专题08 指数型函数图象过定点问题·参数·比大小·单调性问题题型突破（六大题型）（高效培优期中专项训练）数学人教A版高一必修第一册

专题08 指数型函数图象过定点问题·参数·比大小·单调性问题题型突破（六大题型） 考点01 指数型函数图象过定点问题 考点02 求指数型复合函数的定义域 考点03 求指数型复合函数的值域 考点04 判断指数函数的单调性 考点05比较指数幂的大小 考点06 指数函数最值与不等式的综合问题 考点01 指数型函数图象过定点问题 1．若且，则函数的图象恒过的定点坐标为 ________________________． 【答案】 【分析】定点与底数无关，因此令指数，使，再求对应的函数值． 【详解】令，得． 因为且，所以，从而． 因此函数的图象恒过定点． 2．函数（，且）的图象恒过定点为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】对于函数，令，可得，则， 所以函数（且）的图象恒过定点坐标为. 3．函数（且）的图象恒过定点A，且A在幂函数的图象上，则k的值为______． 【答案】 【分析】先得到，进而由幂函数定义得到，代入求解 【详解】中，令得，此时， 所以，又A在幂函数上， 所以，解得，所以， 故，解得. 4．若函数的图象恒过定点，则的取值范围是_________. 【答案】 【分析】利用指数函数过定点，由指数为0求出参数，再结合指数函数的单调性求出的范围，进而可求的取值范围. 【详解】因为函数的图象恒过定点， 所以，解得，所以， 因为在上单调递增，所以，所以， 即的取值范围是. 5．已知函数（，且）的图象恒过定点P，则点P的坐标为____________． 【答案】 【详解】因为且，， 则时，， 函数（，且）的图象恒过定点. 所以点P的坐标为. 6．函数的图象恒过定点A，若点A坐标满足方程，且，则的最小值为（ ） A．4 B．6 C． D．8 【答案】C 【分析】令指数为，可得定点坐标，将其坐标代入到方程中，可得，由，，利用均值不等式求解即可. 【详解】由题，令，可得，则， 所以函数图象恒过定点， 代入方程，可得，则， 因为， 所以， 当且仅当时，可得的最小值为， 7．若函数（为常数）的图象恒过的点的纵坐标为，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】令可得，当时，由题意可得，解得. 8．（多选）已知函数恒过定点，则函数的图象经过（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】ACD 【分析】利用求出函数的定点，再代入得到解析式，根据函数图像确定正确选项. 【详解】时，，所以恒过定点，即， 代入得，的图像经过第一、三、四象限. 9．已知函数（，）的图象所过的定点在直线上，则的最小值为______. 【答案】/ 【分析】先根据指数函数性质求得函数图象所过定点，代入直线方程得到，的线性关系，再通过基本不等式的“1的代换”求解最小值. 【详解】函数所过定点为， 依题意，该定点在直线上，则， 即， 故 ， 当且仅当，即，时，等号成立， 故的最小值为. 10．已知函数是指数函数，则函数的图象过定点___________ 【答案】 【详解】由题意得，，得，则函数的图象过定点. 考点02 求指数型复合函数的定义域 11．若幂函数的图象经过点，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意求出幂函数，再令，即可求出答案. 【详解】设幂函数为，代入点，得，解得，所以， 所以的定义域为，则， 即，解得：， 所以函数的定义域为. 12．已知（，且）． (1)求函数的定义域、值域； (2)讨论函数的单调性． 【答案】(1)定义域为，值域为 (2)当时，在上单调递减；当时，在上单调递增 【分析】（1）根据函数解析式直接求解定义域和值域； （2）结合指数函数的性质，利用定义法直接判断函数单调性即可. 【详解】（1）由，， 所以的定义域为， 又， 因为，所以，， 所以，， 即函数的值域为. （2）由（1）知，， ，则 ， 当时，单调递减，， 当时，单调递增，， 又因为， 所以当时，，即， 此时在上单调递减； 当时，，即， 此时在上单调递增. 13．（多选）已知函数，则下列说法正确的是（    ） A．的定义域为 B．在上单调递增 C．若，则实数的最大值为 D．若，则实数的最大值为1 【答案】BC 【分析】求出函数的定义域，即可判断A；判断出在上的单调性，即可判断B；先求出的值域，若恒成立，分析出要小于等于的下确界，即可判断C；若，分析出要小于的上确界，即可判断D. 【详解】因为恒成立，所以恒成立，所以的定义域为， 故A错误； 因为函数在上单调递增，则也单调递增，因此单调递减， 则单调递增，所以在上单调递增，故B正确； 因为，则，所以， 所以，所以，即. 若恒成立，则要小于等于的下确界，即， 所以实数的最大值为，故C正确； 若，则要小于的上确界，即， 所以实数没有最大值，故D错误. 14．设，函数是上的偶函数，则______． 【答案】 【分析】由，列出方程，得到对于任意恒成立，得到，进而求得的值. 【详解】由函数是上的偶函数，可得， 所以，整理得， 所以对于任意恒成立，可得，即， 又因为，所以. 15．若函数是偶函数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用偶函数定义，结合指数运算求解即得. 【详解】函数的定义域为R， 由是偶函数，得，，即， 因此，即，则， 所以. 16．若为偶函数，则（   ） A． B．0 C． D．1 【答案】B 【分析】利用偶函数的定义恒成立，即可求. 【详解】由题设，函数的定义域为R，且， 所以恒成立，则恒成立，故. 故选：B 17．已知函数． (1)求函数的定义域，判断并证明的奇偶性； (2)判断函数在其定义域上的单调性（无需证明），并解不等式 【答案】(1)定义域为，奇函数 (2)函数在其定义域上是增函数， 【分析】（1）由指数函数的性质求出函数的定义域，再由奇偶性的定义证明即可； （2）首先判断（证明）其单调性，结合单调性与奇偶性将函数不等式转化为自变量的不等式，解得即可. 【详解】（1）因为，，所以函数的定义域为； 是定义在上的奇函数，证明如下： 因为， 所以， 所以是定义在上的奇函数. （2）函数在其定义域上是增函数， 设， 则， 由，可得，即， 又，所以，即， 所以函数为上的增函数. 由，得， 因为函数为奇函数， 所以， 所以， 又函数在上是增函数， 所以，解得. 所以不等式的解集为. 18．（多选）已知函数，则（   ） A．的定义域为 B．的值域为 C．的单调递减区间为 D．的图象关于直线对称 【答案】ACD 【分析】由指数函数的定义域可判断A；由指数型复合函数的单调性可判断BC；验证可得D. 【详解】A，由指数函数的性质知，的定义域为，A正确. B、C，函数在上单调递减，在上单调递增，是增函数， 所以在上单调递减，在上单调递增，，B错误，C正确. D，，的图象关于直线对称，D正确. 故选：ACD. 19．函数 的定义域是___________ . 【答案】 【分析】要使函数有意义，须使，解不等式可得函数 的定义域. 【详解】要使函数有意义，须使. 所以. 因为函数是减函数，所以，所以. 所以函数 的定义域是. 故答案为：. 20．已知函数（）. (1)当时，求函数的定义域和值域； (2)若函数的值域为，求m的取值范围. 【答案】(1)定义域为，值域为； (2). 【分析】（1）由函数有意义列出不等式，利用指数函数单调性求出定义域；再利用换元法，结合二次函数求出值域. （2）由给定条件可得的取值集合包含，换元并结合二次函数分类讨论求解. 【详解】（1）当时，， 由，得， 则，即，解得， 所以函数的定义域为； 令，则， 于是，所以函数的值域为. （2）设，则， 令， 由函数的值域为，得函数的值域包含， 当时，函数的图象开口向下，对称轴为，有最大值，不符合题意； 当时，值域为，包含，符合题意，则； 当时，函数的图象开口向上，对称轴为， 函数值域为，包含，符合题意，则， 所以m的取值范围是. 考点03 求指数型复合函数的值域 21．已知函数. (1)当时，求在上的值域； (2)若在上单调递增，求实数a的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）通过换元将指数型函数转化为二次函数，结合二次函数单调性求解值域； （2）利用换元转化为二次函数单调性问题，结合复合函数"同增异减"规则求参数范围。 【详解】（1）当时，; 令，因是上的单调递增函数，且，故， 此时函数转化为，； 该二次函数开口向上，对称轴为： 当时，；当时，； 故在上的值域为. （2）令， 当时，，且是上的单调递增函数， 此时转化为，； 根据复合函数单调性“同增异减”规则，要使在上单调递增，需在上单调递增； 是开口向上的二次函数，对称轴为，故需满足， 解得； 故实数的取值范围为. 22．函数的图象大致为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意可知，函数 的定义域为 ， ， 所以函数 为奇函数， 其图象关于原点对称，故排除选项C； 当时，，， 所以， 即轴右侧的图象应在轴上方，故排除选项B； 当时，， 当 时，， 排除选项A，选项D符合题意. 23．（多选）下列函数最小值为2的是（    ） A．， B．， C． D． 【答案】BD 【分析】可通过函数单调性、指数函数性质、绝对值的非负性分别求解各选项函数的最小值，判断是否为2 【详解】 选项A：函数中，和在时均为增函数， 故该函数在上单调递增，最小值为，不符合要求； 选项B：，时，，则， 故，当时取到最小值2，符合要求； 选项C：，指数函数为单调递减函数， 故，最大值为1，不可能取到最小值2，不符合要求； 选项D：由绝对值的非负性得， 当时，此时，故函数最小值为2，符合要求. 24．已知定义在上的函数（且）． (1)判断函数的奇偶性并证明； (2)若，函数，，求函数的值域． 【答案】(1)是奇函数，证明： 因为，函数的定义域为，关于原点对称， 对于定义域内任意，， 故函数是奇函数． (2) 【分析】（1）利用函数奇偶性定义，判断函数的奇偶性； （2）先求，再采用换元法转化为二次函数，最后在给定区间求值域． 【详解】（1）略 （2）已知，则，即，解得（舍去）或， 故，， 令，令， 已知，且函数在上单调递增，在上单调递增， 故在上单调递增， 时，； 时，； 故的取值范围是， 开口向上，对称轴为， 在区间内，最小值为， ；， 综上可得，． 25．函数 ()的性质:定义域为___________，值域为__________，当时，在上是_________函数；当时，在上是__________函数，过定点__________. 【答案】 增 减 【详解】略 26．已知函数． (1)求的单调区间； (2)若存在，使得有解，求实数的取值范围． 【答案】(1)的单调递减区间为，单调递增区间为. (2). 【分析】（1）求出，分别解与即得单调区间. （2）将化为关于的二次函数，由求其值域，即为的取值范围. 【详解】（1）的定义域为. . 令，得，即. 当时，，；当时，. 所以的单调递减区间为，单调递增区间为. （2）设，则. 因为，所以. 设，由基本不等式得，当且仅当时取等号， 则，. 二次函数的图象开口向上，对称轴为， 所以在上单调递增，. 所以的取值范围为， 即存在，使得有解时，实数的取值范围是. 27．函数的定义域是______，值域是______. 【答案】 【分析】根据指数函数的定义和图象、结合换元法求解定义域和值域. 【详解】由指数函数的概念可得：定义域为， 令，则， 根据指数函数的图象可得：， 故函数的值域是． 28．函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由结合题设可得答案. 【详解】因对任意实数，，从而，则的值域为. 29．已知函数为奇函数，则下列结论不正确的是（    ） A．的定义域为 B． C．的单调递减区间为 D．的值域为 【答案】D 【分析】对于A选项，由，即可求解； 对于B选项，根据函数为奇函数，由即可求解； 对于C选项，利用指数函数的单调性求解； 对于D选项，由时，，得到，再由是奇函数即可求解. 【详解】对于选项A，由，解得，所以的定义域为，故A正确； 对于选项B，因为函数是定义域为的奇函数， 所以，即，解得， 当时，， 所以， 则符合题意，所以B正确； 对于选项C，当时，，且在上递增，则在上递减， 所以在上递减，又是奇函数， 则的单调递减区间为和，故C正确； 对于选项D，由选项B可知，，当时，，则， 所以，又是奇函数，当时，， 所以的值域为，故D错误. 30．（多选）已知函数，则下列说法正确的是（    ） A．是奇函数 B．在上单调递增 C．的值域为 D．是偶函数 【答案】ABC 【分析】利用函数奇偶性的定义可以直接判断奇偶性，再把化简成利用复合函数单调性的判断方法可以判断单调性，最后利用指数函数的性质结合不等式的性质可以求值域，逐项判断即可. 【详解】定义域为,，符合奇函数定义，故A对，D不对. ， 已知在上单调递增，那么在上单调递减， 所以在上单调递增，故B对. ，因为，所以，由此可得， 即的值域为，故C对. 考点04 判断指数函数的单调性 31．已知函数，则的最小值是（   ） A．6 B．8 C．9 D．18 【答案】D 【分析】易得函数为增函数，且时，，进而分、两种情况讨论求解即可. 【详解】因为函数均为增函数， 所以函数为增函数，而时，， 则时，， 此时函数为减函数，则； 时，， 此时函数为增函数，则. 综上所述，的最小值是18. 32．已知函数在区间上的最大值与最小值之差为． (1)解不等式； (2)当时，求函数的最值，并求出取得最值时对应的的值． 【答案】(1) (2)最小值为，；最大值为， 【分析】（1）根据题意求得，利用函数的单调性可得，求解即可； （2）利用换元法可求得函数的最值，进而可求得最值时对应的的值． 【详解】（1）当时，在上单调递增， 所以函数在区间上的最大值为，最小值为， 则，解得或. 因为，所以， 当时，在上单调递减， 所以函数在区间上的最大值为，最小值为， 则，方程无解. 综上，； 因为在上单调递增，且，所以， 解得， 故不等式的解集为. （2）因为，，所以， 令，，则， 所以当时取得最小值为，则， 当时取得最大值为，则. 33．已知函数，若正实数满足，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】首先研究函数的性质得到，再应用“1”的代换及基本不等式求最小值. 【详解】由题设知定义域为，定义域关于原点对称， ，即， 又，则，即， 根据指数函数及复合函数的单调性，知在上单调递增， 故，即，且， 所以， 当且仅当，即时取等号， 综上，的最小值为. 34．已知函数，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】函数和都是上的增函数，所以函数在上单调递增， 不等式可得，解得， 所以不等式的解集为. 35．已知函数，． (1)若恒成立，求的取值范围； (2)讨论函数的单调区间． 【答案】(1)的取值范围是. (2)当时，的单调递减区间为，无单调递增区间；当时，的单调递减区间为，单调递增区间为. 【分析】（1）根据给定条件分离参数，利用指数函数性质及基本不等式求出范围. （2）变形给定函数，利用指数函数单调性，结合二次函数单调性按分类求出单调区间. 【详解】（1）函数的定义域为，不等式恒成立， 而，则，当且仅当时取等号，因此， 所以的取值范围是. （2）函数，其定义域为， 令，则函数在上单调递减，， 当时，函数在上单调递增，因此函数在上单调递减； 当时，函数在上单调递减，在上单调递增， 由，得，由，得， 因此函数在上单调递减，在上单调递增， 所以当时，的单调递减区间为，无单调递增区间； 当时，的单调递减区间为，单调递增区间为. 36．已知函数，若正数满足，则的最小值为______． 【答案】 【分析】根据奇偶性与单调性可化简已知等式求得；由，结合基本不等式可求得结果. 【详解】，为定义在上的奇函数，且， ，即， 在上单调递增，在上单调递减， 在上单调递增，，即， （当且仅当，即时取等号）， 的最小值为. 37．（多选）已知函数，则（    ） A．是奇函数 B．在上单调递减 C．若的解集为 D．的零点为1. 【答案】ACD 【分析】对于A，利用奇偶性定义判断即可； 对于B，利用基本函数单调性判断即可； 对于C，利用奇偶性和单调性解不等式； 对于D，利用单调性和特值法求零点. 【详解】对于A，因为，所以是奇函数，A正确. 对于B，因为在单调递增，在单调递减， 所以在单调递增，B错误. 对于C，由A可知是奇函数， 则即为， 由B可知在上单调递增，则，解得，C正确. 对于D，因为单调且，则由可得， 即，故的零点为1，D正确. 38．已知且，函数对任意实数，，都有成立，则实数的范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为对任意实数，，都有成立， 所以在上为增函数， 则，解得，则实数的范围是. 39．设，，则使得成立的一个充分不必要条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由不等式、指数函数、一次函数的性质，结合充分、必要性的定义判断选项条件与已知条件的关系. 【详解】，，，即. 又因为是上的增函数，所以． A选项，由是上的增函数，所以，则A不满足； B选项不满足； C选项，则，则可以推出；反之时，不一定成立，所以C选项满足题意； D选项，和的大小关系不确定，所以D不满足题意. 40．已知函数（且）的图象经过点.则函数的最大值是（    ）. A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【详解】由已知得，解得，则在R上是减函数， 因为，所以，所以，即函数的最大值为3. 考点05比较指数幂的大小 41．已知，则（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由不等式的性质即可求解. 【详解】因为，所以， 对于A选项，若，则，故A错误； 对于B选项，若，则，故B错误； 对于C选项，若，，且，则，，故，故C错误； 对于D选项，因为，且函数在上单调递增，所以，故D正确. 42．设a，b，，且，则下列不等式一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据不等式的性质及幂函数与指数函数的单调性逐一判断即可. 【详解】对于A，，当时，，故A错误； 对于B，因为函数在上单调递减，而，所以，故B错误； 对于C，因为函数在上单调递减，而，所以，故C正确； 对于D，因为函数在上单调递减，而，所以，故D错误. 43．已知． (1)比较与的大小． (2)证明：． 【答案】(1) (2)证明：因为，所以，且． 故，所以． 【详解】（1）由， 因为，所以，，， 所以，所以． （2）略 44．若，则（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】根据不等式的基本性质结合指数函数的单调性即可判断 【详解】由，得， ． ． 45．（多选）若，，，且，则下列不等式中一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】根据指数函数的单调性得到，结合不等式的性质及作差法判断即可. 【详解】因为，所以，． 对于A，若，则不等式不成立； 对于B，因为，所以成立； 对于C，若，，则不等式不成立； 对于D，因为，所以，不等式成立． 46．已知，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用指数函数和幂函数单调性比较即可得到答案． 【详解】比较a和b：由，则是减函数，又，故，即； 比较a和c：由，则是增函数，又，故，即． 综上，． 47．已知函数． (1)判断函数的奇偶性，并说明理由； (2)求证：． 【答案】(1)为偶函数，理由如下： 由解析式知，，可得，故函数定义域为，定义域关于原点对称， 又 ， 则为偶函数； (2)证明：由（1）知，为偶函数，只需证明上， 此时，故，又， 所以在上恒成立， 结合偶函数对称性可知，在定义域上恒成立，得证． 【分析】（1）利用奇偶性定义判断，的关系及定义域是否关于原点对称； （2）根据偶函数的对称性，只需上，利用指数函数、幂函数性质判断函数值符号，即可证． 【详解】（1）略； （2）略. 48．（多选）设正实数满足，则下列说法正确的是（     ） A． B．的最小值为 C．的最大值为 D．的最小值为 【答案】ACD 【分析】结合正实数满足的条件，利用指数函数单调性、基本不等式、二次函数求最值的方法，逐一判断各选项即可 【详解】对于A选项，因为，，则，所以，所以，故A正确； 对于B选项，因为，， 所以， 因为，所以，所以， 因为，所以，即无最小值，故B错误； 对于C选项，因为，所以，当且仅当时等号成立，故的最大值为，C正确； 对于D选项，因为，， 所以，当且仅当时，等号成立， 所以，的最小值为，故D正确； 49．已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为，在上单调递减， 所以， 同理，函数在上单调递增，所以. 综上，可得． 50．设为正数，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将化成，通过比较得到，再利用指数函数的单调性即可判断. 【详解】 由可得：， ， ， 为正数 ， 又因为是单调增函数 所以， 所以. 考点06 指数函数最值与不等式的综合问题 51．若不等式 对于任意恒成立，则实数的取值范围是__________． 【答案】 【详解】设，则，所以问题转化为，恒成立． 因为 在上单调递减，所以 所以． 52．已知函数. (1)若存在，使得成立，求实数的取值范围； (2)若，求函数的最小值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由参变量分离可得，令，则，结合二次函数的基本性质求解即可； （2）令，可得，求得，令，化简得出，对实数的取值进行分类讨论，分析二次函数在区间上的单调性，即可得出的最小值的表达式，即为所求. 【详解】（1）若存在，使得，可得， 令，则， 令，其中， 则函数在上单调递减，在上单调递增， 故当时，，故实数的取值范围是. （2）， 令，则， 故， 因为函数、在上均为增函数， 故在上为增函数， 当时，， 设，其中， 二次函数的图象开口向上，对称轴为直线， ①当时，即当时，函数在上单调递增，此时； ②当时，即当时，函数在上单调递减，在上单调递增， 此时； ③当时，即当时，函数在上单调递减， 此时. 综上，. 53．解出下列的取值范围． (1)如果，求的取值范围． (2)设，，如果，那么的取值范围是多少？ 【答案】(1)当时，，当时， ； (2) 【分析】（1）讨论的范围，结合单调性解不等式； （2）将式子化简即得到，通过换元令，即可得到关于的一元二次不等式，求解即可. 【详解】（1）①当时，为减函数， 则，解得； ②当时，为增函数， 则，∴， 综上，当时，， 当时，． （2）由 ，得， 即， 设，故有，， 即， ∴． 54．已知函数，函数 (1)若函数在和上的单调性相反，求的解析式； (2)若，不等式在上恒成立，求的取值范围． 【答案】(1) (2)． 【分析】（1）根据题意得函数关于对称，利用二次函数对称性即可求解； （2）先利用指数函数性质将问题转化，分离参数转化为不等式恒成立问题，再结合二次函数的图象与性质分析求解即可. 【详解】（1）因为函数在和上的单调性相反， 所以函数为二次函数且对称轴为， 即， 所以. （2）由题意得：即， 即在上恒成立， 由在上单调递减， 所以问题转化为在上恒成立， 即在上恒成立， 等价于求在上的最大值， 令，由，则， 则， 由该函数对称轴为，且该二次函数开口向下， 所以在上单调递减， 所以， 所以，又，所以的取值范围是． 55．已知函数， (1)当时，求在上的值域； (2)若对于定义域内的任意实数，都有恒成立，求实数的取值范围； (3)若函数在区间内单调递减，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）先化简，利用对勾函数的性质求其值域. （2）将化为分段函数后分类讨论，分别分离参数求解. （3）先根据函数的性质缩小的取值范围，然后根据复合函数的单调性求解即可. 【详解】（1）当时，. 当时，， 则，当，即时等号成立， 即在上的值域为． （2）. 当时，由，得， 因为，所以，所以，所以． 当时，由， 法一：当时，由， 得， 令，， 则， 由对勾函数的性质，可知， ，即． 综上所述，实数的取值范围． 法二：令，，则不等式化为， 由上述分析可知，只需考虑时的情况： 当时，有在上恒成立； 当时，则，故在时恒成立． 综上所述，实数的取值范围． （3）当时，，因为当时，， 所以在区间内必须恒大于等于0，且单调递减， 所以，解得． 当时，． 令，，则， 且函数在上单调递减，在上单调递增， 故只需，即. 故实数的取值范围为． 56．已知函数（其中，为常数，且，）的图象经过点，． (1)求的解析式； (2)若不等式在上恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2)． 【分析】（1）根据题意，列出关于的方程组，求得，即可求解； （2）根据题意，转化为在上恒成立，结合与在的单调性，求得其有最小值，即可得到答案. 【详解】（1）解：因为函数的图象过点和， 可得，所以， 又因为，所以，则，所以． （2）解：由（1）知：，， 因为不等式在上恒成立， 即当时，恒成立， 即在上恒成立， 又因为与在上均单调递减， 所以在上也单调递减， 所以当时，有最小值，所以， 所以实数的取值范围是． 57．已知函数 若关于z的不等式 在上有解，则实数m的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】通过分析辅助函数的奇偶性、单调性来判断原函数的单调性，将不等式问题转化为求辅助函数的值域问题进行解答. 【详解】函数， 令函数，即， ，故是奇函数， 因为是上的增函数， 所以是上的减函数，是上的减函数， 因此是上的减函数，也是上的减函数， 将代入不等式， 即，化简可得， 因为是奇函数，所以， 代入可得， 因为是减函数，，所以， 令，，故，， 是对勾函数，在上单调递增， 因此当时，，当时，， 即，则， 在上有解，即大于在上的下确界， 因此实数的取值范围是. 58．已知函数，若，恒成立，则实数的取值范围是________. 【答案】 【分析】令，将不等式变成对任意恒成立，分离常数可得，令，结合函数的单调性求解即可. 【详解】，即. 令，由可得，则对任意恒成立， 等价于对任意恒成立， 所以，即. 令，易知在上单调递减，在上单调递增， 又，，所以在上的最大值为. 所以，因为函数为增函数，当时，， 因此.即实数的取值范围为. 59．已知函数为奇函数． (1)判断函数的单调性，并用定义证明； (2)若存在实数，使得成立，求实数的取值范围； (3)若关于的不等式解集为，求实数的取值范围． 【答案】(1)由是奇函数，且定义域为，得. 所以，解得， 故解析式为：， 检验， 所以. 任取，且设， . 因为，且在上是增函数， 所以，即. 又因为且, 所以，即. 综上所述函数在上是增函数. (2)； (3). 【分析】（1）由上的奇函数的性质可得，进而求得，再结合定义法判断函数单调性；（2）结合奇函数性质将问题转化为，结合函数单调性可得，进而构造函数，利用函数单调性求解的范围；（3）对不等式左侧因式分解可得，进而求得，再结合题意和函数的值域对参数分类讨论即可. 【详解】（1）略 （2）由，可得. 由（1）可知在上是增函数，故，则， 令，由，可得，即. 若存在使得成立，则. 令，设，则，， 当，即时，取得最小值， 所以. （3）根据题意可得， 因为，当时，， 所以，则. 若，则，不等式的解为， 要使不等式对任意恒成立，只需， 即，解得； 若，则，不等式的解为， 即 ，解得； 若，可得，不符合题意， 综上所述实数的取值范围是. 60．已知函数（其中a，b为常量，且）的图象经过点， (1)求函数的解析式 (2)若不等式在区间上恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用代入法得到关于,的方程组，求解即可. （2）利用恒成立问题的解决方法，结合指数函数的单调性即可得解. 【详解】（1）将点、代入得方程组： 两式相除得，将代入， 得，解得， 因此函数解析式为 ：. （2）不等式在恒成立， 等价于： 对任意恒成立， 即大于等于的最大值， 因为底数，所以是上的单调递减函数， 最大值在处取得： 因此，即的取值范围为 . 1 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题08 指数型函数图象过定点问题·参数·比大小·单调性问题题型突破（六大题型） 考点01 指数型函数图象过定点问题 考点02 求指数型复合函数的定义域 考点03 求指数型复合函数的值域 考点04 判断指数函数的单调性 考点05比较指数幂的大小 考点06 指数函数最值与不等式的综合问题 考点01 指数型函数图象过定点问题 1．若且，则函数的图象恒过的定点坐标为 ________________________． 2．函数（，且）的图象恒过定点为（   ） A． B． C． D． 3．函数（且）的图象恒过定点A，且A在幂函数的图象上，则k的值为______． 4．若函数的图象恒过定点，则的取值范围是_________. 5．已知函数（，且）的图象恒过定点P，则点P的坐标为____________． 6．函数的图象恒过定点A，若点A坐标满足方程，且，则的最小值为（ ） A．4 B．6 C． D．8 7．若函数（为常数）的图象恒过的点的纵坐标为，则（   ） A． B． C． D． 8．（多选）已知函数恒过定点，则函数的图象经过（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 9．已知函数（，）的图象所过的定点在直线上，则的最小值为______. 10．已知函数是指数函数，则函数的图象过定点___________ 考点02 求指数型复合函数的定义域 11．若幂函数的图象经过点，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 12．已知（，且）． (1)求函数的定义域、值域； (2)讨论函数的单调性． 13．（多选）已知函数，则下列说法正确的是（    ） A．的定义域为 B．在上单调递增 C．若，则实数的最大值为 D．若，则实数的最大值为1 14．设，函数是上的偶函数，则______． 15．若函数是偶函数，则（    ） A． B． C． D． 16．若为偶函数，则（   ） A． B．0 C． D．1 17．已知函数． (1)求函数的定义域，判断并证明的奇偶性； (2)判断函数在其定义域上的单调性（无需证明），并解不等式 18．（多选）已知函数，则（   ） A．的定义域为 B．的值域为 C．的单调递减区间为 D．的图象关于直线对称 19．函数 的定义域是___________ . 20．已知函数（）. (1)当时，求函数的定义域和值域； (2)若函数的值域为，求m的取值范围. 考点03 求指数型复合函数的值域 21．已知函数. (1)当时，求在上的值域； (2)若在上单调递增，求实数a的取值范围. 22．函数的图象大致为（     ） A． B． C． D． 23．（多选）下列函数最小值为2的是（    ） A．， B．， C． D． 24．已知定义在上的函数（且）． (1)判断函数的奇偶性并证明； (2)若，函数，，求函数的值域． 25．函数 ()的性质:定义域为___________，值域为__________，当时，在上是_________函数；当时，在上是__________函数，过定点__________. 26．已知函数． (1)求的单调区间； (2)若存在，使得有解，求实数的取值范围． 27．函数的定义域是______，值域是______. 28．函数的值域为（    ） A． B． C． D． 29．已知函数为奇函数，则下列结论不正确的是（    ） A．的定义域为 B． C．的单调递减区间为 D．的值域为 30．（多选）已知函数，则下列说法正确的是（    ） A．是奇函数 B．在上单调递增 C．的值域为 D．是偶函数 考点04 判断指数函数的单调性 31．已知函数，则的最小值是（   ） A．6 B．8 C．9 D．18 32．已知函数在区间上的最大值与最小值之差为． (1)解不等式； (2)当时，求函数的最值，并求出取得最值时对应的的值． 33．已知函数，若正实数满足，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 34．已知函数，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 35．已知函数，． (1)若恒成立，求的取值范围； (2)讨论函数的单调区间． 36．已知函数，若正数满足，则的最小值为______． 37．（多选）已知函数，则（    ） A．是奇函数 B．在上单调递减 C．若的解集为 D．的零点为1. 38．已知且，函数对任意实数，，都有成立，则实数的范围是（    ） A． B． C． D． 39．设，，则使得成立的一个充分不必要条件是（   ） A． B． C． D． 40．已知函数（且）的图象经过点.则函数的最大值是（    ）. A．1 B．2 C．3 D．4 考点05比较指数幂的大小 41．已知，则（     ） A． B． C． D． 42．设a，b，，且，则下列不等式一定成立的是（   ） A． B． C． D． 43．已知． (1)比较与的大小． (2)证明：． 44．若，则（    ） A．， B．， C．， D．， 45．（多选）若，，，且，则下列不等式中一定成立的是（   ） A． B． C． D． 46．已知，，，则（   ） A． B． C． D． 47．已知函数． (1)判断函数的奇偶性，并说明理由； (2)求证：． 48．（多选）设正实数满足，则下列说法正确的是（     ） A． B．的最小值为 C．的最大值为 D．的最小值为 49．已知，则（    ） A． B． C． D． 50．设为正数，且，则（   ） A． B． C． D． 考点06 指数函数最值与不等式的综合问题 51．若不等式 对于任意恒成立，则实数的取值范围是__________． 52．已知函数. (1)若存在，使得成立，求实数的取值范围； (2)若，求函数的最小值. 53．解出下列的取值范围． (1)如果，求的取值范围． (2)设，，如果，那么的取值范围是多少？ 54．已知函数，函数 (1)若函数在和上的单调性相反，求的解析式； (2)若，不等式在上恒成立，求的取值范围． 55．已知函数， (1)当时，求在上的值域； (2)若对于定义域内的任意实数，都有恒成立，求实数的取值范围； (3)若函数在区间内单调递减，求实数的取值范围. 56．已知函数（其中，为常数，且，）的图象经过点，． (1)求的解析式； (2)若不等式在上恒成立，求实数的取值范围． 57．已知函数 若关于z的不等式 在上有解，则实数m的取值范围为（   ） A． B． C． D． 58．已知函数，若，恒成立，则实数的取值范围是________. 59．已知函数为奇函数． (1)判断函数的单调性，并用定义证明； (2)若存在实数，使得成立，求实数的取值范围； (3)若关于的不等式解集为，求实数的取值范围． 60．已知函数（其中a，b为常量，且）的图象经过点， (1)求函数的解析式 (2)若不等式在区间上恒成立，求实数的取值范围. 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $