培优11角的综合问题（专项训练）数学新教材人教版七年级上册

专题11角的综合问题 常考题型·精准突破 考点一 角的计算问题 题型1 静态直角三角板的角度计算问题 题型2 实际背景下的角度计算 题型3 角平分线的应用 题型4 与余角、补角有关的角度问题 考点二 角的动态问题 题型5 角的旋转问题 题型6 动态三角板的角度计算问题 综合攻坚·知能拔高 常考题型·精准突破 考点一 角基本知识 ◆题型1 静态直角三角板的角度计算问题 1．（2026·浙江丽水·二模）如图，一块三角尺中的与另一块三角尺的叠放在一起，使顶点与重合，角边与角边重合，角边与在重合一边的同侧，则的度数等于（    ） A． B． C． D． 2．（25-26六年级下·山东烟台·期中）将一副含和的直角三角尺按如图所示的方式放置，若平分，平分，则的度数是（   ） A． B． C． D． 3．（25-26七年级上·安徽马鞍山·期末）已知点O为直线上一点，将直角三角板如图所示放置，且直角顶点在O处，在内部作射线，且恰好平分． （1）若，则的度数为__________； （2）若，则的度数为__________． 4．如图，一副直角三角板的两个直角顶点重合在一起． (1)若，则________； (2)求的度数； (3)比较与的大小，并写出理由． ◆题型2 实际背景下的角度计算 5．（2024·陕西西安·模拟预测）如图，平面镜放置在水平地面上，墙面于点，一束光线照射到镜面上，反射光线为，点在上，若，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 6．（2026·河南安阳·二模）如图，光从真空射入某种介质，入射角为，折射角为，且，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 7．（24-25九年级下·河南信阳·阶段检测）如图，阳光与水平面成30°角，若要用平面镜使阳光竖直射入井中（物理学中，反射角入射角），则阳光与平面镜的夹角（）为______ 8．（24-25七年级上·河南商丘·期末）“宋韵开封·菊香中国”，中国开封第42届菊花文化节于2024年10月18日至11月18日在开封举办．小亮与家人在周末前往清明上河园观赏菊花，由于观赏游客较多，小亮与妈妈一组，和爸爸分别走不同路线进行观赏．如图所示，一小时后，小亮和妈妈（B点）在东门（A点）的北偏西）方向，爸爸（C点）在小亮他们（B点）的南偏西方向，则的度数为______． ◆题型3 角平分线的应用 9．（2026·河南周口·模拟预测）如图，已知，射线在的内部，且，射线是平面上绕点B旋转的一条动射线，平分．若，则的度数为______．（用含的式子表示） 10．（25-26七年级上·云南大理·阶段检测）如图，将长方形纸片沿和折叠成图示的平面图形，折叠后点B落在点处，点C落在点处，且P，，在同一条直线上．已知，则的度数是（   ） A． B． C． D． 11．（25-26七年级上·浙江湖州·期末）元旦期间，吴兴区某校七年级同学在观看太湖古镇灯光秀表演后，以“灯光里的数学美”为主题展开项目式学习．同学们类比角平分线的定义，给出角的倍分角线的定义，在探究中感受数学之美． 新定义：如果的内部有一条射线将分成两个角，其中是所分角中较小角的倍，那么我们称射线为的倍分角线．如图1，若，则射线为的3倍分角线． 【特例感知】 (1)若， ①射线为的2倍分角线，则________； ②射线为的3倍分角线，则________； 【类比探究】 (2)如图2，点，，在同一条直线上，为直线上方的一条射线．若射线，分别为和的4倍分角线（，），当时，求的度数； (3)如图3，在（2）的条件下，若射线从射线处绕点顺时针旋转，速度为度/秒，同时射线从射线处绕点顺时针旋转，速度为度/秒．在旋转的过程中，当射线是的倍分角线时（），恰好射线也是的倍分角线（），请直接写出与的数量关系________． 12．（25-26六年级下·山东烟台·期中）已知，，平分，平分． (1)如图1，当射线与射线重合时，求的值； (2)如图2，当从图1开始，绕点以每秒的速度顺时针旋转秒时（），在旋转过程中，的值是否会因的变化而变化？若无变化，请求出该定值；若发生变化，请说明理由； (3)在（2）的条件下，当时，求的值． 13．（25-26七年级上·福建福州·期末）（1）特例感知：如图①，已知线段，，线段在线段上运动（点A不超过点M，点B不超过点N），点C和点D分别是的中点． ①若，则_________； ②线段运动时，试判断线段的长度是否发生变化？如果不变，请求出的长度，如果变化，请说明理由； （2）知识迁移：我们发现角的很多规律和线段一样，如图②，已知在内部转动，射线和射线分别平分和． ①若，，则_________度； ②若，，求的值； （3）类比探究：如图③，在内部转动，若，，，，则的度数为_________．（用含有、的式子表示） ◆题型4 与余角、补角有关的角度问题 14．（25-26七年级下·陕西渭南·期中）已知与互余，则下列说法错误的是（    ） A．是锐角，也一定是锐角 B．若与互补，则 C．若是的补角，是的补角，则 D．若是的余角，是的补角，则 15．（25-26七年级下·山东烟台·期中）如图，在同一平面内，，，点E为反向延长线上一点（图中所有角均指小于的角）．下列结论：①；②；③；④．其中正确结论的个数有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 16．（25-26七年级下·陕西咸阳·阶段检测）如图，点O是量角器的中心点，射线经过刻度线90．若．射线、分别经过刻度线40和60，在刻度线的右侧．下列结论：①；②若与互补，则射线经过刻度线165；③若，则和互为余角．其中所有正确结论的序号为______． 17．（25-26七年级上·黑龙江大庆·期末）综合探究：如图，把一副直角三角板的直角边放在直线上，两个直角三角板分别在直线l的两侧，且，，． (1)如图1，_____________°； (2)如图2，把三角板绕点旋转，使刚好落在的平分线上．此时，是否平分?请说明理由； (3)如图2，设，，试猜想与的数量关系，直接写出结果． 18．（25-26七年级上·河南驻马店·阶段检测）如图1，与都是直角，． (1)求和的度数，并说明和的大小关系如何． (2)若的大小不确定，其他条件不变，（1）中的和的大小关系仍然成立吗？请说明理由． (3)试猜想与是相等、互余，还是互补关系，并说明你的猜想是否合理． (4)当绕点O旋转到图2的位置时，（3）中的猜想还成立吗？请说明理由． 考点二 角的有关知识的应用 ◆题型5 角的旋转问题 19．（25-26七年级上·陕西商洛·阶段检测）如图1，已知线段，，线段在线段上运动，E，F分别是，的中点． (1)若，则________cm． (2)当线段在线段上运动时，试判断的长度是否发生变化．如果不变，请求出EF的长度；如果变化，请说明理由． (3)我们发现，角的很多规律和线段一样． ①如图2，已知在的内部转动，，分别平分和．若，，求的度数． ②由此，请猜想，和之间的数量关系：________． 20．（25-26七年级上·河南驻马店·期末）新定义：若两个角的和为，我们则称这两个角互为“相伴角”；例如，，则与互为“相伴角”．（本题中所研究的角都是大于而小于的角．） 【阅读理解】 （1）如图，如果，与互为“相伴角”，则________； 【初步应用】 （2）射线平分角，为内部的一条射线，且满足，若与互为“相伴角”，求的值； 【解决问题】 （3）如图，已知，射线从出发，以每秒的速度绕点顺时针旋转，同时，射线从出发，以每秒的速度绕点逆时针旋转，设运动的时间为秒由，，三条射线形成的角中是否有两个角互为“相伴角”？ 21．（25-26七年级上·江苏盐城·阶段检测）【材料阅读】如图1，数轴上有三个点A，B，C，表示的数分别是，，1． （1）若要使A，B两点的距离与C，B两点距离相等，则可将点B向左移动 个单位长度； （2）若动点P，Q分别从点A、点B出发，以每秒6个单位长度和每秒5个单位长度的速度向左匀速运动，动点从点C出发，以每秒3个单位长度的速度向右匀速运动，点P，Q，R同时出发，设运动时间为t秒． ①t秒后，点P，Q，R表示的数分别为 ， ， （用含t的代数式表示）； ②记点P与点Q之间的距离为d，点Q与点R之间的距离为m，则的值是否有变化？若无变化，请求出这个值；若有变化，请说明理由． 【方法迁移】如图2，，平分．现有射线、分别从、同时出发，以每秒和每秒的速度绕点O顺时针旋转，当旋转一周时，这两条射线都停止旋转．问经过几秒后，射线的夹角为？ 【生活运用】周末的下午，小明看到钟面显示3点整，此时分针与时针的夹角恰好为，经过 分钟后，分针与时针的夹角首次变成． 22．（24-25七年级上·陕西咸阳·阶段检测）已知：如图1，，． (1)求的度数； (2)如图2，若射线在内部，作平分，平分，的度数是多少？ (3)如图3，若射线从开始绕点以每秒旋转的速度逆时针旋转，同时射线从开始绕点以每秒旋转的速度逆时针旋转；当射线到达时，射线，同时停止运动．设旋转的时间为秒，当，试求的值． ◆题型6 动态三角板的角度计算问题 23．（25-26七年级上·四川广元·期末）已知和互为邻补角，，将一个三角板的直角顶点放在点处（注：，）． (1)如图①，使三角板的短直角边与射线重合，求的度数． (2)将图①的三角板在的上方绕点逆时针转动，如图②，在转动过程中，当时，求的度数． 24．（25-26六年级下·上海·期末）解答以下问题 (1)数学课上，王老师让同学们准备一副三角板，并利用它们画出一些角，例如、、、等，小明利用三角板画出了一个的角，小乐利用三角板画出了一个的角，你还能用一副三角板画出多少度的角？_______（写出个即可，要求小于） (2)小明将一个角的直角三角板的一边与直线重叠，在直线上方，，另一个的直角三角板与三角板共顶点，，并且，平分． ①当两个三角板如图1所示放置时，用含的代数式表示的度数_______； ②如果三角板固定不动，三角板可以绕点转动（角的大小可以变化），当三角板的一边平分时，求的度数． 25．（25-26七年级下·江苏扬州·期中）如图，一副三角板最初按图1的方式放置，两个三角板的直角顶点A重合，点E落在边上，，（本题中所有的角均小于或等于180°）． (1)如图2，若将三角板绕点A以每秒的速度顺时针旋转，而三角板保持静止不动，第5秒时，的度数为________°，的度数为________°，此时________． (2)若将三角板绕点A顺时针旋转一周后停止，把旋转角记为，而三角板保持静止不动，则（1）中和的数量关系是否始终成立？请画出图形并说明理由． (3)若将三角板绕点A以每秒的速度顺时针旋转的同时，将三角板以每秒的速度逆时针旋转，两个三角板均在旋转一周后停止，则第几秒时？（直接写出答案即可） ∵三角板绕点以每秒的速度顺时针旋转， ∴第5秒时，旋转的角度为， ∴， 又∵，， ∴， ∴． 故答案为：20，160，； 26．（25-26七年级下·山西临汾·阶段检测）某校七（1）班数学活动小组在做角的拓展练习时，利用一副含有角的直角三角板和含有角的直角三角板尝试完成探究． (1)利用这副三角板可以画出一些特殊角，在①，②，③，④，⑤五个角中，利用一副三角板画不出来的角是______．（填序号） (2)如图1，边，与直线重合，；，则的度数为______． (3)保持三角板不动，将三角板绕点O顺时针旋转一个角度． ①如图2，当为直角时，______． ②如图3，在转动过程中，E为线段上的一点，．若时，求的值． 综合攻坚·知能拔高 27．如图，将三个相同的三角尺（内角分别为，，）的一个顶点重合放置，如果，，那么的度数是_____． 28．（25-26七年级上·重庆沙坪坝·开学考试）如图，已知为直线上一点，以为端点作射线，，将射线绕点逆时针旋转，旋转速度为，旋转后对应射线为，旋转时间为秒，当与重合时运动停止，射线为的角平分线，射线为的四等分线，即，当时，的值为___________或___________． 29．（25-26七年级下·四川成都·阶段检测）如图，直线上有一点O，作射线，使得，在同一平面内将一个直角三角尺的直角顶点放在点O处，，若始终在的内部，则______． 30．（23-24七年级上·陕西西安·期末）如图1，点O是弹力墙上一点，魔法棒从的位置开始绕点O向的位置顺时针旋转，当转到位置时，则从位置弹回，继续向位置旋转．按照这种方式将魔法棒进行如下步骤的旋转． 第1步，从（在上）开始旋转至； 第2步，从开始继续旋转至； 第3步，从开始继续旋转至， …． 例如：当时．，，，的位置如图2所示，其中恰好落在上，；当时，，，，，的位置如图3所示，其中第4步旋转到后弹回，即，而恰好与重合． 根据以上材料，解决如下问题： (1)若，则度数是 ； (2)若，恰好与重合，求的值； (3)若，是否存在对应的值使？若存在，请求出对应的α值，若不存在，请说明理由． 31．已知：O为直线上的一点，射线表示向北方向，射线在北偏东的方向，射线在南偏东的方向，射线平分，且． (1)如图1，________°，和之间的数量关系为_________． (2)若将绕点O旋转至图2的位置，射线仍然平分时，试问（1）中和之间的数量关系是否发生变化？请说明理由． (3)若将绕点O旋转至图3的位置，射线仍然平分时，则和之间的数量关系发生变化吗？如不变化，说明理由，如变化，写出新的数量关系并说明理由． 32．（25-26七年级上·广东深圳·阶段检测）淇淇在商场买了一块机械手表，爱钻研的淇淇发现了手表上的数学问题，如图1所示是一块手表，可以看成如图2的数学模型（点A和点D是表带的两端，点A，B，C，D在同一条线段上）．    (1) _在某个时刻，分针指向表盘上的数字“6”(此时与重合)．时针为，淇淇一看现在正好是，如图3所示． ①求时分针和时针夹角的度数； ②作射线，使，求此时的度数为 ． (2)如图4所示，自之后，始终是的角平分线(分针还是)，在一小时以内，直接写出经过多少分钟后，的度数是． 33．如图，，，，分别是，的角平分线． (1)若，，当绕着点逆时针旋转至射线与重合时（如图），则的大小为 ； (2)在（1）的条件下，继续绕着点逆时针旋转，当时（如图），求的大小并说明理由； (3)在绕点逆时针旋转过程中， ．（用含，的式子表示）． 34．（25-26七年级上·福建福州·期末）如图1，点在直线上，过点引一条射线，使，将一个直角三角尺的直角顶点放在点处，直角边在射线上，另一边在直线的下方． 【操作一】：将图1中的三角尺绕着点以每秒的速度按顺时针方向旋转，当它完成旋转一周时停止，设旋转的时间为秒． (1)的度数是__________． (2)三角尺的边旋转的度数可表示为__________（用含的代数式表示）；当__________时，． 【操作二】：如图2，射线与射线重合．如图3，在三角尺绕着点以每秒的速度按顺时针方向旋转的同时，射线绕点以每秒的速度按顺时针方向旋转，当三角尺完成旋转一周时停止，射线也停止旋转，设旋转的时间为秒． (3)当为何值时，，并说明理由？ (4)试探索：在三角尺与射线旋转的过程中，是否存在某个时刻，使得？若存在，请求出所有满足题意的的值；若不存在，请说明理由． 35．（25-26七年级下·福建莆田·期中）一副三角板摆放如图，其中边与边在直线上．将绕点顺时针旋转，旋转速度是每秒，同时绕点开始逆时针旋转，旋转速度是每秒当任何一块三角板的边转到直线上时，两块三角板同时停止运动． (1)求当边与边所在直线重合时的时间； (2)求当其中一块三角板的边所在的直线平分另一块三角板内角时的时间（画出相应示意图）； (3)的最小值，并写出相应的时间或时间范围． 36．（25-26七年级下·山东淄博·期末）爱思考的小明同学在学习了《基本的平面图形》之后，对以下关于线段和角的问题分别进行了深入探究． (1)【初步探究】已知，是线段上的点，，分别是线段，的中点，，．小明发现：线段与线段，之间存在一定的数量关系． ①如图1，当时，线段的长为___________；（用含，的式子表示） ②如图2，当时，线段的长为___________；（用含，的式子表示） (2)【类比探究】如图3，，已知射线，在的内部，且．若有射线，分别平分，，请帮助小明同学求的度数；（用含，的式子表示） (3)【拓展延伸】小明同学将一块含角的三角板的顶点和的顶点重合，并分别在，的内部作射线，．已知，（），，． ①如图4，小明同学先将三角板放置于的内部，且使，则___________；（用含，k的式子表示） ②小明同学又把三角板和按如图所示方式摆放（点在射线上，在左侧），再将三角板绕点在所在的平面内逆时针方向转动．若，，（），问在三角板转动的过程中是否存在，使得？若存在，请直接写出的值；若不存在，请说明理由． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题11角的综合问题 常考题型·精准突破 考点一 角的计算问题 题型1 静态直角三角板的角度计算问题 题型2 实际背景下的角度计算 题型3 角平分线的应用 题型4 与余角、补角有关的角度问题 考点二 角的动态问题 题型5 角的旋转问题 题型6 动态三角板的角度计算问题 综合攻坚·知能拔高 常考题型·精准突破 考点一 角基本知识 ◆题型1 静态直角三角板的角度计算问题 1．（2026·浙江丽水·二模）如图，一块三角尺中的与另一块三角尺的叠放在一起，使顶点与重合，角边与角边重合，角边与在重合一边的同侧，则的度数等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据三角尺的特征判断和的度数，利用角的和差关系求解． 【详解】解：由图可知，， ∴． 2．（25-26六年级下·山东烟台·期中）将一副含和的直角三角尺按如图所示的方式放置，若平分，平分，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查角平分线的定义、角的运算，根据角平分线的定义以及角的几何运算求解即可． 【详解】解：∵平分，平分， ∴，， ∴. 3．（25-26七年级上·安徽马鞍山·期末）已知点O为直线上一点，将直角三角板如图所示放置，且直角顶点在O处，在内部作射线，且恰好平分． （1）若，则的度数为__________； （2）若，则的度数为__________． 【答案】 【分析】（1）先求出，再结合角平分线的定义求出，即可得出结果； （2）由角平分线的定义并结合题意求出，即可得出结果． 【详解】解：（1）∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∴； （2）∵，平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 4．如图，一副直角三角板的两个直角顶点重合在一起． (1)若，则________； (2)求的度数； (3)比较与的大小，并写出理由． 【答案】(1)40 (2) (3)，理由如下： ∵， ∴， ． 【分析】（1）利用角的和差求解即可； （2）由等量代换求解即可； （3）由求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴； （2）解：∵， ∴ ； （3）略． ◆题型2 实际背景下的角度计算 5．（2024·陕西西安·模拟预测）如图，平面镜放置在水平地面上，墙面于点，一束光线照射到镜面上，反射光线为，点在上，若，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意得，根据平角的定义，代入即可求解， 本题考查了，反射角等于入射角，平角的定义，解题的关键是：熟练掌握相关定义． 【详解】解：依题意，，， ∵， ∴，解得：， 故选：． 6．（2026·河南安阳·二模）如图，光从真空射入某种介质，入射角为，折射角为，且，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：由图可知：． 7．（24-25九年级下·河南信阳·阶段检测）如图，阳光与水平面成30°角，若要用平面镜使阳光竖直射入井中（物理学中，反射角入射角），则阳光与平面镜的夹角（）为______ 【答案】 【分析】本题考查了角的计算，根据光的反射定律内容即可求解，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：补上反射光线如图： 由题意可知，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 8．（24-25七年级上·河南商丘·期末）“宋韵开封·菊香中国”，中国开封第42届菊花文化节于2024年10月18日至11月18日在开封举办．小亮与家人在周末前往清明上河园观赏菊花，由于观赏游客较多，小亮与妈妈一组，和爸爸分别走不同路线进行观赏．如图所示，一小时后，小亮和妈妈（B点）在东门（A点）的北偏西）方向，爸爸（C点）在小亮他们（B点）的南偏西方向，则的度数为______． 【答案】/ 【分析】本题考查了方位角的计算，角度的计算，如图，根据题意得，由即可求解． 【详解】解：如图， 根据题意：， 则， ∴， 故答案为：． ◆题型3 角平分线的应用 9．（2026·河南周口·模拟预测）如图，已知，射线在的内部，且，射线是平面上绕点B旋转的一条动射线，平分．若，则的度数为______．（用含的式子表示） 【答案】或 【分析】首先根据及 求出和的度数；然后根据射线的位置分两种情况讨论：当射线在的内部时，当射线在的外部时；分别利用角平分线的定义和角的和差关系求解即可． 【详解】解：， ， 分两种情况讨论： ①当射线在的内部时， 平分 ②当射线在的外部时， 平分 综上所述，的度数为或． 10．（25-26七年级上·云南大理·阶段检测）如图，将长方形纸片沿和折叠成图示的平面图形，折叠后点B落在点处，点C落在点处，且P，，在同一条直线上．已知，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了翻折变换以及角的计算等知识，由折叠的性质得，，先求出，再求出，即可得出答案． 【详解】解：由折叠的性质得：，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 11．（25-26七年级上·浙江湖州·期末）元旦期间，吴兴区某校七年级同学在观看太湖古镇灯光秀表演后，以“灯光里的数学美”为主题展开项目式学习．同学们类比角平分线的定义，给出角的倍分角线的定义，在探究中感受数学之美． 新定义：如果的内部有一条射线将分成两个角，其中是所分角中较小角的倍，那么我们称射线为的倍分角线．如图1，若，则射线为的3倍分角线． 【特例感知】 (1)若， ①射线为的2倍分角线，则________； ②射线为的3倍分角线，则________； 【类比探究】 (2)如图2，点，，在同一条直线上，为直线上方的一条射线．若射线，分别为和的4倍分角线（，），当时，求的度数； (3)如图3，在（2）的条件下，若射线从射线处绕点顺时针旋转，速度为度/秒，同时射线从射线处绕点顺时针旋转，速度为度/秒．在旋转的过程中，当射线是的倍分角线时（），恰好射线也是的倍分角线（），请直接写出与的数量关系________． 【答案】(1) 或 (2) (3) 【分析】（1）根据定义，计算即可求解； （2）设，则，根据“4倍分角线”，可求出和， 再根据，列出方程，求解即可； （3）设旋转时间为秒，则，，则根据“倍分角线”，可得，，从而，同理可得，进而得到，整理可得． 【详解】（1）解：①射线为的2倍分角线，， ，即； 故答案为：； ②射线为的3倍分角线，， 当，即； 当，即， ， 故答案为：或； （2）解：设， 点，，在同一条直线上， ，即， 射线，分别为和的4倍分角线（，）， ，， 则， ，， ，即，解得， ； （3）由（2）可知，，，，， 设旋转时间为秒，则，， 射线是的倍分角线时（）， ， ， ， 射线也是的倍分角线（）， ， ， ，即， ， ． 【点睛】本题考查角的运算，角的倍分角线的定义，动角问题，正确掌握角的运算和角的倍分角线的定义是解题的关键． 12．（25-26六年级下·山东烟台·期中）已知，，平分，平分． (1)如图1，当射线与射线重合时，求的值； (2)如图2，当从图1开始，绕点以每秒的速度顺时针旋转秒时（），在旋转过程中，的值是否会因的变化而变化？若无变化，请求出该定值；若发生变化，请说明理由； (3)在（2）的条件下，当时，求的值． 【答案】(1) (2)的值不变， (3)5 【分析】（1）首先根据角平分线的定义求得，，然后求解即可； （2）首先由题意可得，，，由角平分线的定义可得 ， ，即可解答； （3）根据题意可得 ，解方程即可得出答案． 【详解】（1）解：∵平分，平分，射线与射线重合，，， ∴ ， ， ∴； （2）解：的值不变，， 由题意，得， ∴，， ∴ ， ， ∴ ； （3）解：由（2）知， ， ， 解得，即的值为5． 13．（25-26七年级上·福建福州·期末）（1）特例感知：如图①，已知线段，，线段在线段上运动（点A不超过点M，点B不超过点N），点C和点D分别是的中点． ①若，则_________； ②线段运动时，试判断线段的长度是否发生变化？如果不变，请求出的长度，如果变化，请说明理由； （2）知识迁移：我们发现角的很多规律和线段一样，如图②，已知在内部转动，射线和射线分别平分和． ①若，，则_________度； ②若，，求的值； （3）类比探究：如图③，在内部转动，若，，，，则的度数为_________．（用含有、的式子表示） 【答案】（1）①；②不变，；（2）①；②；（3）． 【分析】（1）①根据线段间的数量关系推出，再利用线段中点的定义算出，最后根据计算求解，即可解题； ②根据线段间的数量关系推出，再利用线段中点的定义算出，最后根据计算求解，即可解题； （2）①根据角平分线定义得到，进而推出 ，再结合①中条件求解，即可解题； ②由①同理可知， ，推出，再根据求解，即可解题； （3）根据角之间的数量关系得到，进而推出，再结合，求解，即可解题． 【详解】解：（1）① ，，， ， 点C和点D分别是的中点， ， ； 故答案为：． ②不变， ，， ， 点C和点D分别是的中点， ， ； （2）①射线和射线分别平分和， ， 则 ， ，， ， ， 故答案为：； ②由①同理可知， ， ，， ， 解得， ， ． （3） ，， ， ， ，， ， ； 故答案为：． 【点睛】本题考查了线段的和与差，线段中点的定义，角平分线定义，角的和差，解题的关键在于灵活运用相关知识． ◆题型4 与余角、补角有关的角度问题 14．（25-26七年级下·陕西渭南·期中）已知与互余，则下列说法错误的是（    ） A．是锐角，也一定是锐角 B．若与互补，则 C．若是的补角，是的补角，则 D．若是的余角，是的补角，则 【答案】C 【详解】解：A、∵与互余， ∴ ∵是锐角， ∴也一定是锐角，说法正确，不符合题意； B、∵ ∴ ∵与互补， ∴ ∴ ∴，说法正确，不符合题意； C、∵是的补角，是的补角， ∴， ∴，说法错误，符合题意； D、∵是的余角，是的补角 ∴， ∴，说法正确，不符合题意． 15．（25-26七年级下·山东烟台·期中）如图，在同一平面内，，，点E为反向延长线上一点（图中所有角均指小于的角）．下列结论：①；②；③；④．其中正确结论的个数有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】由，根据等角的余角相等得到，结合即可判断①正确；由，结合即可判断②正确；由，而不能判断，即可判断③不正确；由E、O、F三点共线得，而，从而可判断④正确． 【详解】解：∵， ∴， 而， ∴， 即， ∴①正确； ， ∴②正确； ， 而， ∴③不正确； ∵E、O、F三点共线， ∴， ∵， ∴， ∴④正确． ∴正确的结论的个数有①②④共3个． 16．（25-26七年级下·陕西咸阳·阶段检测）如图，点O是量角器的中心点，射线经过刻度线90．若．射线、分别经过刻度线40和60，在刻度线的右侧．下列结论：①；②若与互补，则射线经过刻度线165；③若，则和互为余角．其中所有正确结论的序号为______． 【答案】①③ 【分析】根据题意可得，，根据每个选项的假设，逐一判断即可． 【详解】解：， ，即，故①正确； 、分别经过刻度线40和60， ， 与互补， ， ， ， ，即射线经过刻度线160，故②错误； ，， ， 经过刻度线60，射线经过刻度线90， ， ， 和互为余角，故③正确， 所以其中所有正确结论的序号为①③． 17．（25-26七年级上·黑龙江大庆·期末）综合探究：如图，把一副直角三角板的直角边放在直线上，两个直角三角板分别在直线l的两侧，且，，． (1)如图1，_____________°； (2)如图2，把三角板绕点旋转，使刚好落在的平分线上．此时，是否平分?请说明理由； (3)如图2，设，，试猜想与的数量关系，直接写出结果． 【答案】(1)135 (2) 解：平分，理由如下： ， ，， 平分， ， ， 平分； (3) 【分析】本题主要考查了角的和与差、角平分线的定义、三角板中角度的计算，解决本题的关键是根据角的位置关系找到角度之间的关系． (1)根据角之间的位置关系和三角板中角的度数，可得； (2)根据可知，，根据角平分线的定义可证，根据同角的余角相等可证结论成立； (3)根据，，可知，根据角之间的位置关系可得，从而可得． 【详解】（1）解：， ， ， ， 故答案为：； （2）略 （3）解： ，， ， ， ， ， 即． 18．（25-26七年级上·河南驻马店·阶段检测）如图1，与都是直角，． (1)求和的度数，并说明和的大小关系如何． (2)若的大小不确定，其他条件不变，（1）中的和的大小关系仍然成立吗？请说明理由． (3)试猜想与是相等、互余，还是互补关系，并说明你的猜想是否合理． (4)当绕点O旋转到图2的位置时，（3）中的猜想还成立吗？请说明理由． 【答案】(1)，； (2) 解：成立，理由如下： ∵， ∴， ∴（同角的余角相等）． (3) 解：互补关系，理由如下： ∵， ， ∴， 即与是互补关系． (4) 解：成立，理由如下： ∵， 结合， 上式为， 即， 故与依旧是互补关系． 【分析】本题考查角度的和差计算以及余角、补角的概念，熟练掌握角度之间的计算关系是解题的关键． （1）根据直角关系，求出，，并得到二者角度相等； （2）根据同角的余角相等即可证明； （3）将直角代入计算，可证出，即二者互补； （4）同理，将直角代入计算，得出，即二者互补． 【详解】（1）解：∵与都是直角， ∴， ∵， ∴，， 故． （2）略 （3）略 （4）略 考点二 角的有关知识的应用 ◆题型5 角的旋转问题 19．（25-26七年级上·陕西商洛·阶段检测）如图1，已知线段，，线段在线段上运动，E，F分别是，的中点． (1)若，则________cm． (2)当线段在线段上运动时，试判断的长度是否发生变化．如果不变，请求出EF的长度；如果变化，请说明理由． (3)我们发现，角的很多规律和线段一样． ①如图2，已知在的内部转动，，分别平分和．若，，求的度数． ②由此，请猜想，和之间的数量关系：________． 【答案】(1)10 (2)不变， (3)①；② 【分析】（1）欲求，需求．已知，需求．由，分别是，的中点，得，，那么，进而解决此题； （2）与（1）同理解答即可； （3）①欲求，需求．已知，需求．由，分别平分和，得，，进而解决此题；②与①同理解答即可． 【详解】（1）解：分别是，的中点， ， 又 ． （2）解：不变， ，分别是，的中点， ，， ， ，，， ， ． （3）解：①分别平分和， ， ， 又， ， ， ， ②由①得：， ， ， ． 20．（25-26七年级上·河南驻马店·期末）新定义：若两个角的和为，我们则称这两个角互为“相伴角”；例如，，则与互为“相伴角”．（本题中所研究的角都是大于而小于的角．） 【阅读理解】 （1）如图，如果，与互为“相伴角”，则________； 【初步应用】 （2）射线平分角，为内部的一条射线，且满足，若与互为“相伴角”，求的值； 【解决问题】 （3）如图，已知，射线从出发，以每秒的速度绕点顺时针旋转，同时，射线从出发，以每秒的速度绕点逆时针旋转，设运动的时间为秒由，，三条射线形成的角中是否有两个角互为“相伴角”？ 【答案】（1）；（2）或；（3）有． 【分析】本题考查新定义的角度关系、角平分线，找到新定义的角度关系是解题的关键． （1）根据新定义，找到角度关系，求解即可； （2）分情况讨论与的位置关系，画出图象，求解即可； （3）分情况讨论与的位置关系，画出图象，根据新定义列出各个角度关于时间的一元一次方程求解即可． 【详解】解：（1），与互为“相伴角”， ， ， ， ； （2）如图，当在上方时， OM平分角， ， 根据题意得， ， ， ， 当在下方时， 平分角， ， 根据题意得， ， ， 综上所述，为或； （3）已知，射线以每秒顺时针旋转，射线以每秒逆时针旋转， 当秒时：，， 则，， 三条射线形成的角为，，，验证两角和是否为，如下： ，， 因此当时，由，，三条射线形成的角中与互为“相伴角”． 21．（25-26七年级上·江苏盐城·阶段检测）【材料阅读】如图1，数轴上有三个点A，B，C，表示的数分别是，，1． （1）若要使A，B两点的距离与C，B两点距离相等，则可将点B向左移动 个单位长度； （2）若动点P，Q分别从点A、点B出发，以每秒6个单位长度和每秒5个单位长度的速度向左匀速运动，动点从点C出发，以每秒3个单位长度的速度向右匀速运动，点P，Q，R同时出发，设运动时间为t秒． ①t秒后，点P，Q，R表示的数分别为 ， ， （用含t的代数式表示）； ②记点P与点Q之间的距离为d，点Q与点R之间的距离为m，则的值是否有变化？若无变化，请求出这个值；若有变化，请说明理由． 【方法迁移】如图2，，平分．现有射线、分别从、同时出发，以每秒和每秒的速度绕点O顺时针旋转，当旋转一周时，这两条射线都停止旋转．问经过几秒后，射线的夹角为？ 【生活运用】周末的下午，小明看到钟面显示3点整，此时分针与时针的夹角恰好为，经过 分钟后，分针与时针的夹角首次变成． 【答案】（1）2（2）①；； ②没有变化；23；方法迁移10秒或27.5秒；生活运用 【分析】主要考查了数轴上两点间的距离，数轴上的动点问题，整式的加减，数轴，一元一次方程的应用，线段的计算，以及钟面角等问题，根据题意列出方程是解决问题的关键． （1）根据中点坐标公式求出中点表示的数，再用移动前点B表示的数减去中点表示的数即可得到答案； （2）①根据左减右加（路程）的规律求解即可；②表示出，化简后即可判断； 【方法迁移】分追上前和追上后两种情况分别建立方程解答即可； 【生活运用】设经过y分钟后，分针与时针的夹角首次变成，分别求出时针和分针每一分钟所走的路程，再列方程解答即可． 【详解】解：（1）∵数轴上有三个点A，B，C，表示的数分别是，，1，要使A，B两点的距离与C，B两点距离相等， 则，． 故可将点B向左移动2个单位长度， 故答案为：2； （2）①t秒后，点P，Q，R表示的数分别为；；， 故答案为：；；； ②∴不变化；理由如下： 点P与点Q之间的距离， 点Q与点R之间的距离， ∴， ∴不变化，； 【方法迁移】∵，平分， ∴． （秒）． 设经过x秒后，射线的夹角为， 当追上前，则， 解得：； 当追上后，则， 解得：． ∴经过10秒或27.5秒后，射线的夹角为； 【生活运用】设经过y分钟后，分针与时针的夹角首次变成， ∵分针每分钟旋转，时针每分钟旋转， ∴， 解得：， ∴经过分钟后，分针与时针的夹角首次变成． 故答案为：． 22．（24-25七年级上·陕西咸阳·阶段检测）已知：如图1，，． (1)求的度数； (2)如图2，若射线在内部，作平分，平分，的度数是多少？ (3)如图3，若射线从开始绕点以每秒旋转的速度逆时针旋转，同时射线从开始绕点以每秒旋转的速度逆时针旋转；当射线到达时，射线，同时停止运动．设旋转的时间为秒，当，试求的值． 【答案】(1) (2) (3)5秒或10秒 【分析】本题考查了角的和差计算、角平分线的性质及旋转中的角度动态变化，解题的关键是利用角度关系建立等式，结合绝对值处理旋转中的位置关系．​ （1）通过 与 的差计算；​ （2）利用角平分线性质将 转化为 的一半；​ （3）表示 的旋转角度，列绝对值方程求解 t，验证范围． 【详解】（1）已知，．​ 因为点 B 在 内部，且 按逆时针排列，所以． （2） 平分，故； 平分，故． （3）射线旋转角度：度，射线 旋转角度：度． 初始时，t秒后： ． 令，则或， 解得或． 验证：OP 到达 OC 需 15 秒 （秒），和均在范围内． ◆题型6 动态三角板的角度计算问题 23．（25-26七年级上·四川广元·期末）已知和互为邻补角，，将一个三角板的直角顶点放在点处（注：，）． (1)如图①，使三角板的短直角边与射线重合，求的度数． (2)将图①的三角板在的上方绕点逆时针转动，如图②，在转动过程中，当时，求的度数． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）利用求解即可； （2）设，则，根据题意分两种情况讨论，分别列方程求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴； （2）解：设，则， 如图，当在内部时， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 如图，当在外部时， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 综上所述，当时，的度数为或． 24．（25-26六年级下·上海·期末）解答以下问题 (1)数学课上，王老师让同学们准备一副三角板，并利用它们画出一些角，例如、、、等，小明利用三角板画出了一个的角，小乐利用三角板画出了一个的角，你还能用一副三角板画出多少度的角？_______（写出个即可，要求小于） (2)小明将一个角的直角三角板的一边与直线重叠，在直线上方，，另一个的直角三角板与三角板共顶点，，并且，平分． ①当两个三角板如图1所示放置时，用含的代数式表示的度数_______； ②如果三角板固定不动，三角板可以绕点转动（角的大小可以变化），当三角板的一边平分时，求的度数． 【答案】(1)、 (2)①；②的度数为或 【分析】（1）运用角的和与差的计算即可得出答案，只要是的倍数的角都可以画出来； （2）分平分和平分两种情况，利用角平分线的定义及角的和差关系分别求解即可． 【详解】（1）解：由题意可知，一副三角板中有、、、的角， ∵，，，，，， ∴还能用一副三角板画出、、、、、的角． （2）解：①∵，，， ∴， ∵平分， ∴． ②如图，当平分时， ∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴； 如图，当平分时， ∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴； 综上所述：的度数为或． 25．（25-26七年级下·江苏扬州·期中）如图，一副三角板最初按图1的方式放置，两个三角板的直角顶点A重合，点E落在边上，，（本题中所有的角均小于或等于180°）． (1)如图2，若将三角板绕点A以每秒的速度顺时针旋转，而三角板保持静止不动，第5秒时，的度数为________°，的度数为________°，此时________． (2)若将三角板绕点A顺时针旋转一周后停止，把旋转角记为，而三角板保持静止不动，则（1）中和的数量关系是否始终成立？请画出图形并说明理由． (3)若将三角板绕点A以每秒的速度顺时针旋转的同时，将三角板以每秒的速度逆时针旋转，两个三角板均在旋转一周后停止，则第几秒时？（直接写出答案即可） 【答案】(1)20，160，； (2) 成立，理由如下， 设三角板绕点顺时针旋转度（）， 情况1，当时，如图2， ，， ∵， ∴， ∴； 情况2，当时，如图3， ； ∴（1）中始终成立． (3)第秒或秒或秒时． 【分析】（1）根据旋转速度和时间可求出旋转角度，进而得出相关角的度数； （2）通过设旋转角度，用含未知数的式子表示出和，验证它们的数量关系； （3）设旋转时间，根据两个三角板的旋转速度表示出和，再根据已知数量关系列方程求解． 【详解】（1）解：如图1， ∵三角板绕点以每秒的速度顺时针旋转， ∴第5秒时，旋转的角度为， ∴， 又∵，， ∴， ∴． 故答案为：20，160，； （2）略 （3）解：设秒时，， 三角板绕点以每秒的速度顺时针旋转，则三角板旋转了， 三角板以每秒的速度逆时针旋转，则三角板旋转了， 情况1，时，如图4， ，， ∴， 解得：； 情况2，时，如图5 ，， ∴， 解得：； 情况3，时，如图6， ，， ∴， 解得：； 综上，第秒或秒或秒时． 26．（25-26七年级下·山西临汾·阶段检测）某校七（1）班数学活动小组在做角的拓展练习时，利用一副含有角的直角三角板和含有角的直角三角板尝试完成探究． (1)利用这副三角板可以画出一些特殊角，在①，②，③，④，⑤五个角中，利用一副三角板画不出来的角是______．（填序号） (2)如图1，边，与直线重合，；，则的度数为______． (3)保持三角板不动，将三角板绕点O顺时针旋转一个角度． ①如图2，当为直角时，______． ②如图3，在转动过程中，E为线段上的一点，．若时，求的值． 【答案】(1)④⑤ (2) (3)①；② 【分析】（1）利用三角板的角度性质将各选项的角逐一进行组合，无法组合即为不能画出的角； （2）根据平角的定义及角的和差，即可得出答案； （3）①利用角的和差关系，即可得出答案； ②根据，得到，从而，进而得出，，根据列出方程，求解即可． 【详解】（1）解：由题意知，含有角的直角三角板和含有角的直角三角板，其对应的角度分别为：、、，、、， ①，利用一副三角板能画出角； ②，利用一副三角板能画出角； ③，利用一副三角板能画出角； ④一副三角板的角度无论如何组合都无法组成，利用一副三角板不能画出角； ⑤一副三角板的角度无论如何组合都无法组成，利用一副三角板不能画出角． 综上所述，利用一副三角板画不出来的角是④⑤． （2）解：∵，， ∴． （3）解：①∵是直角， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． ②∵，， ∴， ∴， ∴， ， ∵， ∴， ∴． 综合攻坚·知能拔高 27．如图，将三个相同的三角尺（内角分别为，，）的一个顶点重合放置，如果，，那么的度数是_____． 【答案】 【分析】先分别表示和，再利用列出等式，代入已知角度求出． 【详解】解：如图， 据题意可知，，， ， ，即， ，， ， 解得． 28．（25-26七年级上·重庆沙坪坝·开学考试）如图，已知为直线上一点，以为端点作射线，，将射线绕点逆时针旋转，旋转速度为，旋转后对应射线为，旋转时间为秒，当与重合时运动停止，射线为的角平分线，射线为的四等分线，即，当时，的值为___________或___________． 【答案】 【分析】根据旋转性质表示出和，利用角平分线和四等分线定义表示和，根据与的位置关系分和两种情况，结合绝对值方程求解． 【详解】解：由题意得，， 射线为的四等分线， ， 当旋转到的延长线上时，如图，此时，则， ①当时，如图， 则， ∵射线为的角平分线， ∴， ∵， ∴，即， 则有，即， 解得或， 由，可得； 当旋转到与重合时，则， ②当时，如图， 则， ∵射线为的角平分线， ∴， ∵， ∴，即， 则有，即， 解得或， 由，可得； 综上所述，的值为或28． 29．（25-26七年级下·四川成都·阶段检测）如图，直线上有一点O，作射线，使得，在同一平面内将一个直角三角尺的直角顶点放在点O处，，若始终在的内部，则______． 【答案】36 【分析】由角的和差得，由补角的定义得，即可求解． 【详解】解：因为 ， ， 所以 ． 30．（23-24七年级上·陕西西安·期末）如图1，点O是弹力墙上一点，魔法棒从的位置开始绕点O向的位置顺时针旋转，当转到位置时，则从位置弹回，继续向位置旋转．按照这种方式将魔法棒进行如下步骤的旋转． 第1步，从（在上）开始旋转至； 第2步，从开始继续旋转至； 第3步，从开始继续旋转至， …． 例如：当时．，，，的位置如图2所示，其中恰好落在上，；当时，，，，，的位置如图3所示，其中第4步旋转到后弹回，即，而恰好与重合． 根据以上材料，解决如下问题： (1)若，则度数是 ； (2)若，恰好与重合，求的值； (3)若，是否存在对应的值使？若存在，请求出对应的α值，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)或或 【分析】本题主要考查角度的计算的相关知识，可结合平角的性质及角度的加减进行计算分析． （1）根据题意，明确每次旋转的角度，计算即可； （2）根据各角的度数，找出等量关系式，列出方程，求出的度数即可； （3）类比第（2）小题的算法，分三种情况讨论，求出的度数即可． 【详解】（1）解：如图，当，，， ∴， 故答案为：； （2）解：如图，∵，且， ∴， 由题可得：， 解得：； （3）解：如图，与都不回弹时， ，解得； 如图，当在的左边， ， ∴， ∴，解得：， 如图，当在的右边， 根据题意得：，解得：， 综上，对应的值是或或． 31．已知：O为直线上的一点，射线表示向北方向，射线在北偏东的方向，射线在南偏东的方向，射线平分，且． (1)如图1，________°，和之间的数量关系为_________． (2)若将绕点O旋转至图2的位置，射线仍然平分时，试问（1）中和之间的数量关系是否发生变化？请说明理由． (3)若将绕点O旋转至图3的位置，射线仍然平分时，则和之间的数量关系发生变化吗？如不变化，说明理由，如变化，写出新的数量关系并说明理由． 【答案】(1)90， (2) 和之间的数量关系不发生变化． 证明如下：如图， ， ， ， ， ， ， ． (3) 发生变化，， 理由：如图， ， ， ， ， 又 平分， ， 即， ． 【分析】本题主要考查了方向角的定义，以及角平分线的定义的运用，对定义的熟练掌握是解题的关键.解题时注意角的和差关系的运用． （1）根据方向角的定义，以及, 即可根据角的和差关系进行求解； （2）根据, 即可证得； （3）根据角的和差，以及角平分线的定义即可求得和之间的数量关系． 【详解】（1）解：（1）如图，， ∴ ， 射线平分， ， ， 由可知，， ， ． （2）略 （3）略 32．（25-26七年级上·广东深圳·阶段检测）淇淇在商场买了一块机械手表，爱钻研的淇淇发现了手表上的数学问题，如图1所示是一块手表，可以看成如图2的数学模型（点A和点D是表带的两端，点A，B，C，D在同一条线段上）．    (1) _在某个时刻，分针指向表盘上的数字“6”(此时与重合)．时针为，淇淇一看现在正好是，如图3所示． ①求时分针和时针夹角的度数； ②作射线，使，求此时的度数为 ． (2)如图4所示，自之后，始终是的角平分线(分针还是)，在一小时以内，直接写出经过多少分钟后，的度数是． 【答案】(1)①；②的度数为或 (2)经过分钟或分钟后，的度数是 【分析】本题考查了钟面角，角的和差，一元一次方程的应用， 理解题意并正确进行分类讨论是解题的关键． （1）①表盘为圆，分小时，每分钟时针走过的度数为，点整，时针刚好落在时上，分钟后时针转动了，则时，分针在时处，时针在时过的地方，据此即可得出的度数；②分情况讨论，当射线在内部和外部两种情况，分别求解即可； （2）根据题意可得，由平分可得，解方程即可得出答案． 【详解】（1）解：①∵分针的速度为：（度/分）， 时针的速度为：（度/分）， ∴分钟时针走的角度为：，即时针从点到走的角度为， ∴， 即：时分针和时针夹角的度数为； ②∵， 当在内部时， ， ∴； 当在外部时， ∴； 综上，的度数为或； （2）解：设经过时间为分钟， 由（1）可知：时针与分针的速度差为（度/分）， ∴， ∵平分， ∴， ∴或， 解得：或， ∴经过分钟或分钟后，的度数是． 33．如图，，，，分别是，的角平分线． (1)若，，当绕着点逆时针旋转至射线与重合时（如图），则的大小为 ； (2)在（1）的条件下，继续绕着点逆时针旋转，当时（如图），求的大小并说明理由； (3)在绕点逆时针旋转过程中， ．（用含，的式子表示）． 【答案】(1) (2)，见解析 (3)或 【分析】（1）根据角平分线的定义、角的和差关系进行解答即可； （2）根据角平分线的定义、角的和差关系进行解答即可； （3）根据题意，分两种情况进行讨论即可． 【详解】（1）解：如图， ∵，分别是，的角平分线， ∴，， ∴． 又∵，，即， ∴． （2）解：如图， ∵，平分， ∴． ∵，平分， ∴， ∴． ∴． （3）解：如图，，， ∵，，，分别是，的角平分线， ∴易得； 同理，当是钝角且的两边都不在内部时， ； 故答案是：或． 34．（25-26七年级上·福建福州·期末）如图1，点在直线上，过点引一条射线，使，将一个直角三角尺的直角顶点放在点处，直角边在射线上，另一边在直线的下方． 【操作一】：将图1中的三角尺绕着点以每秒的速度按顺时针方向旋转，当它完成旋转一周时停止，设旋转的时间为秒． (1)的度数是__________． (2)三角尺的边旋转的度数可表示为__________（用含的代数式表示）；当__________时，． 【操作二】：如图2，射线与射线重合．如图3，在三角尺绕着点以每秒的速度按顺时针方向旋转的同时，射线绕点以每秒的速度按顺时针方向旋转，当三角尺完成旋转一周时停止，射线也停止旋转，设旋转的时间为秒． (3)当为何值时，，并说明理由？ (4)试探索：在三角尺与射线旋转的过程中，是否存在某个时刻，使得？若存在，请求出所有满足题意的的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)；或 (3)或 理由如下：根据题意，得，， ， ， 解得； 根据题意，得，， ， 解得； (4)存在；或 【分析】（1）根据，解答即可． （2）分且在的上方， 且在的下方，两种情况求解． （3）根据题意，得，或，求解即可； （4）当在的左侧时，此时，根据题意，得，当在的右侧时，此时，根据题意，得，求解即可． 【详解】（1）解：根据题意，得，且， 故; （2）解：三角尺绕着点以每秒的速度按顺时针方向旋转，旋转的时间为秒， 故旋转角． 当且在的上方时， 根据题意，得，， ， ， 解得； 当且在的下方时， 根据题意，得，， ， ， 解得； （3）略 （4）解：根据题意，当在的左侧时， 此时， 根据题意，得， 整理，得， 解得； 当在的右侧时， 此时， 根据题意，得， 整理，得， 解得； 故当t为或时，; 35．（25-26七年级下·福建莆田·期中）一副三角板摆放如图，其中边与边在直线上．将绕点顺时针旋转，旋转速度是每秒，同时绕点开始逆时针旋转，旋转速度是每秒当任何一块三角板的边转到直线上时，两块三角板同时停止运动． (1)求当边与边所在直线重合时的时间； (2)求当其中一块三角板的边所在的直线平分另一块三角板内角时的时间（画出相应示意图）； (3)的最小值，并写出相应的时间或时间范围． 【答案】(1)秒 (2)秒或秒或秒或秒或秒， (3)当时，的最小值为 【分析】（1）设边与边重合的时间为，由于边与边重合，即，列方程求解即可； （2）设运动时间为，根据题意可知，一条边平分另一个三角形的内角需要分类讨论，将两个三角形的位置进行依次重合会有五种情况出现，画出示意图，依次列方程解答即可； （3）设边与边重合的时间为，列方程求出边与边重合的时间，结合边与边重合的时间，分段进行求值，最后进行比较即可． 【详解】（1）解：设边与边重合的时间为， 由边与边重合可得， ，解得； （2）解：设当其中一块三角板的边所在直线平分另一块三角板内角时的时间为秒： ①当所在直线平分时，如图1所示： 则，解得； ②当所在直线平分时，如图2所示： 则，解得； ③当所在直线平分时，如图3所示： 则，解得； ④当所在直线平分时，如图4所示： 则，解得； ⑤当所在直线平分时，如图5所示： 则，解得； 综上所述，当其中一块三角板的边所在直线平分另一块三角板内角时的时间为秒或秒或秒或秒或秒； （3）解：由（1）知边与边重合的时间为秒， 设边与边重合的时间为，则 ，得， ①当时，，， 则； ②当时，，， 则； ③当，且未停止转动时，，， 则； 综上所述，当时，的最小值为． 36．（25-26七年级下·山东淄博·期末）爱思考的小明同学在学习了《基本的平面图形》之后，对以下关于线段和角的问题分别进行了深入探究． (1)【初步探究】已知，是线段上的点，，分别是线段，的中点，，．小明发现：线段与线段，之间存在一定的数量关系． ①如图1，当时，线段的长为___________；（用含，的式子表示） ②如图2，当时，线段的长为___________；（用含，的式子表示） (2)【类比探究】如图3，，已知射线，在的内部，且．若有射线，分别平分，，请帮助小明同学求的度数；（用含，的式子表示） (3)【拓展延伸】小明同学将一块含角的三角板的顶点和的顶点重合，并分别在，的内部作射线，．已知，（），，． ①如图4，小明同学先将三角板放置于的内部，且使，则___________；（用含，k的式子表示） ②小明同学又把三角板和按如图所示方式摆放（点在射线上，在左侧），再将三角板绕点在所在的平面内逆时针方向转动．若，，（），问在三角板转动的过程中是否存在，使得？若存在，请直接写出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)①，② (2)或 (3)①；②存在，或 【分析】（1）分类讨论，根据线段的和差关系，即可求解； （2）分类讨论，当时，当时，分别画出图形，根据角度的和差关系，即可求解； （3）①先求出，根据，，最后求出； ②分三种情况讨论：当时，当时，当时，分别画出图形，求出结果即可． 【详解】（1）①当时， ∵，是线段上的点，，分别是线段，的中点， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴； ②当时， ∵，是线段上的点，，分别是线段，的中点， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴； （2）①如图，当时， ∵射线，分别平分，， ∴，，   ∴，       ∵，， ∴；              ②如图，当时， ∵射线，分别平分，， ∴，，                   ∴                    ∵，， ∴； （3）①∵，， ∴， ∵， ∴，， ∴ ∴ ； ②存在； 当时，如图所示： 根据类比（1）可得：此时， ∴当时，符合题意， 此时， 解得：； 当时，如图所示： 根据旋转可得：，， ∵平分平分， ∴，， ∴， ∴， ∴当时，符合题意， 此时， 解得：； 当时，如图所示： 根据旋转可得：，， ∵平分平分， ∴，， ∴， ∴， ∵此时， ∴此时不可能是的2倍； 综上，当或时，． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $