时，，即a的平方，若a的所有因数之积等于a的平方，则称a为完满数，如6的所有因数为1，2，3，6，因为，所以6是一个完满数，则下列数中是完满数的为（   ） A．12 B．14 C．16 D．18 6．的因数中最大的因数是_______． 7．12的正因数有______． 8．如果，那么m的因数有______个，倍数有_____个． 9．一个数的最小倍数是32，最大因数也是32，这个数是_______________． 10．把下列各数填入指定的圈内（每个数只能用一次）． ，，，，，，，，，， 考点03 能被2、3、5整除的数 1．从标有“1-10”的10张数字卡片中至少要抽出（     ）张卡片，才能保证既有奇数又有偶数． A．3 B．4 C．6 D．8 2．写出所有既是15的因数，又是5的倍数的数：___________． 3．如果要使成为3的倍数，那么里最小填___________； 4．在由0、1、2组成没有重复数字的三位数中，能同时被2和5整除的数是________． 5．如图，一个圆圈上有个孔，．小明像玩跳棋一样，从孔出发，逆时针方向将一枚棋子跳动，每步跨过若干个孔，希望跳一圈后回到孔，他先每步跳过2个孔，结果只能跳到孔；他又试着每步跳过4个孔，结果还是跳到孔；最后他每步跳过6个孔，正好回到孔，这个圆圈上一共有_______个孔． 6．用0、1、2、5四个数字中的两个或三个，按下列要求排成没有重复数字的数： (1)能被2整除，但不能被5整除： (2)能被2整除，但不能被3整除： (3)既能被2整除，又能被3、5整除： 7．从0、4、5、9这四个数字中，任选三个数字组成一个能同时被2和5整除的三位数,这样的三位数共有几个？分别是什么？ 8．小明、小红、小刚三人的年龄正好是三个连续的偶数，他们的年龄总和是48岁，他们中最小的是多少岁？最大的是多少岁？ 9．已知与分别表示不超过100的正整数，且， (1)若，则与的最小值分别是多少？ (2)如果，则与分别表示哪些数？ 10．算式的积为正数还是负数？积的末尾有多少个零？ 考点04 素数、合数 1．下列正整数中，属于合数的是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．下列各数不是素数的是（    ） A．1 B．2 C．89 D．97 3．著名的哥德巴赫猜想被誉为数学皇冠上的明珠，其猜想认为：任何大于2的偶数都等于两个素数之和．下列算式中，符合这个猜想的是（     ） A． B． C． D． 4．下列数中，既是合数又是奇数的是（    ） A．3 B．9 C．12 D．17 5．有下列语句：①合数都是偶数；②素数都是奇数；③自然数不是素数就是合数；④不存在最大的合数．其中叙述不正确的语句有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 6．下列说法正确的是（    ） A．没有最小的素数 B．能被整除 C．一个合数至少有3个因数 D．偶数都是合数 7．下列各组数，既是合数又是互素的数是（    ）． A．9和16 B．12和24 C．11和24 D．15和21 8．下列说法中正确的是（     ） A．偶数都是合数 B．互素的两个数一定都是素数 C．合数的因数至少有2个 D．一个正整数不是偶数就是奇数 9．下列说法中正确的有（    ）个 ①正整数是由素数和合数组成的． ②两个正整数的差为1，这两个正整数必然互素． ③，所以是的倍数，0.8是的因数． ④一个正整数，不是奇数就是偶数． A．1 B．2 C．3 D．4 10．著名的“哥德巴赫猜想”被誉为“数学皇冠上的明珠”．猜想认为：任何大于2的偶数都等于两个素数之和，下列4个算式中，符合这个猜想的是（   ） A． B． C． D． 考点05 分解素因数 1．下列算式中，能正确表示把60分解质因数的是（   ） A． B． C． D． 2．将分解素因数，下列表示法正确的是（   ） A． B． C． D． 3．下列各式中属于分解素因数的是（    ） A． B． C． D． 4．把24分解素因数的正确算式是（   ） A． B． C． D． 5．分解素因数________，52的素因数有________ 6．分解素因数__________． 7．下列各对数①12和18、②15和25、③16和17中，互素的是______．（填序号） 8．把154分解质因数是_____． 9．把一个正整数分解素因数，如果所有素因数每个数位上的数字的和等于原数每个数位上的数字的和，那么称这样的数为“史密斯数”，例如：，，即27是“史密斯数”；，，即166是“史密斯数”．那么，在4、32、58、65、94中，_______是“史密斯数”． 10．63的素因数有_______． 考点06 公因数与公倍数 1．已知，，则A、B的最大公因数是_________． 2．某校有36名男生和48名女生，分组进行活动，要求每组人数相同，且每组中的男生人数也相同，那么每个组内至少有___名学生． 3．已知，则m与n的最小公倍数是__________． 4．，A和B的最大公因数是______，最小公倍数是______． 5．36和48的最小公倍数是______． 6．18和24的最大公因数是 ______，最小公倍数是 ______． 7．两个数的最大公因数是14，最小公倍数是84，则这两数分别是_________． 8．两个正整数的最大公因数是14，最小公倍数是84，则这两个数是__________________________．（写出所有可能的情况） 9．用96朵康乃馨和72朵粉百合做成花束，每束花里的康乃馨朵数相同，粉百合朵数也相同，每束花里至少有( )朵花． 10．慧慧爸爸和妈妈的工作都不能按双休日休息，爸爸每工作5天休息1天，妈妈每工作4天休息1天．4月5日爸爸和妈妈同时休息，下次两人同时休息是在_________月_________日． 11．在参与校外劳动实践时，同学们分配到了拔除杂草任务，男生负责除草，女生负责清运．经过数据统计发现，男生每人一个上午能够拔除6捆杂草，女生每人一个上午能够运走10捆杂草．现进行分组，组内需要男女合作使得拔除的杂草能够正好被全部运走，则每一小组至少需要男生、女生各多少人？ 12．有一张长方形纸片，它的长为20厘米，宽为30厘米． (1)如果要把它裁成大小相等的正方形纸片（没有剩余），那么正方形的边长至多为多少厘米？ (2)如果有这样的长方形纸片若干张，把它们拼成一个正方形（没有重叠，无缝隙），那么正方形的边长至少为多少厘米？ 13．我们知道，任意一个正整数都可以进行这样的分解：（、是正整数，且），在的所有这种分解中，如果的值最小，我们就称是的“最优分解”，并规定在“最优分解”时： 例如18可以分解成，因为，所以是18的“最优分解”，． (1)___________，___________； (2)若且为200以内的正整数，求的值． 14．爱思考的小明在学习了《数的整除》之后，对一个合数的因数进行了如下表的研究： 发现（I） 整数 分解素因数 所有因数 因数个数 25 1，5，25 3 27 1，3，9，27 4 16 ___________ ___________ _____ (1)完成上表填空； (2)根据小明的研究，若一个合数分解素因数为：（为素数），则的因数的个数为___________． 发现（Ⅱ） 整数 分解素因数 所有因数 因数个数 6 1，2，3，6 4 12 1，2，3，4，6，12 6 90 1，2，3，5，6，9，10，15，18，30，45，90 12 216 1，2，3，4，6，8，9，12，18，24，27，36，54，72，108，216 16 小明研究上表发现，一个合数的素因数的个数与因数个数之间存在着数量关系． (3)若一个合数分解素因数为：，（、为不同的素数），则的因数的个数为___________． 2 / 12 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $