专题03 有理数（高效培优期中专项训练）数学新教材沪教版五四制六年级上学期

专题03 有理数 考点01 正数与负数 考点02 有理数 考点03 数轴与相反数 考点04 绝对值 考点05 有理数的加减 考点06 有理数的乘除 考点07 有理数的乘方 考点01 正数与负数 1．一个乒乓球的标准重量是克，若一个乒乓球的重量是克，记作克，那么一个乒乓球的重量是克，应记作（    ） A． B． C． D． 2．若收入80元记作元，则元表示（   ） A．收入50元 B．收入30元 C．支出50元 D．支出30元 3．规定：（）表示向左移动3．记作，则（）表示向右移动5，记作（   ） A． B． C． D． 4. 如图，根据机器零件的设计图纸（单位：），按设计要求生产出的该机器零件尺寸最大相差（   ） A． B． C． D． 5. 下列各式：①；②；③；④．其结果为正数的有（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 6. 某班一个小组的10名学生参加体检，为了方便记录测得的体重结果，他们以为标准，超出记为正数，低于记为负数，得到如下数据：（单位：） ，，，，，0，，，， 则这10名学生中的最小体重是（   ） A． B． C． D． 7. 填空： （）某校举行“生活中的科学”知识竞赛，若将加分记为分，则扣分记为 分． （）记运入仓库的大米吨数为正，则吨表示 ，吨表示 ． （）规定海平面以上的高度为正，则海鸥在海平面以上米处，可记为 米；鱼在海平面以下米处，可记为 米；海平面的高度可记为 米． 8. 一袋小麦标准质量是，若一袋小麦质量比标准质量多记作，则某袋小麦质量为记作 ． 9. 一名交警骑交警铁骑从岗亭出发，在东西走向的公路上执勤，如果规定向东为正，向西为负，这天早上的行驶里程（单位：千米）如下：，，，，，， (1)请问现在这名交警离岗亭多远，在岗亭东面还是西面？ (2)若交警铁骑每100千米耗油3升，这名交警现在接到指令，立刻返回岗亭，这天早上交警铁骑一共耗油多少升？ 10. 为保证粤海铁路的运输安全，检修小组会定期在凌晨的个小时空窗期乘坐检修车由北向南检修线路，从A点开始检修，共检查了10个检修点（包含A点），若每个检修点检修时长基准为分钟，超过分钟，记为正，不足分钟，记为负，下面是某次他们对每个检修点检修时长的记录（单位：分钟）：，，，，，，，，，． (1)收工时，他们检修线路一共花费了多长时间? (2)若每两个相邻检修点之间的平均距离为千米，检修车的速度为千米/分钟，那么请你计算检修小组能否在空窗期结束前回到点? 考点02 有理数 1．下列各数，，，20，，中，分数有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．下列说法中，不正确的是（    ） A．负分数一定是负有理数 B．可以写成分数形式的数称为有理数 C．是负整数，但不是有理数 D．0是正数和负数的分界 3．下列7个数：（每两个1之间依次多一个4），，其中有理数有（    ）个 A．3 B．4 C．5 D．6 4．下列数，，0.3，，4，中，正有理数的个数是（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 5．现有下列各数：，，，，3，0，，，9，其中正整数有 个． 6. 在5，，，，0.22，，中，是负有理数的为 ． 7. 小羽的手机密码是一个没有重复数字的四位数：从左边起，第一位数是最大的一位数，第二位数是最接近0的正整数，第三位数是14和21的最大公因数，第四位数既不是正数也不是负数．小羽的手机密码是 ． 8. 把下列各数填在相应的大括号里： ，，，，，，，， 正数集合：{                              …}； 非正有理数集合：{                        …}； 整数集合：{                              …}． 9. （1）找出负有理数：，，，，，，，． 答：负有理数有：__________． （2）计算：． 10. （1）把下列各数：分别在如图1所示的数轴上表示出来， 并按从小到大的顺序用“”连接起来； （2）将（1）中的有理数填入图2中相应的圈内． 考点03 数轴与相反数 1．下列各组数中，互为相反数的是（   ） A．2和 B．和3 C．和 D．3和2 2．如果为正数，则a为（    ） A．正数 B．负数 C．0 D．任意有理数 3. 在下面的数轴中，表示和的点依次是（   ） A．①④ B．②④ C．③④ D．③⑤ 4. 点在数轴上的位置如图所示，已知点为原点，、若点表示的数为，则点表示的数为（   ） A． B． C． D． 5. 有理数在数轴上对应的点如图所示，则，，1的大小关系表示正确的是（    ） A． B． C． D． 6. 若与1互为相反数，则的值为 ． 7. 式子所表示的意义是 ． 8. 的值是 ． 9. 在数轴上表示 5 的点与表示 的点之间的距离是 ． 10. 观察如图中的数轴，、、表示的数由小到大的顺序为 ． 11. 如图，点，在数轴上的位置如图所示，为原点，点在数轴上所表示的数为，，点为线段的中点，则点在数轴上所表示的数为 ． 12. 数轴上，两点对应的数分别是和，则，两点之间的整数有 个． 13. 如图，一条数轴上有三个不同的点，其中点表示的数分别是，8，现以点为折点，将数轴向右对折，若对折后的点到点的距离为4，则点表示的数为 ． 14. 画出数轴，并解答问题： (1)给出下列各数：5，，，1．请将它们在数轴上表示出来，并将这些数按从大到小的顺序排列，再用“”连接起来． (2)在数轴上标出表示的点A，写出将点A沿数轴平移4个单位长度后得到的点对应的数，并在数轴上表示出来． 16. 根据小明和小慧的对话，小慧家的位置唯一确定吗？请利用数轴（以学校为原点）求出小慧家位置所表示的数． 17. 已知如图，数轴上点A表示的数为6，B是数轴上在A左侧的一点，且A，B两点间的距离为10．动点P从点A出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为秒． (1)数轴上点B表示的数是___________；当点P运动到的中点时，它所表示的数是__________． (2)动点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，若点P，Q同时出发．求： ①当点P追上点Q时，点P所表示的数是多少？ ②当点P运动多少秒时，点P与点Q间的距离为8个单位长度？ 18. 如图，点A、在数轴上对应的数为、7，点A以每秒3个单位长度的速度向右运动，同时点以每秒1个单位长度的速度也向右运动．设运动时间为秒． (1)求运动前的中点对应的数； (2)为何值时A、对应的数相同； (3)为何值时A、之间的距离等于2个单位长度． 考点04 绝对值 1．下列四个算式中，其结果是负数的是（    ） A． B． C． D． 2．绝对值是的数是（    ） A． B．-2025 C． D． 3．若，则的值为（    ） A．1 B． C．3 D． 4．已知，当分别取1，2，3，，时，所对应的值的总和是（　　） A． B． C． D． 5．若，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 6. 下列各数中，最大的数是（　　） A．0 B． C． D． 7. 计算： ． 8. 若，则 ． 9. 的相反数是 ；绝对值是 ． 10. 若互为相反数，互为倒数，的绝对值为4，则的值为 ． 11. 已知，且，则的值是 ． 12. ．（填“>”或“<”） 13. 已知，有理数在数轴上所对应的点分别是三点，且满足：． (1)的值分别是______，______，______（直接写出答案）： (2)若数轴上点之间有一动点（不与点重合），且点对应的数为．化简：； (3)若点在数轴上以每秒1个单位的速度向左运动，同时点和点在数轴上分别以每秒个单位长度和4个单位长度的速度向右运动（其中．若在整个运动过程中，点到点的距离与点到点的距离差始终不变，求运动几秒后点与点的距离为13个单位长度． 14. 已知，在数轴上a，b，c所对应的点分别为A，B，C三点，c是最小的两位正整数，且a，b满足，请回答问题： (1)请直接写出a，b，c的值： ， ， ； (2)若点M从A点出发，以每秒1个单位长度的速度向终点C运动，当点M运动到B点时，点N才从A点出发，以每秒3个单位长度的速度也向C点运动，点N到达C点后，再立即以同样的速度返回A点，设点M运动时间为t秒，当点N开始运动后，t为何值时，M，N两点间的距离为8？ 15. 如图，数轴上，两点表示的数分别为，，在的左侧． (1)若． ①若，到原点的距离相等，则 ． ②若点与原点相距3个单位长度，则 ． (2)若，，点是数轴上的点，其表示的数为． ①当有最小值时，最小值为 ，此时点须满足的条件是 ； ②若点到点和点的距离之和为40，求的值； ③点，分别从，两点同时向左运动，点始终是的中点，的速度为1个单位，的速度为3个单位长度，当，两点相距4个单位长度时，求此时的值． 考点05 有理数的加减 1. 以下是小明有理数计算的一部分，在计算过程中使用的运算律表述正确是（   ） ① ② A．①加法交换律②加法结合律 B．①②都是加法交换律 C．①加法结合律②加法交换律 D．①②都是加法结合律 2. 下列计算的结果为正数的是（   ） A． B． C． D． 3. 把笔尖放在数轴的原点，沿数轴先向左（负方向）移动个单位长度，再向右移动个单位长度，用算式表示上述过程与结果，正确的是（   ） A． B． C． D． 4. 计算：（   ） A． B．3 C． D．7 5. 临汾冬季供暖后，小伟发现室内温度为，此时冰箱冷冻室的温度为，则冷冻室的温度比室内的温度低 ． 6. 若a的相反数是，b的倒数是，则 ． 7. 计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 8. 我国自主研发的巡逻机器人备受关注，为安保工作提供了强有力的支持．某天小明发现一个巡逻机器人正准备在一条南北方向的公路上执行治安巡逻．（规定初始位置为0，向北走为正，向南走为负）它从初始位置到结束巡逻所走的路程（单位：）如下： 次数 第一次 第二次 第三次 第四次 第五次 第六次 路程（） (1)直接写出巡逻机器人在这次巡逻中离出发点最远的距离________； (2)通过计算，描述巡逻机器人结束巡逻时的最后位置； (3)已知这次巡逻机器人的平均速度为，请求出巡逻机器人的巡逻时间． 9. 钟表中蕴含着有趣的数学运算． 例如，现在是 10 时，问 4 小时以后是几时？ 虽然 ，但在表盘上看到的是 2 时． 如果用符号“ ”表示钟表上的加法，则 ． 若问 3 时之前 5 小时是几时，就得到钟表上的减法概念，若用符号“ ”表示钟表上的减法，则 ． （注：此处用 0 时代替 12 时）． 根据上述材料解决下列问题： (1) _____， _____． (2)在有理数运算中，相加得 0 的两个数互为相反数． 如果在钟表运算中沿用这个概念，那么 5 的相反数是多少？ (3)规定在钟表运算中也有 ，对于钟表上的任意数字 ， ， ，若 ，判断 是否一定成立，若一定成立，说明理由； 若不一定成立，写出一组反例加以说明． 10. 一辆公共汽车从起点站开出后，途中经过个停靠站，最后到达终点站．下表记录了这辆公共汽车全程载客的变化情况，其中正数表示上车人数，负数表示下车人数，0表示无人上车或下车． 停靠站 起点站 中间第站 中间第站 中间第站 中间第站 中间第站 中间第站 终点站 上、下车人数 ； ； ； ； ； ； (1)中间第站上车的人数是 人，下车的人数是 人； (2)途中的个站中，第 站没有人上车，第 站没有人下车； (3)公共汽车离开中间第站时车上的人数为 人，离开中间第站时车上的人数为 人； (4)从表中你还能知道什么信息？ 考点06 有理数的乘除 1．下列各组数中，互为倒数的是（ ） A．和1.5 B．和1 C．和 D．0和0 2．下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 3. 计算，最合理的方法是（   ） A． B． C． D． 4. 对于任意非零有理数，定义运算“※”如下：，则… 的值为（   ） A． B． C． D． 5. 计算： ． 6. 如果，则，，的大小关系为 ． 7. 若互为相反数，互为倒数，的绝对值为4，则的值为 ． 8. 对非零有理数a，b定义一种运算，其规则是：，则 ． 9. 如图，按程序框图中的顺序计算，当输入的初始值x为32时，则输出的最后结果为 ． 10. 计算： (1)； (2)． 12. 计算：． 13. 学习有理数的乘法后，老师给同学们这样一道题目： 计算：，看谁算的又快又对，有两位同学的解法如下： 聪聪：原式． 明明：原式． (1)上面的解法对你有何启发，你认为还有更好的方法吗？如果有，请把它写出来； (2)用你认为最合适的方法计算：． 14. 已知有理数，我们规定是的“福倒数”，如：3的福倒数是，的福倒数是．如果，是的福倒数，是的福倒数，是的福倒数，⋯，依此类推，解答下列问题： (1)计算：________，_______，________； (2)求的值． 15. 观察下列等式，，，… 将以上三个等式两边分别相加得：． (1)猜想并写出：______； (2)直接写出下列各式的计算结果：______； (3)探究并计算：． 考点07 有理数的乘方 1．的值是（　　） A． B．49 C． D．14 2．下列各组数中，结果相等的是（　　） A．与 B．与 C．与 D．与 3．下列各式：①；②；③；④．其结果为正数的有（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 4．在数学课上，老师让甲、乙、丙、丁四名同学分别做了一道有理数计算题，你认为做对的同学是（    ） 甲：    乙： 丙：    丁： A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 5. 我国古代《易经》一书中记载，远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳计数”，一位母亲在从右到左依次排列的绳子上打结，采取满七进一的方式，用来记录孩子自出生后的天数．例如图1表示的是孩子出生后30天时打绳结的情况（因为：），那么由图2可知，孩子出生后的天数是（    ）天 A．514 B．511 C．513 D．510 6. 计算： 7. 计算：． 8. 计算： 9. 记：，，，…，． (1)计算的值； (2)计算的值； (3)猜想与的关系． 10. 观察下面三行数： 4 16 64 …① 2 14 62 ② 3 9 33 …③ (1)第①行第7个数是 ，第①行第n个数是 ； (2)第②行第n个数是 ，第③行第n个数是 ． (3)取每一行的第10个数，计算这三个数的和． 11. 综合实践 活动目标 理解不同进位制的数之间的转换及应用 素材1 进位制是人们为了记数和运算方便而约定的记数系统．约定逢十进一就是十进制，逢二进一就是二进制，也就是说“逢几进一”就是几进制，几进制的基数就是几． 十进制数，记作1024； 八进制数，记作； 五进制数，记作； 二进制数，记作； n（n≥2，且n为整数）进制数转换成与其相等的十进制数，只需要将n进制数的每个数字，依次乘n的相应次幂相加，就可得到与它相等的十进制数．如：八进制数转换十进制数为：． 素材2 将十进制数转换为与其相等的n进制数，用十进制的数除以n，然后将商继续除以n，直到商为0，将各步所得的余数按照逆序排列即可．例如：                              解决问题 任务1 （1）不同进位制的数之间的转换； ①十进制数______；②十进制数______； ③十进制数 （2）现有三进制数，二进制数，试比较a，b的大小，通过运算说明． 任务2 受任务1（2）的启发，你认为如何将一个二进制数转换为五进制数呢？请尝试解决． 12. 数形结合是解决数学问题的一种重要的思想方法． (1)《庄子·天下》中有这样一段话：“一尺之棰，日取其半，万世不竭．”意思是一尺长的棍棒，每日取它的一半，永远也截不完，如果将一根一尺长的棍棒看成单位“1”，每天截取一半，截取5次，则截取的棍棒总长度是多少？ (2)如图1所示的是边长为1的正方形，将它剪掉一半，则；如图2，在图1的基础上，将阴影部分再裁剪掉一半，则；以此类推，如图3，；…… ①__________． ②应用：计算． 2 / 12 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 有理数 考点01 正数与负数 考点02 有理数 考点03 数轴与相反数 考点04 绝对值 考点05 有理数的加减 考点06 有理数的乘除 考点07 有理数的乘方 考点01 正数与负数 1．一个乒乓球的标准重量是克，若一个乒乓球的重量是克，记作克，那么一个乒乓球的重量是克，应记作（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了“正”和“负”的相对性，明确什么是一对具有相反意义的量．在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示．根据题意可知，比标准重量多克，记作克，那么克比克少克，那么应记作：，即可得出答案． 【详解】解：一个乒乓球的标准重量是克，若一个乒乓球的重量是克，比标准重量多克，记作克，那么一个乒乓球的重量是克，克比克少克，应记作： 故选：B． 2．若收入80元记作元，则元表示（   ） A．收入50元 B．收入30元 C．支出50元 D．支出30元 【答案】C 【分析】本题考查了正数和负数的实际意义，解题的关键是明确“正”和“负”所表示的相反意义的量． 题中已规定收入用正数表示，那么与收入相反的支出就用负数表示；由此可判断元对应的实际意义为支出50元． 【详解】解：A、收入50元应记作元，而非元，此选项不符合题意； B、收入30元应记作元，与元无关，此选项不符合题意； C、因收入用正数表示，故负数表示支出，元表示支出50元，此选项符合题意； D、支出30元应记作元，而非元，此选项不符合题意； 故选：C． 3．规定：（）表示向左移动3．记作，则（）表示向右移动5，记作（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了正负数的应用．根据题意找出左右移动与正负数表示的方法即可求解． 【详解】解：（）表示向左移动3．记作，则（）表示向右移动5，记作， 故选：A． 4. 如图，根据机器零件的设计图纸（单位：），按设计要求生产出的该机器零件尺寸最大相差（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题主要考查了正负数的意义，有理数减法，解题的关键是正确理解的意义． 根据的意义分析得出然后进行减法运算即可． 【详解】解：由得： 该机器零件尺寸最大相差， 故选：． 5. 下列各式：①；②；③；④．其结果为正数的有（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】D 【分析】本题考查了化简多重符号、绝对值，有理数的乘方． 先化简多重符号、绝对值，计算有理数的乘方，再判断即可． 【详解】在①；②；③；④中，其结果为正数的有①共1个． 故选D． 6. 某班一个小组的10名学生参加体检，为了方便记录测得的体重结果，他们以为标准，超出记为正数，低于记为负数，得到如下数据：（单位：） ，，，，，0，，，， 则这10名学生中的最小体重是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了正数和负数，有理数加法运算，准确熟练地进行计算是解题的关键． 先把这些数用据比较大小，然后进行计算即可； 【详解】解：∵ ∴ ∴这10名学生中的最小体重是 故选：B． 7. 填空： （）某校举行“生活中的科学”知识竞赛，若将加分记为分，则扣分记为 分． （）记运入仓库的大米吨数为正，则吨表示 ，吨表示 ． （）规定海平面以上的高度为正，则海鸥在海平面以上米处，可记为 米；鱼在海平面以下米处，可记为 米；海平面的高度可记为 米． 【答案】 运入吨大米 运出吨大米 【分析】（）根据正负数的意义解答即可； （）根据正负数的意义解答即可； （）根据正负数的意义解答即可； 本题考查了正负数的意义，理解正负数表示一对意义相反的量是解题的关键． 【详解】解：（）某校举行“生活中的科学”知识竞赛，若将加分记为分，则扣分记为分， 故答案为：； （）运入仓库的大米吨数为正，则吨表示运入吨大米，吨表示运出吨大米， 故答案为：运入吨大米，运出吨大米； （）规定海平面以上的高度为正，则海鸥在海平面以上米处，可记为米；鱼在海平面以下米处，可记为米；海平面的高度可记为米， 故答案为：；；． 8. 一袋小麦标准质量是，若一袋小麦质量比标准质量多记作，则某袋小麦质量为记作 ． 【答案】 【分析】本题考查正数和负数，理解正数、负数的意义是正确解答的关键． 根据正数和负数的意义进行解答即可． 【详解】解：∵ 又∵由正数和负数的意义可知，袋小麦标准质量是，若一袋小麦质量比标准质量多记作， ∴某袋小麦质量为记作， 故答案为：． 9. 一名交警骑交警铁骑从岗亭出发，在东西走向的公路上执勤，如果规定向东为正，向西为负，这天早上的行驶里程（单位：千米）如下：，，，，，， (1)请问现在这名交警离岗亭多远，在岗亭东面还是西面？ (2)若交警铁骑每100千米耗油3升，这名交警现在接到指令，立刻返回岗亭，这天早上交警铁骑一共耗油多少升？ 【答案】(1)这名交警离岗亭5千米，在岗亭东面 (2)这天早上交警铁骑一共耗油1.2升 【分析】本题考查有理数的混合运算，正数和负数，结合已知条件列得正确的算式是解题的关键． （1）将所有的行程里程相加，再根据得到的数的正负判断东西面； （2）将所有的行程里程的绝对值求和，根据每千米耗油升进行求解． 【详解】（1） （千米） 答：这名交警离岗亭5千米，在岗亭东面． （2） （升） 答：这天早上交警铁骑一共耗油升． 10. 为保证粤海铁路的运输安全，检修小组会定期在凌晨的个小时空窗期乘坐检修车由北向南检修线路，从A点开始检修，共检查了10个检修点（包含A点），若每个检修点检修时长基准为分钟，超过分钟，记为正，不足分钟，记为负，下面是某次他们对每个检修点检修时长的记录（单位：分钟）：，，，，，，，，，． (1)收工时，他们检修线路一共花费了多长时间? (2)若每两个相邻检修点之间的平均距离为千米，检修车的速度为千米/分钟，那么请你计算检修小组能否在空窗期结束前回到点? 【答案】(1)分钟 (2)检修小组能在空窗期结束前回到点 【分析】本题考查正负数的应用及有理数混合运算的应用，熟练掌握运算法则是解题关键． （1）用个检修点的基准总时间加上每个检修点超过或不足的时间即可得答案； （2）先计算个检修点之间的距离，即可得出检修车在路上需要的时间，加上检修时间，得出总时间，与分钟比较，即可得答案． 【详解】（1）解：（1）（分钟）， 答：收工时，他们检修线路花费了分钟． （2）解：个检修点来回共需行驶（千米）， 因为检修车的速度为千米/分钟， 所以检修车在路上需要行驶（分钟）， 所以本次检修所需要的总时间为（分钟）， 因为检修空窗期为（分钟），分钟分钟， 所以检修小组能在空窗期结束前回到A点． 考点02 有理数 1．下列各数，，，20，，中，分数有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】本题主要考查了有理数的分类，解题的关键是掌握有理数的分类． 根据分数定义选择即可． 【详解】解：是整数，不是分数； 是分数； 是有限小数，属于分数； 20是整数，不是分数； 是有限小数，属于分数； 可转化成分数，属于分数； 故分数有4个， 故选：D． 2．下列说法中，不正确的是（    ） A．负分数一定是负有理数 B．可以写成分数形式的数称为有理数 C．是负整数，但不是有理数 D．0是正数和负数的分界 【答案】C 【分析】本题考查有理数的分类．根据有理数的分类逐一进行判断即可． 【详解】解：A、负分数一定是负有理数，本选项不符合题意； B、可以写成分数形式的数称为有理数，本选项不符合题意； C、是负整数，也是有理数，原说法错误，本选项符合题意； D、0是正数和负数的分界，本选项不符合题意； 故选：C． 3．下列7个数：（每两个1之间依次多一个4），，其中有理数有（    ）个 A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】本题主要考查的是有理数，掌握有理数和无理数的概念是解题的关键． 根据整数和分数统称为有理数，有限小数和无限循环小数都属于有理数，无理数是无限不循环小数，据此即可解答． 【详解】解：有理数有：，，，0，共5个． 故选C． 4．下列数，，0.3，，4，中，正有理数的个数是（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】本题考查了有理数的分类，熟练掌握有理数的分类方式是解答本题的关键．有理数分为正有理数，零和负有理数，正有理数分为正整数和正分数，负有理数分为负整数和负分数． 【详解】解：不是有理数； ，是负有理数； 0.3， 4，是正有理数． 故选B． 5．现有下列各数：，，，，3，0，，，9，其中正整数有 个． 【答案】2 【分析】本题考查有理数的分类，理解整数的概念是解答本题的关键． 根据有理数的分类和正数的概念，进行判断即可． 【详解】解：3，9是正整数，共2个， 故答案为：2． 6. 在5，，，，0.22，，中，是负有理数的为 ． 【答案】，， 【分析】本题主要考查有理数的分类，根据负有理数的概念求解即可． 【详解】在5，，，，0.22，，中， 是负有理数的为，，． 故答案为：，，． 7. 小羽的手机密码是一个没有重复数字的四位数：从左边起，第一位数是最大的一位数，第二位数是最接近0的正整数，第三位数是14和21的最大公因数，第四位数既不是正数也不是负数．小羽的手机密码是 ． 【答案】9170 【分析】本题考查了数位知识、整数的认识及最大公因数的求解，解题的关键是根据题目描述逐一确定四位数各个数位上的数字． 分别分析每一位数的特征：第一位数为最大的一位数；第二位数为最接近0的正整数；第三位数为14和21的最大公因数；第四位数为既不是正数也不是负数的数，再组合得到四位数． 【详解】解：第一位：最大的一位数是9； 第二位：最接近0的正整数是1； 第三位：14的因数有1、2、7、14，21的因数有1、3、7、21，故14和21的最大公因数是7； 第四位：既不是正数也不是负数的数是0． 因此，小羽的手机密码是9170． 故答案为：9170． 8. 把下列各数填在相应的大括号里： ，，，，，，，， 正数集合：{                              …}； 非正有理数集合：{                        …}； 整数集合：{                              …}． 【答案】见解析 【分析】本题考查有理数的分类，其中大于0的数叫正数，在正数前面加“−”的数叫负数，非负整数包括正整数和0，分数包括正分数和负分数．按照有理数的分类即可求出答案，其中非负整数包括正整数和0． 【详解】解：，， 正数集合： {， ，，}； 非正有理数集合： {，，，，}； 整数集合： {，，，}． 9. （1）找出负有理数：，，，，，，，． 答：负有理数有：__________． （2）计算：． 【答案】（1），，；（2） 【分析】本题主要考查了有理数的定义，正负数的定义，化简绝对值，有理数乘法运算律，有理数四则混合运算等知识点，熟练掌握相关定义及有理数的运算法则是解题的关键． （1）根据有理数的定义、正负数的定义进行解答即可． （2）利用乘法运算律计算即可． 【详解】解：（1）负有理数有：，，． （2）解： ． 10. （1）把下列各数：分别在如图1所示的数轴上表示出来， 并按从小到大的顺序用“”连接起来； （2）将（1）中的有理数填入图2中相应的圈内． 【答案】（1）见解析，；（2）见解析 【分析】本题主要考查了用数轴上点表示有理数，有理数的分类，根据数轴比较有理数的大小，解题的关键是熟练掌握数轴上点的特点． （1）根据数轴上点特点把各数表示在数轴上，并用“”连接即可． （2）根据有理数的分类方法进行解答即可． 【详解】解：（1），，将各数表示在数轴上，如图所示： 按从小到大的顺序用“”连接：； （2）负数有：； 整数有：， 正数有：； 如图所示： 考点03 数轴与相反数 1．下列各组数中，互为相反数的是（   ） A．2和 B．和3 C．和 D．3和2 【答案】A 【分析】本题主要考查了相反数的定义，根据只有符号不同的两个数互为相反数，对各选项分析判断后利用排除法求解即可． 【详解】解：A．和互为相反数，故该选项符合题意； B．和不是相反数，故该选项不符合题意； C．和不是相反数，故该选项不符合题意； D．和不是相反数，故该选项不符合题意． 故选：A． 2．如果为正数，则a为（    ） A．正数 B．负数 C．0 D．任意有理数 【答案】A 【分析】本题考查了相反数的知识，属于基础题，难度不大． 根据一个数的相反数就是在这个数前面添上“”号．一个正数的相反数是负数，一个负数的相反数是正数，0的相反数是0，可知为正数，可知为负数，故a为正数． 【详解】解：根据题意可知：为正数， ∴为负数， 故a为正数． 故选：A． 3. 在下面的数轴中，表示和的点依次是（   ） A．①④ B．②④ C．③④ D．③⑤ 【答案】C 【分析】本题考查了利用数轴表示有理数，解题关键是读懂图形． 先分别求出各个点表示的数，再作出判断． 【详解】解：由数轴上0与3可知，⑤表示2，④表示，③表示，②表示，①表示，所以表示和的点依次是③④， 故选：C． 4. 点在数轴上的位置如图所示，已知点为原点，、若点表示的数为，则点表示的数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查数轴，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．根据题意和数轴可以用含的式子表示出点表示的数，进而即可求解． 【详解】解：∵点所表示的数为，且位于原点左侧， ∴长为， ∵， ∴， ∵， ∴，且点位于原点右侧， ∴点表示的数为 故选：A． 5. 有理数在数轴上对应的点如图所示，则，，1的大小关系表示正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查数轴定义与性质，涉及利用数轴比较有理数的大小，理解数轴定义与性质是解决问题的关键．根据数轴左边点对应的数小于右边的点对应的数即可得到答案． 【详解】解：由图可知，，且， ∴， 故选：A． 6. 若与1互为相反数，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了相反数的概念，解题的关键是掌握互为相反数的两个数之和为0． 根据互为相反数的两数和为0，得到关于的方程，然后求解方程得出的值． 【详解】由题意可得：， 解得， 故答案为：． 7. 式子所表示的意义是 ． 【答案】的相反数 【分析】本题考查相反数的定义，熟练掌握相反数的定义是解题的关键； 根据相反数的定义即可求解； 【详解】解：根据题意可知，式子所表示的意义是的相反数； 故答案为：的相反数 8. 的值是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查化简多重符号，熟练掌握相反数的定义，是解题的关键．根据相反数的定义进行求解即可． 【详解】解：． 故答案为：． 9. 在数轴上表示 5 的点与表示 的点之间的距离是 ． 【答案】20 【分析】本题考查了数轴上两点间距离的计算，解题的关键是掌握数轴上两点间距离公式——若两点表示的数分别为、，则两点距离为（或用较大数减去较小数）． 先明确数轴上两点距离的计算方法：两点表示的数的差的绝对值（或直接用大数减小数）；再确定两点表示的数分别为和，代入计算即可． 【详解】解：数轴上两点间距离为两点表示数的差的绝对值，   则表示的点与表示的点之间的距离为 故答案为：20． 10. 观察如图中的数轴，、、表示的数由小到大的顺序为 ． 【答案】 【分析】本题考查了利用数轴比较有理数的大小，根据数轴上的数，右边的总比左边的大进行比较即可，熟记“数轴上的数，右边的总比左边的大”是解题的关键． 【详解】解：根据数轴可知，， 故答案为：． 11. 如图，点，在数轴上的位置如图所示，为原点，点在数轴上所表示的数为，，点为线段的中点，则点在数轴上所表示的数为 ． 【答案】 【分析】本题考查了数轴，熟知数轴上的点所表示的数的特征是解答本题的关键． 根据题意先求出点表示的数，再结合点为线段的中点即可解决问题． 【详解】解：点在数轴上所表示的数为，， 点表示的数为， 又点为线段的中点， 点表示的数为， 故答案为：． 12. 数轴上，两点对应的数分别是和，则，两点之间的整数有 个． 【答案】 【分析】本题考查数轴，熟练掌握相关的知识点是解题的关键．根据整数与数轴的知识点进行解题即可． 【详解】解：数轴上，两点对应的数分别是和， 则、之间的整数有、、、、、， 故整数有个． 故答案为：． 13. 如图，一条数轴上有三个不同的点，其中点表示的数分别是，8，现以点为折点，将数轴向右对折，若对折后的点到点的距离为4，则点表示的数为 ． 【答案】或0 【分析】本题主要考查的数轴上两点之间的距离，折叠的性质．根据折叠分类讨论，当点A落在4和12对应的点时，结合数轴上两点之间的距离即可求解． 【详解】解：∵对折后的点到点的距离为4， ∴对折后的点的对应点为或， 当点A落在数4对应的点时，则点C表示的数为：， 当点A落在数12对应的点时，则点C表示的数为：， 综上所述，点C表示的数是或0， 故答案为：或0． 14. 画出数轴，并解答问题： (1)给出下列各数：5，，，1．请将它们在数轴上表示出来，并将这些数按从大到小的顺序排列，再用“”连接起来． (2)在数轴上标出表示的点A，写出将点A沿数轴平移4个单位长度后得到的点对应的数，并在数轴上表示出来． 【答案】(1)，见解析 (2)3或，见解析 【分析】（1）先在数轴上表示，再根据数轴上靠近右边的数大于靠近左边的数，计算即可． （2）先确定平移后的数，向右平移时，表示的数为；向左平移时，表示的数为，解答即可； 本题考查了数轴表示数，有理数的大小比较，点的平移，点表示数，熟练掌握平移，有理数的大小是解题的关键． 【详解】（1）解：根据题意，数轴表示如下： 故． （2）解：根据题意，得点A表示的数是， 点A向右平移时，表示的数为；向左平移时，表示的数为， 画图如下： 16. 根据小明和小慧的对话，小慧家的位置唯一确定吗？请利用数轴（以学校为原点）求出小慧家位置所表示的数． 【答案】不是唯一确定，小慧家在数轴上表示的数可以是，，，． 【分析】本题主要考查了用数轴表示数，两点间的距离等知识点，根据两人的对话分类讨论即可得解，熟练掌握用数轴表示数，两点间的距离公式并能灵活运用是解决此题的关键． 【详解】解：不是唯一确定．理由如下：    情形①当小明家在学校西5千米（即在数轴原点的左侧）时， 小明家表示的数为， 若小慧家在小明家的西2千米，则其表示的数是， 若小慧家在小明家的东2千米，则其表示的数是， 情形②当小明家在学校东5千米（即在数轴原点的右侧）时， 小明家表示的数为，   若小慧家在小明家的西2千米，则其表示的数是， 若小慧家在小明家的东2千米，则其表示的数是， 综上所述，小慧家在数轴上表示的数可以是，，，． 17. 已知如图，数轴上点A表示的数为6，B是数轴上在A左侧的一点，且A，B两点间的距离为10．动点P从点A出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为秒． (1)数轴上点B表示的数是___________；当点P运动到的中点时，它所表示的数是__________． (2)动点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，若点P，Q同时出发．求： ①当点P追上点Q时，点P所表示的数是多少？ ②当点P运动多少秒时，点P与点Q间的距离为8个单位长度？ 【答案】(1)；1 (2)①；②1或9秒 【分析】（1）由已知得，则，因为点 B在原点左边，即可求出； 当点P运动到的中点时，它所表示的数是，计算即可求出； （2）①点P运动t秒时追上点Q，由于点P要多运动10个单位才能追上点Q，则，然后解方程得到，得到点P运动距离为，再根据和P点在负半轴，即可求出；②分两种情况：当点P运动a秒时，不超过Q，则；超过Q，则；由此求得答案即可． 此题考查的知识点是两点间的距离及数轴，根据已知得出各线段之间的等量关系是解题的关键． 【详解】（1）解：∵数轴上点A表示的数为6， ∴， 则， ∵点B在原点左边， ∴数轴上点B所表示的数为； 当点P运动到的中点时，它所表示的数是 故答案为：，1； （2）①点P运动t秒时追上点Q，根据题意得， 解得， ∴当点P运动5秒时，点P追上点Q； ∴点P运动距离为 ∴ ∵此时P点在负半轴， ∴当点P追上点Q时，点P所表示的数是； ②设当点P运动a秒时，点P与点Q间的距离为8个单位长度 当P不超过Q，则，解得； 当P超过Q，则，解得； 答：当点1秒或9秒点P与点Q间的距离为8个单位长度． 18. 如图，点A、在数轴上对应的数为、7，点A以每秒3个单位长度的速度向右运动，同时点以每秒1个单位长度的速度也向右运动．设运动时间为秒． (1)求运动前的中点对应的数； (2)为何值时A、对应的数相同； (3)为何值时A、之间的距离等于2个单位长度． 【答案】(1)1 (2) (3)5秒或7秒 【分析】本题主要考查了数轴上动点．熟练掌握数轴上两点间的距离公式，中点公式，动点表示的数，是解题的关键． （1）运用中点公式计算即得；（2）写出运动后A、B表示的数，相等，建立方程，解方程即可；（3）包括A没超过B和A超过B两种情况，A、之间的距离等于2个单位长度，建立方程解答． 【详解】（1）解：的中点对应的数． （2）A对应的数是，对应的数是， ∵A、对应的数相同， ∴ 解得． 故当时A、对应的数相同． （3）∵A、之间的距离等于2个单位长度， ∴． 当点A在点左边时，，解得； 当点A在点右边时，，解得． 综上，当为5秒或7秒时，A、之间的距离等于2个单位长度． 考点04 绝对值 1．下列四个算式中，其结果是负数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查有理数的运算，涉及乘方、符号化简、绝对值知识.逐项计算判断即可． 【详解】解：A、为负数，符合题意； B、为正数，不符合题意； C、为正数，不符合题意； D、为正数，不符合题意. 故选：A． 2．绝对值是的数是（    ） A． B．-2025 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了绝对值，熟练掌握绝对值的性质是解题关键．根据正数的绝对值等于它本身、负数的绝对值等于它的相反数求解即可得． 【详解】解：绝对值是的数为， 故选：C． 3．若，则的值为（    ） A．1 B． C．3 D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了绝对值、偶次幂的非负性、代数式求值等知识点，熟练掌握非负数的性质是解题的关键． 先根据绝对值、偶次方的非负性求得x、y的值，然后代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴，， ∴，， ∴， ∴， 故选B． 4．已知，当分别取1，2，3，，时，所对应的值的总和是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了数字的变化，熟练掌握绝对值的化简运算并找出规律是解本题的关键，难度不大，仔细审题即可．当时，，即当分别取2，3，，时，对应的值都等于1，根据规律，再计算所对应的值的总和即可． 【详解】解：当时，， 当时，，即当分别取2，3，，时，对应的值都等于1， ， 所对应的值的总和是． 故选：C． 5．若，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了绝对值的性质，不等式的性质，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 根据绝对值的性质，不等式的性质逐项判断即可． 【详解】解：A、若，，，则，故A选项错误； B、若，，则，故B选项错误； C、，，故C选项错误； D、，，∴，故D选项正确； 故答案为：D． 6. 下列各数中，最大的数是（　　） A．0 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了绝对值、相反数与有理数的大小比较，熟练掌握化简与比较方法是解题的关键．先将需要化简的数进行化简，在比较大小即可． 【详解】解：，， ， 则最大的数为． 故选：C． 7. 计算： ． 【答案】 【分析】根据负数的绝对值等于它的相反数解答即可． 本题考查了绝对值的性质，相反数的定义． 【详解】解： 故答案为： 8. 若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了绝对值的非负性，已知字母的值求代数式的值．先根据，得，，再分别代入进行计算，即可作答． 【详解】解：∵，且，， ∴，， ∴，， 则， 故答案为：． 9. 的相反数是 ；绝对值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了绝对值和相反数的定义，熟记和灵活运用相反数和绝对值的定义是解题的关键． 根据相反数的定义：只有符号不同的两个数叫互为相反数，一个数的相反数就是在这个数前面添上“-”号；根据正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0，得到答案即可． 【详解】解：的相反数是， 的绝对值是， 故答案为：；． 10. 若互为相反数，互为倒数，的绝对值为4，则的值为 ． 【答案】2或4 【分析】本题考查有理数的运算，根据互为相反数的两数之和为0，互为倒数的两数之积为1，互为相反数的两个数的绝对值相同，结合有理数的运算法则进行计算即可． 【详解】解：由题意，得：， ∴或； 故答案为：2或4． 11. 已知，且，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题主要查了绝对值的性质，有理数的乘方，求代数式的值．根据绝对值的性质，有理数的乘方，可得，再由，可得x，y异号，然后代入即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴x，y异号， 当时，， 当时，， 综上所述，的值是． 故答案为： 12. ．（填“>”或“<”） 【答案】＜ 【分析】本题主要考查有理数的大小比较及绝对值，熟练掌握有理数的大小比较及绝对值是解题的关键；因此此题可根据“两个负数比较大小，绝对值越大的反而小”进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴； 故答案为＜． 13. 已知，有理数在数轴上所对应的点分别是三点，且满足：． (1)的值分别是______，______，______（直接写出答案）： (2)若数轴上点之间有一动点（不与点重合），且点对应的数为．化简：； (3)若点在数轴上以每秒1个单位的速度向左运动，同时点和点在数轴上分别以每秒个单位长度和4个单位长度的速度向右运动（其中．若在整个运动过程中，点到点的距离与点到点的距离差始终不变，求运动几秒后点与点的距离为13个单位长度． 【答案】(1)，1，5 (2) (3) 【分析】本题考查了一元一次方程的应用、数轴、非负数的性质，解题的关键是列出正确的方程． （1）由绝对值和平方的非负性可求a，b，c的值； （2）由y的取值范围，化简可求解； （3）先求出m的值，再由题意列出方程，求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴，，， 解得，，， 故答案为：，1，5； （2）解：∵数轴上点之间有一动点（不与点重合），且点对应的数为， ∴，则，， ∴ ； （3）解：∵点B到点C的距离与点B到点A的距离差始终不变， 是定值， ， ∴， ∵点B与点A的距离为13个单位长度， ∴． 14. 已知，在数轴上a，b，c所对应的点分别为A，B，C三点，c是最小的两位正整数，且a，b满足，请回答问题： (1)请直接写出a，b，c的值： ， ， ； (2)若点M从A点出发，以每秒1个单位长度的速度向终点C运动，当点M运动到B点时，点N才从A点出发，以每秒3个单位长度的速度也向C点运动，点N到达C点后，再立即以同样的速度返回A点，设点M运动时间为t秒，当点N开始运动后，t为何值时，M，N两点间的距离为8？ 【答案】(1)，10 (2)t为20或28或32 【分析】本题考查了平方与绝对值的非负性，一元一次方程的应用，数轴上两点之间的距离，找到相等关系是解题的关键． （1）根据平方与绝对值的非负性，c是最小的两位正整数，得到，，求解即可； （2）分类讨论：①当时， ②当时，逐一分析求解即可． 【详解】（1）解：∵，c是最小的两位正整数， ∴， 解得， 故答案为：，10； （2）解：点M运动到点B需要的时间为（秒）， ∴点N在点M运动16秒后开始运动， ∵点N运动到点C需要的时间为（秒）， ∴（秒） ∴当时，点N从点A运动到点C； 当时，点N从点C返回点A． ①当时， 点M表示的数是，点N表示的数是， 当M，N两点间的距离为8时， ， 即， ∴或， 解得 或， ②当时， 点M表示的数是，点N表示的数为， 当M，N两点间的距离为8时， 解得：或（舍去） 答：t为20或28或32时，M，N两点间的距离为8． 15. 如图，数轴上，两点表示的数分别为，，在的左侧． (1)若． ①若，到原点的距离相等，则 ． ②若点与原点相距3个单位长度，则 ． (2)若，，点是数轴上的点，其表示的数为． ①当有最小值时，最小值为 ，此时点须满足的条件是 ； ②若点到点和点的距离之和为40，求的值； ③点，分别从，两点同时向左运动，点始终是的中点，的速度为1个单位，的速度为3个单位长度，当，两点相距4个单位长度时，求此时的值． 【答案】(1)①；②5或11 (2)①28；点在线段上；②或22；③或 【分析】本题考查了数轴上动点问题，绝对值的意义，一元一次方程的应用； （1）①根据，，到原点的距离即可得出，即可求解； ②分在原点的左和右侧时，分别求得的值，进而根据，在的左侧，即可求解； （2）①根据绝对值的意义，可得点在线段上有最小值时，最小值为的长，即可求解； ②根据题意可得点不在线段上，进而分类讨论，即可求解； （3）设、同时向左运动的时间为，表示出、运动时，点对应的数为，点对应的数为，进而根据题意列出绝对值方程，解方程，即可求解． 【详解】（1）解：①∵，，到原点的距离相等，在的左侧． ∴， ∴， 故答案为：． ②∵，点与原点相距3个单位长度，在的左侧． 当在原点的左侧时， ∴， 当在原点的右侧时，， ∴ 故答案为：或． （2）①∵，，点是数轴上的点，其表示的数为． ∴点在线段上，有最小值时，最小值为 此时点须满足的条件是：点在线段上 故答案为：28；点在线段上； ②  ， 又 ， 点不在线段上， 情形一：当点在点左侧时，，， 由得，，解得， 情形二：当点在点右侧时，，， 由得，解得， 综上所述，的值为或．                 ③设、同时向左运动的时间为， 、运动时，点对应的数为，点对应的数为， 当时，即，                解得或，                当时，； 当时，． 综上，当，两点相距个单位长度时，的值为或． 考点05 有理数的加减 1. 以下是小明有理数计算的一部分，在计算过程中使用的运算律表述正确是（   ） ① ② A．①加法交换律②加法结合律 B．①②都是加法交换律 C．①加法结合律②加法交换律 D．①②都是加法结合律 【答案】A 【分析】本题主要考查了加法运算律，掌握加法交换律、结合律成为解题的关键． 根据加法运算律的定义即可解答． 【详解】解：由题意可得：①加法交换律②加法结合律． 故选A． 2. 下列计算的结果为正数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了有理数的加法运算，熟练掌握有理数加法运算法则是解题的关键．先根据运算法则逐项计算，再看结果是否为正数求解即可． 【详解】解：A. ，结果为负数，不符合题意； B. ，结果既不是正数也不是负数，不符合题意； C. ，结果为负数，不符合题意； D. ，结果为正数，符合题意． 故选：D． 3. 把笔尖放在数轴的原点，沿数轴先向左（负方向）移动个单位长度，再向右移动个单位长度，用算式表示上述过程与结果，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了数轴与有理数的加法运算，掌握有理数的加法运算法则与数轴的特点是解题的关键． 根据数轴上，向左是减，向右是加，由此即可求解． 【详解】解：笔尖放在数轴的原点，沿数轴先向左（负方向）移动个单位长度，再向右移动个单位长度，用算式表示上述过程与结果为， 故选：． 4. 计算：（   ） A． B．3 C． D．7 【答案】A 【分析】本题主要考查了有理数的减法运算，熟练掌握其运算法则是解决此题的关键．先去括号，再进行计算即可得解． 【详解】解： ， 故选：A ． 5. 临汾冬季供暖后，小伟发现室内温度为，此时冰箱冷冻室的温度为，则冷冻室的温度比室内的温度低 ． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的减法，根据有理数的减法列式计算即可． 【详解】解：， 故答案为：． 6. 若a的相反数是，b的倒数是，则 ． 【答案】7 【分析】本题考查了相反数和倒数的概念，有理数的减法，根据相反数和倒数的概念求出，的值是解答本题的关键．根据题意先求出，的值，再求的值即可． 【详解】解：∵的相反数是，的倒数是， ∴，， ∴， 故答案为：． 7. 计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了有理数的加减混合运算，掌握相关运算法则是解题关键． （1）根据有理数加减混合运算法则计算即可； （2）根据加法交换律和结合律简便计算即可； （3）根据加法交换律和结合律简便计算即可； （4）先去绝对值，再根据加法交换律和结合律简便计算即可． 【详解】（1）解： （2）解： ； （3）解： ； （4）解： 8. 我国自主研发的巡逻机器人备受关注，为安保工作提供了强有力的支持．某天小明发现一个巡逻机器人正准备在一条南北方向的公路上执行治安巡逻．（规定初始位置为0，向北走为正，向南走为负）它从初始位置到结束巡逻所走的路程（单位：）如下： 次数 第一次 第二次 第三次 第四次 第五次 第六次 路程（） (1)直接写出巡逻机器人在这次巡逻中离出发点最远的距离________； (2)通过计算，描述巡逻机器人结束巡逻时的最后位置； (3)已知这次巡逻机器人的平均速度为，请求出巡逻机器人的巡逻时间． 【答案】(1) (2)巡逻机器人结束巡逻时的最后位置在出发点南距出发点处 (3)巡逻机器人的巡逻时间 【分析】本题考查正数和负数，绝对值及有理数运算的实际应用，结合已知条件列得正确的算式是解题的关键． （1）分别求得每次巡逻后距出发点的距离及位置后进行判断即可； （2）根据正数和负数的实际意义列式计算即可； （3）根据绝对值的实际意义列式计算即可． 【详解】（1）解：第1次：； 第2次：； 第3次：； 第4次：； 第5次：； 第6次：； ∴巡逻机器人在这次巡逻中离出发点最远的距离为， 故答案为：． （2）解：， ∴巡逻机器人结束巡逻时的最后位置在出发点南距出发点处． （3）解：此次巡逻共走：， ， ∴巡逻机器人的巡逻时间． 9. 钟表中蕴含着有趣的数学运算． 例如，现在是 10 时，问 4 小时以后是几时？ 虽然 ，但在表盘上看到的是 2 时． 如果用符号“ ”表示钟表上的加法，则 ． 若问 3 时之前 5 小时是几时，就得到钟表上的减法概念，若用符号“ ”表示钟表上的减法，则 ． （注：此处用 0 时代替 12 时）． 根据上述材料解决下列问题： (1) _____， _____． (2)在有理数运算中，相加得 0 的两个数互为相反数． 如果在钟表运算中沿用这个概念，那么 5 的相反数是多少？ (3)规定在钟表运算中也有 ，对于钟表上的任意数字 ， ， ，若 ，判断 是否一定成立，若一定成立，说明理由； 若不一定成立，写出一组反例加以说明． 【答案】(1)3；9 (2)5 的相反数是 7 (3)不一定成立， 理由见解析 【分析】此题主要考查有理数运算的应用，解题的关键是根据题意找到运算法则进行求解． （1）根据钟表的定义及钟表上的加减法定义即可求解； （2）根据钟表运算中相反数的定义即可求解； （3）根据钟表运算的定义举出反例即可验证． 【详解】（1）解：表示9点钟再过去6小时，故为小时，即为3时； 表示4点钟之前7小时，故为小时，即为9时； （2）解：在有理数运算中，相加得零的两个数互为相反数，在钟表中，用0时代替12时， ∴在钟表中，相加为12的两个数互为相反数， ∴在钟表中，5的相反数是． （3）解：不一定成立，理由如下， 当，，时，，，则， ∴当时，不一定成立． 10. 一辆公共汽车从起点站开出后，途中经过个停靠站，最后到达终点站．下表记录了这辆公共汽车全程载客的变化情况，其中正数表示上车人数，负数表示下车人数，0表示无人上车或下车． 停靠站 起点站 中间第站 中间第站 中间第站 中间第站 中间第站 中间第站 终点站 上、下车人数 ； ； ； ； ； ； (1)中间第站上车的人数是 人，下车的人数是 人； (2)途中的个站中，第 站没有人上车，第 站没有人下车； (3)公共汽车离开中间第站时车上的人数为 人，离开中间第站时车上的人数为 人； (4)从表中你还能知道什么信息？ 【答案】(1)1；7 (2)6；3 (3)24；22 (4)见解析（答案不唯一） 【分析】本题考查了正负数的应用、有理数加减法的应用，正确理解正负数的意义是解题关键． （1）根据表格中的数据，正数表示上车人数，负数表示下车人数解答即可； （2）在表格的数据中，找出上车人数为0人、下车人数为0人即可得； （3）将起始点的人数，与中间第1站和中间第2站的上、下车人数相加即可得；再与中间第3站、中间第4站的上、下车人数相加即可得； （4）在表格的数据中，途中的个站中，分别找出上、下车人数最多的站点即可得． 【详解】（1）解：由表格可知，中间第站上车的人数是1人，下车的人数是7人， 故答案为：1；7． （2）解：由表格可知，途中的个站中，中间第3站的下车人数为0人，中间第6站的上车人数为0人， 所以途中的个站中，第6站没有人上车，第3站没有人下车， 故答案为：6；3． （3）解：公共汽车离开中间第站时车上的人数为 （人）， 离开中间第站时车上的人数为 （人）， 故答案为：24；22． （4）解：从表中可以知道，途中的6个站中，中间第5站下车的人数最多，中间第1站上车的人数最多． 考点06 有理数的乘除 1．下列各组数中，互为倒数的是（ ） A．和1.5 B．和1 C．和 D．0和0 【答案】C 【分析】本题考查了倒数的定义．乘积为1的两个数叫做互为倒数，利用倒数的定义判断即可． 【详解】解：A、，故该选项不符合题意； B、，故该选项不符合题意； C、，故该选项符合题意； D、0没有倒数，则0和0不可能互为倒数，故该选项不符合题意； 故选：C． 2．下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题主要考查了有理数的运算，要熟练掌握，注意明确有理数混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有括号，要先做括号内的运算．根据有理数的加减乘除运算法则计算即可． 【详解】解：A、，故本选项计算错误，不符合题意； B、，故本选项计算错误，不符合题意； C、，故本选项计算正确，符合题意； D、，故本选项计算错误，不符合题意； 故选：C． 3. 计算，最合理的方法是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了有理数的乘法运算．根据有理数乘法法则进行作答即可． 【详解】解：计算最简便的方法是， 故选：C． 4. 对于任意非零有理数，定义运算“※”如下：，则… 的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了新定义运算，根据题意得出是解题关键． 【详解】解：∵， ∴ 故选：D 5. 计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的混合运算．根据有理数混合运算法则计算即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 6. 如果，则，，的大小关系为 ． 【答案】 【分析】本题考查的是有理数的大小比较，有理数的除法运算，利用特值法假设，再进一步求解即可． 【详解】解：假设， 则，； ∴； ∴． 故答案为：． 7. 若互为相反数，互为倒数，的绝对值为4，则的值为 ． 【答案】2或4 【分析】本题考查有理数的运算，根据互为相反数的两数之和为0，互为倒数的两数之积为1，互为相反数的两个数的绝对值相同，结合有理数的运算法则进行计算即可． 【详解】解：由题意，得：， ∴或； 故答案为：2或4． 8. 对非零有理数a，b定义一种运算，其规则是：，则 ． 【答案】 【分析】本题考查有理数的混合运算，结合已知条件列得正确的算式是解题的关键． 根据题意列式计算即可． 【详解】解：， ， 故答案为：． 9. 如图，按程序框图中的顺序计算，当输入的初始值x为32时，则输出的最后结果为 ． 【答案】128 【分析】本题考查程序流程图与有理数的运算，把32代入流程图，列出算式进行计算，直至最后结果，即可． 【详解】解：， ，输出； 故答案为：128． 10. 计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查有理数混合运算，涉及有理数加法运算律、有理数乘法运算律及有理数加减乘除混合运算等知识，熟练掌握相关运算法则及运算律是解决问题的关键． （1）利用有理数加法运算的交换律与结合律恒等变形，再由有理数加法运算法则求解即可得到答案； （2）先将除法转化成乘法，再由有理数乘法分配律展开，最后由有理数加减运算法则求解即可得到答案． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 12. 计算：． 【答案】 【分析】本题考查有理数的混合运算，先计算乘法，同时计算括号内，然后计算除法，最后计算减法即可． 【详解】解：原式 ． 13. 学习有理数的乘法后，老师给同学们这样一道题目： 计算：，看谁算的又快又对，有两位同学的解法如下： 聪聪：原式． 明明：原式． (1)上面的解法对你有何启发，你认为还有更好的方法吗？如果有，请把它写出来； (2)用你认为最合适的方法计算：． 【答案】(1)有，见解析 (2) 【分析】本题主要考查有理数的乘除混合运算，乘法分配律的运用，掌握乘法分配律的运用是解题的关键． （1）将原式变形为，运用乘法分配律计算即可； （2）将原式变形为，运用乘法分配律计算即可． 【详解】（1）解：有，如下 ； （2）解： ． 14. 已知有理数，我们规定是的“福倒数”，如：3的福倒数是，的福倒数是．如果，是的福倒数，是的福倒数，是的福倒数，⋯，依此类推，解答下列问题： (1)计算：________，_______，________； (2)求的值． 【答案】(1)，， (2) 【分析】本题考查了与有理数运算相关的规律题型，找到规律是解题的关键． （1）根据福倒数的定义求出，，； （2）根据（1）的结论，可发现每3个数一个循环，且3个数的和为，依照规律即可求解． 【详解】（1）解：根据题意得，， ， ， ； （2）解：∵，，，，…， 根据以上数据发现：3个数一个循环， 3个数的和为：， ∵， ∴第2025个数是， ∴. 15. 观察下列等式，，，… 将以上三个等式两边分别相加得：． (1)猜想并写出：______； (2)直接写出下列各式的计算结果：______； (3)探究并计算：． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【分析】（1）根据题干所给方法可直接进行求解； （2）根据题干所给方法及（1）中的结论可进行求解； （3）根据（1）中所给结论可进行求解． 本题主要考查有理数的乘法运算及加减运算，熟练掌握有理数的运算是解题的关键． 【详解】（1）； （2） ； （3） ． 考点07 有理数的乘方 1．的值是（　　） A． B．49 C． D．14 【答案】A 【分析】本题考查有理数的乘方，先求出，继而可得出答案． 【详解】解：∵， ∴ 故选：A． 2．下列各组数中，结果相等的是（　　） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】D 【分析】本题重点考查有理数的乘方运算，准确理解乘方的概念，特别是底数和指数的处理以及符号的确定是解题的关键． 分别计算各选项的值，判断即可． 【详解】对于A，，所以，故A错误； 对于B，，所以，故B错误； 对于C，，所以，故C错误； 对于D，，所以，故D正确． 故选：D． 3．下列各式：①；②；③；④．其结果为正数的有（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】D 【分析】本题考查了化简多重符号、绝对值，有理数的乘方． 先化简多重符号、绝对值，计算有理数的乘方，再判断即可． 【详解】在①；②；③；④中，其结果为正数的有①共1个． 故选D． 4．在数学课上，老师让甲、乙、丙、丁四名同学分别做了一道有理数计算题，你认为做对的同学是（    ） 甲：    乙： 丙：    丁： A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】B 【分析】本题考查有理数含乘方的混合运算，按照有理数的运算顺序与法则依次进行判断即可． 【详解】解：，故甲计算错误； ，故乙计算正确； ，故丙计算错误； ，故丁计算错误； 故选：B． 5. 我国古代《易经》一书中记载，远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳计数”，一位母亲在从右到左依次排列的绳子上打结，采取满七进一的方式，用来记录孩子自出生后的天数．例如图1表示的是孩子出生后30天时打绳结的情况（因为：），那么由图2可知，孩子出生后的天数是（    ）天 A．514 B．511 C．513 D．510 【答案】D 【分析】本题考查了有理数的混合运算，类比于现在我们的十进制“满十进一”表示数的方法，用7的乘方与该数位上数字的积的和，列式计算即可． 【详解】解：； 故选：D． 6. 计算： 【答案】 【分析】本题考查了有理数的混合运算． 先计算乘方，再计算乘除，最后计算加减即可． 【详解】 ． 7. 计算：． 【答案】0 【分析】本题考查含乘方的有理数的混合运算，根据先乘方、再乘除，最后加减，有括号的先算括号内的运算顺序求解即可． 【详解】解： ． 8. 计算： 【答案】 【分析】本题考查了有理数的混合运算，先计算乘方，再计算乘除，最后计算加减，即可求解． 【详解】解： ． 9. 记：，，，…，． (1)计算的值； (2)计算的值； (3)猜想与的关系． 【答案】(1) (2)0 (3)互为相反数 【分析】（1）根据已知算式即可求解； （2）观察已知算式发现规律即可求值； （3）分两种情况讨论，当为奇数和偶数时，为偶数和奇数，进而可以说明． 【详解】（1）解：（1）， ， ， ， 的值为：； （2）的值为： ； （3）与的关系：互为相反数的关系．理由如下： ， ， 当为奇数时，为偶数， 与互为相反数； 当为偶数时，为奇数， 与互为相反数； 所以与的关系：互为相反数的关系． 10. 观察下面三行数： 4 16 64 …① 2 14 62 ② 3 9 33 …③ (1)第①行第7个数是 ，第①行第n个数是 ； (2)第②行第n个数是 ，第③行第n个数是 ． (3)取每一行的第10个数，计算这三个数的和． 【答案】(1)， (2)， (3)1023 【分析】本题主要考查代数式及有理数的混合运算，熟练掌握代数式及有理数的混合运算的解法是解题的关键． （1）根据题意得到数字的规律，然后进行求解即可； （2）由题意易得第二行与第一行对应的数字之间相差2，第三行与第一行对应的数字之间的关系是：第一行数字的相反数与1的和等于第三行的数，由此规律可进行求解； （3）根据题意及（2）直接进行求解即可． 【详解】（1）解：根据题意得：第①行第7个数是，第①行第n个数是； 故答案为：，； （2）解：根据题意得：第②行的第n个数是第①行的第n个数减去2， 故第②行的第n个数是：； 第③行的第n个数是第①行的第n个数的相反数与1的和， 故第③行的第n个数是； 故答案为：，； （3）解：根据题意得：第①行第10个数是， 第②行的第10个数是：， 第③行的第10个数是， 11. 综合实践 活动目标 理解不同进位制的数之间的转换及应用 素材1 进位制是人们为了记数和运算方便而约定的记数系统．约定逢十进一就是十进制，逢二进一就是二进制，也就是说“逢几进一”就是几进制，几进制的基数就是几． 十进制数，记作1024； 八进制数，记作； 五进制数，记作； 二进制数，记作； n（n≥2，且n为整数）进制数转换成与其相等的十进制数，只需要将n进制数的每个数字，依次乘n的相应次幂相加，就可得到与它相等的十进制数．如：八进制数转换十进制数为：． 素材2 将十进制数转换为与其相等的n进制数，用十进制的数除以n，然后将商继续除以n，直到商为0，将各步所得的余数按照逆序排列即可．例如：                              解决问题 任务1 （1）不同进位制的数之间的转换； ①十进制数______；②十进制数______； ③十进制数 （2）现有三进制数，二进制数，试比较a，b的大小，通过运算说明． 任务2 受任务1（2）的启发，你认为如何将一个二进制数转换为五进制数呢？请尝试解决． 【答案】（1）①；②；③；（2）；任务2； 【分析】本题考查了数的进制，含乘方的有理数的混合运算，理解题意，熟练掌握运算法则是解此题的关键． （1）①根据题意进行计算即可得解；②根据题意进行计算即可得解；③根据题意进行计算即可得解； （2）分别求出、的值，比较即可得解； 任务2：根据二进制的算法计算转化为十进制数，再转化为五进制数即可得解． 【详解】解：（1）① ② 故答案为：①；②． ③短除法将转换为三进制数： 所以， 故答案为：． （2）将和转换为十进制： 因此，，，所以 首先，将二进制数转换为十进制数： 然后，使用短除法将转换为五进制数： 从下到上的余数顺序为，所以 12. 数形结合是解决数学问题的一种重要的思想方法． (1)《庄子·天下》中有这样一段话：“一尺之棰，日取其半，万世不竭．”意思是一尺长的棍棒，每日取它的一半，永远也截不完，如果将一根一尺长的棍棒看成单位“1”，每天截取一半，截取5次，则截取的棍棒总长度是多少？ (2)如图1所示的是边长为1的正方形，将它剪掉一半，则；如图2，在图1的基础上，将阴影部分再裁剪掉一半，则；以此类推，如图3，；…… ①__________． ②应用：计算． 【答案】(1) (2)①；② 【分析】本题考查了数字类规律探索、有理数的乘方运算，正确归纳类推出一般规律是解题关键． （1）根据题意列出运算式子，计算有理数的乘方与加法即可得； （2）①根据前面三个等式，归纳类推出一般规律即可得； ②将式子变形为，再利用（2）①的结论计算即可得． 【详解】（1）解： ， 答：截取的棍棒总长度是． （2）解：①， ， ， 归纳类推得：， 故答案为：； ② ． 2 / 12 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $