第2章 实数 单元测试卷 2026-2027学年北师大版八年级数学上册

第2章 实数 单元测试卷（2026~2027学年） 第2章 实数 单元测试卷 北师大版（2024）八上数学上册 （2026~2027学年）　考试时间：120分钟　满分：130分 学校：__________　　班级：__________　　姓名：__________ 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共27小题，满分130分，考试时间120分钟。 2．答卷前，考生务必将自己的学校、班级、姓名、准考证号填写在左侧密封线内。 3．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，将答案字母填在「选择题答题栏」对应题号下；如需改动，擦净后重填。 4．回答第Ⅱ卷时，用黑色签字笔将答案写在题目相应位置；作图题用2B铅笔作答，并保留作图痕迹。 5．考试结束后，将本试卷一并交回。 第Ⅰ卷（选择题） 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 选择题答题栏 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 1．（3分）下列正确的是（　　） A．=2+3 B．=2×3 C．= D．=0.7 2．（3分）9的平方根是（　　） A．﹣3 B．9 C．±3 D．± 3．（3分）若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是（　　） A．x≠2 B．x≥2 C．x≤2 D．x≠﹣2 4．（3分）如图，实数a，b，c，d在数轴上表示如下，则最小的实数为（　　） A．a B．b C．c D．d 5．（3分）如图，数轴上的点P表示下列四个无理数中的一个，这个无理数是（　　） A．- B． C． D．π 6．（3分）如图，小明用1.9m的木棒DC加固小树，已知AB＝1.2m，AD＝0.6m，AB⊥BC，则木棒底端C距树根B的距离BC＝（　　） A．0.5m B．0.6m C．0.8m D．1m 7．（3分）的相反数是（　　） A． B．- C．9 D．﹣9 8．（3分）对于整数n，定义[]为不大于的最大整数，例如：[]=1，[]=2，[]=2．对72进行如下操作：72第一次[]=8第二次[]=2第三次[]=1，即对72进行3次操作后变为1，对整数m进行3次操作后变为2，则m的最大值为（　　） A．80 B．6400 C．6560 D．6561 第Ⅱ卷（非选择题） 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 9．（3分）化简：=　　　　 ． 10．（3分）若是整数，则正整数m的最小值是 　　　　 ． 11．（3分）分母有理化：=　　　　 ． 12．（3分）如图，在数轴上点A表示的实数是 　　　　 ． 13．（3分）已知a，b满足b=++12，则ab的值为　　　　 ． 14．（3分）比较大小：2 　　　　 3．（填“＞”、“＜”或“＝”） 15．（3分）已知△ABC中，AC=，BC＝2，AB＝5，以AB为一边作等腰直角三角形ABD，且D、C两点分别在边AB的两侧，则线段CD的长为 　　　　 ． 16．（3分）如图，面积为a（a＞1）的正方形ABCD的边AB在数轴上，点B表示的数为1．将正方形ABCD沿着数轴水平移动，移动后的正方形记为A'B'CD'，点A、B、C、D的对应点分别为A'、B'、C、D'，移动后的正方形A'B'C'D'与原正方形ABCD重叠部分图形的面积记为S．当S=时，数轴上点B'表示的数是 　　　　 （用含a的代数式表示）． 三、解答题（本大题共11小题，共82分） 17．（6分）计算： （1）××； （2）2⋅(a≥0)． 18．（6分）求下列各式中x的值： （1）4x2﹣25＝0； （2）（2x﹣1）3+27＝0． 19．（6分）先化简，再求值：(a+)(a-)-a(a-2)，其中a=+． 20．（6分）已知y=++2． （1）求代数式的值； （2）求代数式-的值． 21．（6分）在一次活动课中，虹烨同学用一根绳子围成一个长宽之比为3：1，面积为75 cm2的长方形． （1）求长方形的长和宽； （2）她用另一根绳子围成一个正方形，且正方形的面积等于原来围成的长方形面积，她说：“围成的正方形的边长与原来长方形的宽之差大于3cm”，请你判断她的说法是否正确，并说明理由． 22．（6分）在数学探究活动中，我们定义一种“和谐数组”：数组{x，y，z}中，x，y，z为三个互不相等的正整数，若任意两个数的乘积的算术平方根都是整数，则称这个数组为“和谐数组”．例如，数组{2，8，18}，计算可得=4，=6，=12，所以它是“和谐数组”． （1）判断：{1，9，16}　　　　 “和谐数组”，{2，4，8}　　　　 “和谐数组”（填“是”或“不是”）； （2）若{3，27，a}为“和谐数组”，其中有两个数乘积的算术平方根为18，求a的值． 23．（8分）如图所示，已知OA＝OB，BC＝2． （1）说出数轴上点A所表示的数为　　　　 ； （2）在数轴上找出对应的点；（保留作图痕迹） （3）比较点A所表示的数与﹣3.5的大小，要求写出具体过程． 24．（8分）定义：若无理数的被开方数（T为正整数）满足n2＜T＜（n+1）2（其中n为正整数），则称无理数的“共同体区间”为（n，n+1）．例如：因为12＜3＜22，所以的“共同体区间”为（1，2）．请回答下列问题： （1）的“共同体区间”为　　　　 ； （2）若无理数的“共同体区间”为（2，3），求的“共同体区间”； （3）若整数x，y满足关系式：+|2023+(y-4)2|=2024，求的“共同体区间”． 25．（10分）已知：x=(+)，y=(-)，求代数式x2﹣xy+y2值． 26．（10分）先阅读下列的解答过程，然后作答：形如的化简，只要我们找到两个数a、b使a+b＝m，ab＝n，这样（+（＝m，•=，那么便有==±（a＞b）例如：化简解：首先把化为，这里m＝7，n＝12；由于4+3＝7，4×3＝12，即（+（＝7，•=，∴===2+ 由上述例题的方法化简： （1）； （2）； （3）． 27．（10分）如图，在数轴上有两个长方形ABCD和EFGH，这两个长方形的宽都是3个单位长度，长方形ABCD的长AD是6个单位长度，长方形EFGH的长EH是10个单位长度，点E在数轴上表示的数是5．且E、D两点之间的距离为14． （1）填空：点H在数轴上表示的数是 　　　　 ，点A在数轴上表示的数是 　　　　 ． （2）若线段AD的中点为M，线段EH上一点N，EN=EH，M以每秒4个单位的速度向右匀速运动，N以每秒3个单位的速度向左运动，设运动时间为x秒，原点为O．当OM＝2ON时，求x的值． （3）若长方形ABCD以每秒2个单位的速度向右匀速运动，长方形EFGH固定不动，设长方形ABCD运动的时间为t（t＞0）秒，两个长方形重叠部分的面积为S，当S＝12时，求此时t的值． 第 1 页 / 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $第2章 实数 单元测试卷（2026~2027学年） 第2章 实数 单元测试卷 北师大版（2024）八上数学上册 （2026~2027学年）　考试时间：120分钟　满分：130分 答 题 卷 （选择题用2B铅笔填涂，其余用黑色签字笔作答） 学校：＿＿＿＿＿＿＿＿＿　姓名：＿＿＿＿＿＿＿　　考场号：＿＿＿＿＿　座位号：＿＿＿＿＿ 注意事项： 1. 答题前，考生先填写自己的学校、姓名、考场号、座位号、准考证号。准考证号必须用2B铅笔填涂，修改时用橡皮擦干净。 2. 选择题必须用2B铅笔填涂，如需修改，请用橡皮擦干净；非选择题必须用0.5 mm黑色签字笔作答。 3. 请按照题号在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效。 4. 保持卡面清洁，不要折叠、弄皱、弄破。 准考证号填涂区 (0) (0) (0) (0) (0) (0) (0) (0) (0) (0) (1) (1) (1) (1) (1) (1) (1) (1) (1) (1) (2) (2) (2) (2) (2) (2) (2) (2) (2) (2) (3) (3) (3) (3) (3) (3) (3) (3) (3) (3) (4) (4) (4) (4) (4) (4) (4) (4) (4) (4) (5) (5) (5) (5) (5) (5) (5) (5) (5) (5) (6) (6) (6) (6) (6) (6) (6) (6) (6) (6) (7) (7) (7) (7) (7) (7) (7) (7) (7) (7) (8) (8) (8) (8) (8) (8) (8) (8) (8) (8) (9) (9) (9) (9) (9) (9) (9) (9) (9) (9) 正确填涂： 缺考： 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 1． A B C D 2． A B C D 3． A B C D 4． A B C D 5． A B C D 6． A B C D 7． A B C D 8． A B C D 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 题号 答案 题号 答案 9．（3分） 10．（3分） 11．（3分） 12．（3分） 13．（3分） 14．（3分） 15．（3分） 16．（3分） 三、解答题（本大题共11小题，共82分） 17．（6分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 18．（6分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 19．（6分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 20．（6分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 21．（6分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 22．（6分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 23．（8分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 24．（8分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 25．（10分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 26．（10分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 27．（10分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 第 1 页 / 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $第2章 实数 单元测试卷（2026~2027学年） 第2章 实数 单元测试卷 北师大版（2024）八上数学上册 （2026~2027学年）　考试时间：120分钟　满分：130分 学校：__________　　班级：__________　　姓名：__________ 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共27小题，满分130分，考试时间120分钟。 2．答卷前，考生务必将自己的学校、班级、姓名、准考证号填写在左侧密封线内。 3．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，将答案字母填在「选择题答题栏」对应题号下；如需改动，擦净后重填。 4．回答第Ⅱ卷时，用黑色签字笔将答案写在题目相应位置；作图题用2B铅笔作答，并保留作图痕迹。 5．考试结束后，将本试卷一并交回。 第Ⅰ卷（选择题） 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 选择题答题栏 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 1．（3分）下列正确的是（　　） A．=2+3 B．=2×3 C．= D．=0.7 2．（3分）9的平方根是（　　） A．﹣3 B．9 C．±3 D．± 3．（3分）若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是（　　） A．x≠2 B．x≥2 C．x≤2 D．x≠﹣2 4．（3分）如图，实数a，b，c，d在数轴上表示如下，则最小的实数为（　　） A．a B．b C．c D．d 5．（3分）如图，数轴上的点P表示下列四个无理数中的一个，这个无理数是（　　） A．- B． C． D．π 6．（3分）如图，小明用1.9m的木棒DC加固小树，已知AB＝1.2m，AD＝0.6m，AB⊥BC，则木棒底端C距树根B的距离BC＝（　　） A．0.5m B．0.6m C．0.8m D．1m 7．（3分）的相反数是（　　） A． B．- C．9 D．﹣9 8．（3分）对于整数n，定义[]为不大于的最大整数，例如：[]=1，[]=2，[]=2．对72进行如下操作：72第一次[]=8第二次[]=2第三次[]=1，即对72进行3次操作后变为1，对整数m进行3次操作后变为2，则m的最大值为（　　） A．80 B．6400 C．6560 D．6561 第Ⅱ卷（非选择题） 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 9．（3分）化简：=　　　　 ． 10．（3分）若是整数，则正整数m的最小值是 　　　　 ． 11．（3分）分母有理化：=　　　　 ． 12．（3分）如图，在数轴上点A表示的实数是 　　　　 ． 13．（3分）已知a，b满足b=++12，则ab的值为　　　　 ． 14．（3分）比较大小：2 　　　　 3．（填“＞”、“＜”或“＝”） 15．（3分）已知△ABC中，AC=，BC＝2，AB＝5，以AB为一边作等腰直角三角形ABD，且D、C两点分别在边AB的两侧，则线段CD的长为 　　　　 ． 16．（3分）如图，面积为a（a＞1）的正方形ABCD的边AB在数轴上，点B表示的数为1．将正方形ABCD沿着数轴水平移动，移动后的正方形记为A'B'CD'，点A、B、C、D的对应点分别为A'、B'、C、D'，移动后的正方形A'B'C'D'与原正方形ABCD重叠部分图形的面积记为S．当S=时，数轴上点B'表示的数是 　　　　 （用含a的代数式表示）． 三、解答题（本大题共11小题，共82分） 17．（6分）计算： （1）××； （2）2⋅(a≥0)． 18．（6分）求下列各式中x的值： （1）4x2﹣25＝0； （2）（2x﹣1）3+27＝0． 19．（6分）先化简，再求值：(a+)(a-)-a(a-2)，其中a=+． 20．（6分）已知y=++2． （1）求代数式的值； （2）求代数式-的值． 21．（6分）在一次活动课中，虹烨同学用一根绳子围成一个长宽之比为3：1，面积为75 cm2的长方形． （1）求长方形的长和宽； （2）她用另一根绳子围成一个正方形，且正方形的面积等于原来围成的长方形面积，她说：“围成的正方形的边长与原来长方形的宽之差大于3cm”，请你判断她的说法是否正确，并说明理由． 22．（6分）在数学探究活动中，我们定义一种“和谐数组”：数组{x，y，z}中，x，y，z为三个互不相等的正整数，若任意两个数的乘积的算术平方根都是整数，则称这个数组为“和谐数组”．例如，数组{2，8，18}，计算可得=4，=6，=12，所以它是“和谐数组”． （1）判断：{1，9，16}　　　　 “和谐数组”，{2，4，8}　　　　 “和谐数组”（填“是”或“不是”）； （2）若{3，27，a}为“和谐数组”，其中有两个数乘积的算术平方根为18，求a的值． 23．（8分）如图所示，已知OA＝OB，BC＝2． （1）说出数轴上点A所表示的数为　　　　 ； （2）在数轴上找出对应的点；（保留作图痕迹） （3）比较点A所表示的数与﹣3.5的大小，要求写出具体过程． 24．（8分）定义：若无理数的被开方数（T为正整数）满足n2＜T＜（n+1）2（其中n为正整数），则称无理数的“共同体区间”为（n，n+1）．例如：因为12＜3＜22，所以的“共同体区间”为（1，2）．请回答下列问题： （1）的“共同体区间”为　　　　 ； （2）若无理数的“共同体区间”为（2，3），求的“共同体区间”； （3）若整数x，y满足关系式：+|2023+(y-4)2|=2024，求的“共同体区间”． 25．（10分）已知：x=(+)，y=(-)，求代数式x2﹣xy+y2值． 26．（10分）先阅读下列的解答过程，然后作答：形如的化简，只要我们找到两个数a、b使a+b＝m，ab＝n，这样（+（＝m，•=，那么便有==±（a＞b）例如：化简解：首先把化为，这里m＝7，n＝12；由于4+3＝7，4×3＝12，即（+（＝7，•=，∴===2+ 由上述例题的方法化简： （1）； （2）； （3）． 27．（10分）如图，在数轴上有两个长方形ABCD和EFGH，这两个长方形的宽都是3个单位长度，长方形ABCD的长AD是6个单位长度，长方形EFGH的长EH是10个单位长度，点E在数轴上表示的数是5．且E、D两点之间的距离为14． （1）填空：点H在数轴上表示的数是 　　　　 ，点A在数轴上表示的数是 　　　　 ． （2）若线段AD的中点为M，线段EH上一点N，EN=EH，M以每秒4个单位的速度向右匀速运动，N以每秒3个单位的速度向左运动，设运动时间为x秒，原点为O．当OM＝2ON时，求x的值． （3）若长方形ABCD以每秒2个单位的速度向右匀速运动，长方形EFGH固定不动，设长方形ABCD运动的时间为t（t＞0）秒，两个长方形重叠部分的面积为S，当S＝12时，求此时t的值． 第 1 页 / 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $第2章 实数 单元测试卷（2026~2027学年） 第2章 实数 单元测试卷 北师大版（2024）八上数学上册 （2026~2027学年）　考试时间：120分钟　满分：130分 答 题 卷 （选择题用2B铅笔填涂，其余用黑色签字笔作答） 学校：＿＿＿＿＿＿＿＿＿　姓名：＿＿＿＿＿＿＿　　考场号：＿＿＿＿＿　座位号：＿＿＿＿＿ 注意事项： 1. 答题前，考生先填写自己的学校、姓名、考场号、座位号、准考证号。准考证号必须用2B铅笔填涂，修改时用橡皮擦干净。 2. 选择题必须用2B铅笔填涂，如需修改，请用橡皮擦干净；非选择题必须用0.5 mm黑色签字笔作答。 3. 请按照题号在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效。 4. 保持卡面清洁，不要折叠、弄皱、弄破。 准考证号填涂区 (0) (0) (0) (0) (0) (0) (0) (0) (0) (0) (1) (1) (1) (1) (1) (1) (1) (1) (1) (1) (2) (2) (2) (2) (2) (2) (2) (2) (2) (2) (3) (3) (3) (3) (3) (3) (3) (3) (3) (3) (4) (4) (4) (4) (4) (4) (4) (4) (4) (4) (5) (5) (5) (5) (5) (5) (5) (5) (5) (5) (6) (6) (6) (6) (6) (6) (6) (6) (6) (6) (7) (7) (7) (7) (7) (7) (7) (7) (7) (7) (8) (8) (8) (8) (8) (8) (8) (8) (8) (8) (9) (9) (9) (9) (9) (9) (9) (9) (9) (9) 正确填涂： 缺考： 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 1． A B C D 2． A B C D 3． A B C D 4． A B C D 5． A B C D 6． A B C D 7． A B C D 8． A B C D 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 题号 答案 题号 答案 题号 答案 9．（3分） 10．（3分） 11．（3分） 12．（3分） 13．（3分） 14．（3分） 15．（3分） 16．（3分） 三、解答题（本大题共11小题，共82分） 17．（6分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 18．（6分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 19．（6分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 20．（6分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 21．（6分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 22．（6分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 23．（8分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 24．（8分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 25．（10分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 26．（10分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 27．（10分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 第 1 页 / 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $第2章 实数 单元测试卷（2026~2027学年） 第2章 实数 单元测试卷 北师大版（2024）八上数学上册 参考答案与解析 1．（3分）下列正确的是（　　） A．=2+3 B．=2×3 C．= D．=0.7 【答案】B 【解答】解：A.=≠2+3，错误，不符合题意；B.=2×3，正确，符合题意；C.=≠，错误，不符合题意；D.≠0.7，错误，不符合题意．故选：B． （来源：2024•鼓楼区一模） 2．（3分）9的平方根是（　　） A．﹣3 B．9 C．±3 D．± 【答案】C 【解答】解：9的平方根是±3，故选：C． （来源：2025秋•儋州期末） 3．（3分）若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是（　　） A．x≠2 B．x≥2 C．x≤2 D．x≠﹣2 【答案】B 【解答】解： ∵在实数范围内有意义， ∴2x﹣4≥0，解得：x≥2， ∴x的取值范围是：x≥2．故选：B． （来源：2020•广东） 4．（3分）如图，实数a，b，c，d在数轴上表示如下，则最小的实数为（　　） A．a B．b C．c D．d 【答案】A 【解答】解： ∵实数在数轴上，从左到右是越来越大，实数a在数轴的最左边， ∴最小的实数为a，故选：A． （来源：2024•深圳） 5．（3分）如图，数轴上的点P表示下列四个无理数中的一个，这个无理数是（　　） A．- B． C． D．π 【答案】B 【解答】解：根据题意，设点P表示的数为p，则1＜p＜2， ∵1＜＜2， ∴这个无理数是．故选：B． （来源：2022•福建） 6．（3分）如图，小明用1.9m的木棒DC加固小树，已知AB＝1.2m，AD＝0.6m，AB⊥BC，则木棒底端C距树根B的距离BC＝（　　）二、填空题 A．0.5m B．0.6m C．0.8m D．1m 【答案】A 【解答】解：由题意可知，AC＝DC﹣AD＝1.3m， ∵AB⊥BC， ∴∠ABC＝90°，在Rt△ABC中，BC===0.5(m)．故选：A． （来源：2024秋•兰州校级期末） 7．（3分）的相反数是（　　） A． B．- C．9 D．﹣9 【答案】B 【解答】解：一个数的相反数就是在这个数前面添上“﹣”号： ∴的相反数是-．故选：B． （来源：2025秋•太谷区期末） 8．（3分）对于整数n，定义[]为不大于的最大整数，例如：[]=1，[]=2，[]=2．对72进行如下操作：72第一次[]=8第二次[]=2第三次[]=1，即对72进行3次操作后变为1，对整数m进行3次操作后变为2，则m的最大值为（　　） A．80 B．6400 C．6560 D．6561 【答案】C 【解答】解：A、[]＝8，[]＝2，[]＝1，不符合题意；B、[]＝80，[]＝8，[]＝2，不是最大，不符合题意；C、 ∵[]=80，[]=8，[]=2， ∴对6560只需进行3次操作后变为2，符合题意；D、 ∵[1]=81，[]=9，[]=3， ∴只需进行3次操作后变为2的所有正整数中，最大的是6560， ∴m的最大值为6560．故选：C． （来源：2026春•朝阳区校级期中） 9．（3分）化简：= ． 【答案】3 【解答】解：=×=3，故答案为：3． （来源：2025•沙市区三模） 10．（3分）若是整数，则正整数m的最小值是 ． 【答案】2 【解答】解： ∵18＝9×2， ∴=3，又 ∵是整数，m为正整数， ∴最小的正整数m是2．故答案为：2． （来源：2024春•大荔县期末） 11．（3分）分母有理化：= ． 【答案】2-1 【解答】解：===-1．故答案为：-1． （来源：2023秋•长宁区校级期末） 12．（3分）如图，在数轴上点A表示的实数是 ． 【答案】-5 【解答】解： ∵半径==， ∴点A表示的数为-，故答案为：-． （来源：2024秋•周村区期末） 13．（3分）已知a，b满足b=++12，则ab的值为 ． 【答案】60 【解答】解：根据题意得，解得a＝5， ∴b＝12， ∴ab＝5×12＝60，故答案为：60． （来源：2025秋•泉港区期中） 14．（3分）比较大小：2 3．（填“＞”、“＜”或“＝”） 【答案】＜ 【解答】解： ∵（2＝12，（3＝18，而12＜18， ∴2＜3．故答案为：＜． （来源：2024•宝鸡二模） 15．（3分）已知△ABC中，AC=，BC＝2，AB＝5，以AB为一边作等腰直角三角形ABD，且D、C两点分别在边AB的两侧，则线段CD的长为 ． 【答案】65或52或3102 【解答】解： ∵AC=，BC＝2，AB＝5， ∴AB2＝AC2+BC2， ∴△ABC是直角三角形， ∴∠C＝90°，①如图1，当∠DAB＝90°时，过点D作DG⊥AC交于CA延长线于点G， ∵AB＝AD， ∴∠GAD+∠GDA＝90°，∠GAD+∠CAB＝90°， ∴∠GDA＝∠CAB， ∴△AGD≌△BCA（AAS）， ∴GD＝AC，AG＝BC， ∴GD=，AG＝2， ∴CG＝3，在Rt△CDG中，CD===5；②如图2，当∠ABD＝90°时，过点D作DF⊥BC交CB延长线于点F， ∵∠ABC+∠CAB＝90°，∠ABC+∠DBF＝90°， ∴∠CAB＝∠FBD， ∵AB＝BD， ∴△ABC≌△BDF（AAS）， ∴BF＝AC=，DF＝BC＝2， ∴CF＝3，在Rt△CDF中，CD===；③如图3，当∠ADB＝90°时，过点D作DM⊥AC交CA延长线于点M，过点D作DN⊥BC交于点N， ∵∠CAD+∠DBC＝180°，∠CAD+∠MAD＝180°， ∴∠MAD＝∠DBN， ∵AD＝BD， ∴△ADM≌△BDN（AAS）， ∴AM＝BN，MD＝DN， ∴四边形MCND是正方形， ∴AC+AM＝BC﹣BN＝BC﹣AM， ∴2AM＝BC﹣AC=， ∴AM=， ∴CM=， ∴CD=×=；综上所述：CD的长为或5或，故答案为：或5或． （来源：2021秋•沈河区校级月考） 16．（3分）如图，面积为a（a＞1）的正方形ABCD的边AB在数轴上，点B表示的数为1．将正方形ABCD沿着数轴水平移动，移动后的正方形记为A'B'CD'，点A、B、C、D的对应点分别为A'、B'、C、D'，移动后的正方形A'B'C'D'与原正方形ABCD重叠部分图形的面积记为S．当S=时，数轴上点B'表示的数是 （用含a的代数式表示）． 【答案】见解析 【解答】解：因为正方形面积为a，所以边长AB=，当向右平移时，如图1，因为重叠部分的面积为S＝AB'•AD=，AB'×=， ∴AB'＝1，所以平移距离BB'＝AB﹣AB'=-1， ∴OB'＝OB+BB'=1+-1=，则B'表示的数是；当向左平移时，如图2，因为重叠部分的面积为S＝A'B•A'D'=，A'B×=， ∴A'B＝1，所以平移距离BB'＝A'B'﹣A'B=-1， ∴OB'＝OB﹣B'B＝1﹣（-1）＝2-，则B'表示的数是2-． （来源：2026春•荔湾区期末） 17．（6分）计算： （1）××； （2）2⋅(a≥0)． 【答案】见解析 【解答】解： （1）××= = ＝6； （2）2•＝2＝10a． （来源：2023春•滨海县月考） 18．（6分）求下列各式中x的值： （1）4x2﹣25＝0； （2）（2x﹣1）3+27＝0． 【答案】见解析 【解答】解： （1）4x2﹣25＝0，4x2＝25，x2=，x=±； （2）（2x﹣1）3+27＝0，（2x﹣1）3＝﹣27，2x﹣1＝﹣3，x＝﹣1． （来源：2025秋•南京期末） 19．（6分）先化简，再求值：(a+)(a-)-a(a-2)，其中a=+． 【答案】见解析 【解答】解： 原式=(a+5)(a-5)-a(a-2) =(a²-25)-(a²-2a) =a²-25-a²+2a =2a-25． 当a=2+√12=2+2√3时， 原式=2(2+2√3)-25=4+4√3-25=4√3-21． （来源：2026春•越秀区期中） 20．（6分）已知y=++2． （1）求代数式的值； （2）求代数式-的值． 【答案】见解析 【解答】解： （1）由题意得，x﹣8≥0，8﹣x≥0，解得，x＝8，则y＝2， ∴xy＝16， ∵16的算术平方根是4， ∴==4． （2）把x＝8和y＝2代入原式=-=-=1． （来源：2021春•巴南区期中） 21．（6分）在一次活动课中，虹烨同学用一根绳子围成一个长宽之比为3：1，面积为75 cm2的长方形． （1）求长方形的长和宽； （2）她用另一根绳子围成一个正方形，且正方形的面积等于原来围成的长方形面积，她说：“围成的正方形的边长与原来长方形的宽之差大于3cm”，请你判断她的说法是否正确，并说明理由． 【答案】见解析 【解答】解： （1）根据题意设长方形的长为3xcm，宽为xcm，则3x•x＝75，即x2＝25， ∵x＞0， ∴x＝5， ∴3x＝15，答：长方形的长为15cm，宽为5cm． （2）设正方形的边长为ycm，根据题意可得，y2＝75， ∵y＞0， ∴y=， ∵原来长方形的宽为5cm， ∴正方形的边长与长方形的宽之差为：-5， ∵＜＜，即8＜＜9， ∴3＜-5＜4，所以她的说法正确． （来源：2026春•界首市期末） 22．（6分）在数学探究活动中，我们定义一种“和谐数组”：数组{x，y，z}中，x，y，z为三个互不相等的正整数，若任意两个数的乘积的算术平方根都是整数，则称这个数组为“和谐数组”．例如，数组{2，8，18}，计算可得=4，=6，=12，所以它是“和谐数组”． （1）判断：{1，9，16} “和谐数组”，{2，4，8} “和谐数组”（填“是”或“不是”）； （2）若{3，27，a}为“和谐数组”，其中有两个数乘积的算术平方根为18，求a的值． 【答案】见解析 【解答】解： （1）∵1×9=√9=3，1×16=√16=4，9×16=√144=12，∴{1，9，16}是“和谐数组”； ∵2×4=√8=2√2不是整数，∴{2，4，8}不是“和谐数组”．故答案为：是；不是． （2）∵{3，27，a}为“和谐数组”，∴3×27=√81=9， 若√3a=18，则3a=324，解得a=108（此时27×108=√2916=54，符合题意）； 若√27a=18，则27a=324，解得a=12（此时3×12=√36=6，符合题意）； ∴a=108或12． （来源：2026春•惠州校级期中） 23．（8分）如图所示，已知OA＝OB，BC＝2． （1）说出数轴上点A所表示的数为 ； （2）在数轴上找出对应的点；（保留作图痕迹） （3）比较点A所表示的数与﹣3.5的大小，要求写出具体过程． 【答案】-13 【解答】解： （1）在Rt△OBC中，OB===， ∴OA=OB=， ∵点A在x轴的负半轴上， ∴点A所表示的数为-，故答案为：-； （2）在数轴上，过数2的点作数轴的垂线，垂足为D，且DF＝1，以点O为圆心，以OF为半径画弧交x轴正半轴于点G，则点G所表示的数为，如图所示：理由如下：由勾股定理得：OF===， ∴OG=OF=，故点G表示的数为； （3） ∵(-=13，（﹣3.5）2＝12.25，又 ∵13＞12.25， ∵＞3.5， ∴-＜-3.5． （来源：2025秋•南海区校级月考） 24．（8分）定义：若无理数的被开方数（T为正整数）满足n2＜T＜（n+1）2（其中n为正整数），则称无理数的“共同体区间”为（n，n+1）．例如：因为12＜3＜22，所以的“共同体区间”为（1，2）．请回答下列问题： （1）的“共同体区间”为 ； （2）若无理数的“共同体区间”为（2，3），求的“共同体区间”； （3）若整数x，y满足关系式：+|2023+(y-4)2|=2024，求的“共同体区间”． 【答案】（5，6） 【解答】解： （1） ∵52＜26＜62， ∴的“共同体区间”是（5，6），故答案为：（5，6）； （2） ∵无理数的“共同体区间”为（2，3）， ∴22＜a＜32，即4＜a＜9， ∴10＜a+6＜15， ∴32＜a+6＜42， ∴的“共同体区间”为（3，4）； （3） ∵+|2023+(y-4)2|=2024， ∴或，解得或或，分以下三种情况：当x＝4，y＝4时，x（y+1）＝20， ∵42＜20＜52， ∴的“共同体区间”为（4，5）；当x＝3，y＝5时，x（y+1）＝18， ∵42＜18＜52， ∴的“共同体区间”为（4，5）；当x＝3，y＝3时，x（y+1）＝12， ∵32＜12＜42， ∴的“共同体区间”为（3，4）；综上，的“共同体区间”为（4，5）或（3，4）． （来源：2026春•中山市期中） 25．（10分）已知：x=(+)，y=(-)，求代数式x2﹣xy+y2值． 【答案】2-1 【解答】解： （1）==-1，故答案为：-1； （2）原式=-1+-+-+⋯+-=-1=2-1； （3） ∵a=+2， ∴a﹣2=． ∴（a﹣2）2＝5，即a2﹣4a+4＝5． ∴a2﹣4a＝1， ∴2a2﹣8a+1＝2（a2﹣4a）+1＝2×（1）+1＝3．答：2a2﹣8a+1的值为3． （来源：2025春•朝阳区校级期中） 26．（10分）先阅读下列的解答过程，然后作答：形如的化简，只要我们找到两个数a、b使a+b＝m，ab＝n，这样（+（＝m，•=，那么便有==±（a＞b）例如：化简解：首先把化为，这里m＝7，n＝12；由于4+3＝7，4×3＝12，即（+（＝7，•=，∴===2+由上述例题的方法化简： （1）； （2）； （3）． 【答案】见解析 【解答】解： （1）==-； （2）===-； （3）==． （来源：2022秋•吉安县期末） 27．（10分）如图，在数轴上有两个长方形ABCD和EFGH，这两个长方形的宽都是3个单位长度，长方形ABCD的长AD是6个单位长度，长方形EFGH的长EH是10个单位长度，点E在数轴上表示的数是5．且E、D两点之间的距离为14． （1）填空：点H在数轴上表示的数是 ，点A在数轴上表示的数是 ． （2）若线段AD的中点为M，线段EH上一点N，EN=EH，M以每秒4个单位的速度向右匀速运动，N以每秒3个单位的速度向左运动，设运动时间为x秒，原点为O．当OM＝2ON时，求x的值． （3）若长方形ABCD以每秒2个单位的速度向右匀速运动，长方形EFGH固定不动，设长方形ABCD运动的时间为t（t＞0）秒，两个长方形重叠部分的面积为S，当S＝12时，求此时t的值． 【答案】15 【解答】解： （1）由题意可得，点H在数轴上表示的数为：5+10＝15；点A在数轴上表示的数为：5﹣14﹣6＝﹣15．故答案为：15；﹣15． （2） ∵点M是线段AD的中点， ∴点M表示的数为5﹣14-=-12，又 ∵EN=EH， ∴点N在数轴上表示的数为：5+（15﹣5）=，由题意可得，x秒时，点M在数轴上表示的数为：﹣12+4x，点N在数轴上表示的数为：-3x， ∴OM＝|4x﹣12|，ON＝|3x-|， ∵OM＝2ON， ∴|4x﹣12|＝2|3x-| ∴4x﹣12＝2（3x-）或4x﹣12＝﹣2（3x-），解得x=或x=．故答案为：或． （3）当CD与EF重合时，所用时间为=7秒，由题意得：AD与EH重合的部分为=4，如图1所示， 设长方形ABCD从EF运动到AD与EH重叠部分为4时，所用的时间为t1秒， ∴t1==2， ∴第一次重叠面积为12时，时间t为2+7＝9（秒）；当AD与EH重叠部分为4时，如图2所示，设长方形ABCD从EF运动到AD与EH重叠部分为4时，所用的时间为t2秒， ∴t2==6， ∴第二次重叠面积S＝12时，时间t为6+7＝13（秒）； ∴当长方形ABCD与长方形EFGH重叠部分的面积为12时，t的值为9或13． （来源：2024春•惠阳区校级期中） 第 1 页 / 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $第2章 实数 单元测试卷（2026~2027学年） 第2章 实数 单元测试卷 北师大版（2024）八上数学上册 参考答案与解析 1．（3分）下列正确的是（　　） A．=2+3 B．=2×3 C．= D．=0.7 【答案】B 【解答】解：A.=≠2+3，错误，不符合题意；B.=2×3，正确，符合题意；C.=≠，错误，不符合题意；D.≠0.7，错误，不符合题意．故选：B． （来源：2024•鼓楼区一模） 2．（3分）9的平方根是（　　） A．﹣3 B．9 C．±3 D．± 【答案】C 【解答】解：9的平方根是±3，故选：C． （来源：2025秋•儋州期末） 3．（3分）若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是（　　） A．x≠2 B．x≥2 C．x≤2 D．x≠﹣2 【答案】B 【解答】解： ∵在实数范围内有意义， ∴2x﹣4≥0，解得：x≥2， ∴x的取值范围是：x≥2．故选：B． （来源：2020•广东） 4．（3分）如图，实数a，b，c，d在数轴上表示如下，则最小的实数为（　　） A．a B．b C．c D．d 【答案】A 【解答】解： ∵实数在数轴上，从左到右是越来越大，实数a在数轴的最左边， ∴最小的实数为a，故选：A． （来源：2024•深圳） 5．（3分）如图，数轴上的点P表示下列四个无理数中的一个，这个无理数是（　　） A．- B． C． D．π 【答案】B 【解答】解：根据题意，设点P表示的数为p，则1＜p＜2， ∵1＜＜2， ∴这个无理数是．故选：B． （来源：2022•福建） 6．（3分）如图，小明用1.9m的木棒DC加固小树，已知AB＝1.2m，AD＝0.6m，AB⊥BC，则木棒底端C距树根B的距离BC＝（　　）二、填空题 A．0.5m B．0.6m C．0.8m D．1m 【答案】A 【解答】解：由题意可知，AC＝DC﹣AD＝1.3m， ∵AB⊥BC， ∴∠ABC＝90°，在Rt△ABC中，BC===0.5(m)．故选：A． （来源：2024秋•兰州校级期末） 7．（3分）的相反数是（　　） A． B．- C．9 D．﹣9 【答案】B 【解答】解：一个数的相反数就是在这个数前面添上“﹣”号： ∴的相反数是-．故选：B． （来源：2025秋•太谷区期末） 8．（3分）对于整数n，定义[]为不大于的最大整数，例如：[]=1，[]=2，[]=2．对72进行如下操作：72第一次[]=8第二次[]=2第三次[]=1，即对72进行3次操作后变为1，对整数m进行3次操作后变为2，则m的最大值为（　　） A．80 B．6400 C．6560 D．6561 【答案】C 【解答】解：A、[]＝8，[]＝2，[]＝1，不符合题意；B、[]＝80，[]＝8，[]＝2，不是最大，不符合题意；C、 ∵[]=80，[]=8，[]=2， ∴对6560只需进行3次操作后变为2，符合题意；D、 ∵[1]=81，[]=9，[]=3， ∴只需进行3次操作后变为2的所有正整数中，最大的是6560， ∴m的最大值为6560．故选：C． （来源：2026春•朝阳区校级期中） 9．（3分）化简：= ． 【答案】3 【解答】解：=×=3，故答案为：3． （来源：2025•沙市区三模） 10．（3分）若是整数，则正整数m的最小值是 ． 【答案】2 【解答】解： ∵18＝9×2， ∴=3，又 ∵是整数，m为正整数， ∴最小的正整数m是2．故答案为：2． （来源：2024春•大荔县期末） 11．（3分）分母有理化：= ． 【答案】2-1 【解答】解：===-1．故答案为：-1． （来源：2023秋•长宁区校级期末） 12．（3分）如图，在数轴上点A表示的实数是 ． 【答案】-5 【解答】解： ∵半径==， ∴点A表示的数为-，故答案为：-． （来源：2024秋•周村区期末） 13．（3分）已知a，b满足b=++12，则ab的值为 ． 【答案】60 【解答】解：根据题意得，解得a＝5， ∴b＝12， ∴ab＝5×12＝60，故答案为：60． （来源：2025秋•泉港区期中） 14．（3分）比较大小：2 3．（填“＞”、“＜”或“＝”） 【答案】＜ 【解答】解： ∵（2＝12，（3＝18，而12＜18， ∴2＜3．故答案为：＜． （来源：2024•宝鸡二模） 15．（3分）已知△ABC中，AC=，BC＝2，AB＝5，以AB为一边作等腰直角三角形ABD，且D、C两点分别在边AB的两侧，则线段CD的长为 ． 【答案】65或52或3102 【解答】解： ∵AC=，BC＝2，AB＝5， ∴AB2＝AC2+BC2， ∴△ABC是直角三角形， ∴∠C＝90°，①如图1，当∠DAB＝90°时，过点D作DG⊥AC交于CA延长线于点G， ∵AB＝AD， ∴∠GAD+∠GDA＝90°，∠GAD+∠CAB＝90°， ∴∠GDA＝∠CAB， ∴△AGD≌△BCA（AAS）， ∴GD＝AC，AG＝BC， ∴GD=，AG＝2， ∴CG＝3，在Rt△CDG中，CD===5；②如图2，当∠ABD＝90°时，过点D作DF⊥BC交CB延长线于点F， ∵∠ABC+∠CAB＝90°，∠ABC+∠DBF＝90°， ∴∠CAB＝∠FBD， ∵AB＝BD， ∴△ABC≌△BDF（AAS）， ∴BF＝AC=，DF＝BC＝2， ∴CF＝3，在Rt△CDF中，CD===；③如图3，当∠ADB＝90°时，过点D作DM⊥AC交CA延长线于点M，过点D作DN⊥BC交于点N， ∵∠CAD+∠DBC＝180°，∠CAD+∠MAD＝180°， ∴∠MAD＝∠DBN， ∵AD＝BD， ∴△ADM≌△BDN（AAS）， ∴AM＝BN，MD＝DN， ∴四边形MCND是正方形， ∴AC+AM＝BC﹣BN＝BC﹣AM， ∴2AM＝BC﹣AC=， ∴AM=， ∴CM=， ∴CD=×=；综上所述：CD的长为或5或，故答案为：或5或． （来源：2021秋•沈河区校级月考） 16．（3分）如图，面积为a（a＞1）的正方形ABCD的边AB在数轴上，点B表示的数为1．将正方形ABCD沿着数轴水平移动，移动后的正方形记为A'B'CD'，点A、B、C、D的对应点分别为A'、B'、C、D'，移动后的正方形A'B'C'D'与原正方形ABCD重叠部分图形的面积记为S．当S=时，数轴上点B'表示的数是 （用含a的代数式表示）． 【答案】见解析 【解答】解：因为正方形面积为a，所以边长AB=，当向右平移时，如图1，因为重叠部分的面积为S＝AB'•AD=，AB'×=， ∴AB'＝1，所以平移距离BB'＝AB﹣AB'=-1， ∴OB'＝OB+BB'=1+-1=，则B'表示的数是；当向左平移时，如图2，因为重叠部分的面积为S＝A'B•A'D'=，A'B×=， ∴A'B＝1，所以平移距离BB'＝A'B'﹣A'B=-1， ∴OB'＝OB﹣B'B＝1﹣（-1）＝2-，则B'表示的数是2-． （来源：2026春•荔湾区期末） 17．（6分）计算： （1）××； （2）2⋅(a≥0)． 【答案】见解析 【解答】解： （1）××= = ＝6； （2）2•＝2＝10a． （来源：2023春•滨海县月考） 18．（6分）求下列各式中x的值： （1）4x2﹣25＝0； （2）（2x﹣1）3+27＝0． 【答案】见解析 【解答】解： （1）4x2﹣25＝0，4x2＝25，x2=，x=±； （2）（2x﹣1）3+27＝0，（2x﹣1）3＝﹣27，2x﹣1＝﹣3，x＝﹣1． （来源：2025秋•南京期末） 19．（6分）先化简，再求值：(a+)(a-)-a(a-2)，其中a=+． 【答案】见解析 【解答】解： 原式=(a+5)(a-5)-a(a-2) =(a²-25)-(a²-2a) =a²-25-a²+2a =2a-25． 当a=2+√12=2+2√3时， 原式=2(2+2√3)-25=4+4√3-25=4√3-21． （来源：2026春•越秀区期中） 20．（6分）已知y=++2． （1）求代数式的值； （2）求代数式-的值． 【答案】见解析 【解答】解： （1）由题意得，x﹣8≥0，8﹣x≥0，解得，x＝8，则y＝2， ∴xy＝16， ∵16的算术平方根是4， ∴==4． （2）把x＝8和y＝2代入原式=-=-=1． （来源：2021春•巴南区期中） 21．（6分）在一次活动课中，虹烨同学用一根绳子围成一个长宽之比为3：1，面积为75 cm2的长方形． （1）求长方形的长和宽； （2）她用另一根绳子围成一个正方形，且正方形的面积等于原来围成的长方形面积，她说：“围成的正方形的边长与原来长方形的宽之差大于3cm”，请你判断她的说法是否正确，并说明理由． 【答案】见解析 【解答】解： （1）根据题意设长方形的长为3xcm，宽为xcm，则3x•x＝75，即x2＝25， ∵x＞0， ∴x＝5， ∴3x＝15，答：长方形的长为15cm，宽为5cm． （2）设正方形的边长为ycm，根据题意可得，y2＝75， ∵y＞0， ∴y=， ∵原来长方形的宽为5cm， ∴正方形的边长与长方形的宽之差为：-5， ∵＜＜，即8＜＜9， ∴3＜-5＜4，所以她的说法正确． （来源：2026春•界首市期末） 22．（6分）在数学探究活动中，我们定义一种“和谐数组”：数组{x，y，z}中，x，y，z为三个互不相等的正整数，若任意两个数的乘积的算术平方根都是整数，则称这个数组为“和谐数组”．例如，数组{2，8，18}，计算可得=4，=6，=12，所以它是“和谐数组”． （1）判断：{1，9，16} “和谐数组”，{2，4，8} “和谐数组”（填“是”或“不是”）； （2）若{3，27，a}为“和谐数组”，其中有两个数乘积的算术平方根为18，求a的值． 【答案】见解析 【解答】解： （1）∵1×9=√9=3，1×16=√16=4，9×16=√144=12，∴{1，9，16}是“和谐数组”； ∵2×4=√8=2√2不是整数，∴{2，4，8}不是“和谐数组”．故答案为：是；不是． （2）∵{3，27，a}为“和谐数组”，∴3×27=√81=9， 若√3a=18，则3a=324，解得a=108（此时27×108=√2916=54，符合题意）； 若√27a=18，则27a=324，解得a=12（此时3×12=√36=6，符合题意）； ∴a=108或12． （来源：2026春•惠州校级期中） 23．（8分）如图所示，已知OA＝OB，BC＝2． （1）说出数轴上点A所表示的数为 ； （2）在数轴上找出对应的点；（保留作图痕迹） （3）比较点A所表示的数与﹣3.5的大小，要求写出具体过程． 【答案】-13 【解答】解： （1）在Rt△OBC中，OB===， ∴OA=OB=， ∵点A在x轴的负半轴上， ∴点A所表示的数为-，故答案为：-； （2）在数轴上，过数2的点作数轴的垂线，垂足为D，且DF＝1，以点O为圆心，以OF为半径画弧交x轴正半轴于点G，则点G所表示的数为，如图所示：理由如下：由勾股定理得：OF===， ∴OG=OF=，故点G表示的数为； （3） ∵(-=13，（﹣3.5）2＝12.25，又 ∵13＞12.25， ∵＞3.5， ∴-＜-3.5． （来源：2025秋•南海区校级月考） 24．（8分）定义：若无理数的被开方数（T为正整数）满足n2＜T＜（n+1）2（其中n为正整数），则称无理数的“共同体区间”为（n，n+1）．例如：因为12＜3＜22，所以的“共同体区间”为（1，2）．请回答下列问题： （1）的“共同体区间”为 ； （2）若无理数的“共同体区间”为（2，3），求的“共同体区间”； （3）若整数x，y满足关系式：+|2023+(y-4)2|=2024，求的“共同体区间”． 【答案】（5，6） 【解答】解： （1） ∵52＜26＜62， ∴的“共同体区间”是（5，6），故答案为：（5，6）； （2） ∵无理数的“共同体区间”为（2，3）， ∴22＜a＜32，即4＜a＜9， ∴10＜a+6＜15， ∴32＜a+6＜42， ∴的“共同体区间”为（3，4）； （3） ∵+|2023+(y-4)2|=2024， ∴或，解得或或，分以下三种情况：当x＝4，y＝4时，x（y+1）＝20， ∵42＜20＜52， ∴的“共同体区间”为（4，5）；当x＝3，y＝5时，x（y+1）＝18， ∵42＜18＜52， ∴的“共同体区间”为（4，5）；当x＝3，y＝3时，x（y+1）＝12， ∵32＜12＜42， ∴的“共同体区间”为（3，4）；综上，的“共同体区间”为（4，5）或（3，4）． （来源：2026春•中山市期中） 25．（10分）已知：x=(+)，y=(-)，求代数式x2﹣xy+y2值． 【答案】2-1 【解答】解： （1）==-1，故答案为：-1； （2）原式=-1+-+-+⋯+-=-1=2-1； （3） ∵a=+2， ∴a﹣2=． ∴（a﹣2）2＝5，即a2﹣4a+4＝5． ∴a2﹣4a＝1， ∴2a2﹣8a+1＝2（a2﹣4a）+1＝2×（1）+1＝3．答：2a2﹣8a+1的值为3． （来源：2025春•朝阳区校级期中） 26．（10分）先阅读下列的解答过程，然后作答：形如的化简，只要我们找到两个数a、b使a+b＝m，ab＝n，这样（+（＝m，•=，那么便有==±（a＞b）例如：化简解：首先把化为，这里m＝7，n＝12；由于4+3＝7，4×3＝12，即（+（＝7，•=，∴===2+由上述例题的方法化简： （1）； （2）； （3）． 【答案】见解析 【解答】解： （1）==-； （2）===-； （3）==． （来源：2022秋•吉安县期末） 27．（10分）如图，在数轴上有两个长方形ABCD和EFGH，这两个长方形的宽都是3个单位长度，长方形ABCD的长AD是6个单位长度，长方形EFGH的长EH是10个单位长度，点E在数轴上表示的数是5．且E、D两点之间的距离为14． （1）填空：点H在数轴上表示的数是 ，点A在数轴上表示的数是 ． （2）若线段AD的中点为M，线段EH上一点N，EN=EH，M以每秒4个单位的速度向右匀速运动，N以每秒3个单位的速度向左运动，设运动时间为x秒，原点为O．当OM＝2ON时，求x的值． （3）若长方形ABCD以每秒2个单位的速度向右匀速运动，长方形EFGH固定不动，设长方形ABCD运动的时间为t（t＞0）秒，两个长方形重叠部分的面积为S，当S＝12时，求此时t的值． 【答案】15 【解答】解： （1）由题意可得，点H在数轴上表示的数为：5+10＝15；点A在数轴上表示的数为：5﹣14﹣6＝﹣15．故答案为：15；﹣15． （2） ∵点M是线段AD的中点， ∴点M表示的数为5﹣14-=-12，又 ∵EN=EH， ∴点N在数轴上表示的数为：5+（15﹣5）=，由题意可得，x秒时，点M在数轴上表示的数为：﹣12+4x，点N在数轴上表示的数为：-3x， ∴OM＝|4x﹣12|，ON＝|3x-|， ∵OM＝2ON， ∴|4x﹣12|＝2|3x-| ∴4x﹣12＝2（3x-）或4x﹣12＝﹣2（3x-），解得x=或x=．故答案为：或． （3）当CD与EF重合时，所用时间为=7秒，由题意得：AD与EH重合的部分为=4，如图1所示， 设长方形ABCD从EF运动到AD与EH重叠部分为4时，所用的时间为t1秒， ∴t1==2， ∴第一次重叠面积为12时，时间t为2+7＝9（秒）；当AD与EH重叠部分为4时，如图2所示，设长方形ABCD从EF运动到AD与EH重叠部分为4时，所用的时间为t2秒， ∴t2==6， ∴第二次重叠面积S＝12时，时间t为6+7＝13（秒）； ∴当长方形ABCD与长方形EFGH重叠部分的面积为12时，t的值为9或13． （来源：2024春•惠阳区校级期中） 第 1 页 / 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $