第二章 实数 单元复习卷 2026--2027学年北师大版八年级数学上册

2026-2027北师大八年级第二章实数单元复习卷 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.下列各数中是无理数的是(    ) A. B. C. D. 2.下列各组二次根式中，化简后是同类二次根式的是(    ) A. 与 B. 与 C. 与 D. 与 3.下列说法正确的是(    ) A. 负数没有立方根 B. C. 立方根等于本身的数是 D. 无限小数都是无理数 4.秦兵马俑的发现被誉为“世界第八大奇迹”，兵马俑的眼睛到下巴的距离与头顶到下巴的距离之比约为，下列估算正确的是(    ) A. B. C. D. 5.若，则(    ) A. B. C. D. 6.对于任意的正数，，定义运算“”为计算的结果为    ． A. B. C. D. 7.在如图所示的数轴上，点与点关于点对称，、两点对应的实数分别是和，则点所对应的实数是(    ) A. B. C. D. 8.在如图所示的运算程序中，若输入的值是，则输出的值是(    ) A. B. C. D. 9.填写下表，观察后回答问题。 从表格中探究与数位的规律，并利用这个规律解决下列问题： 已知，若，则(    ) A. B. C. D. 10.如图，通过画边长为的正方形，就能准确地把表示在数轴上的点处，记右侧最近的整数点为，以点为圆心，为半径画半圆，交数轴于点，记右侧最近的整数点为，以点为圆心，为半径画半圆，交数轴于点，如此继续，则的长为(    ) A. B. C. D. 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。 11.的平方根是          ；的算术平方根是          ． 12.已知，，在数轴上对应点的位置如图所示，化简：          ． 13.设的整数部分是，小数部分是，则的值是          ． 14.已知，则的算术平方根是          ． 15.已知为正整数，若是整数，则根据可知有最小值设为正整数，若是大于的整数，则的最小值为          ，最大值为          ． 三、计算题：本大题共1小题，共10分。 16.计算： ； 四、解答题：本题共7小题，共65分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 17.本小题分已知的平方根是，的立方根是，求的算术平方根． 18.本小题分已知，将其分母有理化． 小明同学是这样解答的： 请你参考小明的化简方法，解决如下问题： 直接写答案：            计算：； 若，求的值． 19.本小题分归纳与探究： 计算：           ，           ，           ，           ，           ，． 猜想：对于任意有理数，一定等于吗？利用中的计算，你发现的值等于多少呢？ 应用：有理数，，在数轴上所对应的点如图所示，是的平方根计算：． 20.本小题分阅读材料：我们知道，任意一个有理数与一个无理数的和为无理数，任意一个不为零的有理数与一个无理数的积为无理数，而零与无理数的积为零，由此可得，如果，其中，为有理数，为无理数，那么，． 运用上述知识解决下列问题： 如果，其中，为有理数，求和的值； 若，均为有理数，且，求的算术平方根． 21.本小题分【问题情境】某班同学以“已知三角形三边的长度，求三角形面积”为主题开展了数学活动．   【操作发现】第一小组的同学想到借助正方形网格解决问题图是的正方形网格，每个小正方形的边长均为，每个小正方形的顶点称为格点在其中画出，其顶点，，都是格点，同时构造正方形，使它的顶点都在格点上，且它的边，分别经过点，，他们借助此图求出了的面积． 在图中，所画的的三边长分别是_______，_______，_______，的面积为_______． 在如图所示的正方形网格中画出顶点都在格点上，使，，，并求出的面积． 【继续探究】第二小组的同学想到借助曾经阅读的数学资料来解决问题古今中外的数学家曾经对“已知三角形的三边长分别为，，，求其面积”的问题进行过深入的研究古希腊几何学家海伦和我国南宋时期数学家秦九韶都给出过计算的公式， 海伦公式：，其中． 秦九韶公式：． 一个三角形的三边长依次为，，，请你从上述材料中选用适当的公式求这个三角形的面积写出计算过程． 22.本小题分对于实数，我们规定：用符号表示不大于的最大整数，称为的根整数，例如：，． 仿照以上方法计算：           ；           ． 若，写出满足题意的的整数值：          ． 如果我们对连续求根整数，直到结果为为止．例如：对连续求根整数次：，这时候结果为对连续求根整数，多少次之后结果为，请写出你的求解过程． 只需进行次连续求根整数运算后结果为的所有正整数中，最大的是多少？ 23.本小题分数形结合是解决数学问题的重要思想方法．某数学小组在探究实数与数轴时，进行了如下操作： 【基础尝试】如图，把两个边长为的小正方形分别沿对角线剪开，拼成一个大正方形，大正方形的面积是          ，边长是          ； 【方法迁移】如图，在数轴上，以个单位长度为边长画一个正方形，以数字所在的点为圆心，正方形的对角线长为半径画弧，与数轴交于，两点，则点表示的数为          ，点表示的数为          ，这两数的绝对值的和为          ； 【问题解决】 如图，小明用长为、宽为的长方形纸片剪拼成了一个面积为的正方形．则拼成的正方形的边长为________； 如图，小明将这个正方形平放在数轴上正方形的一条边恰好落在数轴上已知正方形在数轴上的一个顶点落在表示数的位置．请借鉴中的方法在图的数轴上画出这个正方形可能出现的位置示意图不写作法，只保留作图痕迹并标出必要线段长，并直接写出此时正方形在数轴上的另一个顶点表示的实数． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $2026-2027北师大八年级第二章实数单元复习卷 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求 的。 1.下列各数中是无理数的是() A.0.10101 B.V27 C.2 D.0.21 2.下列各组二次根式中，化简后是同类二次根式的是() A.√⑧与V3 B.V2与V12 C.5与V15 D.√75与v27 3.下列说法正确的是() A.负数没有立方根 B.√16=±4 C.立方根等于本身的数是0，士1 D.无限小数都是无理数 4.秦兵马俑的发现被誉为“世界第八大奇迹”，兵马俑的眼睛到下巴的距离与头 顶到下巴的距离之比约为，下列估算正确的是() A0<<号 B<<c<1 D>1 5.若2<a<3,则V(2-a)2-√3-a)2=() A.5-2a B.1-2a C.2a-1 D.2a-5 6.对于任意的正数m,n,定义运算“”为m*n= VWm-V元(m≥m:计算3*2)×(8*12)的结果为 √m+√n(m<n). () A.2-4W6 B.2 C.2W5 D.20 7.在如图所示的数轴上，点B与点C关于点A对称，A、B两点对应的实数分别是√3和-1，则点C所对应的 实数是() B -10 3 A.1+V3 B.2+V3 C.23-1 D.23+1 8.在如图所示的运算程序中，若输入x的值是64，则输出y的值是() 是有理数 是有理数 是无理数 输入x 取算术 平方根 取立方根 输出y 是无理数 A.2 B.2 C.3 D.5 9.填写下表，观察后回答问题。 第1页，共5页 0.0001 0.01 100 10000 va 0.01 0.1 1 10 100 … 从表格中探究a与√a数位的规律，并利用这个规律解决下列问题： 已知V3.24=1.8,若√a=180,则a=() A.3240 B.32.40 C.32400 D.324.0 10.如图，通过画边长为1的正方形，就能准确地把√2表示在数轴上的点A1处，记A1右侧最近的整数点为 B1,以点B1为圆心，A1B1为半径画半圆，交数轴于点A2,记A2右侧最近的整数点为B2,以点B2为圆心， A2B2为半径画半圆，交数轴于点A3,…如此继续，则AgBg的长为() 0 1 A B A2 B2 A3 A.√2-1 B.√2 C.V2+1 D.2-√2 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。 11.的平方根是一；√16的算术平方根是一 12.已知a,b,c在数轴上对应点的位置如图所示，化简：Ia-bl-√(a+c)7-Vb+c-一 b0 c 13.设7的整数部分是a,小数部分是b,则a2+(1+V刀ab的值是一 14.已知y=3+√2x-1+√1-2x,则2x+3y的算术平方根是. 15.已知m为正整数，若√189m是整数，则根据v189m=√3×3×3×7m=3√3×7m可知m有最小值 3×7=21设n为正整数，若四是大于1的整数，则n的最小值为一最大值为一 三、计算题：本大题共1小题，共10分。 16.计算： @v-4层+房(w5+@-2+V⑤2-V⑤ 四、解答题：本题共7小题，共5分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 17.(本小题9分)已知2a+1的平方根是士3,3a+2b+4的立方根是-2，求4a-5b+5的算术平方 根 第2页，共5页 18(体小思9分)已知a=2将其分母有理化. 小明同学是这样解答的： 1 2-3 a= 2+V3(2+V3)2-V万2-v3 请你参考小明的化简方法，解决如下问题： (1)直接写答案：2+1= (2)计算：2+1+5+元+74+V店+…+2025+V22 (3)若a=√52求2a2-8a+1的值. 19.(本小题9分)归纳与探究： (1)计算：√2z=, (2)猜想：对于任意有理数a,√a2一定等于a吗？利用（①）中的计算，你发现Va2的值等于多少呢？ (3)应用：有理数a,b,c在数轴上所对应的点如图所示，c是4的平方根计算： Ib-al-b2+(c-a)2 b a 0 20.(本小题9分)阅读材料：我们知道，任意一个有理数与一个无理数的和为无理数，任意一个不为零的 有理数与一个无理数的积为无理数，而零与无理数的积为零，由此可得，如果mx+n=0,其中m,n为 有理数，x为无理数，那么m=0,n=0. 运用上述知识解决下列问题： (1)如果(m+1)V3+n-2=0,其中m,n为有理数，求m和n的值： (2)若m,n均为有理数，且(m+1)V2+m-17=2√2-n2,求|m+m的算术平方根， 21.(本小题9分)【问题情境】某班同学以“已知三角形三边的长度，求三角形面积”为主题开展了数学 活动. 图1 图2 第3页，共5页 (1)【操作发现】第一小组的同学想到借助正方形网格解决问题图1是6×6的正方形网格，每个小正方 形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点.在其中画出△ABC,其顶点A,B,C都是格点，同时构造 正方形CDEF,使它的顶点都在格点上，且它的边DE,EF分别经过点A,B,他们借助此图求出了△ABC的 面积。 (1)在图1中，所画的·ABC的三边长分别是AB=-一一一，BC=-一-，AC=-一一一， △ABC的面积为 (2)在如图2所示的正方形网格中画出△GHQ顶点都在格点上)，使GH=√5，GQ=2V2,HQ=√17， 并求出△GHQ的面积. (2)【继续探究】第二小组的同学想到借助曾经阅读的数学资料来解决问题古今中外的数学家曾经对“已 知三角形的三边长分别为a,b,c,求其面积”的问题进行过深入的研究.古希腊几何学家海伦和我国南宋 时期数学家秦九韶都给出过计算的公式， 海伦公式：S=√p0-)0-b)p-可，其中p=(a+b+c). 秦九韶公式：S 22 一个三角形的三边长依次为√5，√6，√7，请你从上述材料中选用适当的公式求这个三角形的面积（写出 计算过程) 22.(本小题10分)对于实数a,我们规定：用符号[√可表示不大于√a的最大整数，称[v可为a的根整数， 例如：[V⑨=3，[N10=3. (1仿照以上方法计算：[√④=一；[V26=· (2)若[V冈=1，写出满足题意的x的整数值： (3)如果我们对a连续求根整数，直到结果为1为止.例如：对10连续求根整数2次：[√1而]=3→ [V3]=1,这时候结果为1.对100连续求根整数，多少次之后结果为1，请写出你的求解过程. (④只需进行3次连续求根整数运算后结果为1的所有正整数中，最大的是多少？ 第4页，共5页 23.(本小题10分)数形结合是解决数学问题的重要思想方法.某数学小组在探究实数与数轴时，进行了如 下操作： ☑→ A 5-4-3- B 0→ 图1 图2 -5-4-3-2-10123→ 图3 图4 (1)【基础尝试】如图1，把两个边长为1的小正方形分别沿对角线剪开，拼成一个大正方形，大正方形的 面积是一，边长是： (2)【方法迁移】如图2，在数轴上，以1个单位长度为边长画一个正方形，以数字-2所在的点为圆心， 正方形的对角线长为半径画弧，与数轴交于A,B两点，则点A表示的数为一，点B表示的数为一， 这两数的绝对值的和为一： (3)【问题解决】 如图3，小明用长为5、宽为1的长方形纸片剪拼成了一个面积为5的正方形.则拼成的正方形的边长为 如图4，小明将这个正方形平放在数轴上（正方形的一条边AB恰好落在数轴上）.已知正方形在数轴上的一个 顶点A落在表示数-1的位置.请借鉴(2)中的方法在图4的数轴上画出这个正方形可能出现的位置示意图 (不写作法，只保留作图痕迹并标出必要线段长)，并直接写出此时正方形在数轴上的另一个顶点B表示的 实数 第5页，共5页(sN-Z)(s个+Z)-(Z个+个)(Z) :乙= Z+Z」-乙」= 号+西w19 SL E【嵩易】SI OL【嵩是】I 0L【嵩易】EI 0【嵩易】乙I 号年【级】T川 V【嵩易】0I 0【嵩易】6 V【嵩是】8 q【嵩显】L a【嵩品】9 a【嵩易】S D【嵩易】 D【嵩品】E ☑【嵩易】乙 O【嵩品】I 参考答案 第1页，共1页 =3+2V6+2-4+5 =6+2V61 17.【答案】解：.2a+1的平方根是±3， 2a+1=9解得a=4 :3a+2b+4的立方根是-2 .∴.3a+2b+4=-8' .12+2b+4=-8 解得b=-12, 当a=4,b=-12时， 4a-5b+5 =16+60+5 =81' :4a-5b+5的算术平方根为g 18.【答案】【小题1】 V2-1 【小题2】 解：原式=2-1 √3-√2 (V2+12-1'V3+23-2 =V2-1+V3-V2+.…+V2025-V2024 =V2025-1 =45-1 =44. 【小题3】 第2页， +V2025-V2024 2025+V2024W2025-V2024 共1页 解：，a= 1-V5+2 =V5+2, V5-2(W5+2v5-2 ∴.2a-8a+1=2a2-4a+4-7 =2a-22-7 =2×V5+2-22-7 =2×5-7 =3 19.【答案】【小题1】 2 23 3 14 0 【小题2】 对于任意有理数。Va不一定等于a.由(1)中各式的计算结果可以发现： V7=aa≥0， -aa<0. 【小题3】 由数轴可知b-a<0,b<0,c-a>0,c>0, 所以原式=a-b--b+c-a=a-b+b+c-a=c. 因为c是4的平方根，且c>0,所以c=2,所以原式=2. 20.【答案】【小题1】 m=-1,n=2 第3页，共1页 对于任意有理数a'有 【小题2】 V5或√3 21.【答案】【小题1】 (1)VV10V133.5 (2)由题意，可以作图如下. 5.=S长方航品am-50S.测=8-2×2×1-×2×2 故△GHQ的面积为3. 【小题2】 由题意，令a=V5,b=V6,c=V7, 所以a2=5,b2=6,c2=7, 所以 sw467传w 22.【答案】【小题1】 2 5 【小题2】 1,2,3 【小题3】 解：第一次：[V100]=10'第二次：[V0]=3°第三次：[V3]=1 【小题4】 第4页，共1页 解：由(2)得，进行1次求根整数运算后结果为1的正整数最大为3：：[V5]=3【V16=4:进行1次 求根整数运算后结果为3的正整数最大为15'：[√255]=15'[256]= 16,∴.进行1次求根整数运算后结果为15的正整数最大为255，∴.只对一个正整数进行3次连续求根整数 运算后结果为1，则这个正整数最大值为255， 23.【答案】【小题1】 2 2 【小题2】 -2-V2 -2+V2 4 【小题3】 解：，正方形的面积为5， ∴.正方形的边长为V5: 如图所示，点B表示的实数为-1±V5 2 V5 A 1B2 -5-4-3-2-101 23 第5页，共1页