专题04 等式性质·不等式性质·证明问题题型突破（六大题型）（高效培优期中专项训练）数学人教A版高一必修第一册

专题04 等式性质·不等式性质·证明问题题型突破（六大题型） 考点01 作差法比较大小 考点02 作商法比较大小 考点03 由不等式性质比较大小 考点04 由不等式可加可乘性求范围 考点05由不等式的性质证明不等式 考点06 不等式性质综合考点 考点01 作差法比较大小 1．（1）比较与的大小． （2）已知，，求，的取值范围． 【答案】（1）（2）； 【详解】（1）由题意得 ， ，，， 故. （2）因为；，所以； 因为， ，，得到． 2．设，，则与的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】，故. 3．设，，，则，的大小关系是（          ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】，由，， 得， 所以. 4．（多选）下列命题为真命题的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】BCD 【分析】举反例判断A；由不等式的性质判断B,C；利用作差法判断D. 【详解】对于A，当时，满足， 但，不满足，故A错误； 对于B，因为，所以， 由不等式的同向相加性质可知，故B正确； 对于C，因为， 所以， 由不等式的同向相加性质可知，故C正确； 对于D，因为， 所以， 所以，故D正确. 5．已知，，均为正数，则“”是“”的（     ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【详解】因为， 当且时，，所以； 若，则， 因为，，均为正数，所以，即. 所以 当，，均为正数时，“”是“”的充要条件. 6．已知且，，，则______.（填“”，“”或“”） 【答案】 【详解】因为且， 所以，故. 7．设，则的大小关系为______． 【答案】 【分析】作差法可直接比较得出结果. 【详解】易知， 则. 8．（多选）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【详解】A选项，取，，，则，A错误； B选项，因为，所以，，所以，B正确； C选项，因为，，所以，又，则，所以，C正确； D选项，因为， 又，所以，，所以，所以，D正确. 9．（1）用反证法证明命题：“三角形内至少有一个角不小于”； （2）设，试比较与的大小. 【答案】（1）假设的三个内角都小于，即，，， 所以，这与三角形内角和等于矛盾. 故假设错误，即原命题成立. （2）. 【详解】（1）略 （2） ， ，，， 故，即. 10．（1）已知，比较与的大小； （2）证明：若，则或. 【答案】（1）； （2）证明：（反证法）假设结论不成立，即“或”不成立， 可得“或”的否定成立，即“且”成立， 若且，根据不等式的基本性质，可得， 这与已知条件“”矛盾，所以假设不成立， 所以原命题成立，即若，则或. 【分析】（1）根据题意，利用作差比较法，即可求解； （2）根据题意，利用反证法，即可得证. 【详解】（1）由， 因为，所以，所以. （2）略 考点02 作商法比较大小 11．已知，则之间的大小关系是（    ） A． B． C． D．无法比较 【答案】B 【详解】由于， 且， 而， 则，即， 所以，即. 12．比较与（且，且）的大小． 【答案】（当且仅当时等号成立） 【分析】由且，且，得，；通过作商法比较与的大小. 【详解】且，且，，. . 当时，，，得，则； 当时，，，得，则； 当时，，，得，则； 综上所述，（当且仅当时等号成立）. 13．（1）作差法：_______，，_____ （2）作商法：_______，，____ 【答案】 > < > < 【分析】由作差法，作商法定义可得答案. 【详解】故答案为： 14．（多选）已知，则下列正确的有（   ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】根据不等式的基本性质，结合作差比较和作商比较法，逐项分析判断，即可求解. 【详解】对于A，因为，由，所以，所以A正确； 对于B，因为，由不等式的性质，可得，所以B正确； 对于C，由， 因为，可得，且，， 所以，即，所以，所以C错误； 对于D，由， 因为，可得，所以， 即，所以，所以D正确. 故选：ABD. 15．（1）比较大小：与； （2）设，比较与的大小. 【答案】（1）. （2）. 【分析】（1）利用作差法比较大小. （2）利用作商法比较大小. 【详解】（1） ， 因为，所以， 即. （2）由，得，，， 因此， 所以. 16．（多选）若，那么下列不等式一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】作差比较大小可以判断AD；作商比较大小可以判断BC. 【详解】对于A，因为，所以，故A正确； 对于B，，故B错误； 对于C，，，所以，因为，所以，所以，故C正确； 对于D，，故D正确. 故选：ACD. 17．（多选）给定下列推导过程，错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】根据不等式的性质逐项判断. 【详解】对于A：只有当时，才成立，故A错误； 显然，B正确； 对于：只有当且时，才成立，故C错误； 对于D：当时，，故D错误. 故选：ACD. 18．（多选）对于实数，，，下列选项正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则， D．若，，则 【答案】ABD 【分析】利用比较法、特例法逐一判断即可. 【详解】对选项A，因为，所以，， 所以，故A正确； 对选项B，，，所以， 因为，所以，即，故B正确； 对选项C，令，，满足，不满足，，故C错误； 对选项D，因为，， 所以，故D正确． 故选：ABD． 19．设，，则_______（填入“＞”或“＜”）． 【答案】 【分析】由均大于0，可用作商法，再化简后与1作大小比较，即可得出答案. 【详解】∵，即. 又， . 故答案为：>. 20．已知a是实数，则“”是“”的（    ）． A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】判断“”和“”之间的逻辑推理关系，即得答案. 【详解】当时，， 故，即成立，则成立； 当时，，但推不出成立， 故“”是“”的充分不必要条件， 故选：A 考点03 由不等式性质比较大小 21．（多选）若，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】通过特值排除A、C，利用不等式性质证明B、D. 【详解】对于A：取，则满足，但，A错误； 对于B：因为，所以，又，所以，B正确； 对于C：取，则满足，此时，又，所以，C错误； 对于D：因为，所以，得，又，所以，D正确. 22．（多选）下列说法正确的是（     ） A．若，则 B．若，，则 C．若，则 D．若，，则 【答案】BC 【详解】A选项：若，取，则，但，故A错误； B选项：由同向不等式可加性，若，则，故B正确； C选项：若，则，两边同除以得，故C正确； D选项：， 因为，所以，， 所以，即，故D错误. 23．对于实数，，，下列说法正确的是（    ） A．若，则     B．若，则 C．存在，使得     D．存在，使得 【答案】A 【分析】根据不等式的性质即可结合选项逐一求解. 【详解】对于A，由于，所以， 因此，故， ，故，A正确， 对于B，当时，此时不满足，B错误， 对于C，由于，，因此，故C错误， 对于D,由于，故，因此，D错误， 24．（多选）下列说法正确的是（    ） A．若，，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】AB 【详解】若，则，故A正确； 因为，所以，即，故B正确； 当，满足，但，故C错误； 当，满足，但，故D错误． 25．若，则下列不等式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】对于选项A：例如，则，故A错误； 对于选项B：因为，所以，故B正确； 对于选项CD：例如，满足， 但，，则，故CD错误. 26．（多选）下列命题中正确的是（    ） A．若，，则 B．若，则 C．若，，则 D．若，则 【答案】CD 【详解】对于A，若， 此时满足，，但，，故A错误； 对于B，若，当时，，故B错误； 对于C，若，， 由不等式性质可知成立，故C正确； 对于D，若，则，所以，故D正确； 27．已知实数满足，，则一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】取特殊值判断ABC，根据不等式性质判断D. 【详解】当时满足，，但是不成立，故A错误； 当时满足，但，故B错误； 当时满足，，但是，故C错误； 因为，所以，又，由不等式性质可得，故D正确. 28．若，，则必有（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】取，则，A错误， 取，则，B错误． 取，，D错误． 因为，所以，C正确． 29．（多选）下列命题是真命题的是（    ） A．若，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，则 【答案】BD 【详解】选项A：令，，满足，但，选项A错误； 选项B：因为，所以，又，故，选项B正确； 选项C：令，，，，满足，，则， 选项C错误； 选项D：因为，所以，，可得到：， 即，选项D正确. 30．（多选）已知，为实数且，则下列结论正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】AD 【详解】对于A，因为，所以，即，故A正确； 对于B，取，，但，故B错误； 对于C，当时，，所以，故C错误； 对于D，因为，所以，则，即，故D正确. 考点04 由不等式可加可乘性求范围 31．已知，满足，，则的最大值为（     ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】C 【详解】因为，所以， 又因为，所以， 即，则的最大值为7. 32．已知，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】把目标式拆成两个已知不等式的线性组合，再利用不等式同向可加性即可求得. 【详解】设，则， 所以，解得，即， 因为，， 所以，， 所以，即. 33．若，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用不等式性质结合条件可得 的取值范围. 【详解】， ，又 ， ∴， . 34．（1）设，，求，的范围； （2）已知，求的取值范围. 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）利用不等式的性质求出范围. （2）利用换元法及不等式的性质求出范围. 【详解】（1）由，，得，，， 所以，. （2）设，则，解得， 于是， 由，得， 由，得， 因此，所以的取值范围是. 35．若，，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将表示为的形式，通过比较系数求出，再利用不等式同向可加的性质，分别求出两部分的取值范围后相加即可. 【详解】设 比较系数得： 解得， 所以 由已知： 所以： 两式相加得： 即 所以的取值范围是. 36．（多选）已知实数，满足，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【详解】对于选项A，因为，所以，因为，所以，故A正确； 对于选项B，因为，所以，因为，所以，故B错误； 对于选项C，因为，，所以，故C正确； 对于选项D，因为，所以，所以，又， 所以，故D正确. 37．若，则的取值范围是________. 【答案】 【详解】因为，所以， 又，所以. 38．已知，则的取值范围是________ 【答案】 【详解】因为，所以， 可得，即的取值范围是. 39．已知，，则的取值范围为_______． 【答案】 【分析】根据不等式的性质可求出. 【详解】已知，，则，， 所以，因此的取值范围为. 40．已知，，则的取值范围为________． 【答案】 【详解】由得， 又， 所以， 即的取值范围为. 考点05由不等式的性质证明不等式 41．（1）已知，比较与的大小； （2）已知，，，证明：． 【答案】（1） （2）证明：（方法一）． 因为，所以． 又，所以， 所以，即． （方法二）由，得． 又，所以， 则． 又，所以． 【分析】（1）应用作差法计算比较大小； （2）方法一：应用作差法计算证明不等式；方法二：应用不等式性质计算证明不等式. 【详解】（1）． 因为，所以．又，所以， 所以． （2）略 42．（1）已知，，证明：； （2）一般认为，居民住宅的窗户面积必须小于地板面积，窗户面积与地板面积的比值越大，采光效果越好．若同时增加相同的窗户面积和地板面积，则采光效果是变好了还是变坏了？为什么？ （3）已知，，是三角形的三边，比较与2的大小，并说明理由； 【答案】（1）证明：， 因为，，所以，， 所以，即． （2）采光效果变好了,原因见解析； （3），理由如下： 因为，，是三角形的三边，所以， 由（1）知， 同理，， 所以． 即. 【详解】（1）略 （2）采光效果是变好了，理由如下： 设地板面积为，窗户面积为，窗户面积和地板面积同时增加， 由题意，，由（1）知， 即窗户面积与地板面积的比值变大，所以采光效果变好了． （3）略 43．根据生活经验，若杯中盛有克糖水，其中含有克糖.再向杯中添加克糖（假设完全溶解），则糖水变甜了. (1)请将上述生活经验用一个不等式表示出来，并加以证明； (2)设，，是一个三角形的三边长，若，求正整数的最小值. 【答案】(1)（其中，）， 下面给予证明：， 因为，，，，所以，故. (2)2 【分析】（1）根据题意列出不等式，通过作差法证明不等式成立； （2）由（1）得到，，.三个不等式相加，得到不等式左边的范围，再结合特殊值得到正整数的最小值. 【详解】（1）略 （2）由（1）得：，，， 三个不等式相加，得 ，故. 又当时，故. 所以正整数的最小值为2. 44．（1）已知，求证：； （2）求证：方程有两个同号且不相等的实根的充要条件是． 【答案】（1）证明：方法一：因为，所以， 所以，所以， 所以，即， 所以，又因为，所以． 方法二： ， 因为，所以，，，， 所以，所以，所以， 因此． （2）证明：充分性：因为， 所以方程的判别式，且，， 所以方程有两个同号且不相等的实根． 必要性：若方程有两个同号且不相等的实根，， 则有，解得． 综上，方程有两个同号且不相等的实根的充要条件是． 【详解】略. 45．（1）已知，求证：； （2）已知实数，若，求的取值范围． 【答案】（1）证明：， 所以，等号成立当且仅当且. （2） ． 【分析】（1）应用作差法计算证明即可； （2）应用待定系数法结合不等式性质计算求解. 【详解】（1）略 （2）设． 则，解得，； 所以， 由，得， 又，所以， 两式相加：， 所以的取值范围是 46．（1）比较与的大小； （2）若，且，证明：． 【答案】（1）； （2）证明：且，即，故， 所以. 【详解】（1）， 故； （2）略 47．设，，为正实数.证明：. 【答案】设. 先证明一个二元引理：对任意正实数，，有. 事实上，这等价于， 也就是. 两边均为正，因此可以平方。只需验证. 而 . 所以引理成立。 现在分别令，得到 ， ， . 三式相加，右边正好相消： . 因此. 等号成立当且仅当三次使用引理均取等，即. 证毕。 【分析】证明一个二元引理：对任意正实数，，有，再令三式相加后即可. 【详解】略 48．已知，求证:. 【答案】证明：方法一：因为，所以， 所以，所以， 所以， 即，所以， 又因为，所以. 方法二： 因为，所以， 所以，所以， 所以，因此. 【分析】利用不等式的性质及作差法比较，即可得到结论． 【详解】略. 49．（1）比较与的大小； （2）已知，，求证：. 【答案】（1）； （2）因为，所以， 又，所以，得证. 【分析】（1）利用作差法比较大小； （2）根据，得到，再由，根据不等式的性质可得，从而得证. 【详解】（1）因为 ， 所以； （2）略 50．（1）设，．试比较与的大小． （2）已知，，．求证：． 【答案】（1）； （2）因为，可得， 又因为，所以，所以， 因为，所以. 【分析】（1）根据题意，利用作差比较法，即可求解； （2）根据题意，利用不等式的基本性质，即可得证. 【详解】（1）解：由，， 则， 因为，可得，所以； （2）略 考点06 不等式性质综合考点 51．为了加强家校联系，蔡老师组建了一个由学生、家长和教师组成的微信群．已知该群中男学生人数多于女学生人数，女学生人数多于家长人数，家长人数多于教师人数，教师人数的两倍多于男学生人数．则该微信群人数的最小值为_______ 【答案】22 【详解】设男学生、女学生、家长、教师人数分别为，由题意： 且，因为人数都是正整数，且，所以， 又因为，所以，即，解得， 所以教师人数最少为.为了求最小值， 即可取最小情况为，经检验显然满足题意； 故此时总人数为，因此，该微信群人数的最小值为. 52．已知，，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用待定系数法及不等式的性质计算即可得解. 【详解】设， 则有，解得， 因为，，所以， 所以. 53．（1）若，，，试比较与的大小； （2）比较两个代数式的大小：与． 【答案】（1） （2） 【分析】（1）利用作差法，结合不等式的性质即可求解， （2）利用作差法，结合配方以及平方的性质即可求解. 【详解】（1）．     因为，，所以，， 所以．    因为，所以，     又，，所以，所以， 所以，   所以，即．     （2） ．    因为，，所以， 所以． 54．（1）已知 试比较，的大小． （2）已知集合表示方程的解集，若中只有一个元素，求的值 【答案】（1）；（2） 【详解】(1) (2) ① 当 时，方程化为 ，解得 ， 此时解集 ，集合只有一个元素，符合题意. ② 当 时，方程 为一元二次方程，集合 只有一个元素，则 . ，解得.综上，. 55．已知，，，则是的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】先利用不等式性质求线性式范围，证充分；再举反例（或集合 / 线性规划）否定必要性即可. 【详解】①∵ ，∴ ， ∴，即：， ∴，充分性成立； ②举反例：取， 此时 ，满足 ，即成立； 但，，不满足， 故 ，必要性不成立； ∴是的充分不必要条件. 56．（多选）十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《砺智石》一书中首先把“”作为等号使用，后来英国数学家哈利奥特首次使用“”和“”符号，并逐步被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远.若，则下列命题正确的是（     ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，，则 【答案】BCD 【分析】根据不等式的性质，结合作差法判断即可. 【详解】对于A，当时，则，故A错误； 对于B，， 因为，所以，，所以， 则，即，故B正确； 对于C，， 因为，所以，， 所以，即，故C正确； 对于D， ， 因为，，所以， 即，故D正确. 57．已知，，则的取值范围是________． 【答案】 【分析】先设，求出，，再利用不等式性质求出的取值范围. 【详解】设， 则， 即，解得：， 所以. 又因为，，且， 所以， 即. 58．已知实数x，y满足，且，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】通过待定系数法将目标函数转化为已知范围的两个线性表达式的线性组合，再利用不等式性质计算取值范围. 【详解】设（）， 则， 所以 ， 解得， 因此， 由，得，由，得， 根据不等式同向可加性，可得， 故的取值范围为. 59．已知集合，则“”是“”的（    ） A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【详解】若，得，所以，所以或， 故， 又⫋，所以“”是“”的充分不必要条件. 60．（多选）下列说法中正确的有（     ） A．命题“p：，”则命题p的否定是：， B．“”是“”的充分不必要条件 C．若a，，则是的充分不必要条件 D．“”是“关于的方程有一正一负根”的充要条件 【答案】AD 【分析】根据命题否定判断A选项，根据充分必要条件的定义举反例判断B，C选项，根据二次方程的韦达定理判断D选项. 【详解】选项A，原命题的否定为，A正确； 选项B，取，满足但，充分性不成立； 取，满足但，必要性不成立，B错误； 选项C，取，满足但，充分性不成立，C错误； 选项D，关于的方程有一正一负根”的充要条件为，根据方程可得， 所以“关于的方程有一正一负根”的充要条件为，D正确. 1 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 等式性质·不等式性质·证明问题题型突破（六大题型） 考点01 作差法比较大小 考点02 作商法比较大小 考点03 由不等式性质比较大小 考点04 由不等式可加可乘性求范围 考点05由不等式的性质证明不等式 考点06 不等式性质综合考点 考点01 作差法比较大小 1．（1）比较与的大小． （2）已知，，求，的取值范围． 2．设，，则与的大小关系为（    ） A． B． C． D． 3．设，，，则，的大小关系是（          ） A． B． C． D． 4．（多选）下列命题为真命题的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 5．已知，，均为正数，则“”是“”的（     ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 6．已知且，，，则______.（填“”，“”或“”） 7．设，则的大小关系为______． 8．（多选）已知，则（    ） A． B． C． D． 9．（1）用反证法证明命题：“三角形内至少有一个角不小于”； （2）设，试比较与的大小. 10．（1）已知，比较与的大小； （2）证明：若，则或. 考点02 作商法比较大小 11．已知，则之间的大小关系是（    ） A． B． C． D．无法比较 12．比较与（且，且）的大小． 13．（1）作差法：_______，，_____ （2）作商法：_______，，____ 14．（多选）已知，则下列正确的有（   ） A． B． C． D． 15．（1）比较大小：与； （2）设，比较与的大小. 16．（多选）若，那么下列不等式一定成立的是（   ） A． B． C． D． 17．（多选）给定下列推导过程，错误的是（    ） A． B． C． D． 18．（多选）对于实数，，，下列选项正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则， D．若，，则 19．设，，则_______（填入“＞”或“＜”）． 20．已知a是实数，则“”是“”的（    ）． A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 考点03 由不等式性质比较大小 21．（多选）若，，则（    ） A． B． C． D． 22．（多选）下列说法正确的是（     ） A．若，则 B．若，，则 C．若，则 D．若，，则 23．对于实数，，，下列说法正确的是（    ） A．若，则     B．若，则 C．存在，使得     D．存在，使得 24．（多选）下列说法正确的是（    ） A．若，，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 25．若，则下列不等式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 26．（多选）下列命题中正确的是（    ） A．若，，则 B．若，则 C．若，，则 D．若，则 27．已知实数满足，，则一定成立的是（   ） A． B． C． D． 28．若，，则必有（   ） A． B． C． D． 29．（多选）下列命题是真命题的是（    ） A．若，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，则 30．（多选）已知，为实数且，则下列结论正确的是（     ） A． B． C． D． 考点04 由不等式可加可乘性求范围 31．已知，满足，，则的最大值为（     ） A．5 B．6 C．7 D．8 32．已知，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 33．若，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 34．（1）设，，求，的范围； （2）已知，求的取值范围. 35．若，，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 36．（多选）已知实数，满足，，则（     ） A． B． C． D． 37．若，则的取值范围是________. 38．已知，则的取值范围是________ 39．已知，，则的取值范围为_______． 40．已知，，则的取值范围为________． 考点05由不等式的性质证明不等式 41．（1）已知，比较与的大小； （2）已知，，，证明：． 42．（1）已知，，证明：； （2）一般认为，居民住宅的窗户面积必须小于地板面积，窗户面积与地板面积的比值越大，采光效果越好．若同时增加相同的窗户面积和地板面积，则采光效果是变好了还是变坏了？为什么？ （3）已知，，是三角形的三边，比较与2的大小，并说明理由； 43．根据生活经验，若杯中盛有克糖水，其中含有克糖.再向杯中添加克糖（假设完全溶解），则糖水变甜了. (1)请将上述生活经验用一个不等式表示出来，并加以证明； (2)设，，是一个三角形的三边长，若，求正整数的最小值. 44．（1）已知，求证：； （2）求证：方程有两个同号且不相等的实根的充要条件是． 45．（1）已知，求证：； （2）已知实数，若，求的取值范围． 46．（1）比较与的大小； （2）若，且，证明：． 47．设，，为正实数.证明：. 48．已知，求证:. 49．（1）比较与的大小； （2）已知，，求证：. 50．（1）设，．试比较与的大小． （2）已知，，．求证：． 考点06 不等式性质综合考点 51．为了加强家校联系，蔡老师组建了一个由学生、家长和教师组成的微信群．已知该群中男学生人数多于女学生人数，女学生人数多于家长人数，家长人数多于教师人数，教师人数的两倍多于男学生人数．则该微信群人数的最小值为_______ 52．已知，，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 53．（1）若，，，试比较与的大小； （2）比较两个代数式的大小：与． 54．（1）已知 试比较，的大小． （2）已知集合表示方程的解集，若中只有一个元素，求的值 55．已知，，，则是的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 56．（多选）十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《砺智石》一书中首先把“”作为等号使用，后来英国数学家哈利奥特首次使用“”和“”符号，并逐步被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远.若，则下列命题正确的是（     ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，，则 57．已知，，则的取值范围是________． 58．已知实数x，y满足，且，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 59．已知集合，则“”是“”的（    ） A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 60．（多选）下列说法中正确的有（     ） A．命题“p：，”则命题p的否定是：， B．“”是“”的充分不必要条件 C．若a，，则是的充分不必要条件 D．“”是“关于的方程有一正一负根”的充要条件 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $