专题01 数的整除13大题型66题（期中专项训练）六年级数学上学期新教材沪教版五四制

专题01 数的整除 基础·固本强基 题型1 整除与除尽辨析 题型2 因数与倍数 题型3 求一个数的因数与倍数（有序成对列举） 题型4 能被2、5、3整除的数（整除特征） 题型5 素数、合数辨析 题型6 分解素因数（短除法） 提升·进阶突破 题型7 最大公因数 题型8 最小公倍数 题型9 三个数的最大公因数与最小公倍数 题型10 素数、合数、奇偶性综合（“2”的特殊性） 拔高·压轴破难 题型11 推理解决素数积问题 题型12 逆推法：最大公因数×最小公倍数＝两数乘积 题型13 整除的实际应用（等分、周期、相遇） 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 基础·固本强基 题型1 整除与除尽辨析（共6小题） 【模型】整除：若 a÷b＝c，其中 a、b、c 都是整数且没有余数，就称 a 能被 b 整除（或 b 能整除 a）。除尽只要求“除得尽”，被除数、除数、商可以是小数。整除一定是除尽，除尽不一定是整除。 【步骤】① 看被除数与除数是否都是整数；② 算商，看商是否为整数；③ 看余数是否为 0。三者同时满足才是整除。 【易错】① 0 不能作除数；② “除尽”不等于“整除”，如 4.8÷0.6＝8 是除尽但不是整除；③ 表述上“a 能被 b 整除”与“b 能整除 a”要分清方向。 1．（25-26六年级上·上海黄浦·期中）下列算式中，第一个数能被第二个数整除的是（    ） A．2和4 B．25和2.5 C．52和13 D．10和3 【答案】C 【详解】解：∵ 整除要求两个数均为整数，且商为整数余数为零； A、，商不是整数，故本选项不符合题意； B、第二个数2.5不是整数，不符合定义，故本选项不符合题意； C、，商为整数，余数为零，故本选项符合题意； D、，余数不为零，故本选项不符合题意； 故选：C． 2．（24-25六年级上·上海宝山·期中）在下列式子中，表示整除的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解答】解：A．，故不属于整数整除； B．，故不属于整除； C．，故不属于整数整除； D．，故本选项符合题意． 故选：D． 3．（23-24六年级上·上海虹口·期中）如果30能被M整除，那么M一定是（   ） A．15 B．30 C．30的倍数 D．30的因数 【答案】D 【详解】解：30能被M整除，说明M是30的因数． 故选∶D 4．（23-24六年级上·上海杨浦·期中）既能被6整除，又能被9整除的数，它______能被54整除（填“一定”或“不一定”或“一定不”） 【答案】不一定 【详解】解：既能被6整除，又能被9整除的数，它不一定能被54整除，例如18既能被6整除，又能被9整除的数，但不能被54整除，54既能被6整除，又能被9整除的数，还能被54整除， 故答案为：不一定． 5．（23-24六年级上·上海杨浦·期中）有两个循环小数a和b，a的循环节有3位，b的循环节有6位，a与b之和的循环节最少是______位． 【答案】2 【详解】解：设，则， ∵a有3位循环节，b有6位循环节， 当c有1位循环节时， b最多有3位循环节，矛盾； ∴c最少有两位循环节， ∴循环节最少是2位． 答：两个循环小数a和b，a的循环节有3位，b的循环节有6位．这两个数之和的循环节最少有2位． 故答案为：2． 6．（24-25六年级上·上海杨浦·期中）有6张卡片，上面分别写1、2、3、4、5、6，从这六张卡片中拿出若干张，排成一个尽可能大的多位数，并使这个多位数能被组成它的所有数整除，这个多位数是______． 【答案】6432 【详解】解：∵可选数字没有0， ∴2和5不能同时出现． 若选了3，则所选数字的和必须为3的倍数， 若选了4，则所组成的数字最后两位是4的倍数， 若同时选择了2和3，则同时被2、3整除的数必为6的倍数， 为了使得所排的数尽可能大，应让6在第一位，同时考虑以上因素，最大值为6432． 故答案为：6432． 题型2 因数与倍数（共6小题） 【模型】若整数 a 能被整数 b 整除，则 a 是 b 的倍数，b 是 a 的因数。因数与倍数相互依存，必须成对说出。 【步骤】① 先判断是否整除；② 被除数（大数）是除数（小数）的倍数；③ 除数（小数）是被除数（大数）的因数。 【易错】① 不能说“24 是因数、4 是倍数”，必须说“谁是谁的因数、谁是谁的倍数”；② 一个数的因数是有限的，最小的因数是 1，最大的因数是它本身；③ 一个数的倍数是无限的，最小的倍数是它本身，没有最大的倍数。 7．（25-26六年级上·上海浦东新·期中）如果（a，b都是正整数），那么a是b的（    ） A．倍数 B．公倍数 C．因数 D．公因数 【答案】A 【详解】解：∵，且a， b为正整数， ∴，即a是b的倍数． 故选A． 8．（24-25六年级上·上海·期中）下列说法正确的是（   ） A．12是倍数，3是因数 B．能被2除尽的数都是偶数 C．2是6的因数 D．偶数除以2的商一定是奇数 【答案】C 【详解】解：A．12是3的倍数，3是12的因数，故本选项不符合题意； B．能被2除尽的数可能是小数，故本选项不符合题意； C．2是6的因数，故本选项符合题意； D．偶数除以2的商可能是奇数也可能是偶数，故本选项不符合题意． 故选：C． 9．（24-25六年级上·上海浦东新·期中）对正整数a，表示n个a连乘，如时，，即a的平方，若a的所有因数之积等于a的平方，则称a为完满数，如6的所有因数为1，2，3，6，因为，所以6是一个完满数，则下列数中是完满数的为（   ） A．12 B．14 C．16 D．18 【答案】B 【详解】解：A、12的因数有1、2、3、4、6、12，所有因数的积为， ∴12不是完满数，故此选项不符合题意． B、14的因数有1、2、7、14，所有因数的积为， ∴14是完满数，故此选项符合题意． C、16的因数有1、2、4、8、16，所有因数的积为， ∴16不是完满数，故此选项不符合题意． D、18的因数有1、2、3、6、9、18，所有因数的积为， ∴18不是完满数，故此选项不符合题意． 故选：B． 10．（25-26六年级上·上海浦东新·期中）在82、75、90这3个数中，______既是2的倍数，又是5的倍数． 【答案】90 【详解】解：，，， 故90既是2的倍数，又是5的倍数， 故答案为：90． 11．（24-25六年级上·上海宝山·期中）的最小倍数是 ___________． 【答案】 【详解】的最小倍数是． 故答案为：． 12．（25-26六年级上·上海宝山·期中）的因数中最大的因数是_______． 【答案】 【分析】解：， 21的因数有1、3、7、21， 则其中最大的是， 故答案为：． 题型3 求一个数的因数与倍数（有序成对列举）（共3小题） 【模型】求因数用“成对列举”：从小到大，1 和它本身、2 和一半……依次配对，不重不漏；若中间出现平方数，该因数只写一次。求倍数用依次乘 1、2、3……。 【步骤】① 从 1 开始依次试除，成对写出；② 一对一对往中间靠拢，直到出现重复（平方数）为止；③ 从小到大整理。 【易错】① 成对列举时易漏掉平方数本身的因数（如 36 的 6）；② 求倍数要写出省略号，因为倍数是无限的。 13．（25-26六年级上·上海普陀·期中）27的因数有______． 【答案】1，3，9，27 【详解】解：， 则27的因数有1，3，9，27． 故答案为：1，3，9，27． 14．（24-25六年级上·上海普陀·期中）14的因数有______． 【答案】 【详解】解：， ∴因数为， 故答案为：． 15．（23-24六年级上·上海·期中）12所有因数的个数有____个． 【答案】6 【详解】解：∵ ∴12的因数有：1、2、3、4、6、12，一共6个． 故答案为：6． 题型4 能被2、5、3整除的数（整除特征）（共4小题） 【模型】① 个位是 0、2、4、6、8 的数，能被 2 整除；② 个位是 0 或 5 的数，能被 5 整除；③ 各数位数字之和能被 3 整除的数，能被 3 整除；④ 同时能被 2 和 5 整除的数，个位一定是 0。 【步骤】① 判断被 2、5 整除看个位；② 判断被 3 整除先算数字和，再看数字和能否被 3 整除；③ 同时满足多个条件时逐一检验。 【易错】① 判断被 3 整除看“数字和”，不是看个位；② 同时能被 2 和 5 整除的数，个位必须是 0。 16．（23-24六年级上·上海宝山·期中）100以内，能同时被3和5整除的最大奇数是（    ） A．75 B．90 C．95 D．99 【答案】A 【详解】以内，能同时被和整除的最大奇数是 故选：A． 17．（25-26六年级上·上海虹口·期中）能被5整除的最小的三位数是_________． 【答案】100 【详解】解：能被5整除的最小的三位数是100． 故答案为：100． 18．（24-25六年级上·上海·期中）在75、50、42、40、66、105中，既是2的倍数又能被5整除的数有___________． 【答案】50和40 【详解】解：在75、50、42、40、66、105中，个位为0的数有50和40，因此既是2的倍数又能被5整除的数有50和40． 故答案为：50和40． 19．（24-25六年级上·上海长宁·期中）四位数至少加上______可以同时被、、整除（填写一个正整数）． 【答案】 【详解】解：， 是、、的公倍数， 至少加上可以同时被、、整除， 故答案为: ． 题型5 素数、合数辨析（共4小题） 【模型】按因数个数分类：只有 1 和它本身两个因数的数是素数；除了 1 和它本身外还有其他因数的数是合数；1 既不是素数也不是合数。最小的素数是 2，最小的合数是 4，2 是唯一的偶素数。 【步骤】① 看这个数是否大于 1；② 从小到大试除，判断因数个数；③ 恰有两个因数是素数，三个及以上是合数。 【易错】① 1 不是素数；② 2 是唯一的偶素数，不要以为“素数都是奇数”；③ 9、15、21 是“奇合数”，容易误判为素数。 20．（25-26六年级上·上海·期中）在等式中，3和5都是15的（   ） A．素数 B．素因数 C．公因数 D．合数 【答案】B 【详解】解：∵3和5都是15的因数，且3和5都是素数， ∴3和5都是15的素因数． 故选：B． 21．（25-26六年级上·上海·期中）著名的哥德巴赫猜想被誉为数学皇冠上的明珠，其猜想认为：任何大于2的偶数都等于两个素数之和．下列算式中，符合这个猜想的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：A选项中1不是素数， B选项中19不是偶数，不符合． C选项中不是素数，均不符合． D选项中100是大于2的偶数，11和89均为素数，符合． 故符合“任何大于2的偶数都等于两个素数之和”这个猜想的是项． 22．（23-24六年级上·上海·期中）下列说法中，正确的是（     ） A．因为，所以是的倍数 B．所有的正整数，不是素数就是合数 C．2既是偶数又是素数 D．比3小的自然数只有1和2 【答案】C 【详解】解：根据倍数定义，只有整数除以整数，商为整数且无余数时，被除数才是除数的倍数，的商不是整数，因此10不是4的倍数，A错误． 正整数中，1既不是素数也不是合数，因此B错误． 2能被2整除，是偶数，且2的因数只有1和它本身，是素数，因此2既是偶数又是素数，C正确． 比3小的自然数包含0，因此比3小的自然数有0、1、2，D错误． 23．（25-26六年级上·上海青浦·期中）下列各对数①1和3、②5和6、③3和51，互素的是__________．（填序号） 【答案】①② 【详解】解：①1和3的公约数只有1，互素； ②5和6的公约数只有1，互素； ③3和51的公约数有1和3，不互素． 故答案为：①②． 题型6 分解素因数（短除法）（共4小题） 【模型】每个合数都可以写成几个素数相乘的形式，每个素数都是这个合数的素因数。用短除法：先用最小的素因数去除，除到商是素数为止，把除数和最后的商连乘。 【步骤】① 用最小的素因数（从 2 开始）除合数；② 商若是合数继续用素因数除；③ 直到商为素数为止；④ 把各除数与最后的商连乘。 【易错】① 1 不是素因数，不能写 1；② 分解结果必须全是素数；③ 不要漏乘某一步的除数。 24．（24-25六年级上·上海·期中）将70分解素因数：________． 【答案】 【详解】解：分解素因数为：， 故答案为：． 25．（23-24六年级上·上海长宁·期中）分解素因数：______． 【答案】 【详解】解：， 故答案为：． 26．（25-26六年级上·上海杨浦·阶段检测）用短除法分解素因数 (1)143 (2)216 【详解】(1)解：依题意， ∴； (2) 解：依题意， ∴． 27．（23-24六年级上·上海·期中）用短除法将下列各数分解素因数 (1)40 (2)114 【详解】(1)短除法： (2)短除法： 提升·进阶突破 题型7 最大公因数（共4小题） 【模型】几个整数公有的因数，叫做它们的公因数，其中最大的一个叫做最大公因数，记作 (a,b)。特殊关系：两数成倍数关系时，较小数是最大公因数；两数互素时，最大公因数是 1。 【步骤】求最大公因数可用四种方法：① 列举法；② 分解素因数法（公有素因数连乘）；③ 短除法（用公有因数去除，除到商互素为止，除数连乘）；④ 特征法（先看倍数关系、互素关系）。 【易错】① 不能把几个公因数“相加”，要“连乘”；② 两数互素时最大公因数是 1；③ 两数成倍数关系时，直接取较小数，不要重复计算。 28．（24-25六年级上·上海闵行·期中）甲数，乙数，它们的最大公因数是（  ） A．6 B．86 C．12 D．210 【答案】A 【详解】解：甲数，乙数， 两数的最大公因数是， 故选：A． 29．（25-26六年级上·上海青浦·期中）若，，则m和n的最大公因数为__________． 【答案】18 【详解】解：∵，， 公共质因数为2和3， 因此，最大公因数为． 故答案为：18． 30．（24-25六年级上·上海·期中）若，则18和b的最大公因数是________ 【答案】6 【详解】解：∵， ∴， ∵18和6的最大公因数为6， ∴18和b的最大公因数是6， 故答案为：6． 31．（24-25六年级上·上海宝山·期中）和的最大公因数是 ______． 【答案】 【详解】解：∵，， ∴和的最大公因数是， 故答案为：． 题型8 最小公倍数（共4小题） 【模型】几个整数公有的倍数，叫做它们的公倍数，其中最小的一个叫做最小公倍数，记作 [a,b]。特殊关系：两数成倍数关系时，较大数是最小公倍数；两数互素时，最小公倍数是它们的乘积。 【步骤】求最小公倍数可用四种方法：① 列举法；② 分解素因数法（公有的素因数只乘一次，再乘各自剩余的素因数）；③ 短除法（公有因数去除，除到商互素，所有除数与商连乘）；④ 特征法。 【易错】① 公有的素因数只能乘一次，不能重复；② 不能把两数的所有素因数都乘在一起。 32．（25-26六年级上·上海·期中），，则和的最小公倍数是__________． 【答案】8190 【详解】解：∵，， ∴和的最小公倍数为 ． 故答案为： 8190． 33．（24-25六年级上·上海浦东新·期中）12和16的最小公倍数是______. 【答案】48 【详解】解： ∴12和16的最小公倍数为， 故答案为： ． 34．（24-25六年级上·上海宝山·期中）如图，根据短除法计算，正整数的最小公倍数是 ___________． 【答案】 【详解】由图可知，③，， 则正整数的最小公倍数是， 即正整数的最小公倍数是， 故答案为：． 题型9 三个数的最大公因数与最小公倍数（共3小题） 【模型】三个数的最大公因数是三个数公有的素因数连乘。三个数的最小公倍数：先用三个数公有的素因数去除，再用每两个数公有的素因数继续去除，除到任意两个商都互素为止，把所有除数与最后的商连乘。 【步骤】① 分解素因数；② 最大公因数＝取“三个数公有”的素因数连乘；③ 最小公倍数＝取“公有＋每两两公有＋各自剩余”的素因数连乘。 【易错】三个数的最小公倍数必须用“每两个数公有”的素因数继续去除，除到两两互素为止；若只用三个数公有的素因数，结果会算小。 35．（24-25六年级上·上海·阶段检测）用短除法求70、98和112的最大公因数和最小公倍数． 【答案】最大公因数为；最小公倍数为 【详解】解： 最大公因数为，最小公倍数为 36．（24-25六年级上·上海·期中）求34，68，136三个数的最大公因数和最小公倍数． 【答案】最大公因数是：，最小公倍数是： 【详解】解：，，， 最大公因数是：， 最小公倍数是： 37．（25-26六年级上·上海·期中）求150、210、315的最大公约数和最小公倍数． 【答案】15，3150 【详解】解：由题意知， ∴150、210、315的最大公约数为，最小公倍数为． 题型10 素数、合数、奇偶性综合（“2”的特殊性）（共8小题） 【模型】除 2 以外，素数都是奇数。因此：两个奇素数之和一定是偶数；若两个素数之和为奇数，则其中必有一个是 2（唯一偶素数）。这是判断“含 2”的关键。 【步骤】① 先想素数中唯一的偶数 2；② 结合奇偶性判断；③ 用试凑法写出符合题意的素数组合。 【易错】易漏掉唯一的偶素数 2，误认为“素数相加为奇数”不可能；遇到“素数之和为奇数”时，先考虑其中含 2。 38．（25-26六年级上·上海·期中）下列说法正确的是（    ） A．没有最小的素数 B．能被整除 C．一个合数至少有3个因数 D．偶数都是合数 【答案】C 【详解】解：∵ 素数中最小的是2，∴ A错误； ∵ 整除要求被除数和除数均为整数，而1.2和0.3不是整数，∴ B错误； ∵ 合数定义是大于1的非素数自然数，至少有三个因数（如1、本身和另一个因数），∴ C正确； ∵ 偶数2是素数，不是合数，∴ D错误． 故选：C 39．（25-26六年级上·上海·期中）有下列语句：①合数都是偶数；②素数都是奇数；③自然数不是素数就是合数；④不存在最大的合数．其中叙述不正确的语句有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【详解】①：存在奇合数（如9、15等），即合数不都是偶数，故①错误； ②：2是素数且是偶数，即素数不都是奇数，故②错误； ③：1是自然数，但既不是素数也不是合数，即自然数不全是素数或合数，故③错误； ④：不存在最大的合数，故④正确； 综上，不正确的语句有3个． 故选：C． 40．（25-26六年级上·上海·期中）下列说法正确的个数是（    ） ①一个合数至少有3个因数； ②所有偶数都是合数； ③在正整数中，除了素数都是合数； ④一个最简分数的分母除了2和5以外没有其他的素因数，那么这个分数能化为有限小数． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【详解】解：∵合数定义为大于1且有至少三个因数的正整数， ∴①正确； ∵2是偶数但为素数，不是合数， ∴②错误； ∵1既不是素数也不是合数， ∴③错误； ∵最简分数分母的素因数只有2或5时，可化为有限小数， ∴④正确． ∴正确的有①和④，共2个， 故选：B． 41．（25-26六年级上·上海·期中）下列说法中正确的有（    ）个 ①正整数是由素数和合数组成的． ②两个正整数的差为1，这两个正整数必然互素． ③，所以是的倍数，0.8是的因数． ④一个正整数，不是奇数就是偶数． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【详解】正整数包括1，而1既不是素数也不是合数，因此正整数并非仅由素数和合数组成，故①说法错误． 差为1的两个正整数是连续自然数，连续自然数的公因数只有1，必然互素，故②说法正确． 因数和倍数的概念仅适用于整数（不包括0），和是小数，不能称为因数或倍数，故③说法错误． 正整数按能否被2整除，可分为奇数和偶数，二者涵盖所有正整数，故④说法正确． 综上，②和④正确，共2个． 故选：B． 42．（25-26六年级上·上海虹口·期中）著名的“哥德巴赫猜想”被誉为“数学皇冠上的明珠”．猜想认为：任何大于2的偶数都等于两个素数之和，下列4个算式中，符合这个猜想的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：A、中，1不是质数，不符合猜想，故本选项不符合题意； B、中，19不是偶数，不符合猜想，故本选项不符合题意； C、中，91不是质数，不符合猜想，故本选项不符合题意； D、，100是偶数，11，89是质数，符合猜想，故本选项符合题意． 故选：D． 43．（25-26六年级上·上海·阶段检测）“哥德巴赫猜想”是指：任何一个大于4的偶数，都可以写成两个奇素数的和．在验证12是否满足时，可以将12写成_______． 【答案】 【详解】解：依题意，最小的奇素数是， 则， ∵， ∴不是素数， ∵，且5，都是奇素数， ∴，符合题意， 故答案为：． 44．（25-26六年级上·上海闵行·期中）一个能被2和3整除的四位数，它的千位上的数字是奇数又是合数，它的百位上的数字不是素数也不是合数，它的十位上的数字是最小的合数，那么这个数是__________． 【答案】9144 【详解】千位数字是奇数又是合数，一位数中只有9满足，故千位为9， 百位数字不是素数也不是合数，只有1满足，故百位为1， 十位数字是最小的合数，即4，故十位为4， 设个位数字为d，则四位数为， 它能被2整除，故d为偶数， 它能被3整除，故数字之和能被3整除， 检验，仅当时，能被3整除， 故个位为4，这个数是9144． 故答案为：9144． 45．（24-25六年级上·上海闵行·阶段检测）已知是一个素数，是一个偶数，如果，那么的值是___________． 【答案】 【详解】解：因为， 所以， 因为是偶数，是偶数， 所以是偶数， 因为是一个素数，且素数中除了都是奇数，奇数的平方是奇数， 所以， 所以， 故答案为：． 拔高·压轴破难 题型11 推理解决素数积问题（共4小题） 【模型】给出若干素数的积或连续自然数的积，求原数：把积分解素因数，再按题目要求（个数、连续）重新组合成几个素因数或连续自然数。 【步骤】① 审题干，抓关键词“几个”“连续”“乘积”；② 把乘积分解素因数；③ 按要求的个数或连续性，把素因数重新组合相乘。 【易错】抓住“连续”二字，把素因数组合成连续自然数；只写分解结果、不重新组合会答错。 46．（24-25六年级上·上海·期中）有三个小朋友，他们的年龄恰好一个比一个大1岁，并且他们三个年龄数的乘积是，这三个小朋友的年龄分别是多少？ 【答案】岁、岁、岁 【详解】解：∵， ∴， ∴三个人的年龄分别是岁、岁、岁． 答：这三个小朋友的年龄分别是岁、岁、岁． 47．（24-25六年级上·上海宝山·阶段检测）天馨学校运动会举行跳绳比赛，取得前三名的同学恰好一个比一个大一岁，三名同学的年龄的乘积是2730，这三名同学的年龄各是多少？ 【答案】这三名同学的年龄各是13岁、14岁、15岁 【详解】解： 答：这三名同学的年龄各是13岁、14岁、15岁． 48．（25-26六年级上·上海·阶段检测）请将六个数：2、3、14、15、30、42分成两组，使得两组数的乘积相等，写出所有的分组方法． 【答案】 第一种分组方法：，，，，，； 第二种分组方法：，，，，，． 【详解】解：，，，，，， 因数共有个，每组个， 因数共有个，每组个， 因数共有个，每组个， 因数共有个，每组个， ∴共有以下两种分组方法： 第一种分组方法：，，，，，； 第二种分组方法：，，，，，． 49．（25-26六年级上·上海·期中）爱思考的小明在学习了《数的整除》之后，对一个合数的因数进行了如下表的研究： 发现（I） 整数 分解素因数 所有因数 因数个数 25 1，5，25 3 27 1，3，9，27 4 16 ___________ ___________ _____ (1)完成上表填空； (2)根据小明的研究，若一个合数分解素因数为：（为素数），则的因数的个数为___________． 发现（Ⅱ） 整数 分解素因数 所有因数 因数个数 6 1，2，3，6 4 12 1，2，3，4，6，12 6 90 1，2，3，5，6，9，10，15，18，30，45，90 12 216 1，2，3，4，6，8，9，12，18，24，27，36，54，72，108，216 16 小明研究上表发现，一个合数的素因数的个数与因数个数之间存在着数量关系． (3)若一个合数分解素因数为：，（、为不同的素数），则的因数的个数为___________． 【答案】(1)；，，，，； (2) (3) 【详解】（1）解：由题意得，， ∴的所有因数为，，，，， ∴的因数个数为个； （2）解：∵， ∴的因数为，，，，，， ∴的因数个数为个． （3）解：令，其中，， ∵， ∴的因数为，，，，，，故因数个数为个， ∵， ∴的因数为，，，，，，故因数个数为个， ∴的因数个数为个． 题型12 逆推法：最大公因数×最小公倍数＝两数乘积（共5小题） 【模型】对两个数 A、B，有 A×B＝(A,B)×[A,B]；且 [A,B]÷(A,B) 等于两数对应互素因数之积，据此可逆推出原数。 【步骤】① 由 A×B＝(A,B)×[A,B] 求未知数；② 或由最小公倍数÷最大公因数得到两数对应互素因数之积；③ 把该积分解成互素的两组因数，分别乘上最大公因数；④ 检验是否满足条件。 【易错】① 逆推可能有多组答案，要写全；② 不能把最大公因数直接当因数相乘；③ 求出结果后要代入检验。 50．（24-25六年级上·上海杨浦·期中）如果两个正整数的最大公因数是18，最小公倍数是108，请问这两个正整数是______． 【答案】18和108或36和54 【详解】解：，则6是两个数独有质因数的积， ， ①，，②，． 答：这两个正整数为18和108或36和54． 故答案为：18和108或36和54． 51．（23-24六年级上·上海浦东新·期中）两个数的积是216，它们的最大公因数是6，则这两个数是__________________． 【答案】12、18或6、36 【详解】解：因为两个数的积是216，它们的最大公因数是6， 所以这两个数中都有6这个因数， 因为，且， 所以这两个数是、或、， 即这两个数是12、18或6、36 故答案为：12、18或6、36． 52．（25-26六年级上·上海·期中）如果两个正整数的最大公因数是6，最小公倍数是180，其中一个正整数是36，则另一个正整数是________． 【答案】30 【详解】解：，则30是两个数独有质因数的积， 因为， 所以①，，②，，③，，④，． 所以这两个正整数为6和30或12和90或18和60或30和36， 因为其中一个正整数是36， 所以另一个正整数是30， 故答案为：30． 53．（25-26六年级上·上海·期中）已知甲、乙两数均为正整数，它们的最大公因数为6，最小公倍数为72，则甲乙两数的和为______． 【答案】或 【详解】解：，而， 当这两个数为和，此时这两个数和为， 当这两个数为和，此时这两个数和为， 当这两个数为和，不合题意， 综上所述：甲乙两数的和为42或78． 故答案为：42或78． 54．（25-26六年级上·上海·期中）甲数，乙数，、均为素数，甲数和乙数的最大公因数是105，最小公倍数小于1200，那么______． 【答案】3或5 【详解】解：甲数，乙数，最大公因数为， ∵，甲数中含3和7，不含5， ∴A必须为5，甲数为， ∵乙数含3、5、7，最大公因数为， ∴B不能为2（否则公因数含2，最大公因数变为210）， ∵最小公倍数小于1200，B为素数， ∴若，乙数，最小公倍数； 若，乙数，最小公倍数； 若，乙数，最小公倍数，不符合条件； ∴或． 故答案为：或 题型13 整除的实际应用（等分、周期、相遇）（共5小题） 【模型】用最大公因数解决“最多、最长、最大等分、裁切不剩余”；用最小公倍数解决“同时发生、再次相遇、下次重合”等问题。 【步骤】① 读题判断是“分物等分”（求最大公因数）还是“同时再次”（求最小公倍数）；② 列式求 (a,b) 或 [a,b]；③ 结合问题补充计算（如块数、天数），写清单位与答句。 【易错】最易错在分不清“求最大公因数还是最小公倍数”：分物、裁切、均分取最大公因数；再次相遇、同时发生取最小公倍数。 55．（25-26六年级上·上海虹口·期中）某公共汽车始发站，1路车每隔5分钟发车一次，2路车每8分钟发车一次，这两路汽车同时发车后，至少再经过__________分钟后同时发车． 【答案】40 【详解】解：因为5和8的最小公倍数为40， 所以这两路汽车同时发车后，至少再经过40分钟后同时发车， 故答案为： 40． 56．（23-24六年级上·上海虹口·期中）某学校组织学生参加公益劳动，如果每8人一组，那么有一个小组少3人，如果每12人一组，那么仍有一个小组少3人．已知参加的学生人数在100到120之间，那么参加的学生人数是______人． 【答案】117 【详解】解∶在100到120之间，12和8的公倍数是120． (人) 故答案为：117． 57．（24-25六年级上·上海闵行·期中）现有一包糖果，不论平均分给个人还是个人，都能正好分完，这包糖果至少________块． 【答案】 【详解】不论平均分给个人还是个人，都能正好分完， 这包糖果的数量是和的公倍数， 这包糖果至少是块， 故答案为：． 58．（23-24六年级上·上海·期中）一张长方形的纸，长42厘米，宽30厘米，要把这张纸裁成若干张大小相等的正方形纸片且没有剩余，裁成的正方形纸最少有_________张 【答案】35 【详解】解：因为， 所以42和30的最大公因数， 所以截出的正方形纸的最大边长是6厘米， 因为（个） 答：裁成正方形至少有35个． 故答案为：35 59．（23-24六年级上·上海徐汇·期末）有一种地砖，长是45厘米，宽30厘米，至少用这样的砖_______块才能铺成一个实心的正方形． 【答案】 【详解】解：，， 所以45和30的最小公倍数为， 即若要铺成一块正方形的地面，要想使用瓷砖数量最少，则正方形的边长为， 至少需要（块）， 答：若要铺成一块正方形的地面，至少需要6块这样的瓷砖． 60．（25-26六年级上·上海·期中）如图，街道在处拐弯，在街道的一侧要等距离安装路灯．如果要求在，，处各安装一盏路灯，那么最少安装______盏灯． 【答案】8 【详解】解：，， 200和150的最大公因数是：， ， ， 最少安需要（盏）， 故答案为：8． 61．（25-26六年级上·上海松江·阶段检测）从上海开往南京方向的列车每45分钟发一趟，上海开往杭州方向的每30分钟发一趟列车．如果早上开往南京和杭州这两个方向的列车同时发车，那么至少到几点钟它们又同时发车？ 【答案】 【详解】解：因为 45和30的最小公倍数为90， 则， 所以至少它们又同时发车． 62．（25-26六年级上·上海·阶段检测）一块长方形木板，长为18分米，宽为12分米，锯成若干相同的正方形木板，要求正方形的面积最大，并且木板没有剩余，锯成的正方形木板边长是多少分米？可锯几块？ 【答案】锯成的正方形木板边长是6分米，可锯6块 【详解】解：18和12的最大公因数是， ∴正方形木板边长是6分米      （块）     答：正方形木板边长是6分米，可锯6块． 63．（24-25六年级上·上海宝山·阶段检测）在宝山水产西路的一边，等距离种树（两端都种），开始每隔12米种一棵，后来改为每隔16米种一棵，发现不用改种的树共25棵，问水产西路有多长？ 【答案】水产西路有1152米 【详解】解：∵12和16的最小公倍数是， ∴（米）， 答：水产西路有1152米． 64．（25-26六年级上·上海·阶段检测）一箱苹果，如果每盒装3个，最后剩2个；每盒装5个，最后剩4个：每盒装7个，最后剩6个． (1)这箱苹果至少有多少个? (2)如果这箱苹果的数量在300到400之间，请问实际有多少个苹果? 【答案】(1)至少有104个 (2)314个 【详解】（1）解：的最小公倍数为， ∵如果每盒装3个，最后剩2个；每盒装5个，最后剩4个：每盒装7个，最后剩6个， ∴（个）， 答：这箱苹果至少有104个． （2）解：，，， ∵这箱苹果的数量在300到400之间，且， ∴实际有314个苹果． 65．（25-26六年级上·上海·阶段检测）为美化市容市貌，市政府决定对某地区进行整改，有一排电线杆，相邻两根电线杆之间的距离是45米，现在要改成相距都是60米，且起点那根电线杆不动． (1)从起点开始到第一根不需移动的电线杆之间的距离是多少米? (2)从第一根电线杆之间的距离有1800米除第一根电线杆外，不需移动位置的电线杆还有多少根? 【答案】(1)从起点开始到第一根不需要动的电线杆之间的距离是180米 (2)除第一根电线杆外，不需要移动的电线杆还有10根 【详解】（1）解：，， 所以和的最小公倍数是． 答：从起点开始到第一根不需要动的电线杆之间的距离是180米； （2）（根）． 答：除第一根电线杆外，不需要移动的电线杆还有10根． 66．（25-26六年级上·上海·阶段检测）在长1000米的道路一侧种树，每间隔8米种一棵树（道路两端也种）．由于树太密集遮挡了部分光线，因此需要移走一些树木．现计划改为每间距20米种一棵树，请问： (1)有多少棵树可保留不动？ (2)在两次植树过程中一共挖了多少个坑来种树？ 【答案】(1)有26棵树可保留不动 (2)在两次植树过程中一共挖了151个坑来种树 【详解】（1）解：8和20的最小公倍数为40， （棵）， 答：有26棵树可保留不动； （2）解：第一次挖坑数量为（个）， 第二次挖坑数量为（个）， 一共挖坑（个）， 答：在两次植树过程中一共挖了151个坑来种树． $专题01 数的整除 基础·固本强基 题型1 整除与除尽辨析 题型2 因数与倍数 题型3 求一个数的因数与倍数（有序成对列举） 题型4 能被2、5、3整除的数（整除特征） 题型5 素数、合数辨析 题型6 分解素因数（短除法） 提升·进阶突破 题型7 最大公因数 题型8 最小公倍数 题型9 三个数的最大公因数与最小公倍数 题型10 素数、合数、奇偶性综合（“2”的特殊性） 拔高·压轴破难 题型11 推理解决素数积问题 题型12 逆推法：最大公因数×最小公倍数＝两数乘积 题型13 整除的实际应用（等分、周期、相遇） 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 基础·固本强基 题型1 整除与除尽辨析（共6小题） 【模型】整除：若 a÷b＝c，其中 a、b、c 都是整数且没有余数，就称 a 能被 b 整除（或 b 能整除 a）。除尽只要求“除得尽”，被除数、除数、商可以是小数。整除一定是除尽，除尽不一定是整除。 【步骤】① 看被除数与除数是否都是整数；② 算商，看商是否为整数；③ 看余数是否为 0。三者同时满足才是整除。 【易错】① 0 不能作除数；② “除尽”不等于“整除”，如 4.8÷0.6＝8 是除尽但不是整除；③ 表述上“a 能被 b 整除”与“b 能整除 a”要分清方向。 1．（25-26六年级上·上海黄浦·期中）下列算式中，第一个数能被第二个数整除的是（    ） A．2和4 B．25和2.5 C．52和13 D．10和3 2．（24-25六年级上·上海宝山·期中）在下列式子中，表示整除的是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24六年级上·上海虹口·期中）如果30能被M整除，那么M一定是（   ） A．15 B．30 C．30的倍数 D．30的因数 4．（23-24六年级上·上海杨浦·期中）既能被6整除，又能被9整除的数，它______能被54整除（填“一定”或“不一定”或“一定不”） 5．（23-24六年级上·上海杨浦·期中）有两个循环小数a和b，a的循环节有3位，b的循环节有6位，a与b之和的循环节最少是______位． 6．（24-25六年级上·上海杨浦·期中）有6张卡片，上面分别写1、2、3、4、5、6，从这六张卡片中拿出若干张，排成一个尽可能大的多位数，并使这个多位数能被组成它的所有数整除，这个多位数是______． 题型2 因数与倍数（共6小题） 【模型】若整数 a 能被整数 b 整除，则 a 是 b 的倍数，b 是 a 的因数。因数与倍数相互依存，必须成对说出。 【步骤】① 先判断是否整除；② 被除数（大数）是除数（小数）的倍数；③ 除数（小数）是被除数（大数）的因数。 【易错】① 不能说“24 是因数、4 是倍数”，必须说“谁是谁的因数、谁是谁的倍数”；② 一个数的因数是有限的，最小的因数是 1，最大的因数是它本身；③ 一个数的倍数是无限的，最小的倍数是它本身，没有最大的倍数。 7．（25-26六年级上·上海浦东新·期中）如果（a，b都是正整数），那么a是b的（    ） A．倍数 B．公倍数 C．因数 D．公因数 8．（24-25六年级上·上海·期中）下列说法正确的是（   ） A．12是倍数，3是因数 B．能被2除尽的数都是偶数 C．2是6的因数 D．偶数除以2的商一定是奇数 9．（24-25六年级上·上海浦东新·期中）对正整数a，表示n个a连乘，如时，，即a的平方，若a的所有因数之积等于a的平方，则称a为完满数，如6的所有因数为1，2，3，6，因为，所以6是一个完满数，则下列数中是完满数的为（   ） A．12 B．14 C．16 D．18 10．（25-26六年级上·上海浦东新·期中）在82、75、90这3个数中，______既是2的倍数，又是5的倍数． 11．（24-25六年级上·上海宝山·期中）的最小倍数是 ___________． 12．（25-26六年级上·上海宝山·期中）的因数中最大的因数是_______． 题型3 求一个数的因数与倍数（有序成对列举）（共3小题） 【模型】求因数用“成对列举”：从小到大，1 和它本身、2 和一半……依次配对，不重不漏；若中间出现平方数，该因数只写一次。求倍数用依次乘 1、2、3……。 【步骤】① 从 1 开始依次试除，成对写出；② 一对一对往中间靠拢，直到出现重复（平方数）为止；③ 从小到大整理。 【易错】① 成对列举时易漏掉平方数本身的因数（如 36 的 6）；② 求倍数要写出省略号，因为倍数是无限的。 13．（25-26六年级上·上海普陀·期中）27的因数有______． 14．（24-25六年级上·上海普陀·期中）14的因数有______． 15．（23-24六年级上·上海·期中）12所有因数的个数有____个． 题型4 能被2、5、3整除的数（整除特征）（共4小题） 【模型】① 个位是 0、2、4、6、8 的数，能被 2 整除；② 个位是 0 或 5 的数，能被 5 整除；③ 各数位数字之和能被 3 整除的数，能被 3 整除；④ 同时能被 2 和 5 整除的数，个位一定是 0。 【步骤】① 判断被 2、5 整除看个位；② 判断被 3 整除先算数字和，再看数字和能否被 3 整除；③ 同时满足多个条件时逐一检验。 【易错】① 判断被 3 整除看“数字和”，不是看个位；② 同时能被 2 和 5 整除的数，个位必须是 0。 16．（23-24六年级上·上海宝山·期中）100以内，能同时被3和5整除的最大奇数是（    ） A．75 B．90 C．95 D．99 17．（25-26六年级上·上海虹口·期中）能被5整除的最小的三位数是_________． 18．（24-25六年级上·上海·期中）在75、50、42、40、66、105中，既是2的倍数又能被5整除的数有___________． 19．（24-25六年级上·上海长宁·期中）四位数至少加上______可以同时被、、整除（填写一个正整数）． 题型5 素数、合数辨析（共4小题） 【模型】按因数个数分类：只有 1 和它本身两个因数的数是素数；除了 1 和它本身外还有其他因数的数是合数；1 既不是素数也不是合数。最小的素数是 2，最小的合数是 4，2 是唯一的偶素数。 【步骤】① 看这个数是否大于 1；② 从小到大试除，判断因数个数；③ 恰有两个因数是素数，三个及以上是合数。 【易错】① 1 不是素数；② 2 是唯一的偶素数，不要以为“素数都是奇数”；③ 9、15、21 是“奇合数”，容易误判为素数。 20．（25-26六年级上·上海·期中）在等式中，3和5都是15的（   ） A．素数 B．素因数 C．公因数 D．合数 21．（25-26六年级上·上海·期中）著名的哥德巴赫猜想被誉为数学皇冠上的明珠，其猜想认为：任何大于2的偶数都等于两个素数之和．下列算式中，符合这个猜想的是（     ） A． B． C． D． 22．（23-24六年级上·上海·期中）下列说法中，正确的是（     ） A．因为，所以是的倍数 B．所有的正整数，不是素数就是合数 C．2既是偶数又是素数 D．比3小的自然数只有1和2 23．（25-26六年级上·上海青浦·期中）下列各对数①1和3、②5和6、③3和51，互素的是__________．（填序号） 题型6 分解素因数（短除法）（共4小题） 【模型】每个合数都可以写成几个素数相乘的形式，每个素数都是这个合数的素因数。用短除法：先用最小的素因数去除，除到商是素数为止，把除数和最后的商连乘。 【步骤】① 用最小的素因数（从 2 开始）除合数；② 商若是合数继续用素因数除；③ 直到商为素数为止；④ 把各除数与最后的商连乘。 【易错】① 1 不是素因数，不能写 1；② 分解结果必须全是素数；③ 不要漏乘某一步的除数。 24．（24-25六年级上·上海·期中）将70分解素因数：________． 25．（23-24六年级上·上海长宁·期中）分解素因数：______． 26．（25-26六年级上·上海杨浦·阶段检测）用短除法分解素因数 (1)143 (2)216 27．（23-24六年级上·上海·期中）用短除法将下列各数分解素因数 (1)40 (2)114 提升·进阶突破 题型7 最大公因数（共4小题） 【模型】几个整数公有的因数，叫做它们的公因数，其中最大的一个叫做最大公因数，记作 (a,b)。特殊关系：两数成倍数关系时，较小数是最大公因数；两数互素时，最大公因数是 1。 【步骤】求最大公因数可用四种方法：① 列举法；② 分解素因数法（公有素因数连乘）；③ 短除法（用公有因数去除，除到商互素为止，除数连乘）；④ 特征法（先看倍数关系、互素关系）。 【易错】① 不能把几个公因数“相加”，要“连乘”；② 两数互素时最大公因数是 1；③ 两数成倍数关系时，直接取较小数，不要重复计算。 28．（24-25六年级上·上海闵行·期中）甲数，乙数，它们的最大公因数是（  ） A．6 B．86 C．12 D．210 29．（25-26六年级上·上海青浦·期中）若，，则m和n的最大公因数为__________． 30．（24-25六年级上·上海·期中）若，则18和b的最大公因数是________ 31．（24-25六年级上·上海宝山·期中）和的最大公因数是 ______． 题型8 最小公倍数（共4小题） 【模型】几个整数公有的倍数，叫做它们的公倍数，其中最小的一个叫做最小公倍数，记作 [a,b]。特殊关系：两数成倍数关系时，较大数是最小公倍数；两数互素时，最小公倍数是它们的乘积。 【步骤】求最小公倍数可用四种方法：① 列举法；② 分解素因数法（公有的素因数只乘一次，再乘各自剩余的素因数）；③ 短除法（公有因数去除，除到商互素，所有除数与商连乘）；④ 特征法。 【易错】① 公有的素因数只能乘一次，不能重复；② 不能把两数的所有素因数都乘在一起。 32．（25-26六年级上·上海·期中），，则和的最小公倍数是__________． 33．（24-25六年级上·上海浦东新·期中）12和16的最小公倍数是______. 34．（24-25六年级上·上海宝山·期中）如图，根据短除法计算，正整数的最小公倍数是 ___________． 题型9 三个数的最大公因数与最小公倍数（共3小题） 【模型】三个数的最大公因数是三个数公有的素因数连乘。三个数的最小公倍数：先用三个数公有的素因数去除，再用每两个数公有的素因数继续去除，除到任意两个商都互素为止，把所有除数与最后的商连乘。 【步骤】① 分解素因数；② 最大公因数＝取“三个数公有”的素因数连乘；③ 最小公倍数＝取“公有＋每两两公有＋各自剩余”的素因数连乘。 【易错】三个数的最小公倍数必须用“每两个数公有”的素因数继续去除，除到两两互素为止；若只用三个数公有的素因数，结果会算小。 35．（24-25六年级上·上海·阶段检测）用短除法求70、98和112的最大公因数和最小公倍数． 36．（24-25六年级上·上海·期中）求34，68，136三个数的最大公因数和最小公倍数． 37．（25-26六年级上·上海·期中）求150、210、315的最大公约数和最小公倍数． 题型10 素数、合数、奇偶性综合（“2”的特殊性）（共8小题） 【模型】除 2 以外，素数都是奇数。因此：两个奇素数之和一定是偶数；若两个素数之和为奇数，则其中必有一个是 2（唯一偶素数）。这是判断“含 2”的关键。 【步骤】① 先想素数中唯一的偶数 2；② 结合奇偶性判断；③ 用试凑法写出符合题意的素数组合。 【易错】易漏掉唯一的偶素数 2，误认为“素数相加为奇数”不可能；遇到“素数之和为奇数”时，先考虑其中含 2。 38．（25-26六年级上·上海·期中）下列说法正确的是（    ） A．没有最小的素数 B．能被整除 C．一个合数至少有3个因数 D．偶数都是合数 39．（25-26六年级上·上海·期中）有下列语句：①合数都是偶数；②素数都是奇数；③自然数不是素数就是合数；④不存在最大的合数．其中叙述不正确的语句有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 40．（25-26六年级上·上海·期中）下列说法正确的个数是（    ） ①一个合数至少有3个因数； ②所有偶数都是合数； ③在正整数中，除了素数都是合数； ④一个最简分数的分母除了2和5以外没有其他的素因数，那么这个分数能化为有限小数． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 41．（25-26六年级上·上海·期中）下列说法中正确的有（    ）个 ①正整数是由素数和合数组成的． ②两个正整数的差为1，这两个正整数必然互素． ③，所以是的倍数，0.8是的因数． ④一个正整数，不是奇数就是偶数． A．1 B．2 C．3 D．4 42．（25-26六年级上·上海虹口·期中）著名的“哥德巴赫猜想”被誉为“数学皇冠上的明珠”．猜想认为：任何大于2的偶数都等于两个素数之和，下列4个算式中，符合这个猜想的是（   ） A． B． C． D． 43．（25-26六年级上·上海·阶段检测）“哥德巴赫猜想”是指：任何一个大于4的偶数，都可以写成两个奇素数的和．在验证12是否满足时，可以将12写成_______． 44．（25-26六年级上·上海闵行·期中）一个能被2和3整除的四位数，它的千位上的数字是奇数又是合数，它的百位上的数字不是素数也不是合数，它的十位上的数字是最小的合数，那么这个数是__________． 45．（24-25六年级上·上海闵行·阶段检测）已知是一个素数，是一个偶数，如果，那么的值是___________． 拔高·压轴破难 题型11 推理解决素数积问题（共4小题） 【模型】给出若干素数的积或连续自然数的积，求原数：把积分解素因数，再按题目要求（个数、连续）重新组合成几个素因数或连续自然数。 【步骤】① 审题干，抓关键词“几个”“连续”“乘积”；② 把乘积分解素因数；③ 按要求的个数或连续性，把素因数重新组合相乘。 【易错】抓住“连续”二字，把素因数组合成连续自然数；只写分解结果、不重新组合会答错。 46．（24-25六年级上·上海·期中）有三个小朋友，他们的年龄恰好一个比一个大1岁，并且他们三个年龄数的乘积是，这三个小朋友的年龄分别是多少？ 47．（24-25六年级上·上海宝山·阶段检测）天馨学校运动会举行跳绳比赛，取得前三名的同学恰好一个比一个大一岁，三名同学的年龄的乘积是2730，这三名同学的年龄各是多少？ 48．（25-26六年级上·上海·阶段检测）请将六个数：2、3、14、15、30、42分成两组，使得两组数的乘积相等，写出所有的分组方法． 49．（25-26六年级上·上海·期中）爱思考的小明在学习了《数的整除》之后，对一个合数的因数进行了如下表的研究： 发现（I） 整数 分解素因数 所有因数 因数个数 25 1，5，25 3 27 1，3，9，27 4 16 ___________ ___________ _____ (1)完成上表填空； (2)根据小明的研究，若一个合数分解素因数为：（为素数），则的因数的个数为___________． 发现（Ⅱ） 整数 分解素因数 所有因数 因数个数 6 1，2，3，6 4 12 1，2，3，4，6，12 6 90 1，2，3，5，6，9，10，15，18，30，45，90 12 216 1，2，3，4，6，8，9，12，18，24，27，36，54，72，108，216 16 小明研究上表发现，一个合数的素因数的个数与因数个数之间存在着数量关系． (3)若一个合数分解素因数为：，（、为不同的素数），则的因数的个数为___________． 题型12 逆推法：最大公因数×最小公倍数＝两数乘积（共5小题） 【模型】对两个数 A、B，有 A×B＝(A,B)×[A,B]；且 [A,B]÷(A,B) 等于两数对应互素因数之积，据此可逆推出原数。 【步骤】① 由 A×B＝(A,B)×[A,B] 求未知数；② 或由最小公倍数÷最大公因数得到两数对应互素因数之积；③ 把该积分解成互素的两组因数，分别乘上最大公因数；④ 检验是否满足条件。 【易错】① 逆推可能有多组答案，要写全；② 不能把最大公因数直接当因数相乘；③ 求出结果后要代入检验。 50．（24-25六年级上·上海杨浦·期中）如果两个正整数的最大公因数是18，最小公倍数是108，请问这两个正整数是______． 51．（23-24六年级上·上海浦东新·期中）两个数的积是216，它们的最大公因数是6，则这两个数是__________________． 52．（25-26六年级上·上海·期中）如果两个正整数的最大公因数是6，最小公倍数是180，其中一个正整数是36，则另一个正整数是________． 53．（25-26六年级上·上海·期中）已知甲、乙两数均为正整数，它们的最大公因数为6，最小公倍数为72，则甲乙两数的和为______． 54．（25-26六年级上·上海·期中）甲数，乙数，、均为素数，甲数和乙数的最大公因数是105，最小公倍数小于1200，那么______． 题型13 整除的实际应用（等分、周期、相遇）（共5小题） 【模型】用最大公因数解决“最多、最长、最大等分、裁切不剩余”；用最小公倍数解决“同时发生、再次相遇、下次重合”等问题。 【步骤】① 读题判断是“分物等分”（求最大公因数）还是“同时再次”（求最小公倍数）；② 列式求 (a,b) 或 [a,b]；③ 结合问题补充计算（如块数、天数），写清单位与答句。 【易错】最易错在分不清“求最大公因数还是最小公倍数”：分物、裁切、均分取最大公因数；再次相遇、同时发生取最小公倍数。 55．（25-26六年级上·上海虹口·期中）某公共汽车始发站，1路车每隔5分钟发车一次，2路车每8分钟发车一次，这两路汽车同时发车后，至少再经过__________分钟后同时发车． 56．（23-24六年级上·上海虹口·期中）某学校组织学生参加公益劳动，如果每8人一组，那么有一个小组少3人，如果每12人一组，那么仍有一个小组少3人．已知参加的学生人数在100到120之间，那么参加的学生人数是______人． 57．（24-25六年级上·上海闵行·期中）现有一包糖果，不论平均分给个人还是个人，都能正好分完，这包糖果至少________块． 58．（23-24六年级上·上海·期中）一张长方形的纸，长42厘米，宽30厘米，要把这张纸裁成若干张大小相等的正方形纸片且没有剩余，裁成的正方形纸最少有_________张 59．（23-24六年级上·上海徐汇·期末）有一种地砖，长是45厘米，宽30厘米，至少用这样的砖_______块才能铺成一个实心的正方形． 60．（25-26六年级上·上海·期中）如图，街道在处拐弯，在街道的一侧要等距离安装路灯．如果要求在，，处各安装一盏路灯，那么最少安装______盏灯． 61．（25-26六年级上·上海松江·阶段检测）从上海开往南京方向的列车每45分钟发一趟，上海开往杭州方向的每30分钟发一趟列车．如果早上开往南京和杭州这两个方向的列车同时发车，那么至少到几点钟它们又同时发车？ 62．（25-26六年级上·上海·阶段检测）一块长方形木板，长为18分米，宽为12分米，锯成若干相同的正方形木板，要求正方形的面积最大，并且木板没有剩余，锯成的正方形木板边长是多少分米？可锯几块？ 63．（24-25六年级上·上海宝山·阶段检测）在宝山水产西路的一边，等距离种树（两端都种），开始每隔12米种一棵，后来改为每隔16米种一棵，发现不用改种的树共25棵，问水产西路有多长？ 64．（25-26六年级上·上海·阶段检测）一箱苹果，如果每盒装3个，最后剩2个；每盒装5个，最后剩4个：每盒装7个，最后剩6个． (1)这箱苹果至少有多少个? (2)如果这箱苹果的数量在300到400之间，请问实际有多少个苹果? 65．（25-26六年级上·上海·阶段检测）为美化市容市貌，市政府决定对某地区进行整改，有一排电线杆，相邻两根电线杆之间的距离是45米，现在要改成相距都是60米，且起点那根电线杆不动． (1)从起点开始到第一根不需移动的电线杆之间的距离是多少米? (2)从第一根电线杆之间的距离有1800米除第一根电线杆外，不需移动位置的电线杆还有多少根? 66．（25-26六年级上·上海·阶段检测）在长1000米的道路一侧种树，每间隔8米种一棵树（道路两端也种）．由于树太密集遮挡了部分光线，因此需要移走一些树木．现计划改为每间距20米种一棵树，请问： (1)有多少棵树可保留不动？ (2)在两次植树过程中一共挖了多少个坑来种树？ $