专题07 分数指数幂·指数函数·求解析式问题题型突破（六大题型）（高效培优期中专项训练）数学人教A版高一必修第一册

专题07 分数指数幂·指数函数·求解析式问题题型突破（六大题型） 考点01 根式的化简求值 考点02 分数指数幂与根式的互化 考点03 指数幂的化简、求值 考点04 指数函数的判定与求值 考点05根据函数是指数函数求参数 考点06 求指数函数解析式 考点01 根式的化简求值 1．满足式子有意义的实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．下列说法正确的是（    ） A．负数的次方根不存在，其中 B．因为，所以是的五次方根 C．因为，所以81的四次方根是3 D．1的次方根是1，其中 3．已知a满足，则的值为______. 4．（1）若 有意义，化简 －|3－x|； （2）已知y＝＋＋，求实数x及y. 5．化简与求值： (1)； (2)； (3)； (4). 6．求____________________． 7．如果那么x的取值范围是（   ） A． B． C． D．且 8．计算____________ 9．化简（   ） A． B． C． D． 10．__________． 考点02 分数指数幂与根式的互化 11．下列函数中与函数是同一函数的是（ ） A． B． C． D． 12．正实数满足,若,,求的值. 13．已知，则的分数指数幂形式为（   ） A． B． C． D． 14．函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 15．已知，若，则实数___________． 16．（多选）已知，下列各式正确的是（   ） A． B． C． D． 17．已知，则的分数指数幂的形式为（   ） A． B． C． D． 18．“”是“”的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 19．（1）计算: （2）计算: . 20．计算:   (式中字母均为正数)=_____________. 考点03 指数幂的化简、求值 21．（1）用分数指数幂表示； （2）已知，求： ①； ②； ③ 22．化简：的值为_________． 23．若函数为奇函数，则（    ） A． B．1 C． D． 24．已知，求的值. 25． ，则的值为________． 26．（多选）已知，则的值可能为（    ） A．－2 B．－1 C．1 D．2 27．化简： 28．计算下列各式： (1)； (2)； (3). 29．化简求值： (1)； (2). 30．计算下列各式的值： (1)化简：； (2)已知，求的值. 考点04 指数函数的判定与求值 31．已知函数，且，若，则（    ） A． B． C． D． 32．已知命题，则命题的否定 为（    ） A． B． C． D． 33．已知函数，则______. 34．若指数函数的图象经过点，则______，______． 35．（多选）下列以为自变量的函数中不是指数函数的有（    ） A． B． C． D．且 36．已知函数，则（    ） A． B． C． D． 37．若函数是定义在R上的奇函数，则实数a的值为________． 38．已知，若，则的最小值为________. 39．定义在上的函数的反函数为，若为奇函数，则的解为（   ） A． B． C． D． 40．设 (1)求和； (2)若 ，求 的值； (3)求 的值. 考点05根据函数是指数函数求参数 41．已知，若，则_________． 42．已知函数是指数函数．求的表达式. 43．已知函数是指数函数，且.求函数的解析式. 44．若函数是指数函数，求的值. 45．若函数是指数函数，求实数的值（    ） A．1 B．2 C．0 D． 46．若是指数函数，则有（    ） A． B． C． D．且 47．若函数 是指数函数，则的取值范围是__________. 48．已知函数是定义在上的奇函数，且指数函数的图像过点. (1)求的解析式； (2)若对任意，不等式恒成立，求实数的最小值. 49．已知函数，则__________. 50．函数是指数函数，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 考点06 求指数函数解析式 51．若指数函数的图象经过点，则______． 52．已知函数满足：①的定义域为；②对任意实数，均有；③不为常值函数，试写出一个符合条件的的解析式：_________． 53．已知函数，． (1)求和的函数解析式； (2)设，判断的奇偶性，并加以证明． 54．已知函数为奇函数，则（    ） A． B． C． D． 55．若函数且为偶函数，则（    ） A． B． C． D． 56．函数且的图象过点，则（   ） A． B．3 C． D．9 57．写出一个满足的函数解析式__________. 58．已知定义域为的函数. (1)已知定义域为的是奇函数，求、的值； (2)已知定义域为的是偶函数，求、所满足的关系式. 59．函数的图象向右平移个单位长度，所得图象与关于轴对称，则（   ） A． B． C． D． 60．已知函数 且过点． (1)求的值，并写出的解析式； (2)判断 的奇偶性，并用定义证明； (3)若 ，且为奇函数，为偶函数，写出的解析式． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题07 分数指数幂·指数函数·求解析式问题题型突破（六大题型） 考点01 根式的化简求值 考点02 分数指数幂与根式的互化 考点03 指数幂的化简、求值 考点04 指数函数的判定与求值 考点05根据函数是指数函数求参数 考点06 求指数函数解析式 考点01 根式的化简求值 1．满足式子有意义的实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意得，即，解得，故实数的取值范围为. 2．下列说法正确的是（    ） A．负数的次方根不存在，其中 B．因为，所以是的五次方根 C．因为，所以81的四次方根是3 D．1的次方根是1，其中 【答案】B 【详解】对于A，的三次方根为，A错误； 对于B，由，得是的五次方根，B正确； 对于C，81的四次方根是，C错误； 对于D，的平方根是，D错误. 3．已知a满足，则的值为______. 【答案】2026 【详解】由，得， 因为，所以，故. 4．（1）若 有意义，化简 －|3－x|； （2）已知y＝＋＋，求实数x及y. 【答案】（1）；（2）， 【详解】（1）由题意知，则。 （2）由题意知 所以，从而. 5．化简与求值： (1)； (2)； (3)； (4). 【答案】(1) (2)3 (3) (4) 【详解】（1）. （2） （3）， . （4）原式. 当时，原式； 当时，原式． 6．求____________________． 【答案】 【详解】由题意得． 7．如果那么x的取值范围是（   ） A． B． C． D．且 【答案】C 【详解】解：因为二次根式的被开方数是非负数，分式的分母不等于零，则，解得． 8．计算____________ 【答案】4 【详解】． 9．化简（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据根式运算求得正确答案. 【详解】因为有意义，所以，所以， 所以． 10．__________． 【答案】 【详解】 考点02 分数指数幂与根式的互化 11．下列函数中与函数是同一函数的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】依次判断各选项中函数的定义域和解析式，与已知函数均相同的即为结果. 【详解】的定义域为； 对于A：的定义域为， 与解析式不同，故A错误； 对于B：的定义域为，与的定义域不同，故B错误； 对于C：的定义域为，与的定义域不同，故C错误； 对于D：的定义域为，与解析式相同，故D正确. 12．正实数满足,若,,求的值. 【答案】8 【分析】利用最小幂换元，设,将转化为关于的表达式， 再借助于立方和和立方差公式提取公因式化简，代入已知条件即可求值. 【详解】最小幂换元，设,则条件化为, ,, 所以原式 . 13．已知，则的分数指数幂形式为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用分数指数幂的运算法则化简. 【详解】． 故选：A 14．函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据具体函数的定义域求解即可. 【详解】由， 则，即，则函数的定义域是. 故选：B 15．已知，若，则实数___________． 【答案】/ 【分析】利用指数幂的运算法则，化简即可求得结果. 【详解】因为，所以. 故答案为：. 16．（多选）已知，下列各式正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】设，则，由题意可得，则，由此逐一判断即可. 【详解】设，则，由题意可得，则， 对于A，因为， 又因为， 所以，即，故A正确； 对于B，因为，故B正确； 对于C，因为， 由，可得，故C正确； 对于D，因为 ，故D错误. 故选：ABC. 17．已知，则的分数指数幂的形式为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据分数指数幂和根式的关系逐层转化即可. 【详解】. 故选：A 18．“”是“”的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据分数指数幂与根式的互化公式分析充分性，结合充分不必要条件的定义进行判断即可. 【详解】因为，所以由，所以充分性成立； 当，显然，但是，所以必要性不成立. 所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：A 19．（1）计算: （2）计算: . 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）根据次根式的性质化简即可； （2）根据分数指数幂的运算法则计算即可． 【详解】(1)由得： 故原式 (2) 原式== 20．计算:   (式中字母均为正数)=_____________. 【答案】 【分析】将根式化为分数指数幂，然后由指数幂的运算性质可得. 【详解】 . 故答案为： 考点03 指数幂的化简、求值 21．（1）用分数指数幂表示； （2）已知，求： ①； ②； ③ 【答案】（1）；（2）①7；②47；③18. 【详解】（1）； （2）①两边平方得，， 故； ②两边平方得， 故； ③. 22．化简：的值为_________． 【答案】1 【分析】利用指数幂的运算法则计算即可． 【详解】 ． 23．若函数为奇函数，则（    ） A． B．1 C． D． 【答案】D 【分析】先求出函数的定义域，根据奇函数的定义域关于原点对称求出的值，再根据奇函数的定义验证函数是奇函数即可. 【详解】的定义域为且， 因为函数为奇函数，所以定义域关于原点对称，故，即. 所以， 的定义域为，关于原点对称， 又， 故函数为奇函数.所以. 24．已知，求的值. 【答案】 【详解】 ， ， ， 所以. 25． ，则的值为________． 【答案】2 【分析】利用完全平方公式，立方和公式及指数运算法则计算即可． 【详解】由得，， 所以． 26．（多选）已知，则的值可能为（    ） A．－2 B．－1 C．1 D．2 【答案】AD 【详解】∵，∴，∴. 27．化简： 【答案】 【详解】 28．计算下列各式： (1)； (2)； (3). 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）原式 ； （2）原式 ； （3）原式. 29．化简求值： (1)； (2). 【答案】(1) (2)3.1 【详解】（1）原式 ； （2）原式 . 30．计算下列各式的值： (1)化简：； (2)已知，求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）全部根式转化为分数指数，把根式运算转化为有理数指数的代数运算. （2）求代数式整体的值，用整体的值代入分式求值即可. 【详解】（1） （2）由，可得， 等式两边同时平方可得：，即， 等式两边同时平方可得：，即， 所以. 考点04 指数函数的判定与求值 31．已知函数，且，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】A选项，， 由于不一定相等，故A不正确； B选项，， 故，故B正确； C选项，， 由于不一定相等，故C不正确； D选项，， 由于不一定相等，故D不正确. 32．已知命题，则命题的否定 为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】根据存在量词命题的否定的结构形式可得：. 33．已知函数，则______. 【答案】 【详解】， ， ． 34．若指数函数的图象经过点，则______，______． 【答案】 【分析】答题空1：由指数函数过点，先求出底数，进而求出指数函数表达式；答题空2：由指数函数表达式，分别求出，从而求出的值. 【详解】由题知，即，，，. 35．（多选）下列以为自变量的函数中不是指数函数的有（    ） A． B． C． D．且 【答案】ACD 【详解】由指数函数的定义：形如且的函数，其中指数为自变量，定义域是.根据定义逐一判断： 选项A：底数为，不满足指数函数底数大于的要求，不是指数函数，故A符合； 选项B：底数（满足且），符合指数函数定义，是指数函数，故B不符合； 选项C：函数可写为，指数部分的系数为，不符合“系数为”的要求，不是指数函数，故C符合； 选项D：解析式中指数不是自变量，这是一个值为常数的常函数，不是指数函数，故D符合. 36．已知函数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】， ， ， 所以. 37．若函数是定义在R上的奇函数，则实数a的值为________． 【答案】 3 【详解】函数是定义在R上的奇函数，则，解得， 此时，，函数是奇函数， 所以实数a的值为3. 38．已知，若，则的最小值为________. 【答案】 【详解】，当且仅当时取等号. 39．定义在上的函数的反函数为，若为奇函数，则的解为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由反函数与原函数的互逆关系知，的解就是求原函数的值，根据分段函数的解析式，结合奇偶性求出，从而可得结果. 【详解】由反函数与原函数的互逆关系知， 的解就是求原函数的值， 又，且为奇函数， ， ，即为 的解. 40．设 (1)求和； (2)若 ，求 的值； (3)求 的值. 【答案】(1), (2) (3) 【分析】(1)代值计算即可求解； (2)化简，即可求得 的值； (3)结合即可求解. 【详解】（1）由于，则, （2）由题可得，, 所以 . （3）由(2)可得当时， ， 设 , 则， 所以, 所以. 考点05根据函数是指数函数求参数 41．已知，若，则_________． 【答案】3或 【分析】分段函数分两类讨论:时代入上式求解，时代入下式求解. 【详解】当时，，即，解得， 当时，，解得. 所以的值为3或. 42．已知函数是指数函数．求的表达式. 【答案】 【详解】函数是指数函数，且， ， 可得或舍去， 43．已知函数是指数函数，且.求函数的解析式. 【答案】 【分析】根据指数函数定义得到方程，解出值并检验即可. 【详解】由题意有，解得或， 当时，，此时，，所以，舍去； 当时，，此时，，所以，满足题意． 故. 44．若函数是指数函数，求的值. 【答案】4 【分析】根据指数函数的定义列式求解即可. 【详解】解：因为函数是指数函数， 所以，，即， 所以. 45．若函数是指数函数，求实数的值（    ） A．1 B．2 C．0 D． 【答案】B 【分析】根据指数函数的定义可得出关于实数的等式与不等式，即可解得实数的值． 【详解】函数是指数函数，可得，解得． 46．若是指数函数，则有（    ） A． B． C． D．且 【答案】B 【详解】由指数函数的定义得，解得. 47．若函数 是指数函数，则的取值范围是__________. 【答案】 【分析】根据指数函数的定义进行求解即可. 【详解】因为函数 是指数函数， 所以有，且， 所以的取值范围是. 故答案为： 48．已知函数是定义在上的奇函数，且指数函数的图像过点. (1)求的解析式； (2)若对任意，不等式恒成立，求实数的最小值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据奇函数求出，根据指数函数经过的点坐标求出，进而得到函数的解析式. （2）先根据函数单调性的定义判断函数在上单调递减，然后结合奇函数的性质将原不等式进行化简得到，然后构造新函数，判断新函数的单调性和范围，进行求得新函数的最大值，从而得到结果. 【详解】（1）因为函数是定义在上的奇函数， 所以，即，解得. 因为指数函数的图像过点，所以， 因为，所以. 所以. （2）因为，当时， 由于，所以，. 所以，所以在上单调递减， 又为奇函数，所以在上单调递减. 将变形得， 根据函数的单调性可得恒成立， 因为，所以，所以不等式化简得. 令，则. 因为，所以根据基本不等式的性质可得. 当且仅当时，即时等号成立. 令，所以，设， 则， 所以在上单调递减， 所以当时，取最大值为，即的最大值为. 所以要使得不等式恒成立，则，此时的最小值为. 49．已知函数，则__________. 【答案】 【分析】先求出，分析可得，根据分析计算得到答案. 【详解】由题，则， 因为，所以. 故答案为：. 50．函数是指数函数，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由指数函数的定义列出限制条件，求解不等式组可得答案. 【详解】由指数函数的定义得解得，且，故的取值范围是． 故选：C 考点06 求指数函数解析式 51．若指数函数的图象经过点，则______． 【答案】 / 【分析】先设出指数函数的标准解析式，代入已知点坐标求出底数，再将代入解析式计算结果. 【详解】设指数函数的解析式为（且）， 将点代入解析式，得，解得， 因此， 所以. 52．已知函数满足：①的定义域为；②对任意实数，均有；③不为常值函数，试写出一个符合条件的的解析式：_________． 【答案】（答案不唯一，满足题意即可） 【分析】根据抽象函数的解析式判断即可. 【详解】当时，，，符合条件． 故答案为（答案不唯一）． 53．已知函数，． (1)求和的函数解析式； (2)设，判断的奇偶性，并加以证明． 【答案】(1) (2)是偶函数，证明如下： ， 因为的定义域为，， 且，所以是偶函数． 【详解】（1）由于，所以，所以． （2）略 54．已知函数为奇函数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】对任意的，，求出的等式，根据可求出实数的值. 【详解】对任意的，，则， 因为函数为奇函数，则， 故当时，由可得，即， 所以，解得. 55．若函数且为偶函数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用特殊值法得出，求出的值，再利用函数奇偶性的定义验证即可. 【详解】函数且为偶函数，且该函数的定义域为，所以， 因为，，所以，可得， 又因为且，解得，此时， 因为， 故当时，函数为偶函数，故. 56．函数且的图象过点，则（   ） A． B．3 C． D．9 【答案】A 【分析】运用代入法进行求解即可. 【详解】因为函数且的图象过点， 所以，或舍去， 故. 57．写出一个满足的函数解析式__________. 【答案】（答案不唯一） 【分析】根据题意考虑常数函数，或者指数函数即可. 【详解】由题意知， 当，时满足条件， 当，且时， 可得， 形如，或且均可. 故答案为：（答案不唯一） 58．已知定义域为的函数. (1)已知定义域为的是奇函数，求、的值； (2)已知定义域为的是偶函数，求、所满足的关系式. 【答案】(1)， (2)且 【分析】（1）（2）利用特殊值法求出、的值或满足的条件，再结合函数奇偶性的定义检验即可. 【详解】（1）因为函数是定义在上的奇函数，则，所以， 所以， 因为，， 由奇函数的定义可得，即，解得， 且当，时，函数， 对任意的，，即函数的定义域为， 对任意的，， 故函数为奇函数，符合题意， 综上所述，，. （2）因为函数是定义在上的偶函数， 因为，， 由偶函数的定义可得，即①， 因为，， 由偶函数的定义可得，即②， 联立①②可得，此时， 由题意可知无实数解，即对任意的恒成立， 因为，所以，此时， 显然对任意的，，函数为定义在上的偶函数， 综上所述，且. 59．函数的图象向右平移个单位长度，所得图象与关于轴对称，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求出与关于轴对称的函数，再将所得函数的图象向左平移一个单位，即可求解. 【详解】设与关于轴对称的函数为，且为函数的图象上任一点， 则关于轴的对称点为，所以点在的图象上， 则，又的图象向左平移一个单位得到，所以， 故选：B. 60．已知函数 且过点． (1)求的值，并写出的解析式； (2)判断 的奇偶性，并用定义证明； (3)若 ，且为奇函数，为偶函数，写出的解析式． 【答案】(1)， (2)奇函数，证明如下： 由（1）知，，定义域为，关于原点对称， 可得，故函数是奇函数； (3) 【分析】（1）由函数过点求解即可； （2）由题意可得，根据函数奇偶性的定义判断并证明即可； （3）由题意可得，且，求解即可. 【详解】（1）依题意，，解得或， 而，，故，则； （2）为奇函数，证明略； （3）因为，即，①，所以， 又因为为奇函数，为偶函数，所以，② 由①②可得，，故. 1 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $