专题03 有理数15大题型71题（期中专项训练）六年级数学上学期新教材沪教版五四制

专题03 有理数 基础·固本强基 题型1 正数与负数、有理数的分类 题型2 数轴 题型3 相反数 题型4 绝对值 题型5 有理数大小比较 提升·进阶突破 题型6 有理数的加法与减法 题型7 有理数的乘法与除法 题型8 有理数的乘方 题型9 有理数的混合运算 题型10 运算律与简便运算 拔高·压轴破难 题型11 绝对值的几何意义与分类讨论 题型12 数轴上的动点问题 题型13 运算规律探究 题型14 定义新运算 题型15 综合应用与压轴（非负性、最值） 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 基础·固本强基 题型1 正数与负数、有理数的分类（共7小题） 【步骤】① 判断一个数能否写成整数或分数（整数/分数）的形式；② 依据“按定义”或“按符号”标准归类；③ 重点核对 0、负分数、循环小数、π 的归属。 【易错】 把 0 归入正数或负数——0 是整数，既非正也非负。 认为“小数都不是分数”——有限小数、无限循环小数均可化为分数，属于有理数。 把 π等无理数当有理数。 混淆“非负数（≥0）”与“正数（>0）”、“非正整数（≤0）”与“负整数”。 1．（25-26六年级上·上海青浦·期中）在，，，，，，中，有理数有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【详解】解： 是整数，是有理数； 是无限不循环小数，是无理数； 是分数，是有理数； 是有限小数，是有理数； 是循环小数，是有理数； 是整数，是有理数； 无限不循环小数，是无理数； 所以有理数有个； 故选：C． 2．（25-26六年级上·上海黄浦·期中）关于“0”，下列说法错误的是（    ） A．是整数，也是有理数 B．既不是正数，也不是负数 C．是整数，也是自然数 D．既不是自然数，也不是有理数 【答案】D 【详解】解：A. 0是整数，也是有理数，故原选项正确，不合题意； B. 0既不是正数，也不是负数，故原选项正确，不合题意； C. 0是整数，也是自然数故原选项正确，不合题意； D. 0既是自然数，也是有理数，故原选项错误，符合题意﹒ 故选：D 3．（24-25六年级上·上海金山·期中）在有理数、、、、、、中，负数有（    ）个 A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：在有理数、、、、、、中，负数有个， 故选：． 4．（25-26六年级上·上海·期中）在有理数、、、、、、、中，非负数有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】B 【详解】解：∵ 非负数是正数或零， ∴ 在给定有理数中，非负数的有：（正数）、（正数）、（正数）、（零），共个； 其他数（、、、）均为负数， ∴非负数有个， 故答案为：B． 5．（25-26六年级上·上海·期中）微信具有“收款”和“付款”两项功能，若收款50元，记作元，那么付款元，可记作___________元． 【答案】 【详解】解：由题意，规定收款元记作元，即收款用正数表示， ∴ 与收款意义相反的付款应用负数表示， ∴ 付款元记作元． 6．（25-26六年级上·上海崇明·期中）如果规定逆时针旋转记作，那么顺时针旋转记作_______． 【答案】 【详解】解：由于逆时针旋转记作，因此顺时针旋转记作． 故答案为：． 7．（25-26六年级上·上海奉贤·期中）规定：表示向右移动3记作，则表示向左移动4记作_______________． 【答案】 【详解】解：∵“正”和“负”相对， ∴表示向右移动3记作，则（←4）表示向左移动4记作． 故答案为：． 题型2 数轴（共4小题） 【模型】数轴三要素：原点、正方向、单位长度。数轴上右边的数总比左边的大；每一个有理数都可用数轴上的一个点表示。 【步骤】① 画数轴：定原点（标 O）、画正方向箭头、定单位长度；② 定点：把数对应到数轴上；③ 读点：根据点的位置读数、比大小。 【易错】三要素缺一不可，正方向通常向右。 单位长度必须统一，原点不一定在数轴正中间。 一个有理数对应数轴上一个点；但数轴上的点也可以表示无理数。 8．（24-25六年级上·上海·期中）如图，数轴上的点表示的数是______． 【答案】 【详解】解：观察数轴可知，点A在1和2之间，1到2这个区间被平均分成了3份，点A到1的距离占了其中的2份， 那么点A到1的距离占1到2区间长度的比例为， 因此，点表示的数是． 9．（25-26六年级上·上海·期中）在数轴上，点C到表示的点距离为2个单位长度，且点C在表示的点的左侧，那么点C表示的数为_______． 【答案】 【详解】解：设点C表示的数为x，根据题意，点C到的距离为2， 即， 解得或， 又因为点C在的左侧， 所以． 故答案为：． 10．（25-26六年级上·上海闵行·期中）已知点表示2，点表示，点到原点的距离等于点和点到原点距离之和的一半，那么点表示的数为__________． 【答案】或 【详解】解：∵点A表示的数为2，点B表示的数为， ∴点A和点B到原点距离之和的一半为， ∴点P到原点的距离为， 故点P表示的数为或． 故答案为：或． 11．（25-26六年级上·上海杨浦·期中）（1）在数轴上分别画出点、、、．点表示的数是，点表示的数是，点表示的数是，点表示的数是． （2）数轴上点表示的数是，点距离点为个单位长度，求点表示的数． 【详解】（1）解：如图： （2）解：数轴上点表示的数是，点距离点为个单位长度， 则点表示的数是或． 题型3 相反数（共4小题） 【模型】只有符号不同的两个数互为相反数，a 与 −a 互为相反数；0 的相反数是 0；相反数是成对出现的。 【步骤】① 求 a 的相反数 → 写成 −a；② 化简多重符号：数一数负号的个数，负号个数为奇数结果取负，为偶数结果取正。 【易错】相反数是两个数的关系，不能只写一个数。 0 的相反数是 0，不要漏。 化简多重符号时数错负号个数，如 −(−3)=3，−(−(−3))=−3。 12．（25-26六年级上·上海奉贤·期中）的相反数是____________． 【答案】 【详解】的相反数是． 故答案为：． 13．（24-25六年级上·上海·期中）的相反数是______． 【答案】 【详解】解：的相反数是． 故答案为：． 14．（25-26六年级上·上海黄浦·期中）化简：______． 【答案】 【详解】解：﹒ 故答案为： 15．（24-25六年级上·上海宝山·期中）在数轴上分别画出点，并用字母表示．A点表示的数为；B点表示的数为2的相反数：C点表示的数为． 【答案】数轴上表示为： 【详解】解：∵A点表示的数为，B点表示的数为2的相反数，C点表示的数为， ∴A是数，B是数，C点表示的数为，进而可在数轴上表示． 题型4 绝对值（共5小题） 【模型】|a| = a（当 a≥0 时），|a| = −a（当 a<0 时）。绝对值表示数轴上点到原点的距离，一定是非负数：|a|≥0。 【步骤】① 判断 a 的正负；② 正数和 0 直接取本身，负数取它的相反数。 【易错】由 |a|=a 只能推出 a≥0，不能写成 a>0。 当 a>0 时，|x|=a 的解有两个：x=a 或 x=−a。 |a| 不可能为负数，任何数的绝对值都 ≥0。 16．（25-26六年级上·上海静安·期中）下列说法正确的是（　　） A．绝对值不大于3的整数有6个，分别是 B．若，则必为负数 C．任意有理数的绝对值都是非负数 D．若，则，反之，若，则 【答案】C 【详解】解：A：绝对值不大于3的整数包括，共7个，∴ A错误； B：若，则，a可以是0或负数，不一定是负数，∴ B错误； C：任意有理数的绝对值都是非负数，∴ C正确； D：若，则，但反之若，则，∴ D错误； 故选：C． 17．（25-26六年级上·上海·期中）计算：___________． 【答案】 【详解】解：． 18．（25-26六年级上·上海·期中）如果数轴上的点Q表示的有理数是，那么点Q到原点的距离为_______个单位长度 【答案】6 【详解】解：， 故答案为：6． 19．（25-26六年级上·上海宝山·期中）在数轴上，到原点的距离等于2.7个单位长度的点表示的有理数是____． 【答案】 【详解】解：设该点表示的有理数为x， 则，解得或． 故答案为：． 20．（25-26六年级上·上海青浦·期中）若，则_____．（填写“”、“”、“”或“”）． 【答案】< 【详解】解：因为 ，且， 当 时，，不等式 不成立； 当 时，，不等式成立； 因此； 故答案为 ． 题型5 有理数大小比较（共6小题） 【模型】① 数轴法：右边的数总比左边的大；② 法则法：正数 > 0 > 负数；两个负数比较，绝对值大的反而小。 【步骤】① 先按符号分档：正数最大、0 居中、负数最小；② 两个负数比较时，先求绝对值再比较，绝对值大的反而小。 【易错】 比较两个负数时，误按“数值大的就大”——实际绝对值大的反而小。 含有绝对值、相反数的式子，先化简再比较。 21．（25-26六年级上·上海青浦·期中）比较大小：__________（用“”“”或“”表示）． 【答案】 【详解】解：∵，，， ∴ 故答案为： 22．（25-26六年级上·上海浦东新·期中）比较大小：___（填“”、“”或“”）． 【答案】 【详解】解：，， 因为， 所以，即； 故答案为： 23．（25-26六年级上·上海·期中）比较大小：_______．（填“”、“”或“”） 【答案】 【详解】解：∵，， ∴； 故答案为： 24．（25-26六年级上·上海宝山·期中）某乳品公司生产盒装牛奶，根据质量要求，每盒牛奶的净含量可以有升的误差．现抽查6盒牛奶，超过规定净含量的升数记作正数，不足规定净含量的升数记作负数．检查结果如下表所示，那么其中净含量最接近规定的盒装牛奶编号是____． 1 2 3 4 5 6 【答案】6 【详解】解：，，，，，， ∵， ∴净含量最接近规定的盒装牛奶编号是6， 故答案为：6． 25．（25-26六年级上·上海嘉定·期中）如图，数轴上的点表示的数是__________；点表示的数是__________（填带分数）；在数轴上分别标出、所对应的点、的位置． 将这四个数从大到小排列为__________（直接写出答案）． 【详解】解：观察数轴可知，数轴上的点表示的数是；点表示的数是； 在数轴上分别标出、所对应的点、的位置如图所示： 将这四个数从大到小排列为 ． 26．（25-26六年级上·上海黄浦·期中）画出数轴，在数轴上表示下列各数，并用“＜”将它们连接起来． ，0，，． 【答案】数轴表示如下： ∴ 【详解】解：，， 提升·进阶突破 题型6 有理数的加法与减法（共5小题） 【模型】加法法则：同号相加，取相同的符号，并把绝对值相加；异号相加，取绝对值较大的数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；互为相反数的两个数相加得 0。 减法法则：a−b = a+(−b)，减去一个数等于加上这个数的相反数。 省略加号的和式：如 3−5+7 表示 3、−5、+7 的和。 【步骤】① 去括号、统一成加法；② 用交换律、结合律把同号或能凑整的数分组；③ 按法则逐组计算。 【易错】去括号变号：如 −(a−b) = −a+b。 交换位置时符号要跟着数一起走，如 3−5 不能写成 5−3。 加减混合时漏掉括号内的符号。 27．（26-27六年级上·上海·期中）计算：． 【答案】 【详解】解： ． 28．（25-26六年级上·上海奉贤·期中）计算： 【答案】 【详解】解： ． 29．（25-26六年级上·上海闵行·期中）计算：． 【答案】 【详解】 ． 30．（25-26六年级上·上海·期中）计算： 【答案】 【详解】解：原式 . 31．（25-26六年级上·上海杨浦·期中）下面是小明求解计算题的过程． 解：     ①     ②     ③     ④     ⑤ 他的解法是否正确？如果不正确，他从第______步开始错了，并从这一步开始加以改正． 【答案】① 【详解】解：他的解法是不正确的，从第①步开始出现错误，正确的解答过程为： ． 故答案为：①． 题型7 有理数的乘法与除法（共4小题） 【模型】符号法则：两数相乘（除），同号得正、异号得负，并把绝对值相乘（除）。 多个非零因数相乘：负因数的个数为奇数，积为负；为偶数，积为正；因数中有 0，积为 0。 除法：除以一个不为 0 的数，等于乘以它的倒数；互为倒数的两个数乘积为 1。 【步骤】① 先确定积（商）的符号；② 约分、化简；③ 除法转乘法（除号变乘号，除数取倒数）。 【易错】 倒数和相反数混淆：−2 的倒数是 −，不是 2。 0 没有倒数；0 不能作除数。 多个因数时符号判断出错。 32．（25-26六年级上·上海金山·期中）计算： 【答案】 【详解】解： ． 33．（25-26六年级上·上海青浦·期中）计算： 【答案】 【详解】解： ． 34．（25-26六年级上·上海青浦·期中）计算：． 【答案】 【详解】解： ． 35．（25-26六年级上·上海·期中）计算： 【答案】 【详解】解：原式． 题型8 有理数的乘方（共6小题） 【模型】an 表示 n 个 a 相乘，读作 a 的 n 次幂；底数是 a，指数是 n。负数的偶次幂为正、奇次幂为负；0 的任何正整数次幂都是 0。 【步骤】① 分清底数与指数；② 看底数符号与指数奇偶确定符号；③ 计算数值。 【易错】 (−2)4 = 16，而 −24 = −16——底数不同，结果相反。 把指数当底数相乘，如 23 误算成 2×3=6。 0 的正整数次幂为 0。 36．（25-26六年级上·上海青浦·期中）下列各组式子中，结果相等的是（    ）． A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】A 【详解】解：A、，，故此选项符合题意； B、，，故此选项不符合题意； C、，，故此选项不符合题意； D、，故此选项不符合题意． 故选：A． 37．（25-26六年级上·上海虹口·期中）与乘法运算的结果相同的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：， A．，故A不符合题意； B．，故B符合题意； C．，故C不符合题意； D．，故D不符合题意． 故选：B． 38．（25-26六年级上·上海青浦·期中）已知：，，，则a、b、c的大小关系正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：，，， ∵， ∴， ∴， 故选：C． 39．（25-26六年级上·上海青浦·期中）计算：__________． 【答案】 【详解】解： 故答案为：． 40．（25-26六年级上·上海青浦·期中）计算：______． 【答案】8 【详解】解：， 故答案为：． 41．（25-26六年级上·上海虹口·期中）若，则__________． 【答案】 【详解】∵， ∴，， 解得， 故答案为：． 题型9 有理数的混合运算（共4小题） 【模型】运算顺序：先乘方，再乘除，后加减；有括号先算括号内的；同级运算从左到右依次进行。 【步骤】① 看清括号与运算层级；② 先算乘方；③ 再算乘除；④ 最后算加减。 【易错】违反运算顺序（如先加后乘）。 除法没有分配律，如 (a+b)÷c 不能拆成 a÷c+b÷c 的“错误用法”需谨慎（正确时需分子每项都除以分母）。 负号与括号处理失误。 42．（25-26六年级上·上海·期中）计算： 【答案】 【详解】解：原式 ． 43．（26-27六年级上·上海·期中）计算： 【答案】 【详解】解： ． 44．（25-26六年级上·上海金山·期中）计算： 【答案】 【详解】解： ． 45．（25-26六年级上·上海浦东新·期中）计算： 【答案】 【详解】解： ． 题型10 运算律与简便运算（共5小题） 【模型】加法交换律、结合律；乘法交换律、结合律、分配律 a(b+c)=ab+ac。简便计算常利用“互为相反数抵消、同号合并、凑整、约分”。 【步骤】① 观察式子能否凑整、抵消或约分；② 用交换、结合律重新分组；③ 用分配律去括号（注意每一项）。 【易错】用分配律时漏乘某一项。 去括号时符号处理错误。 为凑整而盲目变形。 46．（25-26六年级上·上海·期中）计算： 【答案】 【详解】解：， ， ， ， ． 47．（25-26六年级上·上海浦东新·期中）计算：． 【答案】 【详解】解： ． 48．（25-26六年级上·上海浦东新·期中）计算：． 【答案】 【详解】解： ． 49．（25-26六年级上·上海浦东新·期中）计算（新教材）． (1) (2) (3) 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）解： ； （2） ； （3） ． 50．（25-26六年级上·上海虹口·期中）阅读下面材料： 计算：． 解法①： 原式 解法②： 原式． 解法③： 先计算：． 所以，原式 (1)上述三种解法得出的结果不同，肯定有解法是错误的，你认为解法__________是错误的（填序号）； (2)请你根据材料尝试计算：． 【答案】(1)① (2) 【详解】（1）解：除法不满足分配律因此解法①是错误的． 故答案为：①； （2）解：先计算： 原式 ． 拔高·压轴破难 题型11 绝对值的几何意义与分类讨论（共3小题） 【模型】|x−a| 表示数轴上点 x 到点 a 的距离。当 b>0 时，|x−a|=b 的解为 x=a+b 或 x=a−b。 【步骤】① 把绝对值式理解为距离；② 画数轴定位；③ 在 a 的两侧分情况讨论，得出多个解。 【易错】漏掉另一侧的解——一个距离对应数轴上左右两个点。 含字母参数时不讨论其正负。 直接把 |x−a| 化简成 x−a（未考虑符号）。 51．（25-26七年级上·江苏无锡·阶段检测）如图，数轴上点、表示的数分别是、，；为数轴上一点，其表示的数为，当点在数轴上移动时，若 的值始终保持不变，则当时，的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.4 【详解】解： 的值始终保持不变， ， ， 又， ， ． 故选：A． 52．（25-26六年级上·上海·期末）的最小值为______． 【答案】 【详解】解：设．当时，取得最小值． ． 故答案为． 53．（25-26六年级上·上海·期中）某检修小组乘一辆检修车沿铁路检修，规定向东走为正，向西走为负．我们可以用如图数轴来表示，以向东为正方向，小组的出发地看作原点．、、、是数轴上四个整数点，且线段、、的长度都是10，记作：，表示两地之间的距离都是10千米．而点在与之间，点在与之间，点、分别在数轴上对应数、，． (1)、、、四个点中，可能作为出发地（数轴的原点）的是______． (2)某天检修完毕时，行走记录如下（单位：千米）： ．收工时，距出发地有多远？在出发地的东面还是西面？ (3)在（2）的条件下，若以为出发点，出发时油箱剩余油量40升，点为加油站，检修车每千米耗油0.5升，收工后发现油量不足，立即赶往处加油，问：检修车能在油量耗尽前安全赶到加油站吗？ 【答案】(1)A、D (2)距出发地30米，在出发地的东面 (3)能 【详解】（1）解：若A为原点，，当时，， 同理D也可为原点， 若B为原点，则，即B不可能为原点， 同理C也不可能为原点， 故可能作为出发地（数轴的原点）的是A、D； 故答案为：A、D； （2）解：， 故收工时，距出发地30米，在出发地的东面； （3）解：检修走的总路程为， 总耗油（升）， 剩余油量（升）， 收工时，在A的东面30米D处，千米， 从D到B需耗油（升）， ∵， ∴检修车能在油量耗尽前安全赶到加油站． 题型12 数轴上的动点问题（共5小题） 【模型】动点坐标 = 起点坐标 ± 速度 × 时间（向右取 +，向左取 −）；两点间距离 = 两坐标差的绝对值。相遇问题、追及问题均列方程求解。 【步骤】① 设运动时间为 t；② 用 t 表示各动点坐标；③ 根据距离（相遇、间距）关系列方程；④ 解方程（注意分类讨论）。 【易错】方向判断错误导致加减颠倒。 未分相遇前、相遇后两种情况讨论。 距离用绝对值表示时漏分类。 54．（25-26六年级上·上海·期中）如图，点､､是数轴上排列的三个点（数轴的单位长度是），对应刻度尺上的数分别､和，移动刻度尺，当点在数轴上表示的数为时，数轴上点所对应的数为_______． 【答案】0.6 【详解】解：∵数轴上点B和点C对应刻度尺上的数分别为1.8，5.4，且数轴的单位长度是， ∴点B和点C的距离为， ∴当点在数轴上表示的数为时，数轴上点所对应的数为， 故答案为：0.6． 55．（25-26六年级上·上海·期中）如图，边长是的正方形放在数轴上，点与原点重合，点与表示的点重合，将正方形在数轴上向右滚动，问 (1)点第一次落在数轴上时，点所表示的数是__________． (2)点第五次落在数轴上时，点所表示的数是__________． (3)点落在（2）题表示的数时，以点、、三点为顶点的三角形面积是____________． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）解：∵正方形的边长为，点与原点重合， ∴点第一次落在数轴上时，点所表示的数是， 故答案为：； （2）解：∵正方形的边长为，点与原点重合，点第一次落在数轴上时，点所表示的数是， ∴点第五次落在数轴上时，点所表示的数是， 故答案为：； （3）解：由（2）知点第五次落在数轴上时，点所表示的数是， 此时，点在点的正上方，点所表示的数是，即， ∴以点、、三点为顶点的三角形面积为， 故答案为：． 56．（25-26六年级上·上海普陀·期中）如图1，数轴（原点未画出）上的点A、B、C所对应的数分别为a、b、c．已知是最小的素数，是的相反数，是合数中最小的奇数． (1)写出和的值： ， ； (2)如图2，为数轴上一点，且在点的右侧，将射线绕点旋转直至与射线重合，此时点A、B落在点处，当点与点重合时，点所对应的数为 ，点所对应的数为 ； (3)点M、N分别从点B、C同时出发，向右移动，速度分别为每秒个单位长度和每秒个单位长度，当点追上点时，运动停止． ①求点从出发到追上点所需时间； ②求运动停止时，点到原点的距离． 【答案】(1)， (2)，5 (3)①18秒；②48 【详解】（1）解：∵已知是最小的素数，是的相反数，是合数中最小的奇数 ∴， 故答案为：，； （2）解：由旋转得，， ∴点所对应的数为 ∴点所对应的数为， 故答案为：，5； （3）解：①两点之间的距离为， 点M从出发到追上点N所需时间为（秒）； ②点M到原点的距离为． 57．（24-25六年级上·上海金山·期中）综合应用： (1)如图1，已知在数轴上有一个表示数a的点M，点M在数轴上移动3个单位长度后得到点N，且点N表示的数是5，那么a的值是 ； (2)如图2，有一根木尺放置在数轴上，它的两个顶点，点T、点S分别落在数轴上的A、B两点处．将木尺在数轴上水平移动，当点T移动到点B时，点S所对应的数为24；当点S移动到点A时，点T所对应的数为6（单位：）．利用所学知识可以求出点A表示的数为 ，点B表示的数为 ； (3)借助上面的方法解决问题：一天，小明去问表姐的年龄，表姐说：“我若是你现在这么大，你才8岁；你若是我现在这么大，我就20岁啦．”小明纳闷，表姐今年到底是多少岁？请你利用图3仿照第（2）小题画出示意图，求出小明和表姐的年龄，并写出合理的计算过程． 【详解】（1）解：当点M向右移动时，； 当点M向左移动时，， 综上，a的值为：2或8； （2）解：由题意可知：点到24的距离，到B的距离，到6的距离相等， ∴， ∴点A表示的数为，点B表示的数为； (3)如图， 小明与表姐的年龄差为： （岁）， ∴表姐的年龄为（岁），小明的年龄为（岁）， 答：表姐的年龄为16岁，小明的年龄为12岁． 58．（25-26六年级上·上海·期中）阅读下面的材料并解答问题： 在数轴上，点表示数，点表示数，点表示数，且点到点的距离记为线段的长，点在点左侧，点在点左侧，线段的长可以用右边的数减去左边的数表示，即，若，是最小的正整数，点到原点的距离是5．则： (1)_____． (2)若将数轴折叠，使得与点重合： ①点与数_____表示的点重合； ②若数轴上、两点之间的距离为2024（在的左侧），且、两点经折叠后重合，则点表示的数是_____． (3)点、、开始在数轴上运动，点以每秒2个单位长度的速度向左运动，同时点和点分别以每秒1个单位长度和4个单位长度的速度向右运动，设运动时间为秒，试探索：的值是否随着时间的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请直接写出这个值． 【答案】(1) (2)①；② (3)的值不随着时间的变化而改变，这个值是2 【详解】（1）是最小的正整数， ， 点在点左侧，点到原点的距离是5 ， ， 故答案为：； （2）①，，折叠后点与点重合， 折痕点所表示的数是， 设与点重合的点表示的数为， ， 则，即， 点与数表示的点重合， 故答案为：； ②、两点经折叠后重合， 的中点也是， 数轴上、两点之间的距离为2024（在的左侧）， 设点表示的数为，则点表示的数为， ，即， 点表示的数为， 故答案为：； （3）点以每秒2个单位长度的速度向左运动，同时点和点分别以每秒1个单位长度和4个单位长度的速度向右运动，，，， 运动秒后，点所表示的数是，点所表示的数是，点所表示的数是， ，， ， 的值不随着时间的变化而改变，这个值是2． 题型13 运算规律探究（共4小题） 【模型】常见规律：等差、等比、周期（如幂的末位数字）、裂项相消 【步骤】① 写出前几项，找相邻项关系或周期；② 用 n 表示第 n 项；③ 代入求和或求具体项。 【易错】n 从 1 还是从 0 开始取，影响通项公式。 符号交替（含 (−1)n）时判断错。 裂项时中间项抵消出错。 59．（24-25六年级上·上海·期中）我们平常用的数是十进制数，如，表示十进制的数要用10个数码（又叫数字）：0，1，2，3，4，5，6，7，8，9在电子数字计算机中用的是二进制，只要两个数码：0和1．如二进制中等于十进制的数5，等于十进制中的数23，那么二进制中的1011等于十进制的数________________． 【答案】11 【详解】解：二进制数1011等于十进制的数为， 故答案为：11． 60．（25-26六年级上·上海·期中）二维码在日常生活中应用广泛，使用若干个与二进制相对应的几何图形来表示数值（黑色代表1，白色代表0）．如图1，是小明同学准考证号的二维码的简易编码，其中第一行代表二进制的数字，转换成十进制数为；同理第二行至第五行代表二进制的数字分别转换成十进制的两位数，依次组合到一起就是小明同学的准考证号2412072813． (1)图2是小丽同学的准考证号的二维码的简易编码，则小丽同学的准考证号为：___________________； (2)二维码不仅能储存数字信息，还能通过代码将数字信息转换成字母语言信息． 将大写英文26个字母作为明码，它对应数字暗码如下表： 明码 A B C D E F G H I J K L M 暗码 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 明码 N O P Q R S T U V W X Y Z 暗码 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 二维码的简易编码所对应的数值小于27，则设的值为二维码的简易编码所对应暗码，如图1中第一行所对应的二进制的数字转换成十进制数24，则暗码为，则对应的明码为“”．请在图3中画出一个明码为“”的的二维码． 【详解】（1）解：根据黑色代表1，白色代表0， 转换成十进制数为； 转换成十进制数为； 转换成十进制数为； 转换成十进制数为； 转换成十进制数为； 小丽同学的准考证号为：2412072813； (2)W 的暗码是23，对应的数值m为4，用二进制表示为； F的暗码是6，对应的数值m为21，用二进制表示为； L 的暗码是12，对应的数值m为15，用二进制表示为； M的暗码是13，对应的数值m为14，用二进制表示为； S的暗码是19，对应的数值m为8，用二进制表示为； 二维码如下图所示： 61．（24-25六年级上·上海·期中）生活中常用的十进制是用这十个数字来表示数，满十进一，例：；计算机常用二进制来表示字符代码，它是用0和1两个数来表示数，满二进一，例：二进制数10010转化为十进制数：；其他进制也有类似的算法…… (1)根据以上信息，将二进制数“101110”转化为十进制的数是______； (2)按照上面的格式将十进制数“4372”转化为八进制数是______； (3)在我国远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳计数”，如图所示是远古时间一位母亲记录孩子出生后的天数，在从右向左依次排列的不同绳子上打结，满五进一，根据图示，则孩子已经出生的天数是______天． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）解：将二进制数“10110”转化为十进制数是， 故答案为：； （2）解： ， 则将十进制数“4372”转化为八进制数为：； （3）解：因为从右向左绳结的数量依次为2，3，1， 所以孩子已经出生的天数为天． 62．（24-25六年级上·上海金山·期中）阅读材料一：等式性质：等式两边加（或减）同一个数，等式仍成立． 等式性质：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为的数，等式仍成立． 阅读材料二：求的值， 解：令①， 等式两边同时乘以，得②， 由②式①式得：， 从而，即．仿照以上推理，计算： (1) (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：令①， 等式两边同时乘以，得②， 由②式①式得：， 即， ∴， ∴； （2）解：， 令①， 等式两边同时乘以，得②， 由①式②式得：， 即， ∴， ∴． 题型14 定义新运算（共6小题） 【模型】按题目给出的新运算规则“公式”代入计算，运算顺序仍遵循常规运算法则。 【步骤】① 识别新运算符号与规则；② 把数代入对应位置；③ 按顺序（先内后外）计算。 【易错】代入顺序颠倒（如 a*b 把 b 当 a）。 嵌套运算未先算括号内的。 63．（25-26六年级上·上海·期中）为有理数，定义运算符号：当时，；当时，；当时，．根据这种运算，则______． 【答案】0 【详解】解：； 由于，故； 则； 由于，故． 故答案为：0． 64．（24-25六年级上·上海浦东新·期中）规定一种新运算“*”：，，，，，，据“*”运算的法则，计算： __________． 【答案】 【详解】解： ． 故答案为：． 65．（24-25六年级上·上海浦东新·期中）定义：对于一个有理数，我们把称为x的有缘数.若，则若，则.计算的结果为______. 【答案】3 【详解】解：∵时，，时，， ∴． 故答案为：3． 66．（24-25六年级上·上海奉贤·期中）有一种新定义运算：，则_______． 【答案】 【详解】解：， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 67．（24-25六年级上·上海松江·期中）规定：求若干个相同的有理数（均不等于0）的除法运算叫做除方，如，等．类比有理数的乘方，我们把记作3③，读作“3的圈3次方”， 记作④，读作“的圈4次方”．一般地，我们把个相除记作ⓝ，读作“的圈次方”．根据以上信息，完成下列问题． (1)列式：_______，_______． (2)负数的圈奇次方的结果是_______（填“正数”或“负数”）． (3)将运算结果直接写成乘方的形式：_______． (4)计算：． 【详解】（1）解：③， ． 故答案为：，； （2）解：把负数的圈奇次方转变为乘方形式，根据负数的奇次方表示奇数个负数的乘积，结果是负数． 故答案为：负数； （3）解： ； （4）解： ． 68．（24-25六年级上·上海虹口·期中）阅读下列素材，完成探究任务： 探究“幻圆”、“幻星”之谜 素材1 我国南宋数学家杨辉在《续古摘奇算法》中的“攒九图”中提出“幻圆”的概念．如图是一个“二阶幻圆”模型，将2、3、4、6、7、8、9、11这八个数字填入图中的圆圈内，使横、竖以及内外两圈上的4个数字之和都相等，则它是一个“二阶幻圆”．                  素材2 在一个“二阶幻圆”中，横、竖以及内外两圈上的4个数字之和都相等，我们把这个和叫做“二阶幻圆”的幻和．例如，图1中的“二阶幻圆”有4个幻和，它的幻和是25．计算“二阶幻圆”幻和的方法是将图中所有数字之和的2倍，除以幻和的个数．例如，图1中幻和的计算方式为：． 问题解决 任务1 如图2，小明将、4、、8、、12、、16这八个数字分别填入圆圈内，使它成为一个“二阶幻圆”．请完成下列问题： （1）此“二阶幻圆”的幻和是 _____，x处所填的数字是 ______； （2）y与z两处所填的数字之和是______．           任务2 类似地，如图3是一个“六角幻星”模型，它有6条边，如果每条边上的4个数字之和都相等，那么它是一个“六角幻星”．在一个“六角幻星”中，它的每条边上4个数字之和都相等，我们把这个和叫做“六角幻星”的幻和．在图3中，小明将、、、、、0、1、2、3、4、5、6这十二个数字分别填入圆圈内，使它成为一个“六角幻星”．请完成下列问题： （1）此“六角幻星”的幻和是_______； （2）将图3中的“六角幻星”的空缺部分补充完整．________．                  【答案】任务1：（1）4，；（2）或； 任务2：（1）2； （2）“六角幻星”如图： 【详解】解：任务1：（1）此“二阶幻圆”的幻和是： ， x处所填的数字是， 故答案为：4，； （2）， 当时，， 当时，， 故答案为：或； 任务2，（1）“此“六角幻星”的幻和是： ， 故答案为：2； （2）“六角幻星”如图： ， ， ， ∵，d，e，f可能取的数为， ∴． 题型15 综合应用与压轴（非负性、最值）（共3小题） 【模型】非负性：|a|≥0，a2≥0（偶次幂≥0）。若 |a|+|b|=0，则 a=0 且 b=0；同理 a2+b2=0。 最值：|x−a|+|x−b| 的最小值 = |a−b|，当 x 在 a、b 之间（含端点）时取得。 【步骤】① 识别非负项；② 令各非负项为 0，求出未知数的值；③ 代入求值；④ 最值问题借助数轴几何意义。 【易错】漏掉非负条件（如只令一项为 0）。 含多个绝对值时漏讨论某一分段。 69．（24-25六年级上·上海普陀·期中）【材料阅读】通过学习数轴和绝对值之后，我们知道，表示5与2差的绝对值，也可理解为5与2两数在数轴上所对应的两点之间的距离；可以看作，表示5与的差的绝对值，也可理解为5与两数在数轴上所对应的两点之间的距离．如果点A，B在数轴上分别表示有理数a、b，A，B两点之间的距离表示为． 结合数轴与绝对值的知识回答下列问题： (1)如图，已知点A在数轴上表示的数为，数轴上任意一点B表示的数为x，那么A，B两点的距离可以表示为______； (2)已知点B表示的数为整数x，那么当x为______时，与的值相等； (3)表示数轴上有理数x所对应的点到和2所对应的两点距离之和，应用这个知识，请你直接写出的最小值，并求出此时所有符合条件的整数x的和． 【详解】（1）解：由题意得A，B两点的距离可以表示为， 故答案为：； （2）解：∵与的值相等， ∴数轴上表示x的数与表示4和的数的距离相等， ∴数轴上表示x的数是表示4和的数的中点， ∴， 故答案为；． （3）解：∵表示数轴上有理数所对应的点到和2所对应的两点距离之和， ∴当时，有最小值，的最小值为， ∴符合题意的整数x有，它们的和为， 故答案为：7；。 70．（25-26六年级上·上海·期中）同学们都知道：表示与之差的绝对值，实际上也可理解为与两数在数轴上所对应的两点之间的距离．请你借助数轴进行以下探索： (1)数轴上表示与的两点之间的距离可以表示为 ． (2)同理表示数轴上有理数所对应的点到和所对应的点的距离之和，请你找出所有符合条件的整数，使得，这样的整数是 ． (3)已知，求的最大值 和最小值 ． 【详解】（1）解：由题意得，数轴上表示与的两点之间的距离可以表示为， 故答案为：； （2）解：∵表示数轴上有理数所对应的点到和所对应的点的距离之和，且数和数之间的距离为， ∴当有理数所对应的点在和所对应的点的之间时，， ∴， ∴这样的整数有、、、、， 故答案为：、、、、； （3）解：表示数轴上有理数所对应的点到和所对应的点的距离之和， ∴当有理数所对应的点在和所对应的点的之间时，有最小值， ∴当时，有最小值，最小值为， 同理可得，当时，有最小值，最小值为， ∵， ∴和能取得最小值， ∴，， ∴当最小，最大时，有最小值，最小值为； 当最大，最小时，有最大值，最大值为， 故答案为：，． 71．（25-26六年级上·上海奉贤·期中）数轴是一个非常重要的数学工具，它使数和数轴上的点建立起对应关系，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础． 小智在纸面上画出了一条数轴，对其作出了以下探究： (1)探究一：数轴上表示整数的点称为整点 ①在数轴上，表示和5.9的两个点之间有___________个整点． ②若小智在数轴上放置了一根长为2025个单位长度的木棒，那么这个木棒盖住的整点个数为___________个． (2)探究二：小智在学习绝对值的几何意义时，注意到，其几何意义是数轴上表示4的点与原点（即表示0的点）之间的距离．更一般地，点在数轴上分别表示有理数，那么两点之间的距离可以表示为． ③的几何意义是表示数的点到______________． ④小智在数轴上任取一个点表示有理数，当这个点在数轴上移动时，的最小值为_________；的最小值为_______________； (3)探究三：小智将纸面折叠，使得数轴上表示的点与表示11的点重合． ⑤此时，表示3的点与表示_______________的点重合 ⑥若折叠后数轴上的两点也重合，且两点之间的距离为4040（点在点的左侧），则点所表示的数是多少？ 【详解】（1）解：①在数轴上，表示和5.9的两个点之间有，共个整点， 故答案为：； ②若一根长为2025个单位长度的木棒起点在整点上，则覆盖个整点；若一根长为2025个单位长度的木棒起点不在整点上，则覆盖个整点， ∴这个木棒盖住的整点个数为或个， 故答案为：或； （2）解：③，则几何意义是表示数的点到表示数和数的点的距离之和； 故答案为：表示数和数的点的距离之和； ④，几何意义是表示数的点到表示数和数的点的距离之和， 当或时，则， 当时，则， ∴的最小值为； ，几何意义是数的点到表示数和数和表示数的点的距离之和， ∴同上由绝对值的几何意义可得，当时，其距离之和最小为， 故答案为：，； （3）解：∵小智将纸面折叠，使得数轴上表示的点与表示11的点重合， ∴折痕点对应的数为， ⑤表示3的点到折痕点的距离为， ∴表示3的点与表示的点重合， 故答案为：； ⑥由题意得，点到折痕点的距离为， ∵点A在点B的左侧， ∴点B所表示的数是． $专题03 有理数 基础·固本强基 题型1 正数与负数、有理数的分类 题型2 数轴 题型3 相反数 题型4 绝对值 题型5 有理数大小比较 提升·进阶突破 题型6 有理数的加法与减法 题型7 有理数的乘法与除法 题型8 有理数的乘方 题型9 有理数的混合运算 题型10 运算律与简便运算 拔高·压轴破难 题型11 绝对值的几何意义与分类讨论 题型12 数轴上的动点问题 题型13 运算规律探究 题型14 定义新运算 题型15 综合应用与压轴（非负性、最值） 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 基础·固本强基 题型1 正数与负数、有理数的分类（共7小题） 【步骤】① 判断一个数能否写成整数或分数（整数/分数）的形式；② 依据“按定义”或“按符号”标准归类；③ 重点核对 0、负分数、循环小数、π 的归属。 【易错】 把 0 归入正数或负数——0 是整数，既非正也非负。 认为“小数都不是分数”——有限小数、无限循环小数均可化为分数，属于有理数。 把 π等无理数当有理数。 混淆“非负数（≥0）”与“正数（>0）”、“非正整数（≤0）”与“负整数”。 1．（25-26六年级上·上海青浦·期中）在，，，，，，中，有理数有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 2．（25-26六年级上·上海黄浦·期中）关于“0”，下列说法错误的是（    ） A．是整数，也是有理数 B．既不是正数，也不是负数 C．是整数，也是自然数 D．既不是自然数，也不是有理数 3．（24-25六年级上·上海金山·期中）在有理数、、、、、、中，负数有（    ）个 A． B． C． D． 4．（25-26六年级上·上海·期中）在有理数、、、、、、、中，非负数有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 5．（25-26六年级上·上海·期中）微信具有“收款”和“付款”两项功能，若收款50元，记作元，那么付款元，可记作___________元． 6．（25-26六年级上·上海崇明·期中）如果规定逆时针旋转记作，那么顺时针旋转记作_______． 7．（25-26六年级上·上海奉贤·期中）规定：表示向右移动3记作，则表示向左移动4记作_______________． 题型2 数轴（共4小题） 【模型】数轴三要素：原点、正方向、单位长度。数轴上右边的数总比左边的大；每一个有理数都可用数轴上的一个点表示。 【步骤】① 画数轴：定原点（标 O）、画正方向箭头、定单位长度；② 定点：把数对应到数轴上；③ 读点：根据点的位置读数、比大小。 【易错】三要素缺一不可，正方向通常向右。 单位长度必须统一，原点不一定在数轴正中间。 一个有理数对应数轴上一个点；但数轴上的点也可以表示无理数。 8．（24-25六年级上·上海·期中）如图，数轴上的点表示的数是______． 9．（25-26六年级上·上海·期中）在数轴上，点C到表示的点距离为2个单位长度，且点C在表示的点的左侧，那么点C表示的数为_______． 10．（25-26六年级上·上海闵行·期中）已知点表示2，点表示，点到原点的距离等于点和点到原点距离之和的一半，那么点表示的数为__________． 11．（25-26六年级上·上海杨浦·期中）（1）在数轴上分别画出点、、、．点表示的数是，点表示的数是，点表示的数是，点表示的数是． （2）数轴上点表示的数是，点距离点为个单位长度，求点表示的数． 题型3 相反数（共4小题） 【模型】只有符号不同的两个数互为相反数，a 与 −a 互为相反数；0 的相反数是 0；相反数是成对出现的。 【步骤】① 求 a 的相反数 → 写成 −a；② 化简多重符号：数一数负号的个数，负号个数为奇数结果取负，为偶数结果取正。 【易错】相反数是两个数的关系，不能只写一个数。 0 的相反数是 0，不要漏。 化简多重符号时数错负号个数，如 −(−3)=3，−(−(−3))=−3。 12．（25-26六年级上·上海奉贤·期中）的相反数是____________． 13．（24-25六年级上·上海·期中）的相反数是______． 14．（25-26六年级上·上海黄浦·期中）化简：______． 15．（24-25六年级上·上海宝山·期中）在数轴上分别画出点，并用字母表示．A点表示的数为；B点表示的数为2的相反数：C点表示的数为． 题型4 绝对值（共5小题） 【模型】|a| = a（当 a≥0 时），|a| = −a（当 a<0 时）。绝对值表示数轴上点到原点的距离，一定是非负数：|a|≥0。 【步骤】① 判断 a 的正负；② 正数和 0 直接取本身，负数取它的相反数。 【易错】由 |a|=a 只能推出 a≥0，不能写成 a>0。 当 a>0 时，|x|=a 的解有两个：x=a 或 x=−a。 |a| 不可能为负数，任何数的绝对值都 ≥0。 16．（25-26六年级上·上海静安·期中）下列说法正确的是（　　） A．绝对值不大于3的整数有6个，分别是 B．若，则必为负数 C．任意有理数的绝对值都是非负数 D．若，则，反之，若，则 17．（25-26六年级上·上海·期中）计算：___________． 18．（25-26六年级上·上海·期中）如果数轴上的点Q表示的有理数是，那么点Q到原点的距离为_______个单位长度 19．（25-26六年级上·上海宝山·期中）在数轴上，到原点的距离等于2.7个单位长度的点表示的有理数是____． 20．（25-26六年级上·上海青浦·期中）若，则_____．（填写“”、“”、“”或“”）． 题型5 有理数大小比较（共6小题） 【模型】① 数轴法：右边的数总比左边的大；② 法则法：正数 > 0 > 负数；两个负数比较，绝对值大的反而小。 【步骤】① 先按符号分档：正数最大、0 居中、负数最小；② 两个负数比较时，先求绝对值再比较，绝对值大的反而小。 【易错】 比较两个负数时，误按“数值大的就大”——实际绝对值大的反而小。 含有绝对值、相反数的式子，先化简再比较。 21．（25-26六年级上·上海青浦·期中）比较大小：__________（用“”“”或“”表示）． 22．（25-26六年级上·上海浦东新·期中）比较大小：___（填“”、“”或“”）． 23．（25-26六年级上·上海·期中）比较大小：_______．（填“”、“”或“”） 24．（25-26六年级上·上海宝山·期中）某乳品公司生产盒装牛奶，根据质量要求，每盒牛奶的净含量可以有升的误差．现抽查6盒牛奶，超过规定净含量的升数记作正数，不足规定净含量的升数记作负数．检查结果如下表所示，那么其中净含量最接近规定的盒装牛奶编号是____． 1 2 3 4 5 6 25．（25-26六年级上·上海嘉定·期中）如图，数轴上的点表示的数是__________；点表示的数是__________（填带分数）；在数轴上分别标出、所对应的点、的位置． 将这四个数从大到小排列为__________（直接写出答案）． 26．（25-26六年级上·上海黄浦·期中）画出数轴，在数轴上表示下列各数，并用“＜”将它们连接起来． ，0，，． 提升·进阶突破 题型6 有理数的加法与减法（共5小题） 【模型】加法法则：同号相加，取相同的符号，并把绝对值相加；异号相加，取绝对值较大的数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；互为相反数的两个数相加得 0。 减法法则：a−b = a+(−b)，减去一个数等于加上这个数的相反数。 省略加号的和式：如 3−5+7 表示 3、−5、+7 的和。 【步骤】① 去括号、统一成加法；② 用交换律、结合律把同号或能凑整的数分组；③ 按法则逐组计算。 【易错】去括号变号：如 −(a−b) = −a+b。 交换位置时符号要跟着数一起走，如 3−5 不能写成 5−3。 加减混合时漏掉括号内的符号。 27．（26-27六年级上·上海·期中）计算：． 28．（25-26六年级上·上海奉贤·期中）计算： 29．（25-26六年级上·上海闵行·期中）计算：． 30．（25-26六年级上·上海·期中）计算： 31．（25-26六年级上·上海杨浦·期中）下面是小明求解计算题的过程． 解：     ①     ②     ③     ④     ⑤ 他的解法是否正确？如果不正确，他从第______步开始错了，并从这一步开始加以改正． 题型7 有理数的乘法与除法（共4小题） 【模型】符号法则：两数相乘（除），同号得正、异号得负，并把绝对值相乘（除）。 多个非零因数相乘：负因数的个数为奇数，积为负；为偶数，积为正；因数中有 0，积为 0。 除法：除以一个不为 0 的数，等于乘以它的倒数；互为倒数的两个数乘积为 1。 【步骤】① 先确定积（商）的符号；② 约分、化简；③ 除法转乘法（除号变乘号，除数取倒数）。 【易错】 倒数和相反数混淆：−2 的倒数是 −，不是 2。 0 没有倒数；0 不能作除数。 多个因数时符号判断出错。 32．（25-26六年级上·上海金山·期中）计算： 33．（25-26六年级上·上海青浦·期中）计算： 34．（25-26六年级上·上海青浦·期中）计算：． 35．（25-26六年级上·上海·期中）计算： 题型8 有理数的乘方（共6小题） 【模型】an 表示 n 个 a 相乘，读作 a 的 n 次幂；底数是 a，指数是 n。负数的偶次幂为正、奇次幂为负；0 的任何正整数次幂都是 0。 【步骤】① 分清底数与指数；② 看底数符号与指数奇偶确定符号；③ 计算数值。 【易错】 (−2)4 = 16，而 −24 = −16——底数不同，结果相反。 把指数当底数相乘，如 23 误算成 2×3=6。 0 的正整数次幂为 0。 36．（25-26六年级上·上海青浦·期中）下列各组式子中，结果相等的是（    ）． A．与 B．与 C．与 D．与 37．（25-26六年级上·上海虹口·期中）与乘法运算的结果相同的是（   ） A． B． C． D． 38．（25-26六年级上·上海青浦·期中）已知：，，，则a、b、c的大小关系正确的是（   ） A． B． C． D． 39．（25-26六年级上·上海青浦·期中）计算：__________． 40．（25-26六年级上·上海青浦·期中）计算：______． 41．（25-26六年级上·上海虹口·期中）若，则__________． 题型9 有理数的混合运算（共4小题） 【模型】运算顺序：先乘方，再乘除，后加减；有括号先算括号内的；同级运算从左到右依次进行。 【步骤】① 看清括号与运算层级；② 先算乘方；③ 再算乘除；④ 最后算加减。 【易错】违反运算顺序（如先加后乘）。 除法没有分配律，如 (a+b)÷c 不能拆成 a÷c+b÷c 的“错误用法”需谨慎（正确时需分子每项都除以分母）。 负号与括号处理失误。 42．（25-26六年级上·上海·期中）计算： 43．（26-27六年级上·上海·期中）计算： 44．（25-26六年级上·上海金山·期中）计算： 45． （25-26六年级上·上海浦东新·期中）计算： 题型10 运算律与简便运算（共5小题） 【模型】加法交换律、结合律；乘法交换律、结合律、分配律 a(b+c)=ab+ac。简便计算常利用“互为相反数抵消、同号合并、凑整、约分”。 【步骤】① 观察式子能否凑整、抵消或约分；② 用交换、结合律重新分组；③ 用分配律去括号（注意每一项）。 【易错】用分配律时漏乘某一项。 去括号时符号处理错误。 为凑整而盲目变形。 46．（25-26六年级上·上海·期中）计算： 47．（25-26六年级上·上海浦东新·期中）计算：． 48．（25-26六年级上·上海浦东新·期中）计算：． 49．（25-26六年级上·上海浦东新·期中）计算（新教材）． (1) (2) (3) 50．（25-26六年级上·上海虹口·期中）阅读下面材料： 计算：． 解法①： 原式 解法②： 原式． 解法③： 先计算：． 所以，原式 (1)上述三种解法得出的结果不同，肯定有解法是错误的，你认为解法__________是错误的（填序号）； (2)请你根据材料尝试计算：． 拔高·压轴破难 题型11 绝对值的几何意义与分类讨论（共3小题） 【模型】|x−a| 表示数轴上点 x 到点 a 的距离。当 b>0 时，|x−a|=b 的解为 x=a+b 或 x=a−b。 【步骤】① 把绝对值式理解为距离；② 画数轴定位；③ 在 a 的两侧分情况讨论，得出多个解。 【易错】漏掉另一侧的解——一个距离对应数轴上左右两个点。 含字母参数时不讨论其正负。 直接把 |x−a| 化简成 x−a（未考虑符号）。 51．（25-26七年级上·江苏无锡·阶段检测）如图，数轴上点、表示的数分别是、，；为数轴上一点，其表示的数为，当点在数轴上移动时，若 的值始终保持不变，则当时，的值为（    ） A． B． C． D． 52．（25-26六年级上·上海·期末）的最小值为______． 53．（25-26六年级上·上海·期中）某检修小组乘一辆检修车沿铁路检修，规定向东走为正，向西走为负．我们可以用如图数轴来表示，以向东为正方向，小组的出发地看作原点．、、、是数轴上四个整数点，且线段、、的长度都是10，记作：，表示两地之间的距离都是10千米．而点在与之间，点在与之间，点、分别在数轴上对应数、，． (1)、、、四个点中，可能作为出发地（数轴的原点）的是______． (2)某天检修完毕时，行走记录如下（单位：千米）： ．收工时，距出发地有多远？在出发地的东面还是西面？ (3)在（2）的条件下，若以为出发点，出发时油箱剩余油量40升，点为加油站，检修车每千米耗油0.5升，收工后发现油量不足，立即赶往处加油，问：检修车能在油量耗尽前安全赶到加油站吗？ 题型12 数轴上的动点问题（共5小题） 【模型】动点坐标 = 起点坐标 ± 速度 × 时间（向右取 +，向左取 −）；两点间距离 = 两坐标差的绝对值。相遇问题、追及问题均列方程求解。 【步骤】① 设运动时间为 t；② 用 t 表示各动点坐标；③ 根据距离（相遇、间距）关系列方程；④ 解方程（注意分类讨论）。 【易错】方向判断错误导致加减颠倒。 未分相遇前、相遇后两种情况讨论。 距离用绝对值表示时漏分类。 54．（25-26六年级上·上海·期中）如图，点､､是数轴上排列的三个点（数轴的单位长度是），对应刻度尺上的数分别､和，移动刻度尺，当点在数轴上表示的数为时，数轴上点所对应的数为_______． 55．（25-26六年级上·上海·期中）如图，边长是的正方形放在数轴上，点与原点重合，点与表示的点重合，将正方形在数轴上向右滚动，问 (1)点第一次落在数轴上时，点所表示的数是__________． (2)点第五次落在数轴上时，点所表示的数是__________． (3)点落在（2）题表示的数时，以点、、三点为顶点的三角形面积是____________． 56．（25-26六年级上·上海普陀·期中）如图1，数轴（原点未画出）上的点A、B、C所对应的数分别为a、b、c．已知是最小的素数，是的相反数，是合数中最小的奇数． (1)写出和的值： ， ； (2)如图2，为数轴上一点，且在点的右侧，将射线绕点旋转直至与射线重合，此时点A、B落在点处，当点与点重合时，点所对应的数为 ，点所对应的数为 ； (3)点M、N分别从点B、C同时出发，向右移动，速度分别为每秒个单位长度和每秒个单位长度，当点追上点时，运动停止． ①求点从出发到追上点所需时间； ②求运动停止时，点到原点的距离． 57．（24-25六年级上·上海金山·期中）综合应用： (1)如图1，已知在数轴上有一个表示数a的点M，点M在数轴上移动3个单位长度后得到点N，且点N表示的数是5，那么a的值是 ； (2)如图2，有一根木尺放置在数轴上，它的两个顶点，点T、点S分别落在数轴上的A、B两点处．将木尺在数轴上水平移动，当点T移动到点B时，点S所对应的数为24；当点S移动到点A时，点T所对应的数为6（单位：）．利用所学知识可以求出点A表示的数为 ，点B表示的数为 ； (3)借助上面的方法解决问题：一天，小明去问表姐的年龄，表姐说：“我若是你现在这么大，你才8岁；你若是我现在这么大，我就20岁啦．”小明纳闷，表姐今年到底是多少岁？请你利用图3仿照第（2）小题画出示意图，求出小明和表姐的年龄，并写出合理的计算过程． 58．（25-26六年级上·上海·期中）阅读下面的材料并解答问题： 在数轴上，点表示数，点表示数，点表示数，且点到点的距离记为线段的长，点在点左侧，点在点左侧，线段的长可以用右边的数减去左边的数表示，即，若，是最小的正整数，点到原点的距离是5．则： (1)_____． (2)若将数轴折叠，使得与点重合： ①点与数_____表示的点重合； ②若数轴上、两点之间的距离为2024（在的左侧），且、两点经折叠后重合，则点表示的数是_____． (3)点、、开始在数轴上运动，点以每秒2个单位长度的速度向左运动，同时点和点分别以每秒1个单位长度和4个单位长度的速度向右运动，设运动时间为秒，试探索：的值是否随着时间的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请直接写出这个值． 题型13 运算规律探究（共4小题） 【模型】常见规律：等差、等比、周期（如幂的末位数字）、裂项相消 【步骤】① 写出前几项，找相邻项关系或周期；② 用 n 表示第 n 项；③ 代入求和或求具体项。 【易错】n 从 1 还是从 0 开始取，影响通项公式。 符号交替（含 (−1)n）时判断错。 裂项时中间项抵消出错。 59．（24-25六年级上·上海·期中）我们平常用的数是十进制数，如，表示十进制的数要用10个数码（又叫数字）：0，1，2，3，4，5，6，7，8，9在电子数字计算机中用的是二进制，只要两个数码：0和1．如二进制中等于十进制的数5，等于十进制中的数23，那么二进制中的1011等于十进制的数________________． 60．（25-26六年级上·上海·期中）二维码在日常生活中应用广泛，使用若干个与二进制相对应的几何图形来表示数值（黑色代表1，白色代表0）．如图1，是小明同学准考证号的二维码的简易编码，其中第一行代表二进制的数字，转换成十进制数为；同理第二行至第五行代表二进制的数字分别转换成十进制的两位数，依次组合到一起就是小明同学的准考证号2412072813． (1)图2是小丽同学的准考证号的二维码的简易编码，则小丽同学的准考证号为：___________________； (2)二维码不仅能储存数字信息，还能通过代码将数字信息转换成字母语言信息． 将大写英文26个字母作为明码，它对应数字暗码如下表： 明码 A B C D E F G H I J K L M 暗码 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 明码 N O P Q R S T U V W X Y Z 暗码 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 二维码的简易编码所对应的数值小于27，则设的值为二维码的简易编码所对应暗码，如图1中第一行所对应的二进制的数字转换成十进制数24，则暗码为，则对应的明码为“”．请在图3中画出一个明码为“”的的二维码． 61．（24-25六年级上·上海·期中）生活中常用的十进制是用这十个数字来表示数，满十进一，例：；计算机常用二进制来表示字符代码，它是用0和1两个数来表示数，满二进一，例：二进制数10010转化为十进制数：；其他进制也有类似的算法…… (1)根据以上信息，将二进制数“101110”转化为十进制的数是______； (2)按照上面的格式将十进制数“4372”转化为八进制数是______； (3)在我国远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳计数”，如图所示是远古时间一位母亲记录孩子出生后的天数，在从右向左依次排列的不同绳子上打结，满五进一，根据图示，则孩子已经出生的天数是______天． 62．（24-25六年级上·上海金山·期中）阅读材料一：等式性质：等式两边加（或减）同一个数，等式仍成立． 等式性质：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为的数，等式仍成立． 阅读材料二：求的值， 解：令①， 等式两边同时乘以，得②， 由②式①式得：， 从而，即．仿照以上推理，计算： (1) (2)． 题型14 定义新运算（共6小题） 【模型】按题目给出的新运算规则“公式”代入计算，运算顺序仍遵循常规运算法则。 【步骤】① 识别新运算符号与规则；② 把数代入对应位置；③ 按顺序（先内后外）计算。 【易错】代入顺序颠倒（如 a*b 把 b 当 a）。 嵌套运算未先算括号内的。 63．（25-26六年级上·上海·期中）为有理数，定义运算符号：当时，；当时，；当时，．根据这种运算，则______． 64．（24-25六年级上·上海浦东新·期中）规定一种新运算“*”：，，，，，，据“*”运算的法则，计算： __________． 65．（24-25六年级上·上海浦东新·期中）定义：对于一个有理数，我们把称为x的有缘数.若，则若，则.计算的结果为______. 66．（24-25六年级上·上海奉贤·期中）有一种新定义运算：，则_______． 67．（24-25六年级上·上海松江·期中）规定：求若干个相同的有理数（均不等于0）的除法运算叫做除方，如，等．类比有理数的乘方，我们把记作3③，读作“3的圈3次方”， 记作④，读作“的圈4次方”．一般地，我们把个相除记作ⓝ，读作“的圈次方”．根据以上信息，完成下列问题． (1)列式：_______，_______． (2)负数的圈奇次方的结果是_______（填“正数”或“负数”）． (3)将运算结果直接写成乘方的形式：_______． (4)计算：． 68．（24-25六年级上·上海虹口·期中）阅读下列素材，完成探究任务： 探究“幻圆”、“幻星”之谜 素材1 我国南宋数学家杨辉在《续古摘奇算法》中的“攒九图”中提出“幻圆”的概念．如图是一个“二阶幻圆”模型，将2、3、4、6、7、8、9、11这八个数字填入图中的圆圈内，使横、竖以及内外两圈上的4个数字之和都相等，则它是一个“二阶幻圆”．                  素材2 在一个“二阶幻圆”中，横、竖以及内外两圈上的4个数字之和都相等，我们把这个和叫做“二阶幻圆”的幻和．例如，图1中的“二阶幻圆”有4个幻和，它的幻和是25．计算“二阶幻圆”幻和的方法是将图中所有数字之和的2倍，除以幻和的个数．例如，图1中幻和的计算方式为：． 问题解决 任务1 如图2，小明将、4、、8、、12、、16这八个数字分别填入圆圈内，使它成为一个“二阶幻圆”．请完成下列问题： （1）此“二阶幻圆”的幻和是 _____，x处所填的数字是 ______； （2）y与z两处所填的数字之和是______．           任务2 类似地，如图3是一个“六角幻星”模型，它有6条边，如果每条边上的4个数字之和都相等，那么它是一个“六角幻星”．在一个“六角幻星”中，它的每条边上4个数字之和都相等，我们把这个和叫做“六角幻星”的幻和．在图3中，小明将、、、、、0、1、2、3、4、5、6这十二个数字分别填入圆圈内，使它成为一个“六角幻星”．请完成下列问题： （1）此“六角幻星”的幻和是_______； （2）将图3中的“六角幻星”的空缺部分补充完整．________．                  题型15 综合应用与压轴（非负性、最值）（共3小题） 【模型】非负性：|a|≥0，a2≥0（偶次幂≥0）。若 |a|+|b|=0，则 a=0 且 b=0；同理 a2+b2=0。 最值：|x−a|+|x−b| 的最小值 = |a−b|，当 x 在 a、b 之间（含端点）时取得。 【步骤】① 识别非负项；② 令各非负项为 0，求出未知数的值；③ 代入求值；④ 最值问题借助数轴几何意义。 【易错】漏掉非负条件（如只令一项为 0）。 含多个绝对值时漏讨论某一分段。 69．（24-25六年级上·上海普陀·期中）【材料阅读】通过学习数轴和绝对值之后，我们知道，表示5与2差的绝对值，也可理解为5与2两数在数轴上所对应的两点之间的距离；可以看作，表示5与的差的绝对值，也可理解为5与两数在数轴上所对应的两点之间的距离．如果点A，B在数轴上分别表示有理数a、b，A，B两点之间的距离表示为． 结合数轴与绝对值的知识回答下列问题： (1)如图，已知点A在数轴上表示的数为，数轴上任意一点B表示的数为x，那么A，B两点的距离可以表示为______； (2)已知点B表示的数为整数x，那么当x为______时，与的值相等； (3)表示数轴上有理数x所对应的点到和2所对应的两点距离之和，应用这个知识，请你直接写出的最小值，并求出此时所有符合条件的整数x的和． 70．（25-26六年级上·上海·期中）同学们都知道：表示与之差的绝对值，实际上也可理解为与两数在数轴上所对应的两点之间的距离．请你借助数轴进行以下探索： (1)数轴上表示与的两点之间的距离可以表示为 ． (2)同理表示数轴上有理数所对应的点到和所对应的点的距离之和，请你找出所有符合条件的整数，使得，这样的整数是 ． (3)已知，求的最大值 和最小值 ． 71．（25-26六年级上·上海奉贤·期中）数轴是一个非常重要的数学工具，它使数和数轴上的点建立起对应关系，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础． 小智在纸面上画出了一条数轴，对其作出了以下探究： (1)探究一：数轴上表示整数的点称为整点 ①在数轴上，表示和5.9的两个点之间有___________个整点． ②若小智在数轴上放置了一根长为2025个单位长度的木棒，那么这个木棒盖住的整点个数为___________个． (2)探究二：小智在学习绝对值的几何意义时，注意到，其几何意义是数轴上表示4的点与原点（即表示0的点）之间的距离．更一般地，点在数轴上分别表示有理数，那么两点之间的距离可以表示为． ③的几何意义是表示数的点到______________． ④小智在数轴上任取一个点表示有理数，当这个点在数轴上移动时，的最小值为_________；的最小值为_______________； (3)探究三：小智将纸面折叠，使得数轴上表示的点与表示11的点重合． ⑤此时，表示3的点与表示_______________的点重合 ⑥若折叠后数轴上的两点也重合，且两点之间的距离为4040（点在点的左侧），则点所表示的数是多少？ $