专题05 基本不等式·条件等式·恒成立问题题型突破（七大题型）（高效培优期中专项训练）数学人教A版高一必修第一册

专题05 基本不等式·条件等式·恒成立问题题型突破（七大题型） 考点01 基本不等式求积的最大值 考点02 基本不等式求和的最小值 考点03 条件等式求最值 考点04 基本不等式的恒成立问题 考点05对勾函数求最值 考点06 基本不等式“1”的妙用求最值 考点07 基本不等式的实际应用 考点01 基本不等式求积的最大值 1．（多选）已知正数x、y，满足，则下列说法正确的是（    ） A．的最大值为1 B．的最小值为 C．的最小值为2 D．的最大值为3 2．（多选）若正实数a，b满足，则（   ） A．ab的最大值为 B．的最小值为 C．的最小值为 D．的最小值为1 3．（多选）已知，且，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 4．已知，，则的最大值为________. 5．（多选）已知正实数满足，则下列结论正确的是（    ） A．的最大值为1 B． 的最小值为 C． 的最小值为2 D．的最大值为 6．（多选）已知正实数满足，则（    ） A．的最大值为 B．的最小值为 C．的最小值为 D．的最大值为 7．（多选）已知，，且，则（     ） A．的最大值为5 B．的最小值为6 C．的最小值为 D．的最小值为 8．已知，且，则的最大值为（    ） A．4 B．6 C．8 D．9 9．（多选）下列说法正确的是（    ） A．的最小值是 B．的最大值是 C．当时，的最小值是 D．若正数满足，且，则均为定值 10．若，则有最大值______． 考点02 基本不等式求和的最小值 11．的最小值为__________． 12．已知，，且，则当取得最小值时，（    ） A． B． C． D． 13．正实数，满足，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 14．已知正数，满足，则的最小值为________. 15．已知 ，则函数 的最小值为（    ） A． B． C． D．无最小值 16．（多选）已知，，，则下列结论正确的是（    ） A．的最小值为 B．的最大值为 C．的最小值为 D．的最小值为3 17．（多选）已知，设，，则以下四个命题中正确的是（     ） A．若，则有最小值 B．若，则有最大值 C．若，则有最小值9 D．若，则有最大值2 18．已知正实数满足，则的最大值为_________. 19．设，，且，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 20．若，则的最小值为（    ） A．12 B．11 C．10 D．9 考点03 条件等式求最值 21．设、、是三个正实数，且，则的最大值为________． 22．已知，，且．判断下面3个命题： （1）    （2）    （3） 其中正确的个数为（     ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 23．已知，，且． (1)求的最小值； (2)若恒成立，求的最大值． 24．已知，，，则的最小值是（    ） A． B．17 C．21 D．25 25．（多选）已知正实数，，满足，则下列结论正确的是（     ） A．的最大值为2 B．的最大值为4 C．的最小值为8 D．的最小值为2 26．已知，，且，则的最小值是_________． 27．已知，，且，则的最小值为（   ） A．2 B． C．3 D． 28．（多选）若，，且，则下列结论正确的是（    ） A．的最小值为 B．的最小值为 C．的最小值为6 D．的最大值为1 29．解决下列问题 (1).已知，求的最小值； (2).已知正数，满足，求的最小值． 30．（1）已知，比较与的大小； （2）已知，且，求的最大值． 考点04 基本不等式的恒成立问题 31．已知，，若命题“，使得”是假命题，且满足恒成立，则实数取值范围是__________． 32．求解下列各题： (1)求的最大值. (2)已知，则的最小值为________. (3)已知，且，若恒成立，求实数的取值范围. 33．若不等式对满足条件的恒成立，则整数k的最大值为（    ） A．5 B．4 C．7 D．9 34．回答以下问题： (1)当时，比较与的大小； (2)已知正数，满足，若恒成立，求的取值范围． 35．存在两个不相等的正实数和，使得成立，则最小值是______． 36．已知正数满足，若不等式恒成立，则实数的取值范围是（    ） A．或 B．或 C． D． 37．已知，，且，若不等式恒成立，则实数的取值范围为______________． 38．已知命题：“，恒成立”是真命题，则实数的取值范围是______． 39．已知对所有正实数，都成立，则实数的最小值为_____． 40．已知，若时，不等式恒成立，则的最小值是_________. 考点05对勾函数求最值 41．（多选）下列选项正确的有（   ） A．已知实数，，则 B．的最小值为2 C．已知，，，则最小值为11 D．已知，，的最小值为22 42．已知，则有（    ） A．最大值 B．最大值 C．最小值 D．最小值 43．（1）求函数的最小值． （2）已知，是正实数，且，求的最小值． 44．下列结论正确的是（    ） A．当时， B．当时，的最小值为 C．当时，的最小值为 D．当时，的最小值为 45．已知，则的最小值为（    ） A．1 B．2 C．4 D． 46．当时，则的最小值是______. 47．若关于的不等式解集为，其中、，则的取值范围为________． 48．已知函数在上存在最小值，则实数的取值范围是__________. 49．已知，若，的最小值为__________. 50．（多选）下列命题中的真命题有（   ） A．当时，的最小值是3 B．的最小值是2 C．当时，的最大值是5 D．当时，的最大值是 考点06 基本不等式“1”的妙用求最值 51．（多选）已知a，b都是正数，且，则下列说法正确的是（    ） A． B．的最小值为 C．的最大值为 D．的最大值为 52．（多选）已知，，且，则下列结论正确的是（   ） A．的最小值为6 B．的最小值为9 C． D．的最小值为 53．（多选）已知正实数，满足，则下列说法正确的有（     ） A．的最大值为8 B．的最小值为 C．的最小值为9 D．的最小值为3 54．设 ，若 ，则 的最小值为____________. 55．已知实数，为正数，且，则的最小值是（     ） A． B． C． D． 56．已知，． (1)若． （ⅰ）求的最小值； （ⅱ）求的最小值． (2)若，证明：． 57．（多选）已知，，且，则（ ） A．的最小值是16 B．的最小值为128 C．的最小值为10 D．的最小值为 58．（多选）若，，且，则（    ） A．的最小值为1 B．的最大值为2 C．的最小值为 D．的最小值为3 59．（多选）已知，，．则下列说法正确的是（     ） A．的最大值为 B．的最小值为12 C．的最小值为4 D．的最小值为 60．已知，，若，则的最小值是_____． 考点07 基本不等式的实际应用 61．使用一架两臂不等长的天平称量物品甲，第一次将的砝码放在天平左盘中，取出一些物品甲放在天平右盘中使天平平衡；第二次将的砝码放在天平右盘中，取出一些物品甲放在天平左盘中使天平平衡．两次称得的物品甲放在一起，记其质量为，则下列判断一定正确的是（    ） A． B． C． D． 62．小明同学用一架两臂不等长的天平称20克药剂，他先将10克的砝码放在天平左盘中，取出一些药剂放在天平右盘中使天平平衡；再将10克的砝码放在天平右盘中，再取出一些药剂放在天平左盘中使天平平衡；最后将两次称得的药剂装入烧杯．你认为小明装入烧杯中药剂的剂量（    ） A．小于20克 B．等于20克 C．大于20克 D．不能判断 63．某水产养殖场拟造一个平面图为矩形且面积为160平方米的水产养殖网箱，为了避免混养，箱中要安装一些筛网，如平面图所示．如果网箱四周网衣(图中实线部分)建造单价为每米112元，筛网(图中虚线部分)的建造单价为每米96元，网箱底面建造单价为每平方米100元，网衣及筛网的厚度忽略不计．把建造网箱的总造价y(元)表示为网箱的长x(如图所示，单位为米)的函数，并求出最低造价． 64．物联网(Internet of Things，缩写:IOT)是基于互联网、传统电信网等信息承载体，让所有能行使独立功能的普通物体实现互联互通的网络．其应用领域主要包括运输和物流、工业制造、健康医疗、智能环境(家庭、办公、工厂)等，具有十分广阔的市场前景．现有一家物流公司计划租地建造仓库储存货物，经过市场调查了解到下列信息:仓库每月土地占地费(单位：万元)，仓库到车站的距离(单位:千米，)，其中与成反比，每月库存货物费(单位：万元)与成正比；若在距离车站8千米处建仓库，则和分别为2万元和6.4万元． (1)求出与的解析式． (2)这家公司应该把仓库建在距离车站多少千米处，才能使两项费用之和最小?最小费用是多少? 65．某超市计划租地建造仓库储存货物，若仓库每月月租（单位：万元）与仓库到超市的距离（，单位：千米）的函数关系式为，每月货物运输费（单位：万元）与的函数关系式为，则该超市应该把仓库建在距离超市______千米处，才能使这两项费用之和最少，最少费用为______万元． 66．如图，某社区要建一座八边形的休闲场所，它的主体平面图是由两个相同的矩形ABCD和EFGH构成的面积为的十字形地域．计划在正方形MNPQ上建一座花坛，造价为；在四个相同的矩形（图中阴影部分）上铺花岗岩地坪，造价为；在四个空角（图中四个三角形）上铺草坪，造价为．设总造价为S（单位：元），则当总造价S最小时，AD的长度为（   ）    A． B． C． D． 67．如图，某厂有许多形状为直角三角形的铁皮边角料，为了降低损耗，现要从这些边角料上截取矩形铁片加以利用．已知，设，当截取的矩形铁片的面积最大时，___________，___________ 68．某网店推出一款“光饼精灵”文创玩具，该玩具原来每个售价2.5元，年销售8万个． (1)据市场调查，该玩具的单价每提高0.1元，年销售量将相应减少2000个．如何定价才使年销售总收入不低于原收入？ (2)为提升产品吸引力，网店计划对该产品进行升级，并提高每个玩具的售价到元．与此同时，升级需要再投入万元作为技术支持和固定宣传费用．那么该玩具的年销售量至少达到多少万个时，才能使升级后的年销售收入不低于原收入与再投入之和？ 69．如图，某人计划用篱笆围成一个一边靠墙（墙足够长）的矩形菜园.设菜园的长为米，宽为米. (1)若菜园面积为49平方米，则，为何值时，所用篱笆总长最小？最小值为多少？ (2)若使用的篱笆总长为40米，当，为多少时，有最小值？并求出最小值. 70．某公司建造一间背面靠墙的房屋，地面面积为，房屋正面每平方米的造价为1200元，房屋侧面每平方米的造价为800元，屋顶的造价为5800元，如果墙高为，且不计房屋背面和地面的费用.设房屋正面的长度为，房屋的总造价为元. (1)求关于的函数关系式； (2)当为多少时，总造价最低？最低总造价是多少？ 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 基本不等式·条件等式·恒成立问题题型突破（七大题型） 考点01 基本不等式求积的最大值 考点02 基本不等式求和的最小值 考点03 条件等式求最值 考点04 基本不等式的恒成立问题 考点05对勾函数求最值 考点06 基本不等式“1”的妙用求最值 考点07 基本不等式的实际应用 考点01 基本不等式求积的最大值 1．（多选）已知正数x、y，满足，则下列说法正确的是（    ） A．的最大值为1 B．的最小值为 C．的最小值为2 D．的最大值为3 【答案】AC 【分析】A选项：利用求出的最大值；B选项；根据判断的最小值；C选项：利用构造使用基本不等式的条件从而求解；D选项：根据结合C选项求解. 【详解】因为正数x、y，满足，所以，即，当且仅当时等号成立，故A正确； ，因为，所以，当且仅当时等号成立，故B错误； ，即，当且仅当时等号成立，故C正确； ，因为，所以，当且仅当时等号成立，故D错误. 2．（多选）若正实数a，b满足，则（   ） A．ab的最大值为 B．的最小值为 C．的最小值为 D．的最小值为1 【答案】ABD 【详解】对于A，，当且仅当时取等，故ab的最大值为，A正确； 对于B，，因为，所以， 当且仅当时取等，故的最小值为，B正确； 对于C，，因为，所以， 当且仅当即时取等，故的最小值为9，C错误； 对于D，由得，则， 由得，所以当时有最小值1，D正确. 3．（多选）已知，且，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】对于A，根据判定；对于B，利用基本不等式求解判断；对于C，根据基本不等式“1”的用法求解判断；对于D，，再求解，，进而求得即可判断. 【详解】对于A选项，因为，所以， 所以，即，故正确； 对于B选项，由基本不等式 ，即，整理得， 当且仅当，即时等号成立，故正确； 对于C选项，结合基本不等式“1”的用法， 当且仅当，即时等号成立，故正确； 对于D选项，由 ，得，即， 所以， 因为，， 所以， 所以，即，故错误. 4．已知，，则的最大值为________. 【答案】9 【分析】利用基本不等式求解即可. 【详解】因为，，所以，即， 所以当且仅当时等号成立，所以的最大值为9. 5．（多选）已知正实数满足，则下列结论正确的是（    ） A．的最大值为1 B． 的最小值为 C． 的最小值为2 D．的最大值为 【答案】ACD 【详解】对于A：由基本不等式，， 当且仅当时取等号，故最大值为，故A正确； 对于B： 当且仅当，即时取等号， 结合可得当，时，取最小值，最小值为，故B错误； 对于C：，， 所以，当取等号， 最小值为，故C正确； 对于D： 即，当且仅当， 即时取等号，最大值为，故D正确. 6．（多选）已知正实数满足，则（    ） A．的最大值为 B．的最小值为 C．的最小值为 D．的最大值为 【答案】ABD 【分析】直接利用基本不等式即可判断选项A；对B，将表示成，代入，利用二次函数即可求出的最小值；对C，根据条件得，再由基本不等式“1”的应用，求的最小值即可判断选项C；对于D，先求出的最大值，即可判断选项D. 【详解】对于A，因为正实数a、b满足，则， 所以，当且仅当，即时取等号，因此的最大值为，选项A正确； 对于B，由，得到，所以， 所以当时，取最小值为，选项B正确； 对于C，因为，则， 又， 当且仅当，即时取等号，所以的最小值为，选项C错误； 对于D，因为，由A可知， 所以，当且仅当时取等号， 所以的最大值为，选项D正确. 7．（多选）已知，，且，则（     ） A．的最大值为5 B．的最小值为6 C．的最小值为 D．的最小值为 【答案】BCD 【分析】对A，将变形为，利用基本不等式求解；对B，利用基本不等式求解；对C，由条件可得，可得，根据二次函数求最值判断；对D，利用“1”代换结合基本不等式求解. 【详解】对于A，因为，， 所以， 当且仅当，即时，取等号，故A错误； 对于B，，当且仅当时取等号，故B正确； 对于C，由，，得，则， 所以，当，时取等号，故C正确； 对于D，由，， 得，当且仅当，即时取等号，故D正确. 8．已知，且，则的最大值为（    ） A．4 B．6 C．8 D．9 【答案】D 【分析】将因式分解得到，且，利用基本不等式即可得出答案. 【详解】由题意得，，， 又， 故， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最大值为9． 9．（多选）下列说法正确的是（    ） A．的最小值是 B．的最大值是 C．当时，的最小值是 D．若正数满足，且，则均为定值 【答案】BCD 【分析】结合基本不等式的使用条件一正、二定、三相等逐一分析选项，对A由一正排除；对B先求定义域，再用基本不等式可得最大值；对C通过凑配，再用基本不等式可得最小值；对D先令，再由基本不等式得，再结合条件可得，并结合不等式成立的条件可得的值. 【详解】选项A： 基本不等式求最值要求变量为正：当时，为负数，不可能取得最小值，该式没有最小值，A错误； 选项B：先求定义域：，即，所以， 由基本不等式得，当且仅当，即时取等号， 因此，最大值为，故B正确； 选项C：当时，，由基本不等式， ，当且仅当​，即时取等号， 因此的最小值为，故C正确； 选项D：令，由且，由基本不等式， 由条件得​，因此有​，整理得，即， 结合，所以，因此，得， 因此，此时不等式取等号，满足，即， 结合，可解得​，因此均为定值，故D正确. 10．若，则有最大值______． 【答案】1 【详解】已知，则， ， 令，则， ， 由基本不等式：，当且仅当，即取等， ，，满足条件， 所以最大值为. 考点02 基本不等式求和的最小值 11．的最小值为__________． 【答案】9 【详解】由原式有意义题可得则 当且仅当即时，不等式取等号. 12．已知，，且，则当取得最小值时，（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用已知条件进行“1”的代换，展开代数式应用基本不等式求最值，求等号成立时的关系，结合已知条件求值，计算的值. 【详解】，，且， ， 当且仅当，即时等号成立， ，即，可得，其中， 代入可得，解得， ， . 13．正实数，满足，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题设， 当且仅当时取等，由解得， 即当时，的最小值是. 14．已知正数，满足，则的最小值为________. 【答案】 【分析】根据给定条件，确定范围并换元，再利用基本不等式求出最小值. 【详解】由正数满足，得，令， 则，整理得，因此 ，当且仅当时取等号， 所以的最小值为. 15．已知 ，则函数 的最小值为（    ） A． B． C． D．无最小值 【答案】B 【详解】因为， 所以， 当且仅当 ，即 时取等号， 则函数   的最小值为． 16．（多选）已知，，，则下列结论正确的是（    ） A．的最小值为 B．的最大值为 C．的最小值为 D．的最小值为3 【答案】BC 【分析】根据给定条件，利用基本不等式及基本不等式“1”的妙用逐项分析判断. 【详解】对于A，，当且仅当时取等号，A错误； 对于B，， 当且仅当时取等号，B正确； 对于C，， 当且仅当，即时取等号，C正确； 对于D，， 当且仅当时取等号，由，得与矛盾，因此不能取到，D错误. 17．（多选）已知，设，，则以下四个命题中正确的是（     ） A．若，则有最小值 B．若，则有最大值 C．若，则有最小值9 D．若，则有最大值2 【答案】BD 【分析】根据题意，结合选项，利用基本不等式及一元二次不等式的解法，逐项求解，即可得到答案. 【详解】对于A，若，即且，可得， 当且仅当，即时，等号成立， 所以有最小值为，所以A不正确； 对于B，若，即，可得， 当且仅当，即时，等号成立， 所以有最大值为，所以B正确； 对于C，若，即，可得且， 则， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值为，所以C不正确； 对于D，若，即且， 因为，当且仅当，即时，等号成立， 所以，可得，即， 令，可得，解得， 因为，所以，所以，即的最大值为，所以D正确. 18．已知正实数满足，则的最大值为_________. 【答案】/ 【分析】由得到，得到，则，设，则，则转化为，利用基本不等式求出，从而求出的范围，继而得到的最大值. 【详解】因为，所以， 因为，所以， 因为，所以的解为， 则， 设，则， 则， 因为，所以， 则，当且仅当时，即当时等号成立， 则，则， 即，则的最大值为. 19．设，，且，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，化简得到，结合基本不等式，即可求解. 【详解】因为，，且， 则， 当且仅当时，即时，即时，等号成立， 所以的最小值为. 20．若，则的最小值为（    ） A．12 B．11 C．10 D．9 【答案】C 【详解】由，得，则， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为10. 考点03 条件等式求最值 21．设、、是三个正实数，且，则的最大值为________． 【答案】 【分析】由得到，代入转化为，令，，得到，利用基本不等式求解. 【详解】因为正数满足，则可得，即，所以， 所以， 令，结合题意知，设， ， 当且仅当，即时，取等号， 所以 所以的最大值为. 22．已知，，且．判断下面3个命题： （1）    （2）    （3） 其中正确的个数为（     ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】B 【分析】利用基本不等式验证命题（1）与命题（2）的正确性，利用作差法举反例得到命题（3）错误，最终判断命题的正确个数即可. 【详解】对于（1），因为， 由基本不等式， 所以，所以. 当且仅当,即时取等号.故（1）正确. 对于（2），由， 当时，不满足题意. 当时，， 当且仅当时取等号. 故（2）错误. 对于（3），由（2）可知， 取，则， 与矛盾，故（3）错误. 综上所述，命题正确的个数有1个. 23．已知，，且． (1)求的最小值； (2)若恒成立，求的最大值． 【答案】(1)8 (2)4 【分析】（1）使用“1”的妙用和基本不等式求解； （2）分离参数后，将问题转化为恒成立，消元求解. 【详解】（1）由题可知， 当且仅当，即时等号成立， 故的最小值为8； （2）由，，，得， 将代入得， 所以要使恒成立， 则，即的最大值为4. 24．已知，，，则的最小值是（    ） A． B．17 C．21 D．25 【答案】D 【分析】利用基本不等式“1”的活用计算即可得. 【详解】， 当且仅当，即，时，等号成立， 即的最小值为. 25．（多选）已知正实数，，满足，则下列结论正确的是（     ） A．的最大值为2 B．的最大值为4 C．的最小值为8 D．的最小值为2 【答案】AC 【分析】已知正实数满足且先确定，选项A用基本不等式求得最大值为，选项B代入消元化为关于的二次函数求出最大值为8，选项C利用完全平方公式结合最大值推出最小值为，选项D中，利用“1”的妙用即可求解. 【详解】选项A，由，根据均值不等式，得， 平方得，即.当且仅当时取等号，故最大值为，A正确. 选项B，由，且，得. 而，这是开口向下的二次函数，对称轴. 代入得最大值为，B错误. 选项C，由，得.结合A知， 故，当且仅当取等号，C正确. 选项D，由，所以， 当且仅当，即时等号成立，所以的最小值为1，D错误. 26．已知，，且，则的最小值是_________． 【答案】 【分析】通过条件中的等式消元，再使用基本不等式求解. 【详解】由，得，则， 由，，得， ， 当且仅当即时等号成立，此时， 所以的最小值是. 27．已知，，且，则的最小值为（   ） A．2 B． C．3 D． 【答案】D 【分析】根据“1”的变形技巧，利用基本不等式求解. 【详解】因为，，且， 所以， 当且仅当，即时，等号成立. 28．（多选）若，，且，则下列结论正确的是（    ） A．的最小值为 B．的最小值为 C．的最小值为6 D．的最大值为1 【答案】BC 【分析】选项A直接利用基本不等式求解即可，选项B利用重要不等式求解即可，选项C利用基本不等式中的常数代换求解即可，选项D把双变量换成单变量的二次函数形式求解即可，注意二次函数的定义域. 【详解】对于A选项：所以， 当且仅当，即，时取得，与，相符，即的最大值为，故A错； 对于B选项：， 当且仅当，即，时取得，与，相符，故B对； 对于C选项：， 当且仅当即，时取得，与，相符，故C对； 对于D选项：，又因为，可得， 是开口向下的二次函数，在时取最大值，但与不符，因此，故D错. 29．解决下列问题 (1).已知，求的最小值； (2).已知正数，满足，求的最小值． 【答案】(1)5； (2). 【分析】（1）由基本不等式可解决问题； （2）由基本不等式结合“1”的妙用可解决问题. 【详解】（1）， 当且仅当，即时取等号； 所以的最小值为5； （2）易知， 当且仅当，即时取等号； 即的最小值为. 30．（1）已知，比较与的大小； （2）已知，且，求的最大值． 【答案】（1）；（2）4 【分析】（1）根据题意利用作差法结合不等式性质分析判断即可； （2）整理可得，结合基本不等式运算求解即可； 【详解】（1）因为 ， 又因为，则，， 且，， 可得，即， 所以； （2）因为，且，则， 又因为，即， 整理可得，即， 当且仅当时，等号成立， 所以的最大值为4. 考点04 基本不等式的恒成立问题 31．已知，，若命题“，使得”是假命题，且满足恒成立，则实数取值范围是__________． 【答案】 【分析】先由存在量词命题为假命题，推得其否定为真命题，再由两根相等推出，根据“乘1法”和基本不等式求出的最小值，再由函数不等式恒成立求解一元二次不等式即得. 【详解】因命题“，使得”是假命题， 则“，使得”为真命题，则，即， 则， 因，，则， 当且仅当时即时等号成立， 因恒成立，则，即，解得. 所以实数取值范围是. 32．求解下列各题： (1)求的最大值. (2)已知，则的最小值为________. (3)已知，且，若恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）将函数解析式变形为，结合基本不等式求解即可； （2）由已知等式变形得出，将代数式与相乘，展开后利用基本不等式可得出的最小值； （3）由已知等式得出，将代数式与相乘，展开后利用基本不等式可得出的最小值，即可得出关于的一元二次不等式，解之即可. 【详解】（1）当时，， 当且仅当时，即当时，等号成立， 所以，函数的最大值为. （2）因为，所以. ， 当且仅当时，即当时，等号成立， 故的最小值为. （3）因为，且，则， 所以，， 当且仅当时，即当时，等号成立，即的最小值为， 因为恒成立，则，即，解得. 因此，实数的取值范围是. 33．若不等式对满足条件的恒成立，则整数k的最大值为（    ） A．5 B．4 C．7 D．9 【答案】B 【分析】将不等式化为，利用基本不等式求出，即可得解. 【详解】因为，所以，，， 不等式， 即， 即 又 当且仅当时，取等号， 则，即， 则整数k的最大值为 【点睛】本题考查基本不等式求最值. 34．回答以下问题： (1)当时，比较与的大小； (2)已知正数，满足，若恒成立，求的取值范围． 【答案】(1)当时，；当时，； (2) 【详解】（1）因为， 所以当时，；当时， （2）因为是正数，所以是正数， 因为， 所以 ， 等号成立时，即， 因为恒成立，所以， 故的取值范围为. 35．存在两个不相等的正实数和，使得成立，则最小值是______． 【答案】50 【分析】先根据存在性，把问题转化成求右侧齐次式代数式最小值；利用双换元减少变量化成可用基本不等式的形式，最后验证等号成立的条件. 【详解】原不等式变形为， 题目为存在性问题，只需大于等于右侧代数式的最小值即可. 令，则 当且仅当即时取等号. 故即的最小值为 36．已知正数满足，若不等式恒成立，则实数的取值范围是（    ） A．或 B．或 C． D． 【答案】C 【分析】由基本不等式乘“”法，求得的最小值，进而可求解. 【详解】由题意可知，不等式恒成立， 即， ，即 ， ， ，， ，， ，当且仅当，即时等号成立， 当时，取得最小值为8， ，即，解得. 37．已知，，且，若不等式恒成立，则实数的取值范围为______________． 【答案】 【分析】利用换元法和分离参数的方法，对不等式进行变形判断． 【详解】由可得； 设，则； 则，即，即； 由可得，， 因为，，故； 则，； 则；由可得； 故有；当且仅当，即时，等号成立； 此时，即． 38．已知命题：“，恒成立”是真命题，则实数的取值范围是______． 【答案】 【详解】因为，则， 可得， 当且仅当，即时，等号成立， 若命题：“，恒成立”是真命题， 则，可得， 所以实数的取值范围是. 39．已知对所有正实数，都成立，则实数的最小值为_____． 【答案】9 【分析】利用基本不等式求的最大值，进而得出实数的最小值． 【详解】不等式对所有正实数，都成立， 对所有正实数，都成立， ，当且仅当时等号成立， ，故实数的最小值为9． 40．已知，若时，不等式恒成立，则的最小值是_________. 【答案】4 【分析】利用基本不等式可得的最小值，从而得到，求出答案 【详解】，， 故， 当且仅当，即时，等号成立， 因为不等式恒成立，则，即， 解得，所以， 则的最小值是. 考点05对勾函数求最值 41．（多选）下列选项正确的有（   ） A．已知实数，，则 B．的最小值为2 C．已知，，，则最小值为11 D．已知，，的最小值为22 【答案】AC 【分析】利用基本不等式即可结合选项逐一求解. 【详解】A选项，，A正确； B选项，，由于无实数解，故等号取不到，因此取不到2，B错误； C选项，，当且仅当，即，时等号成立，C正确； D选项，令，，则 当且仅当，即，，即，时等号成立，D错误； 42．已知，则有（    ） A．最大值 B．最大值 C．最小值 D．最小值 【答案】B 【详解】因为，所以， 所以， 由基本不等式得， 当且仅当，即（舍去正值）时等号成立， 所以，即有最大值. 43．（1）求函数的最小值． （2）已知，是正实数，且，求的最小值． 【答案】 （1）；（2） 【分析】（1）通过拆分分式变形构造正项和结构，结合基本不等式求最值；（2）利用“的代换”构造基本不等式适用条件求解最值. 【详解】（1）由可得，对函数做如下变形，， 根据基本不等式，有，当且仅当，即时等号成立， 因此，即函数的最小值为； （2）已知且，可得，因此， 根据基本不等式，有，当且仅当，即时等号成立， 结合解得，满足为正实数的条件， 因此，即所求最小值为. 44．下列结论正确的是（    ） A．当时， B．当时，的最小值为 C．当时，的最小值为 D．当时，的最小值为 【答案】A 【详解】对于A，当时，，当且仅当，即时等号成立，故A正确； 对于B，当时，，当且仅当，即时等号成立，故B错误； 对于C，当时，，当且仅当时等号成立，故C错误； 对于D，当时，，，当且仅当时等号成立，故D错误. 45．已知，则的最小值为（    ） A．1 B．2 C．4 D． 【答案】A 【详解】，， 则， 当且仅当时，即时，等号成立，的最小值为1． 46．当时，则的最小值是______. 【答案】 【分析】将函数变形成，再利用重要不等式即可求出结果. 【详解】因为，所以， ， 当且仅当，即时，等号成立， 所以函数的最小值为. 47．若关于的不等式解集为，其中、，则的取值范围为________． 【答案】 【分析】由题意得出，所以，于是得出，令，可得，利用对勾函数的单调性求解即可. 【详解】因为关于的不等式解集为，即不等式解集为， 所以，所以， 故，令， 则， 令，其中， 由对勾函数的单调性可知，函数在上为增函数，故， 因此的取值范围是. 48．已知函数在上存在最小值，则实数的取值范围是__________. 【答案】 【分析】利用对勾函数的性质，对实数进行讨论可得其取值范围. 【详解】已知在上存在最小值, 当时，函数为对勾函数，在处取得最小值， 为使最小值点落在区间内，需，解得， 当时，函数单调递增，在区间内不存在最小值点， 因此实数的取值范围是. 49．已知，若，的最小值为__________. 【答案】6 【分析】对函数进行变形，使其满足基本不等式的使用条件，利用基本不等式求解即可. 【详解】因为，所以， 所以， 当且仅当，即时等号成立， 所以当时，取得最小值，为. 故答案为：6. 50．（多选）下列命题中的真命题有（   ） A．当时，的最小值是3 B．的最小值是2 C．当时，的最大值是5 D．当时，的最大值是 【答案】ACD 【分析】利用基本不等式结合对勾函数的性质一一判定选项即可. 【详解】对A：当时，， 当且仅当，即时取得等号，故A正确； 对B：， 令，则，令， 又在上单调递增，故， 故的最小值为，也即的最小值为，故B错误； 对C：，当且仅当，即时取得等号； 故当时，的最大值是，故C正确； 对D：当时，，当且仅当，即时取得等号，故，即的最大值是，故D正确. 故选：ACD 考点06 基本不等式“1”的妙用求最值 51．（多选）已知a，b都是正数，且，则下列说法正确的是（    ） A． B．的最小值为 C．的最大值为 D．的最大值为 【答案】AD 【分析】利用不等式性质判断A；利用基本不等式及基本不等式“1”的妙用求解判断BCD. 【详解】对于A，由，得，则，A正确； 对于B，，当且仅当时取等号，B错误； 对于C，， 当且仅当，即时取等号，C错误； 对于D，， 当且仅当时取等号，D正确. 52．（多选）已知，，且，则下列结论正确的是（   ） A．的最小值为6 B．的最小值为9 C． D．的最小值为 【答案】ABD 【分析】B利用基本不等式得出关于的一元二次不等式；A 利用B选项可得；C举反例；D利用以及基本不等式. 【详解】因为，所以，得，故， 等号成立时，即，故B正确； 因为，所以，故A正确； 因为，所以，且， 因为，，所以， 所以， 等号成立时，即，故D正确. 当时，故C错误. 53．（多选）已知正实数，满足，则下列说法正确的有（     ） A．的最大值为8 B．的最小值为 C．的最小值为9 D．的最小值为3 【答案】BCD 【分析】根据已知条件变形得到，综合运用基本不等式、“1的代换”以及三元均值不等式求解最值；运用均值不等式时要注意一正、二定、三相等，解题要验证等号能否成立，准确区分最大值与最小值. 【详解】正实数满足，两边同除以得，且. 选项A，由基本不等式得，令，得，解得，即， 当且仅当，即，时等号成立，故的最小值为8，无最大值，A 错误； 选项，由，根据不等式， 令，，则， 当且仅当，即时等号成立，故最小值为，正确； 选项，利用“1的代换”可得， 由基本不等式，因此， 当且仅当，即时等号成立，故最小值为9，正确； 选项，由得，因此， 令，则，原式转化为. 由三元基本不等式，得 ， 当且仅当，即（对应）时等号成立，故最小值为3，正确. 54．设 ，若 ，则 的最小值为____________. 【答案】3 【分析】根据“1”的变形技巧，再由基本不等式求最值即可. 【详解】因为，， 所以， 当且仅当，即时，等号成立. 55．已知实数，为正数，且，则的最小值是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为，为正数，所以， 所以. 当且仅当，即时等号成立. 故的最小值是. 56．已知，． (1)若． （ⅰ）求的最小值； （ⅱ）求的最小值． (2)若，证明：． 【答案】(1)（ⅰ）16；（ⅱ）25． (2)因为，，且， 所以， 当且仅当，即，即，时取等号. 所以． 【分析】（1）（ⅰ）利用基本不等式求出最小值；（ⅱ）利用基本不等式“1”的妙用求出最小值. （2）利用基本不等式“1”的妙用求出最小值. 【详解】（1）（ⅰ）由，可得，则， 当且仅当，即，时取等号， 所以的最小值为． （ⅱ）由，可得， 则． 当且仅当，即，即，时取等号， 所以的最小值为． （2）略 57．（多选）已知，，且，则（ ） A．的最小值是16 B．的最小值为128 C．的最小值为10 D．的最小值为 【答案】AB 【分析】利用基本不等式逐项验证即可求解. 【详解】对于A，因为，，且，所以， 解得，当且仅当时等号成立，故A正确； 对于B，因为，由A选项分析可知， 所以，当且仅当时等号成立，故B正确； 对于C，因为，，且，所以， 所以 ，等号成立当且仅当，故C错误； 对于D，由A选项有，所以，所以的最小值为，故D错误. 58．（多选）若，，且，则（    ） A．的最小值为1 B．的最大值为2 C．的最小值为 D．的最小值为3 【答案】BCD 【分析】选项A：根据基本不等式可得，的最大值；选项B：先平方，再根据可得，的最大值，从而求出的最大值；选项C：利用“1的妙用”，结合基本不等式求解；选项D：先消元，再利用二次函数求最小值. 【详解】已知，，且， 选项A：根据基本不等式，当且仅当时，等号成立， 即的最大值为1，选项A错误； 选项B：因为， 即，当且仅当时，等号成立， 即的最大值为2，选项B正确； 选项C：因为 ，当且仅当即时，等号成立， 即，时，等号成立，又因为，所以， 即的最小值为，选项C正确； 选项D：由得，代入得： ， 当且仅当，时，等号成立，即的最小值为3，选项D正确. 59．（多选）已知，，．则下列说法正确的是（     ） A．的最大值为 B．的最小值为12 C．的最小值为4 D．的最小值为 【答案】AC 【分析】A选项利用基本不等式直接求解即可，B选项利用已知把双变量转化成单变量再利用基本不等式求解即可，注意基本不等式的取等条件，C选项利用常数代换把转换为有定值的基本不等式求解即可，D选项先利用换元法把复杂的式子变简单，然后利用基本不等式中的乘1法求解即可. 【详解】对于选项A：即，当且仅当即，时取得，与，相符，故A对； 对于选项B：由得，因为，所以得， 当且仅当即时取最小值，与不符，故B错； 对于C: ，当且仅当即时取得，与，相符，故对； 对于:令得，得， 所以 化简得，当且仅当即，时取得，与，相符，故D错. 60．已知，，若，则的最小值是_____． 【答案】 【分析】，结合基本不等式即可求解. 【详解】因为， 所以， 又因为，，所以， 所以， 当且仅当，即时，等号成立， 故的最小值是. 考点07 基本不等式的实际应用 61．使用一架两臂不等长的天平称量物品甲，第一次将的砝码放在天平左盘中，取出一些物品甲放在天平右盘中使天平平衡；第二次将的砝码放在天平右盘中，取出一些物品甲放在天平左盘中使天平平衡．两次称得的物品甲放在一起，记其质量为，则下列判断一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设定参数，根据平衡条件计算两次称量的物品质量，计算总质量并利用基本不等式判断范围. 【详解】设天平的左臂长为，右臂长为，（不妨设）， 设第一次称得物品甲质量为，则，解得， 设第二次称得物品甲质量为，则，解得， 所以， 当且仅当，即时取等号， 因为不一定成立，所以. 62．小明同学用一架两臂不等长的天平称20克药剂，他先将10克的砝码放在天平左盘中，取出一些药剂放在天平右盘中使天平平衡；再将10克的砝码放在天平右盘中，再取出一些药剂放在天平左盘中使天平平衡；最后将两次称得的药剂装入烧杯．你认为小明装入烧杯中药剂的剂量（    ） A．小于20克 B．等于20克 C．大于20克 D．不能判断 【答案】C 【详解】设天平左臂长为，右臂长为，且， 设第一次操作（药剂在右盘）称得的药剂为克， 第二次操作（药剂在左盘）称得的药剂为克， 则，解得， ， 当且仅当时，取等号，而，所以. 63．某水产养殖场拟造一个平面图为矩形且面积为160平方米的水产养殖网箱，为了避免混养，箱中要安装一些筛网，如平面图所示．如果网箱四周网衣(图中实线部分)建造单价为每米112元，筛网(图中虚线部分)的建造单价为每米96元，网箱底面建造单价为每平方米100元，网衣及筛网的厚度忽略不计．把建造网箱的总造价y(元)表示为网箱的长x(如图所示，单位为米)的函数，并求出最低造价． 【答案】y＝320×＋16 000，最小值为26 240元 【分析】设网箱长为米，则宽为米，分别表示网衣、筛网、底面的造价，得到总造价关于的函数，再利用基本不等式求最小值. 【详解】设网箱长为米，则宽为米. 网衣（实线）造价：；筛网（虚线，3条平行于宽、1条平行于长）造价：；底面造价：. 所以. 由基本不等式，，当且仅当，即时取等号. 所以，即当时，最低造价为元. 64．物联网(Internet of Things，缩写:IOT)是基于互联网、传统电信网等信息承载体，让所有能行使独立功能的普通物体实现互联互通的网络．其应用领域主要包括运输和物流、工业制造、健康医疗、智能环境(家庭、办公、工厂)等，具有十分广阔的市场前景．现有一家物流公司计划租地建造仓库储存货物，经过市场调查了解到下列信息:仓库每月土地占地费(单位：万元)，仓库到车站的距离(单位:千米，)，其中与成反比，每月库存货物费(单位：万元)与成正比；若在距离车站8千米处建仓库，则和分别为2万元和6.4万元． (1)求出与的解析式． (2)这家公司应该把仓库建在距离车站多少千米处，才能使两项费用之和最小?最小费用是多少? 【答案】(1)，. (2)仓库建在距离车站千米处，才能使两项费用之和最小，最小费用是万元. 【分析】（1）由题意设，，其中，根据题目数据代入求出即可得到答案； （2）利用基本不等式即可求出答案. 【详解】（1）由题意设，，其中， 当时，，解得，，解得， 所以，. （2）由（1）知 ， 当且仅当，即时，等号成立， 所以仓库建在距离车站千米处，才能使两项费用之和最小，最小费用是万元. 65．某超市计划租地建造仓库储存货物，若仓库每月月租（单位：万元）与仓库到超市的距离（，单位：千米）的函数关系式为，每月货物运输费（单位：万元）与的函数关系式为，则该超市应该把仓库建在距离超市______千米处，才能使这两项费用之和最少，最少费用为______万元． 【答案】 【分析】利用基本不等式即可求解. 【详解】， 等号成立时， 故该超市应该把仓库建在距离超市千米处，才能使这两项费用之和最少，最少费用为万元. 故答案为：； 66．如图，某社区要建一座八边形的休闲场所，它的主体平面图是由两个相同的矩形ABCD和EFGH构成的面积为的十字形地域．计划在正方形MNPQ上建一座花坛，造价为；在四个相同的矩形（图中阴影部分）上铺花岗岩地坪，造价为；在四个空角（图中四个三角形）上铺草坪，造价为．设总造价为S（单位：元），则当总造价S最小时，AD的长度为（   ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设根据十字形地域的面积，得出的关系式，进而求出各个图形的面积，将各个区域造价相加，求得总造价，结合基本不等式，即可求得总造价最小值和取最小值时的长. 【详解】设 则，所以， 所以， 因为，即且，解得， 所以. 故 当且仅当，即时，等号成立， 所以当时， 该休闲场所的总造价最小，最小值为 元. 故选：B 67．如图，某厂有许多形状为直角三角形的铁皮边角料，为了降低损耗，现要从这些边角料上截取矩形铁片加以利用．已知，设，当截取的矩形铁片的面积最大时，___________，___________ 【答案】 10 8 【分析】根据已知可得，应用基本不等式求最值，并确定取值条件，即可得. 【详解】设矩形铁片的面积为， 因为，所以，解得， 所以，则， 当且仅当时等号成立，即取得最大值时. 故答案为：， 68．某网店推出一款“光饼精灵”文创玩具，该玩具原来每个售价2.5元，年销售8万个． (1)据市场调查，该玩具的单价每提高0.1元，年销售量将相应减少2000个．如何定价才使年销售总收入不低于原收入？ (2)为提升产品吸引力，网店计划对该产品进行升级，并提高每个玩具的售价到元．与此同时，升级需要再投入万元作为技术支持和固定宣传费用．那么该玩具的年销售量至少达到多少万个时，才能使升级后的年销售收入不低于原收入与再投入之和？ 【答案】(1)玩具的单价不少于2.5元且不超过元时，才使年销售总收入不低于原收入 (2)该玩具的年销售量至少达到5万个时，才能使升级后的年销售收入不低于原收入与再投入之和 【分析】（1）设玩具的单价为元，根据题意可得，运算求解即可； （2）根据题意整理可得，原题意即为存在，有解，结合基本不等式运算求解. 【详解】（1）设玩具的单价为元，则年销售量为万个， 令，解得， 由题意可得：， 整理可得，解得， 所以玩具的单价不少于2.5元且不超过元时，才使年销售总收入不低于原收入. （2）由题意可知：，且，可得， 原题意即为存在，有解， 因为，当且仅当，即时，等号成立， 所以该玩具的年销售量至少达到5万个时，才能使升级后的年销售收入不低于原收入与再投入之和. 69．如图，某人计划用篱笆围成一个一边靠墙（墙足够长）的矩形菜园.设菜园的长为米，宽为米. (1)若菜园面积为49平方米，则，为何值时，所用篱笆总长最小？最小值为多少？ (2)若使用的篱笆总长为40米，当，为多少时，有最小值？并求出最小值. 【答案】(1)为，为时，所用篱笆总长最小，最小值为 (2)当时有最小值，最小值是 【分析】（1）由题意可知，再根据基本不等式即可得解； （2）由题意可知，再根据基本不等式即可得解. 【详解】（1）由题意得，所用篱笆总长为. 因为， 当且仅当时，即，时等号成立， 所以菜园的长为，宽为时，所用篱笆总长最小，最小值为； （2）由题意得， ， 当且仅当，即时等号成立， 所以当时，有最小值，最小值是. 答（1）菜园的长为，宽为时，所用篱笆总长最小，最小值为， （2）当时，有最小值，最小值是. 70．某公司建造一间背面靠墙的房屋，地面面积为，房屋正面每平方米的造价为1200元，房屋侧面每平方米的造价为800元，屋顶的造价为5800元，如果墙高为，且不计房屋背面和地面的费用.设房屋正面的长度为，房屋的总造价为元. (1)求关于的函数关系式； (2)当为多少时，总造价最低？最低总造价是多少？ 【答案】(1)（）. (2)当时，总造价最低，最低总造价为63400元. 【分析】（1）根据各个面的面积直接写出总造价； （2）利用基本不等式即可求解. 【详解】（1）由地面面积为，得房屋侧面的宽度为， 所以房屋正面的造价为， 房屋侧面的造价为， 所以房屋的总造价为. （2）由（1）知， 当且仅当，即时等号成立， 所以当时，总造价最低，最低总造价为63400元. 1 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $